Line and Plane Questions in Gujarati

(D) બે આપેલા સમતલો પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમના અભિલંબનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(3k) + k(-k) + (-5)(1) = 0$
$6k - k^2 - 5 = 0 \Rightarrow k^2 - 6k + 5 = 0$
$(k - 1)(k - 5) = 0 \Rightarrow k = 1$ અથવા $k = 5$.
આપેલ છે કે $k < 3$,તેથી આપણે $k = 1$ લઈશું.
બે સમતલોના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ:
$(2x + y - 5z - 1) + \lambda(3x - y + z - 5) = 0$
$(2 + 3\lambda)x + (1 - \lambda)y + (-5 + \lambda)z = 1 + 5\lambda$.
$x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $1$ છે,તેથી $y = 0$ અને $z = 0$ લેતા:
$\frac{1 + 5\lambda}{2 + 3\lambda} = 1 \Rightarrow 1 + 5\lambda = 2 + 3\lambda \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ મેળવવા માટે $x = 0$ અને $z = 0$ લેતા:
$(1 - \lambda)y = 1 + 5\lambda \Rightarrow y = \frac{1 + 5(1/2)}{1 - 1/2} = \frac{1 + 2.5}{0.5} = \frac{3.5}{0.5} = 7$.

(C) સમતલ રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$ ને સમાવે છે,જે $(4, -1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ છે.
સમતલ $4ax-y+5z-7a=0$ અને $2x-5y-z-3=0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાને પણ સમાવે છે.
આ બે સમતલોના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોનું કુળ $(4ax-y+5z-7a) + \lambda(2x-5y-z-3) = 0$ છે.
બિંદુ $(4, -1, 0)$ સમતલ પર હોવાથી,$(16a+1-7a) + \lambda(8+5-3) = 0$,જે $9a + 10\lambda + 1 = 0$ (સમીકરણ $1$) માં પરિણમે છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 4a+2\lambda, -1-5\lambda, 5-\lambda \rangle$ છે. રેખા $\vec{v_1}$ સમતલમાં હોવાથી,$\vec{n} \cdot \vec{v_1} = 0$,તેથી $(4a+2\lambda) - 2(-1-5\lambda) + (5-\lambda) = 0$,જે $4a + 11\lambda + 7 = 0$ (સમીકરણ $2$) માં પરિણમે છે.
સમીકરણ $1$ અને $2$ ઉકેલતા $a=1$ અને $\lambda=-1$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ: $(4x-y+5z-7) - (2x-5y-z-3) = 0$,એટલે કે $2x+4y+6z-4=0$ અથવા $x+2y+3z-2=0$.
રેખા $\frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-4}=t$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(7t+3, -t+2, -4t+3)$ છે.
સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(7t+3) + 2(-t+2) + 3(-4t+3) - 2 = 0$,જે $7t+3-2t+4-12t+9-2=0$ આપે છે,તેથી $-7t+14=0$,એટલે કે $t=2$.
બિંદુ $P$ એ $(17, 0, -5)$ છે.
આમ,$\alpha+\beta+\gamma = 17+0-5 = 12$.

(D) બે રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,રેખાઓ પરના બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$L_1$ પરનું બિંદુ $A(1, 2, 3)$ અને $L_2$ પરનું બિંદુ $B(-26, -18, -28)$ આપેલ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (-27, -20, -31)$.
સમતલીયતા માટેની શરત $\begin{vmatrix} -27 & -20 & -31 \\ \lambda & 1 & 2 \\ -2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $-27(\lambda - 6) + 20(\lambda^2 + 4) - 31(3\lambda + 2) = 0$.
$-27\lambda + 162 + 20\lambda^2 + 80 - 93\lambda - 62 = 0 \Rightarrow 20\lambda^2 - 120\lambda + 180 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0 \Rightarrow (\lambda - 3)^2 = 0$.
આમ,$\lambda = 3$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (3, 1, 2)$ અને $\vec{v_2} = (-2, 3, 3)$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 3 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 13\hat{j} + 11\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-3(x-1) - 13(y-2) + 11(z-3) = 0 \Rightarrow 3x + 13y - 11z + 4 = 0$ છે.
બિંદુઓ તપાસતા:
$(0, 4, 5)$ માટે: $3(0) + 13(4) - 11(5) + 4 = 52 - 55 + 4 = 1 \neq 0$.
આમ,બિંદુ $(0, 4, 5)$ એ સમતલ $P$ પર નથી.

(B) ધારો કે વર્તુળ પરનું બિંદુ $P(\cos \theta, \sin \theta, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ માંથી સમતલ $2x + 3y + z = 6$ પરના લંબનો લંબપાદ $Q(h, k, w)$ છે.
રેખા $PQ$ એ સમતલને લંબ છે,તેથી તેના દિકગુણોત્તર સમતલના અભિલંબ $(2, 3, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$\frac{h - \cos \theta}{2} = \frac{k - \sin \theta}{3} = \frac{w - 0}{1} = \lambda$.
કારણ કે $Q(h, k, w)$ એ સમતલ $2x + 3y + z = 6$ પર આવેલું છે,તેથી $2h + 3k + w = 6$.
$h = \cos \theta + 2\lambda$,$k = \sin \theta + 3\lambda$,અને $w = \lambda$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\cos \theta + 2\lambda) + 3(\sin \theta + 3\lambda) + \lambda = 6$
$2\cos \theta + 3\sin \theta + 14\lambda = 6 \implies \lambda = \frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}$.
તેથી $h = \cos \theta + 2\left(\frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}\right) = \frac{10\cos \theta - 6\sin \theta + 12}{14}$.
$k = \sin \theta + 3\left(\frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}\right) = \frac{5\sin \theta - 6\cos \theta + 18}{14}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $5h + 6k = \cos \theta + 12 \implies \cos \theta = 5h + 6k - 12$ મળે.
તે જ રીતે,$3h + 5k = \frac{\sin \theta}{2} + 9 \implies \sin \theta = 2(3h + 5k - 9)$ મળે.
$\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(5h + 6k - 12)^{2} + 4(3h + 5k - 9)^{2} = 1$ મળે છે.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણ $PRQS$ માં,વિકર્ણો $PQ$ અને $RS$ એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિકર્ણ $PQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_Q - x_P, y_Q - y_P, z_Q - z_P) = \left(\frac{56}{17} + 2, \frac{43}{17} + 1, \frac{111}{17} - 1\right) = \left(\frac{90}{17}, \frac{60}{17}, \frac{94}{17}\right)$ છે.
$PQ \perp RS$ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થવો જોઈએ.
ધારો કે $RS$ ના દિકગુણોત્તરો $(\alpha, -1, \beta)$ છે. તેથી,$\frac{90}{17}(\alpha) + \frac{60}{17}(-1) + \frac{94}{17}(\beta) = 0$.
$17$ વડે ગુણતા,આપણને $90\alpha - 60 + 94\beta = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $90\alpha + 94\beta = 60$ અથવા $45\alpha + 47\beta = 30$ થાય છે.
આપણે $45\alpha + 47\beta = 30$ નું સમાધાન કરતા ન્યૂનતમ નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા પૂર્ણાંકો $\alpha$ અને $\beta$ શોધવાના છે.
કિંમતો તપાસતા: જો $\alpha = -15$ હોય,તો $47\beta = 30 - 45(-15) = 30 + 675 = 705$. તેથી,$\beta = \frac{705}{47} = 15$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = (-15)^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450$.

(B) સમતલનું સમીકરણ $x + 2y + z = 14$ છે.
બિંદુ $P(1, 2, 3)$ થી સમતલ પરના લંબ $PQ$ ની લંબાઈ નીચે મુજબ મળે છે:
$PQ = \left| \frac{1(1) + 2(2) + 1(3) - 14}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} \right| = \left| \frac{1 + 4 + 3 - 14}{\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-6}{\sqrt{6}} \right| = \sqrt{6}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQR$ માં,જ્યાં $\angle PQR = 90^{\circ}$ અને $\angle PRQ = 60^{\circ}$ છે,તેથી:
$QR = PQ \cot(60^{\circ}) = \sqrt{6} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{12} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

(B) આપેલ સમતલ $P: 2x + my + nz = 4$ અને બિંદુ $A(-1, 4, 3)$ માંથી દોરેલા લંબનો લંબપાદ $B\left(-2, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$ છે.
$B$ એ સમતલ પર હોવાથી,$2(-2) + m(\frac{7}{2}) + n(\frac{3}{2}) = 4$,જેનું સાદુંરૂપ $7m + 3n = 16$ થાય છે. $(1)$
વળી,સદિશ $\vec{AB} = B - A = (-2 - (-1), \frac{7}{2} - 4, \frac{3}{2} - 3) = (-1, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, m, n)$ છે. $\vec{AB}$ એ $\vec{n}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\frac{2}{-1} = \frac{m}{-1/2} = \frac{n}{-3/2} = k$.
આમ,$k = -2$,તેથી $m = (-1/2)(-2) = 1$ અને $n = (-3/2)(-2) = 3$.
આપણે બિંદુ $A$ નું સમતલ $P$ થી દિશા ગુણોત્તર $(3, -1, -4)$ વાળી રેખાને સમાંતર અંતર શોધવાનું છે. ધારો કે આ રેખા $L$ છે. બિંદુ $A(-1, 4, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x+1}{3} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z-3}{-4} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $C$ એ $(3\lambda - 1, -\lambda + 4, -4\lambda + 3)$ છે.
$C$ એ સમતલ $2x + y + 3z = 4$ પર હોવાથી,$C$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(3\lambda - 1) + 1(-\lambda + 4) + 3(-4\lambda + 3) = 4$
$6\lambda - 2 - \lambda + 4 - 12\lambda + 9 = 4$
$-7\lambda + 11 = 4 \Rightarrow -7\lambda = -7 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,બિંદુ $C$ એ $(3(1) - 1, -1 + 4, -4(1) + 3) = (2, 3, -1)$ છે.
અંતર $AC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$.

(B) આપેલ છે કે $(a, -4a, -7)$ દિશા ગુણોત્તર વાળી રેખા $(3, -1, 2b)$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $3a + 4a - 14b = 0 \implies 7a = 14b \implies a = 2b$ $(i)$.
તે $(b, a, -2)$ ને પણ લંબ છે,તેથી $ab - 4a^2 + 14 = 0$ $(ii)$.
$a = 2b$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $b(2b) - 4(2b)^2 + 14 = 0 \implies 2b^2 - 16b^2 + 14 = 0 \implies -14b^2 = -14 \implies b^2 = 1$.
આમ,$a^2 = (2b)^2 = 4b^2 = 4$.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+1}{4+1} = \frac{y-2}{4-1} = \frac{z}{1} = k$ થાય,એટલે કે $\frac{x+1}{5} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{1} = k$.
આથી $\alpha = 5k - 1, \beta = 3k + 2, \gamma = k$.
કારણ કે $(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $x - y + z = 0$ પર છે,તેથી $(5k - 1) - (3k + 2) + k = 0 \implies 3k - 3 = 0 \implies k = 1$.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = (5k - 1) + (3k + 2) + k = 9k + 1 = 9(1) + 1 = 10$.

(C) બિંદુ $P(-1, 9, -16)$ માંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખા $\frac{x+4}{3} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z-3}{12}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+1}{3} = \frac{y-9}{-4} = \frac{z+16}{12} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3\lambda - 1, -4\lambda + 9, 12\lambda - 16)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x + 3y - z = 5$ પર હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(3\lambda - 1) + 3(-4\lambda + 9) - (12\lambda - 16) = 5$.
$6\lambda - 2 - 12\lambda + 27 - 12\lambda + 16 = 5$.
$-18\lambda + 41 = 5$.
$-18\lambda = -36$,તેથી $\lambda = 2$.
છેદબિંદુ $(3(2) - 1, -4(2) + 9, 12(2) - 16) = (5, 1, 8)$ છે.
$(-1, 9, -16)$ અને $(5, 1, 8)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - 9)^2 + (8 - (-16))^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 24^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26$ છે.

(D) $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + kP_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + (\lambda+4)y + z - 1) + k(2x + y + z - 2) = 0$ $(1)$
સમતલ બિંદુ $(0, 1, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$(0 + (\lambda+4)(1) + 0 - 1) + k(0 + 1 + 0 - 2) = 0$
$\lambda + 3 - k = 0 \implies k = \lambda + 3$
સમતલ બિંદુ $(1, 0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$(1 + 0 + 1 - 1) + k(2 + 0 + 1 - 2) = 0$
$1 + k = 0 \implies k = -1$
$k$ ની કિંમતો સરખાવતા:
$\lambda + 3 = -1 \implies \lambda = -4$
હવે,બિંદુ $(2\lambda, \lambda, -\lambda) = (-8, -4, 4)$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
સમતલ $P_2: 2x + y + z - 2 = 0$ અને બિંદુ $(-8, -4, 4)$ માટે:
$d = \frac{|2(-8) + 1(-4) + 1(4) - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-16 - 4 + 4 - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{|-18|}{\sqrt{6}} = \frac{18}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6}$.

(B) રેખા $x-2y-z-5=0$ અને $x+y+3z-5=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-2y-z-5) + \lambda(x+y+3z-5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(1+\lambda)x + (-2+\lambda)y + (-1+3\lambda)z - (5+5\lambda) = 0$ થાય છે.
રેખા $x+y+2z-7=0=2x+3y+z-2$ ના દિકગુણોત્તર બે સમતલોના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
સમતલ આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ રેખાની દિશાને લંબ હોવો જોઈએ:
$(1+\lambda)(-5) + (-2+\lambda)(3) + (-1+3\lambda)(1) = 0$
$-5 - 5\lambda - 6 + 3\lambda - 1 + 3\lambda = 0$
$\lambda - 12 = 0 \Rightarrow \lambda = 12$.
$\lambda = 12$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$13x + 10y + 35z = 65$.
આમ,$a=13, b=10, c=35$. બિંદુ $(13, 10, 35)$ છે.
બિંદુ $(13, 10, 35)$ નું સમતલ $2x+2y-z+16=0$ થી અંતર:
$d = \frac{|2(13) + 2(10) - 1(35) + 16|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|26 + 20 - 35 + 16|}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

(C) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 21$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાયો $BC = 2\sqrt{21}$ આપેલ છે,તેથી વેધ $h$ (બિંદુ $A$ થી રેખાનું લંબ અંતર) $\frac{2 \times 21}{2\sqrt{21}} = \sqrt{21}$ થાય.
રેખા $\frac{x+\alpha}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = k$ છે. દિશા સદિશ $\vec{v} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
રેખા પરનું એક બિંદુ $P(-\alpha, 1, -4)$ છે. સદિશ $\vec{AP} = -\alpha\hat{i} - \hat{j} - (\alpha + 4)\hat{k}$ છે.
લંબ અંતર $h = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ છે.
$\vec{AP} \times \vec{v} = (2\alpha + 5)\hat{i} - (2\alpha + 20)\hat{j} + (5 - 2\alpha)\hat{k}$ મળે છે.
$|\vec{AP} \times \vec{v}|^2 = 12\alpha^2 + 80\alpha + 450$ થાય.
$h^2 = 21$ અને $|\vec{v}|^2 = 38$ હોવાથી,$\frac{12\alpha^2 + 80\alpha + 450}{38} = 21$ મળે.
$12\alpha^2 + 80\alpha - 348 = 0 \Rightarrow 3\alpha^2 + 20\alpha - 87 = 0$ મળે.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા,$\alpha = 3$ મળે,તેથી $\alpha^2 = 9$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+10}{1} = \frac{y-8}{-2} = \frac{z}{1}$ છે. રેખા પરનું બિંદુ $(-10, 8, 0)$ છે અને દિશાના ગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ છે.
સમતલ $ax + by + 3z = 2(a+b)$ બિંદુ $(-10, 8, 0)$ ને સમાવે છે,તેથી $a(-10) + b(8) + 3(0) = 2a + 2b$,જેનું સાદું રૂપ $-10a + 8b = 2a + 2b$ એટલે કે $6b = 12a$ અથવા $b = 2a$ થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ $(a, b, 3)$ એ રેખાની દિશા $(1, -2, 1)$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $a(1) + b(-2) + 3(1) = 0$,તેથી $a - 2b + 3 = 0$.
$b = 2a$ ને $a - 2b + 3 = 0$ માં મૂકતા,$a - 2(2a) + 3 = 0$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $a = 1$ અને $b = 2$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $x + 2y + 3z = 6$ અથવા $x + 2y + 3z - 6 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 27, 7)$ થી સમતલનું અંતર $c = \frac{|1(1) + 2(27) + 3(7) - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|1 + 54 + 21 - 6|}{\sqrt{14}} = \frac{70}{\sqrt{14}} = 5\sqrt{14}$ છે.
તેથી,$c^2 = 25 \times 14 = 350$.
અંતે,$a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 2^2 + 350 = 1 + 4 + 350 = 355$.

(A) આપેલ બિંદુઓ $A(a, -2, 4)$ અને $B(2, b, -3)$ છે.
બિંદુ $C$ એ $AB$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ:
$C = \left( \frac{2(2) + 1(a)}{2+1}, \frac{2(b) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-3) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{a+4}{3}, \frac{2b-2}{3}, \frac{-2}{3} \right)$.
બિંદુ $C$ એ સમતલ $2x - y + z = 4$ પર આવેલું હોવાથી:
$2\left( \frac{a+4}{3} \right) - \left( \frac{2b-2}{3} \right) + \left( \frac{-2}{3} \right) = 4$
$2a + 8 - 2b + 2 - 2 = 12 \Rightarrow 2a - 2b = 4 \Rightarrow a - b = 2 \Rightarrow a = b + 2$.
ઉગમબિંદુથી અંતર $OC = \sqrt{5}$ હોવાથી,$OC^2 = 5$:
$\left( \frac{a+4}{3} \right)^2 + \left( \frac{2b-2}{3} \right)^2 + \left( \frac{-2}{3} \right)^2 = 5$
$(b+2+4)^2 + (2b-2)^2 + 4 = 45$
$(b+6)^2 + (2b-2)^2 = 41$
$5b^2 + 4b - 1 = 0 \Rightarrow (5b - 1)(b + 1) = 0$.
તેથી,$b = -1$ અથવા $b = 1/5$. જો $ab < 0$ હોય,તો $b = -1$ લેતા $a = 1$ મળે,જે શરત સંતોષે છે. $b = 1/5$ લેતા $ab > 0$ મળે છે.
આમ,$a = 1, b = -1$.
$C = \left( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{2}{3} \right)$.
$P = (1 - (-1), -1, 2(-1) - 1) = (2, -1, -3)$.
$CP^2 = \left( 2 - \frac{5}{3} \right)^2 + \left( -1 - (-\frac{4}{3}) \right)^2 + \left( -3 - (-\frac{2}{3}) \right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{49}{9} = \frac{51}{9} = \frac{17}{3}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખા $L_1$ પરનું બિંદુ $(\lambda+1, 2\lambda+2, \lambda-3)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $L_2$ પરનું બિંદુ $(2\mu+a, 3\mu-2, \mu+3)$ છે.
રેખાઓ બિંદુ $P$ પર છેદતી હોવાથી,તેમના યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$1) \lambda+1 = 2\mu+a$
$2) 2\lambda+2 = 3\mu-2 \Rightarrow 2\lambda = 3\mu-4$
$3) \lambda-3 = \mu+3 \Rightarrow \lambda = \mu+6$
બીજા સમીકરણમાં $\lambda = \mu+6$ મુકતા:
$2(\mu+6) = 3\mu-4 \Rightarrow 2\mu+12 = 3\mu-4 \Rightarrow \mu = 16$.
તેથી $\lambda = 16+6 = 22$.
હવે પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $a$ શોધો:
$22+1 = 2(16)+a \Rightarrow 23 = 32+a \Rightarrow a = -9$.
બિંદુ $P$ એ $(23, 46, 19)$ છે.
બિંદુ $P(23, 46, 19)$ નું સમતલ $z = -9$ થી અંતર $|z_P - (-9)| = |19 + 9| = 28$ થાય.

(A) બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 4)$ અને $C(1, 5, 7)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $(x-1)(4-3) - (y-2)(4-0) + (z-3)(3-0) = 0$
$\Rightarrow (x-1) - 4(y-2) + 3(z-3) = 0$
$\Rightarrow x - 4y + 3z = 2$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 1, -4, 3 \rangle$ છે. એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\langle 1, -4, 3 \rangle}{\sqrt{26}}$ છે.
$\hat{OP}$ એ સમતલને લંબ એકમ સદિશ હોવાથી,$\hat{OP} = \pm \langle \frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{-4}{\sqrt{26}}, \frac{3}{\sqrt{26}} \rangle$.
દિગ્કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ છે. $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$ આપેલ હોવાથી,$\cos \beta > 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\cos \beta = \frac{4}{\sqrt{26}}$. આનો અર્થ એ છે કે $\hat{OP} = \langle -\frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{4}{\sqrt{26}}, -\frac{3}{\sqrt{26}} \rangle$.
આમ,$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}} < 0 \Rightarrow \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ અને $\cos \gamma = -\frac{3}{\sqrt{26}} < 0 \Rightarrow \gamma \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$.

(D) સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n}_1 = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
આપેલ ખૂણો $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)$,તેથી $\sin \theta = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.
આમ,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \frac{1}{5}$.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{\lambda^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{\lambda^2 + 10}$.
$\frac{1}{5} = \frac{|3\lambda - 8|}{\sqrt{35} \sqrt{\lambda^2 + 10}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{25} = \frac{(3\lambda - 8)^2}{35(\lambda^2 + 10)} \Rightarrow 38\lambda^2 - 240\lambda + 250 = 0 \Rightarrow 19\lambda^2 - 120\lambda + 125 = 0$.
$(19\lambda - 25)(\lambda - 5) = 0$,તેથી $\lambda_1 = \frac{25}{19}$ અને $\lambda_2 = 5$.
બિંદુ $(38 \times \frac{25}{19}, 10 \times 5, 2) = (50, 50, 2)$ છે.
સમતલ $P_1$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|3(50) - 5(50) + 1(2) - 7|}{\sqrt{35}} = \frac{105}{\sqrt{35}}$.
અંતરનો વર્ગ $\left(\frac{105}{\sqrt{35}}\right)^2 = \frac{11025}{35} = 315$.

(D) સમતલ એ $x - 3y + 2z - 1 = 0$ અને $4x - y + z = 0$ સમતલોની છેદરેખાને લંબ છે. આ રેખાનો દિશા સદિશ બે સમતલોના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $\vec{n}_1 = (1, -3, 2)$ અને $\vec{n}_2 = (4, -1, 1)$.
$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 + 2) - \hat{j}(1 - 8) + \hat{k}(-1 + 12) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 11\hat{k}$.
આમ,જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-1, 7, 11)$ છે.
બિંદુ $(1, 1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(-1, 7, 11)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-1(x - 1) + 7(y - 1) + 11(z - 2) = 0$
$-x + 1 + 7y - 7 + 11z - 22 = 0$
$-x + 7y + 11z = 28$.
$Ax + By + Cz = 1$ સ્વરૂપ મેળવવા માટે $28$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{28}x + \frac{7}{28}y + \frac{11}{28}z = 1$.
$Ax + By + Cz = 1$ સાથે સરખાવતા,$A = -\frac{1}{28}$,$B = \frac{7}{28}$,અને $C = \frac{11}{28}$ મળે છે.
હવે,$140(C - B + A)$ ની ગણતરી કરતા:
$140 \left( \frac{11}{28} - \frac{7}{28} - \frac{1}{28} \right) = 140 \left( \frac{3}{28} \right) = 5 \times 3 = 15$.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{2y+1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ છે.
રેખાના સમીકરણને ફરીથી લખતા: $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1/2}{1} = \frac{z+1}{-1}$.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
ધારો કે બિંદુઓ $A(-1, k, 0), B(2, k, -1), C(1, 1, 2)$ છે.
સમતલમાં સદિશો $\vec{CA} = -2\hat{i} + (k-1)\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{CB} = \hat{i} + (k-1)\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{CA} \times \vec{CB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & k-1 & -2 \\ 1 & k-1 & -3 \end{vmatrix}$.
$\vec{n} = -(k-1)\hat{i} - 8\hat{j} - 3(k-1)\hat{k}$.
સમતલ રેખાને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 1(-(k-1)) + 1(-8) - 1(-3(k-1)) = 0$.
$-k + 1 - 8 + 3k - 3 = 0 \Rightarrow 2k - 10 = 0 \Rightarrow k = 5$.
$k=5$ ની કિંમત પદાવલિમાં મુકતા: $\frac{k^2+1}{(k-1)(k-2)} = \frac{5^2+1}{(5-1)(5-2)} = \frac{26}{4 \times 3} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}$.

(A) સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n}_1 = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|2-1+2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$.
ધારો કે $L$ એ $P_2$ ના અભિલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી રેખા છે. રેખા $L$ અને સમતલ $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ રેખા અને અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ સાથે $\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$ સંબંધ ધરાવે છે.
કારણ કે $\theta = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$.
આપણે $(\tan^2 \theta)(\cot^2 \alpha)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$(\tan^2 \frac{\pi}{3})(\cot^2 \frac{\pi}{6}) = ((\sqrt{3})^2)((\sqrt{3})^2) = (3)(3) = 9$.

(A) રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, -\lambda-1, \lambda+3)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $2x+y+3z=16$ માં મૂકતા:
$2(2\lambda+1) + (-\lambda-1) + 3(\lambda+3) = 16$
$4\lambda + 2 - \lambda - 1 + 3\lambda + 9 = 16$
$6\lambda + 10 = 16 \Rightarrow 6\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી,બિંદુ $P = (3, -2, 4)$.
બિંદુ $R(1, -1, -3)$ માંથી રેખા $L$ પરના લંબપાદ $Q$ માટે,ધારો કે $Q = (2\mu+1, -\mu-1, \mu+3)$.
સદિશ $\vec{RQ} = (2\mu, -\mu, \mu+6)$. કારણ કે $\vec{RQ}$ એ રેખા $L$ ની દિશા $\vec{v} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ ને લંબ છે:
$2(2\mu) - 1(-\mu) + 1(\mu+6) = 0$
$4\mu + \mu + \mu + 6 = 0 \Rightarrow 6\mu = -6 \Rightarrow \mu = -1$.
તેથી,$Q = (-1, 0, 2)$.
હવે,$\vec{QR} = R - Q = (1 - (-1), -1 - 0, -3 - 2) = (2, -1, -5)$.
અને $\vec{QP} = P - Q = (3 - (-1), -2 - 0, 4 - 2) = (4, -2, 2)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{QR} \times \vec{QP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -5 \\ 4 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-10) - \hat{j}(4+20) + \hat{k}(-4+4) = -12\hat{i} - 24\hat{j}$.
ક્ષેત્રફળ $\alpha = \frac{1}{2} |\vec{QR} \times \vec{QP}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-12)^2 + (-24)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 576} = \frac{1}{2} \sqrt{720}$.
તેથી,$\alpha^2 = \frac{1}{4} \times 720 = 180$.

(A) આપેલ સમતલ $P : 8x + \alpha_1 y + \alpha_2 z + 12 = 0$ અને રેખા $L : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{5}$ છે.
સમતલ $P$ એ રેખા $L$ ને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ એ રેખાના દિશા સદિશને લંબ હોય.
તેથી,$8(2) + \alpha_1(3) + \alpha_2(5) = 0 \Rightarrow 3\alpha_1 + 5\alpha_2 = -16$.
સમતલ $P$ નો $y$-અંતઃખંડ $1$ આપેલ છે,તેથી સમતલના સમીકરણમાં $x=0$ અને $z=0$ મૂકતા: $\alpha_1(1) + 12 = 0 \Rightarrow \alpha_1 = -12$.
$\alpha_1 = -12$ ને $3\alpha_1 + 5\alpha_2 = -16$ માં મૂકતા,આપણને મળે: $3(-12) + 5\alpha_2 = -16 \Rightarrow -36 + 5\alpha_2 = -16 \Rightarrow 5\alpha_2 = 20 \Rightarrow \alpha_2 = 4$.
સમતલ $P$ નું સમીકરણ $8x - 12y + 4z + 12 = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - 3y + z + 3 = 0$ થાય છે.
રેખા $L$ પરના બિંદુ $(-2, 3, -4)$ થી સમતલ $P$ નું અંતર $d = \frac{|2(-2) - 3(3) + 1(-4) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|-4 - 9 - 4 + 3|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|-14|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$.

(D) બિંદુ $P(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $x + 2y - z = 0$ ને લંબ રેખા $PM$ નું સમીકરણ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{-1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda + 2, 2\lambda - 1, -\lambda + 3)$ સ્વરૂપનું હોય.
લંબપાદ $M$ માટે,આ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે: $(\lambda + 2) + 2(2\lambda - 1) - (-\lambda + 3) = 0$.
$\lambda + 2 + 4\lambda - 2 + \lambda - 3 = 0 \implies 6\lambda = 3 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
$M$ ના યામ $(\frac{1}{2} + 2, 2(\frac{1}{2}) - 1, -\frac{1}{2} + 3) = (\frac{5}{2}, 0, \frac{5}{2})$ મળે.
ધારો કે $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $P$ નું પ્રતિબિંબ છે. $M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{\alpha + 2}{2} = \frac{5}{2}$,$\frac{\beta - 1}{2} = 0$,અને $\frac{\gamma + 3}{2} = \frac{5}{2}$ થાય.
આ ઉકેલતા,$\alpha = 3, \beta = 1, \gamma = 2$ મળે. તેથી,$Q = (3, 1, 2)$.
બિંદુ $Q(3, 1, 2)$ થી સમતલ $3x + 2y + z + 29 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|3(3) + 2(1) + 1(2) + 29|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2}}$ દ્વારા મળે.
$d = \frac{|9 + 2 + 2 + 29|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{42}{\sqrt{14}} = 3 \sqrt{14}$.

(A) સમતલ $P_1: 2x + 3y - z - 2 = 0$ અને $P_2: x + 2y + 3z - 6 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલ $P$ નું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x + 3y - z - 2) + \lambda(x + 2y + 3z - 6) = 0$
$(2 + \lambda)x + (3 + 2\lambda)y + (3\lambda - 1)z - (2 + 6\lambda) = 0$.
સમતલ $P$ એ સમતલ $2x + y - z + 1 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2 + \lambda) + 1(3 + 2\lambda) - 1(3\lambda - 1) = 0$
$4 + 2\lambda + 3 + 2\lambda - 3\lambda + 1 = 0$
$\lambda + 8 = 0 \implies \lambda = -8$.
$\lambda = -8$ ને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 - 8)x + (3 - 16)y + (-24 - 1)z - (2 - 48) = 0$
$-6x - 13y - 25z + 46 = 0 \implies 6x + 13y + 25z - 46 = 0$.
બિંદુ $(-7, 1, 1)$ થી સમતલ $6x + 13y + 25z - 46 = 0$ નું અંતર $d$:
$d = \frac{|6(-7) + 13(1) + 25(1) - 46|}{\sqrt{6^2 + 13^2 + 25^2}} = \frac{|-42 + 13 + 25 - 46|}{\sqrt{36 + 169 + 625}} = \frac{|-50|}{\sqrt{830}} = \frac{50}{\sqrt{830}}$.
તેથી,$d^2 = \frac{50^2}{830} = \frac{2500}{830} = \frac{250}{83}$.

(B) બિંદુઓ $A(-3,-6,1)$ અને $B(2,4,-3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો દિક સદિશ $\vec{v} = (2 - (-3), 4 - (-6), -3 - 1) = (5, 10, -4)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{5} = \frac{y-4}{10} = \frac{z+3}{-4} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(5\lambda+2, 10\lambda+4, -4\lambda-3)$ છે.
$C$ એ સમતલ $8x+y+2z=0$ પર હોવાથી,$8(5\lambda+2) + (10\lambda+4) + 2(-4\lambda-3) = 0$.
$40\lambda + 16 + 10\lambda + 4 - 8\lambda - 6 = 0 \implies 42\lambda + 14 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ મૂકતા,$C = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{5}{3})$ મળે.
રેખા $L$ એ $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+4}{2} = \frac{z+2}{3} = \mu$ છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D(-\mu+1, 2\mu-4, 3\mu-2)$ છે.
સદિશ $\vec{CD} = (-\mu+\frac{2}{3}, 2\mu-\frac{14}{3}, 3\mu-\frac{1}{3})$ છે.
$CD \perp L$ હોવાથી,$\vec{CD}$ અને $L$ ના દિક સદિશ $(-1, 2, 3)$ નો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય.
$-1(-\mu+\frac{2}{3}) + 2(2\mu-\frac{14}{3}) + 3(3\mu-\frac{1}{3}) = 0$.
$\mu - \frac{2}{3} + 4\mu - \frac{28}{3} + 9\mu - 1 = 0 \implies 14\mu = 11 \implies \mu = \frac{11}{14}$.
$\mu = \frac{11}{14}$ મૂકતા,$\vec{CD} = (-\frac{5}{42}, -\frac{70}{42}, \frac{85}{42})$ મળે.
દિકગુણોત્તર $(1, 14, -17)$ મળે છે. $|a+b+c| = |1 + 14 - 17| = 2$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $10$ છે.

(A) સમતલો $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ અને $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y + 5z + 9) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે: $x(2 + 4\lambda) + y(-1 - 3\lambda) + z(1 + 5\lambda) + (-3 + 9\lambda) = 0$.
આ સમતલ રેખા $(-2, 4, 5)$ ને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ રેખાને લંબ હોવો જોઈએ. તેથી,અભિલંબ સદિશ $(2 + 4\lambda, -1 - 3\lambda, 1 + 5\lambda)$ અને દિશા સદિશ $(-2, 4, 5)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$-2(2 + 4\lambda) + 4(-1 - 3\lambda) + 5(1 + 5\lambda) = 0$.
$-4 - 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.
$5\lambda - 3 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{5}$.
$\lambda = \frac{3}{5}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2x - y + z - 3) + \frac{3}{5}(4x - 3y + 5z + 9) = 0$.
$5(2x - y + z - 3) + 3(4x - 3y + 5z + 9) = 0$.
$10x - 5y + 5z - 15 + 12x - 9y + 15z + 27 = 0$.
$22x - 14y + 20z + 12 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $11x - 7y + 10z + 6 = 0$.
$ax + by + cz + 6 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 11, b = -7, c = 10$ મળે.
તેથી,$a + b + c = 11 - 7 + 10 = 14$.

(D) ધારો કે $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ એ સમતલ $2x - y + z = 9$ ની સાપેક્ષે $P(1, 2, 3)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં પ્રતિબિંબ શોધવાના સૂત્ર મુજબ:
$\frac{\alpha - 1}{2} = \frac{\beta - 2}{-1} = \frac{\gamma - 3}{1} = -2 \frac{2(1) - 1(2) + 1(3) - 9}{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = -2 \frac{2 - 2 + 3 - 9}{4 + 1 + 1} = -2 \frac{-6}{6} = 2$.
આમ,$\alpha - 1 = 4 \Rightarrow \alpha = 5$,$\beta - 2 = -2 \Rightarrow \beta = 0$,અને $\gamma - 3 = 2 \Rightarrow \gamma = 5$.
તેથી,$Q = (5, 0, 5)$.
હવે,સદિશ $\vec{PQ}$ અને $\vec{PR}$ શોધીએ:
$\vec{PQ} = (5-1, 0-2, 5-3) = (4, -2, 2)$.
$\vec{PR} = (6-1, 10-2, 7-3) = (5, 8, 4)$.
ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ છે.
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -2 & 2 \\ 5 & 8 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 - 16) - \hat{j}(16 - 10) + \hat{k}(32 + 10) = -24\hat{i} - 6\hat{j} + 42\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-24)^2 + (-6)^2 + (42)^2} = \sqrt{576 + 36 + 1764} = \sqrt{2376}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{2376} = \sqrt{\frac{2376}{4}} = \sqrt{594}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $594$ છે.

(D) ધારો કે રેખા $L$ બિંદુ $A(0,1,2)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ ને બિંદુ $B(1+2\lambda, 2+3\lambda, 3+4\lambda)$ પર છેદે છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{AB} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ એ સમતલ $2x+y-3z=4$ ને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ એ $\vec{v}$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2(1+2\lambda) + 1(1+3\lambda) - 3(1+4\lambda) = 0$.
$2 + 4\lambda + 1 + 3\lambda - 3 - 12\lambda = 0 \Rightarrow -5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
આમ,બિંદુ $B$ એ $(1, 2, 3)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $P(1,-9,2)$ નો રેખા $L$ પરનો પ્રક્ષેપ છે. $Q = (t, 1+t, 2+t)$.
$\vec{PQ} = (t-1)\hat{i} + (10+t)\hat{j} + t\hat{k}$.
$\vec{PQ} \perp \vec{v}$ હોવાથી,$\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow (t-1) + (10+t) + t = 0 \Rightarrow 3t = -9 \Rightarrow t = -3$.
$Q = (-3, -2, -1)$.
અંતર $PQ = \sqrt{(-3-1)^2 + (-2 - (-9))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74}$.

(B) બે આપેલા સમતલોના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(x+y+z-6) + \lambda(2x+3y+4z+5) = 0$ છે.
સમતલ $P$ બિંદુ $(0, 2, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(0+2-2-6) + \lambda(2(0)+3(2)+4(-2)+5) = 0$
$-6 + \lambda(6-8+5) = 0$
$-6 + 3\lambda = 0 \implies \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને સમૂહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+y+z-6) + 2(2x+3y+4z+5) = 0$
$x+y+z-6 + 4x+6y+8z+10 = 0$
$5x+7y+9z+4 = 0$.
બિંદુ $(12, 12, 18)$ નું સમતલ $5x+7y+9z+4 = 0$ થી અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|5(12) + 7(12) + 9(18) + 4|}{\sqrt{5^2 + 7^2 + 9^2}}$
$d = \frac{|60 + 84 + 162 + 4|}{\sqrt{25 + 49 + 81}}$
$d = \frac{310}{\sqrt{155}}$.
અંતરનો વર્ગ $d^2 = \frac{310^2}{155} = \frac{96100}{155} = 620$ થાય.

(C) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{\alpha}$ અને $\frac{x-4}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{\beta}$ છે.
પ્રથમ રેખા પરનું બિંદુ $P_1(1, 2, 3)$ છે અને બીજી રેખા પરનું બિંદુ $P_2(4, 1, 0)$ છે.
આ બિંદુઓને જોડતો સદિશ $\vec{P_1P_2} = (4-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (0-3)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \alpha\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \beta\hat{k}$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,સદિશો $\vec{P_1P_2}$,$\vec{v_1}$,અને $\vec{v_2}$ સમતલીય હોવા જોઈએ,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 3 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & \alpha \\ 5 & 2 & \beta \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(3\beta - 2\alpha) + 1(2\beta - 5\alpha) - 3(4 - 15) = 0$
$9\beta - 6\alpha + 2\beta - 5\alpha + 33 = 0$
$-11\alpha + 11\beta + 33 = 0$
$\alpha - \beta = 3 \Rightarrow \alpha = \beta + 3$.
આપણે $8\alpha\beta = 8(\beta + 3)\beta = 8(\beta^2 + 3\beta)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવાની છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $8(\beta^2 + 3\beta + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) = 8(\beta + \frac{3}{2})^2 - 18$.
ન્યૂનતમ કિંમત $-18$ છે. ન્યૂનતમ કિંમતનું માન $|-18| = 18$ છે.

(C) રેખા બે સમતલો $P_1: x+2y+3z-4=0$ અને $P_2: 2x+y-z+5=0$ ના છેદથી બને છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ છે,જ્યાં $\vec{n}_1 = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -5\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$.
બીજું સમતલ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{u} + \mu\vec{w}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\vec{u} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{w} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$. આ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}_3 = \vec{u} \times \vec{w} = 5\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$.
માગેલ સમતલ રેખાને સમાવે છે અને બીજા સમતલને લંબ છે,તેથી તેનો અભિલંબ $\vec{N} = \vec{v} \times \vec{n}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 7 & -3 \\ 5 & -2 & -3 \end{vmatrix} = -27\hat{i}-30\hat{j}-25\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $27x+30y+25z=4$ મળે છે. તેથી $a=27, b=30, c=25$. આમ,$a-b+c = 27-30+25 = 22$.

(B) બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $\left(\frac{5}{2}, 1, \lambda\right)$ અને સમતલ $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ માટે:
$d_1 = \frac{|2(\frac{5}{2}) + 3(1) - 6(\lambda) + 7|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2}} = \frac{|5 + 3 - 6\lambda + 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{|15 - 6\lambda|}{7}$.
બિંદુ $(-2, 0, 1)$ અને સમતલ $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ માટે:
$d_2 = \frac{|2(-2) + 3(0) - 6(1) + 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{|-4 - 6 + 7|}{7} = \frac{|-3|}{7} = \frac{3}{7}$.
$d_1 = d_2$ હોવાથી,$\frac{|15 - 6\lambda|}{7} = \frac{3}{7}$,એટલે કે $|15 - 6\lambda| = 3$.
આના બે કિસ્સા મળે:
$15 - 6\lambda = 3 \Rightarrow 6\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 2$.
$15 - 6\lambda = -3 \Rightarrow 6\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda_1 > \lambda_2$ હોવાથી,$\lambda_1 = 3$ અને $\lambda_2 = 2$.
બિંદુ $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_2, \lambda_1) = (3 - 2, 2, 3) = (1, 2, 3)$ થાય.
બિંદુ $P(1, 2, 3)$ નું રેખા $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 7}{2}$ થી અંતર $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ છે,જ્યાં $A(5, 1, -7)$ રેખા પરનું બિંદુ છે અને $\vec{v} = (1, 2, 2)$ દિશા સદિશ છે.
$\vec{AP} = (1 - 5, 2 - 1, 3 - (-7)) = (-4, 1, 10)$.
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -18\hat{i} + 18\hat{j} - 9\hat{k}$.
$|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-18)^2 + 18^2 + (-9)^2} = 27$.
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$.
$d = \frac{27}{3} = 9$.

(D) રેખા બિંદુ $A(1, 2, -5)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{v} = \langle 1, -3, 7 \rangle$ છે. સમતલ બિંદુ $B(2, 4, -3)$ માંથી પણ પસાર થાય છે.
સદિશ $\vec{AB} = \langle 2-1, 4-2, -3-(-5) \rangle = \langle 1, 2, 2 \rangle$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -20\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 4, -1, -1 \rangle$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $4(x-1) - 1(y-2) - 1(z+5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x - y - z = 7$ થાય છે.
ધારો કે બિંદુ $Q(-1, 3, 4)$ છે. પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માટે,$\frac{\alpha+1}{4} = \frac{\beta-3}{-1} = \frac{\gamma-4}{-1} = -2 \frac{4(-1)-3-4-7}{16+1+1} = -2 \frac{-18}{18} = 2$.
તેથી,$\alpha+1 = 8 \implies \alpha = 7$,$\beta-3 = -2 \implies \beta = 1$,$\gamma-4 = -2 \implies \gamma = 2$.
$\alpha+\beta+\gamma = 7+1+2 = 10$.

(D) સમતલ $P: ax + y - z - b = 0$ છે. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
રેખા $l$ ની દિશા $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ થાય.
$\cos \theta = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ થાય.
$\frac{|a - 2|}{\sqrt{3} \sqrt{a^2 + 2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ નું સાદું રૂપ આપતા $5a^2 + 12a + 4 = 0$ મળે,તેથી $a = -2$ ($a \in \mathbb{Z}$ હોવાથી).
બિંદુ $(6, -6, 4)$ થી સમતલનું અંતર $3\sqrt{6}$ છે,તેથી $\frac{|-22 - b|}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6}$ મળે.
$|-22 - b| = 18$ પરથી $b = -4$ અથવા $b = -40$ મળે.
$|a - b| \leq 10$ શરત મુજબ $b = -4$ યોગ્ય છે.
તેથી $a^4 + b^2 = (-2)^4 + (-4)^2 = 16 + 16 = 32$.

(A) બિંદુઓ $(2, -1, 0)$,$(2, 0, -1)$,અને $(5, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $P_2$ નું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-1 \\ -3 & -1 & -2 \\ -3 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 0 \implies x-y-z = 3$.
સમતલ $P_1: 3x - y - 7z = 11$ અને $P_2: x - y - z = 3$ ની છેદરેખાના દિશા-ગુણોત્તર તેમના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -7 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$,જે $(3, 2, 1)$ તરીકે લઈ શકાય.
રેખા પરનું બિંદુ $(4, 1, 0)$ છે. તેથી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-4}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1} = r$ છે.
રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ $(3r+4, 2r+1, r)$ છે.
બિંદુ $(7, 4, -1)$ થી આ બિંદુ સુધીનો સદિશ $(3r-3, 2r-3, r+1)$ છે.
આ સદિશ રેખાની દિશા $(3, 2, 1)$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3r-3) + 2(2r-3) + 1(r+1) = 0 \implies 14r - 14 = 0 \implies r=1$.
લંબપાદ $(7, 3, 1)$ મળે છે.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = 7+3+1 = 11$.

(A) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+3}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{-2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(3\lambda - 3, \lambda - 2, 1 - 2\lambda)$ સ્વરૂપમાં છે.
બિંદુ $P$ એ સમતલ $x + y + z = 2$ પર હોવાથી,યામો મૂકતા:
$(3\lambda - 3) + (\lambda - 2) + (1 - 2\lambda) = 2$.
$2\lambda - 4 = 2 \Rightarrow 2\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 3$.
આમ,$P$ ના યામ $(6, 1, -5)$ મળે છે.
બિંદુ $P(6, 1, -5)$ નું સમતલ $3x - 4y + 12z - 32 = 0$ થી અંતર $q$ નીચે મુજબ છે:
$q = \left| \frac{3(6) - 4(1) + 12(-5) - 32}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} \right| = \left| \frac{18 - 4 - 60 - 32}{\sqrt{9 + 16 + 144}} \right| = \left| \frac{-78}{13} \right| = 6$.
તેથી,$q = 6$ અને $2q = 12$.
$6$ અને $12$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - 6)(x - 12) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 18x + 72 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2,4,6)$,$B(0,-2,-5)$ અને $C(x,y,z)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G(2,1,-1)$ આપેલ છે,તેથી મધ્યકેન્દ્રના સૂત્ર મુજબ: $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$.
$\frac{2+0+x}{3} = 2 \Rightarrow 2+x = 6 \Rightarrow x = 4$.
$\frac{4-2+y}{3} = 1 \Rightarrow 2+y = 3 \Rightarrow y = 1$.
$\frac{6-5+z}{3} = -1 \Rightarrow 1+z = -3 \Rightarrow z = -4$.
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(4,1,-4)$ છે.
હવે,સમતલ $x+2y+4z-11=0$ માં બિંદુ $C(4,1,-4)$ નું પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ શોધો.
સમતલ $ax+by+cz+d=0$ માં બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ ના પ્રતિબિંબનું સૂત્ર $\frac{\alpha-x_0}{a} = \frac{\beta-y_0}{b} = \frac{\gamma-z_0}{c} = -2 \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\alpha-4}{1} = \frac{\beta-1}{2} = \frac{\gamma+4}{4} = -2 \frac{4+2(1)+4(-4)-11}{1^2+2^2+4^2} = -2 \frac{4+2-16-11}{1+4+16} = -2 \frac{-21}{21} = 2$.
આમ,$\alpha-4 = 2 \Rightarrow \alpha = 6$; $\beta-1 = 4 \Rightarrow \beta = 5$; $\gamma+4 = 8 \Rightarrow \gamma = 4$.
પ્રતિબિંબ $(6,5,4)$ છે.
અંતે,$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = (6)(5) + (5)(4) + (4)(6) = 30 + 20 + 24 = 74$.

(A) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: \frac{x}{1} = \frac{y-6}{-2} = \frac{z+8}{5} = \lambda$
$L_2: \frac{x-5}{4} = \frac{y-7}{3} = \frac{z+2}{1} = \mu$
$L_3: \frac{x+3}{6} = \frac{y-3}{-3} = \frac{z-6}{1} = \gamma$
$L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુ $A$ માટે:
$(\lambda, -2\lambda+6, 5\lambda-8) = (4\mu+5, 3\mu+7, \mu-2)$
આને ઉકેલતા,આપણને $\lambda=1$ અને $\mu=-1$ મળે છે. તેથી,$A = (1, 4, -3)$.
$L_1$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુ $B$ માટે:
$(\lambda, -2\lambda+6, 5\lambda-8) = (6\gamma-3, -3\gamma+3, \gamma+6)$
આને ઉકેલતા,આપણને $\lambda=3$ અને $\gamma=1$ મળે છે. તેથી,$B = (3, 0, 7)$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $(\frac{1+3}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{-3+7}{2}) = (2, 2, 2)$ છે.
$M(2, 2, 2)$ નું સમતલ $2x-2y+z-14=0$ થી અંતર:
$d = \frac{|2(2) - 2(2) + 1(2) - 14|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 4 + 2 - 14|}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{|-12|}{3} = 4$.

(C) બિંદુ $A(4, 3, 1)$ થી સમતલ $x - y + 2z + 3 = 0$ પરના લંબ $AN$ ની લંબાઈ $AN = \frac{|4 - 3 + 2(1) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ છે.
$N$ ના યામ $\frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-1}{2} = -\frac{4-3+2+3}{6} = -1$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$x=3, y=4, z=-1$,એટલે કે $N(3, 4, -1)$.
બિંદુ $B(5, \alpha, \beta)$ સમતલ $x - y + 2z + 3 = 0$ પર હોવાથી,$5 - \alpha + 2\beta + 3 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2\beta + 8$.
$\Delta ABN$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AN \times BN = 3\sqrt{2}$. $AN = \sqrt{6}$ મૂકતા,$\frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times BN = 3\sqrt{2}$,તેથી $BN = 2\sqrt{3}$.
$BN^2 = (5-3)^2 + (\alpha-4)^2 + (\beta+1)^2 = 4 + (2\beta+4)^2 + (\beta+1)^2 = 12$.
$4 + 4\beta^2 + 16\beta + 16 + \beta^2 + 2\beta + 1 = 12 \implies 5\beta^2 + 18\beta + 9 = 0$.
અવયવ પાડતા $(5\beta + 3)(\beta + 3) = 0$ મળે. $\beta \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$\beta = -3$. તેથી $\alpha = 2(-3) + 8 = 2$.
અંતે,$\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta = (2)^2 + (-3)^2 + (2)(-3) = 4 + 9 - 6 = 7$.

(B) રેખા $l$ નો દિશા સદિશ $l_1$ અને $l_2$ ના દિશા સદિશોને લંબ છે. ધારો કે $\vec{v}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$. $l$ ની દિશા $\vec{v} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$ છે. રેખા $l$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $\vec{r} = \gamma(-4\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k})$ છે.
બિંદુ $P$ ($l$ અને $l_1$ નું છેદબિંદુ) માટે: $-4\gamma = 1 + \lambda$,$5\gamma = -11 + 2\lambda$,$-2\gamma = -7 + 3\lambda$. આ સમીકરણો ઉકેલતા $\gamma = -1$ મળે,તેથી $P = (4, -5, 2)$.
રેખા $l_2$ પરના બિંદુ $Q$ માટે,$Q = (-1 + 2\mu, 2\mu, 1 + \mu)$. સદિશ $\vec{PQ} = (-5 + 2\mu, 5 + 2\mu, -1 + \mu)$. $\vec{PQ} \perp \vec{v}_2$ હોવાથી,$\vec{PQ} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 0$,જે આપણને $2(-5 + 2\mu) + 2(5 + 2\mu) + 1(-1 + \mu) = 0 \implies 9\mu = 1 \implies \mu = 1/9$ આપે છે.
આમ,$Q = (-7/9, 2/9, 10/9)$.
તેથી $9(\alpha + \beta + \gamma) = 9(-7/9 + 2/9 + 10/9) = 9(5/9) = 5$.

(D) બિંદુઓ $P(2, -1, 2)$ અને $Q(5, 3, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{2} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 2\lambda + 2)$ છે.
$R$ એ સમતલ $x - y + z = 4$ પર હોવાથી,$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (2\lambda + 2) = 4$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda + 5 = 4 \implies \lambda = -1$.
તેથી,$R = (-1, -5, 0)$.
આપણે બિંદુ $R(-1, -5, 0)$ નું સમતલ $x + 2y + 3z + 2 = 0$ થી રેખા $\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{1}$ ને સમાંતર અંતર શોધવાનું છે.
$R$ માંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને સમાંતર રેખા $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 0}{1} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $T(2k - 1, 2k - 5, k)$ છે.
$T$ એ સમતલ $x + 2y + 3z + 2 = 0$ પર હોવાથી,$(2k - 1) + 2(2k - 5) + 3(k) + 2 = 0$.
$2k - 1 + 4k - 10 + 3k + 2 = 0 \implies 9k - 9 = 0 \implies k = 1$.
તેથી,$T = (1, -3, 1)$.
અંતર $RT = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-3 - (-5))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

(A) રેખા $\ell$ ને $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $\ell$ ના દિકગુણોત્તર $(1, 2, \lambda)$ છે.
સમતલ $P: x + 2y + 3z = 4$ ના અભિલંબ સદિશના દિકગુણોત્તર $(1, 2, 3)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{v} = (1, 2, \lambda)$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{5}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|1(1) + 2(2) + 3(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \Rightarrow |5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2) \Rightarrow 25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2 \Rightarrow 30\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(t, 2t + 1, \frac{2}{3}t + 3)$ છે. તે સમતલ $x + 2y + 3z = 4$ પર હોવાથી:
$t + 2(2t + 1) + 3(\frac{2}{3}t + 3) = 4 \Rightarrow t + 4t + 2 + 2t + 9 = 4 \Rightarrow 7t = -7 \Rightarrow t = -1$.
બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma) = (-1, -1, \frac{7}{3})$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + 2\beta + 6\gamma = -1 + 2(-1) + 6(\frac{7}{3}) = -1 - 2 + 14 = 11$.

(C) રેખા $l_2$ એ બે સમતલોના છેદથી બને છે: $3x+2y+z-2=0$ અને $x-3y+2z-13=0$. $l_2$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 7\hat{i} - 5\hat{j} - 11\hat{k}$ છે.
રેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ સમતલીય હોવાથી,તેમના પરના બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય. $\alpha$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\alpha = 7$ મળે છે.
હવે,$l_1$ એ $\frac{x+5}{3}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-7}{-2} = \lambda$ છે. તેથી,$l_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3\lambda-5, \lambda-4, -2\lambda+7)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3\lambda-5 - (-4), \lambda-4 - (-3), -2\lambda+7 - 2) = (3\lambda-1, \lambda-1, -2\lambda+5)$ છે.
$PQ \perp l_1$ હોવાથી,$\vec{PQ}$ અને $l_1$ ના દિશા સદિશ $(3, 1, -2)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda-1) + 1(\lambda-1) - 2(-2\lambda+5) = 0 \Rightarrow 9\lambda - 3 + \lambda - 1 + 4\lambda - 10 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda=1$ મૂકતા,આપણને $P(-2, -3, 5)$ મળે છે.
તેથી,$|a|+|b|+|c| = |-2| + |-3| + |5| = 2+3+5 = 10$.

(D) સમતલ $P_1: 4x - y + z - 10 = 0$ અને $P_2: x + y - z - 4 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(4x - y + z - 10) + \lambda(x + y - z - 4) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(4 + \lambda)x + (-1 + \lambda)y + (1 - \lambda)z - (10 + 4\lambda) = 0$ થાય છે.
મૂળ સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = (4, -1, 1)$ છે અને નવા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = (4 + \lambda, -1 + \lambda, 1 - \lambda)$ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
$4(4 + \lambda) - 1(-1 + \lambda) + 1(1 - \lambda) = 0 \Rightarrow 16 + 4\lambda + 1 - \lambda + 1 - \lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda + 18 = 0 \Rightarrow \lambda = -9$.
$\lambda = -9$ ને સમૂહના સમીકરણમાં મૂકતા: $(4 - 9)x + (-1 - 9)y + (1 - (-9))z - (10 + 4(-9)) = 0 \Rightarrow -5x - 10y + 10z + 26 = 0$,અથવા $5x + 10y - 10z - 26 = 0$.
બિંદુ $(2, 3, -4)$ નું આ સમતલથી અંતર $\alpha = \frac{|5(2) + 10(3) - 10(-4) - 26|}{\sqrt{5^2 + 10^2 + (-10)^2}} = \frac{|10 + 30 + 40 - 26|}{\sqrt{25 + 100 + 100}} = \frac{54}{\sqrt{225}} = \frac{54}{15} = \frac{18}{5}$ છે.
આમ,$35\alpha = 35 \times \frac{18}{5} = 7 \times 18 = 126$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{k})$ અને $L_2: \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ છે.
લઘુત્તમ અંતરની રેખાની દિશાનો સદિશ $L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશોના ક્રોસ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = (2\hat{i} + \hat{k}) \times (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
બિંદુ $P(-1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{n}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{-2} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(r-1, 2-r, 3-2r)$ છે.
સમતલ $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 10$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(r-1) - 2(2-r) + 3(3-2r) = 10$
$r - 1 - 4 + 2r + 9 - 6r = 10$
$-3r + 4 = 10 \Rightarrow -3r = 6 \Rightarrow r = -2$.
છેદબિંદુ $Q$ એ $(-3, 4, 7)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(C) સમતલ $x+2y+az-2=0$ અને $x-y+z-3=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(x+2y+az-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $(1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (a+\lambda)z - (2+3\lambda) = 0$ મળે છે.
આપેલ સમતલ $5x-11y+bz = 6a-1$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{1+\lambda}{5} = \frac{2-\lambda}{-11} = \frac{a+\lambda}{b} = \frac{2+3\lambda}{6a-1}$.
$\frac{1+\lambda}{5} = \frac{2-\lambda}{-11}$ પરથી,$-11-11\lambda = 10-5\lambda$,તેથી $-6\lambda = 21$,એટલે કે $\lambda = -\frac{7}{2}$.
$\lambda = -\frac{7}{2}$ મૂકતા:
$\frac{1-3.5}{5} = -0.5$,તેથી $\frac{2+3(-3.5)}{6a-1} = -0.5 \implies \frac{2-10.5}{6a-1} = -0.5 \implies \frac{-8.5}{6a-1} = -0.5 \implies 6a-1 = 17 \implies 6a = 18 \implies a = 3$.
હવે,$\frac{a+\lambda}{b} = -0.5 \implies \frac{3-3.5}{b} = -0.5 \implies \frac{-0.5}{b} = -0.5 \implies b = 1$.
સમતલ $5x-11y+z = 17$ છે.
બિંદુ $(a, -c, c) = (3, -c, c)$ થી $5x-11y+z-17=0$ નું અંતર $\frac{|5(3)-11(-c)+c-17|}{\sqrt{5^2+(-11)^2+1^2}} = \frac{|12c-2|}{\sqrt{147}}$ છે.
આપેલ અંતર $\frac{2}{\sqrt{a}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{147}}$ છે.
તેથી,$|12c-2| = 14$. આથી $12c-2 = -14 \implies 12c = -12 \implies c = -1$.
આમ,$\frac{a+b}{c} = \frac{3+1}{-1} = -4$.

(C) ધારો કે બિંદુ $A = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right)$ છે અને સમતલ $x-2y+z-2=0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $ax+by+cz+d=0$ માં પ્રતિબિંબ $P(x, y, z)$ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x-\frac{5}{3}}{1} = \frac{y-\frac{5}{3}}{-2} = \frac{z-\frac{8}{3}}{1} = -2 \frac{\frac{5}{3} - 2(\frac{5}{3}) + \frac{8}{3} - 2}{1^2+(-2)^2+1^2}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{5}{3} - \frac{10}{3} + \frac{8}{3} - 2 = \frac{3}{3} - 2 = 1 - 2 = -1$.
તેથી,$\frac{x-\frac{5}{3}}{1} = \frac{y-\frac{5}{3}}{-2} = \frac{z-\frac{8}{3}}{1} = -2 \frac{-1}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,$x = \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 2$,$y = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1$,$z = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = 3$.
તેથી,$P = (2, 1, 3)$.
$P(2, 1, 3)$ અને $Q(6, -2, \alpha)$ વચ્ચેનું અંતર $13$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(6-2)^2 + (-2-1)^2 + (\alpha-3)^2} = 13$.
$4^2 + (-3)^2 + (\alpha-3)^2 = 169$.
$16 + 9 + (\alpha-3)^2 = 169$.
$25 + (\alpha-3)^2 = 169$.
$(\alpha-3)^2 = 144$.
$\alpha-3 = \pm 12$.
કારણ કે $\alpha > 0$,$\alpha-3 = 12 \Rightarrow \alpha = 15$ અથવા $\alpha-3 = -12 \Rightarrow \alpha = -9$ (અસ્વીકાર્ય).
તેથી,$\alpha = 15$.

(C) બિંદુઓ $(4, 5, 8)$ અને $(1, -7, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-4}{1-4} = \frac{y-5}{-7-5} = \frac{z-8}{5-8}$
$\frac{x-4}{-3} = \frac{y-5}{-12} = \frac{z-8}{-3}$
$-3$ વડે ભાગતા,દિશાના ગુણોત્તર $(1, 4, 1)$ મળે છે. તેથી,રેખા $\frac{x-4}{1} = \frac{y-5}{4} = \frac{z-8}{1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $N$ એ $(\lambda+4, 4\lambda+5, \lambda+8)$ છે.
સદિશ $\vec{PN} = (\lambda+4-1)\hat{i} + (4\lambda+5+2)\hat{j} + (\lambda+8-3)\hat{k} = (\lambda+3)\hat{i} + (4\lambda+7)\hat{j} + (\lambda+5)\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{PN}$ એ દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ વાળી રેખાને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\lambda+3)(1) + (4\lambda+7)(4) + (\lambda+5)(1) = 0$
$\lambda + 3 + 16\lambda + 28 + \lambda + 5 = 0$
$18\lambda + 36 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ ને $N$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $N = (-2+4, 4(-2)+5, -2+8) = (2, -3, 6)$ મળે છે.
સમતલ $2x - 2y + z + 5 = 0$ થી બિંદુ $N(2, -3, 6)$ નું અંતર:
$d = \frac{|2(2) - 2(-3) + 1(6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 6 + 6 + 5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{21}{3} = 7$.

(C) બિંદુઓ $A(-1, -2, -3)$,$B(9, 3, 4)$,અને $C(9, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x+1 & y+2 & z+3 \\ 10 & 5 & 7 \\ 10 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$10(7(y+2) - 5(z+3)) + 4(5(x+1) - 10(y+2)) = 0$
$10(7y - 5z - 1) + 4(5x - 10y - 15) = 0$
$20x + 30y - 50z - 70 = 0$
$10$ વડે ભાગતા,સમતલનું સમીકરણ: $2x + 3y - 5z - 7 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $P(3, -2, -9)$ માંથી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $Q(x, y, z)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ: $\frac{x-3}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z+9}{-5} = k$.
તેથી,$x = 2k+3, y = 3k-2, z = -5k-9$.
$Q$ સમતલ પર હોવાથી,$2(2k+3) + 3(3k-2) - 5(-5k-9) - 7 = 0$.
$38k + 38 = 0 \implies k = -1$.
$k = -1$ મૂકતા,$Q(1, -5, -4)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $Q(1, -5, -4)$ નું અંતર $\sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 25 + 16} = \sqrt{42}$ છે.

(A) રેખા $2x+y-z-3=0$ અને $5x-3y+4z+9=0$ માંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(2x+y-z-3) + \lambda(5x-3y+4z+9) = 0$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $(2+5\lambda)x + (1-3\lambda)y + (-1+4\lambda)z + (9\lambda-3) = 0$ મળે.
આ સમતલ દિશા સદિશ $\vec{b} = (2, 4, 5)$ વાળી રેખાને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2+5\lambda, 1-3\lambda, -1+4\lambda)$ એ $\vec{b}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{n} \cdot \vec{b} = 0 \implies 2(2+5\lambda) + 4(1-3\lambda) + 5(-1+4\lambda) = 0$.
$4 + 10\lambda + 4 - 12\lambda - 5 + 20\lambda = 0 \implies 18\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{6}$.
$\lambda = -\frac{1}{6}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(2 - \frac{5}{6})x + (1 + \frac{3}{6})y + (-1 - \frac{4}{6})z + (-\frac{9}{6} - 3) = 0$.
$6$ વડે ગુણતા: $(12-5)x + (6+3)y + (-6-4)z + (-9-18) = 0 \implies 7x + 9y - 10z - 27 = 0$.
બિંદુ $A(8, -1, -19)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{x}{-3} = \frac{y-5}{4} = \frac{z-2}{12}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-8}{-3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z+19}{12} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $B(8-3k, -1+4k, -19+12k)$ છે.
જો $B$ એ સમતલ $7x + 9y - 10z - 27 = 0$ પર હોય,તો $7(8-3k) + 9(-1+4k) - 10(-19+12k) - 27 = 0$.
$56 - 21k - 9 + 36k + 190 - 120k - 27 = 0 \implies -105k + 210 = 0 \implies k = 2$.
અંતર $AB$ એ સદિશ $\vec{AB} = (-3k, 4k, 12k)$ નું $k=2$ માટેનું માન છે,જે $\sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 24^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26$ છે.