Davisson-Germer Experiment and Heisenberg Uncertainty Principle Questions in Hindi

(D) डेविसन और जर्मर के प्रयोग ने पदार्थ,विशेष रूप से इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति के लिए पहला प्रायोगिक प्रमाण प्रदान किया। निकल क्रिस्टल से इलेक्ट्रॉनों के विवर्तन का अवलोकन करके,उन्होंने डी-ब्रोग्ली परिकल्पना की पुष्टि की,जो यह बताती है कि इलेक्ट्रॉन जैसे कण तरंग जैसी विशेषताएं प्रदर्शित करते हैं। इसलिए,सही उत्तर $(d)$ है।

(C) डेविसन-जर्मर प्रयोग पहला ऐसा प्रयोग था जिसने डी-ब्रोग्ली द्वारा प्रस्तावित पदार्थ की तरंग प्रकृति के लिए प्रायोगिक प्रमाण प्रदान किया।
इस प्रयोग में,इलेक्ट्रॉनों के एक पुंज को विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है और निकल $(Ni)$ क्रिस्टल पर निर्देशित किया जाता है।
इलेक्ट्रॉन क्रिस्टल जालक से प्रकीर्णित होते हैं,और प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉनों की तीव्रता को अलग-अलग कोणों पर मापा जाता है।
अवलोकित विवर्तन पैटर्न यह पुष्टि करता है कि इलेक्ट्रॉन तरंगों के रूप में व्यवहार करते हैं,जो प्रकाश या $X$-किरणों के समान व्यतिकरण और विवर्तन की घटनाएं प्रदर्शित करते हैं।
इसलिए,इस प्रयोग में जिन तरंगों का विवर्तन होता है,वे इलेक्ट्रॉन तरंगें हैं।

(A) विवर्तन के लिए ब्रैग के नियम के अनुसार,प्रथम उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है।
प्रथम उच्चिष्ठ के लिए,$n = 1$ रखने पर,$d \sin \theta = \lambda$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 1.5 \ \mathring{A}$ और परमाणु अंतराल $d = 3 \ \mathring{A}$।
मान रखने पर: $3 \sin \theta = 1.5$।
अतः,$\sin \theta = \frac{1.5}{3} = 0.5$।
इस प्रकार,$\theta = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$।

(B) डेविसन-जर्मर प्रयोग में,इलेक्ट्रॉन पुंज को निकल क्रिस्टल पर आपतित किया जाता है। क्रिस्टल जालक में मौजूद परमाणु प्रकीर्णन केंद्रों के रूप में कार्य करते हैं और क्रिस्टल की संरचना आपतित इलेक्ट्रॉन तरंगों के लिए एक त्रि-आयामी विवर्तन ग्रेटिंग के रूप में व्यवहार करती है,जो पदार्थ की तरंग प्रकृति की पुष्टि करती है।

(B) $60 \ eV$ ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{E}} \mathring A = \frac{12.27}{\sqrt{60}} \approx 1.58 \mathring A$ द्वारा दी जाती है।
डेविसन-जर्मर प्रयोग में,प्रकीर्णन कोण $\phi$ आपतित और प्रकीर्णित पुंज के बीच का कोण है। ग्लेंसिंग कोण $\theta$ का $\phi$ के साथ संबंध $\theta = 90^\circ - \frac{\phi}{2}$ है।
यहाँ $\phi = 50^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\theta = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ प्राप्त होता है।
विवर्तन के लिए ब्रैग के नियम का उपयोग करते हुए,$2d \sin \theta = n\lambda$। प्रथम क्रम $(n=1)$ के लिए,$d = \frac{\lambda}{2 \sin \theta}$।
मान रखने पर: $d = \frac{1.58}{2 \sin 65^\circ} = \frac{1.58}{2 \times 0.906} \approx 0.87 \mathring A$।
नोट: इस प्रयोग के लिए मानक पाठ्यपुस्तक मानों के अनुसार जहाँ $\phi = 50^\circ$ और $E = 54 \ eV$ होता है,दूरी $d$ लगभग $0.91 \mathring A$ होती है। दिए गए विकल्पों में से $0.9 \mathring A$ सही विकल्प है।

(B) विवर्तन के लिए ब्रैग का नियम $2d \sin \theta = n\lambda$ है,जहाँ $\theta$ ग्लेंसिंग कोण (सतह के साथ कोण) है।
दी गई ज्यामिति के अनुसार,आपतन कोण $i$ क्रिस्टल तल के अभिलंब के साथ मापा जाता है। इसलिए,ग्लेंसिंग कोण $\theta = 90^\circ - i = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ है।
प्रथम कोटि के विवर्तन $(n = 1)$ के लिए,$2d \sin(60^\circ) = \lambda$ प्राप्त होता है।
$d = 1 \ \mathring{A}$ रखने पर,$\lambda = 2 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \ \mathring{A} \approx 1.732 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।
$V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \sqrt{\frac{150}{V}} \ \mathring{A}$ है।
दोनों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} = \sqrt{\frac{150}{V}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3 = \frac{150}{V}$.
अतः,$V = \frac{150}{3} = 50 \ V$.

(B) विवर्तन के लिए ब्रैग का नियम $2d\sin\theta = n\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ ग्लांसिंग कोण (आपतित किरण और क्रिस्टल तल के बीच का कोण) है।
दी गई आकृति से,आपतन कोण $i$ को क्रिस्टल तल के अभिलंब के सापेक्ष मापा जाता है।
इसलिए,ग्लांसिंग कोण $\theta$ और आपतन कोण $i$ के बीच संबंध $\theta = 90^\circ - i$ है।
इस मान को ब्रैग के नियम में रखने पर:
$2d\sin(90^\circ - i) = n\lambda$
चूंकि $\sin(90^\circ - i) = \cos i$,इसलिए समीकरण:
$2d\cos i = n\lambda$ प्राप्त होता है।

(D) डेविसन-जर्मर प्रयोग इलेक्ट्रॉन विवर्तन के माध्यम से इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति को प्रदर्शित करता है,न कि व्यतिकरण के माध्यम से।
$1$. निकल क्रिस्टल इलेक्ट्रॉनों के लिए एक त्रि-आयामी विवर्तन ग्रेटिंग के रूप में कार्य करता है।
$2$. निकल क्रिस्टल में अंतर-परमाणु दूरी उपयोग किए गए इलेक्ट्रॉनों की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है।
$3$. इलेक्ट्रॉन गन एक विशिष्ट और स्थिर ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों का बीम उत्पन्न करती है।
$4$. चूंकि यह प्रयोग विवर्तन पर आधारित है,इसलिए विकल्प $D$ गलत कथन है।

(A) डेविसन-जर्मर प्रयोग ने इलेक्ट्रॉन विवर्तन का अवलोकन करके इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति को प्रदर्शित किया।
इस प्रयोग में,इलेक्ट्रॉनों की एक किरण को निकल क्रिस्टल पर निर्देशित किया गया था।
प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉनों की तीव्रता को प्रकीर्णन कोण $(\phi)$ के फलन के रूप में मापा गया था।
यह देखा गया कि $54 \ V$ के त्वरक वोल्टेज के लिए,प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉनों की तीव्रता $50^{\circ}$ के प्रकीर्णन कोण पर एक स्पष्ट शिखर (पीक) दर्शाती है।
यह शिखर क्रिस्टल के परमाणु तलों से प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉन तरंगों के संपोषी व्यतिकरण के अनुरूप है।
इसलिए,सही वक्र वह है जो $50^{\circ}$ पर एक शिखर दर्शाता है।

(D) डेविसन-जर्मर प्रयोग ने इलेक्ट्रॉन विवर्तन का प्रदर्शन करके इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति के लिए पहला प्रायोगिक प्रमाण प्रदान किया,जिसने डी-ब्रोग्ली परिकल्पना की पुष्टि की।
व्यतिकरण और विवर्तन तरंगों के विशिष्ट गुण हैं।
चूंकि इलेक्ट्रॉन तरंग जैसा व्यवहार प्रदर्शित करते हैं,इसलिए वे वास्तव में व्यतिकरण और विवर्तन कर सकते हैं।
अतः,कथन $1$ सत्य है और कथन $2$ सत्य है,और कथन $2$ वह भौतिक आधार (तरंगों का गुण) प्रदान करता है जो यह समझाता है कि डेविसन-जर्मर प्रयोग इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति को प्रदर्शित करने में क्यों सक्षम था।

(D) इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति की पुष्टि डेविसन-जर्मर प्रयोग द्वारा प्रयोगात्मक रूप से की गई थी। इस प्रयोग में,इलेक्ट्रॉनों की एक किरण को निकल क्रिस्टल पर निर्देशित किया गया था,और परिणामी विवर्तन पैटर्न ने प्रदर्शित किया कि इलेक्ट्रॉन प्रकाश तरंगों के समान ही व्यतिकरण और विवर्तन जैसे तरंग-समान गुण प्रदर्शित करते हैं। इसलिए,सही कारण यह है कि इलेक्ट्रॉन क्रिस्टल द्वारा विवर्तित होते हैं।

(A) डेविसन और जर्मर के प्रयोग में,इलेक्ट्रॉन गन एक विद्युत विभव $V$ का उपयोग करके इलेक्ट्रॉनों को त्वरित करती है।
$e$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K$ को $K = eV = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
वेग $v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ प्राप्त होता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि वेग $v$,त्वरित विभवांतर $V$ के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है।
इसलिए,एनोड और फिलामेंट के बीच विभवांतर को बढ़ाकर इलेक्ट्रॉनों के वेग को बढ़ाया जा सकता है।

(D) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा अनिश्चितता $\Delta E$ और समय अनिश्चितता $\Delta t$ के बीच संबंध $\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{h}{4\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
बोर के सिद्धांत में,एक कक्षा में इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा स्तरों को पूरी तरह से निश्चित माना जाता है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा में अनिश्चितता $\Delta E = 0$ है।
अनिश्चितता संबंध में $\Delta E = 0$ रखने पर: $0 \cdot \Delta t \geq \frac{h}{4\pi}$,जिसका अर्थ है कि $\Delta t \rightarrow \infty$।
इसलिए,बोर के मॉडल के संदर्भ में एक उत्तेजित अवस्था का जीवनकाल अनंत है।

(C) डेविसन-जर्मर प्रयोग ने डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के लिए प्रायोगिक प्रमाण प्रदान किया,जो बताता है कि इलेक्ट्रॉन जैसे कण तरंग जैसी विशेषताएं प्रदर्शित करते हैं।
इस प्रयोग में,इलेक्ट्रॉनों को निकल क्रिस्टल द्वारा प्रकीर्णित किया गया था,और परिणामी विवर्तन पैटर्न ने पुष्टि की कि इलेक्ट्रॉन तरंगों के रूप में व्यवहार करते हैं।
चूंकि व्यतिकरण और विवर्तन तरंगों के विशिष्ट गुण हैं,इसलिए इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति का अर्थ है कि उन्हें इन घटनाओं को प्रदर्शित करना चाहिए।
अतः,कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है,और कथन-$2$ वह सैद्धांतिक आधार (तरंग प्रकृति का भौतिक परिणाम) प्रदान करता है जो बताता है कि यह प्रयोग इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति को प्रदर्शित करने में सफल क्यों रहा।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$.
यहाँ त्वरित विभव $V = 54 \ V$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{54}} \ \mathring{A}$.
$\lambda = \frac{12.27}{7.348} \ \mathring{A}$.
$\lambda \approx 1.67 \ \mathring{A}$.
अतः,इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्ध्य $1.67 \ \mathring{A}$ है।

(B) $E$ ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{E}} \mathring{A}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$E = 75 \ eV$ के लिए,$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{75}} \approx 1.414 \mathring{A} = \sqrt{2} \mathring{A}$।
डेविसन-जर्मर प्रयोग में,यदि आपतित किरण पुंज के साथ कोण $45^o$ है,तो ब्रैग के नियम $d \sin \theta = n \lambda$ के अनुसार,जहाँ $\theta$ क्रिस्टल तल के साथ कोण है,यहाँ $\theta = 45^o$ लेने पर,
$d \sin(45^o) = 1 \times \sqrt{2}$
$d \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
$d = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \mathring{A}$।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$y-$ दिशा में इलेक्ट्रॉन की स्थिति में अनिश्चितता $\Delta y \simeq d$ है।
$y-$ दिशा में संवेग में अनिश्चितता $\Delta P_y \simeq |P_y|$ है।
अनिश्चितता सिद्धांत से,हमारे पास $\Delta y \cdot \Delta P_y \simeq h$ है।
मान रखने पर,हमें $d \cdot |P_y| \simeq h$ प्राप्त होता है।
अधिकांश इलेक्ट्रॉनों के लिए,प्राप्त संवेग अनिश्चितता की कोटि का होता है,अतः $|P_y|d \simeq h$।

(B) $(1)$ डेविसन और जर्मर प्रयोग ने इलेक्ट्रॉन विवर्तन के माध्यम से इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति को प्रदर्शित किया।
$(2)$ मिलिकन के तेल बूंद प्रयोग का उपयोग इलेक्ट्रॉन के प्राथमिक आवेश को निर्धारित करने के लिए किया गया था।
$(3)$ रदरफोर्ड के अल्फा-कण प्रकीर्णन प्रयोग ने परमाणु के केंद्र में एक छोटे, सघन, धनावेशित नाभिक के अस्तित्व का प्रमाण प्रदान किया।
$(4)$ फ्रैंक-हर्ट्ज़ प्रयोग ने परमाणुओं में ऊर्जा स्तरों के क्वांटीकरण के लिए प्रायोगिक प्रमाण प्रदान किया।
अतः, सही मिलान $(1)-(i), (2)-(ii), (3)-(iv), (4)-(iii)$ है।

(B) पदार्थ की तरंग प्रकृति का प्रस्ताव डी ब्रोग्ली द्वारा दिया गया था।
डेविसन और जर्मर ने पदार्थ की तरंग प्रकृति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करने के लिए एक प्रयोग किया।
इस प्रयोग ने प्रदर्शित किया कि जब इलेक्ट्रॉनों को क्रिस्टल जाली द्वारा प्रकीर्णित किया जाता है,तो वे प्रकाश तरंगों के समान ही विवर्तन पैटर्न प्रदर्शित करते हैं।
इसलिए,इलेक्ट्रॉन विवर्तन वह घटना है जो इस सिद्धांत का सबसे अच्छा समर्थन करती है कि पदार्थ की प्रकृति तरंग जैसी होती है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा में अनिश्चितता $\Delta E$ और समय में अनिश्चितता $\Delta t$ का संबंध $\Delta E \cdot \Delta t \approx \frac{h}{2\pi}$ है।
यहाँ,उत्तेजित अवस्था का औसत जीवनकाल $\Delta t = 10^{-8} \, s$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\Delta E = \frac{h}{2\pi \cdot \Delta t}$ प्राप्त होता है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ का उपयोग करने पर,$\Delta E = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159 \times 10^{-8}} \approx 1.054 \times 10^{-26} \, J$।
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,हम इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ से विभाजित करते हैं:
$\Delta E = \frac{1.054 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 6.59 \times 10^{-8} \, eV$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,ऊर्जा में अनिश्चितता $6.56 \times 10^{-8} \, eV$ है।

(B) डेविसन-जर्मर प्रयोग ने क्रिस्टल जालक द्वारा इलेक्ट्रॉनों के विवर्तन को प्रदर्शित किया।
चूंकि विवर्तन तरंगों का एक विशिष्ट गुण है,इसलिए इस प्रयोग ने डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति के लिए प्रत्यक्ष प्रायोगिक प्रमाण प्रदान किया।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) क्रिस्टल विवर्तन में संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त (ब्रेग का नियम) $2d \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\theta$ ग्लेंसिंग कोण है।
चित्र से, आपतन कोण $i$ अभिलंब के सापेक्ष मापा जाता है। ग्लेंसिंग कोण $\theta$ आपतित किरण और क्रिस्टल तल के बीच का कोण है, इसलिए $\theta = 90^{\circ} - i$।
दिया गया है $i = 30^{\circ}$, इसलिए $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
प्रथम कोटि के विवर्तन के लिए, $n = 1$। मान रखने पर:
$2 \times (1 \times 10^{-10}\; m) \times \sin(60^{\circ}) = 1 \times \lambda$
$\lambda = 2 \times 10^{-10} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{-10}\; m \approx 1.732 \times 10^{-10}\; m$।
$V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV} \Rightarrow V = \frac{h^2}{2me\lambda^2}$।
मान रखने पर:
$V = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times (\sqrt{3} \times 10^{-10})^2}$
$V = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{29.12 \times 10^{-50} \times 3} = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{87.36 \times 10^{-50}} \approx 49.86\; V$।
अतः, $V$ लगभग $50\; V$ होना चाहिए।

(D) संपोषी व्यतिकरण के लिए,क्रमिक परमाणु तलों से परावर्तित तरंगों के बीच का पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,जिसे ब्रैग के नियम द्वारा दिया जाता है: $2d \sin \theta = n \lambda_{dB}$,जहाँ $\theta$ ग्लेंसिंग कोण (आपतित किरण और क्रिस्टल तल के बीच का कोण) है।
दिए गए चित्र से,कोण $i$ आपतित किरण और क्रिस्टल तल के अभिलंब के बीच का कोण है। इसलिए,ग्लेंसिंग कोण $\theta$ का मान $\theta = 90^{\circ} - i$ है।
इसे ब्रैग के नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$2d \sin(90^{\circ} - i) = n \lambda_{dB}$
चूंकि $\sin(90^{\circ} - i) = \cos i$,हमें प्राप्त होता है:
$2d \cos i = n \lambda_{dB}$

(N/A) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत यह बताता है कि किसी सूक्ष्म कण की सटीक स्थिति $(\Delta x)$ और सटीक संवेग $(\Delta p)$ को एक साथ मापना असंभव है।
इस सिद्धांत के लिए गणितीय व्यंजक इस प्रकार है:
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$
जहाँ:
- $\Delta x$ स्थिति में अनिश्चितता है।
- $\Delta p$ संवेग में अनिश्चितता है।
- $h$ प्लांक नियतांक है।
मुख्य निहितार्थ:
$1$. यदि किसी कण की स्थिति को सटीकता से मापा जाता है $(\Delta x \rightarrow 0)$,तो उसके संवेग में अनिश्चितता अनंत हो जाती है $(\Delta p \rightarrow \infty)$।
$2$. इसके विपरीत,यदि संवेग को सटीकता से मापा जाता है $(\Delta p \rightarrow 0)$,तो उसकी स्थिति में अनिश्चितता अनंत हो जाती है $(\Delta x \rightarrow \infty)$।
$3$. यह सिद्धांत बताता है कि इलेक्ट्रॉनों जैसे सूक्ष्म कणों के लिए हम एक सटीक प्रक्षेपवक्र (trajectory) को परिभाषित नहीं कर सकते,क्योंकि एक ही समय में स्थिति और संवेग दोनों को जानना असंभव है।
$4$. निश्चित संवेग $p$ वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ होती है। एक निश्चित तरंगदैर्ध्य वाली तरंग पूरे स्थान में फैली होती है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन किसी सीमित क्षेत्र में स्थानीयकृत नहीं है,जो $\Delta x \rightarrow \infty$ के अनुरूप है।

(N/A) विभिन्न तरंगदैर्ध्य वाली तरंगों के अध्यारोपण से प्राप्त परिणामी तरंग को तरंग पैकेट कहा जाता है।
इलेक्ट्रॉन से जुड़ी द्रव्य तरंग अनंत स्थान में विस्तारित नहीं होती है। यह एक केंद्रीय तरंगदैर्ध्य के चारों ओर विस्तारित एक तरंग पैकेट है।
इस स्थिति में,$\Delta x$ अनंत नहीं होता है,बल्कि इसका एक निश्चित मान होता है जो तरंग पैकेट की सीमा पर निर्भर करता है।
साथ ही,एक तरंग पैकेट की तरंगदैर्ध्य निश्चित नहीं होती है,बल्कि यह एक केंद्रीय तरंगदैर्ध्य के आसपास कई तरंगदैर्ध्यों से बनी होती है।
डी-ब्रोग्ली संबंध और बॉर्न की प्रायिकता व्याख्या का उपयोग करके तरंग पैकेट के विवरण के साथ,हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत को सटीक रूप से पुनरुत्पादित किया जा सकता है।
चित्र $(a)$ एक तरंग पैकेट का योजनाबद्ध आरेख दिखाता है और चित्र $(b)$ एक निश्चित तरंगदैर्ध्य के साथ एक विस्तारित तरंग को दर्शाता है।

(N/A) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत बताता है कि किसी गतिशील सूक्ष्म कण (जैसे इलेक्ट्रॉन) के लिए उसकी सटीक स्थिति और सटीक संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$
जहाँ:
$\Delta x$ स्थिति में अनिश्चितता है,
$\Delta p$ संवेग में अनिश्चितता है,
$h$ प्लांक नियतांक है।

(N/A) इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति को सबसे पहले $1927$ में $C.J. Davisson$ और $L.H. Germer$ द्वारा और $1928$ में $G.P. Thomson$ द्वारा प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित किया गया था।
डेविसन और थॉमसन ने क्रिस्टल द्वारा इलेक्ट्रॉन के विवर्तन की अपनी प्रयोगात्मक खोज के लिए $1937$ में नोबेल पुरस्कार साझा किया।
प्रयोगात्मक व्यवस्था: चित्र डेविसन और जर्मर प्रयोग की योजनाबद्ध व्यवस्था को दर्शाता है।
इसमें एक इलेक्ट्रॉन गन होती है जिसमें टंगस्टन फिलामेंट $F$ होता है,जो बेरियम ऑक्साइड से लेपित होता है और कम वोल्टेज बिजली आपूर्ति ($L.T.$ बैटरी) द्वारा गर्म किया जाता है। $L.T.$ बैटरी के माध्यम से करंट प्रवाहित करके फिलामेंट को गर्म किया जाता है।
जब फिलामेंट गर्म होता है,तो थर्मियोनिक उत्सर्जन के कारण इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं,जिन्हें $H.T.$ बैटरी द्वारा वांछित वेग तक त्वरित किया जाता है।
इन इलेक्ट्रॉनों को इसकी धुरी के साथ महीन छिद्रों वाले एक सिलेंडर से गुजारा जाता है,जिससे एक महीन कोलिमेटेड बीम उत्पन्न होती है। इस बीम को निकल क्रिस्टल की सतह पर गिराया जाता है।
क्रिस्टल के परमाणुओं द्वारा इलेक्ट्रॉन सभी दिशाओं में प्रकीर्णित होते हैं।
किसी दी गई दिशा में प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉन बीम की तीव्रता को इलेक्ट्रॉन डिटेक्टर (कलेक्टर) द्वारा मापा जाता है।
डिटेक्टर को एक गोलाकार पैमाने पर घुमाया जा सकता है और यह एक संवेदनशील गैल्वेनोमीटर से जुड़ा होता है जो करंट को रिकॉर्ड करता है।
गैल्वेनोमीटर का विक्षेपण कलेक्टर में प्रवेश करने वाली इलेक्ट्रॉन बीम की तीव्रता के समानुपाती होता है।
पूरे उपकरण को एक निर्वातित कक्ष में रखा जाता है।

(N/A) डेविसन और जर्मर के प्रयोग में,प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉनों की तीव्रता को मापने के लिए डिटेक्टर को एक वृत्ताकार पैमाने पर अलग-अलग स्थितियों में घुमाया जाता है।
आपतित किरण और प्रकीर्णित किरण के बीच के कोण को प्रकीर्णन कोण $(\theta)$ कहा जाता है।
विभिन्न त्वरक वोल्टेज $(V)$ और विभिन्न प्रकीर्णन कोणों $(\theta)$ के लिए प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉन बीम की तीव्रता मापी जाती है।
यह प्रयोग $44 \ V$ से $68 \ V$ तक के त्वरक वोल्टेज को बदलकर किया गया था।
यह देखा गया कि $54 \ V$ के त्वरक वोल्टेज और $\theta = 50^{\circ}$ के प्रकीर्णन कोण पर प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉनों की तीव्रता $(I)$ में एक मजबूत शिखर (पीक) दिखाई देता है। यह दर्शाता है कि इस बिंदु पर प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉनों की संख्या अधिकतम है।
मान लीजिए कि स्थिर इलेक्ट्रॉनों को $V$ वोल्टेज द्वारा त्वरित किया जाता है। उनकी गतिज ऊर्जा है,
$K = eV$
$\therefore \frac{1}{2}mv^2 = eV$
$\therefore \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m} = eV$
$\therefore \frac{p^2}{2m} = eV$ (जहाँ $p = mv$ संवेग है)
$\therefore p = \sqrt{2meV}$
द्रव्य तरंग (डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य) की तरंगदैर्ध्य:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
प्लांक नियतांक $(h)$,द्रव्यमान $(m)$ और आवेश $(e)$ के मान रखने पर,
$\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \text{ nm}$

(A) इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति का प्रस्ताव लुई डी ब्रोग्ली द्वारा $1924$ में दिया गया था।
हालाँकि,इस तरंग प्रकृति का प्रायोगिक सत्यापन सबसे पहले $1927$ में क्लिंटन डेविसन और लेस्टर जर्मर द्वारा उनके इलेक्ट्रॉन विवर्तन प्रयोग के माध्यम से किया गया था।
उन्होंने देखा कि निकल क्रिस्टल द्वारा प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉन एक्स-रे ($X$-rays) के समान विवर्तन पैटर्न दिखाते हैं,जो इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति की पुष्टि करता है।

(A) डेविसन-जर्मर प्रयोग में,गैल्वेनोमीटर का उपयोग विभिन्न कोणों पर प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉन पुंज की तीव्रता को मापने के लिए किया जाता है।
गैल्वेनोमीटर की सुई का विक्षेप प्रति इकाई समय में डिटेक्टर तक पहुँचने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या के सीधे समानुपाती होता है,जो प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉनों की तीव्रता को दर्शाता है।
अतः,विक्षेप प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉनों की तीव्रता के समानुपाती होता है।

(B) डेविसन-जर्मर प्रयोग ने इलेक्ट्रॉन विवर्तन को प्रदर्शित करके इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति के लिए प्रयोगात्मक प्रमाण प्रदान किए।
इस प्रयोग में,इलेक्ट्रॉन गन से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है।
इन इलेक्ट्रॉनों को फिर एक निकल क्रिस्टल पर निर्देशित किया जाता है।
प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉन पुंज की तीव्रता को प्रकीर्णन कोण के फलन के रूप में मापा जाता है।
यह देखा गया कि $54 \ V$ के त्वरक वोल्टेज के लिए,$50^\circ$ के प्रकीर्णन कोण पर प्रकीर्णित इलेक्ट्रॉन पुंज की तीव्रता अधिकतम थी।
इस परिणाम ने डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य परिकल्पना की पुष्टि की,क्योंकि गणना की गई तरंगदैर्ध्य प्रयोगात्मक मान से मेल खाती थी।

(N/A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$(\Delta x)(\Delta p) \approx \frac{h}{4\pi}$.
सीमित कण के लिए $(\Delta x)(\Delta p) \approx \frac{h}{2\pi}$ संबंध का उपयोग करने पर:
$\Delta p = \frac{h}{2\pi \Delta x} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.1416 \times 10^{-9}} \approx 1.055 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$.
दिया गया है कि $\Delta p = p$,इसलिए संवेग $p = 1.055 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$.
गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
$E = \frac{(1.055 \times 10^{-25})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31}} = \frac{1.113 \times 10^{-50}}{1.822 \times 10^{-30}} \approx 6.109 \times 10^{-21} \, J$.
$eV$ में बदलने के लिए,$1.602 \times 10^{-19} \, J/eV$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{6.109 \times 10^{-21}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 0.0381 \, eV$.

(A) इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति का प्रस्ताव $1924$ में लुई डी ब्रोग्ली द्वारा दिया गया था।
हालाँकि,इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति का पहला प्रायोगिक सत्यापन $1927$ में क्लिंटन डेविसन और लेस्टर जर्मर द्वारा उनके इलेक्ट्रॉन विवर्तन प्रयोग के माध्यम से प्रदान किया गया था।
इसलिए,डेविसन और जर्मर इस गुण को सत्यापित करने वाले पहले व्यक्ति थे।

(A) इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति को $1927$ में डेविसन-जर्मर प्रयोग द्वारा प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित किया गया था।
इस प्रयोग ने इलेक्ट्रॉन विवर्तन (diffraction) को प्रदर्शित किया,जिसने लुई डी ब्रोग्ली द्वारा प्रस्तावित इलेक्ट्रॉनों के तरंग-समान व्यवहार के लिए प्रत्यक्ष प्रमाण प्रदान किया।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ होता है।
चूंकि $\Delta p = m \Delta v$,इसलिए $\Delta x \propto \frac{1}{m \Delta v}$ है।
आदर्श गैस के लिए,वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ होता है,इसलिए $\Delta v \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ है।
इस मान को अनिश्चितता संबंध में रखने पर: $\Delta x \propto \frac{1}{m \cdot (1/\sqrt{m})} = \frac{1}{\sqrt{m}}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थिति में अनिश्चितता का अनुपात $\frac{\Delta x_e}{\Delta x_p} = \frac{1/\sqrt{m_e}}{1/\sqrt{m_p}} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$ होगा।

(A) डेविसन-जर्मर प्रयोग ने निकल क्रिस्टल से इलेक्ट्रॉन विवर्तन पैटर्न का अवलोकन करके इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति के लिए पहला प्रायोगिक प्रमाण प्रदान किया।
चूंकि इलेक्ट्रॉन तरंग जैसी विशेषताएं प्रदर्शित करते हैं,इसलिए उन्हें तरंग यांत्रिकी के सिद्धांतों का पालन करना चाहिए,जिसमें व्यतिकरण और विवर्तन शामिल हैं।
इसलिए,कथन $I$ सही है क्योंकि प्रयोग इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति की पुष्टि करता है।
कथन $II$ भी सही है क्योंकि विवर्तन और व्यतिकरण तरंगों के विशिष्ट गुण हैं,और इलेक्ट्रॉन अपनी तरंग प्रकृति के कारण इन व्यवहारों को प्रदर्शित करते हैं।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(B) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$। $\Delta x$ आकार के क्षेत्र में सीमित कण की न्यूनतम ऊर्जा $\frac{1}{m(\Delta x)^2}$ के समानुपाती होती है।
$(IV)$ नैनोट्यूब में एक $H_{2}$ अणु अपेक्षाकृत बड़े स्थान (नैनोमीटर स्केल) में सीमित होता है और इसका द्रव्यमान अधिक होता है,जिससे इसकी ऊर्जा सबसे कम होती है।
$(II)$ $H_{2}$ अणु में एक हाइड्रोजन परमाणु अंतर-परमाणु बलों द्वारा बंधा होता है,जो नैनोट्यूब की तुलना में छोटे क्षेत्र में सीमित होता है,इसलिए इसकी ऊर्जा $(IV)$ से अधिक होती है।
$(I)$ $H_{2}$ अणु में एक इलेक्ट्रॉन परमाणु की तुलना में बहुत हल्का होता है,और आणविक कक्षक (molecular orbital) में इसकी सीमित स्थिति के कारण इसकी गतिज ऊर्जा परमाणु से अधिक होती है।
$(III)$ कार्बन नाभिक में एक प्रोटॉन मजबूत परमाणु बलों द्वारा अत्यंत छोटे क्षेत्र (फेमटोमीटर स्केल) में सीमित होता है,जिसके परिणामस्वरूप अनिश्चितता सिद्धांत के कारण इसकी ऊर्जा सबसे अधिक होती है।
अतः,न्यूनतम संभव ऊर्जा का सही बढ़ता क्रम $IV < II < I < III$ है।

(D) $1$. अभिकथन $A$ बताता है कि इलेक्ट्रॉनों का पुंज तरंग प्रकृति प्रदर्शित करता है,जिसमें व्यतिकरण और विवर्तन शामिल हैं। यह डी ब्रोग्ली द्वारा प्रस्तावित द्रव्य तरंगों का एक मूलभूत गुण है।
$2$. कारण $R$ बताता है कि डेविसन-जर्मर प्रयोग ने इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित किया। यह एक ऐतिहासिक तथ्य है।
$3$. इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति (अभिकथन $A$) की पुष्टि डेविसन-जर्मर प्रयोग में देखे गए विवर्तन पैटर्न द्वारा होती है (कारण $R$)। इसलिए,प्रयोगात्मक सत्यापन वह भौतिक प्रमाण प्रदान करता है जो यह समझाता है कि हम यह निष्कर्ष क्यों निकालते हैं कि इलेक्ट्रॉन व्यतिकरण और विवर्तन जैसे तरंग-समान गुण प्रदर्शित करते हैं।
$4$. अतः,दोनों कथन सही हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(A) $G$ $P$ Thomson ने यह प्रदर्शित करके द्रव्य तरंगों (डी-ब्रोग्ली की परिकल्पना) के अस्तित्व की प्रायोगिक पुष्टि की कि जब इलेक्ट्रॉन पुंज (electron beams) क्रिस्टल की नियमित परमाणु सरणियों द्वारा प्रकीर्णित होते हैं,तो वे विवर्तन (diffraction) प्रदर्शित करते हैं। इस प्रयोग ने पदार्थ की तरंग प्रकृति के लिए प्रत्यक्ष प्रमाण प्रदान किया।