Line and Plane Questions in Gujarati

(A) રેખા બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલો $x - y + 2z = 5$ તથા $3x + y + z = 6$ ને સમાંતર છે.
સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{v}$ એ અભિલંબ સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ને સમાંતર હોય: $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$ મળે છે.

(C) ધારો કે જરૂરી રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે. રેખા બંને સમતલોમાં હોવાથી,તે બંને સમતલોના અભિલંબને લંબ છે. તેથી,$3a + 2b + c = 0$ અને $a + b - 2c = 0$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{(2)(-2) - (1)(1)} = \frac{b}{(1)(1) - (3)(-2)} = \frac{c}{(3)(1) - (2)(1)}$
$\frac{a}{-5} = \frac{b}{7} = \frac{c}{1}$.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે આપેલા સમતલના સમીકરણોમાં $z = 0$ મૂકીએ:
$3x + 2y = 5$ અને $x + y = 3$.
આને ઉકેલતા,બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 2y = 6$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બાદ કરતા: $(3x - 2x) = 5 - 6 \Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ ને $x + y = 3$ માં મૂકતા,આપણને $-1 + y = 3 \Rightarrow y = 4$ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $(-1, 4, 0)$ છે.
સંમિત સમીકરણ $\frac{x - (-1)}{-5} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z - 0}{1}$ છે,એટલે કે $\frac{x+1}{-5} = \frac{y-4}{7} = \frac{z-0}{1}$.

(A) સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 3x+4y+5z-2=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(3x+4y+5z-2) = 0$
$(1+3\lambda)x + (1+4\lambda)y + (1+5\lambda)z - (1+2\lambda) = 0$.
આ સમતલ $XY$-સમતલને લંબ છે. $XY$-સમતલનું સમીકરણ $z=0$ છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$ છે.
આપણા જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (1+3\lambda, 1+4\lambda, 1+5\lambda)$ છે.
સમતલો લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \implies (0)(1+3\lambda) + (0)(1+4\lambda) + (1)(1+5\lambda) = 0$.
$1+5\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{5}$.
$\lambda = -\frac{1}{5}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{5}(3x+4y+5z-2) = 0$.
$5(x+y+z-1) - (3x+4y+5z-2) = 0$.
$5x+5y+5z-5 - 3x-4y-5z+2 = 0$.
$2x+y-3=0$.

(B) સમતલો $P_1: 2x-y+z-3=0$ અને $P_2: 4x-3y+5z+9=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x-y+z-3) + \lambda(4x-3y+5z+9) = 0$
$(2+4\lambda)x + (-1-3\lambda)y + (1+5\lambda)z + (-3+9\lambda) = 0$.
સમતલ એ $(2, 4, 5)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ રેખાના દિશા સદિશને લંબ છે.
તેથી,$2(2+4\lambda) + 4(-1-3\lambda) + 5(1+5\lambda) = 0$.
$4 + 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.
$21\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -\frac{5}{21}$.
$\lambda$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 - \frac{20}{21})x + (-1 + \frac{15}{21})y + (1 - \frac{25}{21})z + (-3 - \frac{45}{21}) = 0$.
$(\frac{42-20}{21})x + (\frac{-21+15}{21})y + (\frac{21-25}{21})z + (\frac{-63-45}{21}) = 0$.
$22x - 6y - 4z - 108 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $11x - 3y - 2z - 54 = 0$.
અહીં $\alpha=11, \beta=-3, \gamma=-2, d=-54$.
$\alpha+\beta+\gamma+d = 11 - 3 - 2 - 54 = -48$.

(D) બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1) = (1, -2, 1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz - D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમતલ $x + 2y - 2z - \alpha = 0$ માટે,$A=1, B=2, C=-2, D=\alpha$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{|1(1) + 2(-2) - 2(1) - \alpha|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 4 - 2 - \alpha|}{\sqrt{9}} = \frac{|-5 - \alpha|}{3}$.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$|-5 - \alpha| = 5 + \alpha$ થાય. તેથી,$5 = \frac{5 + \alpha}{3} \implies 15 = 5 + \alpha \implies \alpha = 10$.
સમતલનું સમીકરણ $x + 2y - 2z = 10$ છે.
$P(1, -2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 2, -2)$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-2} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+1, 2k-2, -2k+1)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ સમતલ પર હોવાથી: $(k+1) + 2(2k-2) - 2(-2k+1) = 10$.
$k + 1 + 4k - 4 + 4k - 2 = 10 \implies 9k - 5 = 10 \implies 9k = 15 \implies k = \frac{5}{3}$.
$k = \frac{5}{3}$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા: $x = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$,$y = 2(\frac{5}{3}) - 2 = \frac{4}{3}$,$z = -2(\frac{5}{3}) + 1 = -\frac{7}{3}$.
આમ,લંબપાદના યામ $\left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{7}{3}\right)$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-2}{3} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(2k+1, 4k+3, 3k+2)$ છે।
સદિશ $\vec{PQ} = (2k+1-3, 4k+3-8, 3k+2-2) = (2k-2, 4k-5, 3k)$.
રેખાખંડ $PQ$ એ સમતલ $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ ને સમાંતર છે, તેથી તે સમતલના અભિલંબ $\vec{n} = (3, 2, -2)$ ને લંબ હશે।
તેથી, $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(2k-2)(3) + (4k-5)(2) + (3k)(-2) = 0$.
$6k - 6 + 8k - 10 - 6k = 0$.
$8k - 16 = 0 \implies k = 2$.
$k=2$ મૂકતા, $\vec{PQ} = (2(2)-2, 4(2)-5, 3(2)) = (2, 3, 6)$.
અંતર એ $\vec{PQ}$ નું માન છે: $\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ એકમ}$.

(A) રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ છે,જ્યાં $\bar{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{b} = \hat{i} - 2\hat{j}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ છે,જ્યાં $\bar{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $d = 4$ છે.
સૌ પ્રથમ,$\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (-2)(1) + (0)(1) = 2 - 2 + 0 = 0$ ગણીને તપાસો કે રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં.
$\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું અંતર $D = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{n} - d|}{|\bar{n}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(1) = 6 - 2 + 1 = 5$ ગણો.
$|\bar{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ ગણો.
આમ,$D = \frac{|5 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ એકમ.

(C) બે સમતલો $P_1: x+2y-z+1=0$ અને $P_2: 3x-y-4z+3=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+2y-z+1) + \lambda(3x-y-4z+3) = 0$.
આ સમતલ બિંદુ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x=1, y=1, z=1$ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(1+2(1)-1+1) + \lambda(3(1)-1-4(1)+3) = 0$.
$(1+2-1+1) + \lambda(3-1-4+3) = 0$.
$3 + \lambda(1) = 0 \implies \lambda = -3$.
હવે $\lambda = -3$ ને મુખ્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+2y-z+1) - 3(3x-y-4z+3) = 0$.
$x+2y-z+1 - 9x+3y+12z-9 = 0$.
$-8x + 5y + 11z - 8 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $8x - 5y - 11z + 8 = 0$ મળે છે.

(C) બે સમતલો $P_1: \overline{r} \cdot \overline{n}_1 = d_1$ અને $P_2: \overline{r} \cdot \overline{n}_2 = d_2$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(\overline{r} \cdot \overline{n}_1 - d_1) + \lambda(\overline{r} \cdot \overline{n}_2 - d_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલો $P_1: \overline{r} \cdot(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) - 1 = 0$ અને $P_2: \overline{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}) + 4 = 0$ છે.
માગેલ સમતલનું સમીકરણ $\overline{r} \cdot((2+\lambda) \hat{i} + (-3-\lambda) \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 + 4\lambda = 0$ થશે.
આ સમતલ $\overline{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + 8 = 0$ ને લંબ છે.
તેથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(2+\lambda)(2) + (-3-\lambda)(-1) + (4)(1) = 0$.
$4 + 2\lambda + 3 + \lambda + 4 = 0 \implies 3\lambda + 11 = 0 \implies \lambda = -\frac{11}{3}$.
$\lambda$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $\overline{r} \cdot((2-\frac{11}{3}) \hat{i} + (-3+\frac{11}{3}) \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 + 4(-\frac{11}{3}) = 0$.
$\overline{r} \cdot(-\frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 - \frac{44}{3} = 0$.
$3$ વડે ગુણતા: $\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) - 3 - 44 = 0$.
$\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = 47$.
$\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = \mu$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\mu = 47$ મળે છે.

(C) સમતલ $x-y+z=3$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -1, 1)$ છે.
ધારો કે $Q = (3, 1, 7)$. $Q$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખા $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-7}{1} = \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda+3, -\lambda+1, \lambda+7)$ છે.
સમતલ સાથેના છેદબિંદુ $M$ માટે,$(\lambda+3) - (-\lambda+1) + (\lambda+7) = 3$,જેનું સાદુંરૂપ $3\lambda + 9 = 3$ થાય છે,તેથી $3\lambda = -6$,એટલે કે $\lambda = -2$.
આમ,$M = (-2+3, -(-2)+1, -2+7) = (1, 3, 5)$.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જો $P = (a, b, c)$ હોય,તો $\frac{3+a}{2} = 1, \frac{1+b}{2} = 3, \frac{7+c}{2} = 5$.
આનાથી $a = -1, b = 5, c = 3$ મળે છે,તેથી $P = (-1, 5, 3)$.
સમતલ $P(-1, 5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ ને સમાવે છે,જે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 2, 1)$ ધરાવે છે.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ $\vec{n'} = \vec{OP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(5-6) - \hat{j}(-1-3) + \hat{k}(-2-5) = -\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $-1(x-0) + 4(y-0) - 7(z-0) = 0$ છે,જે $-x + 4y - 7z = 0$ અથવા $x - 4y + 7z = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે જરૂરી સમતલ $P_1$ છે. તે રેખા $L_1: \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}$ ને સમાવે છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1$ એ $\vec{v}_1 = (3, 2, 4)$ ને લંબ છે.
ધારો કે $P_2$ એ રેખાઓ $L_2: \frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$ અને $L_3: \frac{x}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{z}{3}$ ને સમાવતું સમતલ છે.
$P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = \vec{v}_2 \times \vec{v}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{vmatrix} = 17\hat{i} - 8\hat{j} - 22\hat{k}$ છે.
કારણ કે $P_1 \perp P_2$,તેથી $\vec{n}_1$ એ $\vec{n}_2 = (17, -8, -22)$ ને લંબ છે.
આમ,$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 4 \\ 17 & -8 & -22 \end{vmatrix} = -12\hat{i} + 134\hat{j} - 58\hat{k}$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $(6, -67, 29)$ મળે છે.
તેથી સમતલનું સમીકરણ $6x - 67y + 29z = 0$ છે.

(C) ધારો કે માંગેલ સમતલ $P_1$ છે. તે રેખા $L_1: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ ને સમાવે છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1$ એ $\vec{v}_1 = (2, 3, 4)$ ને લંબ છે.
ધારો કે $P_2$ એ રેખાઓ $L_2: \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ અને $L_3: \frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ ને સમાવતું સમતલ છે.
$P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2$ એ $L_2$ અને $L_3$ ના દિશા સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n}_2 = (3, 4, 2) \times (4, 2, 3) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12-4) - \hat{j}(9-8) + \hat{k}(6-16) = (8, -1, -10)$.
આમ,સમતલ $P_2$ નું સમીકરણ $8x - y - 10z = 0$ છે.
$P_1$ એ $P_2$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\vec{n}_1$ એ $\vec{n}_2 = (8, -1, -10)$ ને લંબ છે.
વળી,$\vec{n}_1$ એ $\vec{v}_1 = (2, 3, 4)$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = \hat{i}(-30+4) - \hat{j}(-20-32) + \hat{k}(-2-24) = (-26, 52, -26)$.
$-26$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $(1, -2, 1)$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ એટલે કે $x - 2y + z = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ એ આ બંને સમતલોની છેદરેખા હોવાથી,તે બંને અભિલંબ સદિશોને લંબ છે.
તેથી,રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
રેખા ધન $X$-અક્ષ (જે એકમ સદિશ $\hat{i}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે) સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \hat{i}}{|\vec{u}| |\hat{i}|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{u} \cdot \hat{i} = (1)(1) + (-1)(0) + (1)(0) = 1$.
માનની ગણતરી: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
આમ,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને બે રેખાઓ જેના દિશા સદિશો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ છે તેને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ અથવા $\vec{r} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બિંદુ $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ છે અને રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ અને $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(6 - (-8)) + \hat{k}(-9 - 4) = -8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}$.
હવે,$\vec{a} \cdot \vec{n}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(-8) + (-1)(-14) + (-3)(-13) = -16 + 14 + 39 = 37$.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (-8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}) = 37$ છે,જેને $-8x - 14y - 13z = 37$ અથવા $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) બિંદુ $(1, -5, 9)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $x = y = z$ (દિશા ગુણોત્તર $1, 1, 1$) ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 5}{1} = \frac{z - 9}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda + 1, \lambda - 5, \lambda + 9)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(\lambda + 1) - (\lambda - 5) + (\lambda + 9) = 5$.
$\lambda + 1 - \lambda + 5 + \lambda + 9 = 5$.
$\lambda + 15 = 5$,જે આપણને $\lambda = -10$ આપે છે.
છેદબિંદુ $(-10 + 1, -10 - 5, -10 + 9) = (-9, -15, -1)$ છે.
જરૂરી અંતર એ $(1, -5, 9)$ અને $(-9, -15, -1)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$d = \sqrt{(-9 - 1)^2 + (-15 - (-5))^2 + (-1 - 9)^2}$.
$d = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100 + 100} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}$ એકમ.

(A) ધારો કે $A = (5, -1, 4)$ અને $B = (4, -1, 3)$.
સદિશ $\vec{AB} = (4-5)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (3-4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{k}$.
સદિશનું માન $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
સમતલ $x+y+z=7$ માટે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાખંડ $AB$ અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે. રેખાખંડ અને સમતલના અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ એ $\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AB}| |\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \phi = \frac{|(-1)(1) + (0)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
અભિલંબ સાથેનો ખૂણો $\phi$ હોવાથી,સમતલ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ - \phi$ થાય,તેથી $\sin \theta = \cos \phi = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
ત્યારબાદ $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$.
સમતલ પર રેખાખંડના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $|\vec{AB}| \cos \theta = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ એકમ થાય.

(D) આપેલ બે રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(15-16) - (y-2)(10-12) + (z-3)(8-9) = 0$
$-(x-1) + 2(y-2) - (z-3) = 0$
$-x + 1 + 2y - 4 - z + 3 = 0$
$-x + 2y - z = 0 \implies x - 2y + z = 0$ ... $(i)$
આપેલ સમતલનું સમીકરણ $Ax - 2y + z = d$ ... $(ii)$
સમતલો સમાંતર હોવાથી,$x, y, z$ ના સહગુણકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ. તેથી,$A = 1$.
બે સમાંતર સમતલો $ax + by + cz = d_1$ અને $ax + by + cz = d_2$ વચ્ચેનું અંતર $D = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
અહીં,$D = \sqrt{6}$,$a=1, b=-2, c=1$,$d_1 = 0$,અને $d_2 = d$.
$\sqrt{6} = \frac{|0 - d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|d|}{\sqrt{6}}$
$|d| = \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6$.

(B) આપેલ સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 2x+3y-z+4=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
સમતલ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ $Y$-અક્ષ (જેની દિશા $\vec{j} = (0, 1, 0)$ છે) ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$y$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$1+3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$
$\lambda = -\frac{1}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 - (-\frac{1}{3}))z + (4(-\frac{1}{3}) - 1) = 0$
$(1 - \frac{2}{3})x + 0y + (1 + \frac{1}{3})z + (-\frac{4}{3} - 1) = 0$
$\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}z - \frac{7}{3} = 0$
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $x+4z-7=0$ મળે છે.

(D) સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
અહીં $a = 1$ અને $b = 1$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણ $x + y + \frac{z}{c} = 1$ થાય.
સમતલ બિંદુ $(-1, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-1 + 1 + \frac{2}{c} = 1$ લેતા,$\frac{2}{c} = 1$ મળે,એટલે કે $c = 2$.
સમતલનું સમીકરણ $x + y + \frac{z}{2} = 1$ અથવા $2x + 2y + z - 2 = 0$ થાય.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
$X$-અક્ષની દિશાનો સદિશ $\vec{v} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| |\vec{v}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$\sin \theta = \frac{|(2)(1) + (2)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(C) આપેલ સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
આ સમતલ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$ એ $Y$-અક્ષના એકમ સદિશ $\hat{j} = (0, 1, 0)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$y$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$1+3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
સમીકરણમાં $\lambda = -\frac{1}{3}$ મૂકતા:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{3}(2x+3y-z+4) = 0$
$3(x+y+z-1) - (2x+3y-z+4) = 0$
$3x+3y+3z-3 - 2x-3y+z-4 = 0$
$x+4z-7 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(3, 2, 1)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $3 + 4(1) - 7 = 3+4-7 = 0$.

(C) પ્રથમ,$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ અને $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધો. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ એ દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (3, 4, 2)$ અને $\vec{v_2} = (4, 2, 3)$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$.
આ સમતલનું સમીકરણ $8x - y - 10z = 0$ છે.
ધારો કે જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = 0$ છે. તે રેખા $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ ને સમાવે છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (a, b, c)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v_3} = (2, 3, 4)$ ને લંબ હોવો જોઈએ. તેથી,$2a + 3b + 4c = 0$.
જરૂરી સમતલ એ $8x - y - 10z = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે: $(a, b, c) \cdot (8, -1, -10) = 0$,એટલે કે $8a - b - 10c = 0$.
આ બે સમીકરણો ઉકેલતા: $\vec{n_2} = (2, 3, 4) \times (8, -1, -10) = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$.
$-26$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $(1, -2, 1)$ મળે છે.
તેથી સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + z = 0$ છે.

(D) સમતલ $x - y + 2z - 2 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -1, 2)$ છે.
ધારો કે રેખા $PQ$ એ $P(2, 4, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલને લંબ છે. રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z + 1}{2} = \lambda$
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(\lambda + 2, 4 - \lambda, 2\lambda - 1)$ છે.
બિંદુ $M$ સમતલ પર હોવાથી,તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(\lambda + 2) - (4 - \lambda) + 2(2\lambda - 1) - 2 = 0$
$\lambda + 2 - 4 + \lambda + 4\lambda - 2 - 2 = 0$
$6\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ મૂકતા,આપણને $M$ ના યામ $(3, 3, 1)$ મળે છે.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી અને $Q = (a, b, c)$:
$\frac{2 + a}{2} = 3 \Rightarrow a = 4$
$\frac{4 + b}{2} = 3 \Rightarrow b = 2$
$\frac{-1 + c}{2} = 1 \Rightarrow c = 3$
આમ,$a + b + c = 4 + 2 + 3 = 9$.

(C) સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
સમતલ $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $X$-અક્ષ (દિશા સદિશ $\vec{i} = (1, 0, 0)$) ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
સમીકરણમાં $\lambda = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ વડે ગુણતા,આપણને $y-3z+6=0$ મળે છે.

(D) સમતલો $P_1: x+2y-3z+1=0$ અને $P_2: 3x-2y+4z+3=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+2y-3z+1) + \lambda(3x-2y+4z+3) = 0 \quad \dots(1)$
આ સમતલ બિંદુ $(2,2,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણ $(1)$ માં $x=2, y=2, z=1$ મૂકીએ:
$(2 + 2(2) - 3(1) + 1) + \lambda(3(2) - 2(2) + 4(1) + 3) = 0$
$(2 + 4 - 3 + 1) + \lambda(6 - 4 + 4 + 3) = 0$
$4 + 9\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{4}{9}$
હવે $\lambda = -\frac{4}{9}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(x+2y-3z+1) - \frac{4}{9}(3x-2y+4z+3) = 0$
$9(x+2y-3z+1) - 4(3x-2y+4z+3) = 0$
$9x + 18y - 27z + 9 - 12x + 8y - 16z - 12 = 0$
$-3x + 26y - 43z - 3 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $3x - 26y + 43z + 3 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે. રેખા સમતલો $x - y + 2z = 5$ અને $3x + y + z = 6$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો દિક સદિશ બંને સમતલોના અભિલંબને લંબ હશે.
અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ છે.
દિક સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 - (-3)) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $(-3, 5, 4)$ છે.
રેખા $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$ થાય.

(C) સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$.
સમતલ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$ એ $x$-અક્ષના દિશા સદિશ $\vec{i} = (1, 0, 0)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$.
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$.
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$.
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$.
$-2$ વડે ગુણતા,આપણને $y - 3z + 6 = 0$ મળે છે.

(B) આ રેખા $A(4, -1, 2)$ અને $B(-3, 2, 3)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. રેખા સમતલને લંબ હોવાથી,રેખાના દિકગુણોત્તર એ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર થશે.
રેખાના દિકગુણોત્તર $\langle 4 - (-3), -1 - 2, 2 - 3 \rangle = \langle 7, -3, -1 \rangle$ છે.
સમતલ $(-10, 5, 4)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $\langle a, b, c \rangle$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$7(x - (-10)) - 3(y - 5) - 1(z - 4) = 0$
$7(x + 10) - 3(y - 5) - 1(z - 4) = 0$
$7x + 70 - 3y + 15 - z + 4 = 0$
$7x - 3y - z + 89 = 0$.

(B) સમતલો $x+2y+3z-4=0$ અને $2x+y-z+5=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલના સમૂહનું સમીકરણ $(x+2y+3z-4) + \lambda(2x+y-z+5) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(1+2\lambda)x + (2+\lambda)y + (3-\lambda)z + (-4+5\lambda) = 0$ મળે છે ... $(1)$.
આ સમતલ,સમતલ $5x+3y-6z+8=0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
તેથી,$(1+2\lambda)(5) + (2+\lambda)(3) + (3-\lambda)(-6) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા,$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda - 18 + 6\lambda = 0$.
સાદુરૂપ આપતા,$19\lambda - 7 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{7}{19}$.
$\lambda = \frac{7}{19}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(1 + 2(\frac{7}{19}))x + (2 + \frac{7}{19})y + (3 - \frac{7}{19})z + (-4 + 5(\frac{7}{19})) = 0$.
$(\frac{19+14}{19})x + (\frac{38+7}{19})y + (\frac{57-7}{19})z + (\frac{-76+35}{19}) = 0$.
$\frac{33}{19}x + \frac{45}{19}y + \frac{50}{19}z - \frac{41}{19} = 0$.
$19$ વડે ગુણતા,આપણને $33x + 45y + 50z - 41 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે. સમતલ બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે (રેખાના સમીકરણ પરથી),તેથી $a(x+1) + b(y-3) + c(z+2) = 0$.
સમતલ બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $a(0+1) + b(7-3) + c(-7+2) = 0$,જે $a + 4b - 5c = 0$ આપે છે.
વળી,રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $(-3, 2, 1)$ ને લંબ છે. તેથી,$-3a + 2b + c = 0$.
સમીકરણો $a + 4b - 5c = 0$ અને $-3a + 2b + c = 0$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{a}{(4)(1) - (-5)(2)} = \frac{-b}{(1)(1) - (-5)(-3)} = \frac{c}{(1)(2) - (4)(-3)}$
$\frac{a}{14} = \frac{b}{14} = \frac{c}{14}$.
$a=1, b=1, c=1$ લેતા,સમીકરણ $1(x+1) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x+y+z=0$ થાય છે.

(C) આપેલ બે સમતલો $P_1: x+2y-3z+2=0$ અને $P_2: 6x+y+z+1=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x+2y-3z+2) + \lambda(6x+y+z+1) = 0$
$(1+6\lambda)x + (2+\lambda)y + (-3+\lambda)z + (2+\lambda) = 0$
આ સમતલ રેખા $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-7}{-1}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+6\lambda, 2+\lambda, -3+\lambda)$ છે અને રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 1, -1)$ છે.
સમતલ રેખાને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ દિશા સદિશને લંબ હોય,તેથી $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.
$(1+6\lambda)(1) + (2+\lambda)(1) + (-3+\lambda)(-1) = 0$
$1 + 6\lambda + 2 + \lambda + 3 - \lambda = 0$
$6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
સમીકરણમાં $\lambda = -1$ મૂકતા:
$(1-6)x + (2-1)y + (-3-1)z + (2-1) = 0$
$-5x + y - 4z + 1 = 0$
$5x - y + 4z = 1$.

(D) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલી બંને રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-6) - \hat{j}(-2-6) + \hat{k}(2-3) = -9\hat{i} + 8\hat{j} - \hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = 9\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
સમતલ બીજી રેખાના બિંદુ $(1, 3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})) \cdot (9\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$9(x-1) - 8(y-3) + 1(z-4) = 0$.
$9x - 9 - 8y + 24 + z - 4 = 0$.
$9x - 8y + z + 11 = 0$ એ સમતલનું સમીકરણ છે.

(B) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(1, 1, \lambda)$ અને $B(-3, 0, 1)$ સમતલ $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ થી સમાન અંતરે છે.
$A$ થી અંતર: $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$.
$B$ થી અંતર: $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.
$d_1 = d_2$ હોવાથી,$\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$,એટલે કે $|20 - 12\lambda| = 8$.
કિસ્સો $1$: $20 - 12\lambda = 8 \Rightarrow 12\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 1$.
કિસ્સો $2$: $20 - 12\lambda = -8 \Rightarrow 12\lambda = 28 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{3}$.
$\lambda$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\lambda = 1$ મળે છે.

(D) આપેલી રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $\vec{b_1} = (1, 4, 7)$ અને $\vec{b_2} = (3, 5, 7)$ છે.
સમતલ પ્રથમ રેખાને સમાવે છે અને બીજી રેખાને સમાંતર છે,તેથી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{b_1}$ અને $\vec{b_2}$ બંનેને લંબ હશે.
$\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 7 \\ 3 & 5 & 7 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(28-35) - \hat{j}(7-21) + \hat{k}(5-12) = -7\hat{i} + 14\hat{j} - 7\hat{k} = -7(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + z = d$ સ્વરૂપમાં છે.
સમતલ બિંદુ $(2, 4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણમાં બિંદુ મૂકતા: $2 - 2(4) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + z = 0$ છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}) = 13$ છે,જેને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં $3x + 2y + 6z - 13 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, \lambda)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ થી અંતર $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$5 = \left| \frac{3(2) + 2(3) + 6(\lambda) - 13}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6 + 6 + 6\lambda - 13}{\sqrt{9 + 4 + 36}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6\lambda - 1}{\sqrt{49}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6\lambda - 1}{7} \right|$.
$35 = |6\lambda - 1|$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $6\lambda - 1 = 35$ અથવા $6\lambda - 1 = -35$.
કિસ્સો $1$: $6\lambda = 36 \implies \lambda = 6$.
કિસ્સો $2$: $6\lambda = -34 \implies \lambda = -\frac{34}{6} = -\frac{17}{3}$.
આમ,$\lambda = 6, -\frac{17}{3}$.

(C) બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x+1) + b(y-3) + c(z+2) = 0$ છે.
સમતલ રેખાને સમાવે છે જેના દિકગુણોત્તર $(-3, 2, 1)$ છે,તેથી $-3a + 2b + c = 0$ મળે.
સમતલ બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી સમતલના સમીકરણમાં આ યામ મૂકતા $a(0+1) + b(7-3) + c(-7+2) = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a + 4b - 5c = 0$ થાય છે.
સમીકરણો $-3a + 2b + c = 0$ અને $a + 4b - 5c = 0$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{a}{2(-5) - 1(4)} = \frac{b}{1(1) - (-3)(-5)} = \frac{c}{-3(4) - 2(1)}$
$\frac{a}{-14} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{-14} \implies a=1, b=1, c=1$.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $1(x+1) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0 \implies x+y+z=0$.

(C) રેખા $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{2}$ છે,તેથી તેનો દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલ $2x - y + \sqrt{\lambda}z + 4 = 0$ છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \sqrt{\lambda}\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{1}{3} = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2}}$.
$\frac{1}{3} = \frac{|2 - 2 + 2\sqrt{\lambda}|}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda}} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} = \frac{4\lambda}{9(5 + \lambda)}$.
$5 + \lambda = 4\lambda$,જેનો અર્થ છે કે $3\lambda = 5$,તેથી $\lambda = \frac{5}{3}$.
આમ,$\lambda + 1 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$.

(D) બે સમતલોની છેદરેખા બંને સમતલોના અભિલંબ સદિશોને લંબ હોય છે. ધારો કે અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ અભિલંબ સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે: $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$.
$\vec{v} = \hat{i}((-1)(-2) - (1)(4)) - \hat{j}((3)(-2) - (1)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-1)(1))$.
$\vec{v} = \hat{i}(2 - 4) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(12 + 1)$.
$\vec{v} = -2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$.
આમ,રેખા $-2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$ સદિશને સમાંતર છે.

(B) રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{k}=\frac{z}{2}$ અને $L_2: \frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખાઓ સમતલીય હોવાથી,શરત $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 0)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-1, -1, 0)$.
તેથી,$\begin{vmatrix} -1-1 & -1-(-1) & 0-0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $-2(k^2 - 4) = 0 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $k=2$,તો રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ અને $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ છે. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ છે. સમતલનું સમીકરણ $0(x-1) + 6(y+1) - 6(z-0) = 0 \implies y - z + 1 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $k=-2$,તો રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{2}$ અને $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-2}$ છે. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$ છે. સમતલનું સમીકરણ $0(x-1) + 14(y+1) + 14(z-0) = 0 \implies y + z + 1 = 0$ છે.
બંનેને જોડતા,સમીકરણ $y \pm z + 1 = 0$ મળે છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
સમતલ $x + 2y + 3z = 4$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$.
આપેલ છે કે $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,એટલે કે $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\sin \theta$ માટેનું સૂત્ર $\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (\lambda)(3)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

(A) બિંદુઓ $Q(3,-4,-5)$ અને $R(2,-3,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{2-3} = \frac{y-(-4)}{-3-(-4)} = \frac{z-(-5)}{1-(-5)}$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = k$ મળે છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3-k, -4+k, -5+6k)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x+y+z=7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(3-k) + (-4+k) + (-5+6k) = 7$.
$6 - 2k - 4 + k - 5 + 6k = 7$.
$5k - 3 = 7 \implies 5k = 10 \implies k = 2$.
છેદબિંદુ $(3-2, -4+2, -5+12) = (1, -2, 7)$ છે.
$P(3,4,4)$ અને $(1,-2,7)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(3-1)^2 + (4-(-2))^2 + (4-7)^2}$ છે.
$= \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$ એકમ.

(A) રેખાઓ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+3}{\lambda}$ અને $L_2: \frac{x-2}{2} = \frac{y-6}{3} = \frac{z-3}{\lambda}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(0, 2, -3)$ અને $B(2, 6, 3)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{v_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = -\lambda\hat{i} + \lambda\hat{j} - \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $-\lambda x + \lambda y - 2\lambda - z - 3 = 0$ છે.
આને $-\lambda(x - y + 2) - (z + 3) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$\lambda$ ની તમામ કિંમતો માટે,$x - y + 2 = 0$ અને $z = -3$ હોવું જોઈએ.

(D) રેખા બિંદુ $P(3, -5, -2)$ માંથી પસાર થાય છે. કારણ કે રેખા સમતલ $\alpha x + 3y - z + \beta = 0$ માં આવેલી છે,તેથી બિંદુ $P$ એ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ:
$\alpha(3) + 3(-5) - (-2) + \beta = 0$
$3\alpha - 15 + 2 + \beta = 0$
$3\alpha + \beta = 13$ (સમીકરણ $1$).
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \alpha\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$(2)(\alpha) + (-1)(3) + (2)(-1) = 0$
$2\alpha - 3 - 2 = 0$
$2\alpha = 5$
$\alpha = \frac{5}{2}$.
$\alpha = \frac{5}{2}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$3(\frac{5}{2}) + \beta = 13$
$\frac{15}{2} + \beta = 13$
$\beta = 13 - \frac{15}{2} = \frac{26-15}{2} = \frac{11}{2}$.
આમ,$\alpha = \frac{5}{2}$ અને $\beta = \frac{11}{2}$ મળે છે.

(D) પ્રથમ,રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપમાં લખો:
રેખા $1$: $x = a(y - 1/a) = z - 2 \implies \frac{x}{1} = \frac{y - 1/a}{1/a} = \frac{z - 2}{1}$. બિંદુ $P_1 = (0, 1/a, 2)$,દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, 1/a, 1)$.
રેખા $2$: $x = 3(y - 2/3) = b(z - 2/b) \implies \frac{x}{1} = \frac{y - 2/3}{1/3} = \frac{z - 2/b}{1/b}$. બિંદુ $P_2 = (0, 2/3, 2/b)$,દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1, 1/3, 1/b)$.
રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $[\vec{P_1P_2}, \vec{v_1}, \vec{v_2}] = 0$ હોવો જોઈએ.
$\vec{P_1P_2} = (0, 2/3 - 1/a, 2/b - 2)$.
નિશ્ચાયક છે:
$|\begin{matrix} 0 & 2/3 - 1/a & 2/b - 2 \\ 1 & 1/a & 1 \\ 1 & 1/3 & 1/b \end{matrix}| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-(2/3 - 1/a)(1/b - 1) + (2/b - 2)(1/3 - 1/a) = 0$.
$-(2/3 - 1/a)(1/b - 1) + 2(1/b - 1)(1/3 - 1/a) = 0$.
$(1/b - 1) [-(2/3 - 1/a) + 2(1/3 - 1/a)] = 0$.
$(1/b - 1) [-2/3 + 1/a + 2/3 - 2/a] = 0$.
$(1/b - 1)(-1/a) = 0$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$1/b - 1 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $b = 1$.
આમ,$b = 1$ અને $a$ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બિંદુ $A(3, -4, 5)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{2} = \frac{y+4}{1} = \frac{z-5}{-2} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2r+3, r-4, -2r+5)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ $2x + 5y - 6z = 16$ પર હોવાથી,આપણે $P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2r+3) + 5(r-4) - 6(-2r+5) = 16$.
$4r + 6 + 5r - 20 + 12r - 30 = 16$.
$21r - 44 = 16$.
$21r = 60$.
$r = \frac{60}{21} = \frac{20}{7}$.
અંતર $AP$ એ $(3, -4, 5)$ અને $(2r+3, r-4, -2r+5)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $\sqrt{(2r)^2 + (r)^2 + (-2r)^2} = \sqrt{4r^2 + r^2 + 4r^2} = \sqrt{9r^2} = 3|r|$ થાય.
$r = \frac{20}{7}$ મૂકતા,આપણને $3 \times \frac{20}{7} = \frac{60}{7}$ એકમ મળે છે.

(D) $(1, 1, 1)$ અને $(2, 2, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-1}{2-1} = \frac{z-1}{2-1} = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $x-1 = k$,$y-1 = k$,અને $z-1 = k$ મળે છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+1, k+1, k+1)$ સ્વરૂપનું હોય છે.
આ બિંદુ $x + y + z = 9$ સમતલ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(k+1) + (k+1) + (k+1) = 9$.
$3k + 3 = 9$.
$3k = 6$,જે આપણને $k = 2$ આપે છે.
$k = 2$ ને બિંદુના યામ $(k+1, k+1, k+1)$ માં મૂકતા,આપણને $(2+1, 2+1, 2+1) = (3, 3, 3)$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(3, 3, 3)$ છે.

(C) રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,રેખાનો દિશા સદિશ સમતલના અભિલંબ સદિશને લંબ હોય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \ell\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow (2)(\ell) + (-1)(m) + (3)(-1) = 0 \Rightarrow 2\ell - m = 3$ (સમીકરણ $i$).
વળી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું પાલન કરે છે. બિંદુ $(3, -2, -4)$ રેખા પર છે,તેથી તે સમતલ પર પણ હોવું જોઈએ:
$\ell(3) + m(-2) - (-4) = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m + 4 = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m = 5$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણો ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$m = 2\ell - 3$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા:
$3\ell - 2(2\ell - 3) = 5 \Rightarrow 3\ell - 4\ell + 6 = 5 \Rightarrow -\ell = -1 \Rightarrow \ell = 1$.
તેથી $m = 2(1) - 3 = -1$.
આમ,$\ell^2 + m^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-5} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k+1, k+3, -5k+4)$ છે.
રેખા $L$ અને સમતલ $2x-y+z+3=0$ ના છેદબિંદુ માટે,$2(3k+1)-(k+3)+(-5k+4)+3=0$ મળે છે.
$6k+2-k-3-5k+4+3=0 \implies 6=0$,જે શક્ય નથી. તેથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
રેખા પરના બિંદુ $P(1, 3, 4)$ નું સમતલ $2x-y+z+3=0$ માં પ્રતિબિંબ $P'(x', y', z')$ છે.
સૂત્ર $\frac{x'-1}{2} = \frac{y'-3}{-1} = \frac{z'-4}{1} = -2 \frac{2(1)-3+4+3}{2^2+(-1)^2+1^2} = -2 \frac{6}{6} = -2$ નો ઉપયોગ કરતા.
$x'-1 = -4 \implies x' = -3$.
$y'-3 = 2 \implies y' = 5$.
$z'-4 = -2 \implies z' = 2$.
પ્રતિબિંબ રેખા $(-3, 5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને મૂળ રેખા જેવા જ દિશા ગુણોત્તર $(3, 1, -5)$ ધરાવે છે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{x+3}{3} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-2}{-5}$ છે.

(C) આપેલ રેખા $\frac{x-4}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z - m/2}{3/2}$ છે.
આ રેખા બિંદુ $P(4, 2, m/2)$ માંથી પસાર થાય છે.
કારણ કે રેખા સમતલ $2x - 5y + 2z = 7$ માં આવેલી છે,તેથી બિંદુ $P$ એ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
$P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(4) - 5(2) + 2(m/2) = 7$
$8 - 10 + m = 7$
$-2 + m = 7$
$m = 9$
વધુમાં,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 1, 3/2)$ એ સમતલના અભિલંબ $\vec{n} = (2, -5, 2)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
અદિશ ગુણાકાર તપાસતા: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-5) + (3/2)(2) = 2 - 5 + 3 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે,અને બિંદુ $P$ સમતલ પર હોવાથી,$m = 9$ માટે આખી રેખા સમતલમાં આવેલી છે.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x-4}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-3}{1}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+4, 2\lambda+5, \lambda+3)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ બિંદુ સમતલ $x+y+z=2$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2\lambda+4) + (2\lambda+5) + (\lambda+3) = 2$.
$5\lambda + 12 = 2$.
$5\lambda = -10$,તેથી $\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-2) + 4 = 0$,
$y = 2(-2) + 5 = 1$,
$z = (-2) + 3 = 1$.
છેદબિંદુ $(0, 1, 1)$ છે.
હવે,ચકાસો કે કયો વિકલ્પ બિંદુ $(0, 1, 1)$ નું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $(A)$ માટે: $\frac{0-1}{1} = -1$,$\frac{1-3}{2} = -1$,$\frac{1+4}{-5} = -1$.
બધા ગુણોત્તર $-1$ સમાન હોવાથી,બિંદુ $(0, 1, 1)$ વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલી રેખા પર આવેલું છે.