Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Hindi

(C) $K$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$\lambda_e \approx \frac{12.27}{\sqrt{K}} \, \mathring{A}$,जहाँ $K$,$eV$ में है।
दिया गया है $K = 1.5 \, eV$,अतः $\lambda_e = \frac{12.27}{\sqrt{1.5}} \, \mathring{A}$.
फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_p = \frac{hc}{E_p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\lambda_p = \lambda_e$,इसलिए $\frac{hc}{E_p} = \frac{12.27}{\sqrt{1.5}} \, \mathring{A}$.
$hc \approx 12400 \, eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर,$E_p = \frac{12400 \cdot \sqrt{1.5}}{12.27} \, eV$.
$E_p \approx \frac{12400 \cdot 1.2247}{12.27} \approx 1237.5 \, eV \approx 1.24 \, keV$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 16K$ है।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K}{16K}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} = 0.25$ होगा।
इस प्रकार,$\lambda_2 = 0.25 \lambda_1$.
तरंगदैर्ध्य में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1} \times 100\%$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\lambda_1 - 0.25 \lambda_1}{\lambda_1} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$ प्राप्त होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $m$ कण का द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 16K$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K}{16K}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} = 0.25$ है।
अतः, $\lambda_2 = 0.25\lambda_1$.
तरंगदैर्ध्य में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1} \times 100\%$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, हमें $\frac{\lambda_1 - 0.25\lambda_1}{\lambda_1} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$ प्राप्त होता है।

(A) इलेक्ट्रॉन $200 \, eV$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के साथ प्लेटों के बीच के क्षेत्र में प्रवेश करता है。
चूंकि प्लेटें $100 \, V$ के पावर सप्लाई से जुड़ी हैं, इसलिए उनके बीच एक विद्युत क्षेत्र मौजूद है। आरेख के अनुसार, इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के विपरीत (धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट की ओर) गति करता है, जो एक मंदक विभव (retarding potential) के रूप में कार्य करता है。
इसलिए, जब इलेक्ट्रॉन दूसरी प्लेट से बाहर निकलता है, तो उसकी अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 200 \, eV - 100 \, eV = 100 \, eV$ होती है。
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A}$ है, जहाँ $V$ $eV$ में गतिज ऊर्जा है。
$V = 100 \, eV$ रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{100}} = \frac{12.27}{10} = 1.227 \, \mathring{A} \approx 1.22 \, \mathring{A}$。

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
इससे हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda'}{\lambda} = \sqrt{\frac{E}{E'}}$।
यहाँ $\lambda = 1 \, nm$ और $\lambda' = 0.5 \, nm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{0.5}{1} = \sqrt{\frac{E}{E'}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} = \frac{E}{E'}$,जिसका अर्थ है $E' = 4E$।
जोड़ी जाने वाली ऊर्जा $\Delta E = E' - E = 4E - E = 3E$ होगी।
अतः,जोड़ी जाने वाली ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा की तीन गुना है।

(C) मान लीजिए कि दो इलेक्ट्रॉनों का संवेग $\vec{p}_1 = \frac{h}{\lambda_1} \hat{i}$ और $\vec{p}_2 = \frac{h}{\lambda_2} \hat{j}$ है।
चूंकि दोनों इलेक्ट्रॉन हैं,इसलिए उनका द्रव्यमान $m$ समान है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{V}_{CM} = \frac{\vec{p}_1 + \vec{p}_2}{2m} = \frac{h}{2m\lambda_1} \hat{i} + \frac{h}{2m\lambda_2} \hat{j}$ है।
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष पहले इलेक्ट्रॉन का वेग $\vec{v}_{1,CM} = \vec{v}_1 - \vec{V}_{CM} = \frac{\vec{p}_1 - \vec{p}_2}{2m} = \frac{h}{2m\lambda_1} \hat{i} - \frac{h}{2m\lambda_2} \hat{j}$ है।
$CM$ फ्रेम में इलेक्ट्रॉन का संवेग $\vec{p}_{CM} = m \vec{v}_{1,CM} = \frac{h}{2\lambda_1} \hat{i} - \frac{h}{2\lambda_2} \hat{j}$ है।
इस संवेग का परिमाण $p_{CM} = \sqrt{(\frac{h}{2\lambda_1})^2 + (-\frac{h}{2\lambda_2})^2} = \frac{h}{2} \frac{\sqrt{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}}{\lambda_1 \lambda_2}$ है।
$CM$ फ्रेम में डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{CM} = \frac{h}{p_{CM}} = \frac{2\lambda_1\lambda_2}{\sqrt{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}}$ होगी।

(C) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
दिया गया है कि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान हैं,अर्थात $\lambda_p = \lambda_{\alpha}$।
इसलिए,$\frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_{\alpha} v_{\alpha}}$।
इसे सरल करने पर $m_p v_p = m_{\alpha} v_{\alpha}$,या $\frac{v_p}{v_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha}}{m_p}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$-कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का लगभग $4$ गुना होता है $(m_{\alpha} = 4m_p)$,हम इस मान को अनुपात में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{v_p}{v_{\alpha}} = \frac{4m_p}{m_p} = \frac{4}{1}$।
अतः,प्रोटॉन और $\alpha$-कण के वेगों का अनुपात $4:1$ है।

(C) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}}\,\mathring{A}$।
यहाँ $V = 50\,V$ दिया गया है।
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{50}}\,\mathring{A}$।
हम जानते हैं कि $\sqrt{50} \approx 7.071$ होता है।
अतः,$\lambda = \frac{12.27}{7.071} \approx 1.735\,\mathring{A}$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\lambda \approx 1.7\,\mathring{A}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
किसी कण के लिए तरंग जैसी विशेषताओं को प्रदर्शित करने के लिए,उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इतनी बड़ी होनी चाहिए कि उसे प्रयोगात्मक रूप से पता लगाया जा सके।
चूंकि $\lambda$ कण के द्रव्यमान $m$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए बहुत बड़े द्रव्यमान वाले कणों की तरंगदैर्ध्य अत्यंत छोटी होती है जिसे वर्तमान तकनीक से मापना असंभव है।
दिए गए विकल्पों में से,धूल के कण का द्रव्यमान सबसे अधिक है ($m$ बहुत अधिक है)।
इसलिए,धूल के कण के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अत्यंत छोटी होती है,जिससे इसे प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना सबसे कठिन हो जाता है।

(C) दी गई शर्त के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज है:
$2 \pi r = n \lambda$
चूंकि $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$,इसलिए:
$2 \pi r = \frac{nh}{mv} \implies mvr = \frac{nh}{2 \pi}$
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहे एक आवेशित कण के लिए,चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$qvB = \frac{mv^2}{r} \implies mv = qBr$
$mv = qBr$ को क्वांटाइजेशन शर्त में रखने पर:
$(qBr)r = \frac{nh}{2 \pi} \implies qBr^2 = \frac{nh}{2 \pi}$
$r^2$ के लिए हल करने पर:
$r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$
अतः,$r = \sqrt{\frac{nh}{2 \pi qB}}$,जिसका अर्थ है कि $r \propto n^{1/2}$.

(D) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $E = qV$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$E_e = eV$.
प्रोटॉन के लिए,$E_p = e(4V) = 4eV$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}$ और $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p (4eV)}} = \frac{h}{2\sqrt{2m_p eV}}$.
अनुपात $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$ लेने पर:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}} \times \frac{2\sqrt{2m_p eV}}{h} = 2\sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$.

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन के लिए ऊर्जा $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times (7.5 \times 10^{-12})^2} \ J$.
गणना करने पर, $E \approx 4.3 \times 10^{-15} \ J$ प्राप्त होता है।
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने पर: $E = \frac{4.3 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 26875 \ eV = 26.8 \ keV$.
अतः, निकटतम विकल्प $25 \ keV$ है।

(D) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_p = \frac{c}{\nu}$ है,जहाँ $\nu$ आवृत्ति है।
प्रश्न के अनुसार,$\lambda_e = 10^{-3} \times \lambda_p$.
मान रखने पर: $\frac{h}{mv} = 10^{-3} \times \frac{c}{\nu}$.
इलेक्ट्रॉन की चाल $(v)$ के लिए सूत्र: $v = \frac{h \nu}{m c \times 10^{-3}}$.
दिए गए मान रखने पर: $v = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14}}{9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8 \times 10^{-3}}$.
$v = \frac{39.78 \times 10^{-20}}{27.3 \times 10^{-26}} = 1.457 \times 10^6 \, m/s \approx 1.45 \times 10^6 \, m/s$.

(C) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण के लिए $V$ विभवांतर से त्वरित होने पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
कण $A$ के लिए: $\lambda_A = \frac{h}{\sqrt{2mq(50)}}$.
कण $B$ के लिए: $\lambda_B = \frac{h}{\sqrt{2(4m)q(2500)}} = \frac{h}{\sqrt{8mq(2500)}} = \frac{h}{\sqrt{20000mq}}$.
अनुपात $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{\sqrt{2(4m)q(2500)}}{\sqrt{2mq(50)}} = \sqrt{\frac{8m \cdot q \cdot 2500}{2m \cdot q \cdot 50}} = \sqrt{\frac{20000}{100}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए अनुपात $10 \times 1.414 = 14.14$ है।

(D) मान लीजिए कि दो कणों के संवेग $\vec{P}_1$ और $\vec{P}_2$ हैं। चूँकि वे लंबवत गति कर रहे हैं,हम उन्हें $\vec{P}_1 = \frac{h}{\lambda_1} \hat{i}$ और $\vec{P}_2 = \frac{h}{\lambda_2} \hat{j}$ के रूप में लिख सकते हैं।
संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,अंतिम कण का संवेग $\vec{P}$ प्रारंभिक संवेगों का सदिश योग है:
$\vec{P} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 = \frac{h}{\lambda_1} \hat{i} + \frac{h}{\lambda_2} \hat{j}$.
अंतिम संवेग का परिमाण है:
$|\vec{P}| = \sqrt{\left(\frac{h}{\lambda_1}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda_2}\right)^2}$.
चूँकि अंतिम कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{|\vec{P}|}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{h}{\lambda} = \sqrt{\left(\frac{h}{\lambda_1}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda_2}\right)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और $h^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda_1^2} + \frac{1}{\lambda_2^2}$.

(D) मान लीजिए कि नाभिक $A$ का द्रव्यमान $2m$ है,इसलिए प्रत्येक नाभिक $B$ और $C$ का द्रव्यमान $m$ है। मान लीजिए $A$ का प्रारंभिक वेग $v_0$ है। प्रारंभिक संवेग $P_A = (2m)v_0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग प्रारंभिक संवेग के बराबर होना चाहिए। मान लीजिए $B$ का वेग $v$ है। तो $C$ का वेग विपरीत दिशा में $v/2$ है।
$P_f = m v - m(v/2) = m v / 2$.
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर: $2m v_0 = m v / 2$,जिससे $v = 4v_0$ प्राप्त होता है।
अब,$B$ और $C$ के संवेग की गणना करें:
$P_B = m v = m(4v_0) = 4m v_0$.
$P_C = m(v/2) = m(2v_0) = 2m v_0$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = h/P$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\lambda_A = h / (2m v_0)$.
$\lambda_B = h / P_B = h / (4m v_0) = \frac{1}{2} \times \frac{h}{2m v_0} = \frac{\lambda_A}{2}$.
$\lambda_C = h / P_C = h / (2m v_0) = \lambda_A$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda_B = \frac{\lambda_A}{2}$ और $\lambda_C = \lambda_A$ हैं।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,संघट्ट से पहले का कुल संवेग संघट्ट के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कण $x$ और $y$ के संवेग क्रमशः $\vec{p}_x$ और $\vec{p}_y$ हैं।
चूंकि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं,हम एक दिशा को धनात्मक और दूसरी को ऋणात्मक लेते हैं।
संवेग का परिमाण डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य से $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा संबंधित है।
मान लीजिए $p_x = \frac{h}{\lambda_x}$ और $p_y = \frac{h}{\lambda_y}$ है।
कण $P$ का अंतिम संवेग $p_f = |p_x - p_y|$ है।
मान रखने पर,$p_f = |\frac{h}{\lambda_x} - \frac{h}{\lambda_y}| = h |\frac{1}{\lambda_x} - \frac{1}{\lambda_y}|$.
चूंकि $p_f = \frac{h}{\lambda}$,इसलिए $\frac{h}{\lambda} = h |\frac{\lambda_y - \lambda_x}{\lambda_x \lambda_y}|$.
अतः,$\lambda = \frac{\lambda_x \lambda_y}{|\lambda_x - \lambda_y|}$.

(A) दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e$ फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_p$ के बराबर है,इसलिए $\lambda_e = \lambda_p = \lambda$ है।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_e = \frac{1}{2} m_e v_e^2$ है।
फोटॉन की ऊर्जा $E_p = \frac{hc}{\lambda_p}$ है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,$\lambda_e = \frac{h}{m_e v_e}$,जिसका अर्थ है $m_e = \frac{h}{\lambda_e v_e}$।
$m_e$ का मान गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर: $K_e = \frac{1}{2} \left( \frac{h}{\lambda_e v_e} \right) v_e^2 = \frac{h v_e}{2 \lambda_e}$।
अब,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और फोटॉन की ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{h v_e / 2 \lambda_e}{hc / \lambda_p} = \frac{v_e}{2c}$।
यहाँ $v_e = 1.5 \times 10^8 \, m/s$ और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ दिया गया है:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4}$।

(D) निकाय का प्रारंभिक संवेग $P_{i} = 0$ है क्योंकि न्यूट्रॉन धीरे-धीरे चल रहा है (संवेग $\approx 0$) और $M$ द्रव्यमान का नाभिक स्थिर है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग $P_{f}$ भी शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि $m_{1}$ द्रव्यमान वाले नाभिक का संवेग $P_{1}$ है और $5m_{1}$ द्रव्यमान वाले नाभिक का संवेग $P_{2}$ है।
अतः,$P_{1} + P_{2} = 0$,जिसका अर्थ है कि $P_{1} = -P_{2}$।
परिमाण लेने पर,$|P_{1}| = |P_{2}| = P$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{P}$ द्वारा दी जाती है।
पहले नाभिक के लिए,$\lambda_{1} = \frac{h}{P_{1}} = \lambda$।
दूसरे नाभिक के लिए,$\lambda_{2} = \frac{h}{P_{2}} = \frac{h}{P_{1}} = \lambda$।
इसलिए,दूसरे नाभिक की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य भी $\lambda$ होगी।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
इससे हमें पता चलता है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
यहाँ $\lambda_1 = 10^{-10} \ m$ और $\lambda_2 = 0.5 \times 10^{-10} \ m$ दिया गया है,इसलिए $\frac{10^{-10}}{0.5 \times 10^{-10}} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
इसे सरल करने पर $2 = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$ प्राप्त होता है,जिससे $\frac{E_2}{E_1} = 4$,या $E_2 = 4E_1$ मिलता है।
जोड़ी जाने वाली ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E_1 - E_1 = 3E_1$ होगी।
अतः,जोड़ी गई ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा की तीन गुना होगी।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ संवेग है।
अवकलन करने पर,हमें $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$ प्राप्त होता है।
परिमाण लेने पर,$\left| \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right| = \left| \frac{\Delta p}{p} \right|$।
यह दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $0.25\%$ है,इसलिए $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$।
संवेग में दिए गए परिवर्तन $\Delta p = p_0$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{p_0}{p} = \frac{1}{400}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल संवेग $p = 400\,p_0$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के लिए गतिज ऊर्जा $E = 10^{-32} \ J$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
हम जानते हैं कि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक होता है,अर्थात $m_p > m_e$।
इसलिए,$\sqrt{m_p} > \sqrt{m_e}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{\sqrt{m_p}} < \frac{1}{\sqrt{m_e}}$।
अतः,प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य इलेक्ट्रॉन से कम है,अर्थात $\lambda_p < \lambda_e$।

(C) जब कोई आवेशित कण (आवेश $q$,द्रव्यमान $m$) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में लंबवत प्रवेश करता है,तो उसके वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ निम्न प्रकार दी जाती है:
$r = \frac{mv}{qB} \Rightarrow mv = qBr$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
तरंगदैर्ध्य के सूत्र में $mv = qBr$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{h}{qBr}$
चूंकि दोनों कणों के लिए त्रिज्या $r$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं:
$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{p}} = \frac{q_{p}}{q_{\alpha}}$
$\alpha$-कण के लिए $q_{\alpha} = 2e$ और प्रोटॉन के लिए $q_{p} = e$ है,इसलिए:
$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{p}} = \frac{e}{2e} = \frac{1}{2}$

(C) $m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए $V$ विभवांतर के अंतर्गत डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $e$ कण का आवेश है।
चूंकि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन दोनों को समान विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित किया जाता है और दोनों का आवेश $e$ समान है,इसलिए तरंगदैर्ध्य कण के द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$
हम जानते हैं कि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p)$ से काफी कम होता है,अर्थात $m_e < m_p$।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{m_e}} > \frac{1}{\sqrt{m_p}}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_e > \lambda_p$।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
चूंकि कण और इलेक्ट्रॉन दोनों की तरंगदैर्ध्य समान है,इसलिए उनका संवेग भी समान होगा।
$m_p v_p = m_e v_e$
यहाँ,$m_p = 1\, mg = 10^{-6}\, kg$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$,और $v_e = 3 \times 10^6\, m\,s^{-1}$ है।
मान रखने पर:
$v_p = \frac{m_e v_e}{m_p} = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^6}{10^{-6}}$
$v_p = 27.3 \times 10^{-25} \times 10^6 = 27.3 \times 10^{-19} = 2.73 \times 10^{-18}\, m\,s^{-1}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,कण का वेग $2.7 \times 10^{-18}\, m\,s^{-1}$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $E$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि दोनों कणों के लिए ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p}}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\alpha$-कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का लगभग $4$ गुना होता है $(m_\alpha \approx 4m_p)$।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = \frac{2}{1}$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले और $v$ वेग से गतिमान कण की गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों को $2m$ से गुणा करने पर,हमें $2mE = m^2v^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,संवेग $p = mv = \sqrt{2mE}$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ होती है।
$p$ का मान रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित $q$ आवेश वाले कण की गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
चूंकि $K = p^2 / 2m$,जहाँ $p$ संवेग है और $m$ द्रव्यमान है,इसलिए $p = \sqrt{2mqV}$ होता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$q_e = e$ और द्रव्यमान $m_e$ है। अतः,$p_e = \sqrt{2m_e eV}$।
अल्फा कण के लिए,$q_\alpha = 2e$ और द्रव्यमान $m_\alpha$ है। अतः,$p_\alpha = \sqrt{2m_\alpha (2e) V} = \sqrt{4m_\alpha eV}$।
संवेगों का अनुपात $\frac{p_e}{p_\alpha} = \frac{\sqrt{2m_e eV}}{\sqrt{4m_\alpha eV}} = \sqrt{\frac{2m_e}{4m_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_e}{2m_\alpha}}$ है।

(D) इलेक्ट्रॉन $200 \, eV$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के साथ प्लेटों के बीच के क्षेत्र में प्रवेश करता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट की ओर होता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित होता है,इसलिए यह विद्युत क्षेत्र की दिशा के विपरीत बल का अनुभव करता है,यानी यह मंदन (deceleration) का अनुभव करता है।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V = 100 \, V$ है,इसलिए जब इलेक्ट्रॉन पहली प्लेट से दूसरी प्लेट की ओर जाता है तो विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध किया गया कार्य $W = qV = 100 \, eV$ होता है।
दूसरी प्लेट से बाहर निकलने पर इलेक्ट्रॉन की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i - W = 200 \, eV - 100 \, eV = 100 \, eV$ होती है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A}$ है,जहाँ $V$ इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में गतिज ऊर्जा है।
$V = 100 \, eV$ रखने पर,हमें $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{100}} = \frac{12.27}{10} = 1.227 \, \mathring{A}$ प्राप्त होता है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$\lambda \approx 1.23 \, \mathring{A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1.23 \, \mathring{A}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प 'इनमें से कोई नहीं' है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4u$ और वेग $v_{\alpha} = v$ है। अतः,$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{4v}$।
ड्यूटेरॉन के लिए,द्रव्यमान $m_{D} = 2u$ और वेग $v_{D} = 2v$ है। अतः,$\lambda_{D} = \frac{h}{2 \times 2v} = \frac{h}{4v}$।
अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{D}} = \frac{h/4v}{h/4v} = 1:1$।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
तापमान $T$ पर गैस के अणु के लिए,वर्ग माध्य मूल चाल $v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ होती है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $m$ अणु का द्रव्यमान है।
तरंगदैर्ध्य के सूत्र में $v$ का मान रखने पर: $\lambda = \frac{h}{m\sqrt{\frac{3kT}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$.
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए $T_1 = 27\,^oC = 300\,K$ और हीलियम $(He)$ के लिए $T_2 = 127\,^oC = 400\,K$,द्रव्यमान $m_H = 2\,amu$ और $m_{He} = 4\,amu$ हैं।
अनुपात $\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{m_{He} T_{He}}{m_H T_H}} = \sqrt{\frac{4 \times 400}{2 \times 300}} = \sqrt{\frac{1600}{600}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$ है।

(C) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस प्रकार दी जाती है:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
चूंकि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन दोनों को समान विभव $V$ से त्वरित किया जाता है और दोनों का आवेश $q = e$ समान है,इसलिए:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात होगा:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
प्रोटॉन के लिए,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p K}}$.
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ है। चूंकि गतिज ऊर्जा समान है $(K_p = K_{\alpha} = K)$,हमें प्राप्त होता है $\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)K}} = \frac{h}{2\sqrt{2m_p K}}$.
दोनों की तुलना करने पर,$\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda_p}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\lambda_p = 2\lambda_{\alpha}$।

(C) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता उपयोग किए गए विकिरण की तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे संबंध $RP \propto \frac{1}{\lambda}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $4000 \, \mathring{A}$ से $7000 \, \mathring{A}$ की सीमा में होती है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
$V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए,तरंगदैर्ध्य लगभग $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A}$ होती है।
कम त्वरित वोल्टेज के लिए भी,इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य की तुलना में काफी कम होती है।
चूंकि $\lambda_{\text{electron}} < \lambda_{\text{light}}$,इसलिए इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता प्रकाशिक सूक्ष्मदर्शी की तुलना में बहुत अधिक होती है।

(B) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv_{rms}} = \frac{h}{m} \sqrt{\frac{m}{3kT}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,$m_H = 2$ इकाई और $T_H = 27 + 273 = 300\text{ K}$ है।
हीलियम $(He)$ के लिए,$m_{He} = 4$ इकाई और $T_{He} = 127 + 273 = 400\text{ K}$ है।
अनुपात $\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{m_{He} T_{He}}{m_H T_H}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{4 \times 400}{2 \times 300}} = \sqrt{\frac{1600}{600}} = \sqrt{\frac{16}{6}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$।

(B) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \; \mathring{A}$।
यहाँ $V = 10,000 \; V = 10^4 \; V$ दिया गया है।
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{10^4}} \; \mathring{A} = \frac{12.27}{100} \; \mathring{A} = 0.1227 \; \mathring{A}$।
चूंकि $1 \; \mathring{A} = 10^{-10} \; m$,इसलिए $\lambda = 0.1227 \times 10^{-10} \; m = 12.27 \times 10^{-12} \; m$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,यह मान लगभग $12.2 \times 10^{-12} \; m$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $E_k$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि दोनों कणों की गतिज ऊर्जा $E_k$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
अतः,$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha}}{m_p}}$.
हम जानते हैं कि $\alpha$-कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का लगभग $4$ गुना होता है,अर्थात $m_{\alpha} = 4m_p$.
इस मान को रखने पर,हमें $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\lambda_p : \lambda_{\alpha}$ का अनुपात $2:1$ है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E}$।
$E$ ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ होती है।
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{\text{electron}}}{\lambda_{\text{photon}}} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{\lambda_{\text{electron}}}{\lambda_{\text{photon}}} = \frac{1}{c} \times \frac{E}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{c} \times \sqrt{\frac{E^2}{2mE}} = \frac{1}{c} \left(\frac{E}{2m}\right)^{1/2}$।

(C) प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v} = v_{0} \hat{i} + v_{0} \hat{j}$ है। प्रारंभिक चाल $v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{0}^{2}} = v_{0} \sqrt{2}$ है।
प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0} = \frac{h}{m v_{0} \sqrt{2}} \implies h = \lambda_{0} m v_{0} \sqrt{2}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = -E_{0} \hat{k}$ है। इलेक्ट्रॉन पर बल $\overrightarrow{F} = -e \overrightarrow{E} = e E_{0} \hat{k}$ है।
त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{e E_{0}}{m} \hat{k}$ है।
समय $t$ पर,वेग $\overrightarrow{v}(t) = v_{0} \hat{i} + v_{0} \hat{j} + \frac{e E_{0} t}{m} \hat{k}$ है।
समय $t$ पर चाल $v(t) = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{0}^{2} + \left(\frac{e E_{0} t}{m}\right)^{2}} = \sqrt{2 v_{0}^{2} + \frac{e^{2} E_{0}^{2} t^{2}}{m^{2}}}$ है।
समय $t$ पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{m v(t)} = \frac{\lambda_{0} m v_{0} \sqrt{2}}{m \sqrt{2 v_{0}^{2} + \frac{e^{2} E_{0}^{2} t^{2}}{m^{2}}}} = \frac{\lambda_{0} v_{0} \sqrt{2}}{\sqrt{2 v_{0}^{2} + \frac{e^{2} E_{0}^{2} t^{2}}{m^{2}}}} = \frac{\lambda_{0}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2} E_{0}^{2} t^{2}}{2 m^{2} v_{0}^{2}}}}$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{|e|E}{m}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से शुरू होता है $(u = 0)$,समय $t$ पर उसका वेग $v = at = \frac{|e|E}{m}t$ होगा।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{m(\frac{|e|E}{m}t)} = \frac{h}{|e|Et}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $\lambda$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$\frac{d\lambda}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{h}{|e|Et}) = \frac{h}{|e|E} \cdot \frac{d}{dt}(t^{-1}) = \frac{h}{|e|E} (-t^{-2}) = -\frac{h}{|e|Et^2}$.

(C) $E$ गतिज ऊर्जा वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
जब ऊर्जा में $\Delta E$ की वृद्धि की जाती है,तो नई गतिज ऊर्जा $E' = E + \Delta E$ हो जाती है और नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ हो जाती है।
नई तरंगदैर्ध्य के सूत्र का उपयोग करने पर: $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(E + \Delta E)}}$.
चूंकि $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$,इसलिए $\frac{h}{\sqrt{2m(E + \Delta E)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2m(E + \Delta E)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2mE}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{1}{E + \Delta E} = \frac{1}{4E}$.
अतः,$4E = E + \Delta E$,जिससे $\Delta E = 3E$ प्राप्त होता है।

(N/A) द्रव्य तरंगें,जिन्हें डी-ब्रोग्ली तरंगें भी कहा जाता है,वे तरंगें हैं जो पदार्थ के गतिमान कणों (जैसे इलेक्ट्रॉन,प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) से जुड़ी होती हैं। डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$p$ संवेग वाले किसी भी गतिमान कण के साथ $\lambda = h/p$ तरंगदैर्ध्य जुड़ी होती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
द्रव्य तरंगों का उपयोग करने वाले उपकरण निम्नलिखित हैं:
$1$. इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी (Electron Microscope): यह ऑप्टिकल सूक्ष्मदर्शी की तुलना में बहुत अधिक रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करने के लिए इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति का उपयोग करता है।
$2$. इलेक्ट्रॉन विवर्तन उपकरण (Electron Diffraction Apparatus): इलेक्ट्रॉनों के विवर्तन पैटर्न का अवलोकन करके पदार्थों की क्रिस्टल संरचना का अध्ययन करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

(N/A) इलेक्ट्रॉन के लिए:
द्रव्यमान $m = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,चाल $v = 5.4 \times 10^{6} \; m/s$.
संवेग $p = mv = (9.11 \times 10^{-31} \; kg) \times (5.4 \times 10^{6} \; m/s) = 4.92 \times 10^{-24} \; kg \cdot m/s$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s}{4.92 \times 10^{-24} \; kg \cdot m/s} \approx 1.35 \times 10^{-10} \; m = 0.135 \; nm$.
$(b)$ गेंद के लिए:
द्रव्यमान $m' = 0.150 \; kg$,चाल $v' = 30.0 \; m/s$.
संवेग $p' = m'v' = (0.150 \; kg) \times (30.0 \; m/s) = 4.50 \; kg \cdot m/s$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{p'} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s}{4.50 \; kg \cdot m/s} \approx 1.47 \times 10^{-34} \; m$.
इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय है,जबकि गेंद के लिए यह अत्यंत सूक्ष्म (प्रोटॉन के आकार की लगभग $10^{-19}$ गुनी) है,जो प्रयोगात्मक मापन से परे है।

(C) किसी कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = h / p$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = p^2 / (2m)$ है,इसलिए संवेग $p = \sqrt{2mK}$ लिखा जा सकता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,हमें $\lambda = h / \sqrt{2mK}$ प्राप्त होता है।
समान गतिज ऊर्जा $K$ के लिए,तरंगदैर्ध्य कण के द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto 1 / \sqrt{m}$.
द्रव्यमानों की तुलना करने पर: $m_{\alpha} > m_p > m_e$.
चूंकि $\alpha$-कण का द्रव्यमान तीनों में सबसे अधिक है,इसलिए इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे कम होगी।

(N/A) $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{m_e v_e}$ है।
दिया गया है कि कण का वेग $v = 3v_e$ है और तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda}{\lambda_e} = 1.813 \times 10^{-4}$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{\lambda}{\lambda_e} = \frac{h/mv}{h/m_e v_e} = \frac{m_e v_e}{mv} = 1.813 \times 10^{-4}$।
कण के द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $m = m_e \left( \frac{v_e}{v} \right) \left( \frac{\lambda_e}{\lambda} \right)$।
मान रखने पर $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,$\frac{v_e}{v} = \frac{1}{3}$,और $\frac{\lambda_e}{\lambda} = \frac{1}{1.813 \times 10^{-4}}$:
$m = (9.11 \times 10^{-31} \ kg) \times \left( \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{1}{1.813 \times 10^{-4}} \right) \approx 1.675 \times 10^{-27} \ kg$।
यह द्रव्यमान एक प्रोटॉन या न्यूट्रॉन के द्रव्यमान के बराबर है।

(C) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
दिया गया है:
$h = 6.6 \times 10^{-34}\; Js$
$m = 9.1 \times 10^{-31}\; kg$
$E = 100\; eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19}\; J = 1.6 \times 10^{-17}\; J$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-17}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{29.12 \times 10^{-48}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{5.396 \times 10^{-24}}$
$\lambda \approx 1.22 \times 10^{-10}\; m$।
चूंकि $1\; \mathring{A} = 10^{-10}\; m$,इसलिए तरंगदैर्ध्य लगभग $1.2\; \mathring{A}$ है।

(N/A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन का संवेग $p$,सूत्र $p = \sqrt{2meV}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $m = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,$e = 1.602 \times 10^{-19} \; C$,और $V = 56 \; V$।
$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times 56} \approx 4.04 \times 10^{-24} \; kg \cdot m/s$।
$(b)$ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$,$\lambda = h/p$ द्वारा दी जाती है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$ और $p = 4.04 \times 10^{-24} \; kg \cdot m/s$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = (6.626 \times 10^{-34}) / (4.04 \times 10^{-24}) \approx 1.64 \times 10^{-10} \; m = 0.164 \; nm$।

$(a)$ संवेग $p$ का मान $p = \sqrt{2mK}$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है $K = 120 \ eV = 120 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 1.92 \times 10^{-17} \ J$ और $m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$। अतः,$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.92 \times 10^{-17}} \approx 5.91 \times 10^{-24} \ kg \ m/s$।
$(b)$ चाल $v$ का मान $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.92 \times 10^{-17}}{9.11 \times 10^{-31}}} \approx 6.5 \times 10^6 \ m/s$।
$(c)$ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.91 \times 10^{-24}} \approx 1.12 \times 10^{-10} \ m = 0.112 \ nm$ है।

(N/A) दिया है,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 589 \; nm = 589 \times 10^{-9} \; m$.
इस तरंगदैर्ध्य से संबंधित संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$.
$p = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{589 \times 10^{-9}} \approx 1.125 \times 10^{-27} \; kg \cdot m/s$.
$(a)$ इलेक्ट्रॉन के लिए,द्रव्यमान $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$. गतिज ऊर्जा $K_e = \frac{p^2}{2m_e}$.
$K_e = \frac{(1.125 \times 10^{-27})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31}} \approx 6.95 \times 10^{-25} \; J$.
$(b)$ न्यूट्रॉन के लिए,द्रव्यमान $m_n = 1.675 \times 10^{-27} \; kg$. गतिज ऊर्जा $K_n = \frac{p^2}{2m_n}$.
$K_n = \frac{(1.125 \times 10^{-27})^2}{2 \times 1.675 \times 10^{-27}} \approx 3.78 \times 10^{-28} \; J$.

(N/A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$ है।
$(a)$ दिया गया है $m = 0.040 \; kg$,$v = 1.0 \; km/s = 1000 \; m/s$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1000} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{40} \approx 1.66 \times 10^{-35} \; m$.
$(b)$ दिया गया है $m = 0.060 \; kg$,$v = 1.0 \; m/s$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1.0} \approx 1.10 \times 10^{-32} \; m$.
$(c)$ दिया गया है $m = 1.0 \times 10^{-9} \; kg$,$v = 2.2 \; m/s$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.0 \times 10^{-9} \times 2.2} \approx 3.01 \times 10^{-25} \; m$.