Line and Plane Questions in Gujarati

(A) ધારો કે છેદબિંદુ $(k, k, k)$ છે.
આ બિંદુ સમતલો $x \sin A + y \sin B + z \sin C = 18$ અને $x \sin 2A + y \sin 2B + z \sin 2C = 9$ પર આવેલું હોવાથી,આપણને મળે છે:
$k(\sin A + \sin B + \sin C) = 18 \implies \sin A + \sin B + \sin C = \frac{18}{k}$
$k(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C) = 9 \implies \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = \frac{9}{k}$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} = \frac{18}{9} = 2$ મળે છે.
આમ,$\sin A + \sin B + \sin C = 2(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$.
નિત્યસમ $\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ અને $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = 2(32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2})$.
$4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ ને દૂર કરતા,આપણને $1 = 16 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = \frac{1}{16}$.
અંતે,$80 \left( \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \right) = 80 \times \frac{1}{16} = 5$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ છે. $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}) = (2, 1, 2)$ છે.
$\triangle PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(\frac{x_1+x_2-1}{3}, \frac{y_1+y_2+4}{3}, \frac{z_1+z_2+2}{3})$ છે.
$M$ પરથી કિંમતો મૂકતા,આપણને $G = (\frac{4-1}{3}, \frac{2+4}{3}, \frac{4+2}{3}) = (1, 2, 2)$ મળે છે.
રેખાઓનું છેદબિંદુ $A$ શોધવા માટે,ધારો કે $\frac{x-2}{0} = \frac{y}{2} = \frac{z+3}{-1} = k_1$. તેથી $x = 2, y = 2k_1, z = -k_1-3$.
ધારો કે $\frac{x-1}{1} = \frac{y+3}{-3} = \frac{z+1}{1} = k_2$. તેથી $x = k_2+1, y = -3k_2-3, z = k_2-1$.
$x$ ને સરખાવતા: $2 = k_2+1 \implies k_2 = 1$.
તેથી $y = -3(1)-3 = -6$ અને $z = 1-1 = 0$.
પ્રથમ રેખામાં ચકાસતા: $y = 2k_1 = -6 \implies k_1 = -3$. તેથી $z = -(-3)-3 = 0$. બિંદુ $A$ એ $(2, -6, 0)$ છે.
અંતર $AG = \sqrt{(2-1)^2 + (-6-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 64 + 4} = \sqrt{69}$.

(D) રેખા $L_1$ એ $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{0} = r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$Q = (r, r, 1)$.
$PQ \perp L_1$ હોવાથી,સદિશ $\vec{PQ} = (r-a, r-a, 1-a)$ એ દિશા સદિશ $(1, 1, 0)$ ને લંબ છે.
$(r-a)(1) + (r-a)(1) + (1-a)(0) = 0 \implies 2(r-a) = 0 \implies r = a$. તેથી,$Q = (a, a, 1)$.
રેખા $L_2$ એ $\frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{0} = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$R = (k, -k, -1)$.
$PR \perp L_2$ હોવાથી,સદિશ $\vec{PR} = (k-a, -k-a, -1-a)$ એ દિશા સદિશ $(1, -1, 0)$ ને લંબ છે.
$(k-a)(1) + (-k-a)(-1) + (-1-a)(0) = 0 \implies k-a + k+a = 0 \implies 2k = 0 \implies k = 0$. તેથી,$R = (0, 0, -1)$.
આપેલ છે કે $\angle QPR = 90^{\circ}$,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0$.
$\vec{PQ} = (a-a, a-a, 1-a) = (0, 0, 1-a)$.
$\vec{PR} = (0-a, 0-a, -1-a) = (-a, -a, -1-a)$.
$(0)(-a) + (0)(-a) + (1-a)(-1-a) = 0$.
$-(1-a)(1+a) = 0 \implies -(1-a^2) = 0 \implies a^2 = 1$.
તેથી,$12a^2 = 12(1) = 12$.

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -6 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 14\hat{i} + 2\hat{j} + 15\hat{k}$.
આમ,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે,સમતલના સમીકરણોમાં $z = 0$ મૂકતા:
$3x - 6y = 15 \Rightarrow x - 2y = 5$
$2x + y = 5$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x = 3, y = -1$ મળે છે. તેથી,$(3, -1, 0)$ એ રેખા પરનું બિંદુ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{14} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-0}{15} = t$ થાય.
આથી $x = 14t + 3, y = 2t - 1, z = 15t$ મળે.
$\text{વિધાન}-1$ માં આપેલા સમીકરણો સાથે સરખાવતા,તે ખોટા છે કારણ કે $y$-યામ $2t - 1$ છે,$2t + 1$ નથી.
તેથી,$\text{વિધાન}-1$ ખોટું છે અને $\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.

(B, D, C) $1.$ $L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
બંનેને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ છે.
એકમ સદિશ $\frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$2.$ લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{AB}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ છે,જ્યાં $\vec{AB} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$.
$d = \frac{|(3\hat{i} + 4\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k})|}{5\sqrt{3}} = \frac{|-3 + 20|}{5\sqrt{3}} = \frac{17}{5\sqrt{3}}$. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
$3.$ સમતલનું સમીકરણ: $-1(x+1) - 7(y+2) + 5(z+1) = 0 \Rightarrow x + 7y - 5z + 10 = 0$.
બિંદુ $(1, 1, 1)$ થી અંતર $d = \frac{|1 + 7(1) - 5(1) + 10|}{\sqrt{1^2 + 7^2 + (-5)^2}} = \frac{13}{\sqrt{75}}$. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) પાયો $OPQR$ એ $xy$-સમતલમાં $O(0,0,0)$,$P(3,0,0)$,$Q(3,3,0)$,અને $R(0,3,0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ છે.
$OQ$ નું મધ્યબિંદુ $T$ એ $(\frac{3+0}{2}, \frac{3+0}{2}, 0) = (1.5, 1.5, 0)$ છે.
$S$ એ $T$ ની ઉપર $TS=3$ અંતરે હોવાથી,$S$ ના યામ $(1.5, 1.5, 3)$ છે.
$(A)$ સદિશ $\vec{OQ} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{OS} = 1.5\hat{i} + 1.5\hat{j} + 3\hat{k}$.
$|\vec{OQ}| = 3\sqrt{2}$ અને $|\vec{OS}| = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
$\vec{OQ} \cdot \vec{OS} = 9$. $\cos \theta = \frac{9}{(3\sqrt{2})(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. તેથી $\theta \neq \frac{\pi}{3}$.
$(B)$ $\triangle OQS$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ: અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OQ} \times \vec{OS} = 9(\hat{i} - \hat{j})$. સમીકરણ $x-y=0$ છે.
$(C)$ $P(3,0,0)$ થી $x-y=0$ સમતલનું લંબ અંતર $d = \frac{|3-0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
$(D)$ રેખા $RS$ માંથી $O$ નું લંબ અંતર $\sqrt{\frac{15}{2}}$ મળે છે.

(C) ધારો કે આપેલ બિંદુ $Q(3, 1, 7)$ છે. સમતલ $x-y+z=3$ ને લંબ અને $Q$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, -1, 1)$ છે.
તેનું સમીકરણ $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-7}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3+\lambda, 1-\lambda, 7+\lambda)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x-y+z=3$ પર આવેલું છે,તેથી $(3+\lambda) - (1-\lambda) + (7+\lambda) = 3$.
$3+\lambda-1+\lambda+7+\lambda=3 \Rightarrow 3\lambda+9=3 \Rightarrow 3\lambda=-6 \Rightarrow \lambda=-2$.
લંબપાદ $R$ એ $(3-2, 1-(-2), 7-2) = (1, 3, 5)$ છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1, z_1)$ એ $Q$ નું પ્રતિબિંબ છે. $R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_1+3}{2}=1, \frac{y_1+1}{2}=3, \frac{z_1+7}{2}=5$.
$x_1 = -1, y_1 = 5, z_1 = 3$. તેથી $P$ એ $(-1, 5, 3)$ છે.
સમતલ $P(-1, 5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ ને સમાવે છે.
સમતલનું સમીકરણ $a(x+1) + b(y-5) + c(z-3) = 0$ છે.
તે રેખાને સમાવે છે,તેથી તે $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,એટલે કે $a(1) + b(-5) + c(-3) = 0 \Rightarrow a-5b-3c=0$.
વળી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ રેખાની દિશા $(1, 2, 1)$ ને લંબ છે,તેથી $a+2b+c=0$.
$a-5b-3c=0$ અને $a+2b+c=0$ ને ઉકેલતા: $-7b-4c=0 \Rightarrow b = -4c/7$.
તેથી $a = 5(-4c/7) + 3c = -20c/7 + 21c/7 = c/7$.
$c=7$ લેતા,આપણને $a=1, b=-4$ મળે છે. સમીકરણ $1(x+1) - 4(y-5) + 7(z-3) = 0$ છે.
$x+1-4y+20+7z-21 = 0 \Rightarrow x-4y+7z=0$.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{u}-\vec{v}|=|\vec{v}-\vec{w}|=|\vec{w}-\vec{u}|$,તેથી $\triangle UVW$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે. સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ એ એકમ સદિશો છે,તેથી તેઓ $O$ પર કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યાવાળા ગોલક પર આવેલા છે.
સમતલ $P: \sqrt{3}x + 2y + 3z = 16$ નું ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ થી અંતર $OQ = \frac{|0+0+0-16|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{16}{\sqrt{3+4+9}} = \frac{16}{4} = 4$ છે.
$S$ માંના કોઈપણ બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ નું સમતલ $P$ થી અંતર $\frac{7}{2}$ આપેલ છે. ધારો કે $Q$ એ $O$ નો $P$ પરનો પ્રક્ષેપ છે. $U, V, W$ એ $P$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,તેઓ એક વર્તુળ પર આવેલા છે જે ગોલક અને $P$ ને સમાંતર સમતલના છેદથી બને છે. ધારો કે આ સમતલ $P'$ છે. $O$ થી $P'$ નું અંતર $OP = OQ - PQ = 4 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
ગોલક અને સમતલ $P'$ ના છેદથી બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$\triangle UVW$ સમબાજુ હોવાથી અને આ $R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,તેની બાજુની લંબાઈ $a = 2R \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ છે.
$\triangle UVW$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ છે.
શિરોબિંદુઓ $O, U, V, W$ વાળા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \times \text{Area}(\triangle UVW) \times OP = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{32}$ છે.
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $V = 6 \times \text{ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ} = 6 \times \frac{3\sqrt{3}}{32} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ છે.
તેથી,$\frac{80}{\sqrt{3}} V = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \frac{9\sqrt{3}}{16} = 5 \times 9 = 45$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: \vec{r}_1 = \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ અને $L_2: \vec{r}_2 = (\hat{j}-\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{k})$ છે.
$L_1$ ને સમાવતું કોઈપણ સમતલ $H$ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $L_1$ ના દિશા સદિશ $(1,1,1)$ ને લંબ છે. ધારો કે સમતલ $ax+by+cz=0$ છે,જ્યાં $a+b+c=0$.
$L_2$ થી $H$ નું અંતર $d(H)$ શૂન્યતર ત્યારે જ હોય જો $L_2$ એ $H$ ને સમાંતર હોય. જો $L_2$ એ $H$ ને સમાંતર ન હોય,તો અંતર $0$ છે. $d(H)$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$L_2$ એ $H$ ને સમાંતર હોવું જોઈએ. આમ,અભિલંબ $\vec{n} = (a,b,c)$ એ $L_2$ ના દિશા સદિશ $(1,0,1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$a+c=0$. કારણ કે $a+b+c=0$ અને $a+c=0$,આપણને $b=0$ મળે છે. ધારો કે $a=1$,તો $c=-1$. સમતલ $H_0$ એ $x-z=0$ છે.
$(P)$ $d(H_0)$ એ $L_2$ પરના કોઈપણ બિંદુ (દા.ત.,$(0,1,-1)$) થી $H_0$ નું અંતર છે: $d = \frac{|0 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,$P \rightarrow 5$.
$(Q)$ $(0,1,2)$ નું $x-z=0$ થી અંતર $\frac{|0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે. આમ,$Q \rightarrow 4$.
$(R)$ કારણ કે $H_0$ એ $x-z=0$ છે,તે ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,અંતર $0$ છે. $R \rightarrow 3$.
$(S)$ $y=z, x=1, x-z=0$ નું છેદબિંદુ: $x=1$ અને $x-z=0$ પરથી,$z=1$. $y=z$ પરથી,$y=1$. બિંદુ $(1,1,1)$ છે. ઉગમબિંદુથી અંતર $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ છે. આમ,$S \rightarrow 1$.
તેથી,સાચી જોડ $(P) \rightarrow (5), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (3), (S) \rightarrow (1)$ છે.

(C) બંને રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
આ રેખાઓને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ મળે છે.
આ સમતલ બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $-1(x-1) + 2(y-2) - 1(z-3) = 0$ એટલે કે $x - 2y + z = 0$ થાય.
આપેલ સમતલ $Ax - 2y + z = d$ છે,તેથી $A = 1$ મળે.
સમાંતર સમતલો $x - 2y + z = 0$ અને $x - 2y + z = d$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|d - 0|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \sqrt{6}$ થાય.
તેથી,$\frac{|d|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \implies |d| = 6$.

(A) બિંદુ $P(1, -2, 1)$ નું સમતલ $x + 2y - 2z - \alpha = 0$ થી અંતર $d = \frac{|1(1) + 2(-2) - 2(1) - \alpha|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = 5$ છે.
તેથી, $\frac{|-5 - \alpha|}{3} = 5 \Rightarrow |5 + \alpha| = 15$. $\alpha > 0$ હોવાથી, $\alpha = 10$.
સમતલનું સમીકરણ $x + 2y - 2z = 10$ છે.
$P(1, -2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{-2} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ $(k + 1, 2k - 2, -2k + 1)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ પર હોવાથી, $(k + 1) + 2(2k - 2) - 2(-2k + 1) = 10$.
$9k - 5 = 10 \Rightarrow k = \frac{5}{3}$.
તેથી, લંબપાદના યામ $\left(\frac{5}{3} + 1, 2(\frac{5}{3}) - 2, -2(\frac{5}{3}) + 1\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{7}{3}\right)$ મળે છે.

(A) બિંદુઓ $Q(2, 3, 5)$ અને $R(1, -1, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $QR$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-5}{4-5}$ છે,જે $\frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-5}{-1} = \lambda$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2-\lambda, 3-4\lambda, 5-\lambda)$ છે.
$P$ એ સમતલ $5x - 4y - z = 1$ પર હોવાથી,$5(2-\lambda) - 4(3-4\lambda) - (5-\lambda) = 1$.
$10 - 5\lambda - 12 + 16\lambda - 5 + \lambda = 1 \Rightarrow 12\lambda - 7 = 1 \Rightarrow 12\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ મૂકતા,$P = (2-\frac{2}{3}, 3-\frac{8}{3}, 5-\frac{2}{3}) = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{13}{3})$ મળે.
હવે,$T(2, 1, 4)$ માંથી $QR$ પરના લંબપાદ $S$ માટે,ધારો કે $S = (2-\mu, 3-4\mu, 5-\mu)$.
સદિશ $\vec{TS} = (2-\mu-2, 3-4\mu-1, 5-\mu-4) = (-\mu, 2-4\mu, 1-\mu)$.
$\vec{TS}$ એ રેખાની દિશાના સદિશ $\vec{v} = (-1, -4, -1)$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(-\mu)(-1) + (2-4\mu)(-4) + (1-\mu)(-1) = 0$.
$\mu - 8 + 16\mu - 1 + \mu = 0 \Rightarrow 18\mu = 9 \Rightarrow \mu = \frac{1}{2}$.
આમ,$S = (2-\frac{1}{2}, 3-2, 5-\frac{1}{2}) = (\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2})$.
અંતર $PS = \sqrt{(\frac{4}{3}-\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{3}-1)^2 + (\frac{13}{3}-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{(-\frac{1}{6})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{4}{9} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{2}{36} + \frac{16}{36}} = \sqrt{\frac{18}{36}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે છેદરેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે.
રેખા બંને સમતલોમાં હોવાથી,તે બંને સમતલોના અભિલંબ $\vec{n_1} = (2, 1, -1)$ અને $\vec{n_2} = (1, 2, 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$ મળે.
$3$ વડે ભાગતા,દિકગુણોત્તર $1, -1, 1$ મળે છે. તેથી,$(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ માટે,રેખા $\frac{x - 4/3}{3} = \frac{y - 1/3}{-3} = \frac{z}{3}$ છે,જેના દિકગુણોત્તર $1, -1, 1$ છે. આ છેદરેખાને સમાંતર છે,લંબ નથી. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ માટે,$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (1)(2) + (-1)(1)|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. તેથી,$\theta = 60^{\circ}$. $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ માટે,$P_3$ નો અભિલંબ $(1, -1, 1)$ છે. સમીકરણ $x - y + z = 0$ મળે.
બિંદુ $(2, 1, 1)$ નું $x - y + z = 0$ થી અંતર $\frac{|2 - 1 + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે. $(D)$ સાચું છે.

(A) ધારો કે $P \equiv (x_0, y_0, z_0)$.
સમતલ $x+y=3$ ને લંબ અને $P$ માંથી પસાર થતી રેખા $\frac{x-x_0}{1} = \frac{y-y_0}{1} = \frac{z-z_0}{0} = k$ છે.
પ્રતિબિંબ $Q$ એ $\frac{x-x_0}{1} = \frac{y-y_0}{1} = \frac{z-z_0}{0} = -2 \frac{x_0+y_0-3}{1^2+1^2} = -(x_0+y_0-3)$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$x_Q = 3-y_0$ અને $y_Q = 3-x_0$.
$Q$ એ $z$-અક્ષ પર હોવાથી,$x_Q = 0$ અને $y_Q = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x_0 = 3$ અને $y_0 = 3$.
$x$-અક્ષથી $P(3, 3, z_0)$ નું અંતર $\sqrt{y_0^2 + z_0^2} = 5$ છે.
$y_0 = 3$ મૂકતા,$\sqrt{3^2 + z_0^2} = 5$,તેથી $9 + z_0^2 = 25$,જે $z_0^2 = 16$ આપે છે,તેથી $z_0 = 4$ ($P$ પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં હોવાથી).
$P$ એ $(3, 3, 4)$ છે. $xy$-સમતલમાં $P$ નું પ્રતિબિંબ $R$ એ $(3, 3, -4)$ છે.
$PR$ ની લંબાઈ $(3, 3, 4)$ અને $(3, 3, -4)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|4 - (-4)| = 8$ થાય.

(A) રેખાઓ $\overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}$,$\overrightarrow{r} = \mu(\hat{i} + \hat{j})$,અને $\overrightarrow{r} = v(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ દ્વારા આપવામાં આવી છે.
સમતલના સમીકરણ $x + y + z = 1$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
રેખા $A$ માટે: $\lambda + 0 + 0 = 1 \Rightarrow \lambda = 1$,તેથી $A = (1, 0, 0)$.
રેખા $B$ માટે: $\mu + \mu + 0 = 1 \Rightarrow 2\mu = 1 \Rightarrow \mu = 1/2$,તેથી $B = (1/2, 1/2, 0)$.
રેખા $C$ માટે: $v + v + v = 1 \Rightarrow 3v = 1 \Rightarrow v = 1/3$,તેથી $C = (1/3, 1/3, 1/3)$.
સદિશો $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1/2, 1/2, 0)$ અને $\overrightarrow{AC} = C - A = (-2/3, 1/3, 1/3)$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1/2 & 1/2 & 0 \\ -2/3 & 1/3 & 1/3 \end{vmatrix} = \hat{i}(1/6) - \hat{j}(-1/6) + \hat{k}(-1/6 + 1/3) = (1/6, 1/6, 1/6)$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(1/6)^2 + (1/6)^2 + (1/6)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3/36} = \frac{\sqrt{3}}{12}$.
તેથી $(6 \Delta)^2 = (6 \times \frac{\sqrt{3}}{12})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3/4 = 0.75$.

(D) ધારો કે $P = (\lambda, 0, 0)$ એ $L_1$ પરનું બિંદુ છે,$Q = (0, \mu, 1)$ એ $L_2$ પરનું બિંદુ છે,અને $R = (1, 1, v)$ એ $L_3$ પરનું બિંદુ છે.
$P, Q$ અને $R$ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{QR}$ પ્રમાણસર હોવા જોઈએ.
$\vec{PQ} = (0 - \lambda, \mu - 0, 1 - 0) = (-\lambda, \mu, 1)$.
$\vec{QR} = (1 - 0, 1 - \mu, v - 1) = (1, 1 - \mu, v - 1)$.
સમરેખતા માટે,$\frac{-\lambda}{1} = \frac{\mu}{1 - \mu} = \frac{1}{v - 1}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda = -\frac{\mu}{1 - \mu} = \frac{\mu}{\mu - 1}$ અને $v - 1 = \frac{1 - \mu}{\mu}$,તેથી $v = 1 + \frac{1 - \mu}{\mu} = \frac{1}{\mu}$.
$\lambda$ અને $v$ ના આ મૂલ્યો $\mu = 0$ અને $\mu = 1$ સિવાય તમામ $\mu \in R$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
જો $\mu = 0$,તો $Q = (0, 0, 1) = \hat{k}$. જો $\mu = 1$,તો $Q = (0, 1, 1) = \hat{j} + \hat{k}$.
આમ,$Q$ એ $\hat{k}$ અને $\hat{j} + \hat{k}$ સિવાય $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ હોઈ શકે છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$(1)$ $\hat{k} + \hat{j}$ ($\mu = 1$ ને અનુરૂપ,બાકાત)
$(2)$ $\hat{k}$ ($\mu = 0$ ને અનુરૂપ,બાકાત)
$(3)$ $\hat{k} + \frac{1}{2}\hat{j}$ ($\mu = 0.5$ ને અનુરૂપ,માન્ય)
$(4)$ $\hat{k} - \frac{1}{2}\hat{j}$ ($\mu = -0.5$ ને અનુરૂપ,માન્ય)
તેથી,બિંદુઓ $3$ અને $4$ માન્ય છે.

(D) $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(1, 0, 1)$ છે.
રેખા $L$ એ $(1, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{1-\alpha}{l} = \frac{0-1}{m} = \frac{1-\gamma}{-2}$ મળે.
$L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
કોણ દુભાજકની દિશા $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ મળે છે.
તેથી $l=1$ અને $m=1$ મળે છે,જેથી $l+m=2$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા $\alpha=2$ અને $\gamma=-1$ મળે છે,તેથી $\alpha-\gamma=3$ થાય છે.

(A) સમતલો $x+2y+3z-2=0$ અને $x-y+z-3=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $(x+2y+3z-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $(1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (3+\lambda)z - (2+3\lambda) = 0$ મળે છે.
આ સમતલનું બિંદુ $(3,1,-1)$ થી અંતર $\frac{|(1+\lambda)(3) + (2-\lambda)(1) + (3+\lambda)(-1) - (2+3\lambda)|}{\sqrt{(1+\lambda)^2 + (2-\lambda)^2 + (3+\lambda)^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
અંશનું સાદું રૂપ: $|3+3\lambda + 2-\lambda - 3-\lambda - 2-3\lambda| = |-2\lambda|$.
છેદનું સાદું રૂપ: $\sqrt{(1+2\lambda+\lambda^2) + (4-4\lambda+\lambda^2) + (9+6\lambda+\lambda^2)} = \sqrt{3\lambda^2+4\lambda+14}$.
તેથી,$\frac{|-2\lambda|}{\sqrt{3\lambda^2+4\lambda+14}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4\lambda^2}{3\lambda^2+4\lambda+14} = \frac{4}{3}$.
$3\lambda^2 = 3\lambda^2+4\lambda+14$,જેમાંથી $4\lambda = -14$,તેથી $\lambda = -\frac{7}{2}$.
$\lambda = -\frac{7}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(1-\frac{7}{2})x + (2+\frac{7}{2})y + (3-\frac{7}{2})z - (2-\frac{21}{2}) = 0$.
$-\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$.
$-2$ વડે ગુણતા,$5x-11y+z-17=0$,અથવા $5x-11y+z=17$ મળે છે.

(B) બે રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,દરેક રેખા પરના બિંદુને જોડતા સદિશ અને રેખાઓના દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $[\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}, \vec{d}] = 0$.
આપેલ બિંદુઓ $\vec{a} = (1, -1, 0)$ અને $\vec{c} = (-1, -1, 0)$ છે,તેથી સદિશ $\vec{a}-\vec{c} = (2, 0, 0)$.
દિશા સદિશો $\vec{b} = 2\hat{i} + k\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{d} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + k\hat{k}$ છે.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\left|\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{array}\right| = 0 \Rightarrow 2(k^2 - 4) = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $k = 2$ હોય,તો દિશા સદિશો $\vec{b} = (2, 2, 2)$ અને $\vec{d} = (5, 2, 2)$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = \vec{b} \times \vec{d} = \left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{array}\right| = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}_1 = 0 \Rightarrow 0(x-1) + 6(y+1) - 6(z-0) = 0 \Rightarrow y - z = -1$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $k = -2$ હોય,તો દિશા સદિશો $\vec{b} = (2, -2, 2)$ અને $\vec{d} = (5, 2, -2)$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = \vec{b} \times \vec{d} = \left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & -2 \end{array}\right| = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}_2 = 0 \Rightarrow 0(x-1) + 14(y+1) + 14(z-0) = 0 \Rightarrow y + z = -1$ મળે છે.
આમ,સમતલો $y-z=-1$ અને $y+z=-1$ છે,જે વિકલ્પો $(C)$ અને $(B)$ ને અનુરૂપ છે.

(D) રેખા $\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}=\lambda$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda-2, -\lambda-1, 3\lambda)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ રેખા પર બે બિંદુઓ લઈએ:
$\lambda=0$ માટે,બિંદુ $A = (-2, -1, 0)$.
$\lambda=1$ માટે,બિંદુ $B = (0, -2, 3)$.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી સમતલ $ax+by+cz+d=0$ પરના લંબપાદ $(x, y, z)$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = -\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ છે.
બિંદુ $A(-2, -1, 0)$ અને સમતલ $x+y+z-3=0$ માટે:
$\frac{x+2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-0}{1} = -\frac{-2-1+0-3}{1^2+1^2+1^2} = -\frac{-6}{3} = 2$.
તેથી,$x = 0, y = 1, z = 2$. બિંદુ $M = (0, 1, 2)$.
બિંદુ $B(0, -2, 3)$ અને સમતલ $x+y+z-3=0$ માટે:
$\frac{x-0}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{1} = -\frac{0-2+3-3}{1^2+1^2+1^2} = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$x = \frac{2}{3}, y = \frac{2}{3}-2 = -\frac{4}{3}, z = \frac{2}{3}+3 = \frac{11}{3}$. બિંદુ $N = (\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{11}{3})$.
બિંદુઓ $M(0, 1, 2)$ અને $N(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{11}{3})$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(\frac{2}{3}-0, -\frac{4}{3}-1, \frac{11}{3}-2) = (\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}, \frac{5}{3})$ છે,જે $(2, -7, 5)$ ને સમાન છે.
તેથી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-2}{5}$ છે.

(A) જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબને લંબ છે. તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & -6 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-10) - \hat{j}(-42-6) + \hat{k}(35-3) = -16\hat{i} + 48\hat{j} + 32\hat{k}$.
$-16$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$ મળે છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે,$L_1: (2k_1+1, -k_1, k_1-3)$ અને $L_2: (k_2+4, k_2-3, 2k_2-3)$ લો.
યામોને સરખાવતા: $2k_1+1 = k_2+4 \Rightarrow 2k_1 - k_2 = 3$ અને $-k_1 = k_2-3 \Rightarrow k_1+k_2 = 3$.
આનો સરવાળો કરતા $3k_1 = 6 \Rightarrow k_1 = 2$ મળે. તેથી $k_2 = 1$.
છેદબિંદુ: $(2(2)+1, -2, 2-3) = (5, -2, -1)$.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-5) - 3(y+2) - 2(z+1) = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z - 5 - 6 - 2 = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z = 13$ છે.
$ax+by+cz=d$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-3, c=-2, d=13$ મળે છે.
આમ,$P-3, Q-2, R-4, S-1$. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પ્રથમ રેખા $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{1}, z=1$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(\alpha, \alpha, 1)$ છે.
$PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(\alpha-\lambda, \alpha-\lambda, 1-\lambda)$ છે.
કારણ કે $PQ$ એ $L_1$ (દિશા સદિશ $(1, 1, 0)$) ને લંબ છે,તેથી $(\alpha-\lambda)(1) + (\alpha-\lambda)(1) + (1-\lambda)(0) = 0$,જે $2(\alpha-\lambda) = 0$ આપે છે,તેથી $\alpha = \lambda$.
આમ,$Q = (\lambda, \lambda, 1)$ અને સદિશ $\vec{PQ} = (0, 0, 1-\lambda)$.
બીજી રેખા $L_2: \frac{x}{-1} = \frac{y}{1}, z=-1$ છે. $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $R$ એ $(-\beta, \beta, -1)$ છે.
$PR$ ના દિશા ગુણોત્તર $(-\beta-\lambda, \beta-\lambda, -1-\lambda)$ છે.
કારણ કે $PR$ એ $L_2$ (દિશા સદિશ $(-1, 1, 0)$) ને લંબ છે,તેથી $(-\beta-\lambda)(-1) + (\beta-\lambda)(1) + (-1-\lambda)(0) = 0$,જે $\beta+\lambda+\beta-\lambda = 0$ આપે છે,તેથી $2\beta = 0$,એટલે કે $\beta = 0$.
આમ,$R = (0, 0, -1)$ અને સદિશ $\vec{PR} = (-\lambda, -\lambda, -1-\lambda)$.
આપેલ છે કે $\angle QPR = 90^\circ$,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0$.
$(0)(-\lambda) + (0)(-\lambda) + (1-\lambda)(-1-\lambda) = 0$.
$-(1-\lambda)(1+\lambda) = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm 1$.
જો $\lambda = 1$ હોય,તો $P = (1, 1, 1)$,જે $L_1$ પર આવેલું છે,તેથી $PQ$ અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી,$\lambda = -1$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે.

(C) $P_1: y=0$ અને $P_2: x+z-1=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $(x+z-1) + \lambda y = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $x + \lambda y + z - 1 = 0$ તરીકે સરળ બને છે.
આ સમતલથી બિંદુ $(0, 1, 0)$ નું અંતર $1$ આપેલું છે:
$\frac{|0 + \lambda(1) + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + \lambda^2 + 1^2}} = 1$
$\frac{|\lambda - 1|}{\sqrt{\lambda^2 + 2}} = 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\lambda - 1)^2 = \lambda^2 + 2$
$\lambda^2 - 2\lambda + 1 = \lambda^2 + 2$
$-2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
સમતલના સમીકરણમાં $\lambda = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$x - \frac{1}{2}y + z - 1 = 0 \Rightarrow 2x - y + 2z - 2 = 0$.
હવે,બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ નું સમતલ $2x - y + 2z - 2 = 0$ થી અંતર $2$ છે:
$\frac{|2\alpha - \beta + 2\gamma - 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = 2$
$\frac{|2\alpha - \beta + 2\gamma - 2|}{3} = 2$
$|2\alpha - \beta + 2\gamma - 2| = 6$.
આ બે શક્યતાઓ આપે છે:
$2\alpha - \beta + 2\gamma - 2 = 6 \Rightarrow 2\alpha - \beta + 2\gamma - 8 = 0$
$2\alpha - \beta + 2\gamma - 2 = -6 \Rightarrow 2\alpha - \beta + 2\gamma + 4 = 0$.
આમ,વિકલ્પો $(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(A) રેખા $L$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલો $P_1$ અને $P_2$ થી સમાન અંતરે છે. તેથી,$L$ એ $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખાને સમાંતર હોવી જોઈએ.
ધારો કે $L$ ના દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે. $L$ એ $P_1$ અને $P_2$ ના છેદને સમાંતર હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ ને સમાંતર છે,જ્યાં $\vec{n}_1 = (1, 2, -1)$ અને $\vec{n}_2 = (2, -1, 1)$.
$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (1, -3, -5)$.
તેથી,રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-5} = k$ છે.
$M$ એ $L$ પરના બિંદુઓમાંથી સમતલ $P_1$ પરના લંબના પગનો બિંદુગણ છે. આ સમતલ $P_1$ પર રેખા $L$ નો પ્રક્ષેપ છે.
રેખાનો સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ એક રેખા છે. $L$ પર $k=0$ માટેનું બિંદુ $(0, 0, 0)$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $P_1: x+2y-z+1=0$ પરના લંબનો પગ $\left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$ છે,જે બિંદુ $(B)$ છે.
$M$ એ $(B)$ માંથી પસાર થતી રેખા હોવાથી,આપણે આપેલા બિંદુઓ તપાસતા જણાય છે કે બિંદુ $(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}\right)$ સમતલ $P_1$ પર આવેલું છે અને તે $M$ પર પણ છે.

(A) બે સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખા નીચેના સમીકરણો ઉકેલીને મેળવી શકાય છે:
$10x + 15y + 12z = 60$
$-2x + 5y + 4z = 20$
બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણતા,આપણને $-10x + 25y + 20z = 100$ મળે છે. આને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા $40y + 32z = 160$ મળે,એટલે કે $5y + 4z = 20$.
જો $z = 5k$ લઈએ,તો $5y = 20 - 20k$,તેથી $y = 4 - 4k$. બીજા સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-2x + 5(4 - 4k) + 4(5k) = 20 \implies -2x + 20 - 20k + 20k = 20 \implies x = 0$.
છેદરેખા $\frac{x}{0} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z}{5}$ છે.
ચતુષ્ફલકની ધાર કે જેના બે ફલક $P_1$ અને $P_2$ પર હોય,તે કાં તો છેદરેખા સાથે વિષમતલીય (skew) હોવી જોઈએ અથવા તેને કોઈ બિંદુએ છેદતી હોવી જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા,રેખાઓ $A, B$ અને $C$ આ શરતોનું પાલન કરે છે.

(D) સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} = \hat{k} + t(-\hat{i} + \hat{j}) + p(-\hat{i} + \hat{k})$ છે.
આ સમતલ $(0, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) + 1(y-0) + 1(z-1) = 0$ એટલે કે $x + y + z = 1$ થાય છે.
$Q = (10, 15, 20)$ અને $S = (\alpha, \beta, \gamma)$ આપેલ છે,પ્રતિબિંબનું સૂત્ર $\frac{\alpha-10}{1} = \frac{\beta-15}{1} = \frac{\gamma-20}{1} = -2 \frac{10+15+20-1}{1^2+1^2+1^2} = -2 \frac{44}{3} = -\frac{88}{3}$ છે.
આમ,$\alpha = 10 - \frac{88}{3} = -\frac{58}{3}$,$\beta = 15 - \frac{88}{3} = -\frac{43}{3}$,અને $\gamma = 20 - \frac{88}{3} = -\frac{28}{3}$ મળે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = 3(-\frac{58}{3} - \frac{43}{3}) = -101$ (સાચું).
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = 3(-\frac{43}{3} - \frac{28}{3}) = -71$ (સાચું).
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = 3(-\frac{28}{3} - \frac{58}{3}) = -86$ (સાચું).
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = 3(-\frac{58+43+28}{3}) = -129$ (ખોટું).
તેથી,વિકલ્પો $A, B, C$ સાચા છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x+11}{1}=\frac{y+21}{2}=\frac{z+29}{3} = a$ અને $L_2: \frac{x+16}{3}=\frac{y+11}{2}=\frac{z+4}{\gamma} = b$ છે.
$L_1$ માટે,$x = a-11, y = 2a-21, z = 3a-29$.
$L_2$ માટે,$x = 3b-16, y = 2b-11, z = b\gamma-4$.
છેદબિંદુ માટે યામોને સરખાવતા:
$a-11 = 3b-16 \Rightarrow a-3b = -5$ (સમીકરણ $1$)
$2a-21 = 2b-11 \Rightarrow 2a-2b = 10 \Rightarrow a-b = 5$ (સમીકરણ $2$)
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $a=10, b=5$.
$z$ યામોમાં મૂકતા: $3(10)-29 = 5\gamma-4 \Rightarrow 1 = 5\gamma-4 \Rightarrow 5\gamma = 5 \Rightarrow \gamma = 1$.
છેદબિંદુ $R_1 = (10-11, 20-21, 30-29) = (-1, -1, 1)$.
તેથી,$\vec{OR_1} = -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(1-9) + \hat{k}(2-6) = -4\hat{i} + 8\hat{j} - 4\hat{k}$.
એકમ લંબ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{-4\hat{i} + 8\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{16+64+16}} = \pm \frac{-4\hat{i} + 8\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{96}} = \pm \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}$.
વિકલ્પો સાથે મેળવતા,આપણે $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k}$ લઈએ છીએ.
$\vec{OR_1} \cdot \hat{n} = (-\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k}) = \frac{-1+2+1}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
તેથી,$(P) \rightarrow (3), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (1), (S) \rightarrow (5)$.

(B) ધારો કે રેખા $L_1$ એ $\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-3}{4} = k$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k+2, 3k+6, 4k+3)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $(1,4,0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_2$ એ $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-0}{3} = t$ છે. $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(t+1, 2t+4, 3t)$ છે.
છેદબિંદુ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ છીએ:
$2k+2 = t+1 \Rightarrow t = 2k+1$
$3k+6 = 2t+4 \Rightarrow 3k+6 = 2(2k+1)+4 = 4k+6 \Rightarrow k=0$.
$k=0$ ને $L_1$ ના યામોમાં મૂકતા,આપણને છેદબિંદુ $P = (2,6,3)$ મળે છે.
બિંદુ $(1,4,0)$ થી $(2,6,3)$ સુધીનું અંતર $\sqrt{(2-1)^2 + (6-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$ છે.

(A) રેખા $L_1$ આ મુજબ છે: $\overrightarrow{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = (\lambda - 1)\hat{i} + (2\lambda + 2)\hat{j} + (\lambda + 1)\hat{k}$.
રેખા $L_2$ આ મુજબ છે: $\overrightarrow{r} = (\hat{j} + \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = 2\mu\hat{i} + (7\mu + 1)\hat{j} + (3\mu + 1)\hat{k}$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,ઘટકોને સરખાવતા:
$1) \lambda - 1 = 2\mu$
$2) 2\lambda + 2 = 7\mu + 1 \Rightarrow 2\lambda - 7\mu = -1$
$3) \lambda + 1 = 3\mu + 1 \Rightarrow \lambda = 3\mu$
$\lambda = 3\mu$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $3\mu - 1 = 2\mu \Rightarrow \mu = 1$. તેથી $\lambda = 3(1) = 3$.
$\lambda = 3$ ને $L_1$ માં મૂકતા: $\overrightarrow{r} = (3-1)\hat{i} + (2(3)+2)\hat{j} + (3+1)\hat{k} = 2\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$.
$L_3$ નો દિશા સદિશ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1+2)\hat{i} + (2+7)\hat{j} + (1+3)\hat{k} = 3\hat{i} + 9\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$L_3$ નું સમીકરણ $\overrightarrow{r} = (2\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}) + t(3\hat{i} + 9\hat{j} + 4\hat{k})$ છે.
$t = 2$ માટે,$\overrightarrow{r} = (2+6)\hat{i} + (8+18)\hat{j} + (4+8)\hat{k} = 8\hat{i} + 26\hat{j} + 12\hat{k}$.
આમ,રેખા $L_3$ એ $(8, 26, 12)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(C) $L_1$ ના દિકગુણોત્તર $\vec{v_1} = (1, -1, 2)$ છે અને $L_2$ ના દિકગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-1, 2, 1)$ છે.
$L_3$ ના દિકગુણોત્તર $\vec{v_3} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.
$L_3$ એ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માંથી પસાર થાય છે અને $L_1$ ને છેદે છે,તેથી $(\alpha, \beta, \gamma)$ બિંદુ $L_1$ પર આવેલું છે.
તેથી,$\frac{\alpha-1}{1} = \frac{\beta-2}{-1} = \frac{\gamma-1}{2} = k$.
આથી,$\alpha = k+1$,$\beta = -k+2$,અને $\gamma = 2k+1$.
હવે $|5\alpha - 11\beta - 8\gamma|$ માં કિંમત મૂકતા:
$|5(k+1) - 11(-k+2) - 8(2k+1)| = |5k + 5 + 11k - 22 - 16k - 8| = |-25| = 25$.

(B) આપેલી રેખા બે રેખાઓને લંબ છે,જેના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = \hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -b\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
તેથી,જરૂરી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & a & b \\ -b & a & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(5a - ab) - \hat{j}(5 + b^2) + \hat{k}(a + ab)$ છે.
રેખા $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ ના દિશા ગુણોત્તર $(-2, d, -4)$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોય: $\frac{5a - ab}{-2} = \frac{-(b^2 + 5)}{d} = \frac{a + ab}{-4} = k$.
બિંદુ $(0, -\frac{1}{2}, 0)$ રેખા $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ પર હોવાથી,$\frac{0-1}{-2} = \frac{-1/2 + 4}{d} = \frac{0-c}{-4} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{7/2}{d} = \frac{-c}{-4}$ મળે.
$\frac{1}{2} = \frac{7}{2d}$ પરથી $d = 7$ મળે અને $\frac{1}{2} = \frac{c}{4}$ પરથી $c = 2$ મળે.
હવે,$\frac{5a - ab}{-2} = \frac{a + ab}{-4} \Rightarrow 2(5a - ab) = a + ab \Rightarrow 10a - 2ab = a + ab \Rightarrow 9a = 3ab \Rightarrow b = 3$.
વળી,$\frac{-(b^2 + 5)}{d} = \frac{a + ab}{-4} \Rightarrow \frac{-(9 + 5)}{7} = \frac{a + 3a}{-4} \Rightarrow -2 = \frac{4a}{-4} \Rightarrow -2 = -a \Rightarrow a = 2$.
આમ,$a+b+c+d = 2 + 3 + 2 + 7 = 14$.

(C) $L_1$ ની દિશા સદિશ $\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \langle 1, -1, 1 \rangle$ છે.
$L_2$ એ $L_1$ ને સમાંતર હોવાથી અને $P(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{1} = \lambda$ છે. તેથી,$L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda+2, -\lambda-1, \lambda+3)$ છે.
બિંદુ $Q$ માટે,તે સમતલ $M: 2x+y-2z=6$ પર આવેલું છે. કિંમત મૂકતા: $2(\lambda+2) + (-\lambda-1) - 2(\lambda+3) = 6 \Rightarrow 2\lambda+4-\lambda-1-2\lambda-6=6 \Rightarrow -\lambda-3=6 \Rightarrow \lambda=-9$.
તેથી,$Q = (-7, 8, -6)$.
$PQ = \sqrt{(-7-2)^2 + (8-(-1))^2 + (-6-3)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 9^2 + (-9)^2} = 9\sqrt{3}$. આમ,$(A)$ સાચું છે.
$R$ માટે,$P(2,-1,3)$ થી $M: 2x+y-2z-6=0$ પરના લંબનો લંબપાદ,રેખા $PR$ ની દિશા $\langle 2, 1, -2 \rangle$ છે. તેથી $R = (2\mu+2, \mu-1, -2\mu+3)$.
$M$ માં કિંમત મૂકતા: $2(2\mu+2) + (\mu-1) - 2(-2\mu+3) = 6 \Rightarrow 4\mu+4+\mu-1+4\mu-6=6 \Rightarrow 9\mu-3=6 \Rightarrow 9\mu=9 \Rightarrow \mu=1$.
તેથી,$R = (4, 0, 1)$.
$QR = \sqrt{(4-(-7))^2 + (0-8)^2 + (1-(-6))^2} = \sqrt{11^2 + (-8)^2 + 7^2} = \sqrt{234}$. આમ,$(B)$ ખોટું છે.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{QP} \times \vec{QR}|$. $\vec{QP} = \langle 9, -9, 9 \rangle$,$\vec{QR} = \langle 11, -8, 7 \rangle$.
$\vec{QP} \times \vec{QR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 9 & -9 & 9 \\ 11 & -8 & 7 \end{vmatrix} = 9\hat{i} + 36\hat{j} + 27\hat{k} = 9(\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$.
માનાંક $= 9\sqrt{26}$. ક્ષેત્રફળ $= \frac{9}{2}\sqrt{26} = \frac{3}{2}\sqrt{234}$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
$\vec{PQ} = \langle -9, 9, -9 \rangle$,$\vec{PR} = \langle 2, 1, -2 \rangle$. $\cos \theta = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{PR}|}{|PQ||PR|} = \frac{9}{9\sqrt{3} \cdot 3} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$. આમ,$(D)$ ખોટું છે.

(C) રેખા $PQ$ ની દિક્કોસાઇન સમાન અને ધન હોવાથી,ધારો કે તે $l, m, n$ છે. $l=m=n$ અને $l^2+m^2+n^2=1$ હોવાથી,$3l^2=1$,તેથી $l=m=n=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
રેખા $PQ$ ના દિક્ગુણોત્તર $1, 1, 1$ લઈ શકાય.
બિંદુ $P(2,-1,2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = k$ છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+2, k-1, k+2)$ છે.
આ બિંદુ $Q$ સમતલ $2x+y+z=9$ પર આવેલું હોવાથી,$2(k+2) + (k-1) + (k+2) = 9$.
$4k + 5 = 9$ $\Rightarrow 4k = 4$ $\Rightarrow k = 1$.
$k=1$ મૂકતા,$Q$ ના યામ $(3, 0, 3)$ મળે છે.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0-(-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ એકમ.

(B) $A(3, 4, 1)$ અને $B(5, 1, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1}$ છે.
આને $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = k$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k+3, -3k+4, 5k+1)$ છે.
રેખા $XZ$-સમતલને છેદે છે,તેથી $y$-યામ $0$ થાય.
માટે,$-3k+4 = 0$,જેનો અર્થ છે $k = \frac{4}{3}$.
$k = \frac{4}{3}$ કિંમત મૂકતા:
$x = 2(\frac{4}{3}) + 3 = \frac{17}{3}$.
$z = 5(\frac{4}{3}) + 1 = \frac{23}{3}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $\left(\frac{17}{3}, 0, \frac{23}{3}\right)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A = (5, -1, 4)$ અને $B = (4, -1, 3)$ છે.
રેખાખંડ દર્શાવતો સદિશ $\vec{AB} = (4-5)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (3-4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{k}$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
સમતલ $x+y+z=7$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાખંડ $AB$ અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે. રેખાખંડ અને સમતલના અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ એ $\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AB}| |\vec{n}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \phi = \frac{|(-1)(1) + (0)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
જેથી $\theta$ એ સમતલ સાથેનો ખૂણો હોવાથી,$\sin \theta = \cos \phi = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
તેથી $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$.
સમતલ પર રેખાખંડના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $|\vec{AB}| \cos \theta = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.

(A) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ અને $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ ના છેદથી બનતી રેખાના દિકગુણોત્તર તેમના અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) જેટલા હોય છે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ છે.
$(a, b, c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેથી,દિકગુણોત્તર $(-3, 5, 4)$ છે.
તેનું માન $\sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
દિકકોસાઇન $\left(\frac{-3}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}\right)$ અથવા $\left(\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{-5}{5\sqrt{2}}, \frac{-4}{5\sqrt{2}}\right)$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ ના છેદતી રેખાના દિકગુણોત્તરો તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)$ અને $\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમતલો $x - y + z - 5 = 0$ અને $x - 3y + 0z - 6 = 0$ છે.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -3, 0)$ છે.
દિકગુણોત્તરો $(l, m, n)$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix}$ દ્વારા મળે છે.
$= \hat{i}(0 - (-3)) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(-3 - (-1))$
$= \hat{i}(3) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-2)$
$= 3\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $3, 1, -2$ છે.

(A) રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = (1, 2, \lambda)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 2, 3)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$,એટલે કે $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (3)(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3 \sqrt{5 + \lambda^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{2}{3}$.

(C) રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી તેના દિશા કોસાઇન $(l, m, n)$ સમાન છે. ધારો કે $l = m = n = a$.
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,$3a^2 = 1$,તેથી $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (ધન દિશા કોસાઇન હોવાથી ધન કિંમત લેતા).
આમ,રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = k$
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+2, k-1, k+2)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુ $Q$ સમતલ $2x+y+z=9$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(k+2) + (k-1) + (k+2) = 9$
$2k + 4 + k - 1 + k + 2 = 9$
$4k + 5 = 9$
$4k = 4 \Rightarrow k = 1$
$k=1$ ને $Q$ ના યામોમાં મૂકતા,આપણને $Q(1+2, 1-1, 1+2) = Q(3, 0, 3)$ મળે છે.
રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ એ બિંદુ $P(2, -1, 2)$ અને $Q(3, 0, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2}$
$PQ = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

(A) આપેલ સમતલો $x+2y+3z-4=0$ અને $4x+3y+2z-1=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z-1) = 0$
$(1+4\lambda)x + (2+3\lambda)y + (3+2\lambda)z + (-4-\lambda) = 0 \quad \dots (1)$
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકીએ:
$(1+4\lambda)(0) + (2+3\lambda)(0) + (3+2\lambda)(0) + (-4-\lambda) = 0$
$-4-\lambda = 0 \implies \lambda = -4$
હવે $\lambda = -4$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(1+4(-4))x + (2+3(-4))y + (3+2(-4))z + (-4-(-4)) = 0$
$(1-16)x + (2-12)y + (3-8)z + 0 = 0$
$-15x - 10y - 5z = 0$
$-5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$3x + 2y + z = 0$
આ સમતલના અભિલંબના દિક્ગુણોત્તરો $x, y,$ અને $z$ ના સહગુણકો છે,જે $(3, 2, 1)$ છે.

(C) ધારો કે લંબપાદના યામ $Q(x, y, z)$ છે.
બિંદુ $P(-1, 1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $2x - 3y + z - 11 = 0$ ને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તર સમતલના અભિલંબ $(2, -3, 1)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 2}{1} = k$ છે.
તેથી,$x = 2k - 1$,$y = -3k + 1$,અને $z = k + 2$.
કારણ કે $Q$ એ સમતલ $2x - 3y + z - 11 = 0$ પર આવેલું છે,આપણે આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2k - 1) - 3(-3k + 1) + (k + 2) - 11 = 0$
$4k - 2 + 9k - 3 + k + 2 - 11 = 0$
$14k - 14 = 0$
$k = 1$.
$k = 1$ ની કિંમત $x, y, z$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 2(1) - 1 = 1$
$y = -3(1) + 1 = -2$
$z = 1 + 2 = 3$.
તેથી,લંબપાદના યામ $(1, -2, 3)$ છે.

(D) રેખા $\frac{x+1}{1}=\frac{y-k}{11}=\frac{z-4}{-5}$ એ સમતલ $2x+py+7z-41=0$ માં આવેલી છે.
કારણ કે આ રેખા સમતલ $x+4y-2z+13=0$ ને લંબ છે,તેથી સમતલ $2x+py+7z-41=0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (2, p, 7)$ એ સમતલ $x+4y-2z+13=0$ ના અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (1, 4, -2)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \implies (2)(1) + (p)(4) + (7)(-2) = 0$.
$2 + 4p - 14 = 0 \implies 4p = 12 \implies p = 3$.
સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y + 7z - 41 = 0$ બને છે.
રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,રેખા પરનું બિંદુ $(-1, k, 4)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$2(-1) + 3(k) + 7(4) - 41 = 0$.
$-2 + 3k + 28 - 41 = 0$.
$3k - 15 = 0 \implies 3k = 15 \implies k = 5$.

(D) બિંદુઓ $A(2, -3, 1)$ અને $B(3, -4, -5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{3 - 2} = \frac{y - (-3)}{-4 - (-3)} = \frac{z - 1}{-5 - 1} = k$ છે.
આને સરળ બનાવતા $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 1}{-6} = k$ મળે છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k + 2, -k - 3, -6k + 1)$ સ્વરૂપનું હોય.
આ બિંદુ સમતલ $2x + y + z = 7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(k + 2) + (-k - 3) + (-6k + 1) = 7$.
$2k + 4 - k - 3 - 6k + 1 = 7$.
$-5k + 2 = 7$.
$-5k = 5$,જે આપણને $k = -1$ આપે છે.
$k = -1$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = -1 + 2 = 1$.
$y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.
$z = -6(-1) + 1 = 6 + 1 = 7$.
આમ,છેદબિંદુ $(1, -2, 7)$ છે.

(B) રેખા બિંદુ $P(2, -1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
આપેલ બિંદુ $A(0, 5, 0)$ સમતલ પર આવેલું છે.
બિંદુ $A$ અને $P$ ને જોડતો સદિશ $\vec{AP} = (2-0)\hat{i} + (-1-5)\hat{j} + (4-0)\hat{k} = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{AP}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -6 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(8 - 12) - \hat{j}(12 - (-4)) + \hat{k}(-18 - 4) = -4\hat{i} - 16\hat{j} - 22\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n}' = 2\hat{i} + 8\hat{j} + 11\hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
બિંદુ $A(0, 5, 0)$ નો ઉપયોગ કરીને સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે:
$2(x-0) + 8(y-5) + 11(z-0) = 0$.
$2x + 8y - 40 + 11z = 0$.
$2x + 8y + 11z - 40 = 0$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2} = k$ આપેલ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k+2, -5k+1, 2k-2)$ છે.
કારણ કે રેખા સમતલ $x+3y-\alpha z+\beta=0$ માં આવેલી છે,તેથી રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
બિંદુને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(3k+2) + 3(-5k+1) - \alpha(2k-2) + \beta = 0$.
$3k + 2 - 15k + 3 - 2\alpha k + 2\alpha + \beta = 0$.
$k(3 - 15 - 2\alpha) + (5 + 2\alpha + \beta) = 0$.
આ સમીકરણ દરેક $k$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$3 - 15 - 2\alpha = 0 \implies -12 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = -6$.
$5 + 2\alpha + \beta = 0 \implies 5 + 2(-6) + \beta = 0 \implies 5 - 12 + \beta = 0 \implies \beta = 7$.
તેથી,$(\beta - \alpha) = 7 - (-6) = 7 + 6 = 13$.

(D) ધારો કે રેખાઓ $L_1: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2} = r$ અને $L_2: \frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2} = s, z=1$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (-3r-2, 4r+2, 2r+5)$ અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (-s-2, 2s-6, 1)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3r-s, 2s-4r-8, -2r-4)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (-3, 4, 2)$ અને $\vec{v_2} = (-1, 2, 0)$ છે.
ટૂંકા અંતરની રેખા $\vec{PQ}$ એ $\vec{v_1}$ અને $\vec{v_2}$ બંનેને લંબ છે.
$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = 0 \implies -29r + 11s = 40$ અને $\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = 0 \implies -11r + 5s = 16$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $r = -2$ અને $s = -1.2$ મળે છે.
ટૂંકા અંતરની રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-4}{-4} = \frac{y+6}{-2} = \frac{z-1}{-2}$ મળે છે.
$x=1$ માટે,$\alpha = -7.5$ અને $\beta = 0.5$ મળે છે,જેનો સરવાળો $-7$ થાય છે.

(A) રેખા બિંદુ $P(-1, -2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશાના ગુણોત્તર $\vec{b} = (2, 1, 3)$ છે.
આપેલ બિંદુ $Q(1, -1, 3)$ સમતલ પર આવેલું છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (1 - (-1), -1 - (-2), 3 - 2) = (2, 1, 1)$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{PQ}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{PQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-3) - \hat{j}(2-6) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -2, 0)$ લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $Q(1, -1, 3)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = (1, -2, 0)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$1(x - 1) - 2(y + 1) + 0(z - 3) = 0$
$x - 1 - 2y - 2 = 0$
$x - 2y - 3 = 0$.

(C) ધારો કે જરૂરી સમતલ $P_1$ છે. તે રેખા $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ ને સમાવે છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ એ $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ ને લંબ છે.
ધારો કે $P_2$ એ રેખાઓ $L_2: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1}$ અને $L_3: \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ ને સમાવતું સમતલ છે. $P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2}$ એ દિશા સદિશો $\vec{v_2} = (2, 3, 1)$ અને $\vec{v_3} = (3, 2, 1)$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n_2} = \vec{v_2} \times \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(2-3) + \hat{k}(4-9) = (1, 1, -5)$.
સમતલ $P_1$ એ $P_2$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\vec{n_1}$ એ $\vec{n_2}$ ને લંબ હોવો જોઈએ. તેથી,$\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{n_2}$:
$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10-3) - \hat{j}(-5-3) + \hat{k}(1-2) = (-13, 8, -1)$.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થતા અને $(-13, 8, -1)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલ $P_1$ નું સમીકરણ $-13x + 8y - z = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $13x - 8y + z = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, -\lambda-2, \lambda)$ છે.
$XY$ સમતલ માટે,$z=0$,તેથી $\lambda=0$. બિંદુ $A$ એ $(1, -2, 0)$ છે.
$YZ$ સમતલ માટે,$x=0$,તેથી $2\lambda+1=0 \implies \lambda=-\frac{1}{2}$. બિંદુ $B$ એ $(0, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ છે.
બિંદુઓ $A(1, -2, 0)$ અને $B(0, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\bar{r} = \vec{a} + t(\vec{b}-\vec{a})$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}$ અને $\vec{b}-\vec{a} = (0-1)\hat{i} + (-\frac{3}{2}-(-2))\hat{j} + (-\frac{1}{2}-0)\hat{k} = -\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$.
સમીકરણ $\bar{r} = (\hat{i}-2\hat{j}) + t(-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k})$ છે.
આને ક્રોસ પ્રોડક્ટ સ્વરૂપમાં $[\bar{r}-(\hat{i}-2\hat{j})] \times (-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}) = \overline{0}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{\alpha} = \hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખા બિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}$ છે અને તે સદિશ $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
બિંદુ $P$ નું રેખાથી અંતર $d = \frac{|(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{\alpha} - \vec{a} = (1-2)\hat{i} + (-2 - (-3))\hat{j} + (-6 - (-4))\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - (-6)) - \hat{j}(4 - (-12)) + \hat{k}(-3 - 6) = 2\hat{i} - 16\hat{j} - 9\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-16)^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 256 + 81} = \sqrt{341}$ છે.
સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$ છે.
તેથી,અંતર $d = \frac{\sqrt{341}}{\sqrt{61}} = \sqrt{\frac{341}{61}}$ એકમ થાય.