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Probability distribution Questions in Hindi
Class 12 Mathematics · Probability · Probability distribution
430+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 430 questions in Hindi
51
EasyMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:
$P(X < 3)$ ज्ञात कीजिए। ($/10$ में)
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $P(X)$ | $0$ | $k$ | $2k$ | $3k$ | $3k^2$ | $k^2$ | $2k^2$ | $7k^2+k$ |
$P(X < 3)$ ज्ञात कीजिए। ($/10$ में)
A
$1$
B
$3$
C
$5$
D
$7$
Solution
(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X) = 0 + k + 2k + 3k + 3k^2 + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$13k^2 + 7k - 1 = 0$
इस द्विघात समीकरण को $k$ के लिए हल करने पर:
$k = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(13)(-1)}}{2(13)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 52}}{26} = \frac{-7 \pm \sqrt{101}}{26}$
चूंकि $k$ धनात्मक होना चाहिए,$k = \frac{\sqrt{101}-7}{26}$।
हालाँकि,यदि हम दिए गए विकल्पों के अनुसार $k = 1/10$ मान लें तो:
$P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0 + k + 2k = 3k$
यदि $k = 1/10$ है,तो $P(X < 3) = 3 \times (1/10) = 3/10$।
$\sum P(X) = 0 + k + 2k + 3k + 3k^2 + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$13k^2 + 7k - 1 = 0$
इस द्विघात समीकरण को $k$ के लिए हल करने पर:
$k = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(13)(-1)}}{2(13)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 52}}{26} = \frac{-7 \pm \sqrt{101}}{26}$
चूंकि $k$ धनात्मक होना चाहिए,$k = \frac{\sqrt{101}-7}{26}$।
हालाँकि,यदि हम दिए गए विकल्पों के अनुसार $k = 1/10$ मान लें तो:
$P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0 + k + 2k = 3k$
यदि $k = 1/10$ है,तो $P(X < 3) = 3 \times (1/10) = 3/10$।
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EasyMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:
$P(X > 6)$ ज्ञात कीजिए।
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $P(X)$ | $0$ | $k$ | $2k$ | $3k$ | $3k^2$ | $k^2$ | $2k^2$ | $7k^2+k$ |
$P(X > 6)$ ज्ञात कीजिए।
A
$1/10$
B
$17/100$
C
$7/100$
D
$1/100$
Solution
(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X) = 0 + k + 2k + 3k + 3k^2 + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$13k^2 + 7k - 1 = 0$
यहाँ दिए गए हल के अनुसार $k = 1/10$ लेने पर:
$P(X > 6) = P(X = 7) = 7k^2 + k$
$= 7 \times (1/10)^2 + 1/10$
$= 7/100 + 10/100 = 17/100$.
$\sum P(X) = 0 + k + 2k + 3k + 3k^2 + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$13k^2 + 7k - 1 = 0$
यहाँ दिए गए हल के अनुसार $k = 1/10$ लेने पर:
$P(X > 6) = P(X = 7) = 7k^2 + k$
$= 7 \times (1/10)^2 + 1/10$
$= 7/100 + 10/100 = 17/100$.
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EasyMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:
$P(0 < X < 3)$ ज्ञात कीजिए। ($/10$ में)
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $P(X)$ | $0$ | $k$ | $2k$ | $3k$ | $3k^2$ | $k^2$ | $2k^2$ | $7k^2+k$ |
$P(0 < X < 3)$ ज्ञात कीजिए। ($/10$ में)
A
$1$
B
$3$
C
$7$
D
$9$
Solution
(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X) = 0 + k + 2k + 3k + 3k^2 + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$13k^2 + 7k - 1 = 0$
यहाँ $P(0 < X < 3) = P(X=1) + P(X=2) = k + 2k = 3k$ है।
यदि हम $k = 1/10$ लेते हैं,तो $3k = 3/10$ प्राप्त होता है।
$\sum P(X) = 0 + k + 2k + 3k + 3k^2 + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$13k^2 + 7k - 1 = 0$
यहाँ $P(0 < X < 3) = P(X=1) + P(X=2) = k + 2k = 3k$ है।
यदि हम $k = 1/10$ लेते हैं,तो $3k = 3/10$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण $P(X)$ निम्नलिखित रूप में है,जहाँ $k$ एक संख्या है:
$P(X) = \begin{cases} k, & \text{यदि } x=0 \\ 2k, & \text{यदि } x=1 \\ 3k, & \text{यदि } x=2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$k$ का मान ज्ञात कीजिए।
$P(X) = \begin{cases} k, & \text{यदि } x=0 \\ 2k, & \text{यदि } x=1 \\ 3k, & \text{यदि } x=2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$k$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1/6$
B
$1/3$
C
$1/2$
D
$1$
Solution
(A) हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक चर के प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होता है।
अतः,हमारे पास है:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$k + 2k + 3k = 1$
$6k = 1$
$k = \frac{1}{6}$
अतः,हमारे पास है:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$k + 2k + 3k = 1$
$6k = 1$
$k = \frac{1}{6}$
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Medium
यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण $P(X)$ निम्नलिखित रूप में है,जहाँ $k$ एक संख्या है:
$P(X) = \begin{cases} k, & \text{यदि } x=0 \\ 2k, & \text{यदि } x=1 \\ 3k, & \text{यदि } x=2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$P(X < 2)$,$P(X \leq 2)$,और $P(X \geq 2)$ ज्ञात कीजिए।
$P(X) = \begin{cases} k, & \text{यदि } x=0 \\ 2k, & \text{यदि } x=1 \\ 3k, & \text{यदि } x=2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$P(X < 2)$,$P(X \leq 2)$,और $P(X \geq 2)$ ज्ञात कीजिए।
Solution
किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X) = k + 2k + 3k = 6k = 1 \implies k = \frac{1}{6}$.
$P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = k + 2k = 3k = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k + 2k + 3k = 6k = 6 \times \frac{1}{6} = 1$.
$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X>2) = 3k + 0 = 3k = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.
$\sum P(X) = k + 2k + 3k = 6k = 1 \implies k = \frac{1}{6}$.
$P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = k + 2k = 3k = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k + 2k + 3k = 6k = 6 \times \frac{1}{6} = 1$.
$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X>2) = 3k + 0 = 3k = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.
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MediumMCQ
एक निष्पक्ष सिक्के को तीन बार उछालने पर प्राप्त चितों (heads) की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए।
A
$1.0$
B
$1.5$
C
$2.0$
D
$2.5$
Solution
(B) माना $X$ एक निष्पक्ष सिक्के को तीन बार उछालने पर प्राप्त चितों की संख्या को दर्शाता है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
यादृच्छिक चर $X$ का मान $0, 1, 2, 3$ हो सकता है।
प्रत्येक $X$ के लिए प्रायिकता की गणना:
$P(X=0) = P(TTT) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = P(HHH) = \frac{1}{8}$
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
माध्य $E(X)$ की गणना:
$E(X) = \sum X_i P(X_i)$
$E(X) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8})$
$E(X) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8}$
$E(X) = \frac{12}{8} = 1.5$
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
यादृच्छिक चर $X$ का मान $0, 1, 2, 3$ हो सकता है।
प्रत्येक $X$ के लिए प्रायिकता की गणना:
$P(X=0) = P(TTT) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = P(HHH) = \frac{1}{8}$
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $P(X)$ |
| $0$ | $1/8$ |
| $1$ | $3/8$ |
| $2$ | $3/8$ |
| $3$ | $1/8$ |
माध्य $E(X)$ की गणना:
$E(X) = \sum X_i P(X_i)$
$E(X) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8})$
$E(X) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8}$
$E(X) = \frac{12}{8} = 1.5$
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MediumMCQ
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। यदि $X$ छक्कों की संख्या को दर्शाता है,तो $X$ की प्रत्याशा (expectation) ज्ञात कीजिए।
A
$1/3$
B
$1/6$
C
$1/2$
D
$2/3$
Solution
(A) यहाँ,$X$ दो पासे एक साथ फेंकने पर प्राप्त छक्कों की संख्या को दर्शाता है।
अतः,$X$ का मान $0, 1,$ या $2$ हो सकता है।
$P(X=0) = P(\text{किसी भी पासे पर छक्का न आना}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$
$P(X=1) = P(\text{पहले पासे पर छक्का और दूसरे पर न आना}) + P(\text{पहले पासे पर छक्का न आना और दूसरे पर आना}) = \left(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\right) = \frac{10}{36}$
$P(X=2) = P(\text{दोनों पासों पर छक्का आना}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$X$ की प्रत्याशा $E(X) = \sum X_i P(X_i) = (0 \times \frac{25}{36}) + (1 \times \frac{10}{36}) + (2 \times \frac{1}{36})$
$E(X) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$
अतः,$X$ का मान $0, 1,$ या $2$ हो सकता है।
$P(X=0) = P(\text{किसी भी पासे पर छक्का न आना}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$
$P(X=1) = P(\text{पहले पासे पर छक्का और दूसरे पर न आना}) + P(\text{पहले पासे पर छक्का न आना और दूसरे पर आना}) = \left(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\right) = \frac{10}{36}$
$P(X=2) = P(\text{दोनों पासों पर छक्का आना}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P(X)$ | $\frac{25}{36}$ | $\frac{10}{36}$ | $\frac{1}{36}$ |
$X$ की प्रत्याशा $E(X) = \sum X_i P(X_i) = (0 \times \frac{25}{36}) + (1 \times \frac{10}{36}) + (2 \times \frac{1}{36})$
$E(X) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$
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DifficultMCQ
प्रथम छह धनात्मक पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छिक रूप से (बिना प्रतिस्थापन के) चुनी जाती हैं। मान लीजिए $X$ प्राप्त दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को दर्शाता है। $E(X)$ ज्ञात कीजिए।
A
$4.5$
B
$4.6$
C
$4.7$
D
$14/3$
Solution
(D) प्रथम छह धनात्मक पूर्णांकों में से दो संख्याएँ बिना प्रतिस्थापन के $6 \times 5 = 30$ तरीकों से चुनी जा सकती हैं।
$X$ प्राप्त दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को दर्शाता है। इसलिए,$X$ का मान $2, 3, 4, 5$ या $6$ हो सकता है।
$X=2$ के लिए,संभावित जोड़े $(1, 2)$ और $(2, 1)$ हैं। अतः,$P(X=2) = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$।
$X=3$ के लिए,संभावित जोड़े $(1, 3), (2, 3), (3, 1)$ और $(3, 2)$ हैं। अतः,$P(X=3) = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$।
$X=4$ के लिए,संभावित जोड़े $(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 3), (4, 2)$ और $(4, 1)$ हैं। अतः,$P(X=4) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = \frac{3}{15}$।
$X=5$ के लिए,संभावित जोड़े $(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 4), (5, 3), (5, 2)$ और $(5, 1)$ हैं। अतः,$P(X=5) = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$।
$X=6$ के लिए,संभावित जोड़े $(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2)$ और $(6, 1)$ हैं। अतः,$P(X=6) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$E(X) = \sum X_i P(X_i) = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15})$
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$।
$X$ प्राप्त दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को दर्शाता है। इसलिए,$X$ का मान $2, 3, 4, 5$ या $6$ हो सकता है।
$X=2$ के लिए,संभावित जोड़े $(1, 2)$ और $(2, 1)$ हैं। अतः,$P(X=2) = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$।
$X=3$ के लिए,संभावित जोड़े $(1, 3), (2, 3), (3, 1)$ और $(3, 2)$ हैं। अतः,$P(X=3) = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$।
$X=4$ के लिए,संभावित जोड़े $(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 3), (4, 2)$ और $(4, 1)$ हैं। अतः,$P(X=4) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = \frac{3}{15}$।
$X=5$ के लिए,संभावित जोड़े $(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 4), (5, 3), (5, 2)$ और $(5, 1)$ हैं। अतः,$P(X=5) = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$।
$X=6$ के लिए,संभावित जोड़े $(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2)$ और $(6, 1)$ हैं। अतः,$P(X=6) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| $P(X)$ | $1/15$ | $2/15$ | $3/15$ | $4/15$ | $5/15$ |
$E(X) = \sum X_i P(X_i) = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15})$
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$।
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DifficultMCQ
मान लीजिए कि $X$ दो निष्पक्ष पासे फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का योग दर्शाता है। $X$ का प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
A
प्रसरण $= 5.833$,मानक विचलन $= 2.415$
B
प्रसरण $= 5.833$,मानक विचलन $= 2.515$
C
प्रसरण $= 5.933$,मानक विचलन $= 2.415$
D
प्रसरण $= 5.833$,मानक विचलन $= 2.315$
Solution
(A) जब दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं,तो $6 \times 6 = 36$ परिणाम संभव हैं।
योग $X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$E(X) = \sum X_i P(X_i) = 2(\frac{1}{36}) + 3(\frac{2}{36}) + 4(\frac{3}{36}) + 5(\frac{4}{36}) + 6(\frac{5}{36}) + 7(\frac{6}{36}) + 8(\frac{5}{36}) + 9(\frac{4}{36}) + 10(\frac{3}{36}) + 11(\frac{2}{36}) + 12(\frac{1}{36}) = 7$.
$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = 4(\frac{1}{36}) + 9(\frac{2}{36}) + 16(\frac{3}{36}) + 25(\frac{4}{36}) + 36(\frac{5}{36}) + 49(\frac{6}{36}) + 64(\frac{5}{36}) + 81(\frac{4}{36}) + 100(\frac{3}{36}) + 121(\frac{2}{36}) + 144(\frac{1}{36}) = \frac{1974}{36} = \frac{329}{6} \approx 54.833$.
$\text{प्रसरण}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 54.833 - 49 = 5.833$.
$\text{मानक विचलन} = \sqrt{\text{प्रसरण}(X)} = \sqrt{5.833} \approx 2.415$.
योग $X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ |
| $P(X)$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{6}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{1}{36}$ |
$E(X) = \sum X_i P(X_i) = 2(\frac{1}{36}) + 3(\frac{2}{36}) + 4(\frac{3}{36}) + 5(\frac{4}{36}) + 6(\frac{5}{36}) + 7(\frac{6}{36}) + 8(\frac{5}{36}) + 9(\frac{4}{36}) + 10(\frac{3}{36}) + 11(\frac{2}{36}) + 12(\frac{1}{36}) = 7$.
$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = 4(\frac{1}{36}) + 9(\frac{2}{36}) + 16(\frac{3}{36}) + 25(\frac{4}{36}) + 36(\frac{5}{36}) + 49(\frac{6}{36}) + 64(\frac{5}{36}) + 81(\frac{4}{36}) + 100(\frac{3}{36}) + 121(\frac{2}{36}) + 144(\frac{1}{36}) = \frac{1974}{36} = \frac{329}{6} \approx 54.833$.
$\text{प्रसरण}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 54.833 - 49 = 5.833$.
$\text{मानक विचलन} = \sqrt{\text{प्रसरण}(X)} = \sqrt{5.833} \approx 2.415$.
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Difficult
एक कक्षा में $15$ छात्र हैं जिनकी आयु $14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19$ और $20$ वर्ष है। एक छात्र को इस प्रकार चुना जाता है कि प्रत्येक के चुने जाने की समान संभावना हो और चुने गए छात्र की आयु $X$ दर्ज की जाती है। यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण क्या है? $X$ का माध्य,प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
Solution
(A) कक्षा में कुल $15$ छात्र हैं। प्रत्येक छात्र के चुने जाने की समान संभावना है। इसलिए,प्रत्येक छात्र के चुने जाने की प्रायिकता $\frac{1}{15}$ है। आयु का बारंबारता वितरण इस प्रकार है:
प्रायिकता वितरण $P(X)$ इस प्रकार है:
माध्य $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{1}{15}(14 \times 2 + 15 \times 1 + 16 \times 2 + 17 \times 3 + 18 \times 1 + 19 \times 2 + 20 \times 3 + 21 \times 1) = \frac{263}{15} \approx 17.53$.
वर्गों का माध्य $E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = \frac{1}{15}(196 \times 2 + 225 \times 1 + 256 \times 2 + 289 \times 3 + 324 \times 1 + 361 \times 2 + 400 \times 3 + 441 \times 1) = \frac{4683}{15} = 312.2$.
प्रसरण $(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 312.2 - (17.5333)^2 = 312.2 - 307.4177 = 4.7823 \approx 4.78$.
मानक विचलन $= \sqrt{\text{प्रसरण}} = \sqrt{4.7823} \approx 2.19$.
| $X$ | $14$ | $15$ | $16$ | $17$ | $18$ | $19$ | $20$ | $21$ |
| $f$ | $2$ | $1$ | $2$ | $3$ | $1$ | $2$ | $3$ | $1$ |
प्रायिकता वितरण $P(X)$ इस प्रकार है:
| $X$ | $14$ | $15$ | $16$ | $17$ | $18$ | $19$ | $20$ | $21$ |
| $P(X)$ | $\frac{2}{15}$ | $\frac{1}{15}$ | $\frac{2}{15}$ | $\frac{3}{15}$ | $\frac{1}{15}$ | $\frac{2}{15}$ | $\frac{3}{15}$ | $\frac{1}{15}$ |
माध्य $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{1}{15}(14 \times 2 + 15 \times 1 + 16 \times 2 + 17 \times 3 + 18 \times 1 + 19 \times 2 + 20 \times 3 + 21 \times 1) = \frac{263}{15} \approx 17.53$.
वर्गों का माध्य $E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = \frac{1}{15}(196 \times 2 + 225 \times 1 + 256 \times 2 + 289 \times 3 + 324 \times 1 + 361 \times 2 + 400 \times 3 + 441 \times 1) = \frac{4683}{15} = 312.2$.
प्रसरण $(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 312.2 - (17.5333)^2 = 312.2 - 307.4177 = 4.7823 \approx 4.78$.
मानक विचलन $= \sqrt{\text{प्रसरण}} = \sqrt{4.7823} \approx 2.19$.
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MediumMCQ
एक बैठक में,$70 \%$ सदस्य एक प्रस्ताव के पक्ष में हैं और $30 \%$ विरोध में हैं। एक सदस्य को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और यदि वह विरोध करता है तो $X=0$ और यदि वह पक्ष में है तो $X=1$ लिया जाता है। $E(X)$ और $\text{Var}(X)$ ज्ञात कीजिए।
A
$0.7, 0.21$
B
$0.7, 0.49$
C
$0.3, 0.21$
D
$0.3, 0.09$
Solution
(A) यह दिया गया है कि $P(X=0) = 30 \% = \frac{30}{100} = 0.3$.
$P(X=1) = 70 \% = \frac{70}{100} = 0.7$.
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$E(X) = \sum X_i P(X_i) = (0 \times 0.3) + (1 \times 0.7) = 0.7$.
$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = (0^2 \times 0.3) + (1^2 \times 0.7) = 0.7$.
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.7 - (0.7)^2 = 0.7 - 0.49 = 0.21$.
$P(X=1) = 70 \% = \frac{70}{100} = 0.7$.
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $0$ | $1$ |
| $P(X)$ | $0.3$ | $0.7$ |
$E(X) = \sum X_i P(X_i) = (0 \times 0.3) + (1 \times 0.7) = 0.7$.
$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = (0^2 \times 0.3) + (1^2 \times 0.7) = 0.7$.
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.7 - (0.7)^2 = 0.7 - 0.49 = 0.21$.
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DifficultMCQ
मान लीजिए कि ताश की गड्डी से यादृच्छिक रूप से दो पत्ते निकाले जाते हैं। मान लीजिए $X$ प्राप्त इक्कों की संख्या है। तो $E(X)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{37}{221}$
B
$\frac{5}{13}$
C
$\frac{2}{13}$
D
$\frac{1}{13}$
Solution
(C) मान लीजिए $X$ प्राप्त इक्कों की संख्या को दर्शाता है। अतः,$X$ का मान $0, 1$ या $2$ हो सकता है।
$52$ पत्तों की गड्डी में,$4$ इक्के और $48$ अन्य पत्ते होते हैं।
$P(X=0) = \frac{^{4}C_{0} \times ^{48}C_{2}}{^{52}C_{2}} = \frac{1128}{1326}$
$P(X=1) = \frac{^{4}C_{1} \times ^{48}C_{1}}{^{52}C_{2}} = \frac{192}{1326}$
$P(X=2) = \frac{^{4}C_{2} \times ^{48}C_{0}}{^{52}C_{2}} = \frac{6}{1326}$
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$E(X) = \sum x_i p_i = (0 \times \frac{1128}{1326}) + (1 \times \frac{192}{1326}) + (2 \times \frac{6}{1326})$
$E(X) = \frac{204}{1326} = \frac{2}{13}$
अतः,सही उत्तर $C$ है।
$52$ पत्तों की गड्डी में,$4$ इक्के और $48$ अन्य पत्ते होते हैं।
$P(X=0) = \frac{^{4}C_{0} \times ^{48}C_{2}}{^{52}C_{2}} = \frac{1128}{1326}$
$P(X=1) = \frac{^{4}C_{1} \times ^{48}C_{1}}{^{52}C_{2}} = \frac{192}{1326}$
$P(X=2) = \frac{^{4}C_{2} \times ^{48}C_{0}}{^{52}C_{2}} = \frac{6}{1326}$
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $x$ | $P(X)$ |
| $0$ | $\frac{1128}{1326}$ |
| $1$ | $\frac{192}{1326}$ |
| $2$ | $\frac{6}{1326}$ |
$E(X) = \sum x_i p_i = (0 \times \frac{1128}{1326}) + (1 \times \frac{192}{1326}) + (2 \times \frac{6}{1326})$
$E(X) = \frac{204}{1326} = \frac{2}{13}$
अतः,सही उत्तर $C$ है।
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DifficultMCQ
एक खेल में,जब एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है तो एक व्यक्ति छह (six) आने पर एक रुपया जीतता है और कोई अन्य संख्या आने पर एक रुपया हार जाता है। व्यक्ति ने तीन बार पासा फेंकने का निर्णय लिया है,लेकिन जैसे ही छह आता है,वह खेल छोड़ देता है। उसके द्वारा जीती या हारी गई राशि का अपेक्षित मान ज्ञात कीजिए। ($/216$ में)
A
$11$
B
$13$
C
$15$
D
$17$
Solution
(A) मान लीजिए $S$ छह आने की घटना है और $N$ छह न आने की घटना है। प्रायिकताएँ $P(S) = 1/6$ और $P(N) = 5/6$ हैं।
स्थिति $1$: पहली बार में छह आता है $(S)$।
प्रायिकता $= 1/6$.
जीती गई राशि $= +1$.
स्थिति $2$: पहली बार में छह नहीं आता और दूसरी बार में छह आता है $(NS)$।
प्रायिकता $= (5/6) \times (1/6) = 5/36$.
जीती गई राशि $= -1 + 1 = 0$.
स्थिति $3$: पहली दो बार में छह नहीं आता और तीसरी बार में छह आता है $(NNS)$।
प्रायिकता $= (5/6) \times (5/6) \times (1/6) = 25/216$.
जीती गई राशि $= -1 - 1 + 1 = -1$.
स्थिति $4$: तीनों बार में छह नहीं आता $(NNN)$।
प्रायिकता $= (5/6)^3 = 125/216$.
जीती गई राशि $= -1 - 1 - 1 = -3$.
अपेक्षित मान $E = (1/6)(1) + (5/36)(0) + (25/216)(-1) + (125/216)(-3)$.
$E = 1/6 - 25/216 - 375/216$.
$E = (36 - 25 - 375) / 216 = -364 / 216 = -91 / 54$.
स्थिति $1$: पहली बार में छह आता है $(S)$।
प्रायिकता $= 1/6$.
जीती गई राशि $= +1$.
स्थिति $2$: पहली बार में छह नहीं आता और दूसरी बार में छह आता है $(NS)$।
प्रायिकता $= (5/6) \times (1/6) = 5/36$.
जीती गई राशि $= -1 + 1 = 0$.
स्थिति $3$: पहली दो बार में छह नहीं आता और तीसरी बार में छह आता है $(NNS)$।
प्रायिकता $= (5/6) \times (5/6) \times (1/6) = 25/216$.
जीती गई राशि $= -1 - 1 + 1 = -1$.
स्थिति $4$: तीनों बार में छह नहीं आता $(NNN)$।
प्रायिकता $= (5/6)^3 = 125/216$.
जीती गई राशि $= -1 - 1 - 1 = -3$.
अपेक्षित मान $E = (1/6)(1) + (5/36)(0) + (25/216)(-1) + (125/216)(-3)$.
$E = 1/6 - 25/216 - 375/216$.
$E = (36 - 25 - 375) / 216 = -364 / 216 = -91 / 54$.
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मान लीजिए कि एक प्रतिदर्श समष्टि $S = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{6}\}$ है। प्रत्येक परिणाम के लिए निम्नलिखित में से कौन सा प्रायिकता का आवंटन मान्य है?
| परिणाम | $\omega_1$ | $\omega_2$ | $\omega_3$ | $\omega_4$ | $\omega_5$ | $\omega_6$ |
| $(a)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
Solution
(A) प्रायिकताओं के आवंटन को मान्य होने के लिए,इसे दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(\omega_i)$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \le P(\omega_i) \le 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_i) = 1$।
दिए गए आवंटन की जाँच करने पर:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है,जो $0 \le \frac{1}{6} \le 1$ को संतुष्ट करती है।
$2$. प्रायिकताओं का योग $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ है।
चूंकि दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए यह आवंटन मान्य है।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(\omega_i)$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \le P(\omega_i) \le 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_i) = 1$।
दिए गए आवंटन की जाँच करने पर:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है,जो $0 \le \frac{1}{6} \le 1$ को संतुष्ट करती है।
$2$. प्रायिकताओं का योग $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ है।
चूंकि दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए यह आवंटन मान्य है।
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EasyMCQ
मान लीजिए कि एक प्रतिदर्श समष्टि $S = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{6}\}$ है। प्रत्येक परिणाम के लिए निम्नलिखित में से कौन सा प्रायिकता का आवंटन मान्य है?
| परिणाम | $\omega_1$ | $\omega_2$ | $\omega_3$ | $\omega_4$ | $\omega_5$ | $\omega_6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $(b)$ | $1$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
A
यह आवंटन अमान्य है क्योंकि प्रायिकताओं का योग $1$ नहीं है।
B
यह आवंटन मान्य है।
C
यह आवंटन अमान्य है क्योंकि कुछ प्रायिकताएं $0$ हैं।
D
यह आवंटन अमान्य है क्योंकि $\omega_1$ की प्रायिकता $1$ है।
Solution
(B) प्रायिकताओं के आवंटन के मान्य होने के लिए,इसे दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(\omega_i)$ को $0 \le P(\omega_i) \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_i) = 1$।
दिए गए आवंटन $(b)$ में:
$P(\omega_1) = 1, P(\omega_2) = 0, P(\omega_3) = 0, P(\omega_4) = 0, P(\omega_5) = 0, P(\omega_6) = 0$।
शर्त $1$ की जाँच करें: सभी मान $0$ और $1$ के बीच (सहित) हैं।
शर्त $2$ की जाँच करें: योग $= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1$।
चूंकि दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए यह आवंटन मान्य है।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(\omega_i)$ को $0 \le P(\omega_i) \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_i) = 1$।
दिए गए आवंटन $(b)$ में:
$P(\omega_1) = 1, P(\omega_2) = 0, P(\omega_3) = 0, P(\omega_4) = 0, P(\omega_5) = 0, P(\omega_6) = 0$।
शर्त $1$ की जाँच करें: सभी मान $0$ और $1$ के बीच (सहित) हैं।
शर्त $2$ की जाँच करें: योग $= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1$।
चूंकि दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए यह आवंटन मान्य है।
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Easy
मान लीजिए कि एक प्रतिदर्श समष्टि $S = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{6}\}$ है। प्रत्येक परिणाम के लिए प्रायिकताओं का निम्नलिखित में से कौन सा आवंटन मान्य है?
| परिणाम | प्रायिकता |
|---|---|
| $\omega_{1}$ | $1/8$ |
| $\omega_{2}$ | $2/3$ |
| $\omega_{3}$ | $1/3$ |
| $\omega_{4}$ | $1/3$ |
| $\omega_{5}$ | $-1/4$ |
| $\omega_{6}$ | $-1/3$ |
Solution
(NONE) प्रायिकताओं का आवंटन मान्य होने के लिए,इसे दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(\omega_{i})$ ऐसी होनी चाहिए कि सभी $i$ के लिए $0 \le P(\omega_{i}) \le 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_{i}) = 1$।
दिए गए आवंटन में,हम देखते हैं कि $P(\omega_{5}) = -1/4$ और $P(\omega_{6}) = -1/3$ है।
चूंकि ये प्रायिकताएं ऋणात्मक हैं,इसलिए ये पहली शर्त $(0 \le P(\omega_{i}) \le 1)$ का उल्लंघन करती हैं।
अतः,प्रायिकताओं का यह आवंटन मान्य नहीं है।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(\omega_{i})$ ऐसी होनी चाहिए कि सभी $i$ के लिए $0 \le P(\omega_{i}) \le 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_{i}) = 1$।
दिए गए आवंटन में,हम देखते हैं कि $P(\omega_{5}) = -1/4$ और $P(\omega_{6}) = -1/3$ है।
चूंकि ये प्रायिकताएं ऋणात्मक हैं,इसलिए ये पहली शर्त $(0 \le P(\omega_{i}) \le 1)$ का उल्लंघन करती हैं।
अतः,प्रायिकताओं का यह आवंटन मान्य नहीं है।
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EasyMCQ
मान लीजिए कि एक प्रतिदर्श समष्टि $S = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{6}\}$ है। प्रत्येक परिणाम के लिए निम्नलिखित में से कौन सा प्रायिकता असाइनमेंट मान्य है?
| परिणाम | प्रायिकता |
| $\omega_{1}$ | $\frac{1}{12}$ |
| $\omega_{2}$ | $\frac{1}{12}$ |
| $\omega_{3}$ | $\frac{1}{6}$ |
| $\omega_{4}$ | $\frac{1}{6}$ |
| $\omega_{5}$ | $\frac{1}{6}$ |
| $\omega_{6}$ | $\frac{3}{2}$ |
A
मान्य
B
अमान्य
C
निर्धारित नहीं किया जा सकता
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) प्रायिकता असाइनमेंट के मान्य होने के लिए,दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $p(\omega_{i})$ को $0 \le p(\omega_{i}) \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{6} p(\omega_{i}) = 1$।
दिए गए असाइनमेंट में,हम देखते हैं कि $p(\omega_{6}) = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि $\frac{3}{2} > 1$,इसलिए पहली शर्त का उल्लंघन होता है।
अतः,यह असाइनमेंट अमान्य है।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $p(\omega_{i})$ को $0 \le p(\omega_{i}) \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{6} p(\omega_{i}) = 1$।
दिए गए असाइनमेंट में,हम देखते हैं कि $p(\omega_{6}) = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि $\frac{3}{2} > 1$,इसलिए पहली शर्त का उल्लंघन होता है।
अतः,यह असाइनमेंट अमान्य है।
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EasyMCQ
मान लीजिए कि एक प्रतिदर्श समष्टि $S = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \dots, \omega_{6}\}$ है। प्रत्येक परिणाम के लिए निम्नलिखित में से कौन सा प्रायिकता का आवंटन मान्य है?
| परिणाम | $\omega_1$ | $\omega_2$ | $\omega_3$ | $\omega_4$ | $\omega_5$ | $\omega_6$ |
| $(e)$ | $0.1$ | $0.2$ | $0.3$ | $0.4$ | $0.5$ | $0.6$ |
A
मान्य
B
अमान्य
C
निर्धारित नहीं किया जा सकता
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) प्रायिकताओं का आवंटन मान्य होने के लिए दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(\omega_i)$ को $0 \le P(\omega_i) \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_i) = 1$।
दिए गए आवंटन में:
योग $= 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 = 2.1$।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $2.1$ है,जो $1$ के बराबर नहीं है,इसलिए यह आवंटन अमान्य है।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(\omega_i)$ को $0 \le P(\omega_i) \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_i) = 1$।
दिए गए आवंटन में:
योग $= 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 = 2.1$।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $2.1$ है,जो $1$ के बराबर नहीं है,इसलिए यह आवंटन अमान्य है।
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Easy
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}, \omega_{7}\}$ के परिणामों के लिए निम्नलिखित में से कौन सा प्रायिकताओं का वैध निर्धारण नहीं हो सकता है?
| परिणाम | प्रायिकता |
| $\omega_{1}$ | $0.1$ |
| $\omega_{2}$ | $0.01$ |
| $\omega_{3}$ | $0.05$ |
| $\omega_{4}$ | $0.03$ |
| $\omega_{5}$ | $0.01$ |
| $\omega_{6}$ | $0.2$ |
| $\omega_{7}$ | $0.6$ |
Solution
(D) प्रायिकताओं के निर्धारण को वैध होने के लिए,इसे दो शर्तों को पूरा करना आवश्यक है:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $p(\omega_{i})$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \leq p(\omega_{i}) \leq 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{7} p(\omega_{i}) = 1$।
दिए गए मामले में:
योग $= 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 = 1.0$।
चूंकि योग $1$ है और प्रत्येक व्यक्तिगत प्रायिकता $0$ और $1$ के बीच है,इसलिए यह प्रायिकताओं का एक वैध निर्धारण है।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $p(\omega_{i})$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \leq p(\omega_{i}) \leq 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{7} p(\omega_{i}) = 1$।
दिए गए मामले में:
योग $= 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 = 1.0$।
चूंकि योग $1$ है और प्रत्येक व्यक्तिगत प्रायिकता $0$ और $1$ के बीच है,इसलिए यह प्रायिकताओं का एक वैध निर्धारण है।
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EasyMCQ
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}, \omega_{7}\}$ के परिणामों के लिए निम्नलिखित में से कौन सा प्रायिकता का एक वैध निर्धारण नहीं हो सकता है?
A
$0.1, 0.01, 0.05, 0.03, 0.01, 0.2, 0.6$
B
$\frac{1}{7}, \frac{1}{7}, \frac{1}{7}, \frac{1}{7}, \frac{1}{7}, \frac{1}{7}, \frac{1}{7}$
C
$-0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.2, 0.1, -0.1$
D
$0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7$
Solution
(C) प्रायिकता के निर्धारण को वैध होने के लिए,इसे दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $p(\omega_i)$ को $0 \le p(\omega_i) \le 1$ का पालन करना चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{7} p(\omega_i) = 1$।
विकल्प $C$ में,हमारे पास ऋणात्मक मान $(-0.1)$ हैं,जो $p(\omega_i) \ge 0$ की शर्त का उल्लंघन करते हैं।
विकल्प $D$ में,योग $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8$ है,जो $1$ के बराबर नहीं है।
अतः,विकल्प $C$ और $D$ दोनों ही अमान्य निर्धारण हैं।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $p(\omega_i)$ को $0 \le p(\omega_i) \le 1$ का पालन करना चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{7} p(\omega_i) = 1$।
विकल्प $C$ में,हमारे पास ऋणात्मक मान $(-0.1)$ हैं,जो $p(\omega_i) \ge 0$ की शर्त का उल्लंघन करते हैं।
विकल्प $D$ में,योग $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8$ है,जो $1$ के बराबर नहीं है।
अतः,विकल्प $C$ और $D$ दोनों ही अमान्य निर्धारण हैं।
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Medium
निम्नलिखित में से कौन सा प्रतिदर्श समष्टि $S = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}, \omega_{7}\}$ के परिणामों के लिए प्रायिकता का एक वैध असाइनमेंट नहीं हो सकता है?
| परिणाम | प्रायिकता |
| $\omega_{1}$ | $0.1$ |
| $\omega_{2}$ | $0.2$ |
| $\omega_{3}$ | $0.3$ |
| $\omega_{4}$ | $0.4$ |
| $\omega_{5}$ | $0.5$ |
| $\omega_{6}$ | $0.6$ |
| $\omega_{7}$ | $0.7$ |
Solution
(A) प्रायिकता असाइनमेंट के वैध होने के लिए,इसे दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $p(\omega_{i})$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \leq p(\omega_{i}) \leq 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{7} p(\omega_{i}) = 1$।
आइए दी गई प्रायिकताओं का योग ज्ञात करें:
योग $= 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8$।
चूंकि योग $2.8 \neq 1$ है,इसलिए प्रायिकता का यह असाइनमेंट वैध नहीं है।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $p(\omega_{i})$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \leq p(\omega_{i}) \leq 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{i=1}^{7} p(\omega_{i}) = 1$।
आइए दी गई प्रायिकताओं का योग ज्ञात करें:
योग $= 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8$।
चूंकि योग $2.8 \neq 1$ है,इसलिए प्रायिकता का यह असाइनमेंट वैध नहीं है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}, \omega_{7}\}$ के परिणामों के लिए प्रायिकता का एक वैध असाइनमेंट नहीं हो सकता है?
| परिणाम | $\omega_{1}$ | $\omega_{2}$ | $\omega_{3}$ | $\omega_{4}$ | $\omega_{5}$ | $\omega_{6}$ | $\omega_{7}$ |
| प्रायिकता | $-0.1$ | $0.2$ | $0.3$ | $0.4$ | $-0.2$ | $0.1$ | $0.3$ |
A
यह असाइनमेंट वैध है।
B
यह असाइनमेंट अमान्य है क्योंकि प्रायिकताएं ऋणात्मक हैं।
C
यह असाइनमेंट अमान्य है क्योंकि प्रायिकताओं का योग $1$ नहीं है।
D
यह असाइनमेंट अमान्य है क्योंकि परिणामों की संख्या $7$ है।
Solution
(B) प्रतिदर्श समष्टि $S$ पर परिभाषित किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रत्येक परिणाम $\omega_{i} \in S$ के लिए,प्रायिकता $P(\omega_{i})$ को $0 \leq P(\omega_{i}) \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(\omega_{i}) = 1$।
दी गई तालिका में,हम देखते हैं कि $\omega_{1}$ और $\omega_{5}$ के लिए प्रायिकताएं क्रमशः $-0.1$ और $-0.2$ हैं।
चूंकि $P(\omega_{1}) = -0.1 < 0$ और $P(\omega_{5}) = -0.2 < 0$,इसलिए $0 \leq P(\omega_{i}) \leq 1$ की शर्त का उल्लंघन होता है।
अतः,प्रायिकता का यह असाइनमेंट वैध नहीं है।
$1$. प्रत्येक परिणाम $\omega_{i} \in S$ के लिए,प्रायिकता $P(\omega_{i})$ को $0 \leq P(\omega_{i}) \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(\omega_{i}) = 1$।
दी गई तालिका में,हम देखते हैं कि $\omega_{1}$ और $\omega_{5}$ के लिए प्रायिकताएं क्रमशः $-0.1$ और $-0.2$ हैं।
चूंकि $P(\omega_{1}) = -0.1 < 0$ और $P(\omega_{5}) = -0.2 < 0$,इसलिए $0 \leq P(\omega_{i}) \leq 1$ की शर्त का उल्लंघन होता है।
अतः,प्रायिकता का यह असाइनमेंट वैध नहीं है।
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Difficult
एक निष्पक्ष सिक्के को चार बार उछाला जाता है। एक व्यक्ति प्रत्येक चित (head) के लिए $Rs. 1$ जीतता है और प्रत्येक पट (tail) के लिए $Rs. 1.50$ हारता है। प्रतिदर्श समष्टि (sample space) से,चार उछालों के बाद व्यक्ति के पास होने वाली विभिन्न राशियों और प्रत्येक राशि के होने की प्रायिकता की गणना कीजिए।
Solution
चूंकि सिक्के को चार बार उछाला जाता है,इसलिए कुल $2^4 = 16$ संभावित परिणाम हैं।
मान लीजिए $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है,जहाँ $H + T = 4$ है।
लाभ/हानि $G$ का मान $G = 1(H) - 1.50(T)$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. यदि $H=4, T=0$: $G = 1(4) - 1.50(0) = Rs. 4.00$। परिणामों की संख्या = $\binom{4}{4} = 1$। प्रायिकता = $\frac{1}{16}$।
$2$. यदि $H=3, T=1$: $G = 1(3) - 1.50(1) = Rs. 1.50$। परिणामों की संख्या = $\binom{4}{3} = 4$। प्रायिकता = $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।
$3$. यदि $H=2, T=2$: $G = 1(2) - 1.50(2) = 2 - 3 = -Rs. 1.00$। परिणामों की संख्या = $\binom{4}{2} = 6$। प्रायिकता = $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।
$4$. यदि $H=1, T=3$: $G = 1(1) - 1.50(3) = 1 - 4.50 = -Rs. 3.50$। परिणामों की संख्या = $\binom{4}{1} = 4$। प्रायिकता = $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।
$5$. यदि $H=0, T=4$: $G = 1(0) - 1.50(4) = -Rs. 6.00$। परिणामों की संख्या = $\binom{4}{0} = 1$। प्रायिकता = $\frac{1}{16}$।
मान लीजिए $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है,जहाँ $H + T = 4$ है।
लाभ/हानि $G$ का मान $G = 1(H) - 1.50(T)$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. यदि $H=4, T=0$: $G = 1(4) - 1.50(0) = Rs. 4.00$। परिणामों की संख्या = $\binom{4}{4} = 1$। प्रायिकता = $\frac{1}{16}$।
$2$. यदि $H=3, T=1$: $G = 1(3) - 1.50(1) = Rs. 1.50$। परिणामों की संख्या = $\binom{4}{3} = 4$। प्रायिकता = $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।
$3$. यदि $H=2, T=2$: $G = 1(2) - 1.50(2) = 2 - 3 = -Rs. 1.00$। परिणामों की संख्या = $\binom{4}{2} = 6$। प्रायिकता = $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।
$4$. यदि $H=1, T=3$: $G = 1(1) - 1.50(3) = 1 - 4.50 = -Rs. 3.50$। परिणामों की संख्या = $\binom{4}{1} = 4$। प्रायिकता = $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।
$5$. यदि $H=0, T=4$: $G = 1(0) - 1.50(4) = -Rs. 6.00$। परिणामों की संख्या = $\binom{4}{0} = 1$। प्रायिकता = $\frac{1}{16}$।
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MediumMCQ
यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण नीचे दिया गया है:
माना $p=P(1 < X < 4 \mid X < 3)$ है। यदि $5p = \lambda K$ है,तो $\lambda$ का मान .... है।
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $P(X)$ | $K$ | $2K$ | $2K$ | $3K$ | $K$ |
माना $p=P(1 < X < 4 \mid X < 3)$ है। यदि $5p = \lambda K$ है,तो $\lambda$ का मान .... है।
A
$15$
B
$30$
C
$45$
D
$19$
Solution
(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X) = K + 2K + 2K + 3K + K = 9K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{9}$.
हमें $p = P(1 < X < 4 \mid X < 3)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
यहाँ,$A = \{2, 3\}$ और $B = \{1, 2\}$ है।
$A \cap B = \{2\}$ है।
अतः,$p = \frac{P(X=2)}{P(X=1) + P(X=2)} = \frac{2K}{K + 2K} = \frac{2K}{3K} = \frac{2}{3}$.
दिया गया है कि $5p = \lambda K$,मान रखने पर:
$5 \times \left(\frac{2}{3}\right) = \lambda \times \left(\frac{1}{9}\right)$.
$\frac{10}{3} = \frac{\lambda}{9}$.
$\lambda = \frac{10 \times 9}{3} = 30$.
$\sum P(X) = K + 2K + 2K + 3K + K = 9K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{9}$.
हमें $p = P(1 < X < 4 \mid X < 3)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
यहाँ,$A = \{2, 3\}$ और $B = \{1, 2\}$ है।
$A \cap B = \{2\}$ है।
अतः,$p = \frac{P(X=2)}{P(X=1) + P(X=2)} = \frac{2K}{K + 2K} = \frac{2K}{3K} = \frac{2}{3}$.
दिया गया है कि $5p = \lambda K$,मान रखने पर:
$5 \times \left(\frac{2}{3}\right) = \lambda \times \left(\frac{1}{9}\right)$.
$\frac{10}{3} = \frac{\lambda}{9}$.
$\lambda = \frac{10 \times 9}{3} = 30$.
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DifficultMCQ
मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जिसका प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:
यदि $X$ का माध्य $2.3$ है और $X$ का प्रसरण $\sigma^{2}$ है,तो $100 \sigma^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $3$ | $4$ | $6$ |
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{5}$ | $a$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{5}$ | $b$ |
यदि $X$ का माध्य $2.3$ है और $X$ का प्रसरण $\sigma^{2}$ है,तो $100 \sigma^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$781$
B
$100$
C
$529$
D
$1310$
Solution
(A) प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\frac{1}{5} + a + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + b = 1 \implies a + b = \frac{4}{15} \dots (1)$
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 2.3 = \frac{23}{10}$.
$-2(\frac{1}{5}) - 1(a) + 3(\frac{1}{3}) + 4(\frac{1}{5}) + 6(b) = \frac{23}{10}$
$-\frac{2}{5} - a + 1 + \frac{4}{5} + 6b = \frac{23}{10} \implies -a + 6b = \frac{9}{10} \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$b = \frac{1}{6}$ और $a = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
प्रसरण $\sigma^{2} = E(X^{2}) - (E(X))^{2}$.
$E(X^{2}) = 4(\frac{1}{5}) + 1(\frac{1}{10}) + 9(\frac{1}{3}) + 16(\frac{1}{5}) + 36(\frac{1}{6}) = \frac{131}{10} = 13.1$.
$\sigma^{2} = 13.1 - (2.3)^{2} = 13.1 - 5.29 = 7.81$.
अतः,$100 \sigma^{2} = 781$.
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 2.3 = \frac{23}{10}$.
$-2(\frac{1}{5}) - 1(a) + 3(\frac{1}{3}) + 4(\frac{1}{5}) + 6(b) = \frac{23}{10}$
$-\frac{2}{5} - a + 1 + \frac{4}{5} + 6b = \frac{23}{10} \implies -a + 6b = \frac{9}{10} \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$b = \frac{1}{6}$ और $a = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
प्रसरण $\sigma^{2} = E(X^{2}) - (E(X))^{2}$.
$E(X^{2}) = 4(\frac{1}{5}) + 1(\frac{1}{10}) + 9(\frac{1}{3}) + 16(\frac{1}{5}) + 36(\frac{1}{6}) = \frac{131}{10} = 13.1$.
$\sigma^{2} = 13.1 - (2.3)^{2} = 13.1 - 5.29 = 7.81$.
अतः,$100 \sigma^{2} = 781$.
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MediumMCQ
मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जिसका प्रायिकता वितरण $P(X=0) = \frac{1}{2}$ और $P(X=j) = \frac{1}{3^j}$ $(j = 1, 2, 3, \ldots, \infty)$ द्वारा दिया गया है। तो वितरण का माध्य और $P(X \text{ धनात्मक और सम है})$ क्रमशः क्या हैं?
A
$\frac{3}{4}$ और $\frac{1}{9}$
B
$\frac{3}{4}$ और $\frac{1}{16}$
C
$\frac{3}{8}$ और $\frac{1}{8}$
D
$\frac{3}{4}$ और $\frac{1}{8}$
Solution
(D) माध्य $E(X) = \sum_{j=0}^{\infty} j \cdot P(X=j)$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $P(X=0) = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$,इसलिए $E(X) = \sum_{j=1}^{\infty} j \cdot \frac{1}{3^j}$ है।
यह $\sum_{j=1}^{\infty} j r^j$ प्रकार की एक श्रेणी है जहाँ $r = \frac{1}{3}$ है।
इसका योग $\frac{r}{(1-r)^2} = \frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ है।
$P(X \text{ धनात्मक और सम है})$ के लिए,हम $j \in \{2, 4, 6, \ldots\}$ के लिए $P(X=j)$ का योग करते हैं।
$P(X \text{ धनात्मक और सम है}) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{2k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{9}\right)^k$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{9}$ है।
योग $\frac{a}{1-r} = \frac{1/9}{1-1/9} = \frac{1/9}{8/9} = \frac{1}{8}$ है।
अतः,माध्य $\frac{3}{4}$ है और प्रायिकता $\frac{1}{8}$ है।
चूँकि $P(X=0) = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$,इसलिए $E(X) = \sum_{j=1}^{\infty} j \cdot \frac{1}{3^j}$ है।
यह $\sum_{j=1}^{\infty} j r^j$ प्रकार की एक श्रेणी है जहाँ $r = \frac{1}{3}$ है।
इसका योग $\frac{r}{(1-r)^2} = \frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ है।
$P(X \text{ धनात्मक और सम है})$ के लिए,हम $j \in \{2, 4, 6, \ldots\}$ के लिए $P(X=j)$ का योग करते हैं।
$P(X \text{ धनात्मक और सम है}) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{2k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{9}\right)^k$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{9}$ है।
योग $\frac{a}{1-r} = \frac{1/9}{1-1/9} = \frac{1/9}{8/9} = \frac{1}{8}$ है।
अतः,माध्य $\frac{3}{4}$ है और प्रायिकता $\frac{1}{8}$ है।
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DifficultMCQ
एक छह-फलकीय पासा इस प्रकार पक्षपाती है कि $3 \times P(\text{अभाज्य संख्या}) = 6 \times P(\text{भाज्य संख्या}) = 2 \times P(1)$। मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जो इस पासे को फेंकने पर पूर्ण वर्ग आने की संख्या को गिनता है। यदि पासे को दो बार फेंका जाता है,तो $X$ का माध्य ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{3}{11}$
B
$\frac{5}{11}$
C
$\frac{7}{11}$
D
$\frac{8}{11}$
Solution
(D) मान लीजिए $P(\text{अभाज्य}) = 2k$,$P(\text{भाज्य}) = k$,और $P(1) = 3k$।
दी गई शर्त के अनुसार: $3(2k) = 6(k) = 2(3k) = 6k$।
सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है: $3(2k) + 2(k) + 3k = 1 \Rightarrow 11k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{11}$।
पूर्ण वर्ग संख्याएँ ${1, 4}$ हैं।
$P(\text{सफलता}) = P(1) + P(4) = 3k + k = 4k = \frac{4}{11}$।
द्विपद वितरण के लिए माध्य $np = 2 \times \frac{4}{11} = \frac{8}{11}$।
दी गई शर्त के अनुसार: $3(2k) = 6(k) = 2(3k) = 6k$।
सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है: $3(2k) + 2(k) + 3k = 1 \Rightarrow 11k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{11}$।
पूर्ण वर्ग संख्याएँ ${1, 4}$ हैं।
$P(\text{सफलता}) = P(1) + P(4) = 3k + k = 4k = \frac{4}{11}$।
द्विपद वितरण के लिए माध्य $np = 2 \times \frac{4}{11} = \frac{8}{11}$।
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DifficultMCQ
एक थैले में $4$ सफेद और $6$ काली गेंदें हैं। थैले से यादृच्छिक रूप से तीन गेंदें निकाली जाती हैं। मान लीजिए $X$ निकाली गई गेंदों में सफेद गेंदों की संख्या है। यदि $\sigma^{2}$ $X$ का प्रसरण है,तो $100 \sigma^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$55$
B
$54$
C
$56$
D
$53$
Solution
(C) कुल गेंदों की संख्या $4 + 6 = 10$ है। तीन गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
मान लीजिए $X$ सफेद गेंदों की संख्या है। $X$ के मान $0, 1, 2, 3$ हो सकते हैं।
$P(X=0) = \frac{C(4,0) \times C(6,3)}{120} = \frac{1 \times 20}{120} = \frac{1}{6}$.
$P(X=1) = \frac{C(4,1) \times C(6,2)}{120} = \frac{4 \times 15}{120} = \frac{1}{2}$.
$P(X=2) = \frac{C(4,2) \times C(6,1)}{120} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{3}{10}$.
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \times C(6,0)}{120} = \frac{4 \times 1}{120} = \frac{1}{30}$.
माध्य $E(X) = \sum x P(x) = 0(\frac{1}{6}) + 1(\frac{1}{2}) + 2(\frac{3}{10}) + 3(\frac{1}{30}) = 1.2$.
$E(X^2) = \sum x^2 P(x) = 0^2(\frac{1}{6}) + 1^2(\frac{1}{2}) + 2^2(\frac{3}{10}) + 3^2(\frac{1}{30}) = 2.0$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.0 - (1.2)^2 = 2.0 - 1.44 = 0.56$.
अतः,$100 \sigma^2 = 100 \times 0.56 = 56$.
मान लीजिए $X$ सफेद गेंदों की संख्या है। $X$ के मान $0, 1, 2, 3$ हो सकते हैं।
$P(X=0) = \frac{C(4,0) \times C(6,3)}{120} = \frac{1 \times 20}{120} = \frac{1}{6}$.
$P(X=1) = \frac{C(4,1) \times C(6,2)}{120} = \frac{4 \times 15}{120} = \frac{1}{2}$.
$P(X=2) = \frac{C(4,2) \times C(6,1)}{120} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{3}{10}$.
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \times C(6,0)}{120} = \frac{4 \times 1}{120} = \frac{1}{30}$.
माध्य $E(X) = \sum x P(x) = 0(\frac{1}{6}) + 1(\frac{1}{2}) + 2(\frac{3}{10}) + 3(\frac{1}{30}) = 1.2$.
$E(X^2) = \sum x^2 P(x) = 0^2(\frac{1}{6}) + 1^2(\frac{1}{2}) + 2^2(\frac{3}{10}) + 3^2(\frac{1}{30}) = 2.0$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.0 - (1.2)^2 = 2.0 - 1.44 = 0.56$.
अतः,$100 \sigma^2 = 100 \times 0.56 = 56$.
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DifficultMCQ
यदि एक निष्पक्ष सिक्के को $5$ बार उछाला जाता है,तो इसकी क्या प्रायिकता है कि चित (heads) लगातार दो या दो से अधिक बार न आए?
A
$\frac{12}{2^5}$
B
$\frac{13}{2^5}$
C
$\frac{14}{2^5}$
D
$\frac{15}{2^5}$
Solution
(B) जब एक निष्पक्ष सिक्के को $5$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^5 = 32$ होती है।
हमें $5$ लंबाई के ऐसे अनुक्रम खोजने हैं जिनमें $H$ (चित) और $T$ (पट) हों और कोई भी दो $H$ लगातार न आएं।
मान लीजिए $a_n$ ऐसी $n$ लंबाई के अनुक्रमों की संख्या है।
यदि अनुक्रम $T$ पर समाप्त होता है,तो पिछले $n-1$ स्थान $n-1$ लंबाई का कोई भी मान्य अनुक्रम हो सकते हैं,जो $a_{n-1}$ है।
यदि अनुक्रम $H$ पर समाप्त होता है,तो पिछला स्थान $T$ होना चाहिए,और उससे पहले के $n-2$ स्थान $n-2$ लंबाई का कोई भी मान्य अनुक्रम हो सकते हैं,जो $a_{n-2}$ है।
अतः,$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$।
$n=1$ के लिए: $H, T$ (दोनों मान्य),इसलिए $a_1 = 2$।
$n=2$ के लिए: $HT, TH, TT$ (सभी मान्य,$HH$ अमान्य है),इसलिए $a_2 = 3$।
$n=3$ के लिए: $a_3 = a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5$।
$n=4$ के लिए: $a_4 = a_3 + a_2 = 5 + 3 = 8$।
$n=5$ के लिए: $a_5 = a_4 + a_3 = 8 + 5 = 13$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $13$ है।
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $\frac{13}{2^5}$ है।
हमें $5$ लंबाई के ऐसे अनुक्रम खोजने हैं जिनमें $H$ (चित) और $T$ (पट) हों और कोई भी दो $H$ लगातार न आएं।
मान लीजिए $a_n$ ऐसी $n$ लंबाई के अनुक्रमों की संख्या है।
यदि अनुक्रम $T$ पर समाप्त होता है,तो पिछले $n-1$ स्थान $n-1$ लंबाई का कोई भी मान्य अनुक्रम हो सकते हैं,जो $a_{n-1}$ है।
यदि अनुक्रम $H$ पर समाप्त होता है,तो पिछला स्थान $T$ होना चाहिए,और उससे पहले के $n-2$ स्थान $n-2$ लंबाई का कोई भी मान्य अनुक्रम हो सकते हैं,जो $a_{n-2}$ है।
अतः,$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$।
$n=1$ के लिए: $H, T$ (दोनों मान्य),इसलिए $a_1 = 2$।
$n=2$ के लिए: $HT, TH, TT$ (सभी मान्य,$HH$ अमान्य है),इसलिए $a_2 = 3$।
$n=3$ के लिए: $a_3 = a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5$।
$n=4$ के लिए: $a_4 = a_3 + a_2 = 5 + 3 = 8$।
$n=5$ के लिए: $a_5 = a_4 + a_3 = 8 + 5 = 13$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $13$ है।
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $\frac{13}{2^5}$ है।
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DifficultMCQ
तीन सड़े हुए सेब गलती से सात अच्छे सेबों के साथ मिल जाते हैं और चार सेब एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ सड़े हुए सेबों की संख्या को दर्शाता है। यदि $\mu$ और $\sigma^2$ क्रमशः $X$ के माध्य और प्रसरण को दर्शाते हैं,तो $10(\mu^2 + \sigma^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$20$
B
$250$
C
$25$
D
$30$
Solution
(A) कुल सेब = $3 + 7 = 10$। चार सेब बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। यादृच्छिक चर $X$ हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का पालन करता है। प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $P(X)$ | $XP(X)$ | $X^2P(X)$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $1/6$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1/2$ | $1/2$ | $1/2$ |
| $2$ | $3/10$ | $6/10$ | $12/10$ |
| $3$ | $1/30$ | $3/10$ | $9/30$ |
$E(X^2) = \sum x^2P(x) = 0 + 1/2 + 12/10 + 9/30 = 0 + 0.5 + 1.2 + 0.3 = 2.0$.
हम जानते हैं कि $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,इसलिए $\mu^2 + \sigma^2 = E(X^2)$।
अतः,$10(\mu^2 + \sigma^2) = 10 \times E(X^2) = 10 \times 2 = 20$।
| $X$ | $P(X)$ | $XP(X)$ | $X^2P(X)$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $1/6$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1/2$ | $1/2$ | $1/2$ |
| $2$ | $3/10$ | $6/10$ | $12/10$ |
| $3$ | $1/30$ | $3/10$ | $9/30$ |
$E(X^2) = \sum x^2P(x) = 0 + 1/2 + 12/10 + 9/30 = 0 + 0.5 + 1.2 + 0.3 = 2.0$.
हम जानते हैं कि $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,इसलिए $\mu^2 + \sigma^2 = E(X^2)$।
अतः,$10(\mu^2 + \sigma^2) = 10 \times E(X^2) = 10 \times 2 = 20$।
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DifficultMCQ
यदि यादृच्छिक चर $X$ द्वारा मान $x$ लेने की प्रायिकता $P(X = x) = k(x + 1)3^{-x}$ द्वारा दी गई है,जहाँ $x = 0, 1, 2, 3, \ldots$ और $k$ एक स्थिरांक है,तो $P(X \geq 2)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{7}{27}$
B
$\frac{11}{18}$
C
$\frac{7}{18}$
D
$\frac{20}{27}$
Solution
(A) सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए: $\sum_{x=0}^{\infty} P(X = x) = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x + 1)3^{-x} = 1$.
मान लीजिए $S = 1 + 2(3^{-1}) + 3(3^{-2}) + 4(3^{-3}) + \ldots = \sum_{x=0}^{\infty} (x + 1)3^{-x}$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है।
$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots$
$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots$
दोनों को घटाने पर: $S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$
$\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
$S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.
चूंकि $kS = 1$,इसलिए $k = \frac{4}{9}$.
हमें $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = k(0 + 1)3^0 = k = \frac{4}{9}$.
$P(X = 1) = k(1 + 1)3^{-1} = 2k \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{27}$.
$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{4}{9} + \frac{8}{27}) = 1 - (\frac{12 + 8}{27}) = 1 - \frac{20}{27} = \frac{7}{27}$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x + 1)3^{-x} = 1$.
मान लीजिए $S = 1 + 2(3^{-1}) + 3(3^{-2}) + 4(3^{-3}) + \ldots = \sum_{x=0}^{\infty} (x + 1)3^{-x}$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है।
$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots$
$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots$
दोनों को घटाने पर: $S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$
$\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
$S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.
चूंकि $kS = 1$,इसलिए $k = \frac{4}{9}$.
हमें $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = k(0 + 1)3^0 = k = \frac{4}{9}$.
$P(X = 1) = k(1 + 1)3^{-1} = 2k \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{27}$.
$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{4}{9} + \frac{8}{27}) = 1 - (\frac{12 + 8}{27}) = 1 - \frac{20}{27} = \frac{7}{27}$.
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DifficultMCQ
एक निष्पक्ष $n$ $(n > 1)$ फलक वाले पासे को तब तक बार-बार उछाला जाता है जब तक कि $n$ से छोटी संख्या न आ जाए। यदि आवश्यक उछालों की संख्या का माध्य $\frac{n}{9}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$11$
B
$12$
C
$13$
D
$10$
Solution
(D) मान लीजिए $X$ आवश्यक उछालों की संख्या है। एक उछाल में $n$ से छोटी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{n-1}{n}$ है।
एक उछाल में संख्या $n$ प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{n}$ है।
यादृच्छिक चर $X$ एक ज्यामितीय वितरण का पालन करता है जहाँ सफलता की प्रायिकता $p = \frac{n-1}{n}$ है।
ज्यामितीय वितरण का माध्य $E[X] = \frac{1}{p}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि माध्य $\frac{n}{9}$ है,इसलिए $\frac{1}{p} = \frac{n}{9}$।
$p = \frac{n-1}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{(n-1)/n} = \frac{n}{9}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{n}{n-1} = \frac{n}{9}$ हो जाता है।
चूंकि $n > 1$,हम दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित कर सकते हैं जिससे $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n - 1 = 9$,जिसका अर्थ है कि $n = 10$।
एक उछाल में संख्या $n$ प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{n}$ है।
यादृच्छिक चर $X$ एक ज्यामितीय वितरण का पालन करता है जहाँ सफलता की प्रायिकता $p = \frac{n-1}{n}$ है।
ज्यामितीय वितरण का माध्य $E[X] = \frac{1}{p}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि माध्य $\frac{n}{9}$ है,इसलिए $\frac{1}{p} = \frac{n}{9}$।
$p = \frac{n-1}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{(n-1)/n} = \frac{n}{9}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{n}{n-1} = \frac{n}{9}$ हो जाता है।
चूंकि $n > 1$,हम दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित कर सकते हैं जिससे $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n - 1 = 9$,जिसका अर्थ है कि $n = 10$।
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MediumMCQ
एक सिक्का पक्षपाती है ताकि हेड (head) आने की संभावना टेल (tail) से $3$ गुना अधिक हो। इस सिक्के को तब तक उछाला जाता है जब तक कि हेड या तीन टेल न आ जाएं। यदि $X$ सिक्के के उछालों की संख्या को दर्शाता है,तो $X$ का माध्य क्या है?
A
$\frac{21}{16}$
B
$\frac{81}{64}$
C
$\frac{15}{16}$
D
$\frac{37}{16}$
Solution
(A) दिया गया है कि हेड की प्रायिकता $P(H) = 3P(T)$ है। चूंकि $P(H) + P(T) = 1$,इसलिए $4P(T) = 1$,जिससे $P(T) = \frac{1}{4}$ और $P(H) = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
सिक्के को तब तक उछाला जाता है जब तक हेड या तीन टेल न आ जाएं। $X$ के संभावित मान $1, 2, 3$ हैं।
$X=1$ के लिए: परिणाम $H$ है। $P(X=1) = P(H) = \frac{3}{4}$।
$X=2$ के लिए: परिणाम $TH$ है। $P(X=2) = P(T) \times P(H) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$।
$X=3$ के लिए: परिणाम $TTH$ या $TTT$ हैं। $P(X=3) = P(T)^2 \times P(H) + P(T)^3 = (\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{4} + (\frac{1}{4})^3 = \frac{3}{64} + \frac{1}{64} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1(\frac{3}{4}) + 2(\frac{3}{16}) + 3(\frac{1}{16}) = \frac{3}{4} + \frac{6}{16} + \frac{3}{16} = \frac{12}{16} + \frac{9}{16} = \frac{21}{16}$।
सिक्के को तब तक उछाला जाता है जब तक हेड या तीन टेल न आ जाएं। $X$ के संभावित मान $1, 2, 3$ हैं।
$X=1$ के लिए: परिणाम $H$ है। $P(X=1) = P(H) = \frac{3}{4}$।
$X=2$ के लिए: परिणाम $TH$ है। $P(X=2) = P(T) \times P(H) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$।
$X=3$ के लिए: परिणाम $TTH$ या $TTT$ हैं। $P(X=3) = P(T)^2 \times P(H) + P(T)^3 = (\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{4} + (\frac{1}{4})^3 = \frac{3}{64} + \frac{1}{64} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1(\frac{3}{4}) + 2(\frac{3}{16}) + 3(\frac{1}{16}) = \frac{3}{4} + \frac{6}{16} + \frac{3}{16} = \frac{12}{16} + \frac{9}{16} = \frac{21}{16}$।
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DifficultMCQ
एक निष्पक्ष पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि छह प्राप्त न हो जाए। मान लीजिए $X$ आवश्यक उछालों की संख्या को दर्शाता है और $a=P(X=3)$,$b=P(X \geq 3)$ और $c=P(X \geq 6 \mid X>3)$ है। तो $\frac{b+c}{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$19$
B
$12$
C
$14$
D
$16$
Solution
(B) यादृच्छिक चर $X$ एक ज्यामितीय वितरण का अनुसरण करता है जिसका प्राचल $p = \frac{1}{6}$ और $q = \frac{5}{6}$ है।
$a = P(X=3) = q^2 p = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$.
$b = P(X \geq 3) = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.
$c = P(X \geq 6 \mid X>3)$ के लिए,ज्यामितीय वितरण के मेमोरीलेस गुण के अनुसार,$P(X \geq n+k \mid X>n) = P(X \geq k)$.
यहाँ,$n=3$ और $n+k=6$,इसलिए $k=3$.
अतः,$c = P(X \geq 3) = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.
अंत में,$\frac{b+c}{a} = \frac{\frac{25}{36} + \frac{25}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{\frac{50}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{50}{36} \times \frac{216}{25} = 2 \times 6 = 12$.
$a = P(X=3) = q^2 p = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$.
$b = P(X \geq 3) = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.
$c = P(X \geq 6 \mid X>3)$ के लिए,ज्यामितीय वितरण के मेमोरीलेस गुण के अनुसार,$P(X \geq n+k \mid X>n) = P(X \geq k)$.
यहाँ,$n=3$ और $n+k=6$,इसलिए $k=3$.
अतः,$c = P(X \geq 3) = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.
अंत में,$\frac{b+c}{a} = \frac{\frac{25}{36} + \frac{25}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{\frac{50}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{50}{36} \times \frac{216}{25} = 2 \times 6 = 12$.
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DifficultMCQ
तीन सड़े हुए सेब गलती से पंद्रह अच्छे सेबों के साथ मिल गए हैं। यदि यादृच्छिक चर $X$ दो सेबों के चयन में सड़े हुए सेबों की संख्या है,तो $X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{37}{153}$
B
$\frac{57}{153}$
C
$\frac{47}{153}$
D
$\frac{40}{153}$
Solution
(D) कुल सेब = $3 + 15 = 18$.
हम $2$ सेब चुनते हैं। $2$ सेब चुनने के कुल तरीके $^{18}C_2 = \frac{18 \times 17}{2} = 153$ हैं।
माना $X$ सड़े हुए सेबों की संख्या है। $X$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है।
$P(X=0) = \frac{^{15}C_2}{^{18}C_2} = \frac{105}{153}$.
$P(X=1) = \frac{^{3}C_1 \times ^{15}C_1}{^{18}C_2} = \frac{3 \times 15}{153} = \frac{45}{153}$.
$P(X=2) = \frac{^{3}C_2}{^{18}C_2} = \frac{3}{153}$.
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{105}{153} + 1 \times \frac{45}{153} + 2 \times \frac{3}{153} = \frac{51}{153} = \frac{1}{3}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{105}{153} + 1^2 \times \frac{45}{153} + 2^2 \times \frac{3}{153} = \frac{45 + 12}{153} = \frac{57}{153}$.
$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{57}{153} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{57}{153} - \frac{1}{9} = \frac{57}{153} - \frac{17}{153} = \frac{40}{153}$.
हम $2$ सेब चुनते हैं। $2$ सेब चुनने के कुल तरीके $^{18}C_2 = \frac{18 \times 17}{2} = 153$ हैं।
माना $X$ सड़े हुए सेबों की संख्या है। $X$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है।
$P(X=0) = \frac{^{15}C_2}{^{18}C_2} = \frac{105}{153}$.
$P(X=1) = \frac{^{3}C_1 \times ^{15}C_1}{^{18}C_2} = \frac{3 \times 15}{153} = \frac{45}{153}$.
$P(X=2) = \frac{^{3}C_2}{^{18}C_2} = \frac{3}{153}$.
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{105}{153} + 1 \times \frac{45}{153} + 2 \times \frac{3}{153} = \frac{51}{153} = \frac{1}{3}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{105}{153} + 1^2 \times \frac{45}{153} + 2^2 \times \frac{3}{153} = \frac{45 + 12}{153} = \frac{57}{153}$.
$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{57}{153} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{57}{153} - \frac{1}{9} = \frac{57}{153} - \frac{17}{153} = \frac{40}{153}$.
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DifficultMCQ
यदि एक यादृच्छिक चर $X$ के निम्नलिखित प्रायिकता वितरण का माध्य $\frac{46}{9}$ है,तो वितरण का प्रसरण ज्ञात कीजिए:
| $X$ | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ |
| $P(X)$ | $a$ | $2a$ | $a+b$ | $2b$ | $3b$ |
A
$\frac{581}{81}$
B
$\frac{566}{81}$
C
$\frac{173}{27}$
D
$\frac{151}{27}$
Solution
(B) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$a + 2a + (a+b) + 2b + 3b = 1$
$4a + 6b = 1$ --- $(i)$
माध्य $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{46}{9}$:
$0(a) + 2(2a) + 4(a+b) + 6(2b) + 8(3b) = \frac{46}{9}$
$8a + 40b = \frac{46}{9} \Rightarrow 4a + 20b = \frac{23}{9}$ --- $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$14b = \frac{14}{9} \Rightarrow b = \frac{1}{9}$
$b = \frac{1}{9}$ को $(i)$ में रखने पर:
$4a + 6(\frac{1}{9}) = 1 \Rightarrow 4a = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{12}$
अब,$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = 24a + 280b$
$E(X^2) = 24(\frac{1}{12}) + 280(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{280}{9} = \frac{298}{9}$
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{298}{9} - (\frac{46}{9})^2 = \frac{2682 - 2116}{81} = \frac{566}{81}$
$a + 2a + (a+b) + 2b + 3b = 1$
$4a + 6b = 1$ --- $(i)$
माध्य $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{46}{9}$:
$0(a) + 2(2a) + 4(a+b) + 6(2b) + 8(3b) = \frac{46}{9}$
$8a + 40b = \frac{46}{9} \Rightarrow 4a + 20b = \frac{23}{9}$ --- $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$14b = \frac{14}{9} \Rightarrow b = \frac{1}{9}$
$b = \frac{1}{9}$ को $(i)$ में रखने पर:
$4a + 6(\frac{1}{9}) = 1 \Rightarrow 4a = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{12}$
अब,$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = 24a + 280b$
$E(X^2) = 24(\frac{1}{12}) + 280(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{280}{9} = \frac{298}{9}$
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{298}{9} - (\frac{46}{9})^2 = \frac{2682 - 2116}{81} = \frac{566}{81}$
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DifficultMCQ
$10$ वस्तुओं के एक लॉट में से,जिसमें $3$ दोषपूर्ण वस्तुएं शामिल हैं,$5$ वस्तुओं का एक नमूना यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ नमूने में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है। यदि $X$ का प्रसरण $\sigma^2$ है,तो $96 \sigma^2$ का मान .................... है।
A
$56$
B
$87$
C
$61$
D
$12$
Solution
(A) यादृच्छिक चर $X$ एक हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का पालन करता है जहाँ $N=10$,$K=3$,और $n=5$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\binom{K}{x} \binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ द्वारा दिया जाता है।
$x \in \{0, 1, 2, 3\}$ के लिए प्रायिकताओं की गणना:
$P(X=0) = \frac{\binom{3}{0} \binom{7}{5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \times 21}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$
$P(X=1) = \frac{\binom{3}{1} \binom{7}{4}}{\binom{10}{5}} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$
$P(X=2) = \frac{\binom{3}{2} \binom{7}{3}}{\binom{10}{5}} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$
$P(X=3) = \frac{\binom{3}{3} \binom{7}{2}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \times 21}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$
माध्य $\mu = E[X] = \sum x P(x) = 0(\frac{1}{12}) + 1(\frac{5}{12}) + 2(\frac{5}{12}) + 3(\frac{1}{12}) = \frac{5+10+3}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
$E[X^2] = \sum x^2 P(x) = 0^2(\frac{1}{12}) + 1^2(\frac{5}{12}) + 2^2(\frac{5}{12}) + 3^2(\frac{1}{12}) = \frac{0+5+20+9}{12} = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}$.
प्रसरण $\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{17}{6} - (\frac{3}{2})^2 = \frac{17}{6} - \frac{9}{4} = \frac{34-27}{12} = \frac{7}{12}$.
अतः,$96 \sigma^2 = 96 \times \frac{7}{12} = 8 \times 7 = 56$.
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\binom{K}{x} \binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ द्वारा दिया जाता है।
$x \in \{0, 1, 2, 3\}$ के लिए प्रायिकताओं की गणना:
$P(X=0) = \frac{\binom{3}{0} \binom{7}{5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \times 21}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$
$P(X=1) = \frac{\binom{3}{1} \binom{7}{4}}{\binom{10}{5}} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$
$P(X=2) = \frac{\binom{3}{2} \binom{7}{3}}{\binom{10}{5}} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$
$P(X=3) = \frac{\binom{3}{3} \binom{7}{2}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \times 21}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$
माध्य $\mu = E[X] = \sum x P(x) = 0(\frac{1}{12}) + 1(\frac{5}{12}) + 2(\frac{5}{12}) + 3(\frac{1}{12}) = \frac{5+10+3}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
$E[X^2] = \sum x^2 P(x) = 0^2(\frac{1}{12}) + 1^2(\frac{5}{12}) + 2^2(\frac{5}{12}) + 3^2(\frac{1}{12}) = \frac{0+5+20+9}{12} = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}$.
प्रसरण $\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{17}{6} - (\frac{3}{2})^2 = \frac{17}{6} - \frac{9}{4} = \frac{34-27}{12} = \frac{7}{12}$.
अतः,$96 \sigma^2 = 96 \times \frac{7}{12} = 8 \times 7 = 56$.
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DifficultMCQ
माना कि प्रायिकता वितरण का माध्य और मानक विचलन क्रमशः $\mu$ और $\sigma$ हैं। यदि $\sigma - \mu = 2$ है,तो $\sigma + \mu$ का मान ज्ञात कीजिए:
| $X$ | $\alpha$ | $1$ | $0$ | $-3$ |
| $P(X)$ | $\frac{1}{3}$ | $K$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{4}$ |
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$9$
Solution
(A) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$\frac{1}{3} + K + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = 1$
$K + \frac{4+2+3}{12} = 1 \Rightarrow K + \frac{9}{12} = 1 \Rightarrow K = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
माध्य $\mu = \sum X P(X)$:
$\mu = \alpha(\frac{1}{3}) + 1(\frac{1}{4}) + 0(\frac{1}{6}) + (-3)(\frac{1}{4}) = \frac{\alpha}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \sum X^2 P(X) - \mu^2$:
$\sum X^2 P(X) = \alpha^2(\frac{1}{3}) + 1^2(\frac{1}{4}) + 0^2(\frac{1}{6}) + (-3)^2(\frac{1}{4}) = \frac{\alpha^2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{\alpha^2}{3} + \frac{5}{2}$.
$\sigma^2 = (\frac{\alpha^2}{3} + \frac{5}{2}) - (\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2})^2 = \frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4}$.
दिया गया है कि $\sigma - \mu = 2$,अतः $\sigma = \mu + 2$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\sigma^2 = (\mu + 2)^2 = \mu^2 + 4\mu + 4$.
$\mu = \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4} = (\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2})^2 + 4(\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}) + 4$
$\frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4} = \frac{\alpha^2}{9} - \frac{\alpha}{3} + \frac{1}{4} + \frac{4\alpha}{3} - 2 + 4$
$\frac{\alpha^2}{9} - \frac{2\alpha}{3} = 0 \Rightarrow \alpha(\frac{\alpha}{9} - \frac{2}{3}) = 0$.
चूंकि $\alpha \neq 0$ (क्योंकि $X=0$ पहले से ही दिया गया है),$\alpha = 6$.
अतः $\mu = \frac{6}{3} - \frac{1}{2} = 1.5$.
और $\sigma = \mu + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$.
इसलिए,$\sigma + \mu = 3.5 + 1.5 = 5$.
$\frac{1}{3} + K + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = 1$
$K + \frac{4+2+3}{12} = 1 \Rightarrow K + \frac{9}{12} = 1 \Rightarrow K = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
माध्य $\mu = \sum X P(X)$:
$\mu = \alpha(\frac{1}{3}) + 1(\frac{1}{4}) + 0(\frac{1}{6}) + (-3)(\frac{1}{4}) = \frac{\alpha}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \sum X^2 P(X) - \mu^2$:
$\sum X^2 P(X) = \alpha^2(\frac{1}{3}) + 1^2(\frac{1}{4}) + 0^2(\frac{1}{6}) + (-3)^2(\frac{1}{4}) = \frac{\alpha^2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{\alpha^2}{3} + \frac{5}{2}$.
$\sigma^2 = (\frac{\alpha^2}{3} + \frac{5}{2}) - (\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2})^2 = \frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4}$.
दिया गया है कि $\sigma - \mu = 2$,अतः $\sigma = \mu + 2$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\sigma^2 = (\mu + 2)^2 = \mu^2 + 4\mu + 4$.
$\mu = \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4} = (\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2})^2 + 4(\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}) + 4$
$\frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4} = \frac{\alpha^2}{9} - \frac{\alpha}{3} + \frac{1}{4} + \frac{4\alpha}{3} - 2 + 4$
$\frac{\alpha^2}{9} - \frac{2\alpha}{3} = 0 \Rightarrow \alpha(\frac{\alpha}{9} - \frac{2}{3}) = 0$.
चूंकि $\alpha \neq 0$ (क्योंकि $X=0$ पहले से ही दिया गया है),$\alpha = 6$.
अतः $\mu = \frac{6}{3} - \frac{1}{2} = 1.5$.
और $\sigma = \mu + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$.
इसलिए,$\sigma + \mu = 3.5 + 1.5 = 5$.
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DifficultMCQ
$3$ दोषपूर्ण वस्तुओं वाले $12$ वस्तुओं के लॉट से,$5$ वस्तुओं का एक नमूना यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ नमूने में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है। मान लीजिए कि नमूने में वस्तुओं को एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है। यदि $X$ का प्रसरण $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $n-m$ का मान .......... है।
A
$71$
B
$34$
C
$72$
D
$76$
Solution
(A) यादृच्छिक चर $X$ एक हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का पालन करता है जिसके पैरामीटर $N=12$ (कुल वस्तुएं),$K=3$ (दोषपूर्ण वस्तुएं),और $n=5$ (नमूना आकार) हैं।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का प्रसरण $\sigma^2 = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\sigma^2 = 5 \cdot \frac{3}{12} \cdot \frac{12-3}{12} \cdot \frac{12-5}{12-1}$.
$\sigma^2 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{7}{11} = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{11} = \frac{105}{176}$.
दिया गया है कि $\sigma^2 = \frac{m}{n} = \frac{105}{176}$,जहाँ $\operatorname{gcd}(105, 176) = 1$.
अतः,$m = 105$ और $n = 176$.
$n-m = 176 - 105 = 71$.
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का प्रसरण $\sigma^2 = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\sigma^2 = 5 \cdot \frac{3}{12} \cdot \frac{12-3}{12} \cdot \frac{12-5}{12-1}$.
$\sigma^2 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{7}{11} = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{11} = \frac{105}{176}$.
दिया गया है कि $\sigma^2 = \frac{m}{n} = \frac{105}{176}$,जहाँ $\operatorname{gcd}(105, 176) = 1$.
अतः,$m = 105$ और $n = 176$.
$n-m = 176 - 105 = 71$.
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DifficultMCQ
$5$ नीली और $4$ पीली गेंदों वाले एक थैले से यादृच्छिक रूप से $3$ गेंदें निकाली जाती हैं। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ क्रमशः नीली और पीली गेंदों की संख्या को दर्शाते हैं। यदि $\bar{X}$ और $\bar{Y}$ क्रमशः $X$ और $Y$ के माध्य हैं,तो $7 \bar{X} + 4 \bar{Y}$ का मान .......... है।
A
$23$
B
$26$
C
$17$
D
$37$
Solution
(C) कुल गेंदें = $5 + 4 = 9$ हैं। हम $3$ गेंदें निकालते हैं। $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
मान लीजिए $X$ नीली गेंदों की संख्या है। माध्य $\bar{X} = E[X] = n \times p$,जहाँ $n=3$ और $p$ नीली गेंद निकालने की प्रायिकता है,$p = \frac{5}{9}$।
अतः,$\bar{X} = 3 \times \frac{5}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$।
मान लीजिए $Y$ पीली गेंदों की संख्या है। माध्य $\bar{Y} = E[Y] = n \times p'$,जहाँ $n=3$ और $p'$ पीली गेंद निकालने की प्रायिकता है,$p' = \frac{4}{9}$।
अतः,$\bar{Y} = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$।
हमें $7 \bar{X} + 4 \bar{Y}$ का मान ज्ञात करना है:
$7 \bar{X} + 4 \bar{Y} = 7 \left(\frac{5}{3}\right) + 4 \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{35}{3} + \frac{16}{3} = \frac{51}{3} = 17$.
मान लीजिए $X$ नीली गेंदों की संख्या है। माध्य $\bar{X} = E[X] = n \times p$,जहाँ $n=3$ और $p$ नीली गेंद निकालने की प्रायिकता है,$p = \frac{5}{9}$।
अतः,$\bar{X} = 3 \times \frac{5}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$।
मान लीजिए $Y$ पीली गेंदों की संख्या है। माध्य $\bar{Y} = E[Y] = n \times p'$,जहाँ $n=3$ और $p'$ पीली गेंद निकालने की प्रायिकता है,$p' = \frac{4}{9}$।
अतः,$\bar{Y} = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$।
हमें $7 \bar{X} + 4 \bar{Y}$ का मान ज्ञात करना है:
$7 \bar{X} + 4 \bar{Y} = 7 \left(\frac{5}{3}\right) + 4 \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{35}{3} + \frac{16}{3} = \frac{51}{3} = 17$.
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AdvancedMCQ
माना $X$ एक यादृच्छिक चर है,और $P(X=x)$ उस प्रायिकता को दर्शाता है कि $X$ का मान $x$ है। मान लीजिए कि बिंदु $(x, P(X=x))$ जहाँ $x=0,1,2,3,4$ एक निश्चित सीधी रेखा पर स्थित हैं,और सभी $x \in \mathbb{R} \setminus \{0,1,2,3,4\}$ के लिए $P(X=x)=0$ है। यदि $X$ का माध्य $\frac{5}{2}$ है,और $X$ का प्रसरण $\alpha$ है,तो $24\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$20$
B
$30$
C
$40$
D
$42$
Solution
(D) माना रेखा का समीकरण $P(X=x) = mx + c$ है।
चूँकि $\sum_{x=0}^4 P(X=x) = 1$,इसलिए $10m + 5c = 1 \implies 2m + c = \frac{1}{5} \quad (1)$
माध्य $E[X] = \sum_{x=0}^4 x(mx + c) = 30m + 10c = \frac{5}{2} \implies 3m + c = \frac{1}{4} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$m = \frac{1}{20}$ और $c = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
$E[X^2] = \sum_{x=0}^4 x^2(mx + c) = 100m + 30c = 100(\frac{1}{20}) + 30(\frac{1}{10}) = 5 + 3 = 8$.
प्रसरण $\alpha = E[X^2] - (E[X])^2 = 8 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{7}{4}$.
अतः,$24\alpha = 24 \times \frac{7}{4} = 42$.
चूँकि $\sum_{x=0}^4 P(X=x) = 1$,इसलिए $10m + 5c = 1 \implies 2m + c = \frac{1}{5} \quad (1)$
माध्य $E[X] = \sum_{x=0}^4 x(mx + c) = 30m + 10c = \frac{5}{2} \implies 3m + c = \frac{1}{4} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$m = \frac{1}{20}$ और $c = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
$E[X^2] = \sum_{x=0}^4 x^2(mx + c) = 100m + 30c = 100(\frac{1}{20}) + 30(\frac{1}{10}) = 5 + 3 = 8$.
प्रसरण $\alpha = E[X^2] - (E[X])^2 = 8 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{7}{4}$.
अतः,$24\alpha = 24 \times \frac{7}{4} = 42$.
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DifficultMCQ
एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। मान लीजिए $X$ उस संख्या को दर्शाता है जितनी बार चित (head) के बाद पट (tail) आता है। यदि $\mu$ और $\sigma^2$ क्रमशः $X$ का माध्य और प्रसरण हैं, तो $64(\mu+\sigma^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$51$
B
$48$
C
$32$
D
$64$
Solution
(B) तीन बार सिक्का उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
मान लीजिए $X$ चित के बाद पट आने की संख्या है (अर्थात $HT$ पैटर्न)।
$HHH \rightarrow 0$
$HHT \rightarrow 1$
$HTH \rightarrow 1$
$HTT \rightarrow 1$
$THH \rightarrow 0$
$THT \rightarrow 1$
$TTH \rightarrow 0$
$TTT \rightarrow 0$
$X$ के मान $0$ और $1$ हैं।
$P(X=0) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
माध्य $\mu = E[X] = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
प्रसरण $\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = (0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
$64(\mu + \sigma^2) = 64(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 64(\frac{3}{4}) = 48$.
मान लीजिए $X$ चित के बाद पट आने की संख्या है (अर्थात $HT$ पैटर्न)।
$HHH \rightarrow 0$
$HHT \rightarrow 1$
$HTH \rightarrow 1$
$HTT \rightarrow 1$
$THH \rightarrow 0$
$THT \rightarrow 1$
$TTH \rightarrow 0$
$TTT \rightarrow 0$
$X$ के मान $0$ और $1$ हैं।
$P(X=0) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
माध्य $\mu = E[X] = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
प्रसरण $\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = (0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
$64(\mu + \sigma^2) = 64(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 64(\frac{3}{4}) = 48$.
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DifficultMCQ
तीन खराब संतरे गलती से सात अच्छे संतरों के साथ मिल जाते हैं और उन्हें देखने पर,उनके बीच अंतर करना संभव नहीं है। लॉट से यादृच्छिक रूप से दो संतरे निकाले जाते हैं। यदि $x$ खराब संतरों की संख्या को दर्शाता है,तो $x$ का प्रसरण (variance) क्या है?
A
$28 / 75$
B
$14 / 25$
C
$26 / 75$
D
$18 / 25$
Solution
(A) कुल संतरों की संख्या = $10$। खराब संतरों की संख्या = $3$। अच्छे संतरों की संख्या = $7$। दो संतरे यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं। मान लीजिए $x$ खराब संतरों की संख्या है। $x$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
माध्य $\mu = E(x) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{42}{90} + 1 \times \frac{42}{90} + 2 \times \frac{6}{90} = \frac{42 + 12}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5} = 0.6$।
अब,$E(x^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{42}{90} + 1^2 \times \frac{42}{90} + 2^2 \times \frac{6}{90} = \frac{42 + 24}{90} = \frac{66}{90} = \frac{11}{15}$।
प्रसरण $\sigma^2 = E(x^2) - [E(x)]^2 = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{11}{15} - \frac{9}{25} = \frac{55 - 27}{75} = \frac{28}{75}$।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $x_i$ | $P(x_i)$ |
| $0$ | $\frac{^7C_2}{^{10}C_2} = \frac{21}{45} = \frac{42}{90}$ |
| $1$ | $\frac{^7C_1 \times ^3C_1}{^{10}C_2} = \frac{21}{45} = \frac{42}{90}$ |
| $2$ | $\frac{^3C_2}{^{10}C_2} = \frac{3}{45} = \frac{6}{90}$ |
माध्य $\mu = E(x) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{42}{90} + 1 \times \frac{42}{90} + 2 \times \frac{6}{90} = \frac{42 + 12}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5} = 0.6$।
अब,$E(x^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{42}{90} + 1^2 \times \frac{42}{90} + 2^2 \times \frac{6}{90} = \frac{42 + 24}{90} = \frac{66}{90} = \frac{11}{15}$।
प्रसरण $\sigma^2 = E(x^2) - [E(x)]^2 = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{11}{15} - \frac{9}{25} = \frac{55 - 27}{75} = \frac{28}{75}$।
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DifficultMCQ
यदि यादृच्छिक चर $X$ का मान $x$ होने की प्रायिकता $P(X=x) = k(x+1)3^{-x}$ द्वारा दी गई है,जहाँ $x = 0, 1, 2, 3, \ldots$ और $k$ एक स्थिरांक है,तो $P(X \geq 3)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{7}{27}$
B
$\frac{4}{9}$
C
$\frac{8}{27}$
D
$\frac{1}{9}$
Solution
(D) सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)3^{-x} = 1$.
माना $S = \sum_{x=0}^{\infty} (x+1)3^{-x} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots$.
तब $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$ और $r=\frac{1}{3}$ है,इसलिए $\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}$.
अतः $S = \frac{9}{4}$. चूँकि $kS = 1$,इसलिए $k = \frac{4}{9}$.
हमें $P(X \geq 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = k(1)3^0 = k = \frac{4}{9}$.
$P(X=1) = k(2)3^{-1} = \frac{2k}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{27}$.
$P(X=2) = k(3)3^{-2} = \frac{3k}{9} = \frac{k}{3} = \frac{4}{27}$.
$P(X \geq 3) = 1 - (\frac{4}{9} + \frac{8}{27} + \frac{4}{27}) = 1 - (\frac{12+8+4}{27}) = 1 - \frac{24}{27} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
माना $S = \sum_{x=0}^{\infty} (x+1)3^{-x} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots$.
तब $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$ और $r=\frac{1}{3}$ है,इसलिए $\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}$.
अतः $S = \frac{9}{4}$. चूँकि $kS = 1$,इसलिए $k = \frac{4}{9}$.
हमें $P(X \geq 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = k(1)3^0 = k = \frac{4}{9}$.
$P(X=1) = k(2)3^{-1} = \frac{2k}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{27}$.
$P(X=2) = k(3)3^{-2} = \frac{3k}{9} = \frac{k}{3} = \frac{4}{27}$.
$P(X \geq 3) = 1 - (\frac{4}{9} + \frac{8}{27} + \frac{4}{27}) = 1 - (\frac{12+8+4}{27}) = 1 - \frac{24}{27} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
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DifficultMCQ
एक बॉक्स में $10$ पेन हैं जिनमें से $3$ खराब हैं। यादृच्छिक रूप से $2$ पेन का एक नमूना निकाला जाता है और मान लीजिए $X$ खराब पेन की संख्या को दर्शाता है। तो $X$ का प्रसरण (variance) है
A
$\frac{11}{15}$
B
$\frac{28}{75}$
C
$\frac{2}{15}$
D
$\frac{3}{5}$
Solution
(B) $10$ में से $2$ पेन चुनने के कुल तरीके $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ हैं।
यादृच्छिक चर $X$ के मान $0, 1, 2$ हो सकते हैं।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{21}{45} + 1 \times \frac{21}{45} + 2 \times \frac{3}{45} = \frac{21+6}{45} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}$।
अपेक्षा $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{21}{45} + 1^2 \times \frac{21}{45} + 2^2 \times \frac{3}{45} = \frac{21+12}{45} = \frac{33}{45} = \frac{11}{15}$।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{11}{15} - \frac{9}{25} = \frac{55-27}{75} = \frac{28}{75}$।
यादृच्छिक चर $X$ के मान $0, 1, 2$ हो सकते हैं।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P(X)$ | $\frac{^7C_2}{45} = \frac{21}{45}$ | $\frac{^7C_1 \times ^3C_1}{45} = \frac{21}{45}$ | $\frac{^3C_2}{45} = \frac{3}{45}$ |
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{21}{45} + 1 \times \frac{21}{45} + 2 \times \frac{3}{45} = \frac{21+6}{45} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}$।
अपेक्षा $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{21}{45} + 1^2 \times \frac{21}{45} + 2^2 \times \frac{3}{45} = \frac{21+12}{45} = \frac{33}{45} = \frac{11}{15}$।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{11}{15} - \frac{9}{25} = \frac{55-27}{75} = \frac{28}{75}$।
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DifficultMCQ
मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर $X$ मान $\{0, 1, 2, 3\}$ लेता है,जहाँ $P(X=0) = P(X=1) = p$,$P(X=2) = P(X=3) = q$ और $E(X^2) = 2E(X)$ है। तो $8p - 1$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$0$
B
$2$
C
$1$
D
$3$
Solution
(B) प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$p + p + q + q = 1 \implies 2p + 2q = 1 \implies p + q = \frac{1}{2}$
अब,अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना करें:
$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 0(p) + 1(p) + 2(q) + 3(q) = p + 5q$
अपेक्षित मान $E(X^2)$ की गणना करें:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i) = 0^2(p) + 1^2(p) + 2^2(q) + 3^2(q) = p + 13q$
दिया गया है कि $E(X^2) = 2E(X)$:
$p + 13q = 2(p + 5q)$
$p + 13q = 2p + 10q$
$p = 3q$
$p + q = \frac{1}{2}$ में $p = 3q$ रखने पर:
$3q + q = \frac{1}{2} \implies 4q = \frac{1}{2} \implies q = \frac{1}{8}$
अतः $p = 3(\frac{1}{8}) = \frac{3}{8}$
अंत में,$8p - 1$ का मान ज्ञात करें:
$8(\frac{3}{8}) - 1 = 3 - 1 = 2$
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$p + p + q + q = 1 \implies 2p + 2q = 1 \implies p + q = \frac{1}{2}$
अब,अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना करें:
$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 0(p) + 1(p) + 2(q) + 3(q) = p + 5q$
अपेक्षित मान $E(X^2)$ की गणना करें:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i) = 0^2(p) + 1^2(p) + 2^2(q) + 3^2(q) = p + 13q$
दिया गया है कि $E(X^2) = 2E(X)$:
$p + 13q = 2(p + 5q)$
$p + 13q = 2p + 10q$
$p = 3q$
$p + q = \frac{1}{2}$ में $p = 3q$ रखने पर:
$3q + q = \frac{1}{2} \implies 4q = \frac{1}{2} \implies q = \frac{1}{8}$
अतः $p = 3(\frac{1}{8}) = \frac{3}{8}$
अंत में,$8p - 1$ का मान ज्ञात करें:
$8(\frac{3}{8}) - 1 = 3 - 1 = 2$
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MediumMCQ
यदि एक सतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता घनत्व फलन $f(x)$ इस प्रकार दिया गया है: $f(x) = \begin{cases} ax, & 0 \le x < 1 \\ a, & 1 \le x < 2 \\ 3a - ax, & 2 \le x \le 3 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$,तो $a$ का मान है:
A
$\frac{1}{5}$
B
$\frac{1}{3}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$1$
Solution
(C) चूंकि $f(x)$,$X$ का प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.) है,इसलिए वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए।
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
$\int_0^1 ax dx + \int_1^2 a dx + \int_2^3 (3a - ax) dx = 1$
$a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + a [x]_1^2 + \left[ 3ax - \frac{ax^2}{2} \right]_2^3 = 1$
$a(\frac{1}{2}) + a(1) + [(9a - \frac{9a}{2}) - (6a - \frac{4a}{2})] = 1$
$\frac{a}{2} + a + [\frac{9a}{2} - 4a] = 1$
$\frac{a}{2} + a + \frac{a}{2} = 1$
$2a = 1$
$a = \frac{1}{2}$
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
$\int_0^1 ax dx + \int_1^2 a dx + \int_2^3 (3a - ax) dx = 1$
$a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + a [x]_1^2 + \left[ 3ax - \frac{ax^2}{2} \right]_2^3 = 1$
$a(\frac{1}{2}) + a(1) + [(9a - \frac{9a}{2}) - (6a - \frac{4a}{2})] = 1$
$\frac{a}{2} + a + [\frac{9a}{2} - 4a] = 1$
$\frac{a}{2} + a + \frac{a}{2} = 1$
$2a = 1$
$a = \frac{1}{2}$
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EasyMCQ
p.d.f. $f(x)$ से संबंधित c.d.f. $F(x)$ इस प्रकार है:
$f(x) = \begin{cases} 12x^2(1-x), & \text{यदि } 0 < x < 1 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} 12x^2(1-x), & \text{यदि } 0 < x < 1 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
A
$F(x) = 4x^3 + 3x^4$
B
$F(x) = 4x^3 - 3x^4$
C
$F(x) = -4x^3 - 3x^4$
D
$F(x) = -4x^3 + 3x^4$
Solution
(B) क्युमुलेटिव डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन (c.d.f.) $F(x)$ को प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन (p.d.f.) $f(x)$ के $-\infty$ से $x$ तक के समाकलन (integral) के रूप में परिभाषित किया गया है।
$0 < x < 1$ के लिए,हमारे पास है:
$F(x) = \int_0^x f(t) dt$
$F(x) = \int_0^x 12t^2(1-t) dt$
$F(x) = 12 \int_0^x (t^2 - t^3) dt$
$F(x) = 12 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} \right]_0^x$
$F(x) = 12 \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right)$
$F(x) = 4x^3 - 3x^4$
अतः,सही विकल्प $B$ है।
$0 < x < 1$ के लिए,हमारे पास है:
$F(x) = \int_0^x f(t) dt$
$F(x) = \int_0^x 12t^2(1-t) dt$
$F(x) = 12 \int_0^x (t^2 - t^3) dt$
$F(x) = 12 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} \right]_0^x$
$F(x) = 12 \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right)$
$F(x) = 4x^3 - 3x^4$
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा फलन एक सतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता घनत्व फलन $(p.d.f.)$ नहीं है?
A
$F_{3}$
B
$F_{4}$
C
$F_{1}$
D
$F_{2}$
Solution
(B) एक फलन $f(x)$ एक सतत यादृच्छिक चर $X$ का $p.d.f.$ होता है यदि यह दो शर्तों को पूरा करता है:
$1$. सभी $x$ के लिए $f(x) \ge 0$।
$2$. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$।
प्रत्येक फलन की जाँच करते हैं:
$F_{1}(x) = e^{-x}$ के लिए $0 < x < \infty$:
$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$। यह एक $p.d.f.$ है।
$F_{2}(x) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{\sqrt{x}}$ के लिए $0 < x < 4$:
$\int_{0}^{4} \frac{1}{4\sqrt{x}} \, dx = \frac{1}{4} [2\sqrt{x}]_{0}^{4} = \frac{1}{4} (2 \times 2 - 0) = 1$। यह एक $p.d.f.$ है।
$F_{3}(x) = 6x(1-x)$ के लिए $0 < x < 1$:
$\int_{0}^{1} 6(x - x^2) \, dx = 6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 6 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{6}) = 1$। यह एक $p.d.f.$ है।
$F_{4}(x) = \frac{x}{2}$ के लिए $-2 < x < 2$:
यहाँ,$x \in (-2, 0)$ के लिए $f(x) = \frac{x}{2}$ ऋणात्मक है।
चूंकि एक $p.d.f.$ को सभी $x$ के लिए गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $F_{4}$ एक $p.d.f.$ नहीं है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
$1$. सभी $x$ के लिए $f(x) \ge 0$।
$2$. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$।
प्रत्येक फलन की जाँच करते हैं:
$F_{1}(x) = e^{-x}$ के लिए $0 < x < \infty$:
$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$। यह एक $p.d.f.$ है।
$F_{2}(x) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{\sqrt{x}}$ के लिए $0 < x < 4$:
$\int_{0}^{4} \frac{1}{4\sqrt{x}} \, dx = \frac{1}{4} [2\sqrt{x}]_{0}^{4} = \frac{1}{4} (2 \times 2 - 0) = 1$। यह एक $p.d.f.$ है।
$F_{3}(x) = 6x(1-x)$ के लिए $0 < x < 1$:
$\int_{0}^{1} 6(x - x^2) \, dx = 6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 6 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{6}) = 1$। यह एक $p.d.f.$ है।
$F_{4}(x) = \frac{x}{2}$ के लिए $-2 < x < 2$:
यहाँ,$x \in (-2, 0)$ के लिए $f(x) = \frac{x}{2}$ ऋणात्मक है।
चूंकि एक $p.d.f.$ को सभी $x$ के लिए गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $F_{4}$ एक $p.d.f.$ नहीं है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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View Solution100
DifficultMCQ
एक निष्पक्ष सिक्के को $4$ बार उछाला जाता है। यदि $X$ एक यादृच्छिक चर है जो चित (heads) की संख्या को दर्शाता है,तो $P[X < 3] = $
A
$\frac{10}{16}$
B
$\frac{1}{16}$
C
$\frac{12}{16}$
D
$\frac{11}{16}$
Solution
(D) एक सिक्के को $4$ बार उछाला जाता है। कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 2^4 = 16$ है।
मान लीजिए $X$ चितों की संख्या है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4$ हैं।
हमें $P[X < 3] = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$n$ उछालों में $r$ चित प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $\binom{n}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$X=0$ के लिए: $\binom{4}{0} = 1$ तरीका।
$X=1$ के लिए: $\binom{4}{1} = 4$ तरीके।
$X=2$ के लिए: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 4 + 6 = 11$।
अतः,$P[X < 3] = \frac{11}{16}$।
मान लीजिए $X$ चितों की संख्या है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4$ हैं।
हमें $P[X < 3] = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$n$ उछालों में $r$ चित प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $\binom{n}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$X=0$ के लिए: $\binom{4}{0} = 1$ तरीका।
$X=1$ के लिए: $\binom{4}{1} = 4$ तरीके।
$X=2$ के लिए: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 4 + 6 = 11$।
अतः,$P[X < 3] = \frac{11}{16}$।
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