Particle Nature of Light : Photon Questions in Hindi

(A) प्लांक नियतांक एक मूलभूत भौतिक नियतांक है जिसे $h$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
यह एक फोटॉन की ऊर्जा और उसकी आवृत्ति के बीच संबंध को दर्शाता है,जो समीकरण $E = h\nu$ द्वारा दिया जाता है।
प्लांक नियतांक का स्वीकृत मान लगभग $6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ है।
इसे दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर $6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) विशिष्ट सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,सापेक्ष गति से चलने वाली वस्तु की लंबाई गति की दिशा में संकुचित हो जाती है।
लंबाई संकुचन का सूत्र $l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ है,जहाँ $l_0$ उचित लंबाई है,$v$ वस्तु का वेग है और $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है: $l_0 = 1 \, m$,$v = 2.7 \times 10^8 \, m/s$,और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
सूत्र में मान रखने पर:
$l = 1 \times \sqrt{1 - \left( \frac{2.7 \times 10^8}{3 \times 10^8} \right)^2}$
$l = \sqrt{1 - (0.9)^2}$
$l = \sqrt{1 - 0.81}$
$l = \sqrt{0.19}$
$l \approx 0.4358 \, m \approx 0.44 \, m$.
अतः,छड़ की आभासी लंबाई $0.44 \, m$ है।

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ संवेग है।
$m$ द्रव्यमान और $E$ गतिज ऊर्जा वाले कण के लिए,संवेग $p = \sqrt{2mE}$ होता है। अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
ऊर्जा के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ सभी के लिए समान है,इसलिए ऊर्जा $E$ द्रव्यमान $m$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(E \propto \frac{1}{m})$।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ होती है। द्रव्यमान वाले कणों की तुलना में,फोटॉन इस संदर्भ में सबसे कम प्रभावी द्रव्यमान रखता है,जिसके कारण समान तरंगदैर्ध्य के लिए इसकी ऊर्जा सबसे अधिक होती है।
अतः,फोटॉन की ऊर्जा सबसे अधिक होगी।

(A) सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,किसी कण की ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ उसके विराम द्रव्यमान $m_0$ से $E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2$ समीकरण द्वारा संबंधित होते हैं।
शून्य विराम द्रव्यमान $(m_0 = 0)$ वाले कण के लिए,समीकरण $E = pc$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $p = mv$ और $E = mc^2$ (जहाँ $m$ सापेक्ष द्रव्यमान है),हमारे पास $mc^2 = mvc$ है,जिसका अर्थ है $v = c$।
इसलिए,शून्य विराम द्रव्यमान वाला कोई भी कण,जैसे कि फोटॉन,निर्वात में प्रकाश की गति $c$ से चलना चाहिए।

(D) फोटॉन का संवेग $p$ और उसकी आवृत्ति $\nu$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $p = \frac{h\nu}{c}$.
आवृत्ति $\nu$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\nu = \frac{pc}{h}$.
दिया गया है: $p = 3.3 \times 10^{-29} \ kg \ m/s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$.
मान रखने पर: $\nu = \frac{3.3 \times 10^{-29} \times 3 \times 10^8}{6.6 \times 10^{-34}}$.
$\nu = \frac{9.9 \times 10^{-21}}{6.6 \times 10^{-34}} = 1.5 \times 10^{13} \ Hz$.

(D) फोटॉन की ऊर्जा उसकी आवृत्ति के सीधे आनुपातिक होती है,जहाँ आनुपातिकता स्थिरांक प्लांक स्थिरांक $h$ है।
ऊर्जा $E$,आवृत्ति $\nu$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $E = h\nu$ है।
चूंकि प्रकाश की गति $c$,आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य से $c = \nu\lambda$ द्वारा संबंधित है,इसलिए हम आवृत्ति को $\nu = c/\lambda$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = h(c/\lambda) = hc/\lambda$ प्राप्त होता है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $E = p \times c$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया संवेग $p = 2 \times 10^{-16} \text{ g} \cdot \text{cm/s}$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{10} \text{ cm/s}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = (2 \times 10^{-16} \text{ g} \cdot \text{cm/s}) \times (3 \times 10^{10} \text{ cm/s})$
$E = 6 \times 10^{-6} \text{ g} \cdot \text{cm}^2/\text{s}^2$
चूंकि $1 \text{ erg} = 1 \text{ g} \cdot \text{cm}^2/\text{s}^2$,इसलिए ऊर्जा $6 \times 10^{-6} \text{ erg}$ है।

(A) आइंस्टीन के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश ऊर्जा के पैकेटों के रूप में चलता है,जिन्हें फोटॉन कहा जाता है।
फोटॉन का विराम द्रव्यमान शून्य होता है। इसे सापेक्षता के सिद्धांत का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।
सापेक्षतावादी द्रव्यमान समीकरण के अनुसार,किसी कण का द्रव्यमान इस प्रकार दिया जाता है:
$m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$
विराम द्रव्यमान $(m_{0})$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$m_{0} = m \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$
चूंकि फोटॉन हमेशा प्रकाश की गति $(v = c)$ से चलता है,इसलिए हम समीकरण में $v = c$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$m_{0} = m \sqrt{1 - \frac{c^{2}}{c^{2}}} = m \sqrt{1 - 1} = 0$
अतः,फोटॉन का विराम द्रव्यमान $0$ होता है।

(A) फोटॉन का संवेग $p$,डी-ब्रोग्ली संबंध द्वारा दिया जाता है: $p = \frac{h}{\lambda}$।
दिया गया है:
प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34}\,J\cdot s$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000\,\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10}\,m = 5 \times 10^{-7}\,m$।
मान रखने पर:
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{5 \times 10^{-7}}$
$p = 1.32 \times 10^{-27}\,kg\cdot m/s$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध के अनुसार,फोटॉन की ऊर्जा $E = mc^2$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही,फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $mc^2 = h\nu$ प्राप्त होता है।
चूंकि संवेग $p$ को $p = mc$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम ऊर्जा समीकरण को $p \cdot c = h\nu$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,फोटॉन का संवेग $p = \frac{h\nu}{c}$ होगा।

(D) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,फोटॉन की ऊर्जा $E$ को $E = h\nu$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
साथ ही,द्रव्यमान-ऊर्जा संबंध से,$E = mc^2$,जहाँ $m$ फोटॉन का आपेक्षिक द्रव्यमान है।
ऊर्जा के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$mc^2 = h\nu$
अतः,गतिमान फोटॉन का द्रव्यमान $m = \frac{h\nu}{c^2}$ होता है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
फोटॉन के लिए ऊर्जा और संवेग के बीच संबंध से,$E = pc$,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
ऊर्जा के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $h\nu = pc$ प्राप्त होता है।
अतः,आवृत्ति $\nu = \frac{pc}{h}$ है।

(B) ट्रांसमीटर की शक्ति $P$ प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा द्वारा दी जाती है,$P = \frac{E}{t}$।
चूंकि एक फोटॉन की ऊर्जा $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ होती है,इसलिए $t$ समय में $n$ फोटॉनों द्वारा उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E = n \times \frac{hc}{\lambda}$ है।
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $\frac{n}{t} = \frac{P \lambda}{hc}$ है।
दिया गया है: $P = 10 \ kW = 10^4 \ W$,$\lambda = 300 \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$।
मान रखने पर:
$\frac{n}{t} = \frac{10^4 \times 300}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$\frac{n}{t} = \frac{3 \times 10^6}{19.8 \times 10^{-26}}$
$\frac{n}{t} = \frac{3}{19.8} \times 10^{32} \approx 1.5 \times 10^{31}$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है और संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फोटॉन का वेग $c = \nu \lambda$ होता है,इसलिए हम ऊर्जा को $E = h \left( \frac{c}{\lambda} \right) = \frac{hc}{\lambda}$ के रूप में लिख सकते हैं।
संवेग के समीकरण $p = \frac{h}{\lambda}$ को ऊर्जा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = pc$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को वेग $c$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $c = \frac{E}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः,फोटॉन का वेग $E/p$ है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
जब ऊर्जा $eV$ में और तरंगदैर्ध्य $\mathring A$ में हो,तो संबंध लगभग $E(eV) = \frac{12400}{\lambda(\mathring A)}$ होता है।
यहाँ $E = 2.48 \,eV$ दिया गया है,इसलिए $2.48 = \frac{12400}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{12400}{2.48} \, \mathring A$.
$\lambda = 5000 \, \mathring A$.
अतः,अनुमानित तरंगदैर्ध्य $5000 \, \mathring A$ है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
$h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
$\lambda = 21 \ cm = 0.21 \ m$
ऊर्जा को जूल से इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,हम $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करते हैं।
$E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{0.21 \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV$
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{0.336 \times 10^{-19}} \ eV$
$E \approx 5.91 \times 10^{-6} \ eV$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) फोटॉन का संवेग $p$ सूत्र $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $\lambda = 10^{-10} \ m$।
मान रखने पर:
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{10^{-10}}$
$p = 6.6 \times 10^{-24} \ kg \ m/s$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक क्वांटम (फोटॉन) की ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = h\nu$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
दिया गया है:
आवृत्ति $\nu = 10^{15} \ Hz$
प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
सूत्र में मान रखने पर:
$E = (6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (10^{15} \ Hz)$
$E = 6.6 \times 10^{-34+15} \ J$
$E = 6.6 \times 10^{-19} \ J$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता के अनुसार,$E = mc^2$,जहाँ $m$ सापेक्ष द्रव्यमान है और $c$ प्रकाश की गति है।
ऊर्जा के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $mc^2 = h\nu$ प्राप्त होता है।
चूँकि फोटॉन का संवेग $p = mc$ के रूप में परिभाषित है,हम $m = \frac{p}{c}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: $p = \frac{h\nu}{c}$।
$\nu = \frac{c}{\lambda}$ संबंध का उपयोग करते हुए,हम $\nu$ का मान रखते हैं: $p = \frac{h(c/\lambda)}{c} = \frac{h}{\lambda}$।
अतः,फोटॉन का संवेग $\frac{h}{\lambda}$ है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
दी गई ऊर्जा $E = 1 \;MeV = 1 \times 10^6 \;eV = 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \;J = 1.6 \times 10^{-13} \;J$.
प्लांक नियतांक $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s$.
सूत्र $\nu = \frac{E}{h}$ का उपयोग करते हुए:
$\nu = \frac{1.6 \times 10^{-13} \;J}{6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s} \approx 0.241 \times 10^{21} \;Hz = 2.41 \times 10^{20} \;Hz$.
अतः,आवृत्ति लगभग $2.4 \times 10^{20} \;Hz$ है।

(A) फोटॉन का संवेग $p$,सूत्र $p = \frac{E}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E = h\nu$ फोटॉन की ऊर्जा है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $p = \frac{h\nu}{c}$.
दिया गया है: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$\nu = 1.5 \times 10^{13} \ Hz$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 1.5 \times 10^{13}}{3 \times 10^8}$.
$p = \frac{9.9 \times 10^{-21}}{3 \times 10^8} = 3.3 \times 10^{-29} \ kg \ m/s$.

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
दिया गया है:
प्लांक नियतांक $h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 450 \ nm = 450 \times 10^{-9} \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{450 \times 10^{-9}}$
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{450 \times 10^{-9}}$
$E = 0.04413 \times 10^{-17} \ J = 4.413 \times 10^{-19} \ J$
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$E \approx 4.4 \times 10^{-19} \ J$ प्राप्त होता है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा का संबंध $E = h\nu$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
दी गई ऊर्जा $E = 66 \ eV = 66 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
प्लांक नियतांक $h \approx 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
सूत्र में मान रखने पर: $\nu = \frac{E}{h}$.
$\nu = \frac{66 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}}$.
$\nu = 10 \times 1.6 \times 10^{15} \ Hz$.
$\nu = 16 \times 10^{15} \ Hz$.

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$E$ को $eV$ में और $\lambda$ को $\mathring{A}$ में व्यक्त करने के लिए,हम उपयोग करते हैं:
$E(eV) = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{(1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV}) \times (\lambda \times 10^{-10} \text{ m})}$
$E(eV) \approx \frac{12400}{\lambda(\mathring{A})}$.
इसे $KeV$ में बदलने के लिए,हम $1000$ से विभाजित करते हैं:
$E(KeV) = \frac{12400}{1000 \times \lambda(\mathring{A})} = \frac{12.4}{\lambda(\mathring{A})}$.
अतः,सही संबंध $E = 12.4/\lambda$ है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = h\nu$ है,जहाँ $E$ ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
सबसे पहले,ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ से जूल $(J)$ में परिवर्तित करें:
$E = 100 \ eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 1.6 \times 10^{-17} \ J$.
अब,मानों को सूत्र में रखें:
$1.6 \times 10^{-17} = 6.6 \times 10^{-34} \times \nu$.
$\nu$ के लिए हल करने पर:
$\nu = \frac{1.6 \times 10^{-17}}{6.6 \times 10^{-34}} \approx 0.2424 \times 10^{17} \ Hz = 2.42 \times 10^{16} \ Hz$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) फोटॉन का संवेग $p$ सूत्र $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ और $\lambda = 4400 \times 10^{-10} \, m$ दिया गया है।
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4400 \times 10^{-10}} = 1.5 \times 10^{-27} \, kg \cdot m/s$.
फोटॉन का प्रभावी द्रव्यमान $m$ सूत्र $m = \frac{p}{c}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ है।
$m = \frac{1.5 \times 10^{-27}}{3 \times 10^8} = 5 \times 10^{-36} \, kg$.
अतः,प्रभावी द्रव्यमान $5 \times 10^{-36} \, kg$ और संवेग $1.5 \times 10^{-27} \, kg \cdot m/s$ है।

(A) फोटॉन विद्युत चुम्बकीय विकिरण का एक क्वांटम है। फोटॉन की ऊर्जा $E$ को $E = h\nu$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ विकिरण की आवृत्ति है।
चूंकि आवृत्ति $\nu = \frac{c}{\lambda}$ होती है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,हम इसे ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इसलिए,$E = \frac{hc}{\lambda}$।
यह फोटॉन की ऊर्जा के लिए सही व्यंजक है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
साथ ही,प्रकाश की गति $c$,आवृत्ति $\nu$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $c = \nu \lambda$ है।
इस सूत्र को तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda = \frac{c}{\nu}$ प्राप्त होता है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दी गई आवृत्ति $\nu = 10^{12} \text{ MHz} = 10^{12} \times 10^6 \text{ Hz} = 10^{18} \text{ Hz}$ है।
प्लांक नियतांक $h \approx 4.14 \times 10^{-15} \text{ eV} \cdot \text{s}$ है।
अतः,$E = (4.14 \times 10^{-15} \text{ eV} \cdot \text{s}) \times (10^{18} \text{ Hz}) = 4.14 \times 10^3 \text{ eV}$।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(C) $\nu$ आवृत्ति वाले $n$ फोटॉन युक्त प्रकाश पुंज की ऊर्जा $E = n h \nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
चूंकि दोनों पुंज समान ऊर्जा वाले हैं,इसलिए $E_1 = E_2$ होगा।
अतः,$n_1 h \nu_1 = n_2 h \nu_2$।
दोनों पक्षों को $h$ से विभाजित करने पर,हमें $n_1 \nu_1 = n_2 \nu_2$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{n_1}{n_2}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\nu_2}{\nu_1}$ प्राप्त होता है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = h\nu$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(h \approx 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ है और $\nu$ विकिरण की आवृत्ति है।
दिया गया है: $\nu = 1.0 \times 10^{14} \ Hz$.
मान रखने पर: $E = (6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (1.0 \times 10^{14} \ Hz)$.
$E = 6.62 \times 10^{-34 + 14} \ J$.
$E = 6.62 \times 10^{-20} \ J$.

(A) ट्रांसमीटर की शक्ति $P$ प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा है। एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
यदि $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है,तो कुल शक्ति $P = n \times E = n \times h\nu$ होगी।
इसलिए,$n = \frac{P}{h\nu}$।
दिया गया है: $P = 10 \, kW = 10^4 \, W$ और $\nu = 880 \, kHz = 880 \times 10^3 \, Hz$।
मान रखने पर:
$n = \frac{10^4}{(6.6 \times 10^{-34}) \times (880 \times 10^3)}$
$n = \frac{10^4}{5808 \times 10^{-31}}$
$n = \frac{10^4}{5.808 \times 10^{-28}}$
$n \approx 1.72 \times 10^{31}$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(C) लैंप द्वारा विकिरित शक्ति $P$,$t$ समय में उत्सर्जित $n$ फोटॉनों की ऊर्जा द्वारा दी जाती है: $P = \frac{n}{t} \frac{hc}{\lambda}$.
प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या के लिए सूत्र: $\frac{n}{t} = \frac{P \lambda}{hc}$.
दिया गया है: $P = 100 \ W$,$\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
मान रखने पर: $\frac{n}{t} = \frac{100 \times 5000 \times 10^{-10}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$\frac{n}{t} = \frac{5 \times 10^{-5}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 2.51 \times 10^{20}$.
अतः,प्रति सेकंड विकिरित फोटॉनों की संख्या लगभग $2.5 \times 10^{20}$ है।

(C) जब एक फोटॉन एक इलेक्ट्रॉन से टकराता है (कॉम्पटन प्रकीर्णन),तो वह अपनी ऊर्जा और संवेग का कुछ हिस्सा इलेक्ट्रॉन को स्थानांतरित कर देता है।
ऊर्जा और संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर के बाद फोटॉन की ऊर्जा $(E = h\nu)$ और संवेग $(p = h/\lambda)$ कम हो जाते हैं।
हालाँकि,निर्वात में फोटॉन की चाल एक सार्वभौमिक स्थिरांक है,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,जो किसी भी अन्योन्यक्रिया के बावजूद अपरिवर्तित रहती है।
इसलिए,केवल फोटॉन की चाल स्थिर रहती है।

(C) ट्रांसमीटर द्वारा विकिरित शक्ति $P = \frac{E}{t}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $E$ समय $t$ में उत्सर्जित कुल ऊर्जा है।
चूँकि $E = n \times E_{\text{photon}} = n \times \frac{hc}{\lambda}$, जहाँ $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है, इसलिए $P = \frac{nhc}{\lambda}$ है।
दिया गया है: $P = 1 \text{ kW} = 10^3 \text{ W}$, $\lambda = 198.6 \text{ m}$, $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$, और $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$।
मान रखने पर: $10^3 = \frac{n \times 6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{198.6}$।
$n = \frac{10^3 \times 198.6}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx \frac{198600}{19.89} \times 10^{26} \approx 10^{30}$।
अतः, प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $10^{30}$ है।

(C) बल्ब की शक्ति $P$ प्रति सेकंड उत्सर्जित कुल ऊर्जा है,जिसे $P = \frac{nE}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है और $E = \frac{hc}{\lambda}$ एक फोटॉन की ऊर्जा है।
दिया गया है: $P = 100 \ W$,$\lambda = 540 \ nm = 540 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
सूत्र $P = \frac{nhc}{\lambda}$ में इन मानों को रखने पर:
$100 = \frac{n \times (6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{540 \times 10^{-9}}$
$100 = \frac{n \times 18 \times 10^{-26}}{540 \times 10^{-9}}$
$100 = n \times \frac{18}{540} \times 10^{-17}$
$100 = n \times \frac{1}{30} \times 10^{-17}$
$n = 100 \times 30 \times 10^{17} = 3000 \times 10^{17} = 3 \times 10^{20}$
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $3 \times 10^{20}$ है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ संबंध द्वारा दी जाती है।
चूंकि $h$ और $c$ स्थिरांक हैं,इसलिए $E \propto \frac{1}{\lambda}$ है।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$।
दिया गया है: $\lambda_1 = 6000 \ \mathring A$,$E_1 = 3.32 \times 10^{-19} \ J$,और $\lambda_2 = 4000 \ \mathring A$।
मान रखने पर: $\frac{3.32 \times 10^{-19}}{E_2} = \frac{4000}{6000} = \frac{2}{3}$।
$E_2 = \frac{3}{2} \times 3.32 \times 10^{-19} \ J = 4.98 \times 10^{-19} \ J$।
ऊर्जा को जूल से $eV$ में बदलने के लिए,हम $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करते हैं:
$E_2 = \frac{4.98 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 3.11 \ eV$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) निर्वात में फोटॉन का वेग एक नियत मान होता है,जिसे $c$ द्वारा दर्शाया जाता है,जो लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$ है।
चूंकि प्रकाश का वेग $(c)$ फोटॉन की आवृत्ति $(\nu)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ से स्वतंत्र होता है,इसलिए इसे $\nu^0$ के समानुपाती माना जा सकता है (अर्थात,$c \propto \nu^0 = 1$)।
अतः,फोटॉन का वेग आवृत्ति के साथ परिवर्तित नहीं होता है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
इन दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें $E = pc$ प्राप्त होता है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
चूंकि $c$ एक स्थिरांक है,इसलिए संवेग $p$,ऊर्जा $E$ के सीधे आनुपातिक है $(p \propto E)$।
यदि ऊर्जा $E$ को $4$ के गुणक से बढ़ाया जाता है,तो संवेग $p$ भी $4$ के गुणक से बढ़ जाएगा।

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
चूँकि $h$ और $c$ नियतांक हैं,इसलिए ऊर्जा $E$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $E \propto \frac{1}{\lambda}$।
मान लीजिए $\lambda_1 = 150\,nm$ वाले फोटॉन की ऊर्जा $E_1$ है और $\lambda_2 = 300\,nm$ वाले फोटॉन की ऊर्जा $E_2$ है।
अतः,अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{300\,nm}{150\,nm} = 2$।
अतः,अभीष्ट अनुपात $2:1$ है।

(D) प्रकाश-विद्युत प्रभाव को प्रकाश के शास्त्रीय तरंग सिद्धांत द्वारा नहीं समझाया जा सकता है क्योंकि तरंग सिद्धांत के अनुसार उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करनी चाहिए,जबकि प्रयोग यह दर्शाते हैं कि यह आवृत्ति पर निर्भर करती है। अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्रकाश-विद्युत प्रभाव को यह प्रस्तावित करके समझाया कि प्रकाश ऊर्जा के छोटे पैकेटों से बना है जिन्हें फोटॉन कहा जाता है,जहाँ प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है। प्रकाश की यह क्वांटम प्रकृति सफलतापूर्वक समझाती है कि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर क्यों निर्भर करती है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ होता है।
शॉर्टकट सूत्र $E(\text{eV}) = \frac{12375}{\lambda(\mathring A)}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\lambda = 5000 \mathring A$ है:
$E = \frac{12375}{5000} \text{ eV}$.
$E = 2.475 \text{ eV}$.
अतः,निकटतम विकल्प के अनुसार $E \approx 2.5 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।

(A) एक फोटॉन के लिए,उसकी ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $E = pc$ है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $E^2 = (pc)^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $E^2 = p^2c^2$ हो जाता है।
अतः,सही संबंध $E^2 = p^2c^2$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन युग्म उत्पादन के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा $1.02 \ MeV$ है।
दिए गए फोटॉन की ऊर्जा $E = 1.7 \times 10^{-13} \ J$ है।
इस ऊर्जा को $MeV$ में बदलने के लिए,हम इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ से विभाजित करते हैं:
$E = \frac{1.7 \times 10^{-13}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 1.0625 \times 10^6 \ eV = 1.0625 \ MeV$.
चूंकि फोटॉन की ऊर्जा $(1.0625 \ MeV)$ युग्म उत्पादन के लिए आवश्यक थ्रेशोल्ड ऊर्जा $(1.02 \ MeV)$ से अधिक है,इसलिए एक इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन युग्म का निर्माण होगा।

(B) दिया गया है: विराम द्रव्यमान ऊर्जा $E_0 = m_0c^2 = 0.51 \ MeV$ और वेग $v = 0.8 \ c$ है।
सापेक्षिक कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = mc^2 - m_0c^2$ है।
सापेक्षिक द्रव्यमान $m$ का सूत्र $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ है।
$v = 0.8 \ c$ रखने पर:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - (0.8)^2}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{m_0}{\sqrt{0.36}} = \frac{m_0}{0.6}$ प्राप्त होता है।
अब,कुल ऊर्जा $E = mc^2 = \frac{m_0c^2}{0.6} = \frac{0.51 \ MeV}{0.6} = 0.85 \ MeV$ है।
अतः,$K.E. = E - E_0 = 0.85 \ MeV - 0.51 \ MeV = 0.34 \ MeV$।

(C) तीव्रता $I$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति के रूप में परिभाषित किया गया है: $I = \frac{P}{A}$.
दिया गया है $I = 10^{-10} \ W/m^2$ और $A = 10^{-6} \ m^2$,इसलिए आँख में प्रवेश करने वाली शक्ति $P = I \times A = 10^{-10} \times 10^{-6} = 10^{-16} \ W$ है।
प्रति सेकंड $n$ फोटॉनों की किरण पुंज की शक्ति $P = \frac{n \cdot h \cdot c}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या के लिए सूत्र: $\frac{n}{t} = \frac{P \cdot \lambda}{h \cdot c}$.
मान रखने पर: $\frac{n}{t} = \frac{10^{-16} \times 5.6 \times 10^{-7}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$\frac{n}{t} = \frac{5.6 \times 10^{-23}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 281.5 \approx 300$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(A) हरे प्रकाश के एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 12400 \ \text{eV} \ \mathring{A}$ का उपयोग करने पर, हमें $E = \frac{12400}{5000} \ \text{eV} = 2.48 \ \text{eV}$ प्राप्त होता है।
इसे जूल में बदलने पर: $E = 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J \approx 3.97 \times 10^{-19} \ J \approx 4 \times 10^{-19} \ J$।
आंख द्वारा पता लगाई गई न्यूनतम तीव्रता $(I_{Eye})$ फोटॉन फ्लक्स और प्रति फोटॉन ऊर्जा का गुणनफल है:
$I_{Eye} = (5 \times 10^4 \ \text{photons}/m^2s) \times (4 \times 10^{-19} \ J) = 2 \times 10^{-14} \ W/m^2$।
डिटेक्टर की संवेदनशीलता उस न्यूनतम तीव्रता के व्युत्क्रमानुपाती होती है जिसका वह पता लगा सकता है।
इसलिए, संवेदनशीलता का अनुपात $\frac{S_{Eye}}{S_{Ear}} = \frac{I_{Ear}}{I_{Eye}} = \frac{10^{-13}}{2 \times 10^{-14}} = \frac{10}{2} = 5$ है।
अतः, आंख कान की तुलना में $5$ गुना अधिक संवेदनशील है।

(A) निर्वात में,फोटॉन (अर्थात प्रकाश) का वेग उसकी आवृत्ति या तरंगदैर्ध्य पर निर्भर किए बिना एक स्थिर मान $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ होता है। चूंकि वेग आवृत्ति पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए वेग बनाम आवृत्ति का ग्राफ आवृत्ति अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा होती है। ग्राफ नीचे दिखाया गया है:
फोटॉन का वेग $(c)$ बनाम आवृत्ति $(\nu)$: $y = c$ पर एक क्षैतिज रेखा।

(B) $Photon$ एक प्राथमिक कण है,जो विद्युत चुम्बकीय विकिरण का एक क्वांटम है। इसे कण भौतिकी के मानक मॉडल में एक मौलिक कण माना जाता है और यह अविभाज्य है। इसके विपरीत,$Atom$ (परमाणु) नाभिक और इलेक्ट्रॉनों से बना होता है,$Nucleus$ (नाभिक) प्रोटॉन और न्यूट्रॉन से बना होता है,और $Proton$ क्वार्क्स से बना एक संयुक्त कण है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।