Binomial distribution Questions in Hindi

(B) दिया गया है,एक परीक्षण में घटना $A$ के होने की प्रायिकता $P(A) = 0.4$ है।
अतः,एक परीक्षण में घटना $A$ के न होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
$n = 3$ स्वतंत्र परीक्षणों के लिए,घटना $A$ के एक भी बार न होने की प्रायिकता $P(\text{none}) = (P(\bar{A}))^3 = (0.6)^3 = 0.216$ है।
घटना $A$ के कम से कम एक बार होने की प्रायिकता $P(\text{at least once}) = 1 - P(\text{none})$ द्वारा दी जाती है।
$P(\text{at least once}) = 1 - 0.216 = 0.784$.

(D) दिया गया है कि घटना के घटित न होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 0.05$ है।
अतः,घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.05 = 0.95$ है।
घटना के $4$ लगातार अवसरों पर घटित होने की प्रायिकता $[P(A)]^4$ द्वारा दी जाती है।
$= (0.95)^4 = 0.81450625$.

(B) लड़के के जन्म लेने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{2}$ और लड़की के जन्म लेने की प्रायिकता $P(G) = \frac{1}{2}$ है।
$4$ बच्चों वाले परिवार के लिए,कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ है।
कम से कम एक लड़की होने की घटना,कोई भी लड़की न होने (अर्थात सभी लड़के होने) की घटना की पूरक घटना है।
कोई भी लड़की न होने की प्रायिकता $P(\text{सभी लड़के}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ है।
अतः,कम से कम एक लड़की होने की प्रायिकता $1 - P(\text{सभी लड़के}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ है।

(B) माना सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
$n$ उछालों में एक भी चित न आने की प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
कम से कम एक चित आने की प्रायिकता $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
हमें दिया गया है कि $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \ge 0.9$ है।
इसका अर्थ है $\left(\frac{1}{2}\right)^n \le 0.1$ है।
$\Rightarrow \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{10}$ है।
$\Rightarrow 2^n \ge 10$ है।
$n=3$ के लिए,$2^3 = 8 < 10$ है।
$n=4$ के लिए,$2^4 = 16 \ge 10$ है।
अतः,आवश्यक न्यूनतम उछालों की संख्या $n = 4$ है।

(C) एक प्रयास में पक्षी को मारने की प्रायिकता $p = 3/4$ है।
अतः,एक प्रयास में पक्षी को न मार पाने की प्रायिकता $q = 1 - 3/4 = 1/4$ है।
चूंकि व्यक्ति $5$ बार स्वतंत्र रूप से प्रयास करता है,इसलिए प्रायिकता कि वह $5$ प्रयासों में एक बार भी पक्षी को न मार सके,$q^5$ होगी।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $(1/4)^5 = 1/1024$ है।

(C) माना $A$ और $B$ दो व्यक्ति हैं। प्रत्येक व्यक्ति $3$ बार सिक्का उछालता है। प्रत्येक व्यक्ति द्वारा प्राप्त चित की संख्या द्विपद बंटन $B(n=3, p=1/2)$ का पालन करती है।
$k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = \binom{3}{k} (1/2)^3$ द्वारा दी जाती है।
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{3}{8}, P(X=2) = \frac{3}{8}, P(X=3) = \frac{1}{8}$
शर्त तब पूरी होती है जब दोनों को $0, 1, 2,$ या $3$ चित मिलते हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A=0)P(B=0) + P(A=1)P(B=1) + P(A=2)P(B=2) + P(A=3)P(B=3)$
$= \frac{1}{64} + \frac{9}{64} + \frac{9}{64} + \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$.

(D) एक बिट के सही होने की प्रायिकता $1 - p$ है।
चूंकि अलग-अलग बिट्स में त्रुटियां स्वतंत्र हैं,इसलिए सभी $16$ बिट्स के सही होने की प्रायिकता $(1 - p)^{16}$ है।
एक गलत संख्या बनने की प्रायिकता,संख्या के सही होने की प्रायिकता की पूरक घटना है।
अतः,गलत संख्या बनने की प्रायिकता $1 - (1 - p)^{16}$ है।

(D) जब एक सिक्के को $4$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ होती है।
माना $E$ कम से कम एक चित आने की घटना है।
पूरक घटना $E'$ कोई भी चित न आने की घटना है,जिसका अर्थ है कि चारों बार पट (tail) आता है।
$E'$ के लिए केवल एक परिणाम $(T, T, T, T)$ है,इसलिए $P(E') = \frac{1}{16}$।
कम से कम एक चित आने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ है।

(A) माना $p$ लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता है,इसलिए $p = 1/5$ है।
माना $q$ लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = 1 - 1/5 = 4/5$ है।
$n = 10$ शॉट्स के लिए,एक भी बार लक्ष्य न भेदने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र $P(X = 0) = q^n = (4/5)^{10}$ द्वारा दी जाती है।
कम से कम एक बार लक्ष्य भेदने की प्रायिकता $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
अतः,$P(X \ge 1) = 1 - (4/5)^{10}$।

(D) एक निष्पक्ष सिक्के को $n$ बार उछालने पर $k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X = k) = {}^nC_k \times p^k \times q^{n-k}$.
यहाँ,$n = 8$,$k = 4$,$p = \frac{1}{2}$ (चित आने की प्रायिकता),और $q = \frac{1}{2}$ (पट आने की प्रायिकता) है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(X = 4) = {}^8C_4 \times (\frac{1}{2})^4 \times (\frac{1}{2})^{8-4}$
$P(X = 4) = {}^8C_4 \times (\frac{1}{2})^8$
$P(X = 4) = \frac{{}^8C_4}{2^8}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) जब एक सिक्के को $100$ बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^{100}$ होती है।
विषम संख्या में चित (tails) आने के तरीकों की संख्या $\binom{100}{1} + \binom{100}{3} + \dots + \binom{100}{99}$ के योग द्वारा दी जाती है।
द्विपद सर्वसमिका $\sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\binom{100}{1} + \binom{100}{3} + \dots + \binom{100}{99} = 2^{100-1} = 2^{99}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ है।

(D) एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट आने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
$n = 8$ प्रयासों के लिए,$r$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r} = {}^8C_r (\frac{1}{2})^r (\frac{1}{2})^{8-r} = {}^8C_r (\frac{1}{2})^8$.
हमें कम से कम $6$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$ है।
$P(X = 6) = {}^8C_6 (\frac{1}{2})^8 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.
$P(X = 7) = {}^8C_7 (\frac{1}{2})^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X = 8) = {}^8C_8 (\frac{1}{2})^8 = 1 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \ge 6) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$.

(D) कुल अंडों की संख्या = $100$।
खराब अंडों की संख्या = $10$।
ताजे अंडों की संख्या = $100 - 10 = 90$।
ताजा अंडा चुनने की प्रायिकता $(p)$ = $\frac{90}{100} = \frac{9}{10}$।
चूंकि नमूना प्रतिस्थापन के साथ (with replacement) लिया जा रहा है,इसलिए प्रत्येक प्रयास में ताजा अंडा चुनने की प्रायिकता स्थिर रहती है।
हमें $n = 5$ अंडों के नमूने में कोई भी अंडा खराब न होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है कि सभी $5$ अंडे ताजा होने चाहिए।
प्रायिकता = $p \times p \times p \times p \times p = p^5$।
प्रायिकता = $(\frac{9}{10})^5$।

(B) माना $n = 5$ छात्रों की कुल संख्या है।
माना $p$ छात्र के तैराक होने की प्रायिकता है।
दिया गया है कि छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता $\frac{1}{5}$ है,इसलिए $q = \frac{1}{5}$।
अतः,$p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $r = 1$ तैराकों की संख्या है।
$P(X = 1) = {}^5C_1 \left( \frac{4}{5} \right)^1 \left( \frac{1}{5} \right)^{5-1} = {}^5C_1 \left( \frac{4}{5} \right) \left( \frac{1}{5} \right)^4$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,एक उछाल में चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और पट आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
$n$ उछालों में $k$ बार चित आने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k} = {}^nC_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{n-k} = {}^nC_k (\frac{1}{2})^n$.
दिया गया है कि $6$ बार चित आने की प्रायिकता $8$ बार चित आने की प्रायिकता के बराबर है:
$P(X = 6) = P(X = 8)$
${}^nC_6 (\frac{1}{2})^n = {}^nC_8 (\frac{1}{2})^n$
${}^nC_6 = {}^nC_8$
संचय के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यदि ${}^nC_a = {}^nC_b$ है,तो या तो $a = b$ या $a + b = n$ होता है।
चूंकि $6 \neq 8$,इसलिए $6 + 8 = n$ होगा।
अतः,$n = 14$ है।

(D) जब तीन पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ होती है।
माना $X$ उन पासों की संख्या है जिन पर $5$ आता है। एक पासे पर $5$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है,और $5$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
हमें कम से कम एक पासे पर $5$ प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
तीनों पासों में से किसी पर भी $5$ न आने की प्रायिकता $P(X = 0) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$ है।

(A) यह द्विपद वितरण का एक प्रश्न है जहाँ सफलता की प्रायिकता $p$ ($5$ प्राप्त करना) $\frac{1}{6}$ है और असफलता की प्रायिकता $q$ ($5$ प्राप्त न करना) $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
यहाँ,परीक्षणों की संख्या $n = 7$ है और आवश्यक सफलताओं की संख्या $r = 4$ है।
द्विपद प्रायिकता का सूत्र $P(X = r) = {}^nC_r \cdot p^r \cdot q^{n-r}$ है।
मान रखने पर,हमें $P(X = 4) = {}^7C_4 \left( \frac{1}{6} \right)^4 \left( \frac{5}{6} \right)^{7-4}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $^7C_4 \left( \frac{1}{6} \right)^4 \left( \frac{5}{6} \right)^3$ है।

(A) माना $n = 4$ परीक्षणों (पासे के उछाल) की संख्या है।
माना $p$ एक उछाल में 'छक्का' आने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{6}$।
माना $q$ 'छक्का' न आने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
चूंकि उछाल स्वतंत्र हैं,यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
$x$ सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता $P(x = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 4$ के लिए,हमारे पास है:
$P(x = 4) = {}^4C_4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{4-4}$
$P(x = 4) = 1 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^0$
$P(x = 4) = 1 \cdot \frac{1}{1296} \cdot 1 = \frac{1}{1296}$।

(A) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 5$ (प्रयासों की संख्या),$p = \frac{3}{5}$ (सफलता की प्रायिकता),और $q = 1 - p = \frac{2}{5}$ (असफलता की प्रायिकता) है।
$n$ प्रयासों में ठीक $k$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता का सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ है।
$k = 2$ के लिए:
$P(X = 2) = {}^5C_2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{5-2}$
$P(X = 2) = 10 \cdot \left(\frac{9}{25}\right) \cdot \left(\frac{8}{125}\right)$
$P(X = 2) = 10 \cdot \frac{72}{3125} = \frac{720}{3125} = \frac{144}{625}$.

(B) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 5$ और $k = 3$ है।
एक पासे को फेंकने पर $6$ आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है।
$6$ न आने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
$n$ परीक्षणों में ठीक $k$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता का सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ है।
मान रखने पर:
$P(X = 3) = {}^5C_3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{5-3}$
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot (\frac{5}{6})^2$
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36}$
$P(X = 3) = \frac{250}{7776} = \frac{125}{3888}$.

(D) एक द्विपद बंटन के लिए,माध्य $np = 6$ द्वारा और प्रसरण $npq = 2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $\frac{npq}{np} = \frac{2}{6}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $q = \frac{1}{3}$ हो जाता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
माध्य के समीकरण $np = 6$ में $p = \frac{2}{3}$ रखने पर,हमें $n(\frac{2}{3}) = 6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 6 \times \frac{3}{2} = 9$।
अतः द्विपद बंटन $(q + p)^n$ है,जो $(\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^9$ के बराबर है।

(D) पासे को एक बार फेंकने पर सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = ^nC_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 10$ और $r = 4$ है:
$P(X = 4) = ^{10}C_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^{10-4}$
$P(X = 4) = ^{10}C_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^6 = ^{10}C_4 (\frac{1}{2})^{10}$.
चूंकि $^{10}C_4 = ^{10}C_{10-4} = ^{10}C_6$,इसलिए प्रायिकता को $^{10}C_6 (\frac{1}{2})^{10}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,$\frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$,जिससे $q = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$np = 2$ में $p = \frac{1}{2}$ रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 2$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार $P(X \ge 1)$ ज्ञात करने पर: $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - {}^4C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।

(D) माना कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है। माना $X$ प्राप्त चितों की संख्या है। $X$ प्राचलों $n$ और $p = \frac{1}{2}$ के साथ द्विपद बंटन का पालन करता है।
हमें दिया गया है कि $P(X \ge 1) \ge 0.8$.
पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
अतः,$1 - P(X = 0) \ge 0.8 \Rightarrow P(X = 0) \le 0.2$.
चूंकि $P(X = 0) = \binom{n}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^0 \left(1 - \frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$,इसलिए $\left(\frac{1}{2}\right)^n \le 0.2$.
$\Rightarrow \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{5} \Rightarrow 2^n \ge 5$.
$n = 1$ के लिए,$2^1 = 2 < 5$.
$n = 2$ के लिए,$2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ के लिए,$2^3 = 8 \ge 5$.
इस प्रकार,सिक्के को उछालने की न्यूनतम संख्या $3$ है।

(B) माना $n$ गिराए गए बमों की संख्या है और $X$ पुल से टकराने वाले बमों की संख्या है। $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $p = \frac{1}{2}$ है।
यदि $X \ge 2$ हो तो पुल नष्ट हो जाता है। हम $P(X \ge 2) > 0.9$ चाहते हैं।
यह $1 - P(X < 2) > 0.9$ के बराबर है,जो सरल होकर $P(X < 2) < 0.1$ हो जाता है।
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = {}^nC_0 (\frac{1}{2})^n + {}^nC_1 (\frac{1}{2})^n = \frac{1 + n}{2^n}$।
हमें $\frac{n + 1}{2^n} < 0.1$ या $10(n + 1) < 2^n$ की आवश्यकता है।
$n$ के लिए मानों का परीक्षण करने पर:
$n = 6$ के लिए: $10(6 + 1) = 70$ और $2^6 = 64$। चूंकि $70 > 64$,शर्त पूरी नहीं होती है।
$n = 7$ के लिए: $10(7 + 1) = 80$ और $2^7 = 128$। चूंकि $80 < 128$,शर्त पूरी होती है।
अतः,आवश्यक बमों की न्यूनतम संख्या $7$ है।

(C) द्विपद वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
यहाँ $n = 6$ दिया गया है,इसलिए $P(X = 4) = {}^6C_4 p^4 q^2$ और $P(X = 2) = {}^6C_2 p^2 q^4$ होगा।
दी गई शर्त के अनुसार,$9P(X = 4) = P(X = 2)$ है।
मान रखने पर,$9 \times {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि ${}^6C_4 = 15$ और ${}^6C_2 = 15$,इसलिए समीकरण $9 \times 15 p^4 q^2 = 15 p^2 q^4$ बन जाता है।
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर,$9p^2 = q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$3p = q$ प्राप्त होता है।
चूँकि $q = 1 - p$ है,इसलिए $3p = 1 - p$,जिसका अर्थ है कि $4p = 1$ है।
अतः,$p = \frac{1}{4}$।

(D) यह द्विपद वितरण का एक प्रश्न है जहाँ $n = 3$ (प्रयासों की संख्या) है।
पासे पर $4$ प्राप्त करने को सफलता के रूप में परिभाषित किया गया है।
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
द्विपद वितरण का माध्य $\mu = np = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ होता है।
द्विपद वितरण का प्रसरण $\sigma^2 = npq = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$ होता है।
अतः,माध्य $\frac{1}{2}$ है और प्रसरण $\frac{5}{12}$ है।
चूंकि यह युग्म विकल्पों $A, B,$ या $C$ में मौजूद नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) माना $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $n = 2$ परीक्षणों में सफलताओं की संख्या को दर्शाता है।
एक बार पासा उछालने पर $4$ से बड़ी संख्या (अर्थात $5$ या $6$) प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि परीक्षण स्वतंत्र हैं,$X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{3}$ है।
द्विपद बंटन का प्रसरण (variance) ज्ञात करने का सूत्र $\text{Var}(X) = npq$ है।
मान रखने पर,हमें $\text{Var}(X) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $n = 3$ परीक्षणों की संख्या है।
सफलता का अर्थ है $3$ या $6$ प्राप्त करना। एक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
हमें कम से कम दो सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3)$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 2) = {}^3C_2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$.
$P(X = 3) = {}^3C_3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{27} \cdot 1 = \frac{1}{27}$.
अतः,$P(X \ge 2) = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$.

(C) चार सिक्कों को उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ है।
माना $X$ प्राप्त चितों की संख्या है।
हमें ठीक तीन चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X = 3)$।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 4$,$k = 3$,$p = 1/2$,और $q = 1/2$ है:
$P(X = 3) = {}^4C_3 \cdot (1/2)^3 \cdot (1/2)^1$
$P(X = 3) = 4 \cdot (1/8) \cdot (1/2) = 4/16 = 1/4$।
अतः,प्रायिकता $1/4$ है।

(C) जब एक सिक्के को $3$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
मान लीजिए $X$ प्राप्त चितों की संख्या है। $X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 3$ और $p = \frac{1}{2}$ है।
ठीक $r$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
हमें ठीक $1$ चित या $2$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X = 1) + P(X = 2)$ है।
$P(X = 1) = {}^3C_1 \left( \frac{1}{2} \right)^1 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.
$P(X = 2) = {}^3C_2 \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{1}{2} \right)^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।

(A) माना कि $n = 8$ के नमूने में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या $X$ है। एक दोषपूर्ण वस्तु की प्रायिकता $p = 5\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ है।
अतः,एक गैर-दोषपूर्ण वस्तु की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{19}{20}$ है।
हम द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग करते हैं: $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$।
हमें $2$ से कम दोषपूर्ण वस्तुएं होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$ है।
$P(X = 0) = {}^8C_0 \left( \frac{1}{20} \right)^0 \left( \frac{19}{20} \right)^8 = \left( \frac{19}{20} \right)^8$।
$P(X = 1) = {}^8C_1 \left( \frac{1}{20} \right)^1 \left( \frac{19}{20} \right)^7 = 8 \times \frac{1}{20} \times \left( \frac{19}{20} \right)^7 = \frac{2}{5} \left( \frac{19}{20} \right)^7$।
$P(X < 2) = \left( \frac{19}{20} \right)^8 + \frac{2}{5} \left( \frac{19}{20} \right)^7 = \left( \frac{19}{20} \right)^7 \left( \frac{19}{20} + \frac{2}{5} \right) = \left( \frac{19}{20} \right)^7 \left( \frac{19 + 8}{20} \right) = \frac{27}{20} \left( \frac{19}{20} \right)^7$।

(D) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 5$,$p = \frac{3}{4}$,और $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ है।
मान लीजिए $X$ लक्ष्य को भेदने की संख्या है। हमें $P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=3) = {}^5C_3 (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^2 = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024}$.
$P(X=4) = {}^5C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \times \frac{81}{256} \times \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$.
$P(X=5) = {}^5C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \times \frac{243}{1024} \times 1 = \frac{243}{1024}$.
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \ge 3) = \frac{270 + 405 + 243}{1024} = \frac{918}{1024} = \frac{459}{512}$.

(A) माना सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,एक उछाल में चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और पट आने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
$n$ उछालों में $r$ चित आने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r} = {}^nC_r (\frac{1}{2})^n$.
दिया गया है कि $P(X = 7) = P(X = 9)$,इसलिए:
${}^nC_7 (\frac{1}{2})^n = {}^nC_9 (\frac{1}{2})^n$.
इसका अर्थ है कि ${}^nC_7 = {}^nC_9$.
गुणधर्म ${}^nC_a = {}^nC_b \Rightarrow a + b = n$ (यदि $a \neq b$) का उपयोग करने पर,हमें $n = 7 + 9 = 16$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $3$ चित आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है:
$P(X = 3) = {}^{16}C_3 (\frac{1}{2})^{16}$.
${}^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$ की गणना करने पर।
अतः,$P(X = 3) = 560 \times (\frac{1}{2})^{16} = \frac{560}{65536} = \frac{35}{4096} = \frac{35}{2^{12}}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(C) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 7$ मैच खेले जाते हैं।
प्रत्येक मैच के लिए,$3$ संभावित परिणाम हैं (जीत,ड्रा,हार),इसलिए सही भविष्यवाणी की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$ है और गलत भविष्यवाणी की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ है।
हमें ठीक $k = 4$ सही भविष्यवाणियों की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद प्रायिकता का सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ है।
मान रखने पर: $P(X = 4) = {}^7C_4 \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^{7-4}$।
संयोजन की गणना करने पर: ${}^7C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$।
घातों की गणना करने पर: $(\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$ और $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$।
मानों का गुणा करने पर: $P(X = 4) = 35 \times \frac{1}{81} \times \frac{8}{27} = 35 \times \frac{8}{2187} = \frac{280}{3^7}$।

(C) $n$ स्वतंत्र परीक्षणों वाले द्विपद वितरण में,जहाँ $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q$ विफलता की प्रायिकता है (जहाँ $q = 1 - p$),ठीक $r$ सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद प्रायिकता सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(X = r) = ^nC_r p^r q^{n-r}$
जहाँ $r$ का मान $0, 1, 2, \dots, n$ हो सकता है।

(A) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,परीक्षणों की संख्या $n = 3$ है।
सफलता की प्रायिकता $p$ ($1$ या $6$ प्राप्त करना) $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
माध्य की गणना:
$\mu = np = 3 \times \frac{1}{3} = 1$.
प्रसरण की गणना:
$\sigma^2 = npq = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.
अतः,माध्य $1$ है और प्रसरण $\frac{2}{3}$ है।

(D) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
यहाँ $n = 6$ दिया गया है,इसलिए $P(X = 4) = {}^6C_4 p^4 q^2$ और $P(X = 2) = {}^6C_2 p^2 q^4$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,$4(P(X = 4)) = P(X = 2)$ है।
मान रखने पर,$4 \times {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$ प्राप्त होता है।
चूँकि ${}^6C_4 = 15$ और ${}^6C_2 = 15$ है,समीकरण $4 \times 15 p^4 q^2 = 15 p^2 q^4$ बन जाता है।
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर,$4 p^2 = q^2$ प्राप्त होता है।
$q = 1 - p$ रखने पर,$4 p^2 = (1 - p)^2$ प्राप्त होता है।
$4 p^2 = 1 - 2p + p^2$।
$3 p^2 + 2p - 1 = 0$।
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3p - 1)(p + 1) = 0$।
प्रायिकता $p$ के लिए $0 \le p \le 1$ होना चाहिए,इसलिए $p = \frac{1}{3}$।

(B) एक सिक्के को $n$ बार उछालने पर ठीक $k$ चित आने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X = k) = {}^{n}C_{k} \times p^{k} \times q^{n-k}$.
यहाँ,$n = 10$,$k = 5$,$p = \frac{1}{2}$ (चित आने की प्रायिकता),और $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ (पट आने की प्रायिकता)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(X = 5) = {}^{10}C_{5} \times (\frac{1}{2})^{5} \times (\frac{1}{2})^{10-5}$
$P(X = 5) = {}^{10}C_{5} \times (\frac{1}{2})^{10}$
${}^{10}C_{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ है।
$( \frac{1}{2} )^{10} = \frac{1}{1024}$ है।
अतः,$P(X = 5) = 252 \times \frac{1}{1024} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}$।

(B) माना कि $p$ बल्ब के फ्यूज होने की प्रायिकता है,इसलिए $p = 0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ है।
माना कि $q$ बल्ब के फ्यूज न होने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$ है।
यहाँ हमें $n = 5$ बल्ब दिए गए हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $5$ बल्बों में से कोई भी फ्यूज न हो,जिसका अर्थ है कि सभी $5$ बल्ब फ्यूज नहीं होते हैं।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = {}^nC_r \cdot q^{n-r} \cdot p^r$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $r = 0$ (फ्यूज हुए बल्बों की संख्या)।
$P(X = 0) = {}^5C_0 \cdot (\frac{19}{20})^5 \cdot (\frac{1}{20})^0 = 1 \cdot (\frac{19}{20})^5 \cdot 1 = (\frac{19}{20})^5$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) पासे की एक उछाल में सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
सम संख्या न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद बंटन के सूत्र $P(X = r) = {}^nC_r \cdot p^r \cdot q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 5$ और $r = 3$ है:
$P(X = 3) = {}^5C_3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5-3}$
$P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{8}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)$
$P(X = 3) = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.

(A) यह द्विपद वितरण (Binomial distribution) का प्रश्न है जहाँ $n = 6$ और $p = 10\% = 0.1$ है।
सफलता (मृत्यु) की प्रायिकता $p = \frac{1}{10}$ है और विफलता (जीवित रहना) की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{9}{10}$ है।
$n$ परीक्षणों में $x$ सफलताओं की प्रायिकता का सूत्र $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ है।
हमें $3$ मरीजों के मरने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,इसलिए $x = 3$ लेने पर:
$P(X = 3) = {}^6C_3 \left(\frac{1}{10}\right)^3 \left(\frac{9}{10}\right)^3$
मानों की गणना करने पर:
${}^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
$P(X = 3) = 20 \times \left(\frac{1}{1000}\right) \times \left(\frac{729}{1000}\right)$
$P(X = 3) = 20 \times \frac{729}{1000000} = \frac{14580}{1000000} = 1458 \times 10^{-5}$.

(C) लड़का होने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और लड़की होने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
$n = 2$ बच्चों के लिए,हमें ठीक $1$ लड़का और $1$ लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 2$ और $k = 1$ है:
$P(1 \text{ लड़का, } 1 \text{ लड़की}) = {}^2C_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2-1}$
$P(1 \text{ लड़का, } 1 \text{ लड़की}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$

(A) माना $p$ छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{5}$ है।
माना $q$ छात्र के तैराक होने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
हमें $n = 5$ छात्रों में से $k = 4$ छात्रों के तैराक होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k \cdot q^k \cdot p^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 4) = {}^5C_4 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^4 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{5-4}$
$P(X = 4) = {}^5C_4 \left( \frac{4}{5} \right)^4 \left( \frac{1}{5} \right)$.

(C) मान लीजिए कि $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q$ विफलता की प्रायिकता है।
यह दिया गया है कि प्रयोग विफल होने की तुलना में दोगुनी बार सफल होता है,इसलिए $p = 2q$ है।
चूंकि $p + q = 1$ है,हमें $2q + q = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3q = 1$,इसलिए $q = \frac{1}{3}$ और $p = \frac{2}{3}$ है।
हमें $n = 4$ परीक्षणों में कम से कम $3$ सफलताएँ मिलने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,आवश्यक प्रायिकता $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$ है।
$P(X = 3) = {^4C_3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$।
$P(X = 4) = {^4C_4} \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{16}{81} \times 1 = \frac{16}{81}$।
अतः,$P(X \ge 3) = \frac{32}{81} + \frac{16}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}$।

(A) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np$ द्वारा और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि माध्य $6$ है,इसलिए $np = 6$ है।
दिया गया है कि प्रसरण $4$ है,इसलिए $npq = 4$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $\frac{npq}{np} = \frac{4}{6}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $q = \frac{2}{3}$ हो जाता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
$p$ का मान माध्य के समीकरण में रखने पर: $n \times \frac{1}{3} = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 6 \times 3 = 18$ है।

(D) माना $X_i$ $i$-वें सिक्के पर प्राप्त मान है,जहाँ $X_i \in \{2, 3\}$.
हम $5$ सिक्के उछालते हैं,इसलिए $X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 = 12$.
माना $n_2$ $2$ दर्शाने वाले सिक्कों की संख्या है और $n_3$ $3$ दर्शाने वाले सिक्कों की संख्या है।
तब $n_2 + n_3 = 5$ और $2n_2 + 3n_3 = 12$.
दूसरे समीकरण में $n_2 = 5 - n_3$ रखने पर: $2(5 - n_3) + 3n_3 = 12 \implies 10 - 2n_3 + 3n_3 = 12 \implies n_3 = 2$.
अतः,$n_2 = 3$.
इसका अर्थ है कि हमें $2$ दर्शाने वाले $3$ सिक्के और $3$ दर्शाने वाले $2$ सिक्के चाहिए।
चूंकि प्रत्येक सिक्का निष्पक्ष है,$2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और $3$ प्राप्त करने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=5$ और $k=2$ ($3$ की संख्या के लिए):
$P = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.

(C) माना $p$ सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता है और $q$ काली गेंद निकालने की प्रायिकता है।
कुल गेंदें $= 2 + 4 = 6$.
$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
चूंकि गेंदें $5$ बार प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करती है जहाँ $n = 5$.
$k$ सफेद गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
हमें कम से कम $4$ गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता चाहिए,जो $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
$P(X = 4) = {^5C_4} \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$.
$P(X = 5) = {^5C_5} \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$.
अतः,$P(X \ge 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$.

(B) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p + q = 1$ है।
दिया गया है कि $\mu = 4$ और $\sigma^2 = 3$,इसलिए:
$np = 4$ और $npq = 3$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
$p = \frac{1}{4}$ को $np = 4$ में रखने पर,$n \left( \frac{1}{4} \right) = 4$,जिसका अर्थ है $n = 16$ है।
ठीक $x$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 6$ के लिए,$P(X = 6) = {}^{16}C_6 \left( \frac{1}{4} \right)^6 \left( \frac{3}{4} \right)^{16-6} = {}^{16}C_6 \left( \frac{1}{4} \right)^6 \left( \frac{3}{4} \right)^{10}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) यह द्विपद वितरण (binomial distribution) का एक प्रश्न है जहाँ $n = 5$ परीक्षण किए जाते हैं।
पासे को एक बार उछालने पर विषम संख्या (सफलता) प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण (variance) ज्ञात करने का सूत्र $\text{Variance} = npq$ है।
मान रखने पर: $\text{Variance} = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.