Line and Plane Questions in Gujarati

(C) રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી તેના દિશા કોસાઇન સમાન છે. ધારો કે દિશા કોસાઇન $(l, l, l)$ છે. $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ હોવાથી,$3l^2 = 1,$ એટલે કે $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (કારણ કે દિશા કોસાઇન ધન છે).
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(r+2, r-1, r+2)$ સ્વરૂપમાં છે.
$Q$ એ સમતલ $2x + y + z = 9$ પર હોવાથી,$Q$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \Rightarrow r = 1.$
આમ,બિંદુ $Q$ એ $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$

(B) ધારો કે સામાન્ય રેખાના દિકગુણોત્તરો $\ell, m, n$ છે.
રેખા સમતલ $x = 5$ પર આવેલી હોવાથી,તેનો દિક સદિશ અભિલંબ $(1, 0, 0)$ ને લંબ હોય. તેથી,$\ell = 0$.
રેખા અન્ય બે સમતલો પર પણ આવેલી હોવાથી,તેનો દિક સદિશ તેમના અભિલંબ $(2, -5a, 3)$ અને $(3b, 1, -3)$ ને લંબ હોય.
સમતલ $2x - 5ay + 3z - 2 = 0$ માટે,$2\ell - 5am + 3n = 0$. $\ell = 0$ હોવાથી,$-5am + 3n = 0$,એટલે કે $3n = 5am$.
સમતલ $3bx + y - 3z = 0$ માટે,$3b\ell + m - 3n = 0$. $\ell = 0$ હોવાથી,$m - 3n = 0$,એટલે કે $m = 3n$.
$m = 3n$ ને $3n = 5am$ માં મૂકતા,$3n = 5a(3n)$ મળે.
જો $n \neq 0$ હોય,તો $3 = 15a$,જેનો અર્થ $a = \frac{1}{5}$ થાય.
હવે,સામાન્ય રેખાએ સમતલોના સમીકરણોનું પણ પાલન કરવું જોઈએ. $x = 5$ હોવાથી,અન્ય બે સમીકરણો $-5ay + 3z = -8$ અને $y - 3z = -15b$ બને.
$a = \frac{1}{5}$ મૂકતા,પ્રથમ સમીકરણ $-y + 3z = -8$ એટલે કે $y - 3z = 8$ બને.
$y - 3z = 8$ અને $y - 3z = -15b$ ની સરખામણી કરતા,$-15b = 8$,તેથી $b = -\frac{8}{15}$.
આમ,$(a, b) = \left( \frac{1}{5}, -\frac{8}{15} \right)$.

(A) રેખા $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z + 2) = 0$ છે,જ્યાં અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $(-3, 2, 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$-3a + 2b + c = 0$ --- $(1)$
સમતલ બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$a(0 + 1) + b(7 - 3) + c(-7 + 2) = 0$
$a + 4b - 5c = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતથી ઉકેલતા:
$\frac{a}{2(-5) - 1(4)} = \frac{-b}{-3(-5) - 1(1)} = \frac{c}{-3(4) - 2(1)}$
$\frac{a}{-14} = \frac{-b}{14} = \frac{c}{-14}$
$-14$ વડે ભાગતા,આપણને $a = 1, b = 1, c = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x + 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0$
$x + y + z = 0$.

(C) ધારો કે માંગેલ રેખા $L$ એ બિંદુ $P(-4, 1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 4}{a} = \frac{y - 1}{b} = \frac{z - 3}{c}$ છે.
રેખા $L$ એ સમતલ $x + 2y - z - 5 = 0$ ને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ $(1, 2, -1)$ એ રેખા $L$ ને લંબ છે. તેથી,$a + 2b - c = 0$.
રેખા $L$ એ આપેલી રેખા $L_1: \frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{-1}$ ને છેદે છે. આ શરતો ઉકેલતા આપણને દિકગુણોત્તર $(3, -1, 1)$ મળે છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 4}{3} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 3}{1}$ છે.

(B) સમતલો $P_1: x + y + z - 1 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y + z - 4 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y + z - 4) = 0$
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + \lambda)z - (1 + 4\lambda) = 0$.
સમતલ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$y$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
સમીકરણમાં $\lambda = -\frac{1}{3}$ મૂકતા:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 - \frac{1}{3})z - (1 + 4(-\frac{1}{3})) = 0$
$\frac{1}{3}x + 0y + \frac{2}{3}z + \frac{1}{3} = 0$
$x + 2z + 1 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(-3, 1, 1)$ માટે: $(-3) + 2(1) + 1 = 0$. તેથી,સમતલ $(-3, 1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખા $L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બીજા સમતલમાં રહેલી બે રેખાઓ $L_2$ અને $L_3$ ના દિશા સદિશો $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_3} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
બીજા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \vec{v_2} \times \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ છે.
આપણને જોઈતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v_1}$ અને $\vec{n_2}$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$ મળે.
અભિલંબ સદિશ $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ લેતા,ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ એટલે કે $x - 2y + z = 0$ થાય.

(A) રેખા પરના બિંદુ $A$ ના યામ $(1 - 3\mu, \mu - 1, 2 + 5\mu)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (1 - 3\mu))\hat{i} + (2 - (\mu - 1))\hat{j} + (6 - (2 + 5\mu))\hat{k}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{AB} = (2 + 3\mu)\hat{i} + (3 - \mu)\hat{j} + (4 - 5\mu)\hat{k}$.
સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ ને સમાંતર હોય તો અને તો જ $\overrightarrow{AB}$ અને સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -4, 3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$(2 + 3\mu)(1) + (3 - \mu)(-4) + (4 - 5\mu)(3) = 0$.
$2 + 3\mu - 12 + 4\mu + 12 - 15\mu = 0$.
$(3 + 4 - 15)\mu + (2 - 12 + 12) = 0$.
$-8\mu + 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2k + 3, -k - 2, 3k + 1)$ છે.
સમતલ $P_1$ એ $2x + 3y - z = 5$ છે. $P_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ છે.
રેખા $L$ ની દિશા $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સમતલ $P_2$ એ રેખા $L$ અને $P_1$ પર તેની પ્રક્ષિપ્ત રેખાને સમાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે $P_2$ રેખા $L$ ને સમાવે છે અને $P_1$ ને લંબ છે.
જરૂરી સમતલ $P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2}$ એ રેખાની દિશા $\vec{v}$ અને સમતલ $P_1$ ના અભિલંબ $(\vec{n_1})$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
$\vec{n_2} = \vec{v} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 9) - \hat{j}(-2 - 6) + \hat{k}(6 + 2) = -8\hat{i} + 8\hat{j} + 8\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ લઈ શકીએ છીએ.
આ સમતલ રેખા પરના બિંદુ $(3, -2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. સમતલનું સમીકરણ $1(x - 3) - 1(y + 2) - 1(z - 1) = 0$ છે.
$x - 3 - y - 2 - z + 1 = 0 \Rightarrow x - y - z = 4$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A: 2 - 2 - 0 = 0 \neq 4$
$B: -2 - 2 - 2 = -6 \neq 4$
$C: 0 - (-2) - 2 = 0 \neq 4$
$D: 2 - 0 - (-2) = 4$. આમ,બિંદુ $(2, 0, -2)$ સમતલ પર આવેલું છે.

(B) બે રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\left| \begin{array}{ccc} x+2 & y-2 & z+5 \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{array} \right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+2)(35-28) - (y-2)(21-7) + (z+5)(12-5) = 0$
$7(x+2) - 14(y-2) + 7(z+5) = 0$
$7$ વડે ભાગતા:
$(x+2) - 2(y-2) + (z+5) = 0$
$x - 2y + z + 2 + 4 + 5 = 0$
$x - 2y + z + 11 = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=1, B=-2, C=1, D=11$.
$d = \frac{|11|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{11}{\sqrt{1+4+1}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$.

(A) રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - k\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટેનું સૂત્ર $\sin \alpha = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-k)^2} = \sqrt{5 + k^2}$.
$\vec{b} \cdot \vec{n} = 2 - 2 + 2k = 2k$.
તેથી,$\sin \alpha = \frac{|2k|}{3\sqrt{5 + k^2}}$.
આપેલ છે કે $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$,તેથી $\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{|2k|}{3\sqrt{5 + k^2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{|2k|}{\sqrt{5 + k^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4k^2 = 5 + k^2 \Rightarrow 3k^2 = 5 \Rightarrow k^2 = \frac{5}{3}$.
આમ,$k = \sqrt{\frac{5}{3}}$.

(D) સમતલો $P_1: 2x - y - 4 = 0$ અને $P_2: y + 2z - 4 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલના સમૂહનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$
આ સમતલ બિંદુ $(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે $x = 1, y = 1, z = 0$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2(1) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(2 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-3 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = -1$
$\lambda = -1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2x - y - 4) - 1(y + 2z - 4) = 0$
$2x - y - 4 - y - 2z + 4 = 0$
$2x - 2y - 2z = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x - y - z = 0$ મળે છે.

(C) સમતલો $P_1: x + y + z - 1 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y + 4z - 5 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y + 4z - 5) = 0$
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + 4\lambda)z - (1 + 5\lambda) = 0$.
આ સમતલ $x - y + z = 0$ ને લંબ છે. બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ લંબ હોવાની શરત $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ છે.
તેથી,$(1 + 2\lambda)(1) + (1 + 3\lambda)(-1) + (1 + 4\lambda)(1) = 0$.
$1 + 2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$.
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 + 4(-\frac{1}{3}))z - (1 + 5(-\frac{1}{3})) = 0$.
$\frac{1}{3}x + 0y - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $x - z + 2 = 0$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$ છે.

(C) આપેલ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1 + 2\lambda, -1 + 3\lambda, 2 + 4\lambda)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $\lambda \in \mathbb{R}$.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $x + 2y + 3z = 15$ માં મૂકતા:
$(1 + 2\lambda) + 2(-1 + 3\lambda) + 3(2 + 4\lambda) = 15$
$1 + 2\lambda - 2 + 6\lambda + 6 + 12\lambda = 15$
$20\lambda + 5 = 15$
$20\lambda = 10$
$\lambda = \frac{1}{2}$
$\lambda = \frac{1}{2}$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$P = (1 + 2(\frac{1}{2}), -1 + 3(\frac{1}{2}), 2 + 4(\frac{1}{2})) = (2, \frac{1}{2}, 4)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $P(2, \frac{1}{2}, 4)$ નું અંતર $\sqrt{2^2 + (\frac{1}{2})^2 + 4^2}$ થાય.
$= \sqrt{4 + \frac{1}{4} + 16} = \sqrt{20 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$.

(D) સમતલો $P_1: x + y + z - 6 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y + z + 5 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + y + z - 6) + \lambda(2x + 3y + z + 5) = 0$
$x(1 + 2\lambda) + y(1 + 3\lambda) + z(1 + \lambda) + (-6 + 5\lambda) = 0$.
સમતલ $P$ એ $xy$-સમતલને લંબ હોવાથી (જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{k} = (0, 0, 1)$ છે),સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 + 3\lambda, 1 + \lambda)$ એ $\vec{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{n} \cdot \vec{k} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $1 + \lambda = 0$,એટલે કે $\lambda = -1$.
સમીકરણમાં $\lambda = -1$ મુકતા:
$x(1 - 2) + y(1 - 3) + z(1 - 1) + (-6 - 5) = 0$
$-x - 2y - 11 = 0$,અથવા $x + 2y + 11 = 0$.
બિંદુ $(0, 0, 256)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|1(0) + 2(0) + 0(256) + 11|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2}} = \frac{11}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{11}{\sqrt{5}}$.

(A) ધારો કે $P$ એ $(x_1, y_1, z_1)$ છે. $Q(0, -1, -3)$ એ સમતલ $3x - y + 4z - 2 = 0$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,રેખા $PQ$ સમતલને લંબ છે.
સમતલના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર $(3, -1, 4)$ છે.
રેખા $PQ$ એ $Q(0, -1, -3)$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x-0}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z+3}{4} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k, -k-1, 4k-3)$ છે. $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ સમતલ પર આવેલું છે.
$M = (\frac{3k}{2}, \frac{-k-2}{2}, \frac{4k-6}{2})$. સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3(\frac{3k}{2}) - (\frac{-k-2}{2}) + 4(\frac{4k-6}{2}) = 2$.
$9k + k + 2 + 16k - 24 = 4 \implies 26k = 26 \implies k = 1$.
આમ,$M = (1.5, -1, 1)$. સદિશ $\vec{QP} = 2\vec{QM} = 2(1.5, 0, 4) = (3, 0, 8)$.
$P = Q + (3, 0, 8) = (3, -1, 5)$.
હવે,$\vec{QR} = (3-0, -1-(-1), -2-(-3)) = (3, 0, 1)$ અને $\vec{QP} = (3, 0, 8)$.
$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{QP} \times \vec{QR}|$.
$\vec{QP} \times \vec{QR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 21\hat{j}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |21\hat{j}| = 10.5$.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1} = \lambda$ પરનું બિંદુ $P$ એ $(2\lambda + 1, -\lambda - 1, \lambda)$ છે.
લંબપાદ $Q$ એ બંને સમતલો $x + y + z = 3$ અને $x - y + z = 3$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ બંને સમતલોના છેદબિંદુ શોધી શકીએ છીએ.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x + y + z) + (x - y + z) = 3 + 3 \Rightarrow 2x + 2z = 6 \Rightarrow x + z = 3$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x + y + z) - (x - y + z) = 3 - 3 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$.
$Q$ એ બંને સમતલોની છેદરેખા પર હોવાથી,તેના યામ $y = 0$ અને $z = 3 - x$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,$Q$ ના યામ $(x, 0, 3 - x)$ સ્વરૂપમાં છે.
$PQ$ એ સમતલ $x + y + z = 3$ ને લંબ હોવાથી,સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{PQ} = (x - (2\lambda + 1), 0 - (-\lambda - 1), 3 - x - \lambda) = (x - 2\lambda - 1, \lambda + 1, 3 - x - \lambda)$.
$\vec{PQ} = k(1, 1, 1)$ હોવાથી,$x - 2\lambda - 1 = \lambda + 1 = 3 - x - \lambda$.
$\lambda + 1 = 3 - x - \lambda$ પરથી,$2\lambda + x = 2$.
$x - 2\lambda - 1 = \lambda + 1$ પરથી,$x - 3\lambda = 2$.
$2\lambda + x = 2$ અને $x - 3\lambda = 2$ ને ઉકેલતા,બાદબાકી કરતા: $5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ ને $x - 3\lambda = 2$ માં મૂકતા,$x = 2$ મળે છે.
તેથી,$Q$ ના યામ $(2, 0, 3 - 2) = (2, 0, 1)$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}=\lambda$ છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $x=3\lambda+2, y=2\lambda-1, z=-\lambda+1$ દ્વારા મળે છે.
સમતલ $2x+3y-z+13=0$ સાથેના છેદબિંદુ માટે:
$2(3\lambda+2)+3(2\lambda-1)-(-\lambda+1)+13=0$
$6\lambda+4+6\lambda-3+\lambda-1+13=0$
$13\lambda+13=0 \implies \lambda=-1$.
$\lambda=-1$ મૂકતા,આપણને $P(-1, -3, 2)$ મળે છે.
સમતલ $3x+y+4z=16$ સાથેના છેદબિંદુ માટે:
$3(3\lambda+2)+(2\lambda-1)+4(-\lambda+1)=16$
$9\lambda+6+2\lambda-1-4\lambda+4=16$
$7\lambda+9=16 \implies 7\lambda=7 \implies \lambda=1$.
$\lambda=1$ મૂકતા,આપણને $Q(5, 1, 0)$ મળે છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - (-3))^2 + (0 - 2)^2}$.
$PQ = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.

(A) બે સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\vec{n}_1 + \lambda \vec{n}_2) = d_1 + \lambda d_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલો $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ અને $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=-5$ છે.
તેથી,જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot [(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})] = 6 - 5\lambda$ થશે.
આને $\vec{r} \cdot [(1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}] = 6 - 5\lambda$ તરીકે લખી શકાય.
સમતલ બિંદુ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $\vec{r} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(1) + (1+4\lambda)(1) = 6 - 5\lambda.$
$1 + 2\lambda + 1 + 3\lambda + 1 + 4\lambda = 6 - 5\lambda.$
$3 + 9\lambda = 6 - 5\lambda.$
$14\lambda = 3 \implies \lambda = \frac{3}{14}.$
$\lambda = \frac{3}{14}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} \cdot [(1 + 2(\frac{3}{14}))\hat{i} + (1 + 3(\frac{3}{14}))\hat{j} + (1 + 4(\frac{3}{14}))\hat{k}] = 6 - 5(\frac{3}{14}).$
$\vec{r} \cdot [\frac{10}{7}\hat{i} + \frac{23}{14}\hat{j} + \frac{13}{7}\hat{k}] = \frac{84 - 15}{14}.$
$\vec{r} \cdot [\frac{10}{7}\hat{i} + \frac{23}{14}\hat{j} + \frac{13}{7}\hat{k}] = \frac{69}{14}.$
$14$ વડે ગુણતા,આપણને $\vec{r} \cdot (20\hat{i} + 23\hat{j} + 26\hat{k}) = 69$ મળે છે.

(N/A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણો પરથી:
$(x_1, y_1, z_1) = (-3, 1, 5)$ અને $(a_1, b_1, c_1) = (-3, 1, 5)$.
$(x_2, y_2, z_2) = (-1, 2, 5)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (-1, 2, 5)$.
હવે,નિશ્ચાયકની ગણતરી કરીએ:
$\begin{vmatrix} -1-(-3) & 2-1 & 5-5 \\ -3 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$= 2(1 \times 5 - 5 \times 2) - 1(-3 \times 5 - 5 \times -1) + 0(-3 \times 2 - 1 \times -1)$
$= 2(5 - 10) - 1(-15 + 5) + 0$
$= 2(-5) - 1(-10) = -10 + 10 = 0$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ હોવાથી,રેખાઓ સમતલીય છે.

(A) રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 10\hat{i} + 2\hat{j} - 11\hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\sin \phi = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40$.
હવે,માન શોધો: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{n}| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
તેથી,$\sin \phi = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
આમ,$\phi = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(A) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = 7$ અને $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 9$ છે.
આ બે સમતલોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$[\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) - 7] + \lambda [\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) - 9] = 0$,જ્યાં $\lambda \in \mathbb{R}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\vec{r} \cdot [(2 + 2\lambda)\hat{i} + (2 + 5\lambda)\hat{j} + (-3 + 3\lambda)\hat{k}] = 7 + 9\lambda$ ... $(1)$
સમતલ બિંદુ $(2,1,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot [(2 + 2\lambda)\hat{i} + (2 + 5\lambda)\hat{j} + (3\lambda - 3)\hat{k}] = 7 + 9\lambda$
અદિશ ગુણાકાર કરતા:
$2(2 + 2\lambda) + 1(2 + 5\lambda) + 3(3\lambda - 3) = 7 + 9\lambda$
$4 + 4\lambda + 2 + 5\lambda + 9\lambda - 9 = 7 + 9\lambda$
$18\lambda - 3 = 7 + 9\lambda$
$9\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = \frac{10}{9}$.
$\lambda = \frac{10}{9}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\vec{r} \cdot [(\frac{38}{9})\hat{i} + (\frac{68}{9})\hat{j} + (\frac{3}{9})\hat{k}] = 17$
બંને બાજુ $9$ વડે ગુણતા:
$\vec{r} \cdot (38\hat{i} + 68\hat{j} + 3\hat{k}) = 153$.

(A) સમતલો $x+y+z-1=0$ અને $2x+3y+4z-5=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ:
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y+4z-5) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1+4\lambda)z - (1+5\lambda) = 0$ ... $(1)$
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ છે.
આ સમતલ,સમતલ $x-y+z=0$ ને લંબ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = 1\hat{i} - 1\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
બે સમતલો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$:
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(-1) + (1+4\lambda)(1) = 0$
$1+2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$
$3\lambda + 1 = 0$
$\lambda = -\frac{1}{3}$
$\lambda = -\frac{1}{3}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(1+2(-\frac{1}{3}))x + (1+3(-\frac{1}{3}))y + (1+4(-\frac{1}{3}))z - (1+5(-\frac{1}{3})) = 0$
$(\frac{1}{3})x + (0)y + (-\frac{1}{3})z - (-\frac{2}{3}) = 0$
$\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $x-z+2=0$ મળે છે.

(C) બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
અહીં આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, -5)$ છે અને સમતલનું સમીકરણ $x + 2y - 2z - 9 = 0$ છે,તેથી $A = 1, B = 2, C = -2, D = -9$ મળે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \left| \frac{1(2) + 2(3) - 2(-5) - 9}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{2 + 6 + 10 - 9}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \right|$
$d = \left| \frac{9}{\sqrt{9}} \right|$
$d = \frac{9}{3} = 3$
આમ,અંતર $3$ એકમ છે.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
આપેલ રેખાઓ માટે,આપણી પાસે છે:
$(x_1, y_1, z_1) = (a-d, a, a+d)$ અને $(a_1, b_1, c_1) = (\alpha-\delta, \alpha, \alpha+\delta)$.
$(x_2, y_2, z_2) = (b-c, b, b+c)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (\beta-\gamma, \beta, \beta+\gamma)$.
હવે,નિશ્ચાયક ધ્યાનમાં લો:
$\Delta = \begin{vmatrix} b-c-a+d & b-a & b+c-a-d \\ \alpha-\delta & \alpha & \alpha+\delta \\ \beta-\gamma & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix}$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} (b-c-a+d) + (b+c-a-d) & b-a & b+c-a-d \\ (\alpha-\delta) + (\alpha+\delta) & \alpha & \alpha+\delta \\ (\beta-\gamma) + (\beta+\gamma) & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2(b-a) & b-a & b+c-a-d \\ 2\alpha & \alpha & \alpha+\delta \\ 2\beta & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 2 \begin{vmatrix} b-a & b-a & b+c-a-d \\ \alpha & \alpha & \alpha+\delta \\ \beta & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix}$.
પ્રથમ અને બીજો સ્તંભ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
આમ,આપેલી રેખાઓ સમતલીય છે.

(A) બિંદુ $(1, 2, 3)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}) + 9 = 0$ આપેલ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
સમતલને લંબ રેખાની દિશા એ સમતલના અભિલંબ સદિશની દિશામાં જ હોય છે. તેથી,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{l} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})$ મળે છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(3, -4, -5)$ અને $(2, -3, 1)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-3}{2-3} = \frac{y+4}{-3+4} = \frac{z+5}{1+5}$
$\Rightarrow \frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = k$ (ધારો કે).
$x, y, z$ ને $k$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$x = 3 - k, y = k - 4, z = 6k - 5$.
આ બિંદુ સમતલ $2x + y + z = 7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(3 - k) + (k - 4) + (6k - 5) = 7$
$6 - 2k + k - 4 + 6k - 5 = 7$
$5k - 3 = 7$
$5k = 10 \Rightarrow k = 2$.
$k = 2$ ને યામમાં મૂકતા:
$x = 3 - 2 = 1$
$y = 2 - 4 = -2$
$z = 6(2) - 5 = 7$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(1, -2, 7)$ છે.

(A) સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} + d = 0$ થી બિંદુ $\vec{a}$ નું લંબ અંતર $D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} + d|}{|\vec{n}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમતલ $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 12 \hat{k}) + 13 = 0$ માટે,$\vec{n} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 12 \hat{k}$ અને $d = 13$ છે.
$|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
બિંદુ $(1, 1, p)$ થી સમતલનું અંતર $D_1$ લઈએ:
$D_1 = \frac{|(1)(3) + (1)(4) + (p)(-12) + 13|}{13} = \frac{|3 + 4 - 12p + 13|}{13} = \frac{|20 - 12p|}{13}$.
બિંદુ $(-3, 0, 1)$ થી સમતલનું અંતર $D_2$ લઈએ:
$D_2 = \frac{|(-3)(3) + (0)(4) + (1)(-12) + 13|}{13} = \frac{|-9 + 0 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.
બિંદુઓ સમાન અંતરે હોવાથી,$D_1 = D_2$:
$\frac{|20 - 12p|}{13} = \frac{8}{13} \implies |20 - 12p| = 8$.
કિસ્સો $1$: $20 - 12p = 8 \implies 12p = 12 \implies p = 1$.
કિસ્સો $2$: $20 - 12p = -8 \implies 12p = 28 \implies p = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
આમ,$p$ ની કિંમતો $1$ અને $\frac{7}{3}$ છે.

(A) આપેલા સમતલો $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1=0$ અને $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4=0$ છે.
આ સમતલોની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ:
$[\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1] + \lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4] = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$\vec{r} \cdot[(1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}] + (4\lambda-1) = 0$ ..........$(1)$
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}$ છે.
સમતલ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ $x$-અક્ષને લંબ હોય. $x$-અક્ષની દિશા $\hat{i} = (1, 0, 0)$ છે.
તેથી,$\vec{n} \cdot \hat{i} = 0$:
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\vec{r} \cdot[0\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{3}{2}\hat{k}] - 3 = 0$
$-2$ વડે ગુણતા:
$\vec{r} \cdot[\hat{j} - 3\hat{k}] + 6 = 0$.
કારતેઝીય સ્વરૂપમાં,જ્યાં $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,આ સમીકરણ $y - 3z + 6 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ સમતલોના સમીકરણો છે:
$\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})-4=0$ $(1)$
$\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+5=0$ $(2)$
સમતલ $(1)$ અને $(2)$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ:
$[\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})-4] + \lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+5] = 0$
$\vec{r} \cdot[(1+2\lambda) \hat{i} + (2+\lambda) \hat{j} + (3-\lambda) \hat{k}] + (5\lambda-4) = 0$ $(3)$
આ સમતલ,સમતલ $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})+8=0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(1+2\lambda) + 3(2+\lambda) - 6(3-\lambda) = 0$
$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda - 18 + 6\lambda = 0$
$19\lambda - 7 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{19}$
$\lambda = \frac{7}{19}$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મુકતા:
$\vec{r} \cdot[(1 + \frac{14}{19}) \hat{i} + (2 + \frac{7}{19}) \hat{j} + (3 - \frac{7}{19}) \hat{k}] + (5(\frac{7}{19}) - 4) = 0$
$\vec{r} \cdot[\frac{33}{19} \hat{i} + \frac{45}{19} \hat{j} + \frac{50}{19} \hat{k}] + (\frac{35-76}{19}) = 0$
$\vec{r} \cdot(33 \hat{i} + 45 \hat{j} + 50 \hat{k}) - 41 = 0$

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})$ છે .........$(1)$
આપેલ સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ છે .........$(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $\vec{r}$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$[(3 \lambda+2) \hat{i}+(4 \lambda-1) \hat{j}+(2 \lambda+2) \hat{k}] \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$
$(3 \lambda+2)-(4 \lambda-1)+(2 \lambda+2)=5$
$3 \lambda+2-4 \lambda+1+2 \lambda+2=5$
$\lambda+5=5$
$\lambda=0$
$\lambda=0$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,છેદબિંદુ $(2, -1, 2)$ મળે છે.
બિંદુઓ $(2, -1, 2)$ અને $(-1, -5, -10)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે:
$d=\sqrt{(-1-2)^{2}+(-5-(-1))^{2}+(-10-2)^{2}}$
$d=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}+(-12)^{2}}$
$d=\sqrt{9+16+144}$
$d=\sqrt{169}$
$d=13$

(A) ધારો કે જરૂરી રેખા સદિશ $\vec{b} = b_{1}\hat{i} + b_{2}\hat{j} + b_{3}\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
બિંદુ $(1, 2, 3)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ છે.
રેખા આપેલા સમતલોને સમાંતર હોવાથી,સદિશ $\vec{b}$ બંને સમતલોના અભિલંબને લંબ હોવો જોઈએ.
અભિલંબ $\vec{n}_{1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n}_{2} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{b} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ની કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})$ મળે છે.

(A) સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ ધરાવતા બિંદુનું સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ થી અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $\text{અંતર} = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{|\vec{n}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{n} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$,અને $d = 9$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(4) = 2 - 2 - 4 = -4$ શોધો.
ત્યારબાદ,અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$ શોધો.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{અંતર} = \frac{|-4 - 9|}{\sqrt{21}} = \frac{|-13|}{\sqrt{21}} = \frac{13}{\sqrt{21}}$.

(A) બિંદુઓ $A(2, 2, 1)$,$B(3, 0, 1)$ અને $C(4, -1, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-2 & z-1 \\ 3-2 & 0-2 & 1-1 \\ 4-2 & -1-2 & 0-1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-2 & y-2 & z-1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$(x-2)(2-0) - (y-2)(-1-0) + (z-1)(-3+4) = 0$
$2(x-2) + 1(y-2) + 1(z-1) = 0$
$2x - 4 + y - 2 + z - 1 = 0$
$2x + y + z - 7 = 0 \ldots(1)$
$(3, -4, -5)$ અને $(2, -3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-3}{2-3} = \frac{y+4}{-3+4} = \frac{z+5}{1+5} = \lambda$
$\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = \lambda$
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z) = (-\lambda+3, \lambda-4, 6\lambda-5)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $(1)$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(-\lambda+3) + (\lambda-4) + (6\lambda-5) - 7 = 0$
$-2\lambda + 6 + \lambda - 4 + 6\lambda - 5 - 7 = 0$
$5\lambda - 10 = 0 \implies 5\lambda = 10 \implies \lambda = 2$
$\lambda = 2$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = -2+3 = 1$
$y = 2-4 = -2$
$z = 6(2)-5 = 7$
આમ,માંગેલ બિંદુ $(1, -2, 7)$ છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (2 + 3\lambda)\hat{i} + (-1 + 4\lambda)\hat{j} + (2 + 2\lambda)\hat{k}$ છે.
આને સમતલના સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 5$ માં મૂકતા:
$((2 + 3\lambda)\hat{i} + (-1 + 4\lambda)\hat{j} + (2 + 2\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 5$
$(2 + 3\lambda) - (-1 + 4\lambda) + (2 + 2\lambda) = 5$
$2 + 3\lambda + 1 - 4\lambda + 2 + 2\lambda = 5$
$5 + \lambda = 5 \implies \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,છેદબિંદુ $(2, -1, 2)$ મળે છે.
બિંદુ $(2, -1, 2)$ અને $(-1, -5, -10)$ વચ્ચેનું અંતર:
$d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2 + (-10 - 2)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(N/A) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ છે અને $Q$ એ સમતલ $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+3=0$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ છે.
તેથી $PQ$ એ સમતલને લંબ છે. કારણ કે $PQ$ એ $P$ માંથી પસાર થાય છે અને આપેલ સમતલને લંબ છે,તેથી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\vec{r}=(\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $Q$ એ રેખા $PQ$ પર આવેલું છે,$Q$ નો સ્થાન સદિશ $(1+2 \lambda) \hat{i}+(3-\lambda) \hat{j}+(4+\lambda) \hat{k}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $R$ એ રેખા $PQ$ અને સમતલનું છેદબિંદુ છે. $R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$R$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{[(1+2 \lambda) \hat{i}+(3-\lambda) \hat{j}+(4+\lambda) \hat{k}]+[\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}]}{2} = (1+\lambda) \hat{i} + (3-\frac{\lambda}{2}) \hat{j} + (4+\frac{\lambda}{2}) \hat{k}$ છે.
$R$ એ સમતલ $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+3=0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$[(1+\lambda) \hat{i} + (3-\frac{\lambda}{2}) \hat{j} + (4+\frac{\lambda}{2}) \hat{k}] \cdot (2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + 3 = 0$
$2(1+\lambda) - (3-\frac{\lambda}{2}) + (4+\frac{\lambda}{2}) + 3 = 0$
$2+2\lambda - 3 + \frac{\lambda}{2} + 4 + \frac{\lambda}{2} + 3 = 0$
$3\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$Q$ માટેના સમીકરણમાં $\lambda = -2$ મૂકતા:
$Q = (1+2(-2)) \hat{i} + (3-(-2)) \hat{j} + (4+(-2)) \hat{k}$
$Q = -3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 2 \hat{k}$.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ છે ... $(i)$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બિંદુ $P\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3/2}{-2} = \frac{z-2}{4} = \lambda$ છે.
આમ,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $x = 2\lambda + 1$,$y = -2\lambda + \frac{3}{2}$,અને $z = 4\lambda + 2$ સ્વરૂપમાં મળે.
જો આ બિંદુ સમતલ પર હોય,તો તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે:
$2(2\lambda + 1) - 2(-2\lambda + \frac{3}{2}) + 4(4\lambda + 2) + 5 = 0$
$4\lambda + 2 + 4\lambda - 3 + 16\lambda + 8 + 5 = 0$
$24\lambda + 12 = 0 \Rightarrow 24\lambda = -12 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ મુકતા,લંબપાદ $\left(2(-\frac{1}{2}) + 1, -2(-\frac{1}{2}) + \frac{3}{2}, 4(-\frac{1}{2}) + 2\right) = \left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$ મળે.
લંબની લંબાઈ એ $\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ અને $\left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$d = \sqrt{(1-0)^2 + (\frac{3}{2} - \frac{5}{2})^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ એકમ.

(A) બે સમતલોના સમીકરણો $x+2y=0$ અને $3y-z=0$ છે.
ધારો કે $\vec{n}_{1}$ અને $\vec{n}_{2}$ એ બે સમતલોના અભિલંબ છે.
$\vec{n}_{1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{n}_{2} = 0\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
કારણ કે જરૂરી રેખા બંને સમતલોને સમાંતર છે,તે તેમના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2}$ ને સમાંતર હોવી જોઈએ.
$\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(-1 - 0) + \hat{k}(3 - 0) = -2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
રેખા $(3, 0, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
રેખાનું સમીકરણ સંમિત સ્વરૂપમાં $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
બિંદુ $(3, 0, 1)$ અને દિશા સદિશ $(-2, 1, 3)$ મૂકતા,આપણને $\frac{x-3}{-2} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{3}$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x - 2) + b(y - 1) + c(z + 1) = 0$ છે ... $(i)$
તે $(-1, 3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(-1 - 2) + b(3 - 1) + c(4 + 1) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-3a + 2b + 5c = 0$ થાય છે ... $(ii)$
સમતલ $(i)$ એ $x - 2y + 4z = 10$ ને લંબ છે,તેથી અભિલંબ સદિશો લંબ છે: $1(a) - 2(b) + 4(c) = 0$,જે $a - 2b + 4c = 0$ આપે છે ... $(iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{a}{(2)(4) - (5)(-2)} = \frac{-b}{(-3)(4) - (5)(1)} = \frac{c}{(-3)(-2) - (2)(1)}$
$\frac{a}{8 + 10} = \frac{-b}{-12 - 5} = \frac{c}{6 - 2}$
$\frac{a}{18} = \frac{b}{17} = \frac{c}{4} = k$
આમ,$a = 18k, b = 17k, c = 4k$.
આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા: $18k(x - 2) + 17k(y - 1) + 4k(z + 1) = 0$
$18x - 36 + 17y - 17 + 4z + 4 = 0$
$18x + 17y + 4z - 49 = 0$
તેથી,સમીકરણ $18x + 17y + 4z = 49$ છે.

(A) $x + 2y + 3z - 4 = 0$ અને $2x + y - z + 5 = 0$ સમતલોની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(x + 2y + 3z - 4) + \lambda(2x + y - z + 5) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $x(1 + 2\lambda) + y(2 + \lambda) + z(3 - \lambda) + (5\lambda - 4) = 0 \quad \dots(i)$
આ સમતલ $5x + 3y + 6z + 8 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય $(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0)$:
$5(1 + 2\lambda) + 3(2 + \lambda) + 6(3 - \lambda) = 0$
$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda + 18 - 6\lambda = 0$
$7\lambda + 29 = 0 \implies \lambda = -\frac{29}{7}$
$\lambda = -\frac{29}{7}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x(1 + 2(-\frac{29}{7})) + y(2 - \frac{29}{7}) + z(3 + \frac{29}{7}) + (5(-\frac{29}{7}) - 4) = 0$
$x(\frac{7 - 58}{7}) + y(\frac{14 - 29}{7}) + z(\frac{21 + 29}{7}) + (\frac{-145 - 28}{7}) = 0$
$-\frac{51}{7}x - \frac{15}{7}y + \frac{50}{7}z - \frac{173}{7} = 0$
$-7$ વડે ગુણતા,આપણને જરૂરી સમીકરણ મળે છે: $51x + 15y - 50z + 173 = 0$.

(A) બે સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{n}_{1} = d_{1}$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n}_{2} = d_{2}$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\vec{n}_{1} + \lambda \vec{n}_{2}) = d_{1} + \lambda d_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા સમતલો $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j}) = 6$ અને $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}) = 0$ છે.
તેથી,જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot [(\hat{i} + 3\hat{j}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k})] = 6 + \lambda(0)$ છે.
$\Rightarrow \vec{r} \cdot [(1 + 3\lambda)\hat{i} + (3 - \lambda)\hat{j} - 4\lambda\hat{k}] = 6$.
ઉગમબિંદુથી સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ નું લંબ અંતર $\frac{|d|}{|\vec{n}|}$ છે.
અહીં,$\frac{|6|}{\sqrt{(1 + 3\lambda)^{2} + (3 - \lambda)^{2} + (-4\lambda)^{2}}} = 1$.
$\Rightarrow 36 = (1 + 9\lambda^{2} + 6\lambda) + (9 + \lambda^{2} - 6\lambda) + 16\lambda^{2}$.
$\Rightarrow 36 = 26\lambda^{2} + 10$.
$\Rightarrow 26\lambda^{2} = 26 \Rightarrow \lambda^{2} = 1 \Rightarrow \lambda = \pm 1$.
$\lambda = 1$ માટે,સમીકરણ $\vec{r} \cdot (4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) = 6 \Rightarrow 4x + 2y - 4z = 6 \Rightarrow 2x + y - 2z = 3$ છે.
$\lambda = -1$ માટે,સમીકરણ $\vec{r} \cdot (-2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}) = 6 \Rightarrow -2x + 4y + 4z = 6 \Rightarrow -x + 2y + 2z = 3$ છે.

(N/A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}$ છે. સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k})+9=0$ છે.
બિંદુ $\vec{p}$ નું સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} + d_0 = 0$ થી અંતર $d = \frac{|\vec{p} \cdot \vec{n} + d_0|}{|\vec{n}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માટે:
$d_1 = \frac{|(1)(5) + (-1)(2) + (3)(-7) + 9|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-7)^2}} = \frac{|5 - 2 - 21 + 9|}{\sqrt{25 + 4 + 49}} = \frac{|-9|}{\sqrt{78}} = \frac{9}{\sqrt{78}}$.
બિંદુ $\vec{b}$ માટે:
$d_2 = \frac{|(3)(5) + (3)(2) + (3)(-7) + 9|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-7)^2}} = \frac{|15 + 6 - 21 + 9|}{\sqrt{78}} = \frac{|9|}{\sqrt{78}} = \frac{9}{\sqrt{78}}$.
અહીં $d_1 = d_2$ હોવાથી,બિંદુઓ સમાન અંતરે છે.
બાજુઓ ચકાસવા માટે,આપણે બંને બિંદુઓ માટે $f(\vec{r}) = \vec{r} \cdot \vec{n} + d_0$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(\vec{a}) = 5 - 2 - 21 + 9 = -9 < 0$.
$f(\vec{b}) = 15 + 6 - 21 + 9 = 9 > 0$.
બંને કિંમતો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતી હોવાથી,બિંદુઓ સમતલની વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલા છે.

(N/A) ધારો કે રેખા $AB$ ને $\vec{r} = (6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(6 + 3\lambda, 7 - \lambda, 4 + \lambda)$ છે.
ધારો કે રેખા $CD$ ને $\vec{r} = (0\hat{i} - 9\hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k})$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $CD$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(-3\mu, -9 + 2\mu, 2 + 4\mu)$ છે.
તેથી $\overrightarrow{PQ} = (-3\mu - 6 - 3\lambda)\hat{i} + (2\mu + \lambda - 16)\hat{j} + (4\mu - \lambda - 2)\hat{k}$.
કારણ કે $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{AB}$,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય: $3(-3\mu - 6 - 3\lambda) - 1(2\mu + \lambda - 16) + 1(4\mu - \lambda - 2) = 0 \Rightarrow -7\mu - 11\lambda - 4 = 0 \dots (i)$.
કારણ કે $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{CD}$,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય: $-3(-3\mu - 6 - 3\lambda) + 2(2\mu + \lambda - 16) + 4(4\mu - \lambda - 2) = 0 \Rightarrow 29\mu + 7\lambda - 22 = 0 \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,$(i)$ ને $7$ વડે અને $(ii)$ ને $11$ વડે ગુણતા: $-49\mu - 77\lambda - 28 = 0$ અને $319\mu + 77\lambda - 242 = 0$.
આનો સરવાળો કરતા,$270\mu - 270 = 0 \Rightarrow \mu = 1$. $(i)$ માં $\mu = 1$ મૂકતા,$-7 - 11\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,$P = (6 + 3(-1), 7 - (-1), 4 + (-1)) = (3, 8, 3)$ અને $Q = (-3(1), -9 + 2(1), 2 + 4(1)) = (-3, -7, 6)$.
સ્થાન સદિશો $\vec{P} = 3\hat{i} + 8\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{Q} = -3\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.

(D) બિંદુ $C(0, -a, -1)$ એ સમતલ $lx + my + nz = 0$ પર આવેલું હોવાથી,$l(0) + m(-a) + n(-1) = 0,$ એટલે કે $-ma - n = 0,$ અથવા $\frac{m}{n} = -\frac{1}{a} \quad \dots(1)$
સદિશ $\vec{CA} = (a - 0, -2a - (-a), 3 - (-1)) = (a, -a, 4)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (l, m, n)$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\frac{a}{l} = \frac{-a}{m} = \frac{4}{n}.$ $\frac{-a}{m} = \frac{4}{n}$ પરથી,આપણને $\frac{m}{n} = -\frac{a}{4} \quad \dots(2)$ મળે છે.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,$-\frac{1}{a} = -\frac{a}{4} \Rightarrow a^2 = 4.$ $a > 0$ હોવાથી,$a = 2$ મળે.
$a = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$ મળે. ધારો કે $m = -t$ અને $n = 2t.$ તો $\frac{2}{l} = \frac{-2}{-t} \Rightarrow l = t.$
સમતલનું સમીકરણ $t(x - y + 2z) = 0,$ અથવા $x - y + 2z = 0$ થાય.
બિંદુ $D$ એ $B(0, 4, 5)$ માંથી સમતલ $x - y + 2z = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. રેખા $BD$ નું સમીકરણ $\frac{x-0}{1} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z-5}{2} = k$ છે.
તેથી,$D = (k, 4-k, 5+2k).$ $D$ સમતલ પર હોવાથી,$k - (4-k) + 2(5+2k) = 0 \Rightarrow k - 4 + k + 10 + 4k = 0 \Rightarrow 6k + 6 = 0 \Rightarrow k = -1.$
આમ,$D = (-1, 4-(-1), 5+2(-1)) = (-1, 5, 3).$
$C = (0, -2, -1)$ અને $D = (-1, 5, 3)$ હોવાથી,$CD$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(-1-0)^2 + (5-(-2))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 49 + 16} = \sqrt{66}.$

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+4}{2} = \frac{z+2}{3}$ છે.
સમતલ $lx + my + nz = 0$ આ રેખાને સમાવે છે,તેથી તે બિંદુ $(1, -4, -2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $(l, m, n)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $(-1, 2, 3)$ ને લંબ છે.
તેથી,$l(1) + m(-4) + n(-2) = 0 \implies l - 4m - 2n = 0$ (સમીકરણ $1$).
અને $-l + 2m + 3n = 0$ (સમીકરણ $2$).
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$-2m + n = 0 \implies n = 2m$.
$n = 2m$ ને $(2)$ માં મૂકતા,$-l + 2m + 3(2m) = 0 \implies l = 8m$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $8x + y + 2z = 0$ મળે છે.
$AB$ નું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $C$ ના યામ $\left(\frac{2k-3}{k+1}, \frac{4k-6}{k+1}, \frac{-3k+1}{k+1}\right)$ છે.
બિંદુ $C$ સમતલ પર હોવાથી,$8\left(\frac{2k-3}{k+1}\right) + \left(\frac{4k-6}{k+1}\right) + 2\left(\frac{-3k+1}{k+1}\right) = 0$.
$16k - 24 + 4k - 6 - 6k + 2 = 0$.
$14k - 28 = 0 \implies k = 2$.

(B) આપેલ રેખા $2x = 3y, z = 1$ છે,જેને $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}, z = 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
સમતલ બિંદુઓ $A(1, 2, 1)$ અને $B(2, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. સદિશ $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{v}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-2) - \hat{j}(0-3) + \hat{k}(2+3) = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
$(1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-2(x-1) + 3(y-2) + 5(z-1) = 0$
$-2x + 2 + 3y - 6 + 5z - 5 = 0$
$-2x + 3y + 5z - 9 = 0$ અથવા $2x - 3y - 5z + 9 = 0$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$(-2, 0, 1)$ માટે: $2(-2) - 3(0) - 5(1) + 9 = -4 - 0 - 5 + 9 = 0$.
આમ,સમતલ $(-2, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v}_1 = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{v}_2 = \hat{j} - \hat{k}$ છે.
સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
સમતલ બિંદુ $(1, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,સમતલનું સમીકરણ:
$-1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies x - y - z - 1 = 0$.
ધારો કે $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ એ બિંદુ $M(1, 0, 1)$ માંથી સમતલ $x - y - z - 1 = 0$ પરનો લંબપાદ છે. લંબ રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 0}{-1} = \frac{\gamma - 1}{-1} = k$.
તેથી,$\alpha = k + 1, \beta = -k, \gamma = 1 - k$.
$Q$ સમતલ પર હોવાથી:
$(k + 1) - (-k) - (1 - k) - 1 = 0 \implies 3k - 1 = 0 \implies k = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\alpha = \frac{4}{3}, \beta = -\frac{1}{3}, \gamma = \frac{2}{3}$.
અંતે,$3(\alpha + \beta + \gamma) = 3(\frac{4}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 5$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P(4,2,3)$,$A(1,-2,3)$ અને $B(1,1,0)$ છે.
રેખા $AB$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1-1, 1-(-2), 0-3) = (0, 3, -3)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (1, -2, 3) + \lambda(0, 3, -3) = (1, -2+3\lambda, 3-3\lambda)$ છે.
ધારો કે $M$ એ $P$ માંથી $AB$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. તેથી,$M = (1, -2+3\lambda, 3-3\lambda)$.
સદિશ $\vec{PM} = M - P = (1-4, -2+3\lambda-2, 3-3\lambda-3) = (-3, 3\lambda-4, -3\lambda)$.
કારણ કે $\vec{PM} \perp \vec{AB}$,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(-3)(0) + (3\lambda-4)(3) + (-3\lambda)(-3) = 0$
$0 + 9\lambda - 12 + 9\lambda = 0$
$18\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ ને $M$ માં મૂકતા:
$M = (1, -2+3(\frac{2}{3}), 3-3(\frac{2}{3})) = (1, -2+2, 3-2) = (1, 0, 1)$.
હવે,તપાસો કે કયું સમતલ બિંદુ $(1, 0, 1)$ ધરાવે છે:
$2x+y-z=1$ માટે: $2(1) + 0 - 1 = 2 - 1 = 1$. આ સાચું છે.
આમ,બિંદુ $M$ એ સમતલ $2x+y-z=1$ પર આવેલું છે.

(B) બિંદુ $(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-6} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2r+1, 3r-2, -6r+3)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2r+1) - (3r-2) + (-6r+3) = 5$.
$2r + 1 - 3r + 2 - 6r + 3 = 5$.
$-7r + 6 = 5$.
$-7r = -1$.
$r = \frac{1}{7}$.
બિંદુ $(1, -2, 3)$ અને છેદબિંદુ $(2r+1, 3r-2, -6r+3)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(2r)^2 + (3r)^2 + (-6r)^2} = \sqrt{4r^2 + 9r^2 + 36r^2} = \sqrt{49r^2} = 7|r|$ છે.
$r = \frac{1}{7}$ મૂકતા,અંતર $7 \times \frac{1}{7} = 1$ મળે છે.