Multiplication Theorem on Probability Questions in Hindi

(B) दिया गया है $P(A_1 \cup A_2) = 1 - P(A_1^c) P(A_2^c)$.
पूरक नियम के अनुसार,$P(A_1^c) = 1 - P(A_1)$ और $P(A_2^c) = 1 - P(A_2)$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P(A_1 \cup A_2) = 1 - (1 - P(A_1))(1 - P(A_2))$
$P(A_1 \cup A_2) = 1 - (1 - P(A_1) - P(A_2) + P(A_1)P(A_2))$
$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1)P(A_2)$.
हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो घटनाओं के लिए,$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2)$ प्राप्त होता है।
यह घटनाओं $A_1$ और $A_2$ के स्वतंत्र होने की शर्त है।

(A) ताश की गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
$52$ पत्तों की गड्डी में $4$ इक्के होते हैं।
एक बार में इक्का निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए घटनाएं स्वतंत्र हैं।
दो इक्के निकालने की प्रायिकता $P(A \cap A) = P(A) \times P(A) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{169}$ है।

(C) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है और राजाओं की संख्या $4$ है।
पहले पत्ते के राजा होने की प्रायिकता $P(K_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
एक राजा निकालने के बाद,शेष पत्तों की संख्या $51$ और शेष राजाओं की संख्या $3$ है।
दूसरे पत्ते के राजा होने की प्रायिकता,जबकि पहला पत्ता राजा था,$P(K_2|K_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ है।
दोनों पत्तों के राजा होने की प्रायिकता $P(K_1 \cap K_2) = P(K_1) \times P(K_2|K_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ है।

(C) कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए दोनों घटनाएं स्वतंत्र हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहला पत्ता ईंट का है। ईंट के पत्तों की संख्या $13$ है।
$P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दूसरा पत्ता राजा है। राजा के पत्तों की संख्या $4$ है।
$P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए आवश्यक प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होगी।
$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}$.

(D) कुल टिकटों की संख्या $19$ है। $1$ से $19$ के बीच सम संख्याएँ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$ हैं। इस प्रकार,कुल $9$ सम संख्याएँ हैं।
पहले प्रयास में सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_1) = \frac{9}{19}$ है।
चूंकि टिकट बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है,अब $18$ टिकट शेष हैं,जिनमें से $8$ सम संख्याएँ हैं।
दूसरे प्रयास में सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_2|E_1) = \frac{8}{18}$ है।
दोनों टिकटों पर सम संख्या होने की प्रायिकता $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2|E_1) = \frac{9}{19} \times \frac{8}{18} = \frac{9}{19} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{19}$ है।

(D) माना $T$ वह घटना है कि भारत टॉस जीतता है और $V$ वह घटना है कि भारत मैच जीतता है।
हमें दिया गया है:
$P(T) = 3/4$
$P(T^c) = 1 - 3/4 = 1/4$
$P(V|T) = 4/5$
$P(V|T^c) = 1/2$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(V) = P(T) \times P(V|T) + P(T^c) \times P(V|T^c)$
$P(V) = (3/4 \times 4/5) + (1/4 \times 1/2)$
$P(V) = 3/5 + 1/8$
$P(V) = (24 + 5) / 40 = 29/40$
अतः,भारत की जीत की प्रायिकता $29/40$ है।

(C) गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
गड्डी में राजाओं की संख्या $= 4$ है।
गड्डी में रानियों की संख्या $= 4$ है।
पहला पत्ता राजा होने की प्रायिकता $= \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि पत्ता बिना प्रतिस्थापन के निकाला गया है,इसलिए शेष पत्तों की संख्या $= 51$ है।
पहला पत्ता राजा होने के बाद दूसरा पत्ता रानी होने की प्रायिकता $= \frac{4}{51}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{4}{52} \times \frac{4}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} = \frac{4}{663}$।

(C) $52$ ताश के पत्तों की गड्डी में $4$ इक्के होते हैं।
मान लीजिए $A_1$ पहला पत्ता इक्का होने की घटना है और $A_2$ दूसरा पत्ता इक्का होने की घटना है।
पहला इक्का निकालने की प्रायिकता $P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि पत्ते बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं,अब $51$ पत्ते शेष हैं,जिनमें से $3$ इक्के हैं।
पहला पत्ता इक्का होने की स्थिति में दूसरा पत्ता इक्का होने की प्रायिकता $P(A_2|A_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ है।
दोनों पत्तों के इक्का होने की प्रायिकता $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ है।

(B) माना $B_1$ पहला थैला चुनने की घटना है और $B_2$ दूसरा थैला चुनने की घटना है। चूँकि थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$ है।
माना $E$ काली गेंद निकालने की घटना है।
पहले थैले के लिए,काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|B_1) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ है।
दूसरे थैले के लिए,काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|B_2) = \frac{4}{2+4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,$P(E) = P(B_1) \times P(E|B_1) + P(B_2) \times P(E|B_2)$.
$P(E) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(B) माना $E$ वह घटना है कि गेंद सफेद है।
माना $B_1$ थैली $x$ चुनने की घटना है और $B_2$ थैली $y$ चुनने की घटना है।
चूंकि एक थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$.
थैली $x$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(E|B_1) = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ है।
थैली $y$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(E|B_2) = \frac{2}{2+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,$P(E) = P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2)$.
$P(E) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{10} + \frac{1}{6} = \frac{9+5}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$.

(D) चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए उनकी पूरक घटनाएँ $\bar{A}$ और $\bar{B}$ भी स्वतंत्र होंगी।
$P(A \text{ नहीं और } B \text{ नहीं}) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$.
दिया है $P(A) = \frac{1}{2}$,अतः $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
दिया है $P(B) = \frac{1}{3}$,अतः $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
अतः,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि ऊपरी पथ बंद है,और $E_2$ वह घटना है कि निचला पथ बंद है।
ऊपरी पथ के बंद होने के लिए,स्विच $a$ और $b$ दोनों का बंद होना आवश्यक है। चूंकि प्रत्येक स्विच के बंद होने की प्रायिकता $p$ है,इसलिए ऊपरी पथ के बंद होने की प्रायिकता $P(E_1) = p \cdot p = p^2$ है।
निचले पथ के बंद होने के लिए,स्विच $c$ का बंद होना आवश्यक है। इसकी प्रायिकता $P(E_2) = p$ है।
धारा $A$ से $B$ तक तब प्रवाहित होगी यदि ऊपरी पथ या निचला पथ बंद हो। यह घटना $E_1$ और $E_2$ का संघ (union) है।
सूत्र $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ का उपयोग करने पर:
$P(E_1 \cup E_2) = p^2 + p - p^3$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $p^2 + p - p^3$ होना चाहिए,लेकिन विकल्प $(A)$ $p^2 + p$ दिया गया है,जो सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A) = 0.40$ और $P(B) = 0.50$ है।
हमें $P(\text{neither } A \text{ nor } B)$ ज्ञात करना है,जो $P(A^c \cap B^c)$ है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A^c$ और $B^c$ भी स्वतंत्र हैं।
अतः,$P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$ है।
$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.40 = 0.60$ है।
$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50$ है।
$P(A^c \cap B^c) = 0.60 \times 0.50 = 0.30$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) बल्बों की कुल संख्या = $10$ है।
खराब बल्बों की संख्या = $2$ है।
दोषरहित (सही) बल्बों की संख्या = $10 - 2 = 8$ है।
चूंकि पहले बल्ब को दूसरे चयन से पहले वापस रख दिया जाता है,इसलिए ये घटनाएं स्वतंत्र हैं।
एक बार में दोषरहित बल्ब चुनने की प्रायिकता $P = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ है।
चूंकि चयन प्रतिस्थापन (replacement) के साथ किया जाता है,इसलिए दूसरे चयन में भी दोषरहित बल्ब चुनने की प्रायिकता $P = \frac{4}{5}$ ही रहेगी।
दोनों बल्बों के दोषरहित होने की प्रायिकता $P(\text{दोनों दोषरहित}) = P(\text{पहला दोषरहित}) \times P(\text{दूसरा दोषरहित}) = \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$ है।

(D) मान लीजिए $W_1$ वह घटना है कि पहले थैले से एक सफेद गेंद दूसरे थैले में स्थानांतरित की जाती है,और $B_1$ वह घटना है कि एक काली गेंद स्थानांतरित की जाती है।
सफेद गेंद स्थानांतरित करने की प्रायिकता: $P(W_1) = \frac{5}{9}$.
काली गेंद स्थानांतरित करने की प्रायिकता: $P(B_1) = \frac{4}{9}$.
यदि सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है,तो दूसरे थैले में अब $8$ सफेद और $9$ काली गेंदें (कुल $17$) हैं। दूसरे थैले से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_2|W_1) = \frac{8}{17}$ है।
यदि काली गेंद स्थानांतरित की जाती है,तो दूसरे थैले में अब $7$ सफेद और $10$ काली गेंदें (कुल $17$) हैं। दूसरे थैले से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_2|B_1) = \frac{7}{17}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,आवश्यक प्रायिकता है:
$P(W_2) = P(W_1) \times P(W_2|W_1) + P(B_1) \times P(W_2|B_1)$
$P(W_2) = (\frac{5}{9} \times \frac{8}{17}) + (\frac{4}{9} \times \frac{7}{17})$
$P(W_2) = \frac{40}{153} + \frac{28}{153} = \frac{68}{153} = \frac{4}{9}$.

(D) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि एक नया उत्पाद पेश किया जाता है।
समूह $A, B, C$ के जीतने की प्रायिकताएँ $P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(C) = 0.2$ दी गई हैं।
नया उत्पाद पेश करने की सशर्त प्रायिकताएँ $P(E|A) = 0.7, P(E|B) = 0.6, P(E|C) = 0.5$ हैं।
चूँकि $A, B, C$ प्रतिदर्श समष्टि का विभाजन करते हैं (परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ),हम कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करेंगे:
$P(E) = P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B) + P(C) \times P(E|C)$
$P(E) = (0.5 \times 0.7) + (0.3 \times 0.6) + (0.2 \times 0.5)$
$P(E) = 0.35 + 0.18 + 0.10 = 0.63$.
अतः,नया उत्पाद पेश किए जाने की प्रायिकता $0.63$ है।

(C) मान लीजिए $P(A)$ पहला पर्स चुनने की घटना है और $P(B)$ दूसरा पर्स चुनने की घटना है। चूंकि पर्स यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(A) = P(B) = 1/2$ है।
मान लीजिए $C$ तांबे का सिक्का निकालने की घटना है।
पहले पर्स से तांबे का सिक्का निकालने की प्रायिकता $P(C|A) = 4/(4+3) = 4/7$ है।
दूसरे पर्स से तांबे का सिक्का निकालने की प्रायिकता $P(C|B) = 6/(6+2) = 6/8 = 3/4$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,तांबे का सिक्का निकालने की कुल प्रायिकता $P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B)$ है।
$P(C) = (1/2 \times 4/7) + (1/2 \times 3/4) = 2/7 + 3/8$ है।
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए,सामान्य हर $56$ प्राप्त करें।
$P(C) = (16/56) + (21/56) = 37/56$ है।

(C) माना $A$ थैला $X$ चुनने की घटना है और $B$ थैला $Y$ चुनने की घटना है। माना $E$ सफेद गेंद निकालने की घटना है।
किसी भी थैले को चुनने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{1}{2}$ है।
थैले $X$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|A) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ है।
थैले $Y$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|B) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(E) = P(A) \cdot P(E|A) + P(B) \cdot P(E|B)$
$P(E) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$
$P(E) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(A) ठीक एक घटना $A$ या $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B})$ और $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P(B)$.
दिया गया है $P(A) = 3/10$ और $P(B) = 2/5$.
अतः $P(\overline{A}) = 1 - 3/10 = 7/10$ और $P(\overline{B}) = 1 - 2/5 = 3/5$.
अभीष्ट प्रायिकता $= (3/10 \times 3/5) + (7/10 \times 2/5) = 9/50 + 14/50 = 23/50$.

(D) माना $A$ पहला पर्स चुनने की घटना है और $B$ दूसरा पर्स चुनने की घटना है। चूँकि दो पर्स हैं,$P(A) = 1/2$ और $P(B) = 1/2$ है।
माना $C$ तांबे का सिक्का निकालने की घटना है।
पहले पर्स से तांबे का सिक्का निकालने की प्रायिकता $P(C|A) = 4/7$ है।
दूसरे पर्स से तांबे का सिक्का निकालने की प्रायिकता $P(C|B) = 6/8 = 3/4$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,तांबे का सिक्का निकालने की प्रायिकता है:
$P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B)$
$P(C) = (1/2 \times 4/7) + (1/2 \times 3/4)$
$P(C) = 2/7 + 3/8 = (16 + 21) / 56 = 37/56$.

(B) दो सिक्कों को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S_1 = \{HH, HT, TH, TT\}$ है। दोनों सिक्कों पर चित आने की प्रायिकता $P(A) = 1/4$ है।
पासा फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। पासे पर $3$ या $6$ आने की प्रायिकता $P(B) = 2/6 = 1/3$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए संयुक्त प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = (1/4) \times (1/3) = 1/12$ है।

(C) गेंदों की कुल संख्या = $4 + 3 = 7$ है।
चूंकि पहली गेंद को वापस रख दिया जाता है,इसलिए दूसरी बार गेंद निकालते समय कुल गेंदों की संख्या $7$ ही रहती है।
पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता $P(R) = 4/7$ है।
दूसरी गेंद के नीले होने की प्रायिकता $P(B) = 3/7$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता $P(R \cap B) = P(R) \times P(B) = (4/7) \times (3/7) = 12/49$ है।

(D) मान लीजिए $W$ वह घटना है कि भारत मैच जीतता है,$T$ वह घटना है कि भारत टॉस जीतता है,और $T^c$ वह घटना है कि भारत टॉस हारता है।
दिया गया है: $P(T) = 3/4$,$P(T^c) = 1 - 3/4 = 1/4$.
प्रतिबंधात्मक प्रायिकताएं: $P(W|T) = 4/5$ और $P(W|T^c) = 1/2$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W) = P(T) \times P(W|T) + P(T^c) \times P(W|T^c)$
$P(W) = (3/4) \times (4/5) + (1/4) \times (1/2)$
$P(W) = 12/20 + 1/8 = 3/5 + 1/8 = (24 + 5) / 40 = 29/40$.

(C) गेंदों की कुल संख्या = $10 + 15 = 25$.
पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता: $P(R_1) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.
एक लाल गेंद निकालने के बाद,शेष गेंदों की संख्या $24$ है और सफेद गेंदों की संख्या $10$ है।
पहली गेंद लाल होने के बाद दूसरी गेंद के सफेद होने की प्रायिकता: $P(W_2|R_1) = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$.
पहली गेंद लाल और दूसरी गेंद सफेद होने की प्रायिकता: $P(R_1 \cap W_2) = P(R_1) \times P(W_2|R_1) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$.

(C) मान लीजिए $C$ सही क्लब चुनने की घटना है और $W$ गलत क्लब चुनने की घटना है। मान लीजिए $G$ अच्छा शॉट मारने की घटना है।
दिया गया है:
$P(C) = \frac{1}{5}$
$P(W) = \frac{4}{5}$
$P(G|C) = \frac{1}{3}$
$P(G|W) = \frac{1}{4}$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(G) = P(C) \times P(G|C) + P(W) \times P(G|W)$
$P(G) = \left(\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}\right)$
$P(G) = \frac{1}{15} + \frac{4}{20} = \frac{1}{15} + \frac{1}{5}$
$P(G) = \frac{1 + 3}{15} = \frac{4}{15}$.

(A) माना $C_1$ नकली सिक्का चुनने की घटना है और $C_2$ सामान्य सिक्का चुनने की घटना है।
कुल सिक्के = $16$.
नकली सिक्कों की संख्या = $2$. प्रायिकता $P(C_1) = \frac{2}{16}$.
सामान्य सिक्कों की संख्या = $14$. प्रायिकता $P(C_2) = \frac{14}{16}$.
नकली सिक्के के लिए,चित आने की प्रायिकता $P(H|C_1) = 1$.
सामान्य सिक्के के लिए,चित आने की प्रायिकता $P(H|C_2) = \frac{1}{2}$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,$P(H) = P(C_1) \times P(H|C_1) + P(C_2) \times P(H|C_2)$.
$P(H) = \frac{2}{16} \times 1 + \frac{14}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{16} + \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.

(C) मान लीजिए $P(A)$ पहले पर्स को चुनने की प्रायिकता है और $P(B)$ दूसरे पर्स को चुनने की प्रायिकता है। चूंकि दो पर्स हैं,$P(A) = P(B) = \frac{1}{2}$।
मान लीजिए $C$ तांबे का सिक्का निकालने की घटना है।
पहले पर्स से तांबे का सिक्का निकालने की प्रायिकता $P(C|A) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ है।
दूसरे पर्स से तांबे का सिक्का निकालने की प्रायिकता $P(C|B) = \frac{6}{6+2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,$P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B)$।
$P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{7} + \frac{3}{8}$।
$P(C) = \frac{16+21}{56} = \frac{37}{56}$।

(A) मान लीजिए $E$ और $F$ क्रमशः पहली और दूसरी गेंद के काली होने की घटनाएँ हैं। हमें $P(E \cap F)$ ज्ञात करना है।
कुल गेंदों की संख्या $10 + 5 = 15$ है।
पहली बार में काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ है।
बिना प्रतिस्थापन के एक काली गेंद निकालने के बाद,कलश में शेष काली गेंदों की संख्या $9$ है और कुल गेंदों की संख्या $14$ है।
यह देखते हुए कि पहली गेंद काली है,दूसरी बार में काली गेंद निकालने की सप्रतिबंध प्रायिकता $P(F|E) = \frac{9}{14}$ है।
प्रायिकता के गुणन नियम के अनुसार,$P(E \cap F) = P(E) \times P(F|E)$.
$P(E \cap F) = \frac{10}{15} \times \frac{9}{14} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{14} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}$.

(A) मान लीजिए $K$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता राजा है और $A$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता इक्का है। हमें $P(KKA)$ ज्ञात करना है।
पहला राजा निकालने की प्रायिकता $P(K_1) = \frac{4}{52}$ है।
एक राजा निकालने के बाद,$51$ पत्ते शेष रहते हैं,जिनमें $3$ राजा हैं। दूसरा राजा निकालने की प्रायिकता $P(K_2|K_1) = \frac{3}{51}$ है।
दो राजा निकालने के बाद,$50$ पत्ते शेष रहते हैं,जिनमें $4$ इक्के हैं। इक्का निकालने की प्रायिकता $P(A_3|K_1 \cap K_2) = \frac{4}{50}$ है।
प्रायिकता के गुणन नियम द्वारा:
$P(KKA) = P(K_1) \times P(K_2|K_1) \times P(A_3|K_1 \cap K_2)$
$P(KKA) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{4}{50}$
$P(KKA) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} \times \frac{2}{25} = \frac{2}{5525}$.

(A) दिया गया है कि $P(A) = \frac{3}{5}$ और $P(B) = \frac{1}{5}$ है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए उनके सर्वनिष्ठ (intersection) की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
$P(A \cap B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{25}$.

(A) $52$ पत्तों की गड्डी में $26$ काले पत्ते होते हैं।
मान लीजिए $P(A)$ पहले ड्रा में काला पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता है।
$P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$
मान लीजिए $P(B|A)$ दूसरे ड्रा में काला पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता है,यह देखते हुए कि पहला पत्ता काला था। चूंकि पत्ता वापस नहीं रखा गया है,इसलिए कुल $51$ पत्तों में से $25$ काले पत्ते शेष हैं।
$P(B|A) = \frac{25}{51}$
अतः,दोनों पत्तों के काले होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{2} \times \frac{25}{51} = \frac{25}{102}$ है।

(A) मान लीजिए कि $A, B,$ और $C$ क्रमशः पहली,दूसरी और तीसरी बार निकाले गए संतरे के अच्छे होने की घटनाएँ हैं।
पहला संतरा अच्छा होने की प्रायिकता $P(A) = \frac{12}{15}$ है।
संतरे प्रतिस्थापित नहीं किए जाते हैं,इसलिए प्रत्येक बाद के चयन के लिए कुल संतरों और अच्छे संतरों की संख्या में $1$ की कमी होती है।
दूसरा संतरा अच्छा होने की प्रायिकता $P(B|A) = \frac{11}{14}$ है।
तीसरा संतरा अच्छा होने की प्रायिकता $P(C|A \cap B) = \frac{10}{13}$ है।
यदि तीनों संतरे अच्छे हैं तो बक्सा बिक्री के लिए स्वीकृत हो जाता है। अतः,आवश्यक प्रायिकता $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \cap B)$ है।
$P(A \cap B \cap C) = \frac{12}{15} \times \frac{11}{14} \times \frac{10}{13} = \frac{44}{91}$.
अतः,बक्से के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता $\frac{44}{91}$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$P(A) = 0.3$
$P(B) = 0.4$
स्वतंत्र घटनाओं के लिए,उनके सर्वनिष्ठ (intersection) की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
$P(A \cap B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$

(A) यह दिया गया है कि $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.6$ है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए दोनों के एक साथ घटित होने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cap B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 10 + 8 = 18$ है।
पहली बार में काली गेंद निकालने की प्रायिकता,$P(B_1) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$ है।
चूंकि गेंद को वापस रख दिया जाता है,इसलिए दूसरी बार के लिए कुल गेंदों की संख्या $18$ ही रहती है।
दूसरी बार में लाल गेंद निकालने की प्रायिकता,$P(R_2) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए पहली गेंद काली और दूसरी लाल होने की प्रायिकता $P(B_1 \cap R_2) = P(B_1) \times P(R_2) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{81}$ है।

(A) माना $A$ वह घटना है कि निर्माण कार्य समय पर पूरा हो जाएगा,और $B$ वह घटना है कि हड़ताल होगी।
हमें $P(A)$ ज्ञात करना है।
दिया गया है:
$P(B) = 0.65$
$P(\text{हड़ताल नहीं}) = P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.65 = 0.35$
$P(A | B) = 0.32$
$P(A | B') = 0.80$
चूंकि घटनाएं $B$ और $B'$ प्रतिदर्श समष्टि $S$ का विभाजन बनाती हैं,इसलिए कुल प्रायिकता के प्रमेय द्वारा:
$P(A) = P(B) \times P(A | B) + P(B') \times P(A | B')$
$P(A) = (0.65 \times 0.32) + (0.35 \times 0.80)$
$P(A) = 0.208 + 0.280 = 0.488$
अतः,निर्माण कार्य के समय पर पूरा होने की प्रायिकता $0.488$ है।

(C) मान लीजिए $I$ वह घटना है कि मिसाइल इंटरसेप्ट हो जाती है और $H$ वह घटना है कि मिसाइल लक्ष्य को भेदती है।
दिया गया है: $P(I) = \frac{1}{3}$,इसलिए $P(\text{इंटरसेप्ट नहीं हुई}) = P(I^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
मिसाइल के इंटरसेप्ट न होने पर लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $P(H | I^c) = \frac{3}{4}$ है।
एक मिसाइल के लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $P(H) = P(I^c) \times P(H | I^c) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि तीन मिसाइलें स्वतंत्र रूप से दागी जाती हैं,इसलिए तीनों के लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $(P(H))^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ है।

(A) मान लीजिए $E_1$ पहले पर्स को चुनने की घटना है और $E_2$ दूसरे पर्स को चुनने की घटना है। चूंकि पर्स को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $A$ तांबे का सिक्का निकालने की घटना है।
पहले पर्स के लिए,$P(A|E_1) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ है।
दूसरे पर्स के लिए,$P(A|E_2) = \frac{6}{6+4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,तांबे का सिक्का निकालने की प्रायिकता है:
$P(A) = P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)$
$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{5}$
$P(A) = \frac{2}{7} + \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{20 + 21}{70} = \frac{41}{70}$.

(D) कुल चाबियों की संख्या $10$ है और केवल $1$ चाबी ताला खोलती है।
चूंकि चाबियों को बिना प्रतिस्थापन के एक-एक करके आज़माया जाता है,इसलिए $k$-वीं चाबी के काम करने की संभावना वह है कि पहली $k-1$ चाबियाँ विफल हो जाएं और $k$-वीं चाबी सफल हो जाए।
मान लीजिए $F_i$ वह घटना है कि $i$-वीं चाबी विफल हो जाती है और $S_i$ वह घटना है कि $i$-वीं चाबी सफल हो जाती है।
हमें $P(F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4 \cap F_5 \cap F_6 \cap S_7)$ ज्ञात करना है।
प्रायिकता के गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$P(F_1) = \frac{9}{10}$
$P(F_2 | F_1) = \frac{8}{9}$
$P(F_3 | F_1 \cap F_2) = \frac{7}{8}$
$P(F_4 | F_1 \cap F_2 \cap F_3) = \frac{6}{7}$
$P(F_5 | F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4) = \frac{5}{6}$
$P(F_6 | F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4 \cap F_5) = \frac{4}{5}$
$P(S_7 | F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4 \cap F_5 \cap F_6) = \frac{1}{4}$
इन प्रायिकताओं का गुणा करने पर:
$P = \frac{9}{10} \times \frac{8}{9} \times \frac{7}{8} \times \frac{6}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$.

(D) कुल कंचों की संख्या $= 10 + 30 + 20 + 15 = 75$.
चूंकि कंचों को प्रतिस्थापन (replacement) के साथ निकाला जाता है,इसलिए घटनाएं स्वतंत्र हैं।
पहला कंचा लाल होने की प्रायिकता $P(R) = \frac{10}{75} = \frac{2}{15}$.
दूसरा कंचा सफेद होने की प्रायिकता $P(W) = \frac{30}{75} = \frac{2}{5}$.
दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता $= P(R) \times P(W) = \frac{2}{15} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{75}$.

(A) ताश की गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं और कुल $4$ रानियाँ होती हैं।
जब पहला पत्ता निकाला जाता है,तो रानी प्राप्त करने की प्रायिकता $P(Q_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि पत्ता बिना प्रतिस्थापन के निकाला गया है,इसलिए अब $51$ पत्ते बचे हैं और $3$ रानियाँ शेष हैं।
यदि पहला पत्ता रानी है,तो दूसरे पत्ते के रानी होने की प्रायिकता $P(Q_2|Q_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ है।
दोनों पत्तों के रानी होने की प्रायिकता $P(Q_1 \cap Q_2) = P(Q_1) \times P(Q_2|Q_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ है।

(B) लाल गेंदों की कुल संख्या $= 4$ है।
सफेद गेंदों की कुल संख्या $= 5$ है।
गेंदों की कुल संख्या $= 4 + 5 = 9$ है।
मान लीजिए $R_1$ पहली गेंद के लाल होने की घटना है और $R_2$ दूसरी गेंद के लाल होने की घटना है।
पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता $P(R_1) = \frac{4}{9}$ है।
चूंकि गेंदें बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं,यदि पहली गेंद लाल है,तो अब कुल $8$ गेंदों में से $3$ लाल गेंदें बची हैं।
पहली गेंद के लाल होने की स्थिति में दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता $P(R_2|R_1) = \frac{3}{8}$ है।
दोनों गेंदों के लाल होने की प्रायिकता $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A) = \frac{2}{3}$ और $P(B) = \frac{3}{5}$ है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A^{\prime}$ और $B$ भी स्वतंत्र घटनाएँ होंगी।
अतः,$P(A^{\prime} \cap B) = P(A^{\prime}) \times P(B)$.
हम जानते हैं कि $P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
मान रखने पर,$P(A^{\prime} \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A) = \frac{3}{5}$ और $P(B) = \frac{2}{3}$।
हमें $P(A' \cap B')$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A'$ और $B'$ भी स्वतंत्र घटनाएँ होंगी।
अतः,$P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B')$।
सबसे पहले,$P(A')$ और $P(B')$ की गणना करते हैं:
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$।
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
अब,इनका गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$P(A' \cap B') = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होता है।
हम सूत्र जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{5} = P + \frac{1}{2} - (P \times \frac{1}{2})$.
$\frac{3}{5} = P + \frac{1}{2} - \frac{P}{2}$.
$\frac{3}{5} = \frac{P}{2} + \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$ घटाने पर: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{P}{2}$.
$\frac{6-5}{10} = \frac{P}{2}$.
$\frac{1}{10} = \frac{P}{2}$.
$P = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
अतः,$P$ का मान $\frac{1}{5}$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + p - (\frac{1}{3} \cdot p)$.
$\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + p(1 - \frac{1}{3})$.
$\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + p(\frac{2}{3})$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{3}$ घटाने पर: $\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = p(\frac{2}{3})$.
$\frac{6 - 5}{15} = p(\frac{2}{3})$.
$\frac{1}{15} = p(\frac{2}{3})$.
$p = \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
हम दो घटनाओं के संघ का सूत्र जानते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.6 = 0.4 + p - (0.4 \cdot p)$.
$0.6 = 0.4 + p - 0.4p$.
$0.6 - 0.4 = p(1 - 0.4)$.
$0.2 = 0.6p$.
$p = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}$.

(A) दिया गया है कि $A_1$ और $A_2$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2)$ होता है।
हम जानते हैं कि दो घटनाओं के संघ के लिए सूत्र: $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.5 = 0.2 + P(A_2) - (0.2 \times P(A_2))$.
$0.5 - 0.2 = P(A_2)(1 - 0.2)$.
$0.3 = 0.8 \times P(A_2)$.
$P(A_2) = 0.3 / 0.8 = 3/8$.

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P(A \cap B) = p \cdot \frac{1}{2} = \frac{p}{2}$.
हम जानते हैं कि दो घटनाओं के संघ के लिए सूत्र: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
ज्ञात मानों को रखने पर: $\frac{3}{5} = p + \frac{1}{2} - \frac{p}{2}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = p - \frac{p}{2}$.
$\frac{6 - 5}{10} = \frac{p}{2}$.
$\frac{1}{10} = \frac{p}{2}$.
अतः,$p = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र होती हैं यदि और केवल यदि एक के घटित होने से दूसरी की प्रायिकता पर कोई प्रभाव न पड़े।
यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,तो उनके पूरक $A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ भी स्वतंत्र होते हैं।
स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा के अनुसार,दो स्वतंत्र घटनाओं के सर्वनिष्ठ (intersection) की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है।
इसलिए,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P(A^{\prime}) \cdot P(B^{\prime})$।
चूँकि $P(A^{\prime}) = 1 - P(A)$ और $P(B^{\prime}) = 1 - P(B)$,इसलिए हमें $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = (1 - P(A))(1 - P(B))$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ स्वतंत्रता के लिए सही शर्त है।