Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Gujarati

(B) $1924$ માં,ફ્રેન્ચ ભૌતિકશાસ્ત્રી લુઈસ દ-બ્રોગ્લીએ એવી પૂર્વધારણા રજૂ કરી હતી કે દ્રવ્ય,વિકિરણની જેમ,દ્વૈત પ્રકૃતિ (તરંગ-કણ દ્વૈતતા) દર્શાવે છે. તેમણે સૂચવ્યું હતું કે દ્રવ્યનો દરેક ગતિશીલ કણ એક તરંગ સાથે સંકળાયેલો હોય છે,જેને દ્રવ્ય તરંગ અથવા દ-બ્રોગ્લી તરંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી પૂર્વધારણા મુજબ,દ્રવ્યના દરેક ગતિશીલ કણ સાથે એક તરંગ સંકળાયેલું હોય છે,જેને દ્રવ્ય તરંગ અથવા ડી-બ્રોગ્લી તરંગ કહેવામાં આવે છે.
આ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
તરંગલંબાઈ વેગ $v$ પર આધારિત હોવાથી,તરંગ દ્રવ્ય સાથે ત્યારે જ સંકળાયેલું હોય છે જ્યારે તે ગતિમાં હોય (એટલે કે,$v \neq 0$).
તેથી,જ્યારે દ્રવ્ય કોઈપણ વેગથી ગતિમાં હોય ત્યારે તેની સાથે તરંગ સંકળાયેલું હોય છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,$p$ વેગમાન ધરાવતા કણ સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{p}$.
અહીં,$m$ દળ અને $v$ વેગ ધરાવતા કણનું વેગમાન $p = mv$ થાય છે.
તેથી,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ મળે છે.

(B) ડી બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ,$p$ વેગમાન ધરાવતા કણ સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે,તેથી $p = \sqrt{2mE}$ થાય.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે છે.
અહીં,$h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $m$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,જે બંને અચળ છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.
જેમ ગતિઊર્જા $E$ વધે છે,તેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટશે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રોટોન $(p)$ અને $\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન છે, તેથી $\lambda_p = \lambda_{\alpha}$.
તેથી, $\frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_{\alpha} v_{\alpha}}$, જેનું સાદું રૂપ આપતા $m_p v_p = m_{\alpha} v_{\alpha}$ મળે છે.
તેમના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha}}{m_p}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$-કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતા આશરે $4$ ગણું હોય છે, તેથી $m_{\alpha} = 4 m_p$.
આ કિંમત મૂકતા, આપણને $\frac{v_p}{v_{\alpha}} = \frac{4 m_p}{m_p} = \frac{4}{1}$ મળે છે.
આમ, તેમના વેગનો ગુણોત્તર $4 : 1$ છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ વેગથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
આ પરથી,$v^2 = \frac{2E}{m}$,જેનો અર્થ થાય છે કે $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p = mv = m \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{2mE}$ થાય.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
$p$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે છે.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થતા $m$ દળના કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ હેઠળ પ્રવેગિત થાય છે અને બંને પરનો વિદ્યુતભાર $q = e$ સમાન છે,તેથી તરંગલંબાઈ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $\lambda_e = \lambda = \frac{k}{\sqrt{m}}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
પ્રોટોન માટે: $\lambda_p = \frac{k}{\sqrt{M}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}} = \sqrt{\frac{m}{M}}$.
તેથી,$\lambda_p = \lambda \sqrt{\frac{m}{M}}$.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $K = qV$ એ ગતિઊર્જા છે.
$\alpha$-કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C$ અને દળ $m = 4m_p = 4 \times 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2e)V}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 4 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times V}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{42.752 \times 10^{-46} \times V}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.538 \times 10^{-23} \sqrt{V}} \ m$
$\lambda \approx \frac{1.014 \times 10^{-11}}{\sqrt{V}} \ m = \frac{0.1014 \times 10^{-10}}{\sqrt{V}} \ m = \frac{0.101}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ દ્રવ્ય,જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન,કણ જેવા ગુણધર્મોની સાથે તરંગ જેવા ગુણધર્મો પણ ધરાવે છે. આને તરંગ-કણ દ્વૈતતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તેથી,આ ઉત્કલ્પનાએ ખાસ કરીને ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલા દ્રવ્ય તરંગોનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો હતો.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
આપેલ કિંમતો:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$E = 80 \ eV = 80 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 128 \times 10^{-19} \ J = 1.28 \times 10^{-17} \ J$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.28 \times 10^{-17}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{23.04 \times 10^{-48}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4.8 \times 10^{-24}}$
$\lambda = 1.375 \times 10^{-10} \ m \approx 1.375 \ \mathring{A} \approx 1.4 \ \mathring{A}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
આપેલ છે કે તમામ કણો માટે વેગ $v$ સમાન છે,તેથી સંબંધ $\lambda \propto \frac{1}{m}$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સૌથી ઓછું દળ ધરાવતા કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ મહત્તમ હશે.
દળની સરખામણી કરતા: $m_{\beta} < m_{proton} \approx m_{neutron} < m_{\alpha}$.
$\beta$-કણ (ઇલેક્ટ્રોન) નું દળ આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી ઓછું હોવાથી,તેની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ મહત્તમ હશે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,કણનું વેગમાન $p$ તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે $p = \frac{h}{\lambda}$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આમ,ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન બંને સમાન તરંગલંબાઈ $\lambda$ ધરાવતા હોવાથી,અને $h$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક હોવાથી,તેમના વેગમાન સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,તેઓ સમાન વેગમાન ધરાવે છે.

(C) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ કણના વેગમાન $p$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{p}$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{m_e v}$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $v = \frac{h}{m_e \lambda}$ મળે છે.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,અને $\lambda = 10^{-10} \ m$.
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-10}} \ m/s$.
$v = \frac{6.63}{9.11} \times 10^{-34 + 31 + 10} \ m/s$.
$v \approx 0.7277 \times 10^7 \ m/s = 7.277 \times 10^6 \ m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $7.25 \times 10^6 \ m/s$ છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
અહીં,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) છે.
હાઇડ્રોજન અણુ $(H_2)$ નું દળ $m = 2 \times 1.67 \times 10^{-27} \ kg = 3.34 \times 10^{-27} \ kg$ છે.
વેગ $v = 3 \ km/s = 3 \times 10^3 \ m/s$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.34 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^3} \ m$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10.02 \times 10^{-24}} \ m \approx 0.66 \times 10^{-10} \ m$.
કારણ કે $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,તેથી આપણને $\lambda = 0.66 \ \mathring{A}$ મળે છે.

(A) ન્યુટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mkT}}$ છે,જ્યાં $m$ એ ન્યુટ્રોનનું દળ,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
અહીં $h$,$m$ અને $k$ અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$ મળે.
તેથી,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 27^oC = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 927^oC = 927 + 273 = 1200 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $E$ એ ગતિઊર્જા છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ સમાન હોવાથી,$\lambda = \text{અચળ}$ છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{m}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e)$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_p)$ કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી,એટલે કે $m_e < m_p$,તેથી ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(E_e)$ એ પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $(E_p)$ કરતા વધારે હશે.
આમ,$E_e > E_p$.

(B) $m$ દળ ધરાવતા અને $p$ વેગમાનથી ગતિ કરતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,આપણને $p = \sqrt{2mE}$ મળે છે.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે છે.
જોકે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ તમામ દ્રવ્ય માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે,પરંતુ ક્રિકેટના દડા જેવા મેક્રોસ્કોપિક પદાર્થ માટે,આ તરંગલંબાઈ અત્યંત નાની ($10^{-34} \ m$ ના ક્રમની) હોય છે,જે તેને ભૌતિક રીતે શોધવી અશક્ય બનાવે છે અને વ્યવહારમાં તે બિનમહત્વની છે,પરંતુ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ માન્ય રહે છે.

(A) ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_{Ph}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\lambda_{Ph} = \frac{hc}{E}$.
બિન-સાપેક્ષવાદી ઇલેક્ટ્રોન માટે,ઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે. ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{el} = \frac{h}{p}$ છે.
ઊર્જાના સમીકરણ પરથી,$p = \sqrt{2mE}$,તેથી $\lambda_{el} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\lambda_{Ph} = \frac{hc}{E}$
$\lambda_{el} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$
સમાન ઊર્જા $E$ માટે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{Ph}}{\lambda_{el}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$ થાય છે.
અહીં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8 \ m/s)$ છે અને $E$ ખૂબ નાનું $(10^{-20} \ J)$ હોવાથી,$\lambda_{Ph}$ નું મૂલ્ય $\lambda_{el}$ કરતા ઘણું વધારે છે.
તેથી,$\lambda_{Ph} > \lambda_{el}$ સાચું છે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
$K$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
અહીં $\lambda = 0.3 \, nm = 0.3 \times 10^{-9} \, m$, $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$, અને $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (0.3 \times 10^{-9})^2}$.
$K = \frac{43.9 \times 10^{-68}}{18.2 \times 10^{-31} \times 0.09 \times 10^{-18}} = \frac{43.9 \times 10^{-68}}{1.638 \times 10^{-48}} \approx 26.8 \times 10^{-20} \, J$.
જૂલને $eV$ માં ફેરવવા માટે $1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ વડે ભાગતા: $K \approx \frac{26.8 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 16.75 \, eV \approx 16.8 \, eV$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{h}{p}$.
વેગમાન $p$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $p = \frac{h}{\lambda}$.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $\lambda = 2 \mu m = 2 \times 10^{-6} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-6}} \ kg \cdot m/s$.
$p = 3.315 \times 10^{-28} \ kg \cdot m/s$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1 \ kg$,$v = 2000 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1 \times 2000} = \frac{6.63}{2} \times 10^{-37} \ m = 3.315 \times 10^{-37} \ m$.
કારણ કે $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,આપણે તરંગલંબાઈને $\mathring{A}$ માં ફેરવીએ છીએ:
$\lambda = 3.315 \times 10^{-37} \ m = 3.315 \times 10^{-27} \ \mathring{A}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $3.3 \times 10^{-27} \ \mathring{A}$ મળે છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $E = 5 \ eV = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 5 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{145.6 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{12.066 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.547 \times 10^{-9} \ m = 5.47 \times 10^{-10} \ m = 5.47 \ \mathring{A}$.

(C) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધવાનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mQV}}$ છે.
અહીં $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,$Q = 1.60 \times 10^{-19} \ C$ અને $V = 100 \ V$ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.60 \times 10^{-19} \times 100}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring A$ થાય.
તેથી,$V = 100 \ V$ માટે,$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{100}} = \frac{12.27}{10} = 1.227 \ \mathring A \approx 1.23 \ \mathring A$ મળે છે.

(C) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{p}$.
તેથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ એ કણના વેગમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.
જો ગતિઊર્જા $E$ વધીને $E' = 2E$ થાય,તો નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(2E)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ થશે.
તેથી,$\lambda' = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda$.
આમ,તરંગલંબાઈમાં $1/\sqrt{2}$ ના અવયવ જેટલો ફેરફાર થાય છે.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને કણના વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ છે.
વેગમાન માટે આ સમીકરણને ગોઠવતા,$p^2 = 2mE$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mE}$.
$p$ ની આ કિંમતને દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) દ્રવ્ય તરંગ (ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ) ની તરંગલંબાઈ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{p}$ $....(i)$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે,$v$ એ તેનો વેગ છે અને $p$ એ તેનું વેગમાન છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ કણના દળ,વેગ અને વેગમાન પર આધાર રાખે છે.
તે કણના વીજભાર પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
$0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$
$\Rightarrow m_1 \vec{v}_1 = -m_2 \vec{v}_2$
મૂલ્ય લેતા,આપણને $m_1 v_1 = m_2 v_2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે બંને કણોના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન છે $(p_1 = p_2 = p)$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = h / p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કણો સમાન મૂલ્યનું વેગમાન $p$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = h / p$ અને $\lambda_2 = h / p$ થશે.
તેથી,ગુણોત્તર $\lambda_1 / \lambda_2 = (h / p) / (h / p) = 1$ થાય.

(B) ફોટોન માટે,ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $E$ તેની ગતિજ ઉર્જા છે.
બંને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{hc}{E} \cdot \frac{\sqrt{2mE}}{h} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$.
અહીં $c$ અને $m$ અચળાંક હોવાથી,$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ થાય છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_{rms}}$ છે.
વાયુના અણુ માટે,રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ છે.
આ કિંમત તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ મળે છે.
અહીં $T_H = 27^oC = 300 K$ અને $T_{He} = 127^oC = 400 K$ આપેલ છે.
દળ $m_H = 2$ એકમ અને $m_{He} = 4$ એકમ છે.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{m_{He} T_{He}}{m_H T_H}} = \sqrt{\frac{4 \times 400}{2 \times 300}} = \sqrt{\frac{1600}{600}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$ થાય.

(C) કણની કુલ ઊર્જા $E = 2 E_0$ છે.
$0 \le x \le 1$ વિસ્તાર માટે,સ્થિતિઊર્જા $U_1 = E_0$ છે. ગતિઊર્જા $K_1 = E - U_1 = 2 E_0 - E_0 = E_0$ થાય.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2m K_1}} = \frac{h}{\sqrt{2m E_0}}$ છે.
$x > 1$ વિસ્તાર માટે,સ્થિતિઊર્જા $U_2 = 0$ છે. ગતિઊર્જા $K_2 = E - U_2 = 2 E_0 - 0 = 2 E_0$ થાય.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m K_2}} = \frac{h}{\sqrt{2m(2 E_0)}} = \frac{h}{\sqrt{4m E_0}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2m E_0}}{h / \sqrt{4m E_0}} = \sqrt{\frac{4m E_0}{2m E_0}} = \sqrt{2}$.

(C) ઉર્જા $E$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}} = \frac{h}{\sqrt{2m}} \cdot E^{-1/2}$
બંને બાજુ લઘુગણક (log) લેતા:
$\log \lambda = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2m}} \cdot E^{-1/2} \right)$
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\log \lambda = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2m}} \right) + \log (E^{-1/2})$
$\log \lambda = -\frac{1}{2} \log E + \log \left( \frac{h}{\sqrt{2m}} \right)$
આ સમીકરણ સુરેખ રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં:
$y = \log \lambda$
$x = \log E$
$m = -1/2$ (ઢાળ)
$c = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2m}} \right)$ ($y$-અક્ષ પરનો ધન અંતઃખંડ)
ઢાળ ઋણ હોવાથી,આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સુરેખ રેખા છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) બે સખત દીવાલો વચ્ચે $L$ લંબાઈમાં મર્યાદિત ઇલેક્ટ્રોન માટે,કણ સ્થિર તરંગની જેમ વર્તે છે. સૌથી નીચી ઉર્જા અવસ્થા (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ) માટે,લંબાઈ $L$ એ અડધી તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે: $L = \frac{\lambda}{2}$,તેથી $\lambda = 2L$.
આપેલ છે કે $L = 1.0 \times 10^{-9} \ m$,તેથી $\lambda = 2 \times 10^{-9} \ m$.
ડી બ્રોગ્લી સંબંધ $p = \frac{h}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,ગતિ ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ મળે: $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $\lambda = 2 \times 10^{-9} \ m$:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (2 \times 10^{-9})^2}$
$E = \frac{43.96 \times 10^{-68}}{18.2 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{-18}}$
$E = \frac{43.96 \times 10^{-68}}{72.8 \times 10^{-49}} \approx 0.6038 \times 10^{-19} \ J = 6.038 \times 10^{-20} \ J$.
આમ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $6.0 \times 10^{-20} \ J$ છે.

(B) ઈલેક્ટ્રોન તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = 10 \ pm = 10 \times 10^{-12} \ m$ હોવી જોઈએ.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$, ઉર્જા $E$ માટે સૂત્ર:
$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$
કિંમતો મૂકતા $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$, અને $\lambda = 10^{-11} \ m$:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (10^{-11})^2} \ J$
$E \approx 2.41 \times 10^{-15} \ J$
આ ઉર્જાને $eV$ માં ફેરવવા માટે, $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{2.41 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 15062 \ eV \approx 15 \ KeV$.

(C) ધારો કે બે કણોના વિદ્યુતભાર $q_1$ અને $q_2$ છે. આપેલ છે કે $q_1 = q_2 = q$. બંને સમાન સ્થિતિમાનના તફાવત $V$ હેઠળ પ્રવેગિત થાય છે.
$q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ દ્વારા $V$ સ્થિતિમાન હેઠળ મેળવેલી ગતિઊર્જા $K = qV$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K = \frac{p^2}{2m}$,તેથી $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2mqV}$.
દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
અહીં $h$,$q$ અને $V$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે છે.
તેથી,તેમની તરંગ લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ થશે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mk_BT}}$ છે.
અહીં,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,$k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$ અને $T = 27 + 273 = 300 \ K$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times (9.11 \times 10^{-31}) \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 300}}$
$\lambda \approx 6.2 \times 10^{-9} \ m$.
બે ઈલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર $r = 2 \times 10^{-10} \ m$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{r}{\lambda} = \frac{2 \times 10^{-10}}{6.2 \times 10^{-9}} \approx 0.03$ મળે છે.

(C) દ-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{p}$.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈમાં $0.25\%$ નો ફેરફાર થાય છે,તેથી નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \lambda + \frac{0.25}{100}\lambda = 1.0025\lambda$ થાય.
તરંગલંબાઈ વધે છે,તેથી વેગમાન ઘટવું જોઈએ. ધારો કે નવું વેગમાન $p' = p - p_0$ છે.
સંબંધ $\lambda' = \frac{h}{p'}$ નો ઉપયોગ કરતા,$1.0025\lambda = \frac{h}{p - p_0}$ મળે.
આને $\lambda = \frac{h}{p}$ વડે ભાગતા,$1.0025 = \frac{p}{p - p_0}$ મળે.
$1.0025(p - p_0) = p$.
$1.0025p - 1.0025p_0 = p$.
$0.0025p = 1.0025p_0$.
$p = \frac{1.0025}{0.0025}p_0 = 401\ p_0$.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mk_BT}}$
અહીં આપેલ કિંમતો:
ઈલેક્ટ્રોનનું દળ,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક,$k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$
તાપમાન,$T = 27 + 273 = 300 \ K$
પ્લાન્કનો અચળાંક,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times (9.11 \times 10^{-31}) \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 300}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{11293.62 \times 10^{-54}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.0627 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 6.24 \times 10^{-9} \ m$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $m_p = m$, $q_p = e$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: $m_{\alpha} = 4m$, $q_{\alpha} = 2e$.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \frac{h / \sqrt{2m_p q_p V}}{h / \sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ, ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ છે.

(D) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
અહીં વેગ $v$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{m}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે જે કણનું દળ સૌથી ઓછું હશે,તેની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હશે.
આપેલા કણોના દળનો ક્રમ: $m_{\alpha} > m_n \approx m_p > m_{\beta}$ છે.
$\beta$-કણ (ઇલેક્ટ્રોન) નું દળ આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી ઓછું હોવાથી,તેની દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ મહત્તમ હશે.

(C) દ બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ,દરેક ગતિમાન કણ,પછી તે સૂક્ષ્મ (જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન) હોય કે સ્થૂળ (જેમ કે દડો),તેની સાથે એક તરંગ સંકળાયેલું હોય છે જેને દ્રવ્ય તરંગ અથવા દ બ્રોગ્લી તરંગ કહેવામાં આવે છે.
$1$. વિધાન $A$ સાચું છે: દ બ્રોગ્લી તરંગો કણના મળવાની સંભાવના દર્શાવે છે અને તે ધ્વનિ કે પાણીના તરંગો જેવા ભૌતિક તરંગો નથી.
$2$. વિધાન $B$ સાચું છે: દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = h/p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ વેગમાન છે. આમ,$\lambda \propto 1/p$.
$3$. વિધાન $C$ ખોટું છે: તરંગ સ્વભાવ તમામ કણો સાથે સંકળાયેલો હોય છે,પછી ભલે તે ગમે તે કદના હોય. જોકે,સ્થૂળ પદાર્થો માટે તરંગલંબાઈ એટલી નાની હોય છે કે તેને માપી શકાતી નથી.
$4$. વિધાન $D$ સાચું છે: પ્લાન્કના અચળાંક $h$ નું મૂલ્ય અત્યંત નાનું હોવાથી,સ્થૂળ પદાર્થોની તરંગલંબાઈ નગણ્ય હોય છે,જેના કારણે રોજિંદા જીવનમાં તરંગ પ્રકૃતિ જોવા મળતી નથી.
તેથી,ખોટું વિધાન $C$ છે.

(A) $T$ તાપમાને ન્યુટ્રૉનની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{3}{2}kT = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વેગમાન $p = \sqrt{3mkT}$ થાય.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ છે.
આ સૂચવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
અહીં $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \ K$ અને $T_2 = 927^{\circ}C = 1200 \ K$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{300}{1200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$ મળે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
વિકલન કરતા, $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ મળે.
$\lambda = \frac{h}{p}$ વડે ભાગતા, $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$ મળે.
માનાંક લેતા, $\frac{|d\lambda|}{\lambda} = \frac{|dp|}{p}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{|d\lambda|}{\lambda} \times 100 = 0.50\ \%$, તેથી $\frac{|d\lambda|}{\lambda} = \frac{0.50}{100} = \frac{1}{200}$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $|dp| = P_m$ આપેલ હોવાથી, $\frac{P_m}{p} = \frac{1}{200}$ થાય.
તેથી, પ્રારંભિક વેગમાન $p = 200\ P_m$ મળે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
દળ $m$ અને ગતિઊર્જા $E$ ધરાવતા કણ માટે,વેગમાન $p = \sqrt{2mE}$ હોવાથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ થાય.
ઊર્જા માટે સૂત્ર બનાવતા,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,યુરેનિયમ ન્યુક્લિયસનું દળ $m$ ઈલેક્ટ્રોનના દળ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી અને ફોટોનની ઊર્જા $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ($\lambda^2$ ને બદલે) હોવાથી,આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ફોટોનની ઊર્જા સૌથી વધુ હોય છે.

(A) ડી બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
જ્યારે કણ સાપેક્ષવાદની ઝડપે $(v \approx c)$ ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેનું દળ $m$ એ સાપેક્ષવાદના દળના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$,જ્યાં $m_0$ એ સ્થિર દળ છે.
વેગમાન $p$ ને $p = m \cdot v$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સાપેક્ષવાદના દળના સૂત્રને વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.
અંતે,આ કિંમતને ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\lambda = \frac{h}{m_0 v / \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.

(B) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{v}$.
આનો અર્થ એ છે કે દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ એ ઈલેક્ટ્રોનના વેગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જો ઈલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ વધે,તો દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટશે.

(B) દ-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
અહીં $h$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{v}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_1 = v$ અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે.
જ્યારે વેગ બમણો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વેગ $v_2 = 2v$ થાય.
તેથી નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{m(2v)} = \frac{1}{2} \left( \frac{h}{mv} \right) = \frac{\lambda}{2}$ મળે.
તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = \lambda - \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{2}$ થાય.
આમ,તરંગલંબાઈમાં $\frac{\lambda}{2}$ જેટલો ઘટાડો થાય છે.