Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Hindi

(B) $1924$ में,फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लुई डी-ब्रोग्ली ने यह परिकल्पना प्रस्तुत की कि द्रव्य,विकिरण की तरह,द्वैत प्रकृति (तरंग-कण द्वैतता) प्रदर्शित करता है। उन्होंने सुझाव दिया कि द्रव्य का प्रत्येक गतिशील कण एक तरंग से जुड़ा होता है,जिसे द्रव्य तरंग या डी-ब्रोग्ली तरंग के रूप में जाना जाता है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,द्रव्य के प्रत्येक गतिशील कण के साथ एक तरंग जुड़ी होती है,जिसे द्रव्य तरंग या डी-ब्रोग्ली तरंग कहा जाता है।
इस तरंग की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ इसका वेग है।
चूंकि तरंगदैर्घ्य वेग $v$ पर निर्भर करती है,इसलिए तरंग द्रव्य के साथ तभी जुड़ी होती है जब वह गति में हो (अर्थात,$v \neq 0$)।
अतः,जब द्रव्य किसी भी वेग से गति में होता है,तो उसके साथ तरंग जुड़ी होती है।

(A) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$p$ संवेग वाले कण से संबद्ध तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{h}{p}$।
चूंकि $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग वाले कण का संवेग $p = mv$ होता है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।

(B) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$p$ संवेग वाले कण से जुड़ी तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग के बीच संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mE}$ होता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,जो दोनों नियत हैं।
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$।
जैसे-जैसे गतिज ऊर्जा $E$ बढ़ती है,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घटती जाएगी।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है कि प्रोटॉन $(p)$ और $\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान हैं, इसलिए $\lambda_p = \lambda_{\alpha}$।
अतः, $\frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_{\alpha} v_{\alpha}}$, जिसे सरल करने पर $m_p v_p = m_{\alpha} v_{\alpha}$ प्राप्त होता है।
उनके वेगों का अनुपात $\frac{v_p}{v_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha}}{m_p}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\alpha$-कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का लगभग $4$ गुना होता है, इसलिए $m_{\alpha} = 4 m_p$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{v_p}{v_{\alpha}} = \frac{4 m_p}{m_p} = \frac{4}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः, उनके वेगों का अनुपात $4 : 1$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग से गतिमान इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ होती है।
इससे,हम लिख सकते हैं $v^2 = \frac{2E}{m}$,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$।
इलेक्ट्रॉन का संवेग $p = mv = m \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{2mE}$ होता है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ होती है।
$p$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।

(B) $V$ विभवांतर से त्वरित $m$ द्रव्यमान वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों समान विभवांतर $V$ से त्वरित होते हैं और दोनों का आवेश $q = e$ समान है,इसलिए तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
इलेक्ट्रॉन के लिए: $\lambda_e = \lambda = \frac{k}{\sqrt{m}}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
प्रोटॉन के लिए: $\lambda_p = \frac{k}{\sqrt{M}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}} = \sqrt{\frac{m}{M}}$.
अतः,$\lambda_p = \lambda \sqrt{\frac{m}{M}}$.

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $K = qV$ गतिज ऊर्जा है।
$\alpha$-कण के लिए,आवेश $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C$ और द्रव्यमान $m = 4m_p = 4 \times 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2e)V}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 4 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times V}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{42.752 \times 10^{-46} \times V}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.538 \times 10^{-23} \sqrt{V}} \ m$
$\lambda \approx \frac{1.014 \times 10^{-11}}{\sqrt{V}} \ m = \frac{0.1014 \times 10^{-10}}{\sqrt{V}} \ m = \frac{0.101}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$.

(B) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार पदार्थ,जैसे कि इलेक्ट्रॉन,कण जैसे गुणों के साथ-साथ तरंग जैसे गुण भी प्रदर्शित करते हैं। इसे तरंग-कण द्वैतता के रूप में जाना जाता है। इसलिए,इस परिकल्पना ने विशेष रूप से इलेक्ट्रॉनों से जुड़ी द्रव्य तरंगों की अवधारणा को प्रस्तुत किया।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
दिए गए मान हैं:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$E = 80 \ eV = 80 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 128 \times 10^{-19} \ J = 1.28 \times 10^{-17} \ J$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.28 \times 10^{-17}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{23.04 \times 10^{-48}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4.8 \times 10^{-24}}$
$\lambda = 1.375 \times 10^{-10} \ m \approx 1.375 \ \mathring{A} \approx 1.4 \ \mathring{A}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।
यह दिया गया है कि सभी कणों के लिए वेग $v$ समान है,इसलिए संबंध $\lambda \propto \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि सबसे कम द्रव्यमान वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अधिकतम होगी।
द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_{\beta} < m_{proton} \approx m_{neutron} < m_{\alpha}$.
चूंकि $\beta$-कण (इलेक्ट्रॉन) का द्रव्यमान दिए गए विकल्पों में सबसे कम है,इसलिए इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अधिकतम होगी।

(B) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,किसी कण का संवेग $p$ उसकी तरंगदैर्घ्य $\lambda$ से $p = \frac{h}{\lambda}$ समीकरण द्वारा संबंधित होता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और फोटॉन दोनों की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ समान है,और $h$ एक सार्वभौमिक नियतांक है,इसलिए उनके संवेग समान होने चाहिए।
अतः,उनके पास समान संवेग है।

(C) किसी कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कण के संवेग $p$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{p}$।

(A) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{m_e v}$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{h}{m_e \lambda}$ प्राप्त होता है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,और $\lambda = 10^{-10} \ m$.
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-10}} \ m/s$.
$v = \frac{6.63}{9.11} \times 10^{-34 + 31 + 10} \ m/s$.
$v \approx 0.7277 \times 10^7 \ m/s = 7.277 \times 10^6 \ m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $7.25 \times 10^6 \ m/s$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
यहाँ,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ (प्लांक नियतांक) है।
हाइड्रोजन अणु $(H_2)$ का द्रव्यमान $m = 2 \times 1.67 \times 10^{-27} \ kg = 3.34 \times 10^{-27} \ kg$ है।
वेग $v = 3 \ km/s = 3 \times 10^3 \ m/s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.34 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^3} \ m$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10.02 \times 10^{-24}} \ m \approx 0.66 \times 10^{-10} \ m$.
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,इसलिए हमें $\lambda = 0.66 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(A) न्यूट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mkT}}$ है,जहाँ $m$ न्यूट्रॉन का द्रव्यमान है,$k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
चूँकि $h$,$m$ और $k$ नियतांक हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$ होगा।
अतः,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
दिया गया है कि $T_1 = 27^oC = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 927^oC = 927 + 273 = 1200 \ K$ है।
मान रखने पर: $\frac{\lambda}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
इस प्रकार,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $E$ गतिज ऊर्जा है।
चूँकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ समान है,इसलिए $\lambda = \text{स्थिरांक}$ है।
सूत्र से हम देख सकते हैं कि $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$,जिसका अर्थ है कि $E \propto \frac{1}{m}$ है।
चूँकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p)$ से बहुत कम होता है,यानी $m_e < m_p$,इसलिए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(E_e)$ प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $(E_p)$ से अधिक होगी।
अतः,$E_e > E_p$।

(B) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग से गतिमान कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mE}$ होता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।
यद्यपि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सभी पदार्थों के लिए मौजूद होती है,लेकिन क्रिकेट की गेंद जैसी स्थूल वस्तुओं के लिए,यह तरंगदैर्ध्य अत्यंत सूक्ष्म ($10^{-34} \ m$ की कोटि की) होती है,जिससे इसे भौतिक रूप से पता लगाना असंभव हो जाता है और व्यावहारिक रूप से यह महत्वहीन है,लेकिन गणितीय अभिव्यक्ति मान्य रहती है।

(A) फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_{Ph}}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\lambda_{Ph} = \frac{hc}{E}$।
गैर-सापेक्षवादी इलेक्ट्रॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $p$ संवेग है। डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{el} = \frac{h}{p}$ है।
ऊर्जा समीकरण से,$p = \sqrt{2mE}$,इसलिए $\lambda_{el} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\lambda_{Ph} = \frac{hc}{E}$
$\lambda_{el} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$
समान ऊर्जा $E$ के लिए,अनुपात $\frac{\lambda_{Ph}}{\lambda_{el}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$ है।
चूंकि $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \ m/s)$ है और $E$ बहुत छोटा $(10^{-20} \ J)$ है,इसलिए $\lambda_{Ph}$ का मान $\lambda_{el}$ से काफी अधिक है।
अतः,$\lambda_{Ph} > \lambda_{el}$ सही है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
$K$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
यहाँ $\lambda = 0.3 \, nm = 0.3 \times 10^{-9} \, m$, $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$, और $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ है।
मान रखने पर: $K = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (0.3 \times 10^{-9})^2}$.
$K = \frac{43.9 \times 10^{-68}}{18.2 \times 10^{-31} \times 0.09 \times 10^{-18}} = \frac{43.9 \times 10^{-68}}{1.638 \times 10^{-48}} \approx 26.8 \times 10^{-20} \, J$.
जूल को $eV$ में बदलने के लिए $1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ से विभाजित करने पर: $K \approx \frac{26.8 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 16.75 \, eV \approx 16.8 \, eV$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $p$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\lambda = \frac{h}{p}$.
संवेग $p$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $p = \frac{h}{\lambda}$.
दिए गए मान हैं: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $\lambda = 2 \mu m = 2 \times 10^{-6} \ m$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-6}} \ kg \cdot m/s$.
$p = 3.315 \times 10^{-28} \ kg \cdot m/s$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1 \ kg$,$v = 2000 \ m/s$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1 \times 2000} = \frac{6.63}{2} \times 10^{-37} \ m = 3.315 \times 10^{-37} \ m$.
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,हम तरंगदैर्ध्य को $\mathring{A}$ में बदलते हैं:
$\lambda = 3.315 \times 10^{-37} \ m = 3.315 \times 10^{-27} \ \mathring{A}$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $3.3 \times 10^{-27} \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
दिया गया है: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $E = 5 \ eV = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 5 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{145.6 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{12.066 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.547 \times 10^{-9} \ m = 5.47 \times 10^{-10} \ m = 5.47 \ \mathring{A}$.

(C) $V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mQV}}$।
यहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,$Q = 1.60 \times 10^{-19} \ C$ और $V = 100 \ V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.60 \times 10^{-19} \times 100}}$
हम जानते हैं कि $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring A$ होता है।
अतः,$V = 100 \ V$ के लिए,$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{100}} = \frac{12.27}{10} = 1.227 \ \mathring A \approx 1.23 \ \mathring A$ प्राप्त होता है।

(C) एक कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{p}$ है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य कण के संवेग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूँकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए $p = \sqrt{2mE}$ होगा।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ है।
यदि गतिज ऊर्जा $E$ बढ़कर $E' = 2E$ हो जाती है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का मान $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(2E)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ होगा।
अतः,$\lambda' = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda$।
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य $1/\sqrt{2}$ के कारक से बदल जाती है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और कण के संवेग $p$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
हम जानते हैं कि $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ होती है।
संवेग के लिए इस समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें $p^2 = 2mE$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $p = \sqrt{2mE}$।
$p$ के इस मान को डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) द्रव्य तरंग (डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य) की तरंगदैर्ध्य को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{p}$ $....(i)$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है,$v$ उसका वेग है और $p$ उसका संवेग है।
समीकरण $(i)$ से यह स्पष्ट है कि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कण के द्रव्यमान,वेग और संवेग पर निर्भर करती है।
यह कण के आवेश पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य है।
$0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$
$\Rightarrow m_1 \vec{v}_1 = -m_2 \vec{v}_2$
परिमाण लेने पर,हमें $m_1 v_1 = m_2 v_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि दोनों कणों के संवेग के परिमाण समान हैं $(p_1 = p_2 = p)$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = h / p$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों कणों के संवेग का परिमाण $p$ समान है,इसलिए उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = h / p$ और $\lambda_2 = h / p$ होगी।
अतः,अनुपात $\lambda_1 / \lambda_2 = (h / p) / (h / p) = 1$ है।

(B) फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E}$।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $E$ इसकी गतिज ऊर्जा है।
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{hc}{E} \cdot \frac{\sqrt{2mE}}{h} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$।
चूँकि $c$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_{rms}}$ है।
गैस के अणु के लिए,रूट मीन स्क्वायर वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ होता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T_H = 27^oC = 300 K$ और $T_{He} = 127^oC = 400 K$ दिया गया है।
द्रव्यमान $m_H = 2$ इकाई और $m_{He} = 4$ इकाई है।
अतः अनुपात $\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{m_{He} T_{He}}{m_H T_H}} = \sqrt{\frac{4 \times 400}{2 \times 300}} = \sqrt{\frac{1600}{600}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$ होगा।

(C) कण की कुल ऊर्जा $E = 2 E_0$ है।
क्षेत्र $0 \le x \le 1$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U_1 = E_0$ है। गतिज ऊर्जा $K_1 = E - U_1 = 2 E_0 - E_0 = E_0$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2m K_1}} = \frac{h}{\sqrt{2m E_0}}$ है।
क्षेत्र $x > 1$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U_2 = 0$ है। गतिज ऊर्जा $K_2 = E - U_2 = 2 E_0 - 0 = 2 E_0$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m K_2}} = \frac{h}{\sqrt{2m(2 E_0)}} = \frac{h}{\sqrt{4m E_0}}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2m E_0}}{h / \sqrt{4m E_0}} = \sqrt{\frac{4m E_0}{2m E_0}} = \sqrt{2}$.

(C) ऊर्जा $E$ वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}} = \frac{h}{\sqrt{2m}} \cdot E^{-1/2}$
दोनों पक्षों का लघुगणक (log) लेने पर:
$\log \lambda = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2m}} \cdot E^{-1/2} \right)$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर:
$\log \lambda = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2m}} \right) + \log (E^{-1/2})$
$\log \lambda = -\frac{1}{2} \log E + \log \left( \frac{h}{\sqrt{2m}} \right)$
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ:
$y = \log \lambda$
$x = \log E$
$m = -1/2$ (ढाल)
$c = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2m}} \right)$ ($y$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड)
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,इसलिए ग्राफ एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) $L$ लंबाई की दो कठोर दीवारों के बीच सीमित इलेक्ट्रॉन के लिए,कण एक स्थिर तरंग की तरह व्यवहार करता है। निम्नतम ऊर्जा अवस्था (ग्राउंड स्टेट) के लिए,लंबाई $L$ आधी तरंग दैर्ध्य के अनुरूप है: $L = \frac{\lambda}{2}$,इसलिए $\lambda = 2L$।
दिया गया है $L = 1.0 \times 10^{-9} \ m$,इसलिए $\lambda = 2 \times 10^{-9} \ m$।
डी ब्रोग्ली संबंध $p = \frac{h}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार है: $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $\lambda = 2 \times 10^{-9} \ m$:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (2 \times 10^{-9})^2}$
$E = \frac{43.96 \times 10^{-68}}{18.2 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{-18}}$
$E = \frac{43.96 \times 10^{-68}}{72.8 \times 10^{-49}} \approx 0.6038 \times 10^{-19} \ J = 6.038 \times 10^{-20} \ J$।
अतः,निकटतम मान $6.0 \times 10^{-20} \ J$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 10 \ pm = 10 \times 10^{-12} \ m$ होनी चाहिए।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र का उपयोग करते हुए: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$, ऊर्जा $E$ के लिए सूत्र:
$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$
मान रखने पर $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$, और $\lambda = 10^{-11} \ m$:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (10^{-11})^2} \ J$
$E \approx 2.41 \times 10^{-15} \ J$
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने के लिए, $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{2.41 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 15062 \ eV \approx 15 \ KeV$.

(C) मान लीजिए कि दो कणों पर आवेश $q_1$ और $q_2$ हैं। दिया गया है कि $q_1 = q_2 = q$ है। दोनों समान विभवांतर $V$ से त्वरित होते हैं।
$q$ आवेश वाले कण द्वारा $V$ विभवांतर से त्वरित होने पर प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
हम जानते हैं कि $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2mqV}$ होगा।
डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
चूंकि $h$,$q$ और $V$ दोनों कणों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ होगा।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mk_BT}}$ है।
यहाँ,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,$k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$ और $T = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times (9.11 \times 10^{-31}) \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 300}}$
$\lambda \approx 6.2 \times 10^{-9} \ m$.
दो इलेक्ट्रॉनों के बीच की औसत दूरी $r = 2 \times 10^{-10} \ m$ है।
अतः,अनुपात $\frac{r}{\lambda} = \frac{2 \times 10^{-10}}{6.2 \times 10^{-9}} \approx 0.03$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\lambda \propto \frac{1}{p}$।
दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में $0.25\%$ का परिवर्तन होता है,इसलिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda + \frac{0.25}{100}\lambda = 1.0025\lambda$ है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य बढ़ती है,इसलिए संवेग कम होना चाहिए। मान लीजिए नया संवेग $p' = p - p_0$ है।
संबंध $\lambda' = \frac{h}{p'}$ का उपयोग करते हुए,हमें $1.0025\lambda = \frac{h}{p - p_0}$ प्राप्त होता है।
इसे $\lambda = \frac{h}{p}$ से विभाजित करने पर,$1.0025 = \frac{p}{p - p_0}$ प्राप्त होता है।
$1.0025(p - p_0) = p$।
$1.0025p - 1.0025p_0 = p$।
$0.0025p = 1.0025p_0$।
$p = \frac{1.0025}{0.0025}p_0 = 401\ p_0$।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mk_BT}}$
यहाँ दिए गए मान हैं:
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$
बोल्ट्जमैन नियतांक,$k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$
तापमान,$T = 27 + 273 = 300 \ K$
प्लांक नियतांक,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times (9.11 \times 10^{-31}) \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 300}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{11293.62 \times 10^{-54}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.0627 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 6.24 \times 10^{-9} \ m$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $m_p = m$, $q_p = e$.
$\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए: $m_{\alpha} = 4m$, $q_{\alpha} = 2e$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \frac{h / \sqrt{2m_p q_p V}}{h / \sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}}$.
मान रखने पर:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
अतः, अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
चूंकि सभी कणों के लिए वेग $v$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{m}$ होगा।
इसका अर्थ है कि जिस कण का द्रव्यमान सबसे कम होगा,उसकी डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अधिकतम होगी।
दिए गए कणों के द्रव्यमान का क्रम इस प्रकार है: $m_{\alpha} > m_n \approx m_p > m_{\beta}$।
चूंकि $\beta$-कण (इलेक्ट्रॉन) का द्रव्यमान दिए गए विकल्पों में सबसे कम है,इसलिए इसकी डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अधिकतम होगी।

(C) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,प्रत्येक गतिमान कण,चाहे वह सूक्ष्म (जैसे इलेक्ट्रॉन) हो या स्थूल (जैसे गेंद),एक तरंग से जुड़ा होता है जिसे द्रव्य तरंग या डी ब्रोग्ली तरंग कहा जाता है।
$1$. कथन $A$ सही है: डी ब्रोग्ली तरंगें कण के पाए जाने की प्रायिकता को दर्शाती हैं और ये ध्वनि या पानी की तरंगों की तरह भौतिक तरंगें नहीं हैं।
$2$. कथन $B$ सही है: डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = h/p$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ संवेग है। अतः,$\lambda \propto 1/p$.
$3$. कथन $C$ गलत है: तरंग प्रकृति सभी कणों के साथ जुड़ी होती है,चाहे उनका आकार कुछ भी हो। हालाँकि,स्थूल वस्तुओं के लिए तरंगदैर्ध्य इतनी छोटी होती है कि उसे मापा नहीं जा सकता।
$4$. कथन $D$ सही है: प्लांक नियतांक $h$ का मान अत्यंत कम होने के कारण,स्थूल वस्तुओं की तरंगदैर्ध्य नगण्य होती है,जिससे दैनिक जीवन में तरंग प्रकृति दिखाई नहीं देती है।
अतः,गलत कथन $C$ है।

(A) $T$ तापमान पर न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2}kT = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,संवेग $p = \sqrt{3mkT}$ होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
यहाँ $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \ K$ और $T_2 = 927^{\circ}C = 1200 \ K$ है।
इसलिए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{300}{1200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
अवकलन करने पर, $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{h}{p}$ से भाग देने पर, $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$ प्राप्त होता है।
परिमाण लेने पर, $\frac{|d\lambda|}{\lambda} = \frac{|dp|}{p}$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{|d\lambda|}{\lambda} \times 100 = 0.50\ \%$, इसलिए $\frac{|d\lambda|}{\lambda} = \frac{0.50}{100} = \frac{1}{200}$ है।
संवेग में परिवर्तन $|dp| = P_m$ दिया गया है, अतः $\frac{P_m}{p} = \frac{1}{200}$ होगा।
इसलिए, प्रारंभिक संवेग $p = 200\ P_m$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
द्रव्यमान $m$ और गतिज ऊर्जा $E$ वाले कण के लिए,संवेग $p = \sqrt{2mE}$ होता है,इसलिए $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ होता है।
ऊर्जा के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ होती है।
इन दोनों की तुलना करने पर,चूंकि यूरेनियम नाभिक का द्रव्यमान $m$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान से बहुत अधिक है और फोटॉन की ऊर्जा $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती ($\lambda^2$ के बजाय) है,इसलिए दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए फोटॉन की ऊर्जा सबसे अधिक होती है।

(A) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ कण का संवेग है।
जब कोई कण सापेक्षवादी गति $(v \approx c)$ से चल रहा हो,तो उसका द्रव्यमान $m$ सापेक्षवादी द्रव्यमान सूत्र द्वारा दिया जाता है: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$,जहाँ $m_0$ विराम द्रव्यमान है।
संवेग $p$ को $p = m \cdot v$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सापेक्षवादी द्रव्यमान के व्यंजक को संवेग सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.
अंत में,इसे डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\lambda = \frac{h}{m_0 v / \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{v}$ है।
इसका अर्थ है कि डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य इलेक्ट्रॉन के वेग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,यदि इलेक्ट्रॉन का वेग $v$ बढ़ता है,तो डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घट जाएगी।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
चूंकि $h$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{v}$ होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v_1 = v$ और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है।
जब वेग को दोगुना किया जाता है,तो नया वेग $v_2 = 2v$ हो जाता है।
अतः नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{m(2v)} = \frac{1}{2} \left( \frac{h}{mv} \right) = \frac{\lambda}{2}$ होगी।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = \lambda - \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{2}$ है।
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य में $\frac{\lambda}{2}$ की कमी होती है।