Line and Plane Questions in Hindi

(A) रेखा का समीकरण $r = (i + 2j - k) + \lambda (i - j + k)$ है। रेखा का दिशा सदिश $b = i - j + k$ है।
समतल का समीकरण $r \cdot (2i - j + k) = 4$ है। समतल का अभिलंब सदिश $n = 2i - j + k$ है।
रेखा और अभिलंब के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|b \cdot n|}{|b| |n|}$ है।
अदिश गुणनफल: $b \cdot n = (1)(2) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4$.
परिमाण: $|b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|n| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{3} \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$.
हालांकि,विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $\sin^{-1} \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$ है।

(A) स्थिति सदिश $\vec{a}$ वाले बिंदु $P$ की समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ से लंबवत दूरी का सूत्र है: $D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{|\vec{n}|}$।
यहाँ बिंदु $\vec{a} = 2i + j - k$ और समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (i - 2j + 4k) = 9$ दिया गया है,इसलिए $\vec{n} = i - 2j + 4k$ और $d = 9$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(4) = 2 - 2 - 4 = -4$ ज्ञात करें।
इसके बाद,अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$ ज्ञात करें।
इन मानों को दूरी के सूत्र में रखने पर: $D = \frac{|-4 - 9|}{\sqrt{21}} = \frac{|-13|}{\sqrt{21}} = \frac{13}{\sqrt{21}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समतल का समीकरण $r \cdot (i + 2j + 2k) = 15$ है। समतल का अभिलंब सदिश $n = i + 2j + 2k$ है।
गोले का समीकरण $|r - (j + 2k)| = 4$ है,जिसका केंद्र $C_0 = (0, 1, 2)$ और त्रिज्या $R = 4$ है।
वृत्त का केंद्र,गोले के केंद्र $C_0$ का समतल पर प्रक्षेप है।
$C_0$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $r = (j + 2k) + \lambda (i + 2j + 2k) = \lambda i + (1 + 2\lambda) j + (2 + 2\lambda) k$ है।
इसे समतल के समीकरण में रखने पर: $(\lambda i + (1 + 2\lambda) j + (2 + 2\lambda) k) \cdot (i + 2j + 2k) = 15$.
$\lambda + 2(1 + 2\lambda) + 2(2 + 2\lambda) = 15$.
$\lambda + 2 + 4\lambda + 4 + 4\lambda = 15 \Rightarrow 9\lambda + 6 = 15 \Rightarrow 9\lambda = 9 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को रेखा के समीकरण में रखने पर,वृत्त का केंद्र $1i + (1 + 2(1))j + (2 + 2(1))k = i + 3j + 4k$ प्राप्त होता है,जो निर्देशांक $(1, 3, 4)$ के अनुरूप है।

(C) दिए गए बिंदुओं के स्थिति सदिश $a = i - j + 3k$ और $b = 3i + 3j + 3k$ हैं।
समतल का समीकरण $r \cdot (5i + 2j - 7k) + 9 = 0$ है। मान लीजिए $f(r) = r \cdot (5i + 2j - 7k) + 9$.
बिंदु $A$ के लिए,हम $f(a) = (i - j + 3k) \cdot (5i + 2j - 7k) + 9 = (1)(5) + (-1)(2) + (3)(-7) + 9 = 5 - 2 - 21 + 9 = -9$ की गणना करते हैं।
चूंकि $f(a) < 0$ है,बिंदु $A$ समतल के एक ओर स्थित है।
बिंदु $B$ के लिए,हम $f(b) = (3i + 3j + 3k) \cdot (5i + 2j - 7k) + 9 = (3)(5) + (3)(2) + (3)(-7) + 9 = 15 + 6 - 21 + 9 = 9$ की गणना करते हैं।
चूंकि $f(b) > 0$ है,बिंदु $B$ समतल के दूसरी ओर स्थित है।
चूंकि $f(a)$ और $f(b)$ के चिह्न विपरीत हैं,इसलिए बिंदु $A$ और $B$ समतल के विपरीत ओर स्थित हैं।

(A) समतलों $P_1: r \cdot n_1 = d_1$ और $P_2: r \cdot n_2 = d_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(r \cdot n_1 - d_1) + \lambda (r \cdot n_2 - d_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n_1 = i + 3j - k$,$d_1 = 0$,$n_2 = j + 2k$,और $d_2 = 0$ है।
अतः,समीकरण $(r \cdot (i + 3j - k)) + \lambda (r \cdot (j + 2k)) = 0$ होगा ..... $(i)$
यह समतल बिंदु $(2, 1, -1)$ से गुजरता है,जिसका स्थिति सदिश $a = 2i + j - k$ है।
समीकरण $(i)$ में $r = 2i + j - k$ रखने पर:
$((2i + j - k) \cdot (i + 3j - k)) + \lambda ((2i + j - k) \cdot (j + 2k)) = 0$
$(2(1) + 1(3) + (-1)(-1)) + \lambda (2(0) + 1(1) + (-1)(2)) = 0$
$(2 + 3 + 1) + \lambda (0 + 1 - 2) = 0$
$6 + \lambda (-1) = 0 \Rightarrow \lambda = 6$
अब $\lambda = 6$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$r \cdot (i + 3j - k) + 6(r \cdot (j + 2k)) = 0$
$r \cdot (i + 3j - k + 6j + 12k) = 0$
$r \cdot (i + 9j + 11k) = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) समतलों $r \cdot (3i - j + k) = 1$ और $r \cdot (i + 4j - 2k) = 2$ की प्रतिच्छेदन रेखा सदिश $n = n_1 \times n_2$ के समानांतर है,जहाँ $n_1 = 3i - j + k$ और $n_2 = i + 4j - 2k$ है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $n = n_1 \times n_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = i(2 - 4) - j(-6 - 1) + k(12 + 1) = -2i + 7j + 13k$.
समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $n = -2i + 7j + 13k$ है।
समतल $a = i + 2j - k$ बिंदु से गुजरता है।
समतल का समीकरण $(r - a) \cdot n = 0$ है,जिसे $r \cdot n = a \cdot n$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$r \cdot (-2i + 7j + 13k) = (i + 2j - k) \cdot (-2i + 7j + 13k) = -2 + 14 - 13 = -1$.
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $r \cdot (2i - 7j - 13k) = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाएं $r = (i + j) + \lambda (i + 2j - k)$ और $r = (i + j) + \mu (-i + j - 2k)$ हैं।
दोनों रेखाएं बिंदु $a = i + j$ से होकर गुजरती हैं।
ये रेखाएं क्रमशः सदिशों $b = i + 2j - k$ और $c = -i + j - 2k$ के समानांतर हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $n$,क्रॉस प्रोडक्ट $n = b \times c$ द्वारा प्राप्त होता है।
$n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = i(-4 + 1) - j(-2 - 1) + k(1 + 2) = -3i + 3j + 3k$.
हम अभिलंब सदिश को $-3$ से विभाजित करके सरल बना सकते हैं,अतः $n' = i - j - k$।
समतल का समीकरण $(r - a) \cdot n' = 0$ है।
मान रखने पर,$(r - (i + j)) \cdot (i - j - k) = 0$।
$r \cdot (i - j - k) - (i + j) \cdot (i - j - k) = 0$।
$r \cdot (i - j - k) - (1 - 1 + 0) = 0$।
$r \cdot (i - j - k) = 0$।

(C) रेखा का समीकरण $r = a + \lambda b$ है,जहाँ $b = -i + j + k$ है।
समतल का समीकरण $r \cdot n = d$ है,जहाँ $n = 3i + 2j - k$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|b \cdot n|}{|b||n|}$ है।
यहाँ,$b \cdot n = (-1)(3) + (1)(2) + (1)(-1) = -3 + 2 - 1 = -2$ है।
$|b| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
$|n| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$ है।
अतः,$\sin \theta = \frac{|-2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{42}}$ है।
इसलिए,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right)$।

(B) बिंदुओं $A = i - 2j + k$ और $B = -2j + 3k$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $r = A + \lambda(B - A)$ है।
$r = (i - 2j + k) + \lambda(-i + 2k) = (1 - \lambda)i - 2j + (1 + 2\lambda)k$ ... $(i)$
समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$,$P = 4j$ और $Q = 2i + k$ से गुजरता है। समतल का अभिलंब सदिश $n = P \times Q = (4j) \times (2i + k) = 8(j \times i) + 4(j \times k) = -8k + 4i = 4i - 8k$ है।
समतल का समीकरण $r \cdot (4i - 8k) = 0$ है ... $(ii)$
$(i)$ से बिंदु को $(ii)$ में रखने पर:
$((1 - \lambda)i - 2j + (1 + 2\lambda)k) \cdot (4i - 8k) = 0$
$4(1 - \lambda) - 8(1 + 2\lambda) = 0$
$4 - 4\lambda - 8 - 16\lambda = 0$
$-4 - 20\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{5}$
$\lambda = -\frac{1}{5}$ को $(i)$ में रखने पर:
$r = (i - 2j + k) - \frac{1}{5}(-i + 2k) = i - 2j + k + \frac{1}{5}i - \frac{2}{5}k = \frac{6}{5}i - 2j + \frac{3}{5}k = \frac{1}{5}(6i - 10j + 3k)$.

(A) दी गई रेखा $r = (i + j) + \lambda (2i + j + 4k)$ है।
यह रेखा बिंदु $P(1, 1, 0)$ से गुजरती है और सदिश $v = 2i + j + 4k$ के समानांतर है।
इस रेखा को समाहित करने वाले समतल के लिए शर्त यह है कि बिंदु $P(1, 1, 0)$ समतल पर स्थित होना चाहिए और समतल का अभिलंब सदिश $n$,रेखा के दिशा सदिश $v$ के लंबवत होना चाहिए।
माना समतल का समीकरण $r \cdot n = d$ है।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $r \cdot (i + 2j - k) = 3$.
$1$. जाँचें कि क्या बिंदु $P(1, 1, 0)$ समतल पर स्थित है: $(i + j) \cdot (i + 2j - k) = (1)(1) + (1)(2) + (0)(-1) = 1 + 2 = 3$. यह शर्त पूरी होती है।
$2$. जाँचें कि क्या रेखा समतल के समानांतर है: अभिलंब सदिश $n = i + 2j - k$ को रेखा के दिशा सदिश $v = 2i + j + 4k$ के लंबवत होना चाहिए।
$n \cdot v = (i + 2j - k) \cdot (2i + j + 4k) = (1)(2) + (2)(1) + (-1)(4) = 2 + 2 - 4 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है।
अतः,समतल $r \cdot (i + 2j - k) = 3$ दी गई रेखा को समाहित करता है।

(D) रेखा $r = a + \lambda b$ के रूप में है,जहाँ $a = 2i - 2j + 3k$ और $b = i - j + 4k$ है।
समतल $r \cdot n = d$ के रूप में है,जहाँ $n = i + 5j + k$ और $d = 5$ है।
सबसे पहले,$b \cdot n$ की गणना करके जाँचें कि क्या रेखा समतल के समानांतर है:
$b \cdot n = (i - j + 4k) \cdot (i + 5j + k) = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$.
चूँकि $b \cdot n = 0$ है,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है।
समानांतर रेखा और समतल के बीच की दूरी का सूत्र:
$Distance = \left| \frac{d - a \cdot n}{|n|} \right|$
$a \cdot n = (2i - 2j + 3k) \cdot (i + 5j + k) = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$.
$|n| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
$Distance = \left| \frac{5 - (-5)}{3\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{10}{3\sqrt{3}} \right| = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(C) माना $Q$ समतल $\vec{r} \cdot (\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) = 1$ में बिंदु $P(\vec{i} + 3\vec{k})$ का प्रतिबिंब है। तब रेखा $PQ$ समतल के लंबवत है।
चूंकि $PQ$,$P$ से होकर गुजरती है और दिए गए समतल के लंबवत है,इसलिए रेखा $PQ$ का समीकरण $\vec{r} = (\vec{i} + 3\vec{k}) + \lambda(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k})$ है।
चूंकि $Q$,रेखा $PQ$ पर स्थित है,इसलिए $Q$ का स्थिति सदिश $(1 + \lambda)\vec{i} + \lambda\vec{j} + (3 + \lambda)\vec{k}$ मान लें।
माना $R$,$PQ$ का मध्य बिंदु है। $R$ का स्थिति सदिश $\frac{(\vec{i} + 3\vec{k}) + ((1 + \lambda)\vec{i} + \lambda\vec{j} + (3 + \lambda)\vec{k})}{2} = (\frac{\lambda + 2}{2})\vec{i} + (\frac{\lambda}{2})\vec{j} + (\frac{\lambda + 6}{2})\vec{k}$ है।
चूंकि $R$ समतल $\vec{r} \cdot (\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) = 1$ पर स्थित है,इसलिए:
$(\frac{\lambda + 2}{2} + \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda + 6}{2}) = 1$
$\frac{3\lambda + 8}{2} = 1$
$3\lambda + 8 = 2$
$3\lambda = -6 \implies \lambda = -2$.
$Q$ के स्थिति सदिश में $\lambda = -2$ रखने पर:
$Q = (1 - 2)\vec{i} + (-2)\vec{j} + (3 - 2)\vec{k} = -\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$.

(B) रेखा का समीकरण $r = (i - j + k) + t(i + j - k)$ है।
इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु को $(1 + t, -1 + t, 1 - t)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
समतल का समीकरण $r \cdot (i + j + k) = 5$ है,जो कार्तीय रूप में $x + y + z = 5$ है।
चूंकि बिंदु समतल पर स्थित है,इसलिए यह समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(1 + t) + (-1 + t) + (1 - t) = 5$
$1 + t = 5$
$t = 4$
$t = 4$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 1 + 4 = 5$
$y = -1 + 4 = 3$
$z = 1 - 4 = -3$
अतः,बिंदु $(5, 3, -3)$ है और इसका स्थिति सदिश $5i + 3j - 3k$ है।

(B) समतलों $r \cdot (i - 3j + k) = 1$ और $r \cdot (2i + 5j - 3k) = 2$ की प्रतिच्छेदन रेखा,दोनों अभिलंब सदिशों $n_1 = i - 3j + k$ और $n_2 = 2i + 5j - 3k$ के लंबवत होती है।
अतः,यह रेखा $n_1 \times n_2$ सदिश के समांतर है।
$n_1 \times n_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{vmatrix}$
$= i((-3)(-3) - (1)(5)) - j((1)(-3) - (1)(2)) + k((1)(5) - (-3)(2))$
$= i(9 - 5) - j(-3 - 2) + k(5 + 6)$
$= 4i + 5j + 11k$.

(D) $XOZ$ समतल का समीकरण $y = 0$ होता है।
माना कि समतल $y = 0$,बिंदुओं $A(1, -1, 5)$ और $B(2, 3, 4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$0 = \frac{\lambda(3) + 1(-1)}{\lambda + 1}$
$0 = 3\lambda - 1$
$3\lambda = 1$
$\lambda = \frac{1}{3}$
अतः,अनुपात $\frac{1}{3} : 1$ है।

(A) रेखा दो समतलों के प्रतिच्छेदन से बनी है: $x - y + z - 5 = 0$ और $x - 3y - 6 = 0$।
माना रेखा के दिक अनुपात $(l, m, n)$ हैं।
समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -3, 0)$ हैं।
रेखा की दिशा दोनों अभिलंबों के लंबवत होती है,इसलिए यह सदिश गुणनफल $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-3)) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(-3 - (-1))$
$\vec{v} = 3\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$।
अतः,दिक अनुपात $(3, 1, -2)$ हैं।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(C) दो रेखाएँ $\frac{x - x_1}{l_1} = \frac{y - y_1}{m_1} = \frac{z - z_1}{n_1}$ और $\frac{x - x_2}{l_2} = \frac{y - y_2}{m_2} = \frac{z - z_2}{n_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$ है।
अतः,$x_2 - x_1 = -1$,$y_2 - y_1 = 1$,$z_2 - z_1 = 1$ प्राप्त होता है।
शर्त के अनुसार $\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ होगा।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 1(2 - k) = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = -3$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु $P(1, 1, 1)$ की मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से दूरी $d_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3}$ है।
बिंदु $P(1, 1, 1)$ की समतल $x - y + z + k = 0$ से दूरी $d_2 = \frac{|1 - 1 + 1 + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|1 + k|}{\sqrt{3}}$ है।
दूरियों का गुणनफल $d_1 \times d_2 = 5$ है।
मान रखने पर,हमें $\sqrt{3} \times \frac{|1 + k|}{\sqrt{3}} = 5$ प्राप्त होता है।
यह $|1 + k| = 5$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $1$: $1 + k = 5 \implies k = 4$।
स्थिति $2$: $1 + k = -5 \implies k = -6$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मान $k = 4$ है।

(A) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
यहाँ दिया गया बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ और समतल $3x - 6y + 2z + 11 = 0$ है।
मान रखने पर:
$d = \frac{|3(2) - 6(3) + 2(4) + 11|}{\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|6 - 18 + 8 + 11|}{\sqrt{9 + 36 + 4}}$
$d = \frac{|7|}{\sqrt{49}}$
$d = \frac{7}{7} = 1$
अतः,दूरी $1$ इकाई है।

(A) दो समतलों $P_1: 2x - y = 0$ और $P_2: y - 3z = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x - y) + \lambda(y - 3z) = 0$
$2x + (\lambda - 1)y - 3\lambda z = 0$ --- $(i)$
यह समतल,समतल $4x + 5y - 3z - 8 = 0$ पर लंब है।
इन दो समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} + (\lambda - 1)\hat{j} - 3\lambda\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
चूंकि समतल लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
$2(4) + (\lambda - 1)(5) + (-3\lambda)(-3) = 0$
$8 + 5\lambda - 5 + 9\lambda = 0$
$14\lambda + 3 = 0$
$\lambda = -\frac{3}{14}$
$\lambda = -\frac{3}{14}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(2x - y) - \frac{3}{14}(y - 3z) = 0$
$28x - 14y - 3y + 9z = 0$
$28x - 17y + 9z = 0$.

(B) बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से समतल $ax + by + cz + d = 0$ पर खींची गई लंब रेखा बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि यह रेखा समतल पर लंब है,इसलिए इसके दिक अनुपात (direction ratios) समतल के अभिलंब सदिश के समान होंगे,जो $(a, b, c)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
दिए गए बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,रेखा का समीकरण $\frac{x - \alpha}{a} = \frac{y - \beta}{b} = \frac{z - \gamma}{c}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समतलों $P_1: x + y + z - 1 = 0$ और $P_2: 2x + 3y - z + 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y - z + 4) = 0$
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 - \lambda)z + (4\lambda - 1) = 0$ ... $(i)$
चूंकि समतल $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $x$-अक्ष (जिसका दिशा सदिश $\vec{i} = (1, 0, 0)$ है) के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$1 + 2\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{2}$
समीकरण $(i)$ में $\lambda = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$(1 + 2(-\frac{1}{2}))x + (1 + 3(-\frac{1}{2}))y + (1 - (-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2}) - 1) = 0$
$0x + (1 - \frac{3}{2})y + (1 + \frac{1}{2})z + (-2 - 1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ से गुणा करने पर,हमें $y - 3z + 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना $M$ बिंदु $P(7, 14, 5)$ से दिए गए समतल $2x + 4y - z = 2$ पर लंबपाद है। रेखा $PM$ समतल के अभिलंब है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात $(2, 4, -1)$ हैं।
बिंदु $(7, 14, 5)$ से गुजरने वाली रेखा $PM$ का समीकरण $\frac{x - 7}{2} = \frac{y - 14}{4} = \frac{z - 5}{-1} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $M(2r + 7, 4r + 14, -r + 5)$ है।
चूंकि $M$ समतल $2x + 4y - z = 2$ पर स्थित है,इसलिए:
$2(2r + 7) + 4(4r + 14) - (-r + 5) = 2$
$4r + 14 + 16r + 56 + r - 5 = 2$
$21r + 65 = 2$
$21r = -63$
$r = -3$
$r = -3$ को $M$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-3) + 7 = 1$
$y = 4(-3) + 14 = 2$
$z = -(-3) + 5 = 8$
अतः,लंबपाद $M(1, 2, 8)$ है।
लंब की लंबाई $PM$,$(7, 14, 5)$ और $(1, 2, 8)$ के बीच की दूरी है:
$PM = \sqrt{(1 - 7)^2 + (2 - 14)^2 + (8 - 5)^2}$
$PM = \sqrt{(-6)^2 + (-12)^2 + (3)^2}$
$PM = \sqrt{36 + 144 + 9} = \sqrt{189} = 3\sqrt{21}$.
इस प्रकार,लंब की लंबाई $3\sqrt{21}$ और लंबपाद $(1, 2, 8)$ है।

(A) समतलों $P_1: x + y + z - 6 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + 4z + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + z - 6) + \lambda(2x + 3y + 4z + 5) = 0$.
चूंकि समतल बिंदु $(1, 1, 1)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = 1, y = 1, z = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1 + 1 + 1 - 6) + \lambda(2(1) + 3(1) + 4(1) + 5) = 0$.
$(-3) + \lambda(2 + 3 + 4 + 5) = 0$.
$-3 + 14\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{14}$.
अब $\lambda = \frac{3}{14}$ को समीकरण में रखने पर:
$(x + y + z - 6) + \frac{3}{14}(2x + 3y + 4z + 5) = 0$.
$14(x + y + z - 6) + 3(2x + 3y + 4z + 5) = 0$.
$14x + 14y + 14z - 84 + 6x + 9y + 12z + 15 = 0$.
$20x + 23y + 26z - 69 = 0$.

(C) माना कि समतल $x - 2y + 3z - 17 = 0$ बिंदुओं $A(-2, 4, 7)$ और $B(3, -5, 8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{3k - 2}{k + 1}, \frac{-5k + 4}{k + 1}, \frac{8k + 7}{k + 1} \right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - 2y + 3z = 17$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left( \frac{3k - 2}{k + 1} \right) - 2\left( \frac{-5k + 4}{k + 1} \right) + 3\left( \frac{8k + 7}{k + 1} \right) = 17$
$(k + 1)$ से गुणा करने पर:
$(3k - 2) - 2(-5k + 4) + 3(8k + 7) = 17(k + 1)$
$3k - 2 + 10k - 8 + 24k + 21 = 17k + 17$
$37k + 11 = 17k + 17$
$20k = 6$
$k = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $3:10$ है।

(B) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
यहाँ बिंदु $(2, 3, -5)$ और समतल $x + 2y - 2z - 9 = 0$ दिया गया है,इसलिए $A=1, B=2, C=-2, D=-9$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|(1)(2) + (2)(3) + (-2)(-5) - 9|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}$
$d = \frac{|2 + 6 + 10 - 9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}}$
$d = \frac{|9|}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{9}{3} = 3$
अतः,दूरी $3$ इकाई है।

(B) दो समतलों $P_1 = 0$ और $P_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतल $x + 2y + 3z + 4 = 0$ और $4x + 3y + 2z + 1 = 0$ हैं।
अतः,अभीष्ट समतल का समीकरण है:
$(x + 2y + 3z + 4) + \lambda (4x + 3y + 2z + 1) = 0 \quad .....(i)$
चूंकि यह समतल मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x = 0, y = 0, z = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0 + 2(0) + 3(0) + 4) + \lambda (4(0) + 3(0) + 2(0) + 1) = 0$
$4 + \lambda(1) = 0$
$\lambda = -4$
अब,$\lambda = -4$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(x + 2y + 3z + 4) - 4(4x + 3y + 2z + 1) = 0$
$x + 2y + 3z + 4 - 16x - 12y - 8z - 4 = 0$
$-15x - 10y - 5z = 0$
पूरे समीकरण को $-5$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x + 2y + z = 0$

(C) $XOZ$ समतल का समीकरण $y = 0$ है।
माना कि $XOZ$ समतल बिंदुओं $A(2, 3, 1)$ और $B(6, 7, 1)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक:
$P = \left( \frac{k(6) + 2}{k+1}, \frac{k(7) + 3}{k+1}, \frac{k(1) + 1}{k+1} \right)$
चूंकि बिंदु $P$,$XOZ$ समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{7k + 3}{k+1} = 0$
$7k + 3 = 0$
$7k = -3$
$k = -\frac{3}{7}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $-3:7$ है।

(A) समतलों $P_1: x + y + z - 1 = 0$ और $P_2: 2x + 3y - z + 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + z - 1) + \lambda (2x + 3y - z + 4) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 - \lambda)z + (4\lambda - 1) = 0$
चूंकि यह समतल $x$-अक्ष के समांतर है,इसका अभिलंब सदिश $x$-अक्ष के लंबवत होना चाहिए (जिसकी दिशा $\vec{i} = (1, 0, 0)$ है)।
अतः,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$1 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$
समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$(1 + 2(-\frac{1}{2}))x + (1 + 3(-\frac{1}{2}))y + (1 - (-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2}) - 1) = 0$
$0x + (1 - \frac{3}{2})y + (1 + \frac{1}{2})z + (-2 - 1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ से गुणा करने पर:
$y - 3z + 6 = 0$

(D) बिंदु $(0, 1, 2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 0) + b(y - 1) + c(z - 2) = 0$ है,जिसे $ax + b(y - 1) + c(z - 2) = 0 \dots (i)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि समतल $(-1, 0, 3)$ से गुजरता है,इसलिए:
$a(-1 - 0) + b(0 - 1) + c(3 - 2) = 0 \implies -a - b + c = 0 \implies a + b - c = 0 \dots (ii)$.
समतल $(i)$,समतल $2x + 3y + z = 5$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$2a + 3b + c = 0 \dots (iii)$.
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$\frac{a}{1(1) - (-1)(3)} = \frac{-b}{1(1) - (-1)(2)} = \frac{c}{1(3) - 1(2)}$
$\frac{a}{4} = \frac{-b}{3} = \frac{c}{1} = k$.
अतः,$a = 4k, b = -3k, c = k$.
इन मानों को $(i)$ में रखने पर:
$4k(x) - 3k(y - 1) + k(z - 2) = 0$.
$k$ से भाग देने पर:
$4x - 3y + 3 + z - 2 = 0 \implies 4x - 3y + z + 1 = 0$.

(B) मान लीजिए कि बिंदुओं $A(2, -3, 1)$ और $B(3, -4, -5)$ को जोड़ने वाली रेखा को समतल $2x + y + z = 7$ अनुपात $k:1$ में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करके प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के निर्देशांक:
$P = \left( \frac{3k + 2}{k + 1}, \frac{-4k - 3}{k + 1}, \frac{-5k + 1}{k + 1} \right)$
चूंकि बिंदु $P$ समतल $2x + y + z = 7$ पर स्थित है,इसलिए इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2\left( \frac{3k + 2}{k + 1} \right) + \left( \frac{-4k - 3}{k + 1} \right) + \left( \frac{-5k + 1}{k + 1} \right) = 7$
$(k + 1)$ से गुणा करने पर:
$2(3k + 2) + (-4k - 3) + (-5k + 1) = 7(k + 1)$
$6k + 4 - 4k - 3 - 5k + 1 = 7k + 7$
$-3k + 2 = 7k + 7$
$-10k = 5 \implies k = -\frac{1}{2}$
$k = -\frac{1}{2}$ का मान $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = \frac{3(-1/2) + 2}{-1/2 + 1} = 1$
$y = \frac{-4(-1/2) - 3}{-1/2 + 1} = -2$
$z = \frac{-5(-1/2) + 1}{-1/2 + 1} = 7$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, -2, 7)$ है।

(D) माना कि दी गई रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{3} = r$ है।
अतः,रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $x = r$,$y = 2r + 1$,और $z = 3r - 2$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + 3y + z = 0$ पर स्थित है,इसलिए हम इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(r) + 3(2r + 1) + (3r - 2) = 0$.
समीकरण का विस्तार करने पर:
$2r + 6r + 3 + 3r - 2 = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर:
$11r + 1 = 0$,जिससे $r = \frac{-1}{11}$ प्राप्त होता है।
अब,$r = \frac{-1}{11}$ का मान $x, y, z$ के व्यंजकों में रखने पर:
$x = \frac{-1}{11}$,
$y = 2(\frac{-1}{11}) + 1 = \frac{-2}{11} + \frac{11}{11} = \frac{9}{11}$,
$z = 3(\frac{-1}{11}) - 2 = \frac{-3}{11} - \frac{22}{11} = \frac{-25}{11}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{-1}{11}, \frac{9}{11}, \frac{-25}{11})$ है।

(A) दी गई रेखा के दिक्-अनुपात $(3, 4, 0)$ हैं।
$xy$-समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (0, 0, 1)$ है।
एक रेखा जिसका दिक्-सदिश $\vec{b} = (a, b, c)$ है,वह एक समतल (जिसका अभिलंब $\vec{n} = (n_1, n_2, n_3)$ है) के समांतर होती है यदि $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ हो।
यहाँ,$(3, 4, 0) \cdot (0, 0, 1) = (3 \times 0) + (4 \times 0) + (0 \times 1) = 0$ है।
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखा $xy$-समतल के समांतर है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $x = 2y = 3z$ है।
$6$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{6} = \frac{2y}{6} = \frac{3z}{6}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{6} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$ हो जाता है।
रेखा के दिक अनुपात $(6, 3, 2)$ हैं।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए रेखा के दिक अनुपात समतल के अभिलंब सदिश के घटक $(a, b, c)$ होंगे।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 0) + b(y - 0) + c(z - 0) = 0$ होता है,जहाँ $(a, b, c)$ अभिलंब के दिक अनुपात हैं।
$(a, b, c) = (6, 3, 2)$ रखने पर,हमें $6x + 3y + 2z = 0$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 2)$ हैं।
समतल $4x - 2y - z = 1$ के अभिलंब सदिश के दिक अनुपात $(a_2, b_2, c_2) = (4, -2, -1)$ हैं।
रेखा के समतल के समांतर होने के लिए,रेखा के दिक अनुपात और समतल के अभिलंब सदिश का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2)(4) + (3)(-2) + (2)(-1) = 8 - 6 - 2 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखा समतल के समांतर है।
अब,रेखा पर स्थित एक बिंदु $(-3, 4, -5)$ को समतल के समीकरण में रखने पर: $4(-3) - 2(4) - (-5) = -12 - 8 + 5 = -15 \neq 1$।
चूंकि बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए रेखा समतल के समांतर है।

(A) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
यहाँ दिया गया बिंदु $(1, 2, 3)$ है,इसलिए समीकरण $\frac{x - 1}{a} = \frac{y - 2}{b} = \frac{z - 3}{c}$ होगा।
एक रेखा किसी समतल के लंबवत होती है यदि उसके दिक अनुपात समतल के अभिलंब सदिश के दिक अनुपात के समानुपाती हों।
समतल का समीकरण $x + 2y - 5z + 9 = 0$ है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, -5)$ है।
अतः,रेखा के दिक अनुपात $(1, 2, -5)$ होंगे।
इसलिए,रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{-5}$ प्राप्त होता है।

(D) माना समतल का समीकरण $a(x - 4) + b(y - 3) + c(z - 2) = 0$ है।
चूंकि समतल में रेखाएं स्थित हैं,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों $(1, 1, 2)$ और $(1, -4, 5)$ के लंबवत है।
अतः,$a + b + 2c = 0$ और $a - 4b + 5c = 0$।
अभिलंब सदिश $(a, b, c) = (1, 1, 2) \times (1, -4, 5)$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करने पर:
$a = (1)(5) - (2)(-4) = 5 + 8 = 13$।
$b = (2)(1) - (1)(5) = 2 - 5 = -3$।
$c = (1)(-4) - (1)(1) = -4 - 1 = -5$।
अतः अभिलंब सदिश $(13, -3, -5)$ है।
समतल का समीकरण $13(x - 4) - 3(y - 3) - 5(z - 2) = 0$ है।
$13x - 52 - 3y + 9 - 5z + 10 = 0$।
$13x - 3y - 5z - 33 = 0$ या $13x - 3y - 5z = 33$।
चूंकि यह दिए गए किसी भी विकल्प से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(D) बिंदु $(1, 0, -1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 0) + c(z + 1) = 0 \dots (i)$ है।
चूंकि समतल $(3, 2, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $a(3 - 1) + b(2 - 0) + c(2 + 1) = 0$,जो $2a + 2b + 3c = 0 \dots (ii)$ में सरल हो जाता है।
समतल उस रेखा के समांतर है जिसके दिक अनुपात $(2, -2, 3)$ हैं,इसलिए समतल का अभिलंब रेखा के लंबवत है। अतः $2a - 2b + 3c = 0 \dots (iii)$।
समीकरण $(ii)$ से $(iii)$ को घटाने पर,$4b = 0$,अर्थात $b = 0$ प्राप्त होता है।
$b = 0$ को $(ii)$ में रखने पर,$2a + 3c = 0$,या $a = -\frac{3}{2}c$ प्राप्त होता है। यदि $c = 2$ लें,तो $a = -3$ होगा।
अभिलंब सदिश $(-3, 0, 2)$ है।
समतल का समीकरण $-3(x - 1) + 0(y - 0) + 2(z + 1) = 0$ है,जो $-3x + 3 + 2z + 2 = 0$ या $3x - 2z - 5 = 0$ में सरल हो जाता है।

(B) दिक् अनुपात $(l, m, n)$ वाली एक रेखा समतल $ax + by + cz + d = 0$ के समांतर होती है यदि और केवल यदि $al + bm + cn = 0$ हो और रेखा समतल पर स्थित न हो।
दी गई रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 4}{5}$ के लिए,दिक् अनुपात $(l, m, n) = (3, 4, 5)$ हैं।
विकल्प $(b)$ की जाँच करने पर: $2x + y - 2z = 0$। यहाँ $(a, b, c) = (2, 1, -2)$ है।
$al + bm + cn = 2(3) + 1(4) + (-2)(5) = 6 + 4 - 10 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि शर्त $al + bm + cn = 0$ संतुष्ट होती है,इसलिए रेखा समतल $2x + y - 2z = 0$ के समांतर है।

(D) मान लीजिए रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12} = t$ पर कोई बिंदु $(3t + 2, 4t - 1, 12t + 2)$ है।
यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है।
समतल के समीकरण में निर्देशांक रखने पर:
$(3t + 2) - (4t - 1) + (12t + 2) = 5$
$3t + 2 - 4t + 1 + 12t + 2 = 5$
$11t + 5 = 5$
$11t = 0 \Rightarrow t = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3(0) + 2, 4(0) - 1, 12(0) + 2) = (2, -1, 2)$ है।
बिंदु $(2, -1, 2)$ और $(-1, -5, -10)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा:
$d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2 + (-10 - 2)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2}$
$d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(A) माना रेखा के दिक्-अनुपात $(l, m, n)$ हैं।
चूंकि रेखा $x - y + 2z = 5$ और $3x + y + z = 6$ समतलों के समांतर है,इसलिए यह इन समतलों के अभिलंबों के लंबवत होगी।
अभिलंब $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ हैं।
अतः,$l - m + 2n = 0$ और $3l + m + n = 0$ है।
दिक्-अनुपात $(l, m, n) = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करने पर:
$l = (-1)(1) - (2)(1) = -3$
$m = (2)(3) - (1)(1) = 5$
$n = (1)(1) - (-1)(3) = 4$
अतः,दिक्-अनुपात $(-3, 5, 4)$ हैं।
रेखा $(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{4}$ है।

(B) माना रेखा $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{1} = \lambda$ है।
अतः,$x = 3\lambda - 3$,$y = -2\lambda + 2$,और $z = \lambda - 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा समतल $4x + 5y + 3z - 5 = 0$ को प्रतिच्छेद करती है,इसलिए बिंदु $(3\lambda - 3, -2\lambda + 2, \lambda - 1)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$4(3\lambda - 3) + 5(-2\lambda + 2) + 3(\lambda - 1) - 5 = 0$
$12\lambda - 12 - 10\lambda + 10 + 3\lambda - 3 - 5 = 0$
$5\lambda - 10 = 0$
$5\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ को $x, y, z$ के व्यंजकों में रखने पर:
$x = 3(2) - 3 = 3$
$y = -2(2) + 2 = -2$
$z = 2 - 1 = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -2, 1)$ है।

(B) रेखा के दिक अनुपात $(l, m, n)$ हैं।
समतल $ax + by + cz + d = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।
यदि कोई रेखा समतल के समांतर है,तो वह रेखा समतल के अभिलंब के लंबवत होती है।
इसलिए,रेखा के दिक अनुपात और समतल के अभिलंब का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$(l, m, n) \cdot (a, b, c) = 0$
$al + bm + cn = 0$.

(C) समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(ax + by + cz + d) + \lambda (a'x + b'y + c'z + d') = 0$ द्वारा दिया जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x(a + \lambda a') + y(b + \lambda b') + z(c + \lambda c') + (d + \lambda d') = 0$ प्राप्त होता है ... $(i)$।
चूंकि यह समतल रेखा $y = 0, z = 0$ (जो $x$-अक्ष है) के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $x$-अक्ष के दिशा सदिश $(1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,अभिलंब सदिश $(a + \lambda a', b + \lambda b', c + \lambda c')$ और $(1, 0, 0)$ का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$1(a + \lambda a') + 0(b + \lambda b') + 0(c + \lambda c') = 0$।
इससे $a + \lambda a' = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = -\frac{a}{a'}$।
$\lambda = -\frac{a}{a'}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(ax + by + cz + d) - \frac{a}{a'}(a'x + b'y + c'z + d') = 0$।
$a'$ से गुणा करने पर,हमें $a'ax + a'by + a'cz + a'd - aa'x - ab'y - ac'z - ad' = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$(a'b - ab')y + (a'c - ac')z + (a'd - ad') = 0$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $(ab' - a'b)y + (ac' - a'c)z + (ad' - a'd) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) यदि एक रेखा के दिक-अनुपात $(a, b, c)$ हैं और समतल का अभिलंब सदिश $(A, B, C)$ है,तो रेखा समतल के समांतर तब होती है जब उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $aA + bB + cC = 0$.
दी गई रेखा के दिक-अनुपात $(3, 4, 5)$ हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(a)$ अभिलंब सदिश $(2, 3, 4)$ है। अदिश गुणनफल: $(3)(2) + (4)(3) + (5)(4) = 6 + 12 + 20 = 38 \neq 0$.
$(b)$ अभिलंब सदिश $(3, 4, -5)$ है। अदिश गुणनफल: $(3)(3) + (4)(4) + (5)(-5) = 9 + 16 - 25 = 0$.
$(c)$ अभिलंब सदिश $(3, 4, 5)$ है। अदिश गुणनफल: $(3)(3) + (4)(4) + (5)(5) = 9 + 16 + 25 = 50 \neq 0$.
$(d)$ अभिलंब सदिश $(1, 1, 1)$ है। अदिश गुणनफल: $(3)(1) + (4)(1) + (5)(1) = 12 \neq 0$.
चूंकि विकल्प $(b)$ के लिए अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए रेखा समतल $3x + 4y - 5z = 10$ के समांतर है।

(D) सबसे पहले,जांचें कि क्या रेखा समतल के समानांतर है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, -2, 2)$ है और समतल का अभिलंब $\vec{n} = (2, 2, -1)$ है।
चूंकि $\vec{v} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (-2)(2) + (2)(-1) = 6 - 4 - 2 = 0$,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है।
दूरी ज्ञात करने के लिए,रेखा पर कोई भी बिंदु लें,जैसे $P(1, -2, 1)$।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ तक की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $d = \frac{|2(1) + 2(-2) - 1(1) - 6|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 4 - 1 - 6|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$.

(C) रेखा बिंदु $P(1, 2, 3)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(5, 4, 5)$ हैं।
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ और बिंदु $P(1, 2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए सदिश $\vec{OP} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ समतल में स्थित है।
रेखा का दिक सदिश $\vec{v} = 5\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब $\vec{n}$,$\vec{OP} \times \vec{v}$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 12) - \hat{j}(5 - 15) + \hat{k}(4 - 10) = -2\hat{i} + 10\hat{j} - 6\hat{k}$.
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n}' = \hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x - 0) - 5(y - 0) + 3(z - 0) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $x - 5y + 3z = 0$ प्राप्त होता है।

(D) रेखा के दिक अनुपात $\vec{v} = (a, b, c)$ हैं।
समतल $ax + by + cz + 6 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।
चूंकि रेखा के दिक अनुपात समतल के अभिलंब के दिक अनुपात के समानुपाती हैं,इसलिए रेखा समतल पर लंबवत है।
रेखा (दिक सदिश $\vec{v}$) और समतल (अभिलंब सदिश $\vec{n}$) के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ है।
मान रखने पर,$\sin \theta = \frac{|a^2 + b^2 + c^2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.
अतः,$\sin \theta = 1$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^o$।

(D) माना रेखा पर स्थित बिंदु $(x, y, z)$ है।
दी गई रेखा का समीकरण: $\frac{x - 6}{-1} = \frac{y + 1}{0} = \frac{z + 3}{4} = r$ है।
$r$ के पदों में निर्देशांक: $x = -r + 6$,$y = -1$,$z = 4r - 3$ हैं।
चूंकि यह बिंदु समतल $x + y - z = 3$ पर स्थित है,इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-r + 6) + (-1) - (4r - 3) = 3$.
$-r + 6 - 1 - 4r + 3 = 3$.
$-5r + 8 = 3$.
$-5r = -5$.
$r = 1$.
अब $r = 1$ का मान निर्देशांक समीकरणों में रखने पर:
$x = -1 + 6 = 5$.
$y = -1$.
$z = 4(1) - 3 = 1$.
अतः,अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक $(5, -1, 1)$ हैं।

(C) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
समतल $x + y + 4 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
अदिश गुणनफल: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(1) + (-2)(0) = 2 + 1 + 0 = 3$.
परिमाण: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.
मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{|3|}{3 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta = 45^o$।