Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Hindi

(B) एक कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ संवेग है और $h$ प्लांक नियतांक है।
कण की गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है।
इससे,हम संवेग को $p = \sqrt{2mK}$ के रूप में लिख सकते हैं। डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में यह मान रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कण का द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए तरंगदैर्ध्य और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$ है।
दिया गया है कि $K = 1 \ \text{eV}$ के लिए $\lambda = 2000 \ \mathring{A}$ है,और हमें $K' = 1 \ \text{MeV} = 10^6 \ \text{eV}$ के लिए $\lambda'$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \sqrt{\frac{K}{K'}} = \sqrt{\frac{1 \ \text{eV}}{10^6 \ \text{eV}}} = \sqrt{\frac{1}{10^6}} = \frac{1}{10^3}$.
अतः,$\lambda' = \frac{\lambda}{10^3} = \frac{2000}{1000} \ \mathring{A} = 2 \ \mathring{A}$.

(B) $V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
माना प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है जब विभवांतर $V_1 = V$ है।
माना नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है जब विभवांतर $V_2 = 9V$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{V}{9V}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$।
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{3}$।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
चूंकि कार्य फलन नगण्य है,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा के बराबर होगी: $K = \frac{hc}{\lambda}$।
इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
हम जानते हैं कि $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$।
$K = \frac{hc}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p = \sqrt{2m \cdot \frac{hc}{\lambda}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda_1^2 = \frac{h^2}{\frac{2mhc}{\lambda}} = \frac{h^2 \lambda}{2mhc} = \frac{h \lambda}{2mc}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\lambda}{\lambda_1^2} = \frac{2mc}{h}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अनुपात $\lambda : \lambda_1^2$ का मान $2mc : h$ है।

(A) एक कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{h}{p}$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{p}$ है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य कण के संवेग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इस प्रकार,विकल्प $A$ सही है।

(C) न्यूट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ है,जहाँ $E_k$ गतिज ऊर्जा है।
तापमान $T$ पर तापीय साम्यावस्था में न्यूट्रॉन की औसत गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{3}{2} k_B T$ होती है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2} k_B T)}} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$.
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
यहाँ $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$ है।
इसलिए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{300}{1200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{2}$.

(B) गतिज ऊर्जा $E$ वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
इससे हमें प्राप्त होता है $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
मान लीजिए प्रारंभिक ऊर्जा $E_1$ है जो तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के संगत है। अतः,$E_1 = \frac{k}{\lambda^2}$ (जहाँ $k = \frac{h^2}{2m}$).
अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$ है। अंतिम ऊर्जा $E_2$ का मान $E_2 = \frac{k}{(\lambda/2)^2} = \frac{4k}{\lambda^2} = 4E_1$ होगा।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E_1 - E_1 = 3E_1$ है।
दिया गया है कि $\Delta E = nE_1$,अतः $n = 3$ प्राप्त होता है।

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि $V_1 = 10 \ kV$ वोल्टेज पर प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है और $V_2 = 20 \ kV$ वोल्टेज पर अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है।
अतः,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{10 \ kV}{20 \ kV}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$.

(A) इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE$ है। इसका त्वरण $a = \frac{eE}{m}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए समय $t$ पर इसका वेग $v = at = \frac{eEt}{m}$ होगा।
इलेक्ट्रॉन का संवेग $p = mv = m(\frac{eEt}{m}) = eEt$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{eEt}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष $\lambda$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{d\lambda}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{h}{eEt}) = \frac{h}{eE} \frac{d}{dt}(t^{-1}) = \frac{h}{eE} (-t^{-2}) = -\frac{h}{eEt^2}$.

(C) $1$. फोटॉन की ऊर्जा $(E_p)$ का सूत्र $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ है।
$2$. इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है। अतः,$p = \frac{h}{\lambda}$।
$3$. इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K_e)$ का सूत्र $K_e = \frac{p^2}{2m}$ है।
$4$. $p = \frac{h}{\lambda}$ को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $K_e = \frac{(h/\lambda)^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
$5$. इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और फोटॉन की ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_e}{E_p} = \frac{h^2 / (2m\lambda^2)}{hc / \lambda}$ है।
$6$. व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{K_e}{E_p} = \frac{h^2}{2m\lambda^2} \times \frac{\lambda}{hc} = \frac{h}{2mc\lambda}$।

(B) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = h / p_e = h / (m_e v)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $v = c / 100$,इसलिए $\lambda_e = h / (m_e c / 100) = 100h / (m_e c)$।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E_e = (1/2) m_e v^2 = (1/2) m_e (c / 100)^2 = m_e c^2 / 20000$ है।
फोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_p = h / p_p = hc / E_p$ है,जिसका अर्थ है $E_p = hc / \lambda_p$।
दिया गया है $\lambda_p = 2 \lambda_e$,तो $\lambda_e$ का मान रखने पर:
$\lambda_p = 2 \times (100h / (m_e c)) = 200h / (m_e c)$।
अब,$E_p = hc / (200h / (m_e c)) = m_e c^2 / 200$ की गणना करें।
अंत में,अनुपात $E_p / E_e = (m_e c^2 / 200) / (m_e c^2 / 20000) = 20000 / 200 = 100 = 10^2$।

(B) फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E_p = h\nu = hc / \lambda_p$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = h / p_e$ है,इसलिए $p_e = h / \lambda_e$।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E_e = p_e^2 / (2m) = h^2 / (2m \lambda_e^2)$ है।
दिया गया है कि $\lambda_p = 2\lambda_e$,इसलिए $\lambda_e = \lambda_p / 2$।
इस मान को इलेक्ट्रॉन ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $E_e = h^2 / (2m (\lambda_p / 2)^2) = 2h^2 / (m \lambda_p^2)$।
अब,अनुपात $E_e / E_p$ ज्ञात करें:
$E_e / E_p = [2h^2 / (m \lambda_p^2)] / [hc / \lambda_p] = 2h / (mc \lambda_p)$।
चूंकि $\lambda_e = h / (m v_e)$,इसलिए $\lambda_p = 2 \lambda_e = 2h / (m v_e)$।
$\lambda_p$ का मान अनुपात में रखने पर: $E_e / E_p = 2h / (mc \cdot (2h / (m v_e))) = v_e / c$।
दिया गया है कि $v_e = C / 100$,इसलिए अनुपात $E_e / E_p = (C / 100) / C = 1 / 100 = 1 \times 10^{-2}$ है।

(B) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mE}$।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$।
यदि गतिज ऊर्जा को $2$ गुना बढ़ा दिया जाता है,तो नई गतिज ऊर्जा $E' = E + 2E = 3E$ हो जाती है।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(3E)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \lambda$ होगी।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\sqrt{3}}$ के कारक से बदल जाएगी।

(B) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस संबंध द्वारा दी जाती है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए प्रारंभिक विभव $V_1$ है और अंतिम विभव $V_2 = 4V_1$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात इस प्रकार है: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$.
$V_2$ का मान रखने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{4V_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$.
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है।

(C) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
मान लीजिए प्रारंभिक विभव $V_1 = V$ है और अंतिम विभव $V_2 = 2V$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$ होगी।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के कारक से घट जाएगी।

(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \implies \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$
यहाँ प्रारंभिक विभवांतर $V_1 = 16 \ kV$ और अंतिम विभवांतर $V_2 = 64 \ kV$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{16}{64}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$.
इस प्रकार,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाएगी।

(D) प्रोटॉन के लिए,गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $m$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है।
इससे,संवेग $p = \sqrt{2mE}$ प्राप्त होता है।
प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के बीच संबंध $E = \frac{hc}{\lambda_2}$ है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
अतः,फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$ है।
अब,तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right) \times \left( \frac{E}{hc} \right) = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{1}{c\sqrt{2m}} \right) E^{1/2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 1/2 = 0.5$ प्राप्त होता है।

(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} = \frac{1.228}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ द्वारा दी जाती है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$ या $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2$।
दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य $50 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \lambda_1 + 0.5\lambda_1 = 1.5\lambda_1 = \frac{3}{2}\lambda_1$ है।
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1.5\lambda_1}{\lambda_1}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$।

(C) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक विभवांतर $V_1 = V$ है और अंतिम विभवांतर $V_2 = 2V$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के कारक से घट जाती है।

(D) $V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक विभव $V_1 = V$ पर तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 4\lambda$ है।
मान लीजिए कि अंतिम विभव $V_2 = 4V$ पर तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है।
समानुपातिकता के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\lambda_2}{4\lambda} = \sqrt{\frac{V}{4V}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$\lambda_2 = 4\lambda \times \frac{1}{2} = 2\lambda$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $p = \sqrt{2mqV}$,इसलिए $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda = \left( \frac{h}{\sqrt{2mq}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{V}} \right)$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \lambda$ और $x = \frac{1}{\sqrt{V}}$,ग्राफ का ढाल $\text{Slope} = \frac{h}{\sqrt{2mq}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $h$ और $q$ स्थिरांक हैं,इसलिए ढाल द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है: $\text{Slope} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
इसलिए,कम ढाल बड़े द्रव्यमान के अनुरूप होती है।
ग्राफ को देखने पर,$m_1$ के अनुरूप रेखा का ढाल सबसे कम है।
अतः,$m_1$ सबसे अधिक द्रव्यमान वाले कण का प्रतिनिधित्व करता है।

(D) किसी कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $(E)$ और संवेग $(p)$ के बीच संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $p = \sqrt{2mE}$।
इस मान को डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $h$ और $m$ (कण का द्रव्यमान) नियतांक हैं,इसलिए हम कह सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,जो कि $\lambda \propto E^{-\frac{1}{2}}$ के बराबर है।

(B) किसी कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
$m$ द्रव्यमान और $E$ ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,संवेग $p_e = \sqrt{2mE}$ होता है। अतः,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
$E$ ऊर्जा वाले फोटॉन के लिए,संवेग $p_p = \frac{E}{c}$ होता है। अतः,$\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E}$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \frac{E}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}} = \frac{1}{c} \left[\frac{E}{2m}\right]^{1/2}$ है।

(C) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक विभवांतर $V_1 = V$ है और अंतिम विभवांतर $V_2 = 2V$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के कारक से घट जाती है।

(B) विभवांतर '$V$' द्वारा त्वरित आवेशित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य इस प्रकार दी जाती है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
'$m$' द्रव्यमान और '$q$' आवेश वाले इलेक्ट्रॉन के लिए:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ ---$(1)$
'$M$' द्रव्यमान और '$q$' आवेश वाले प्रोटॉन के लिए (चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन पर आवेश का परिमाण समान होता है):
$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2Mq(9V)}}$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda}{\lambda_p} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2mqV}}}{\frac{h}{\sqrt{2Mq(9V)}}} = \sqrt{\frac{2Mq(9V)}{2mqV}} = \sqrt{\frac{9M}{m}} = 3\sqrt{\frac{M}{m}}$
अतः,प्रोटॉन से संबंधित तरंगदैर्ध्य है:
$\lambda_p = \frac{\lambda}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$

(D) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $P = \sqrt{2mK}$ है।
यदि गतिज ऊर्जा को तीन गुना कर दिया जाए,तो नई गतिज ऊर्जा $K' = 3K$ होगी।
नया संवेग $P'$ इस प्रकार होगा: $P' = \sqrt{2m(3K)} = \sqrt{3} \sqrt{2mK} = \sqrt{3}P$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = h/P$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ होगी: $\lambda' = h/P' = h/(\sqrt{3}P) = \lambda / \sqrt{3}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $1/\sqrt{3}$ के कारक से बदल जाएगी।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए संवेग को $p = \sqrt{2mK}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$ है।
यदि गतिज ऊर्जा $K$ को दोगुना करके $K' = 2K$ कर दिया जाए,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(2K)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$ हो जाती है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के कारक से बदल जाती है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m} = qV$ है,इसलिए संवेग $p = \sqrt{2mqV}$ होता है।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}} = \left( \frac{h}{\sqrt{2mq}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{V}} \right)$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \lambda$ और $x = \frac{1}{\sqrt{V}}$ है,ढाल (slope) $\text{slope} = \frac{h}{\sqrt{2mq}}$ है।
यहाँ $h$ और $q$ स्थिरांक हैं,इसलिए ढाल द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $\text{slope} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।
अतः,अधिक ढाल का अर्थ है कम द्रव्यमान।
ग्राफ से,$m_4$ के लिए रेखा की ढाल सबसे अधिक है।
इसलिए,$m_4$ सबसे कम द्रव्यमान वाले कण को दर्शाता है।

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
इससे, ऊर्जा को $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 1 \,nm$ है और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 0.5 \,nm$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = \frac{h^2}{2m\lambda_1^2}$ है।
अंतिम ऊर्जा $E_2 = \frac{h^2}{2m\lambda_2^2} = \frac{h^2}{2m(0.5\lambda_1)^2} = \frac{h^2}{2m(0.25\lambda_1^2)} = 4E_1$ है।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E_1 - E_1 = 3E_1$ है।
अतः, दी जाने वाली अतिरिक्त ऊर्जा उसकी प्रारंभिक ऊर्जा की तीन गुना है।

(C) $0 \leq x \leq 1$ क्षेत्र में,कण की स्थितिज ऊर्जा $U = E$ है। कुल ऊर्जा $E_{total} = nE$ है।
चूंकि $E_{total} = K.E. + P.E.$,गतिज ऊर्जा $K_1 = nE - E = (n-1)E$ है।
संवेग $p_1 = \sqrt{2mK_1} = \sqrt{2m(n-1)E}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda_1 = \frac{h}{p_1} = \frac{h}{\sqrt{2m(n-1)E}}$ है।
$x > 1$ क्षेत्र में,स्थितिज ऊर्जा $U = 0$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा $K_2 = nE - 0 = nE$ है।
संवेग $p_2 = \sqrt{2mK_2} = \sqrt{2mnE}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda_2 = \frac{h}{p_2} = \frac{h}{\sqrt{2mnE}}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2m(n-1)E}}{h / \sqrt{2mnE}} = \sqrt{\frac{2mnE}{2m(n-1)E}} = \sqrt{\frac{n}{n-1}}$.

(B) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$।
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $q$ कण का आवेश है।
प्रोटॉन के लिए,द्रव्यमान $m_p = m$ और आवेश $q_p = e$ लें।
अल्फा कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m$ और आवेश $q_{\alpha} = 2e$ है।
चूंकि दोनों समान विभवांतर $V$ से त्वरित होते हैं,इसलिए उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात होगा:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}}$
मान रखने पर:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
अतः,अनुपात $2\sqrt{2}: 1$ है।

(A) गतिज ऊर्जा $E$ वाले प्रोटॉन के लिए,संवेग $p$ को $E = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है।
अतः,$p = \sqrt{2mE}$।
प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
ऊर्जा $E$ वाले फोटॉन के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ को $E = \frac{hc}{\lambda_2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$।
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$।
इसलिए,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^{1/2}$।
इसकी तुलना $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^n$ से करने पर,हमें $n = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) $E$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,संवेग $p$ इस प्रकार है: $E = \frac{p^2}{2m}$,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mE}$।
इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ होती है।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E$ और तरंगदैर्घ्य $\lambda_p$ के बीच संबंध $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ है,जिसका अर्थ है $\lambda_p = \frac{hc}{E}$।
तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$ है।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} = \frac{1.228}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है जब विभव $V_1 = V$ है।
मान लीजिए कि नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है जब विभव $V_2 = 4V$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{4V}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$.
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य अपने मूल मान की आधी हो जाती है।

(A) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
अतः,$p = \sqrt{2mK}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 16K_1$ है।
अतः,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{16K_1}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$।
इस प्रकार,$\lambda_2 = 0.25 \lambda_1$।
तरंगदैर्ध्य में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1} \times 100\% = \frac{\lambda_1 - 0.25 \lambda_1}{\lambda_1} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$ है।

(B) चूंकि कार्य फलन नगण्य है,इसलिए उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा आपतित फोटॉन की ऊर्जा के बराबर होती है।
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda}$
दोनों पक्षों को $2m$ से गुणा करने पर,$m^2v^2 = \frac{2mhc}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,संवेग $p = mv = \sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e$ का सूत्र $\lambda_e = \frac{h}{p}$ है।
$p$ का मान रखने पर:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}} = \sqrt{\frac{h^2 \lambda}{2mhc}} = \sqrt{\frac{h\lambda}{2mc}}$।

(D) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक विभवांतर $V_1 = V$ है और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ है।
जब विभवांतर को दोगुना किया जाता है,तो नया विभवांतर $V_2 = 2V$ हो जाता है।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2me(2V)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$.
इस प्रकार,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $1/\sqrt{2}$ के कारक से बदल जाती है।

(B) इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों को समान विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित किया जाता है,इसलिए वे समान गतिज ऊर्जा $K = eV$ प्राप्त करते हैं।
किसी कण का संवेग $P$ उसकी गतिज ऊर्जा $K$ से $P = \sqrt{2mK}$ सूत्र द्वारा संबंधित होता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,संवेग $P_{e} = \sqrt{2m_{e}K}$ है।
प्रोटॉन के लिए,संवेग $P_{p} = \sqrt{2m_{p}K}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{P}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \frac{h/P_{p}}{h/P_{e}} = \frac{P_{e}}{P_{p}}$ होगा।
संवेग के मान रखने पर: $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \frac{\sqrt{2m_{e}K}}{\sqrt{2m_{p}K}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{m_{p}}} = \left(\frac{m_{e}}{m_{p}}\right)^{\frac{1}{2}}$।

(A) ऊर्जा $E$ वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
इस संबंध से स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
यहाँ $\lambda_1 = 10^{-10} \ m$ और $\lambda_2 = 0.5 \times 10^{-10} \ m$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{10^{-10}}{0.5 \times 10^{-10}} = 2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{E_2}{E_1}$,अर्थात $E_2 = 4E_1 = 4E$.
इलेक्ट्रॉन को दी गई अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E - E = 3E$ होगी।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए संवेग को $p = \sqrt{2m(K.E.)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2m(K.E.)}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को संबंध $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,गतिज ऊर्जा $KE$ को $KE = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के लिए समान है,इसलिए हमारे पास $KE \propto \frac{1}{m}$ है।
क्योंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ से बहुत कम है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा से अधिक होगी।

(B) फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$\lambda_p = \frac{hc}{E} \dots (i)$.
गैर-सापेक्षवादी इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि $E = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mE}$.
अतः,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$,जिसका अर्थ है कि $E = \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$.
समीकरण $(i)$ में $E$ का मान रखने पर:
$\lambda_p = \frac{hc}{(h^2 / 2m\lambda_e^2)} = \frac{2mc}{h} \lambda_e^2$.
इसलिए,$\lambda_p \propto \lambda_e^2$.

(C) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित करने पर उसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन के लिए: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$M$ द्रव्यमान और $e$ आवेश वाले प्रोटॉन के लिए जब उसे $9V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है: $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2Me(9V)}} = \frac{h}{3\sqrt{2MeV}}$.
$\lambda'$ को $\lambda$ से विभाजित करने पर: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{\frac{h}{3\sqrt{2MeV}}}{\frac{h}{\sqrt{2meV}}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$.
अतः,$\lambda' = \frac{\lambda}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$.

(B) $m$ द्रव्यमान और $E$ गतिज ऊर्जा वाले कण से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का संबंध इस प्रकार है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.
अतः,जब इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E$ बढ़ाई जाती है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घट जाएगी।

(D) विरामावस्था से $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित एक आवेशित कण का संवेग $p = \sqrt{2mqV}$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $q$ कण का आवेश है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$m = m_{e}$ और $q = e$ है।
$\alpha$-कण के लिए,$m = m_{\alpha}$ और $q = 2e$ है।
संवेगों का अनुपात लेने पर:
$\frac{p_{e}}{p_{\alpha}} = \frac{\sqrt{2 m_{e} e V}}{\sqrt{2 m_{\alpha} (2e) V}}$
$\frac{p_{e}}{p_{\alpha}} = \sqrt{\frac{2 m_{e} e V}{4 m_{\alpha} e V}}$
$\frac{p_{e}}{p_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{2 m_{\alpha}}}$

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 0.12 \ kg$
वेग $v = 20 \ m \ s^{-1}$
प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$
सूत्र में मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.12 \times 20}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.4}$
$\lambda = 2.7625 \times 10^{-34} \ m$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\lambda = 2.76 \times 10^{-34} \ m$ प्राप्त होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{mv}$।
दिए गए मान हैं: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,और $v = 6.4 \times 10^{6} \ m/s$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 6.4 \times 10^{6}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{58.304 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.1137 \times 10^{-9} \ m$
चूंकि $1 \ nm = 10^{-9} \ m$,इसलिए $\lambda \approx 0.114 \ nm$ प्राप्त होता है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
चाल $v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$v = \frac{h}{m \lambda}$.
दिए गए मान:
$h = 6.625 \times 10^{-34} \,J \,s$
$m = 1.0 \times 10^{-9} \,kg$
$\lambda = 3 \times 10^{-25} \,m$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{(1.0 \times 10^{-9}) \times (3 \times 10^{-25})}$
$v = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{3.0 \times 10^{-34}}$
$v = 2.2083... \,m \,s^{-1} \approx 2.2 \,m \,s^{-1}$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति के सिद्धांत पर कार्य करता है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,गतिमान इलेक्ट्रॉनों के साथ एक तरंग जुड़ी होती है,जिसे द्रव्य तरंगें (matter waves) कहा जाता है।
इन द्रव्य तरंगों की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
चूंकि इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तुलना में बहुत छोटी होती है,इसलिए इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी ऑप्टिकल सूक्ष्मदर्शी की तुलना में बहुत अधिक रिज़ॉल्यूशन प्राप्त कर सकते हैं।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,कण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस प्रकार दी जाती है:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
जब किसी कण को $H$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो उसका वेग $v$ गति के समीकरण के अनुसार होता है:
$v = \sqrt{2gH}$
वेग के इस व्यंजक को डी-ब्रोग्ली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{h}{m\sqrt{2gH}}$
चूंकि $h$,$m$,और $g$ स्थिरांक हैं,हम लिख सकते हैं:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{H}}$
अतः,कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य ऊँचाई पर $H^{-\frac{1}{2}}$ के रूप में निर्भर करती है।