Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Hindi

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ किसी कण के संवेग $p$ से $\lambda = \frac{h}{p}$ समीकरण द्वारा संबंधित है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और फोटॉन दोनों के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ समान है,इसलिए उनका संवेग $p$ भी समान होना चाहिए।
अतः,उनके पास समान संवेग होगा।

(A) $K$ गतिज ऊर्जा वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$
जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है और $h$ प्लांक नियतांक है।
मान लीजिए कि जब गतिज ऊर्जा $K' = \frac{K}{4}$ हो जाती है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है।
सूत्र में $K'$ का मान रखने पर:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mK'}} = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{K}{4})}}$
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mK}{4}}} = \frac{h}{\frac{1}{2}\sqrt{2mK}}$
$\lambda' = 2 \times \frac{h}{\sqrt{2mK}}$
चूंकि $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\lambda' = 2\lambda$.

(B) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित करने पर उसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$
$\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए: $\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}$
चूंकि $m_{\alpha} = 4m_p$ और $q_{\alpha} = 2q_p$ है:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m_p \times 2q_p}{m_p \times q_p}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
अतः, उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात $2\sqrt{2}$ है।

(D) $ V $ विभवांतर द्वारा त्वरित एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \,nm$
यहाँ दिया गया है,$V = 400 \,V$.
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{400}} \,nm$
$\lambda = \frac{1.227}{20} \,nm$
$\lambda = 0.06135 \,nm$
निकटतम मान लेने पर,हमें $\lambda \approx 0.06 \,nm$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E_{k}}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $h$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E_{k}}}$ है।
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_{k1} = E$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $E_{k2}$ है।
दिया गया है कि $\lambda_1 = 1 \ nm$ और $\lambda_2 = 0.5 \ nm$,इसलिए $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{0.5} = 2$ है।
संबंध $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}}$ का उपयोग करने पर,$2 = \sqrt{\frac{E_{k2}}{E}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{E_{k2}}{E} = 4$,इसलिए $E_{k2} = 4E$ है।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_{k2} - E_{k1} = 4E - E = 3E$ है।
अतः,अतिरिक्त ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $3$ गुना है।

(B) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण की गतिज ऊर्जा $K = qV$ द्वारा दी जाती है।
कण का संवेग $p$,गतिज ऊर्जा से $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2mqV}$ के रूप में संबंधित है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ होता है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। अल्फा कण के लिए,$m_{\alpha} = 4m$ और $q_{\alpha} = 2e$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8}$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ गति है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_{e} = \frac{h}{m_{e}v}$ है।
प्रोटॉन के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_{p} = \frac{h}{m_{p}v}$ है।
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{h / m_{e}v}{h / m_{p}v} = \frac{m_{p}}{m_{e}}$.
यह दिया गया है कि प्रोटॉन का द्रव्यमान $m_{p} \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ और इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_{e} \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg$ है,इसलिए अनुपात:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{9.11 \times 10^{-31}} \approx 1833 \approx 1836$ (मानक द्रव्यमान अनुपात का उपयोग करते हुए)।
अतः,अनुपात $\lambda_{e} / \lambda_{p} = 1836$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$।
मान लीजिए कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K' = 3K$ है।
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(3K)}} = \frac{h}{\sqrt{3} \sqrt{2mK}}$ है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $1/\sqrt{3}$ के कारक से बदल जाएगी।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$,जहाँ $K = qV$ गतिज ऊर्जा है।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $V = 1000 \ V$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-43}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.31 \times 10^{-22}} \approx 0.9 \times 10^{-12} \ m$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $v$ इसकी चाल है।
जब एक इलेक्ट्रॉन एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में क्षेत्र के लंबवत वेग $\vec{V}$ के साथ गति करता है,तो यह चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$ का अनुभव करता है।
यह बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन एक वृत्ताकार पथ में गति करता है।
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह इलेक्ट्रॉन पर कोई कार्य नहीं करता है $(W = \vec{F} \cdot d\vec{s} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और परिणामस्वरूप इसकी चाल $v$ इसकी गति के दौरान स्थिर रहती है।
चूंकि $h$,$m$,और $v$ सभी स्थिर हैं,इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ स्थिर रहती है।

(B) $ V $ वोल्ट के विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \text{Å}$
यहाँ दिया गया है कि विभवांतर $V = 100 \ V$ है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{100}}$
$\lambda = \frac{12.27}{10}$
$\lambda = 1.227 \ \text{Å}$
अतः,इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $1.227 \ \text{Å}$ है।

(C) दिया गया है, इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = 120 eV$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ त्वरित विभव $V$ (जहाँ $K = eV$) से इस प्रकार संबंधित है:
$\lambda = \frac{1.227 \text{ nm}}{\sqrt{V}}$
$V = 120 V$ रखने पर:
$\lambda = \frac{1.227 \times 10^{-9} \text{ m}}{\sqrt{120}}$
$\lambda = \frac{1.227 \times 10^{-9}}{10.954}$
$\lambda \approx 0.112 \times 10^{-9} \text{ m}$
$\lambda = 112 \times 10^{-12} \text{ m} = 112 \text{ pm}$.

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
अवकलन करने पर,हमें $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें भिन्नात्मक परिवर्तन मिलता है: $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$.
यह दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन का परिमाण $0.25 \%$ है,इसलिए $\left| \frac{d\lambda}{\lambda} \right| = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$.
चूंकि $\left| \frac{d\lambda}{\lambda} \right| = \frac{dp}{p}$,इसलिए $\frac{p_0}{p} = \frac{1}{400}$.
अतः,प्रारंभिक रैखिक संवेग $p = 400 p_0$ है।

(D) माना पहले कण का द्रव्यमान $m_1 = 8 \mu g$ और दूसरे कण का द्रव्यमान $m_2 = 4 \mu g$ है। माना $m_1$ का प्रारंभिक वेग $u_1$ है और $m_2$ का वेग $u_2 = 0$ है। पूर्णतः प्रत्यास्थ एकविमीय टक्कर के बाद, अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार हैं:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{8 - 4}{8 + 4} u_1 = \frac{4}{12} u_1 = \frac{1}{3} u_1$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{2(8)}{8 + 4} u_1 = \frac{16}{12} u_1 = \frac{4}{3} u_1$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h/m_1v_1}{h/m_2v_2} = \frac{m_2v_2}{m_1v_1}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{4 \times (4/3)u_1}{8 \times (1/3)u_1} = \frac{16/3}{8/3} = \frac{16}{8} = 2 : 1$.

(C) $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण को $V$ विभवांतर से त्वरित करने पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ होती है।
चूंकि $h$ और $V$ दोनों कणों के लिए नियत हैं, इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: द्रव्यमान $m_p = m$, आवेश $q_p = e$।
अल्फा कण $(\alpha)$ के लिए: द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m$, आवेश $q_{\alpha} = 2e$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m \cdot 2e}{m \cdot e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
अतः, अनुपात $\lambda_p : \lambda_{\alpha} = 2\sqrt{2} : 1$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$।
$K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
दिए गए मान: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,और $\lambda = 2 \ nm = 2 \times 10^{-9} \ m$।
$K = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (9 \times 10^{-31}) \times (2 \times 10^{-9})^2}$।
$K = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{18 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{-18}} = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{72 \times 10^{-49}} \approx 0.605 \times 10^{-19} \ J$।
जूल को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करें:
$K = \frac{0.605 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.378 \ eV$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $0.38 \ eV$ प्राप्त होता है।

(D) $T$ तापमान पर तापीय न्यूट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ न्यूट्रॉन का द्रव्यमान है और $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
दिए गए तापमान $T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ और $T_2 = 352^{\circ} C = 352 + 273 = 625 \ K$ हैं।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ है।
मान रखने पर,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{625}{400}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
अतः,अनुपात $5: 4$ है।

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} Å$।
यहाँ,$V = \frac{200}{3} \,V \approx 66.67 \,V$ दिया गया है।
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{66.67}} Å$।
चूंकि $\sqrt{66.67} \approx 8.16$ होता है,इसलिए:
$\lambda \approx \frac{12.27}{8.16} Å \approx 1.503 Å$।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य लगभग $1.5 Å$ है।

(A) प्रारंभिक वेग $\vec{v_1} = v_0 \hat{i}$,विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -E_0 \hat{i}$,प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F} = q\vec{E} = -e(-E_0 \hat{i}) = e E_0 \hat{i}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \left(\frac{e E_0}{m}\right) \hat{i}$ है।
$t$ समय के बाद वेग $\vec{v_2} = \vec{v_1} + \vec{a} t = v_0 \hat{i} + \left(\frac{e E_0 t}{m}\right) \hat{i} = \left(v_0 + \frac{e E_0 t}{m}\right) \hat{i}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{v}$ है।
इसलिए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{v_0}{v_0 + \frac{e E_0 t}{m}} = \frac{v_0}{v_0(1 + \frac{e E_0 t}{m v_0})} = \frac{1}{1 + \frac{e E_0 t}{m v_0}}$ है।
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{1 + \frac{e E_0 t}{m v_0}}$।

(B) माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2$ है। दिया गया है कि गतिज ऊर्जा में $36 \%$ की कमी होती है,इसलिए:
$K_2 = K_1 - 0.36 K_1 = 0.64 K_1$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}} \Rightarrow \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
अतः,अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ का अनुपात है:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{0.64 K_1}} = \sqrt{\frac{1}{0.64}} = \frac{1}{0.8} = 1.25$.
इसका अर्थ है $\lambda_2 = 1.25 \lambda_1$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य में प्रतिशत वृद्धि है:
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_1} \times 100 = \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = (1.25 - 1) \times 100 = 25 \%$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{mv}$.
दिया गया है: $v_{A} = 3 v_{p}$ और $\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{p}} = \frac{3}{2}$.
संबंध $\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{p}} = \frac{m_{p} v_{p}}{m_{A} v_{A}}$ का उपयोग करते हुए,हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{3}{2} = \frac{m_{p} v_{p}}{m_{A} (3 v_{p})}$.
अंश और हर से $v_{p}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3}{2} = \frac{m_{p}}{3 m_{A}}$.
$m_{A}$ के लिए हल करने पर:
$m_{A} = \frac{2}{9} m_{p}$.

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित एक आवेशित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
चूंकि विभवांतर को $21 \%$ बढ़ाया गया है,नया विभवांतर $V^{\prime}$ होगा:
$V^{\prime} = V + 0.21V = 1.21V$
माना कि नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda^{\prime}$ है। तब:
$\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda} = \sqrt{\frac{V}{V^{\prime}}} = \sqrt{\frac{V}{1.21V}} = \sqrt{\frac{1}{1.21}} = \frac{1}{1.1} = \frac{10}{11}$
अतः,$\lambda^{\prime} = \frac{10}{11} \lambda$.

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{P}$ होता है।
चूंकि संवेग $P = \sqrt{2m(K.E.)}$ है, इसलिए हम लिख सकते हैं $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर और गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ के लिए सूत्र प्राप्त करने पर, $K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ मिलता है।
यहाँ $h = 6.6 \times 10^{-34} \,J \cdot s$, $m = 2 \times 10^{-27} \,kg$, और $\lambda = 3.3 \times 10^{-10} \,m$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K.E. = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (2 \times 10^{-27}) \times (3.3 \times 10^{-10})^2}$
$K.E. = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{4 \times 10^{-27} \times 10.89 \times 10^{-20}}$
$K.E. = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{43.56 \times 10^{-47}}$
$K.E. = 1 \times 10^{-21} \,J$.

(D) $\text{डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य}$ $\lambda = h / p$ द्वारा दी जाती है।
$\text{कण का संवेग}$ $p = h / \lambda = (6.6 \times 10^{-34}) / (660 \times 10^{-9}) = 1 \times 10^{-27} \,kg \cdot m/s$ है।
$\text{संवेग}$ $p$ $\text{और द्रव्यमान}$ $m$ $\text{के पदों में गतिज ऊर्जा}$ $K = p^2 / (2m)$ $\text{होती है।}$
$\text{मान रखने पर:}$ $K = (1 \times 10^{-27})^2 / (2 \times 1 \times 10^{-30}) = (1 \times 10^{-54}) / (2 \times 10^{-30}) = 0.5 \times 10^{-24} \,J$।
$\text{इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट}$ $(eV)$ $\text{में बदलने के लिए,}$ $1.6 \times 10^{-19} \,J/eV$ $\text{से विभाजित करने पर:}$
$K = (0.5 \times 10^{-24}) / (1.6 \times 10^{-19}) \,eV = 0.3125 \times 10^{-5} \,eV = 3.125 \times 10^{-6} \,eV$।
$\text{दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें}$ $K \approx 3.1 \times 10^{-6} \,eV$ $\text{प्राप्त होता है।}$

(B) $\text{m}$ द्रव्यमान और $\text{e}$ आवेश वाले प्रोटॉन द्वारा $\text{V}$ विभव के तहत प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = eV$ होती है।
चूंकि $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2meV}$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ है।
मान रखने पर: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $V = 100 \ V$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 100}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-44}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.3117 \times 10^{-22}} \approx 2.866 \times 10^{-12} \ m = 2.86 \ pm$.

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
प्रारंभ में,वेग $v_0 \hat{i}$ है,इसलिए प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{h}{mv_0}$ है।
विद्युत क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर बल $F = eE_0 \hat{j}$ है।
त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{eE_0}{m} \hat{j}$ है।
$t$ समय पर इलेक्ट्रॉन का वेग $v = v_0 \hat{i} + \frac{eE_0 t}{m} \hat{j}$ होगा।
वेग का परिमाण $|v| = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{eE_0 t}{m}\right)^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ है।
$t$ समय पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{m|v|} = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ है।
$\lambda_0 = \frac{h}{mv_0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ प्राप्त होता है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
इससे,संवेग $p = mv = qRB$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{qRB}$ द्वारा दी जाती है।
$\alpha$-कण के लिए,आवेश $q = +2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
यहाँ $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ और $B = 0.125 \ T$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.125 \times 10^{-2}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.4 \times 10^{-21}}$
$\lambda = 1.65 \times 10^{-12} \ m$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m E}} = \frac{h}{\sqrt{2 m q V}}$।
चूंकि दोनों कण समान विभव $V$ द्वारा विरामावस्था से त्वरित होते हैं,इसलिए उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात होगा:
$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{p}} = \frac{h / \sqrt{2 m_{\alpha} q_{\alpha} V}}{h / \sqrt{2 m_{p} q_{p} V}} = \sqrt{\frac{m_{p} q_{p}}{m_{\alpha} q_{\alpha}}}$।
हम जानते हैं कि $\alpha$-कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का $4$ गुना $(m_{\alpha} = 4 m_{p})$ होता है और $\alpha$-कण का आवेश प्रोटॉन के आवेश का $2$ गुना $(q_{\alpha} = 2 q_{p})$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{p}} = \sqrt{\frac{m_{p} q_{p}}{(4 m_{p})(2 q_{p})}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$।
अतः,अनुपात $1 : 2 \sqrt{2}$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ संवेग है।
विरामावस्था से $V$ विभव द्वारा त्वरित $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण के लिए संवेग $p = \sqrt{2mqV}$ होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
$\alpha$-कण के लिए,$m_\alpha = 4m_p$ और $q_\alpha = 2e$ है। प्रोटॉन के लिए,$m_p = m_p$ और $q_p = e$ है।
उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} = \frac{\sqrt{2m_p q_p V}}{\sqrt{2m_\alpha q_\alpha V}} = \sqrt{\frac{m_p q_p}{m_\alpha q_\alpha}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p \times e}{4m_p \times 2e}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $1: 2\sqrt{2}$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
निरोधी विभव $V_s$ और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध $K = eV_s$ है,इसलिए $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV_s}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV_s}$,जिसका अर्थ है कि $V_s \propto \frac{1}{m\lambda^2}$।
दिया गया है कि $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = 2$,इसलिए $\frac{V_{s,p}}{V_{s,e}} = \frac{m_e}{m_p} \times \left( \frac{\lambda_e}{\lambda_p} \right)^2$।
द्रव्यमान अनुपात $\frac{m_e}{m_p} \approx \frac{1}{1836}$ और $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{V_{s,p}}{V_{s,e}} = \frac{1}{1836} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{7344}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दिए गए विकल्पों में सटीक उत्तर नहीं है,द्रव्यमान अनुपात के आधार पर सबसे निकटतम तार्किक उत्तर $1: 1836$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
अवकलन करने पर,हमें $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,$\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में $5 \%$ का परिवर्तन होता है,इसलिए $\frac{d\lambda}{\lambda} = -0.05$ (क्योंकि संवेग बढ़ने पर तरंगदैर्ध्य घटती है)।
अतः,$\frac{dp}{p} = 0.05$,जहाँ $dp = P$ है।
इसलिए,$\frac{P}{p} = 0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$।
अतः,प्रारंभिक संवेग $p = 20 P$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2 m_e K_e}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K_e$ इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda_e^2 = \frac{h^2}{2 m_e K_e}$,जिसका अर्थ है $K_e = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$।
फोटॉन की ऊर्जा $K_p = \frac{hc}{\lambda_p}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\lambda_e = \lambda_p = \lambda = 1.2 \ \text{Å} = 1.2 \times 10^{-10} \ \text{m}$।
उनकी ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_e}{K_p} = \frac{h^2 / (2 m_e \lambda^2)}{hc / \lambda} = \frac{h}{2 m_e c \lambda}$ है।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ \text{J} \cdot \text{s}$,$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ \text{kg}$,$c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$,और $\lambda = 1.2 \times 10^{-10} \ \text{m}$।
$\frac{K_e}{K_p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8 \times 1.2 \times 10^{-10}} \approx \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.56 \times 10^{-31}} \approx 0.01 = \frac{1}{100}$।
अतः,$K_e : K_p$ का अनुपात $1 : 100$ है।

(B) तापमान $T$ पर गैस के अणु की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ अणु का द्रव्यमान है,$k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,$m_1 = 2u$ और $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ है।
हीलियम $(He)$ के लिए,$m_2 = 4u$ और $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$ है।
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2 T_2}{m_1 T_1}} = \sqrt{\frac{4 \times 400}{2 \times 300}} = \sqrt{\frac{1600}{600}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,अनुपात $2\sqrt{2}:\sqrt{3}$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ कण का वेग है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों समान वेग $v$ से गति कर रहे हैं,इसलिए तरंगदैर्ध्य कण के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto \frac{1}{m}$।
अतः,इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_e)$ और प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_p)$ का अनुपात $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{m_p}{m_e}$ होगा।
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $m_p : m_e$ है।

(D) इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ है।
फोटॉन के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E_p}$ है,जहाँ $E_p$ फोटॉन की ऊर्जा है।
दिया गया है कि $\lambda_e = \lambda_p$,इसलिए $\frac{h}{mv} = \frac{hc}{E_p}$,जिसका अर्थ है $E_p = mvc$।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_e = \frac{1}{2}mv^2$ है।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और फोटॉन की ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mvc} = \frac{v}{2c}$ है।
दिए गए मानों $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4}$।

(B) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e$ का सूत्र $\lambda_e = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E_k$ और संवेग के बीच संबंध $E_k = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2m E_k}$.
अतः,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m E_k}}$.
यहाँ कार्य फलन को नगण्य मानने पर,आपतित फोटॉन की संपूर्ण ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $E_k = E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$.
$E_k$ का मान डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m \left(\frac{hc}{\lambda}\right)}}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\lambda_e = \sqrt{\frac{h^2}{2m \frac{hc}{\lambda}}} = \sqrt{\frac{h^2 \lambda}{2mhc}} = \sqrt{\frac{h \lambda}{2mc}}$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है,$q$ आवेश है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
इससे,संवेग $p = mv = qBr$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{qBr}$ द्वारा दी जाती है।
अल्फा कण के लिए,आवेश $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 3.2 \times 10^{-19} \ C$ है।
दिया गया है: $r = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$,$B = 2 \times 10^{-2} \ T$,और $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(3.2 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-2}) \times (0.5 \times 10^{-3})}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.2 \times 10^{-24}} \approx 2.07 \times 10^{-10} \ m$ है।
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$ होता है,इसलिए $\lambda \approx 2.1 \ \mathring{A}$ है।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$।
सरल संबंध का उपयोग करने पर: $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{V}} \text{ Å}$।
यहाँ $\lambda = 0.50 \text{ Å}$ दिया गया है, इसलिए:
$0.50 = \frac{12.27}{\sqrt{V}}$
$\sqrt{V} = \frac{12.27}{0.50} = 24.54$
$V = (24.54)^2 \approx 602.2 \text{ V}$।
अतः, आवश्यक वोल्टेज लगभग $602 \text{ V}$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी डी ब्रोग्ली द्वारा प्रस्तावित इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति के सिद्धांत पर कार्य करता है। डी ब्रोग्ली की परिकल्पना के अनुसार,गतिमान इलेक्ट्रॉनों के साथ $\lambda = \frac{h}{p}$ तरंगदैर्ध्य की एक तरंग जुड़ी होती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है। चूंकि इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तुलना में बहुत छोटी होती है,इसलिए इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी ऑप्टिकल सूक्ष्मदर्शी की तुलना में बहुत अधिक विभेदन क्षमता (resolution) प्राप्त कर सकते हैं।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ सामग्री का कार्य फलन है।
दिया गया है $E = 4.5 \ eV$ और $\Phi = 3 \ eV$,इसलिए $K_{max} = 4.5 \ eV - 3 \ eV = 1.5 \ eV$ है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $K_{max} = 1.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 2.4 \times 10^{-19} \ J$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK_{max}}}$ है,जहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2.4 \times 10^{-19}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{43.68 \times 10^{-50}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.61 \times 10^{-25}} \approx 1.0 \times 10^{-9} \ m$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 \ Å = 10^{-10} \ m$ होता है,इसलिए $\lambda \approx 10 \ Å$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p = \sqrt{2mK}$ और $K$ गतिज ऊर्जा है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$,जिसका अर्थ है $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
दिया गया है: $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J s}$,$m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$,और $\lambda = 6600 \times 10^{-10} \text{ m} = 6.6 \times 10^{-7} \text{ m}$।
मान रखने पर:
$K = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9 \times 10^{-31} \times (6.6 \times 10^{-7})^2}$
$K = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{18 \times 10^{-31} \times 6.6^2 \times 10^{-14}}$
$K = \frac{10^{-68}}{18 \times 10^{-45}} = \frac{1}{18} \times 10^{-23} \approx 0.0556 \times 10^{-23} \text{ J} = 5.56 \times 10^{-25} \text{ J}$।
चूंकि किया गया कार्य प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होता है,इसलिए किया गया कार्य $5.56 \times 10^{-25} \text{ J}$ है।

(A) तापमान $T$ पर न्यूट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mKT}}$ है।
इससे यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 77^{\circ}C = 77 + 273 = 350 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_f = 1127^{\circ}C = 1127 + 273 = 1400 \ K$ है।
समानुपातिकता $\frac{\lambda_f}{\lambda_i} = \sqrt{\frac{T_i}{T_f}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\lambda_f}{\lambda} = \sqrt{\frac{350}{1400}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_f = \frac{\lambda}{2}$ होगी।

(A) किसी कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
इससे हमें प्राप्त होता है $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mK}}$,जिसका अर्थ है $K \propto \frac{1}{m\lambda^2}$।
दिया गया है कि $\lambda_p = 2\lambda_\alpha$ और अल्फा कण का द्रव्यमान $m_\alpha \approx 4m_p$ है:
$\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p} \times \left( \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} \right)^2$
मान रखने पर:
$\frac{K_p}{K_\alpha} = \left( \frac{4m_p}{m_p} \right) \times \left( \frac{\lambda_\alpha}{2\lambda_\alpha} \right)^2$
$\frac{K_p}{K_\alpha} = 4 \times \frac{1}{4} = 1$
अतः,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $1: 1$ है।

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A} = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{\sqrt{V}} \ \text{m}$.
यहाँ $V = 900 \ V$ दिया गया है।
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{\sqrt{900}} \ \text{m}$.
$\lambda = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{30} \ \text{m}$.
$\lambda = 0.409 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
$\lambda \approx 0.04 \times 10^{-9} \ \text{m} = 0.04 \ \text{nm}$.

(B) $K$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$,या $K \propto \frac{1}{\lambda^2}$।
मान लीजिए $\lambda_1 = 1 \ nm$ के अनुरूप प्रारंभिक ऊर्जा $K_1$ है।
मान लीजिए $\lambda_2 = 0.5 \ nm$ के अनुरूप अंतिम ऊर्जा $K_2$ है।
अतः,$\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^2 = \left( \frac{1 \ nm}{0.5 \ nm} \right)^2 = (2)^2 = 4$।
इस प्रकार,$K_2 = 4K_1$।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta K = K_2 - K_1 = 4K_1 - K_1 = 3K_1$ है।
अतः,अतिरिक्त ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा की तीन गुना है।

(B) $V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
दिया गया है:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$V = 121 \ V$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 121}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{3484.8 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{59.03 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.1118 \times 10^{-9} \ m = 0.112 \ nm$
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
चूंकि $\lambda \propto \frac{1}{mv}$,जिस कण का संवेग $(mv)$ सबसे कम होगा,उसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होगी।
प्रत्येक स्थिति के लिए संवेग $(p = mv)$ की गणना:
$A$: $p = 0.02 \ kg \times 1000 \ m/s = 20 \ kg \cdot m/s$
$B$: $p = 0.06 \ kg \times 10 \ m/s = 0.6 \ kg \cdot m/s$
$C$: $p = 0.01 \ kg \times 100 \ m/s = 1 \ kg \cdot m/s$
$D$: $p = 0.03 \ kg \times 1 \ m/s = 0.03 \ kg \cdot m/s$
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $D$ में संवेग सबसे कम $(0.03 \ kg \cdot m/s)$ है।
अतः,विकल्प $D$ वाली गेंद की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $E$ गतिज ऊर्जा वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$
दूसरे कण के लिए,द्रव्यमान $m' = 2m$ और ऊर्जा $E' = 2E$ है। दी गई गतिज ऊर्जा वाले कण के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में आवेश $q$ का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
नए मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m'E'}}$
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2(2m)(2E)}}$
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{8mE}}$
$\lambda' = \frac{h}{2\sqrt{2mE}}$
चूंकि $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\lambda' = \frac{\lambda}{2}$

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 8.0 \times 10^{-31} \ kg$, आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$, गतिज ऊर्जा $KE = 3 \ keV = 3 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 4.8 \times 10^{-16} \ J$, और प्लांक नियतांक $h = 6.4 \times 10^{-34} \ Js$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
संवेग $p = \sqrt{2m(KE)}$ होने के कारण, $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.4 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 8.0 \times 10^{-31} \times 4.8 \times 10^{-16}}} \approx 0.4 \ \text{Å}$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार)।
अतः, सही विकल्प $A$ है।