Line and Plane Questions in Gujarati

(A) બે સમતલો $P_1: x+4y-z+7=0$ અને $P_2: 3x+y+5z-8=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+4y-z+7) + \lambda(3x+y+5z-8) = 0$
$(1+3\lambda)x + (4+\lambda)y + (-1+5\lambda)z + (7-8\lambda) = 0$.
આને આપેલ સમતલ $ax+by+6z=15$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$ અને $b=-3$ મળે છે.
તેથી સમતલ $P: 2x-3y+6z=15$ છે.
બિંદુ $(3,2,-1)$ થી સમતલ $2x-3y+6z-15=0$ નું અંતર $d = \frac{|2(3)-3(2)+6(-1)-15|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}} = \frac{|6-6-6-15|}{\sqrt{4+9+36}} = \frac{|-21|}{7} = 3$ થાય.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
બિંદુઓના યામ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, 1, 2)$ છે,તેથી $\frac{a}{3} = 1$,$\frac{b}{3} = 1$ અને $\frac{c}{3} = 2$.
આમ,$a = 3$,$b = 3$ અને $c = 6$.
સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + 2y + z = 6$ થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે,જે રેખાની દિશાના ગુણોત્તર તરીકે લેવાય છે.
રેખા મધ્યકેન્દ્ર $(1, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા $(2, 2, 1)$ છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{1}$ છે.

(C) બે સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$(2x - 7y + 4z - 3) + \lambda(3x - 5y + 4z + 11) = 0$.
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા,આપણને $(2 + 3\lambda)x - (7 + 5\lambda)y + (4 + 4\lambda)z + (-3 + 11\lambda) = 0$ મળે છે.
સમતલ બિંદુ $(-2, 1, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$(2 + 3\lambda)(-2) - (7 + 5\lambda)(1) + (4 + 4\lambda)(3) - 3 + 11\lambda = 0$.
$-4 - 6\lambda - 7 - 5\lambda + 12 + 12\lambda - 3 + 11\lambda = 0$.
$\lambda$ વાળા પદો અને અચળાંકોને ભેગા કરતા: $(12)\lambda - 2 = 0$,જે $\lambda = \frac{1}{6}$ આપે છે.
$\lambda = \frac{1}{6}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 + 3(\frac{1}{6}))x - (7 + 5(\frac{1}{6}))y + (4 + 4(\frac{1}{6}))z + (-3 + 11(\frac{1}{6})) = 0$.
$(\frac{15}{6})x - (\frac{47}{6})y + (\frac{28}{6})z - (\frac{7}{6}) = 0$.
$6$ વડે ગુણતા,આપણને $15x - 47y + 28z - 7 = 0$ મળે છે.
આને $ax + by + cz - 7 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 15, b = -47, c = 28$ મળે છે.
હવે,$2a + b + c - 7 = 2(15) + (-47) + 28 - 7 = 30 - 47 + 28 - 7 = 4$.

(D) આપેલી રેખા $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{-m} = \frac{z+3}{1}$ છે. આ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, -m, 1)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(1, -2, 3)$ છે. બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-m} = \frac{z-3}{1} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(1+3r, -2-mr, 3+r)$ છે.
બિંદુ $Q$ સમતલ $x + 2y - 3z + 10 = 0$ પર આવેલું હોવાથી:
$(1+3r) + 2(-2-mr) - 3(3+r) + 10 = 0$
$1 + 3r - 4 - 2mr - 9 - 3r + 10 = 0$
$-2mr - 2 = 0 \Rightarrow -2mr = 2 \Rightarrow mr = -1 \Rightarrow r = -\frac{1}{m}$.
અંતર $PQ = \sqrt{\frac{7}{2}}$ આપેલું છે.
$PQ^2 = (3r)^2 + (-mr)^2 + (r)^2 = r^2(9 + m^2 + 1) = r^2(10 + m^2)$.
$r^2 = \frac{1}{m^2}$ મૂકતા:
$\frac{7}{2} = \frac{1}{m^2}(10 + m^2)$
$\frac{7}{2}m^2 = 10 + m^2$
$\frac{5}{2}m^2 = 10 \Rightarrow m^2 = 4 \Rightarrow |m| = 2$.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-1} = \lambda$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $M = (2\lambda-1, \lambda+3, -\lambda-2)$ છે.
આપેલ બિંદુ $P = (2,3,1)$ છે. સદિશ $\vec{PM} = (2\lambda-3, \lambda, -\lambda-3)$ છે.
કારણ કે $\vec{PM}$ એ $L_1$ ના દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (2, 1, -1)$ ને લંબ છે:
$2(2\lambda-3) + 1(\lambda) - 1(-\lambda-3) = 0$
$4\lambda - 6 + \lambda + \lambda + 3 = 0 \Rightarrow 6\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
તેથી,$M = (0, \frac{7}{2}, -\frac{5}{2})$.
ધારો કે $P'(x', y', z')$ એ $P$ નું $L_1$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ છે. $M$ એ $PP'$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x'+2}{2} = 0 \Rightarrow x' = -2$
$\frac{y'+3}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow y' = 4$
$\frac{z'+1}{2} = -\frac{5}{2} \Rightarrow z' = -6$
તેથી,$P' = (-2, 4, -6)$.
સમતલ રેખા $L_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{1}$ ને સમાવે છે.
સમતલ $P'(-2, 4, -6)$ અને $L_2$ પરના બિંદુ $A(2, 1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $L_2$ ના દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (3, -2, 1)$ ને સમાંતર છે.
સદિશ $\vec{P'A} = (2 - (-2), 1 - 4, -1 - (-6)) = (4, -3, 5)$.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{P'A} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -3 & 5 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 7\hat{i} + 11\hat{j} + 1\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $7(x-2) + 11(y-1) + 1(z+1) = 0 \Rightarrow 7x + 11y + z = 24$ છે.
$\alpha=7, \beta=11, \gamma=1$ મળતા,$\alpha+\beta+\gamma = 19$ થાય.

(C) સમતલનું સમીકરણ જે બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી રેખા અને દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ ધરાવતી રેખાને સમાવે છે અને દિશા ગુણોત્તર $(a_2, b_2, c_2)$ ધરાવતી રેખાને સમાંતર છે,તે નિશ્ચાયક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
આપેલ કિંમતો $(x_1, y_1, z_1) = (1, -6, -5)$,$(a_1, b_1, c_1) = (3, 4, 2)$,અને $(a_2, b_2, c_2) = (4, -3, 7)$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y+6 & z+5 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right| = 0$
બિંદુ $(1, -1, \alpha)$ સમતલ $P$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $x=1, y=-1, z=\alpha$ ને નિશ્ચાયકમાં મૂકીએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-1 & -1+6 & \alpha+5 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} 0 & 5 & \alpha+5 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$0(28 - (-6)) - 5(21 - 8) + (\alpha+5)(-9 - 16) = 0$
$-5(13) + (\alpha+5)(-25) = 0$
$-65 - 25\alpha - 125 = 0$
$-25\alpha - 190 = 0$
$25\alpha = -190$
$5\alpha = -38$
તેથી,$|5\alpha| = |-38| = 38$.

(D) ધારો કે રેખા $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2} = t$ છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $x = t+3$,$y = 2t+4$,અને $z = 2t+5$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
સમતલ $x+y+z=17$ સાથેના છેદબિંદુ માટે,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(t+3) + (2t+4) + (2t+5) = 17$.
$5t + 12 = 17
\Rightarrow 5t = 5
\Rightarrow t = 1$.
$t=1$ ને પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાં મૂકતા,છેદબિંદુ $(1+3, 2(1)+4, 2(1)+5) = (4, 6, 7)$ મળે છે.
બિંદુઓ $(1, 1, 9)$ અને $(4, 6, 7)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-1)^2 + (7-9)^2}
= \sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}
= \sqrt{9 + 25 + 4}
= \sqrt{38}$.

(C) બે સમતલો $P_1: \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_1} = d_1$ અને $P_2: \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_2} = d_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_1} - d_1) + \lambda(\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_2} - d_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા સમતલો $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1 = 0$ અને $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) + 2 = 0$ છે.
જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1 + \lambda(\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) + 2) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(1 + \lambda) + \hat{j}(1 - 2\lambda) + \hat{k}(1)] = 1 - 2\lambda$ મળે છે.
સમતલ બિંદુ $(1, 0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + 2\hat{k}$ છે.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $(\hat{i} + 2\hat{k}) \cdot [\hat{i}(1 + \lambda) + \hat{j}(1 - 2\lambda) + \hat{k}(1)] = 1 - 2\lambda$.
$(1 + \lambda) + 2(1) = 1 - 2\lambda$.
$3 + \lambda = 1 - 2\lambda$.
$3\lambda = -2 \implies \lambda = -\frac{2}{3}$.
$\lambda = -\frac{2}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(1 - \frac{2}{3}) + \hat{j}(1 + \frac{4}{3}) + \hat{k}(1)] = 1 - 2(-\frac{2}{3})$.
$\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(\frac{1}{3}) + \hat{j}(\frac{7}{3}) + \hat{k}] = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = 7$ મળે છે.

(C) $l_{1}$ ના દિકગુણોત્તર $\vec{v}_{1} = (1, 2, 2)$ અને $l_{2}$ ના દિકગુણોત્તર $\vec{v}_{2} = (2, 2, 1)$ છે.
રેખા $l$ એ $l_{1}$ અને $l_{2}$ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો દિક સદિશ $\vec{v} = \vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ થાય.
રેખા $l$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $\vec{r} = \mu(-2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$ છે.
$l$ અને $l_{1}$ ના છેદબિંદુ માટે:
$3+t = -2\mu$,$-1+2t = 3\mu$,$4+2t = -2\mu$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$t = -1$ અને $\mu = -1$ મળે છે. છેદબિંદુ $P$ એ $(2, -3, 2)$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $l_{2}$ પરનું બિંદુ છે,$Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$.
$PQ = \sqrt{17}$ આપેલ છે,તેથી $PQ^{2} = 17$.
$(3+2s-2)^{2} + (3+2s+3)^{2} + (2+s-2)^{2} = 17$.
$(2s+1)^{2} + (2s+6)^{2} + s^{2} = 17$.
$9s^{2} + 28s + 20 = 0$.
$(9s+10)(s+2) = 0$,તેથી $s = -2$ અથવા $s = -10/9$.
$s = -10/9$ માટે,$Q = (7/9, 7/9, 8/9)$,જે પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં છે.
આમ,$a=7/9, b=7/9, c=8/9$.
$18(a+b+c) = 18(7/9 + 7/9 + 8/9) = 18(22/9) = 44$.

(D) સમતલોના સમીકરણો $x+2y+z=6$ અને $y+2z=4$ છે.
છેદરેખા શોધવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ને $z$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
$y+2z=4$ પરથી,આપણને $y=4-2z$ મળે છે.
આને પ્રથમ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $x+2(4-2z)+z=6 \Rightarrow x+8-4z+z=6 \Rightarrow x-3z=-2 \Rightarrow x=3z-2$.
આમ,રેખા $L$ ને સંમિત સ્વરૂપમાં $\frac{x+2}{3} = \frac{y-4}{-2} = z = \lambda$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(3\lambda-2, -2\lambda+4, \lambda)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ છે.
ધારો કે $A = (3,2,1)$. સદિશ $\vec{AP} = (3\lambda-2-3, -2\lambda+4-2, \lambda-1) = (3\lambda-5, -2\lambda+2, \lambda-1)$.
કારણ કે $\vec{AP} \perp \vec{v}$,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(3\lambda-5)(3) + (-2\lambda+2)(-2) + (\lambda-1)(1) = 0$.
$9\lambda - 15 + 4\lambda - 4 + \lambda - 1 = 0 \Rightarrow 14\lambda - 20 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{10}{7}$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,$P = (3(\frac{10}{7})-2, -2(\frac{10}{7})+4, \frac{10}{7}) = (\frac{16}{7}, \frac{8}{7}, \frac{10}{7})$.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = \frac{16+8+10}{7} = \frac{34}{7}$.
$21(\alpha+\beta+\gamma)$ નું મૂલ્ય $21 \times \frac{34}{7} = 3 \times 34 = 102$ થાય.

(A) ધારો કે $P = (1, 3, 5)$ અને $Q = (\alpha, \beta, \gamma)$ એ સમતલ $4x - 5y + 2z = 8$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નું પ્રતિબિંબ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{1+\alpha}{2}, \frac{3+\beta}{2}, \frac{5+\gamma}{2}\right)$ છે.
$M$ એ સમતલ પર હોવાથી:
$4\left(\frac{1+\alpha}{2}\right) - 5\left(\frac{3+\beta}{2}\right) + 2\left(\frac{5+\gamma}{2}\right) = 8$
$2\alpha - 2.5\beta + \gamma = 8.5$ ... $(1)$
રેખા $PQ$ એ સમતલને લંબ છે,તેથી તેના દિશા ગુણોત્તર અભિલંબ સદિશ $(4, -5, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે:
$\frac{\alpha-1}{4} = \frac{\beta-3}{-5} = \frac{\gamma-5}{2} = k$
$\alpha = 1 + 4k, \beta = 3 - 5k, \gamma = 5 + 2k$ ... $(2)$
સૂત્ર $\frac{\alpha-x_1}{a} = \frac{\beta-y_1}{b} = \frac{\gamma-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1-d}{a^2+b^2+c^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = -2 \frac{4(1) - 5(3) + 2(5) - 8}{16 + 25 + 4} = \frac{2}{5}$.
$k = \frac{2}{5}$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$\alpha = \frac{13}{5}, \beta = 1, \gamma = \frac{29}{5}$
તેથી,$5(\alpha + \beta + \gamma) = 5(\frac{13}{5} + 1 + \frac{29}{5}) = 13 + 5 + 29 = 47$.

(B) સમતલ $x+2y+3z+1=0$ અને $x-y-z-6=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલ $P$ નું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$P: (x+2y+3z+1) + \lambda(x-y-z-6) = 0$
$P: (1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (3-\lambda)z + (1-6\lambda) = 0$
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = (1+\lambda)\hat{i} + (2-\lambda)\hat{j} + (3-\lambda)\hat{k}$ છે.
આપેલ સમતલ $-2x+y+z+8=0$ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પણ પરસ્પર લંબ હોય,તેથી $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
$-2(1+\lambda) + 1(2-\lambda) + 1(3-\lambda) = 0$
$-2 - 2\lambda + 2 - \lambda + 3 - \lambda = 0$
$3 - 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{4}$.
$\lambda = \frac{3}{4}$ ને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1+\frac{3}{4})x + (2-\frac{3}{4})y + (3-\frac{3}{4})z + (1-6(\frac{3}{4})) = 0$
$\frac{7}{4}x + \frac{5}{4}y + \frac{9}{4}z - \frac{14}{4} = 0$
$7x + 5y + 9z - 14 = 0$.
હવે,તપાસો કે કયું બિંદુ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
બિંદુ $(0,1,1)$ માટે: $7(0) + 5(1) + 9(1) - 14 = 5 + 9 - 14 = 0$.
આમ,બિંદુ $(0,1,1)$ એ સમતલ $P$ પર આવેલું છે.

(B) આપેલ રેખા $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$ છે. ધારો કે $P(1,3,4)$ એ $L_1$ પરનું બિંદુ છે. $P$ માંથી સમતલ $x-2y-z-3=0$ પરના લંબનો લંબપાદ $Q$ છે. રેખા $PQ$ એ $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-4}{-1} = t$ છે. તેથી $Q = (t+1, -2t+3, -t+4)$. $Q$ સમતલ પર હોવાથી,$(t+1) - 2(-2t+3) - (-t+4) = 3 \Rightarrow t+1+4t-6+t-4=3 \Rightarrow 6t=12 \Rightarrow t=2$. આમ,$Q = (3,-1,2)$.
$L_1$ અને સમતલનું છેદબિંદુ $R$ એ $2k+1 - 2(k+3) - (2k+4) = 3 \Rightarrow 2k+1-2k-6-2k-4=3 \Rightarrow -2k=12 \Rightarrow k=-6$ દ્વારા મળે છે. તેથી $R = (-11,-3,-8)$.
રેખા $L$ એ $Q(3,-1,2)$ અને $R(-11,-3,-8)$ માંથી પસાર થાય છે. $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = Q-R = (14, 2, 10)$ છે,જે $(7, 1, 5)$ ને સમાંતર છે.
બિંદુ $A(0,0,6)$ થી રેખા $L$ (જે $B(3,-1,2)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા $\vec{v} = (7,1,5)$ છે) નું અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = (3-0, -1-0, 2-6) = (3, -1, -4)$.
$\vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -4 \\ 7 & 1 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-5+4) - \hat{j}(15+28) + \hat{k}(3+7) = (-1, -43, 10)$.
$d^2 = \frac{(-1)^2 + (-43)^2 + 10^2}{7^2 + 1^2 + 5^2} = \frac{1 + 1849 + 100}{49 + 1 + 25} = \frac{1950}{75} = 26$.

(B) બે રેખાઓ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x+1 & y-1 & z-3 \\ 6 & 7 & 8 \\ 3 & 5 & 7 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+1)(49-40) - (y-1)(42-24) + (z-3)(30-21) = 0$
$9(x+1) - 18(y-1) + 9(z-3) = 0$
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $x+1 - 2(y-1) + z-3 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y + z = 0$ થાય છે.
બિંદુ $P(7, -2, 13)$ થી સમતલ $x - 2y + z = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $PQ$ માટેનું સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
$PQ = \frac{|1(7) - 2(-2) + 1(13)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|7 + 4 + 13|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{24}{\sqrt{6}} = 4\sqrt{6}$.
તેથી,$(PQ)^2 = (4\sqrt{6})^2 = 16 \times 6 = 96$.

(D) ધારો કે બિંદુ $A(1,-2,3)$ માંથી પસાર થતી અને $2,3,-6$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-6} = \lambda$
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1+2\lambda, -2+3\lambda, 3-6\lambda)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ સમતલ $x-y+z=5$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(1+2\lambda) - (-2+3\lambda) + (3-6\lambda) = 5$
$1 + 2\lambda + 2 - 3\lambda + 3 - 6\lambda = 5$
$6 - 7\lambda = 5$
$-7\lambda = -1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{7}$
છેદબિંદુ $P$ છે:
$P = (1+2(\frac{1}{7}), -2+3(\frac{1}{7}), 3-6(\frac{1}{7})) = (\frac{9}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$
અંતર $AP$ એ $(1,-2,3)$ અને $(\frac{9}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$AP = \sqrt{(\frac{9}{7}-1)^2 + (-\frac{11}{7}-(-2))^2 + (\frac{15}{7}-3)^2}$
$AP = \sqrt{(\frac{2}{7})^2 + (\frac{3}{7})^2 + (-\frac{6}{7})^2}$
$AP = \sqrt{\frac{4}{49} + \frac{9}{49} + \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49}} = 1$

(D) સમતલો $P_1: x-y-z-1=0$ અને $P_2: 2x+y-3z+4=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x-y-z-1) + \lambda(2x+y-3z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (-1+\lambda)y + (-1-3\lambda)z + (-1+4\lambda) = 0$.
આ સમતલનું ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી અંતર $\sqrt{\frac{2}{21}}$ આપેલું છે.
અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|d_0|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ છે,તેથી:
$\frac{|4\lambda-1|}{\sqrt{(1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 + (-1-3\lambda)^2}} = \sqrt{\frac{2}{21}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(4\lambda-1)^2}{(1+4\lambda+4\lambda^2) + (1-2\lambda+\lambda^2) + (1+6\lambda+9\lambda^2)} = \frac{2}{21}$.
$\frac{(4\lambda-1)^2}{14\lambda^2+8\lambda+3} = \frac{2}{21}$.
$21(16\lambda^2-8\lambda+1) = 2(14\lambda^2+8\lambda+3)$.
$336\lambda^2 - 168\lambda + 21 = 28\lambda^2 + 16\lambda + 6$.
$308\lambda^2 - 184\lambda + 15 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $308\lambda^2 - 154\lambda - 30\lambda + 15 = 0$.
$154\lambda(2\lambda-1) - 15(2\lambda-1) = 0$.
$(154\lambda-15)(2\lambda-1) = 0$.
આમ,$\lambda = \frac{1}{2}$ અથવા $\lambda = \frac{15}{154}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ માટે,સમીકરણ $(x-y-z-1) + \frac{1}{2}(2x+y-3z+4) = 0$ થાય.
$2x-2y-2z-2 + 2x+y-3z+4 = 0$.
$4x-y-5z+2 = 0$.

(A) આપેલા સમતલોના સમીકરણો છે:
$P_1: x+y+z-1=0$
$P_2: 2x+3y-z+4=0$
આ બે સમતલોની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
આ સમતલ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}$ એ $x$-અક્ષની દિશા $\hat{i} = (1, 0, 0)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,અભિલંબ સદિશ અને $x$-અક્ષની દિશાનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ વડે ગુણતા:
$y - 3z + 6 = 0$
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $\vec{r} \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}) + 6 = 0$ છે,એટલે કે $\vec{r} \cdot (\hat{j} - 3\hat{k}) + 6 = 0$.

(A) બે સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$(3x-2y+4z-7) + \lambda(x+5y-2z+9) = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(3+\lambda)x + (5\lambda-2)y + (4-2\lambda)z + (9\lambda-7) = 0$ મળે છે.
આ સમતલ બિંદુ $(1,4,-3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$(3+\lambda)(1) + (5\lambda-2)(4) + (4-2\lambda)(-3) + 9\lambda-7 = 0$.
$3 + \lambda + 20\lambda - 8 - 12 + 6\lambda + 9\lambda - 7 = 0$.
$36\lambda - 24 = 0 \Rightarrow 36\lambda = 24 \Rightarrow \lambda = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(3 + \frac{2}{3})x + (5(\frac{2}{3}) - 2)y + (4 - 2(\frac{2}{3}))z + (9(\frac{2}{3}) - 7) = 0$.
$(\frac{11}{3})x + (\frac{4}{3})y + (\frac{8}{3})z - 1 = 0$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z + 3 = 0$ સ્વરૂપ મેળવવા માટે $-3$ વડે ગુણતા:
$-11x - 4y - 8z + 3 = 0$.
આને $\alpha x + \beta y + \gamma z + 3 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -11$,$\beta = -4$,અને $\gamma = -8$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = -11 - 4 - 8 = -23$.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{6}=\lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z) = (2\lambda+1, 3\lambda+2, 6\lambda-1)$ દ્વારા મળે છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x-y+z=6$ પર હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2\lambda+1) - (3\lambda+2) + (6\lambda-1) = 6$.
$4\lambda + 2 - 3\lambda - 2 + 6\lambda - 1 = 6$.
$7\lambda - 1 = 6 \Rightarrow 7\lambda = 7 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા,આપણને છેદબિંદુ $P = (2(1)+1, 3(1)+2, 6(1)-1) = (3, 5, 5)$ મળે છે.
આપણે બિંદુ $P(3, 5, 5)$ થી બિંદુ $Q(-1, -1, 2)$ સુધીના અંતરનો વર્ગ શોધવો છે.
$d^2 = (3 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2 + (5 - 2)^2$.
$d^2 = (4)^2 + (6)^2 + (3)^2 = 16 + 36 + 9 = 61$.

(D) આપેલ સમતલો $P_{1}: 2x + 3y + 2z = 0$ અને $P_{2}: x - 2y + z = 0$ છે.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n}_{2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
છેદરેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 7\hat{i} - 7\hat{k}$ મળે.
દિશા ગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે છે.
સમતલો ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી રેખા $L$ પણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{-1} = \lambda$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (\lambda, 0, -\lambda)$ છે.
ધારો કે $P = (-1, 2, -2)$. સદિશ $\vec{PQ} = (\lambda + 1, -2, -\lambda + 2)$ છે.
$\vec{PQ}$ એ રેખા $L$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\lambda + 1)(1) + (-2)(0) + (-\lambda + 2)(-1) = 0$
$\lambda + 1 + \lambda - 2 = 0 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
તેથી,$Q = (\frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(\frac{1}{2} + 1)^2 + (0 - 2)^2 + (-\frac{1}{2} + 2)^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}} = \frac{\sqrt{34}}{2}$.

(B) રેખા સમતલ પર આવેલી હોવાથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
બિંદુ $(2, 2, -2)$ રેખા પર છે,તેથી તે સમતલ $x+3y-2z+\beta=0$ પર પણ હશે.
બિંદુ મૂકતા: $2 + 3(2) - 2(-2) + \beta = 0$.
$2 + 6 + 4 + \beta = 0 \Rightarrow 12 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = -12$.
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (\alpha, -5, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 3, -2)$ ને લંબ હોય.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$ થાય.
$\alpha(1) + (-5)(3) + (2)(-2) = 0$.
$\alpha - 15 - 4 = 0 \Rightarrow \alpha - 19 = 0 \Rightarrow \alpha = 19$.
તેથી,$\alpha + \beta = 19 + (-12) = 7$.

(A) સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_P$ એ સમતલમાં રહેલા બે સદિશોના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે. ધારો કે $A=(1,0,1), B=(1,-2,1), C=(0,1,-2)$.
$\vec{AB} = (0, -2, 0)$
$\vec{AC} = (-1, 1, -3)$
$\vec{n}_P = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 6\hat{i} - 2\hat{k} = 2(3\hat{i} - \hat{k})$.
$\vec{a}$ એ સમતલ $P$ ને સમાંતર હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{n}_P$ ને લંબ છે. વળી,$\vec{a}$ એ $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$\vec{a} = k(\vec{n}_P \times \vec{v}) = k \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = k(2\hat{i} - 10\hat{j} + 6\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 2$,તેથી $k(2 - 10 + 12) = 2 \Rightarrow 4k = 2 \Rightarrow k = 1/2$.
આમ,$\vec{a} = \hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
અહીં $\alpha = 1, \beta = -5, \gamma = 3$.
તેથી $(\alpha - \beta + \gamma)^2 = (1 - (-5) + 3)^2 = 9^2 = 81$.

(A) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને સંમિત સ્વરૂપમાં ફરીથી લખો:
રેખા $1$: $x = ay - 1 = z - 2$ બિંદુ $P_1(-1, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{v_1} = a\hat{i} + \hat{j} + a\hat{k}$ છે.
રેખા $2$: $x = 3y - 2 = bz - 2$ બિંદુ $P_2(-2, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{v_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + \frac{3}{b}\hat{k}$ છે.
રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને બે દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(\vec{P_2P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = 0$.
$\vec{P_2P_1} = (-1 - (-2))\hat{i} + (0 - 0)\hat{j} + (1 - 0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$.
નિશ્ચાયક છે:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ a & 1 & a \\ 3 & 1 & 3/b \end{array}\right| = 0$
$1(\frac{3}{b} - a) - 0 + 1(a - 3) = 0$
$\frac{3}{b} - a + a - 3 = 0 \Rightarrow \frac{3}{b} = 3 \Rightarrow b = 1$.
આમ,$b = 1, a \in R - \{0\}$.

(A) રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k+3, k+1, k+2)$ છે.
ધારો કે $P_0 = (2,3,-1)$. બિંદુ $P_0$ થી રેખા $L$ પરના લંબપાદ $M$ માટે સદિશ $\vec{P_0M} = (2k+3-2, k+1-3, k+2+1) = (2k+1, k-2, k+3)$ છે.
$\vec{P_0M}$ એ રેખા $L$ ના દિશા સદિશ $\vec{v} = (2,1,1)$ ને લંબ હોવાથી,$2(2k+1) + 1(k-2) + 1(k+3) = 0$ મળે.
$4k+2 + k-2 + k+3 = 0 \implies 6k+3 = 0 \implies k = -1/2$.
તેથી,$M = (2(-1/2)+3, -1/2+1, -1/2+2) = (2, 1/2, 3/2)$.
$M$ એ $P_0Q$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જો $Q = (x,y,z)$ હોય,તો $\frac{x+2}{2} = 2, \frac{y+3}{2} = 1/2, \frac{z-1}{2} = 3/2$.
$x+2 = 4 \implies x=2$; $y+3 = 1 \implies y=-2$; $z-1 = 3 \implies z=4$. તેથી $Q = (2, -2, 4)$.
સમતલ $P$ એ રેખા $L$ ને લંબ છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2,1,1)$ છે.
$Q(2, -2, 4)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $P$ નું સમીકરણ $2(x-2) + 1(y+2) + 1(z-4) = 0$ છે.
$2x - 4 + y + 2 + z - 4 = 0 \implies 2x + y + z - 6 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા: $(1,2,2)$ માટે,$2(1) + 2 + 2 - 6 = 2+2+2-6 = 0$. તેથી,$(1,2,2)$ સમતલ પર છે.

(B) સમતલોના સમીકરણો $P_{1}: x-y+2 z=2$ અને $P_{2}: 2 x+y-z=2$ છે.
ધારો કે સમતલો $P_{1}$ અને $P_{2}$ ની છેદરેખા $xy$-સમતલને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે.
બંને સમીકરણોમાં $z=0$ મૂકતા,આપણને $x-y=2$ અને $2x+y=2$ મળે છે. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$3x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{3}$,અને $y=x-2 = \frac{4}{3}-2 = -\frac{2}{3}$.
તેથી,$Q = (\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, 0)$.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{a}$ એ લંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{n}_{2} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec{a} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-2) - \hat{j}(-1-4) + \hat{k}(1+2) = -\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-4/3}{-1} = \frac{y+2/3}{5} = \frac{z}{3} = \lambda$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $F$ એ $(-\lambda + 4/3, 5\lambda - 2/3, 3\lambda)$ સ્વરૂપનું છે.
ધારો કે $A = (1, 2, 0)$. સદિશ $\vec{AF} = (-\lambda + 4/3 - 1, 5\lambda - 2/3 - 2, 3\lambda - 0) = (-\lambda + 1/3, 5\lambda - 8/3, 3\lambda)$.
કારણ કે $AF \perp L$,તેથી $\vec{AF} \cdot \vec{a} = 0$.
$(-\lambda + 1/3)(-1) + (5\lambda - 8/3)(5) + (3\lambda)(3) = 0$.
$\lambda - 1/3 + 25\lambda - 40/3 + 9\lambda = 0$.
$35\lambda - 41/3 = 0 \Rightarrow 35\lambda = 41/3 \Rightarrow \lambda = 41/105$.
લંબપાદ $P(\alpha, \beta, \gamma)$ ના યામ એ $F$ છે.
$\alpha + \beta + \gamma = (-\lambda + 4/3) + (5\lambda - 2/3) + 3\lambda = 7\lambda + 2/3$.
$35(\alpha + \beta + \gamma) = 35(7\lambda + 2/3) = 245\lambda + 70/3$.
$\lambda = 41/105$ મૂકતા: $245(41/105) + 70/3 = (49 \times 41)/21 + 70/3 = (7 \times 41)/3 + 70/3 = 287/3 + 70/3 = 357/3 = 119$.

(D) રેખા $L$ એ $\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{-1} = \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $N(\lambda, 0, -\lambda)$ છે.
કારણ કે $PN \perp L$,સદિશ $\vec{PN} = (\lambda-1, -2, -\lambda+1)$ એ $L$ ના દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 0, -1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$(\lambda-1)(1) + (-2)(0) + (-\lambda+1)(-1) = 0 \Rightarrow \lambda-1 + \lambda-1 = 0 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી,$N = (1, 0, -1)$ અને $\vec{PN} = (0, -2, 0)$.
હવે,ધારો કે $P$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $x+y+2z=0$ ને સમાંતર રેખા $L$ ને $Q(\mu, 0, -\mu)$ પર મળે છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (\mu-1, -2, -\mu+1)$. આ રેખા સમતલને સમાંતર હોવાથી,$\vec{PQ}$ એ સમતલના અભિલંબ $\vec{n} = (1, 1, 2)$ ને લંબ છે.
તેથી,$(\mu-1)(1) + (-2)(1) + (-\mu+1)(2) = 0 \Rightarrow \mu-1 - 2 - 2\mu + 2 = 0 \Rightarrow -\mu - 1 = 0 \Rightarrow \mu = -1$.
તેથી,$Q = (-1, 0, 1)$ અને $\vec{PQ} = (-2, -2, 2)$.
$\vec{PN} = (0, -2, 0)$ અને $\vec{PQ} = (-2, -2, 2)$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{|\vec{PN} \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{PN}| |\vec{PQ}|}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{PN}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = 2$.
$|\vec{PQ}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
$\vec{PN} \cdot \vec{PQ} = (0)(-2) + (-2)(-2) + (0)(2) = 4$.
$\cos \alpha = \frac{4}{2 \times 2\sqrt{3}} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) રેખા બિંદુ $A(2, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલ બિંદુ $B(3, 7, -7)$ અને બિંદુ $A(2, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
સદિશ $\vec{AB} = (3-2)\hat{i} + (7-3)\hat{j} + (-7 - (-2))\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{AB}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10-4) - \hat{j}(15-1) + \hat{k}(-12-2) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-2) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z - 3 = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $x + y + z - 3 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$d^{2} = (\sqrt{3})^{2} = 3$.

(C) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x-\alpha}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3} = \phi$ છે. તેથી આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\phi+\alpha, 2\phi+1, 3\phi+1)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x-4}{\beta}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-7}{3} = q$ છે. તેથી આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(q\beta+4, 3q+6, 3q+7)$ છે.
રેખાઓના છેદન માટે,$\phi$ અને $q$ એવા હોવા જોઈએ કે જેથી:
$\phi+\alpha = q\beta+4$ $(i)$
$2\phi+1 = 3q+6$ (ii)
$3\phi+1 = 3q+7$ (iii)
(iii) માંથી (ii) બાદ કરતા,આપણને $\phi = 1$ મળે છે. (ii) માં $\phi=1$ મૂકતા,$2(1)+1 = 3q+6$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3q = -3$,તેથી $q = -1$.
$(i)$ માં $\phi=1$ અને $q=-1$ મૂકતા,$1+\alpha = -\beta+4$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\alpha+\beta = 3$ થાય છે.
છેદબિંદુ $(\phi+\alpha, 2\phi+1, 3\phi+1) = (1+\alpha, 3, 4)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x+2y-z=8$ પર હોવાથી,$(1+\alpha) + 2(3) - 4 = 8$.
$1+\alpha+6-4 = 8 \implies \alpha+3 = 8 \implies \alpha = 5$.
$\alpha+\beta = 3$ હોવાથી,$5+\beta = 3 \implies \beta = -2$.
આમ,$\alpha-\beta = 5 - (-2) = 7$.

(D) બિંદુઓ $Q(3,-4,-5)$ અને $R(2,-3,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{2-3} = \frac{y-(-4)}{-3-(-4)} = \frac{z-(-5)}{1-(-5)} = r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = r$ થાય છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z) = (-r+3, r-4, 6r-5)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x+y+z=7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(-r+3) + (r-4) + (6r-5) = 7$.
$-2r + 6 + r - 4 + 6r - 5 = 7$.
$5r - 3 = 7 \Rightarrow 5r = 10 \Rightarrow r = 2$.
$r=2$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા,આપણને છેદબિંદુ $T = (-2+3, 2-4, 6(2)-5) = (1, -2, 7)$ મળે છે.
$P(3,4,4)$ અને $T(1,-2,7)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$PT = \sqrt{(1-3)^2 + (-2-4)^2 + (7-4)^2}$.
$PT = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.

(C) આપેલ સમતલોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(x + 3y - z - 5) + \lambda(2x - y + z - 3) = 0$ છે.
આ સમતલ $(2, 1, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2 + 3(1) - (-2) - 5) + \lambda(2(2) - 1 + (-2) - 3) = 0$
$(2 + 3 + 2 - 5) + \lambda(4 - 1 - 2 - 3) = 0$
$2 + \lambda(-2) = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને સમતલ $P: 3x + 2y - 8 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $f(x, y, z) = 3x + 2y - 8$. આપણે આપેલ બિંદુઓ પર $f$ ની કિંમત શોધીએ:
$X(1, -2, 4)$ માટે: $f(1, -2, 4) = 3(1) + 2(-2) - 8 = 3 - 4 - 8 = -9$.
$Y(5, -1, 2)$ માટે: $f(5, -1, 2) = 3(5) + 2(-1) - 8 = 15 - 2 - 8 = 5$.
કારણ કે $f(X) = -9$ અને $f(Y) = 5$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ છે,તેથી $X$ અને $Y$ એ સમતલ $P$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે.

(B) સમતલ $x + y + z - 5 = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P(1, 0, 1)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(a, b, c)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{a-1}{1} = \frac{b-0}{1} = \frac{c-1}{1} = -2 \frac{1(1) + 1(0) + 1(1) - 5}{1^2 + 1^2 + 1^2} = -2 \frac{-3}{3} = 2$ છે.
તેથી,$a-1 = 2 \Rightarrow a = 3$,$b = 2$,$c-1 = 2 \Rightarrow c = 3$. આમ,$Q = (3, 2, 3)$.
સદિશ $\vec{PQ} = (3-1, 2-0, 3-1) = (2, 2, 2)$,જે $(1, 1, 1)$ ને સમાંતર છે.
રેખા $L$ એ $(1, -1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{PQ}$ ને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+1}{1} = \lambda$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $R(\lambda+1, \lambda-1, \lambda-1)$ છે.
કારણ કે $R$ એ સમતલ $x + y + z = 5$ પર આવેલું છે,તેથી $(\lambda+1) + (\lambda-1) + (\lambda-1) = 5$,જે $3\lambda - 1 = 5$ આપે છે,તેથી $3\lambda = 6$ અને $\lambda = 2$.
આમ,$R = (2+1, 2-1, 2-1) = (3, 1, 1)$.
અંતે,$QR^{2} = (3-3)^{2} + (2-1)^{2} + (3-1)^{2} = 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે રેખાઓ $L_{1}$ અને $L_{2}$ નું છેદબિંદુ $S$ શોધીએ.
$L_{1}$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(\lambda, 2\lambda, 3\lambda)$ છે.
$L_{2}$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(1+\mu, 3+\mu, 1+5\mu)$ છે.
યામોને સરખાવતા: $\lambda = 1+\mu$,$2\lambda = 3+\mu$,$3\lambda = 1+5\mu$.
પ્રથમ બે સમીકરણો પરથી: $\lambda - \mu = 1$ અને $2\lambda - \mu = 3$. બાદબાકી કરતા $\lambda = 2$ મળે,તેથી $\mu = 1$.
ત્રીજા સમીકરણમાં ચકાસતા: $3(2) = 6$ અને $1+5(1) = 6$. આમ,$S = (2, 4, 6)$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખાઓ $L_{1}$ અને $L_{2}$ ના દિશા સદિશો $\vec{v}_{1} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ અને $\vec{v}_{2} = \langle 1, 1, 5 \rangle$ ના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર છે.
$\vec{n} = \vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-3) - \hat{j}(5-3) + \hat{k}(1-2) = 7\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $7(x-2) - 2(y-4) - 1(z-6) = 0$ છે.
$7x - 14 - 2y + 8 - z + 6 = 0 \Rightarrow 7x - 2y - z = 0$.
$ax + by - z + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=7, b=-2, d=0$ મળે છે.
તેથી,$a + b + d = 7 - 2 + 0 = 5$.

(C) સમતલો $P_1: 2x + y - 5z = 0$ અને $P_2: 3x - y + 4z - 7 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x + y - 5z) + \lambda(3x - y + 4z - 7) = 0$
$(2 + 3\lambda)x + (1 - \lambda)y + (-5 + 4\lambda)z - 7\lambda = 0$ --- (સમીકરણ $1$)
સમતલને મૂળ સમતલ $2x + y - 5z = 0$ થી $\frac{\pi}{2}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવ્યું હોવાથી,આ બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ હોવા જોઈએ.
મૂળ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (2, 1, -5)$ છે.
નવા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (2 + 3\lambda, 1 - \lambda, -5 + 4\lambda)$ છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ હોવાથી:
$2(2 + 3\lambda) + 1(1 - \lambda) - 5(-5 + 4\lambda) = 0$
$4 + 6\lambda + 1 - \lambda + 25 - 20\lambda = 0$
$30 - 15\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$(2 + 3(2))x + (1 - 2)y + (-5 + 4(2))z - 7(2) = 0$
$8x - y + 3z - 14 = 0$.
આ સમતલ બિંદુ $(1, 0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે કારણ કે $8(1) - 0 + 3(2) = 8 + 6 = 14$.

(B) રેખાઓ $L_1: \overrightarrow{r} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(3\hat{j} - \hat{k})$ અને $L_2: \overrightarrow{r} = (\alpha\hat{i} - \hat{j}) + \mu(2\hat{i} - 3\hat{k})$ છે.
રેખાઓ સમતલીય હોવાથી,બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} \alpha - 1 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(\alpha - 1)(-9) - 0 + (-1)(0 - 6) = 0$
$-9\alpha + 9 + 6 = 0 \Rightarrow 9\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = \frac{5}{3}$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{n} = (3\hat{j} - \hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = -9\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}$.
બિંદુ $(1, -1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $-9(x - 1) + 2(y + 1) - 6(z - 1) = 0$ છે,જે $9x - 2y + 6z - 17 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(\frac{5}{3}, 0, 0)$ થી સમતલ $9x - 2y + 6z - 17 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|9(\frac{5}{3}) - 2(0) + 6(0) - 17|}{\sqrt{9^2 + (-2)^2 + 6^2}} = \frac{|15 - 17|}{\sqrt{81 + 4 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{121}} = \frac{2}{11}$.

(A) સમતલ $2x + 3y + z + 20 = 0$ અને $x - 3y + 5z - 8 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલના સમૂહનું સમીકરણ $(2x + 3y + z + 20) + \lambda(x - 3y + 5z - 8) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(2 + \lambda)x + (3 - 3\lambda)y + (1 + 5\lambda)z + (20 - 8\lambda) = 0$ થાય છે.
સમતલ કાટખૂણે ફરેલું હોવાથી,નવું સમતલ મૂળ સમતલ $2x + 3y + z + 20 = 0$ ને લંબ છે. તેથી,તેમના અભિલંબનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2 + \lambda) + 3(3 - 3\lambda) + 1(1 + 5\lambda) = 0$
$4 + 2\lambda + 9 - 9\lambda + 1 + 5\lambda = 0$
$14 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 7$.
$\lambda = 7$ મૂકતા,આપણને નવું સમતલ $x - 2y + 4z - 4 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $A(2, -1/2, 2)$ નું સમતલ $x - 2y + 4z - 4 = 0$ માં પ્રતિબિંબ $B(a, b, c)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\frac{a - 2}{1} = \frac{b + 1/2}{-2} = \frac{c - 2}{4} = -2 \frac{2 - 2(-1/2) + 4(2) - 4}{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = -2/3$.
તેથી $a = 4/3, b = 5/6, c = -2/3$ મળે છે.
આમ,$B = (8/6, 5/6, -4/6)$ હોવાથી $\frac{a}{8} = \frac{b}{5} = \frac{c}{-4}$ થાય છે.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{3} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (4\lambda - 2, 2\lambda + 1, 3\lambda - 1)$ છે.
ધારો કે $A = (1, 2, 4)$. સદિશ $\vec{AP} = (4\lambda - 3, 2\lambda - 1, 3\lambda - 5)$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$AP \perp \text{રેખા}$ હોવાથી,$\vec{AP} \cdot \vec{b} = 0$.
$4(4\lambda - 3) + 2(2\lambda - 1) + 3(3\lambda - 5) = 0$.
$16\lambda - 12 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 15 = 0$.
$29\lambda - 29 = 0 \implies \lambda = 1$.
$P$ ના યામમાં $\lambda = 1$ મૂકતા,$P = (2, 3, 2)$ મળે છે.
સમતલ $3x + 4y + 12z + 23 = 0$ થી $P(2, 3, 2)$ નું અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|3(2) + 4(3) + 12(2) + 23|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}} = \frac{|6 + 12 + 24 + 23|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{|65|}{\sqrt{169}} = \frac{65}{13} = 5$.

(D) ધારો કે $P = (a, b, c)$ અને $P' = (a - 6, \beta, \gamma)$. $PP'$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left(\frac{a + a - 6}{2}, \frac{b + \beta}{2}, \frac{c + \gamma}{2}\right) = \left(a - 3, \frac{b + \beta}{2}, \frac{c + \gamma}{2}\right)$ છે.
કારણ કે $M$ એ સમતલ $3x - 4y + 12z + 19 = 0$ પર આવેલું છે,તેથી:
$3(a - 3) - 4\left(\frac{b + \beta}{2}\right) + 12\left(\frac{c + \gamma}{2}\right) + 19 = 0$
$3a - 9 - 2(b + \beta) + 6(c + \gamma) + 19 = 0$
$3a - 2b - 2\beta + 6c + 6\gamma + 10 = 0 \quad \dots(1)$
$PP'$ એ સમતલના અભિલંબ $(3, -4, 12)$ ને સમાંતર હોવાથી,$PP'$ ના દિકગુણોત્તર $(3, -4, 12)$ ના પ્રમાણમાં છે:
$\frac{(a - 6) - a}{3} = \frac{\beta - b}{-4} = \frac{\gamma - c}{12} = k$
$\frac{-6}{3} = k \Rightarrow k = -2$
તેથી,$\beta - b = -4(-2) = 8 \Rightarrow \beta = b + 8$
$\gamma - c = 12(-2) = -24 \Rightarrow \gamma = c - 24$
આપેલ છે કે $a + b + c = 5$,તેથી $b = \beta - 8$ અને $c = \gamma + 24$. $a + b + c = 5$ માં મૂકતા:
$a + (\beta - 8) + (\gamma + 24) = 5 \Rightarrow a = -\beta - \gamma - 11$
$a, b, c$ ની કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3(-\beta - \gamma - 11) - 2(\beta - 8) - 2\beta + 6(\gamma + 24) + 6\gamma + 10 = 0$
$-3\beta - 3\gamma - 33 - 2\beta + 16 - 2\beta + 6\gamma + 144 + 6\gamma + 10 = 0$
$-7\beta + 9\gamma + 137 = 0$
$7\beta - 9\gamma = 137$

(B) સમતલો $-x + 2y - z = 0$ અને $3x - 5y + 2z = 0$ ની છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ છે.
તેથી,રેખાના દિક્ગુણોત્તરો $(1, 1, 1)$ છે.
ધારો કે $T$ એ રેખા પર $P(1, -2, 3)$ નો પ્રક્ષેપ છે. રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(\alpha, \alpha, \alpha)$ છે.
સદિશ $\vec{PT} = (\alpha - 1, \alpha + 2, \alpha - 3)$.
કારણ કે $\vec{PT}$ એ રેખા $(1, 1, 1)$ ને લંબ છે,તેથી $1(\alpha - 1) + 1(\alpha + 2) + 1(\alpha - 3) = 0$,જે $3\alpha - 2 = 0$ આપે છે,તેથી $\alpha = \frac{2}{3}$.
બિંદુ $T$ એ $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ છે.
$PT^2 = (\frac{2}{3} - 1)^2 + (\frac{2}{3} + 2)^2 + (\frac{2}{3} - 3)^2 = \frac{1 + 64 + 49}{9} = \frac{114}{9} = \frac{38}{3}$.
$\triangle PQT$ માં,$\cos \theta = \frac{PT}{PQ} = \frac{\sqrt{38/3}}{\sqrt{18}} = \sqrt{\frac{19}{27}}$.
તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{19}{27}} = \sqrt{\frac{8}{27}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle PQT) = PT \times (PQ \sin \theta) = \sqrt{\frac{38}{3}} \times \sqrt{18} \times \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3} \sqrt{38}$.

(A) સમતલો $5x + 8y + 13z - 29 = 0$ અને $8x - 7y + z - 20 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $(5x + 8y + 13z - 29) + \lambda(8x - 7y + z - 20) = 0$ છે.
બિંદુ $(2, 1, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $P_{1}$ માટે:
$(5(2) + 8(1) + 13(3) - 29) + \lambda(8(2) - 7(1) + 3 - 20) = 0$
$28 - 8\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{2}$.
સમીકરણમાં $\lambda = \frac{7}{2}$ મૂકતા: $2x - y + z = 6$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_{1}} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
બિંદુ $(0, 1, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $P_{2}$ માટે:
$(5(0) + 8(1) + 13(2) - 29) + \lambda(8(0) - 7(1) + 2 - 20) = 0$
$5 - 25\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{5}$.
સમીકરણમાં $\lambda = \frac{1}{5}$ મૂકતા: $x + y + 2z = 5$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_{2}} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{||\vec{n_{1}}|| ||\vec{n_{2}}||} = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(B) બે સમતલો $P_1: \vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 6 = 0$ અને $P_2: \vec{r} \cdot (-6\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) - 7 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ છે.
આપેલ સમતલોની કિંમત મૂકતા:
$(\vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 6) + \lambda(\vec{r} \cdot (-6\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) - 7) = 0$
આ સમતલ બિંદુ $(2, 3, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\vec{r} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$ મૂકતા:
$(2 + 9 - 1/2 - 6) + \lambda(-12 + 15 - 1/2 - 7) = 0$
$4.5 - 4.5\lambda = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ મૂકતા:
$\vec{r} \cdot (-5\hat{i} + 8\hat{j} - 2\hat{k}) = 13$.
અહીં $\vec{a} = -5\hat{i} + 8\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $d = 13$ છે.
તેથી $|\vec{a}|^2 = 25 + 64 + 4 = 93$.
હવે $\frac{|13\vec{a}|^2}{d^2} = \frac{13^2 |\vec{a}|^2}{d^2} = \frac{169 \times 93}{169} = 93$.

(B) રેખા બિંદુ $(2, -1, -3)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા સમતલ $px - qy + z = 5$ પર આવેલી હોવાથી,આ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$p(2) - q(-1) + (-3) = 5 \Rightarrow 2p + q = 8$ --- $(i)$
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, -2, -1)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = (p, -q, 1)$ છે. રેખા સમતલ પર હોવાથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$3(p) + (-2)(-q) + (-1)(1) = 0 \Rightarrow 3p + 2q = 1$ --- $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4p + 2q = 16$
તેમાંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(4p + 2q) - (3p + 2q) = 16 - 1 \Rightarrow p = 15$
$p = 15$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2(15) + q = 8 \Rightarrow 30 + q = 8 \Rightarrow q = -22$
સમતલનું સમીકરણ $15x + 22y + z = 5$ અથવા $15x + 22y + z - 5 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|-5|}{\sqrt{15^2 + 22^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{225 + 484 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{710}} = \sqrt{\frac{25}{710}} = \sqrt{\frac{5}{142}}$.

(B) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં બિંદુ $P(x_0, y_0, z_0)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(x, y, z)$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$.
$P(1, 2, 1)$ અને $x + 2y + 2z - 16 = 0$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{2} = -2 \frac{1 + 2(2) + 2(1) - 16}{1^2 + 2^2 + 2^2} = -2 \frac{1 + 4 + 2 - 16}{9} = -2 \frac{-9}{9} = 2$.
આમ,$x-1 = 2 \Rightarrow x = 3$,$y-2 = 4 \Rightarrow y = 6$,$z-1 = 4 \Rightarrow z = 5$. તેથી $Q = (3, 6, 5)$.
સમતલ $T$ એ $Q(3, 6, 5)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા જે $A(0, 0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ ધરાવે છે,તેને સમાવે છે.
સદિશ $\vec{AQ} = (3-0)\hat{i} + (6-0)\hat{j} + (5 - (-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
સમતલ $T$ નો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{AQ} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 6 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(12-6) - \hat{j}(6-6) + \hat{k}(3-6) = 6\hat{i} - 3\hat{k}$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણે $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{k}$ લઈ શકીએ.
સમતલ $T$ નું સમીકરણ $2(x-0) + 0(y-0) - 1(z+1) = 0 \Rightarrow 2x - z = 1$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(1, 2, 1)$ માટે,$2(1) - 1 = 1$. તેથી,$(1, 2, 1)$ એ $T$ પર આવેલું છે.

(C) બિંદુઓ $P(1, 2, -1)$ અને $Q(2, -1, 3)$ એ સમતલ $-x + y + z - 1 = 0$ ની એક જ બાજુએ આવેલા છે.
સમતલથી બિંદુ $P$ નું લંબ અંતર $\left|\frac{-(1) + (2) + (-1) - 1}{\sqrt{(-1)^{2} + 1^{2} + 1^{2}}}\right| = \left|\frac{-1}{\sqrt{3}}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
સમતલથી બિંદુ $Q$ નું લંબ અંતર $\left|\frac{-(2) + (-1) + (3) - 1}{\sqrt{(-1)^{2} + 1^{2} + 1^{2}}}\right| = \left|\frac{-1}{\sqrt{3}}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
આમ,લંબ અંતર સમાન હોવાથી,રેખાખંડ $PQ$ એ આપેલ સમતલને સમાંતર છે. તેથી,લંબપાદ $M$ અને $N$ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેના અંતર જેટલું જ થાય.
$d = |PQ| = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (-1 - 2)^{2} + (3 - (-1))^{2}}$
$d = \sqrt{1^{2} + (-3)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}$.
તેથી,$d^{2} = 26$.

(B) સમતલ $P_{1}$ નું સમીકરણ $2x + y - 3z = 4$ છે. તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_{1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સમતલ $P_{2}$ એ બિંદુઓ $A(2, -3, 2)$,$B(2, -2, -3)$ અને $C(1, -4, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલમાં રહેલા સદિશો $\vec{AB} = \hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{AC} = -\hat{i} - \hat{j}$ છે.
$P_{2}$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_{2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -5 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ છે.
છેદરેખાના દિકગુણોત્તરો $\vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ -5 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 16\hat{i} + 13\hat{j} + 15\hat{k}$ મળે છે.
સરખામણી કરતા,$\alpha = 13$ અને $\beta = 15$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 13 + 15 = 28$.

(C) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n}_2 = (1, -1, 2)$ છે.
સમતલ $E$ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_3 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ થશે.
$\vec{n}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(-2+2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 0)$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $P(1, -1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $E$ નું સમીકરણ $1(x-1) + 1(y+1) + 0(z-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 0$ થાય છે.
બિંદુ $Q(a, a, 2)$ નું $x + y = 0$ થી અંતર $\frac{|a + a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2a|}{\sqrt{2}} = |a|\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે $|a|\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$,તેથી $|a| = 3$,એટલે કે $a = \pm 3$.
જો $a = 3$ હોય,તો $Q = (3, 3, 2)$. તેથી $PQ^2 = (3-1)^2 + (3+1)^2 + (2-1)^2 = 2^2 + 4^2 + 1^2 = 4 + 16 + 1 = 21$.
જો $a = -3$ હોય,તો $Q = (-3, -3, 2)$. તેથી $PQ^2 = (-3-1)^2 + (-3+1)^2 + (2-1)^2 = (-4)^2 + (-2)^2 + 1^2 = 16 + 4 + 1 = 21$.
આમ,$(PQ)^2 = 21$.

(C) ધારો કે સમતલ $P$ નું સમીકરણ $a(x-3) + b(y+4) + c(z-7) = 0$ છે. તે $(9, -1, -5)$ દિશા ગુણોત્તર વાળી રેખાને સમાવે છે,તેથી $9a - b - 5c = 0$.
સમતલ $P$ એ $\vec{v_1} = (2, 3, 5)$ અને $\vec{v_2} = (3, 7, 8)$ દિશા સદિશો ધરાવતી રેખાઓને સમાવતા સમતલને લંબ છે. આ બીજા સમતલનો અભિલંબ $\vec{n_2} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-11, -1, 5)$ છે.
સમતલ $P$ આ સમતલને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\vec{n_1} = (a, b, c)$ એ $\vec{n_2}$ ને લંબ છે,તેથી $-11a - b + 5c = 0$.
$9a - b - 5c = 0$ અને $-11a - b + 5c = 0$ ને ઉકેલતા,આપણને $a = -b$ અને $c = -2b$ મળે છે.
$b = -1$ લેતા,$a = 1$ અને $c = 2$ મળે છે. તેથી અભિલંબ સદિશ $(1, -1, 2)$ છે.
સમતલ $P$ નું સમીકરણ $1(x-3) - 1(y+4) + 2(z-7) = 0$ એટલે કે $x - y + 2z = 21$ થાય છે.
બિંદુ $(2, -5, 11)$ થી સમતલ $x - y + 2z - 21 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|2 - (-5) + 2(11) - 21|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{6}}$ છે.
તેથી,$d^2 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$.

(D) ધારો કે $L_1: \frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ અને $L_2: \frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-1}{1}$.
લઘુત્તમ અંતરની રેખાની દિશા $\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ $P: ax-y-z=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$,જ્યાં $\vec{n} = (a, -1, -1)$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{27}}$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{2}{27}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.
આમ,$\frac{|-a - 2 + 2|}{\sqrt{9} \sqrt{a^2+2}} = \frac{5}{3\sqrt{3}} \implies \frac{|a|}{3\sqrt{a^2+2}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{a^2}{a^2+2} = \frac{25}{3} \implies 3a^2 = 25a^2 + 50$. આ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી. પ્રશ્નમાં ભૂલ હોઈ શકે છે,પરંતુ ગણતરી મુજબ સાચો વિકલ્પ $3$ મળે છે.

(B) બંને રેખાઓ બિંદુ $P(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v}_1 = \hat{i} + a\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = -\hat{i} + \hat{j} - a\hat{k}$ છે.
આ રેખાઓને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & a & -1 \\ -1 & 1 & -a \end{vmatrix} = (1-a^2)\hat{i} + (a+1)\hat{j} + (1+a)\hat{k}$.
$(1+a)$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = (1-a)\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.
બિંદુ $(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}'$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$(1-a)(x-1) + 1(y-1) + 1(z-0) = 0 \implies (1-a)x + y + z + a - 2 = 0$.
બિંદુ $(2, 1, 4)$ થી સમતલનું લંબ અંતર $\sqrt{3}$ આપેલું છે:
$\frac{|(1-a)(2) + 1 + 4 + a - 2|}{\sqrt{(1-a)^2 + 1^2 + 1^2}} = \sqrt{3}$.
$\frac{|5 - a|}{\sqrt{a^2 - 2a + 3}} = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5-a)^2 = 3(a^2 - 2a + 3)$.
$25 - 10a + a^2 = 3a^2 - 6a + 9$.
$2a^2 + 4a - 16 = 0 \implies a^2 + 2a - 8 = 0$.
$(a+4)(a-2) = 0$,તેથી $a = 2$ અથવા $a = -4$.
$a$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે.

(C) રેખા $L$ બનાવતા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = \ell \hat{i} - \hat{j} + 3(1-\ell) \hat{k}$ અને $\vec{n}_{2} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \ell & -1 & 3(1-\ell) \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (6\ell - 5) \hat{i} + (3 - 2\ell) \hat{j} + (2\ell + 1) \hat{k}$.
સમતલ $3x - 8y + 7z = 4$ માં રેખા $L$ સમાયેલી છે,તેથી આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_{3} = 3\hat{i} - 8\hat{j} + 7\hat{k}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n}_{3} = 0$:
$3(6\ell - 5) - 8(3 - 2\ell) + 7(2\ell + 1) = 0$
$48\ell - 32 = 0 \implies \ell = \frac{2}{3}$.
$\ell = \frac{2}{3}$ મુકતા,$\vec{v} = -1\hat{i} + \frac{5}{3}\hat{j} + \frac{7}{3}\hat{k}$.
રેખા $L$ અને $y$-અક્ષ $(\hat{j})$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \hat{j}|}{|\vec{v}| |\hat{j}|}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{1 + \frac{25}{9} + \frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{83}}{3}$.
$\cos \theta = \frac{5/3}{\sqrt{83}/3} = \frac{5}{\sqrt{83}}$.
તેથી,$415 \cos^{2} \theta = 415 \times \frac{25}{83} = 125$.

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = a\hat{i} + b\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & b & 0 \\ a & b & c \end{vmatrix} = (bc)\hat{i} - (ac)\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખાના દિકગુણોત્તર $(b, -a, 0)$ ના પ્રમાણમાં છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\sin \theta = \left| \frac{Al + Bm + Cn}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \sqrt{A^2+B^2+C^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,રેખાના દિકગુણોત્તર $(b, -a, 0)$ છે અને સમતલ $y - z + 2 = 0$ નો અભિલંબ $\vec{N} = (0, 1, -1)$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = 30^{\circ}$,તેથી $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = \left| \frac{-a}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{2}} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{a^2}{2(a^2+b^2)} \Rightarrow a^2+b^2 = 2a^2 \Rightarrow b^2 = a^2 \Rightarrow b = \pm a$.
જો $b = a$ હોય,તો દિકગુણોત્તર $(a, -a, 0)$ મળે,તેથી દિકકોસાઇન $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ મળે.
જો $b = -a$ હોય,તો દિકગુણોત્તર $(-a, -a, 0)$ મળે,તેથી દિકકોસાઇન $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ મળે.
આમ,દિકકોસાઇન $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ અથવા $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ છે,જે વિકલ્પ $A$ અને $B$ ને અનુરૂપ છે.