Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(C) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण ${E_k = h\nu - \phi}$ है।
इस समीकरण में,${h\nu}$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और ${\phi}$ धातु की सतह का कार्य फलन (work function) है।
जब एक फोटॉन धातु की सतह से टकराता है,तो वह अपनी ऊर्जा एक इलेक्ट्रॉन को स्थानांतरित कर देता है।
कुछ ऊर्जा कार्य फलन $({\phi})$ को दूर करने में उपयोग की जाती है,और शेष ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन धातु के भीतर अलग-अलग गहराई से उत्सर्जित हो सकते हैं,इसलिए बाहर निकलने से पहले वे टक्करों के कारण अलग-अलग मात्रा में ऊर्जा खो देते हैं।
इसलिए,जो इलेक्ट्रॉन सतह से सबसे कम ऊर्जा हानि के साथ बाहर निकलते हैं,उनके पास अधिकतम गतिज ऊर्जा होती है।
अतः,${E_k}$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा को दर्शाता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - \phi$,जहाँ $K_{max}$ उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि फोटोइलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति $(\nu)$ और धातु के कार्य फलन $(\phi)$ पर निर्भर करती है।
यह आपतित प्रकाश की तीव्रता से पूरी तरह स्वतंत्र है,जो केवल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या को प्रभावित करती है।

(D) प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होने के लिए, आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पदार्थ की देहली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_0)$ से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है: $\lambda_0 = 5200 \, \mathring{A}$।
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन तब होता है यदि $\lambda \le 5200 \, \mathring{A}$ हो।
अल्ट्रावायलेट $(UV)$ विकिरण की तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $100 \, \mathring{A}$ से $4000 \, \mathring{A}$ के बीच होती है, जो $5200 \, \mathring{A}$ से कम है।
इन्फ्रारेड $(IR)$ विकिरण की तरंगदैर्ध्य $7000 \, \mathring{A}$ से अधिक होती है, जो $5200 \, \mathring{A}$ से अधिक है।
इसलिए, $1 \, \text{W}$ अल्ट्रावायलेट लैंप और $50 \, \text{W}$ अल्ट्रावायलेट लैंप दोनों प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन का कारण बनेंगे, क्योंकि उनकी तरंगदैर्ध्य $UV$ रेंज में है।

(C) अल्बर्ट आइंस्टीन को $1921$ में प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) के नियम की खोज के लिए नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था। हालांकि वे सापेक्षता के सिद्धांत पर अपने काम के लिए प्रसिद्ध हैं,लेकिन नोबेल समिति ने विशेष रूप से सैद्धांतिक भौतिकी में उनके योगदान और प्रकाश-विद्युत प्रभाव के नियम की उनकी खोज का उल्लेख किया था।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 1240 eV \cdot nm$ का उपयोग करते हुए,हमें $E = \frac{1240 eV \cdot nm}{332 nm} \approx 3.735 eV$ प्राप्त होता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = W_0 + K_{max}$,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है और $K_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
$K_{max} = E - W_0 = 3.735 eV - 1.07 eV = 2.665 eV$.
फोटो-इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक मंदक विभव $V_0$,$K_{max} = eV_0$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$V_0 = 2.665 V \approx 2.66 V$।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = h\nu - W_0$
जहाँ:
$h$ प्लांक नियतांक है,
$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,
$W_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए $h$ और $W_0$ नियतांक हैं,इसलिए $K_{\max}$ सीधे आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(\nu)$ पर निर्भर करता है।

(C) कार्य फलन $W_0$ और देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$
यहाँ $hc \approx 12375 \ eV \cdot \mathring A$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{12375}{W_0} \mathring A$
दिया गया है कि $W_0 = 4.2 \ eV$:
$\lambda_0 = \frac{12375}{4.2} \approx 2955 \mathring A$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = W_0 + K_{\max}$।
सबसे पहले,आपतित फोटॉन की ऊर्जा की गणना करें: $E = \frac{hc}{\lambda} \approx \frac{12400 \; eV \cdot \mathring{A}}{3000 \; \mathring{A}} \approx 4.13 \; eV$।
दिया गया कार्य फलन $W_0 = 1 \; eV$ है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = E - W_0 = 4.13 \; eV - 1 \; eV = 3.13 \; eV$ होगी।
$K_{\max}$ को जूल में बदलें: $K_{\max} = 3.13 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J \approx 5 \times 10^{-19} \; J$।
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$ है:
$v = \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx \sqrt{1.1 \times 10^{12}} \approx 1.05 \times 10^6 \; m/s$।
अतः,वेग लगभग $1 \times 10^6 \; m/s$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi_0$ कार्य फलन (work function) है।
रिटार्डिंग विभव (स्टॉपिंग विभव) $V_0$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $eV_0 = K_{max}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $eV_0 = h\nu - \phi_0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_0}{e}$ मिलता है।
चूंकि $h$,$e$,और $\phi_0$ नियतांक हैं,स्टॉपिंग विभव $V_0$ आवृत्ति $\nu$ का एक रैखिक फलन है। इसलिए,जैसे-जैसे आपतित प्रकाश की आवृत्ति बढ़ती है,रिटार्डिंग विभव समान रूप से बढ़ता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
दिया गया है:
कार्य फलन $W_0 = 1.6 \times 10^{-19} \, J$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6400 \, \mathring{A} = 6400 \times 10^{-10} \, m$
प्लांक नियतांक $h = 6.4 \times 10^{-34} \, Js$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \, m/s$
आपतित फोटॉन की ऊर्जा की गणना:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.4 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6400 \times 10^{-10}}$
$E = \frac{19.2 \times 10^{-26}}{6.4 \times 10^{-7}} = 3 \times 10^{-19} \, J$
अब,$K_{\max}$ की गणना:
$K_{\max} = 3 \times 10^{-19} - 1.6 \times 10^{-19} = 1.4 \times 10^{-19} \, J$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = E - W_0$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W_0$ धातु का कार्य फलन है।
दिया गया है: $E = 6.2 \, eV$ और $W_0 = 4.2 \, eV$.
$K_{\max} = 6.2 \, eV - 4.2 \, eV = 2.0 \, eV$.
इस ऊर्जा को जूल में बदलने के लिए,हम इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ से गुणा करते हैं:
$K_{\max} = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-19} \, J$.

(C) कार्य फलन $W_0$ और देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$.
चूंकि $h$ और $c$ स्थिरांक हैं, इसलिए कार्य फलन देहली तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $W_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$.
अतः, हम अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{(W_0)_T}{(W_0)_{Na}} = \frac{(\lambda_0)_{Na}}{(\lambda_0)_T}$.
टंगस्टन के लिए देहली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_0)_T$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $(\lambda_0)_T = \frac{(\lambda_0)_{Na} \times (W_0)_{Na}}{(W_0)_T}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\lambda_0)_T = \frac{5460 \times 2.3}{4.5}$.
गणना करने पर परिणाम प्राप्त होता है: $(\lambda_0)_T \approx 2791 \text{ \AA}$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$K_{max} = E - \Phi$
जहाँ:
$E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है = $3.4 \ eV$
$\Phi$ धातु का कार्य फलन है = $2 \ eV$
दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:
$K_{max} = 3.4 \ eV - 2 \ eV$
$K_{max} = 1.4 \ eV$
अतः,फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $1.4 \ eV$ है।

(B) कार्य फलन $W_0$ को सूत्र $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिया गया है,थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = 6600 \, \mathring{A}$ है।
संबंध $W_0 (eV \text{ में}) = \frac{12375}{\lambda_0 (\mathring{A} \text{ में})}$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: $W_0 = \frac{12375}{6600} \, eV$.
$W_0 = 1.875 \, eV \approx 1.87 \, eV$.

(D) सही उत्तर $D$ है।
अल्बर्ट आइंस्टीन ने $1905$ में प्रकाश-विद्युत प्रभाव को सफलतापूर्वक समझाया था।
उन्होंने प्रस्तावित किया कि प्रकाश ऊर्जा के छोटे पैकेटों से बना है जिन्हें फोटॉन कहा जाता है,जहाँ प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा $E = h
u$ द्वारा दी जाती है।
हालाँकि मैक्स प्लांक ने ब्लैकबॉडी रेडिएशन के लिए ऊर्जा के क्वांटाइजेशन की अवधारणा पेश की थी,लेकिन आइंस्टीन ने ही इस अवधारणा का उपयोग करके प्रकाश-विद्युत प्रभाव की व्याख्या की,जिससे यह सिद्ध हुआ कि इस घटना में प्रकाश कणों की तरह व्यवहार करता है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि निरोधी विभव (stopping potential) $V_0$ गतिज ऊर्जा से $K_{\max} = eV_0$ द्वारा संबंधित है,इसलिए हमारे पास $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V_0 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{W_0}{e}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$\lambda$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $W_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ $4000 \, \mathring{A}$ से घटकर $3000 \, \mathring{A}$ होती है,पद $\frac{hc}{e\lambda}$ बढ़ता है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए $W_0$ स्थिर रहता है,इसलिए निरोधी विभव $V_0$ बढ़ जाएगा।
अतः,इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन को रोकने के लिए आवश्यक विभव $2 \, V$ से अधिक होगा।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = h\nu - W_0$
जहाँ:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ (प्लांक नियतांक)
$\nu = 8 \times 10^{14} \ Hz$ (आपतित प्रकाश की आवृत्ति)
$W_0 = 3.2 \times 10^{-19} \ J$ (धातु का कार्य फलन)
मान रखने पर:
$K_{\max} = (6.63 \times 10^{-34} \times 8 \times 10^{14}) - 3.2 \times 10^{-19}$
$K_{\max} = (53.04 \times 10^{-20}) - 3.2 \times 10^{-19}$
$K_{\max} = 5.304 \times 10^{-19} - 3.2 \times 10^{-19}$
$K_{\max} = 2.104 \times 10^{-19} \ J$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \Phi_0$, जहाँ $K_{max} = eV_s$ है।
यहाँ, $V_s$ निरोधी विभव है, $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है, और $\Phi_0$ पदार्थ का कार्य फलन (work function) है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $eV_s = h\nu - \Phi_0$, जिससे $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि निरोधी विभव $V_s$, आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$ और कार्य फलन $\Phi_0$ पर निर्भर करता है, जो कि कैथोड पदार्थ का एक विशिष्ट गुण है।
अतः, निरोधी विभव आपतित प्रकाश की आवृत्ति और कैथोड पदार्थ की प्रकृति दोनों पर निर्भर करता है।

(B) देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = 200 \ nm = 2000 \ \mathring{A}$ है।
आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda = 100 \ nm = 1000 \ \mathring{A}$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
शॉर्टकट सूत्र $K_{\max} \ (eV) \approx 12400 \ \left[ \frac{1}{\lambda \ (\mathring{A})} - \frac{1}{\lambda_0 \ (\mathring{A})} \right]$ का उपयोग करने पर:
$K_{\max} = 12400 \ \left[ \frac{1}{1000} - \frac{1}{2000} \right]$
$K_{\max} = 12400 \ \left[ \frac{2-1}{2000} \right] = \frac{12400}{2000} = 6.2 \ eV$.

(B) निरोधी विभव $(V_s)$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु की सतह के कार्य फलन (work function) पर निर्भर करता है,जैसा कि आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दिया गया है: $K_{max} = h\nu - \phi = eV_s$।
प्रकाश स्रोत और फोटोसेल के बीच की दूरी बदलने से प्रकाश की तीव्रता बदलती है,जो प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) को प्रभावित करती है,लेकिन यह व्यक्तिगत फोटॉन की ऊर्जा या धातु के कार्य फलन को नहीं बदलती है।
चूंकि आपतित प्रकाश की आवृत्ति स्थिर रहती है,इसलिए उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा समान रहती है।
अतः,निरोधी विभव प्रकाश स्रोत की दूरी से स्वतंत्र रहता है।
इसलिए,निरोधी विभव $0.6 \ V$ ही रहेगा।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$h = 6.6 \times 10^{-34} \,Js$,$c = 3 \times 10^8 \,m/s$,और $\lambda = 4000 \times 10^{-10} \,m$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4000 \times 10^{-10}} \,J = 4.95 \times 10^{-19} \,J$.
इसे $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ से विभाजित करके $eV$ में परिवर्तित करने पर:
$E = \frac{4.95 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.09 \,eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = W_0 + K_{max}$,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है और $K_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
स्टॉपिंग विभव $V_s = 2 \,V$ दिया गया है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = e \times V_s = 2 \,eV$ है।
मान रखने पर: $3.09 \,eV = W_0 + 2 \,eV$.
अतः,$W_0 = 3.09 - 2 = 1.09 \,eV$,जो लगभग $1.1 \,eV$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = W_0 + \frac{1}{2}mv_{\max}^2$.
यदि कार्य फलन $W_0$ को आपतित फोटॉन ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda}$ की तुलना में नगण्य माना जाए,तो $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 \approx \frac{hc}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $v_{\max}^2 \propto \frac{1}{\lambda}$,या $v_{\max} \propto \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$.
मान लीजिए प्रारंभिक तरंग दैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है और अंतिम तरंग दैर्ध्य $\lambda_2 = 4\lambda$ है।
अधिकतम वेग का अनुपात $\frac{v_{\max, 2}}{v_{\max, 1}} = \sqrt{\frac{\lambda_1}{\lambda_2}} = \sqrt{\frac{\lambda}{4\lambda}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,अधिकतम वेग अपने प्रारंभिक मान का आधा हो जाता है।

(D) कार्य फलन $W_0$ को संबंध $W_0 = h\nu_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
दिया गया है: $W_0 = 2.51 eV = 2.51 \times 1.6 \times 10^{-19} J$ और $h = 6.63 \times 10^{-34} J \cdot s$.
देहली आवृत्ति के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\nu_0 = \frac{W_0}{h}$.
मान रखने पर: $\nu_0 = \frac{2.51 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}$.
$\nu_0 \approx 0.60588 \times 10^{15} Hz = 6.06 \times 10^{14} Hz$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $6.08 \times 10^{14} \text{ cycle/sec}$ प्राप्त होता है।

(A) कट-ऑफ वोल्टेज (जिसे स्टॉपिंग पोटेंशियल भी कहा जाता है) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा पर निर्भर करता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - \Phi$,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_s$ को $eV_s = K_{max}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रकाश स्रोत की दूरी बदलने से फोटोसेल पर आपतित प्रकाश की तीव्रता बदलती है,जो उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या (फोटोइलेक्ट्रिक धारा) को प्रभावित करती है,लेकिन यह आपतित प्रकाश की आवृत्ति को नहीं बदलती है।
चूंकि आपतित प्रकाश की आवृत्ति स्थिर रहती है,इसलिए उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।
इसलिए,स्रोत की दूरी चाहे जो भी हो,कट-ऑफ वोल्टेज $V$ ही रहेगा।

(D) कार्य फलन $W_0$ का सूत्र $W_0 = h \nu_0$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
दिया गया है $W_0 = 3.3 \text{ eV} = 3.3 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
प्लांक नियतांक $h \approx 6.6 \times 10^{-34} \text{ J s}$.
मान रखने पर:
$\nu_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{3.3 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}}$
$\nu_0 = \frac{5.28 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}} = 0.8 \times 10^{15} \text{ Hz} = 8 \times 10^{14} \text{ Hz}$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ प्रकाश की आवृत्ति है।
प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $\phi$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
यदि आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन से कम है $(h\nu < \phi)$,तो कोई भी प्रकाशिक इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होगा।
अतः,उत्सर्जन न होने की शर्त $\nu < \frac{\phi}{h}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार दी जाती है: $E = \frac{hc}{\lambda} - W_0$,जहाँ $W_0$ कार्य फलन (work function) है।
$2E$ गतिज ऊर्जा के लिए,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ के लिए: $2E = \frac{hc}{\lambda'} - W_0$.
पहले समीकरण से,$\frac{hc}{\lambda} = E + W_0$,और दूसरे से,$\frac{hc}{\lambda'} = 2E + W_0$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{E + W_0}{2E + W_0}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\lambda' = \lambda \left( \frac{1 + W_0/E}{2 + W_0/E} \right)$.
चूंकि $W_0 > 0$,पद $\frac{1 + W_0/E}{2 + W_0/E}$ हमेशा $\frac{1}{2}$ से बड़ा और $1$ से छोटा होता है।
इसलिए,$\frac{\lambda}{2} < \lambda' < \lambda$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूँकि निरोधी विभव $V_0$ का गतिज ऊर्जा के साथ संबंध $K_{max} = eV_0$ है,इसलिए $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जिसे $V_0 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
जैसे-जैसे आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ $6000 \, \mathring{A}$ से घटकर $4000 \, \mathring{A}$ होती है,पद $\frac{hc}{e\lambda}$ का मान बढ़ता है।
चूँकि कार्य फलन $\phi$ धातु का एक नियत गुण है,इसलिए निरोधी विभव $V_0$ बढ़ जाएगा।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) कार्य फलन $\Phi_0$ और देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$hc \approx 12375 \ eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{12375}{\Phi_0 \ (eV)} \ \mathring{A}$.
यहाँ $\Phi_0 = 4.125 \ eV$ दिया गया है,इसलिए:
$\lambda_0 = \frac{12375}{4.125} \ \mathring{A} = 3000 \ \mathring{A}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 12400 \; eV \cdot \mathring A$ का उपयोग करने पर,हमें $E = \frac{12400}{5000} = 2.48 \; eV$ प्राप्त होता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = W_0 + K_{\max}$,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है और $K_{\max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
मान रखने पर: $2.48 = 1.9 + K_{\max}$.
अतः,$K_{\max} = 2.48 - 1.9 = 0.58 \; eV$।

(C) पदार्थ का कार्य फलन $W_0 = 4.0 \,eV$ दिया गया है।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ वह अधिकतम तरंगदैर्ध्य है जो प्रकाशिक उत्सर्जन उत्पन्न कर सकती है।
इसका सूत्र है: $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$।
$hc \approx 12400 \,eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करते हुए:
$\lambda_0 = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{4.0 \,eV} = 3100 \,\mathring{A}$।
चूंकि $1 \,nm = 10 \,\mathring{A}$,इसलिए $\lambda_0 = 310 \,nm$ प्राप्त होता है।

(B) फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ और निरोधी विभव $(V_s)$ के बीच का संबंध समीकरण $K_{\max} = e V_s$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = 4 eV$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $4 eV = e V_s$।
अतः,निरोधी विभव $V_s = 4 V$ है।

(D) देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0$ का सूत्र $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ है, जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
लगभग गणना करने पर, $\lambda_0 \approx \frac{12400 \text{ eV Å}}{\phi \text{ (eV में)}}$, अतः $\lambda_0 = \frac{12400}{2.1} \approx 5904.76 \text{ Å}$.
फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन के लिए, आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए (अर्थात, $\lambda \le \lambda_0$).
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर, केवल $4000 \text{ Å}$ ही $5904.76 \text{ Å}$ से कम है।
इसलिए, केवल $4000 \text{ Å}$ ही फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित कर सकता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{\max} = h\nu - W_0$,जहाँ $K_{\max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $W_0$ धातु का कार्य फलन है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक आवृत्ति $\nu$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = h\nu - W_0$ है।
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है,तो नई आवृत्ति $2\nu$ हो जाती है। नई गतिज ऊर्जा $K_2 = h(2\nu) - W_0 = 2h\nu - W_0$ होगी।
$K_2$ की तुलना $2K_1$ से करने पर:
$2K_1 = 2(h\nu - W_0) = 2h\nu - 2W_0$.
चूंकि $W_0 > 0$ है,इसलिए $2h\nu - W_0 > 2h\nu - 2W_0$ होगा।
अतः,$K_2 > 2K_1$। इस प्रकार,गतिज ऊर्जा दोगुने से अधिक हो जाती है।

(B) फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जक का कार्य फलन $W_0$ सूत्र $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) है।
यह मानते हुए कि दी गई तरंगदैर्ध्य संबंधित उत्सर्जकों के लिए देहली तरंगदैर्ध्य हैं,हमारे पास $\lambda_{01} = 300 \; nm$ और $\lambda_{02} = 600 \; nm$ है।
कार्य फलनों का अनुपात $\frac{W_{01}}{W_{02}} = \frac{hc / \lambda_{01}}{hc / \lambda_{02}} = \frac{\lambda_{02}}{\lambda_{01}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{W_{01}}{W_{02}} = \frac{600 \; nm}{300 \; nm} = \frac{2}{1}$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(C) कार्य फलन $W_0$ का सूत्र $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ है।
यहाँ,$h = 6.625 \times 10^{-34}\;J\cdot s$,$c = 3 \times 10^8\;m/s$,और $\lambda_0 = 5000\;\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10}\;m$ है।
मान रखने पर:
$W_0 = \frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5000 \times 10^{-10}}$
$W_0 = \frac{19.875 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}}$
$W_0 \approx 3.975 \times 10^{-19}\;J \approx 4 \times 10^{-19}\;J$.

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N)$ आपतित प्रकाश की तीव्रता $(L)$ के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते आवृत्ति देहली आवृत्ति से अधिक हो।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = \frac{hc}{\lambda} - W_0$,जहाँ $E$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $W_0$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $E$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर इस प्रकार निर्भर करता है कि $E \propto \frac{1}{\lambda}$ (यह मानते हुए कि $W_0$ स्थिर है)।
अतः,$N \propto L$ और $E \propto \frac{1}{\lambda}$।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - W_0$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,आपतित प्रकाश की ऊर्जा $E = 2 \ eV$ और धातु का कार्य फलन $W_0 = 0.6 \ eV$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K_{max} = 2 \ eV - 0.6 \ eV = 1.4 \ eV$ प्राप्त होता है।
निरोधी विभव $V_0$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = e V_0$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
अतः,$V_0 = \frac{K_{max}}{e} = \frac{1.4 \ eV}{e} = 1.4 \ V$।

(B) प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन के लिए शर्त यह है कि आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन से अधिक होनी चाहिए, या समान रूप से, आपतित तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) से कम होनी चाहिए $(\lambda < \lambda_0)$।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ का मान $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} \approx \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{\phi \text{ (in eV)}} \ \mathring{A}$ द्वारा दिया जाता है।
सोडियम $(Na)$ के लिए: $\phi_{Na} = 2 \ eV$। अतः, $\lambda_{0,Na} = \frac{12400}{2} = 6200 \ \mathring{A}$।
चूंकि आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4000 \ \mathring{A}$, $6200 \ \mathring{A}$ से कम है, इसलिए सोडियम उपयुक्त है।
कॉपर $(Cu)$ के लिए: $\phi_{Cu} = 4 \ eV$। अतः, $\lambda_{0,Cu} = \frac{12400}{4} = 3100 \ \mathring{A}$।
चूंकि आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4000 \ \mathring{A}$, $3100 \ \mathring{A}$ से अधिक है, इसलिए कॉपर उपयुक्त नहीं है।
अतः, सोडियम सही विकल्प है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
यह समीकरण दर्शाता है कि $K_{\max}$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और पदार्थ की प्रकृति (कार्य फलन) पर निर्भर करता है।
प्रकाश की तीव्रता प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या को प्रभावित करती है,जो बदले में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) को प्रभावित करती है,लेकिन यह व्यक्तिगत फोटोइलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को प्रभावित नहीं करती है।
इसलिए,यदि प्रकाश की तीव्रता को दोगुना कर दिया जाए,तो फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है। $hc \approx 12375 \text{ eV} \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर,$E = \frac{12375}{4558} \approx 2.71 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = \phi + K_{\max}$,जहाँ $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$ है।
मान रखने पर: $2.71 \text{ eV} = 2.5 \text{ eV} + K_{\max} \Rightarrow K_{\max} = 0.21 \text{ eV}$।
$K_{\max}$ को जूल में बदलने पर: $K_{\max} = 0.21 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 0.336 \times 10^{-19} \text{ J}$।
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2K_{\max}}{m}}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$ है:
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2 \times 0.336 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx \sqrt{0.0738 \times 10^{12}} \approx 2.71 \times 10^5 \text{ m/s}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,गति लगभग $2.65 \times 10^5 \text{ m/s}$ है।

(A) आइंस्टीन ने प्लांक के सिद्धांत के आधार पर प्रकाश-विद्युत प्रभाव की घटना की व्याख्या की थी।
इसके अनुसार,धातु की सतह से उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_k$ को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$E_k = h\nu - \phi$ -- $(i)$
जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
किसी दी गई धातु के लिए,देहली आवृत्ति $\nu_0$ वह न्यूनतम आवृत्ति है जो इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक है। इसके लिए आवश्यक ऊर्जा कार्य फलन है:
$\phi = h\nu_0$ -- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_k = h\nu - h\nu_0$
$E_k = h(\nu - \nu_0)$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - \Phi_0$,जहाँ $K_{max} = eV_0$ है।
अतः,$eV_0 = h\nu - \Phi_0$,जिसका अर्थ है $V_0 = \frac{h\nu}{e} - \frac{\Phi_0}{e}$।
यहाँ,$V_0$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(\nu)$ और पदार्थ के कार्य फलन $(\Phi_0)$ पर निर्भर करता है।
यह आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है,क्योंकि तीव्रता केवल प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या को प्रभावित करती है,उनकी अधिकतम गतिज ऊर्जा को नहीं।
इसलिए,निरोधी विभव आपतित प्रकाश की तीव्रता से स्वतंत्र है।

(A) देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ और कार्य फलन $W_0$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$.
शॉर्टकट सूत्र $\lambda_0 (\mathring{A} \text{ में}) = \frac{12375}{W_0 (eV \text{ में})}$ का उपयोग करते हुए,$W_0 = 3 \ eV$ रखने पर:
$\lambda_0 = \frac{12375}{3} = 4125 \ \mathring{A}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) आइंस्टीन के फोटो-इलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \Phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \Phi_0$.
जैसे-जैसे आपतित फोटॉन की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ कम होती है, आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E = \frac{hc}{\lambda})$ बढ़ती है।
चूंकि धातु की सतह का कार्य फलन $\Phi_0$ स्थिर रहता है, इसलिए उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ बढ़ जाती है।
चूंकि $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$, इसलिए $K_{max}$ में वृद्धि होने से उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों का अधिकतम वेग $v_{max}$ बढ़ जाता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = W_0 + K_{max}$,जहाँ $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$.
$\lambda_1 = 400\; nm = 400 \times 10^{-9}\; m$ के लिए,वेग $v$ है: $\frac{hc}{400 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{1}{2}mv^2$ ... $(i)$
$\lambda_2 = 250\; nm = 250 \times 10^{-9}\; m$ के लिए,वेग $2v$ है: $\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{1}{2}m(2v)^2 = W_0 + 2mv^2$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0$. इस मान को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + 4(\frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0)$
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{hc}{100 \times 10^{-9}} - 4W_0$
$3W_0 = hc(\frac{1}{100 \times 10^{-9}} - \frac{1}{250 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{2.5 - 1}{250 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{1.5}{250 \times 10^{-9}})$
$3W_0 = hc(0.006 \times 10^9) = hc(6 \times 10^6)$
$W_0 = 2hc \times 10^6\; J$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$,कार्य फलन $(W_0)$ और उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ के योग के बराबर होती है।
$E = W_0 + K_{max}$
यह दिया गया है कि $K_{max} = eV_0$,जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है,इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$E = W_0 + eV_0$
दिए गए मानों ($E = 4 \ eV$ और $W_0 = 2 \ eV$) को प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \ eV = 2 \ eV + eV_0$
$eV_0 = 4 \ eV - 2 \ eV$
$eV_0 = 2 \ eV$
अतः,निरोधी विभव $V_0 = 2 \ V$ है।

(B) कार्य फलन $(\Phi_0)$ वह न्यूनतम ऊर्जा है जो किसी धातु की सतह से इलेक्ट्रॉनों को उत्सर्जित करने के लिए आवश्यक होती है।
देहली आवृत्ति $(v_0)$ वह न्यूनतम आवृत्ति है जिस पर प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन संभव होता है।
कार्य फलन का सूत्र $\Phi_0 = hv_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।