Probability distribution Questions in Hindi

(B) गणितीय प्रत्याशा $E(X)$ की गणना प्रत्येक परिणाम और उसकी संबंधित संभावना के गुणनफल के योग के रूप में की जाती है: $E(X) = \sum x_i p_i$.
दी गई जानकारी:
- साफ: $x = 300, p = 0.50$
- सामान्य: $x = 250, p = 0.30$
- संदिग्ध: $x = 150, p = 0.15$
- बरसात: $x = 100, p = 0.05$
गणना:
$E(X) = (300 \times 0.50) + (250 \times 0.30) + (150 \times 0.15) + (100 \times 0.05)$
$E(X) = 150 + 75 + 22.5 + 5$
$E(X) = 252.5$
अतः,गणितीय प्रत्याशा ₹ $252.5$ है.

(C) प्रायिकता वितरण इस प्रकार दिया गया है:
$P(X=1)=0.15, P(X=2)=0.23, P(X=3)=0.12, P(X=4)=0.10, P(X=5)=0.20, P(X=6)=0.08, P(X=7)=0.07, P(X=8)=0.05$.
घटना $E = \{X \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} = \{2, 3, 5, 7\}$.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
घटना $F = \{X < 4\} = \{1, 2, 3\}$.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
घटना $E \cap F = \{X \text{ एक अभाज्य संख्या है और } X < 4\} = \{2, 3\}$.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(B) एक खेल में,$3$ सिक्के उछाले जाते हैं। कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ है।
$P(\text{सभी चित या सभी पट प्राप्त करना}) = P(HHH, TTT) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$P(\text{एक चित या दो चित प्राप्त करना}) = P(HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
मान लीजिए $X$ जीती या हारी गई राशि को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
$P(X = 100) = \frac{1}{4}$.
$P(X = -40) = \frac{3}{4}$.
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i p_i$.
$E(X) = 100 \times \frac{1}{4} + (-40) \times \frac{3}{4}$.
$E(X) = 25 - 30 = -5$.
चूंकि परिणाम ऋणात्मक है,इसलिए व्यक्ति को प्रति खेल ₹ $5$ के नुकसान की उम्मीद है।

(C) प्रायिकता बंटन तालिका द्वारा दिया गया है:
| $X=x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\ldots$ | $n$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{n}$ | $\frac{1}{n}$ | $\frac{1}{n}$ | $\ldots$ | $\frac{1}{n}$ |
$E(X) = \sum x P(X=x) = \frac{1}{n} (1 + 2 + \ldots + n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$
$E(X^2) = \sum x^2 P(X=x) = \frac{1}{n} (1^2 + 2^2 + \ldots + n^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$
$= \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{4n+2 - 3n - 3}{6} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$
दिया गया है कि $\frac{\operatorname{Var}(X)}{E(X)} = \frac{4}{1}$,अतः:
$\frac{(n^2-1)/12}{(n+1)/2} = 4$
$\frac{(n+1)(n-1)}{12} \cdot \frac{2}{n+1} = 4$
$\frac{n-1}{6} = 4$
$n-1 = 24$
$n = 25$

(C) माना यादृच्छिक चर $X$ तीन निष्पक्ष सिक्कों को उछालने पर प्राप्त चितों की संख्या को दर्शाता है। $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित तालिका द्वारा दिया गया है:
| $X = x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P(X = x)$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना इस प्रकार है:
$E(X) = \sum x P(X=x) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$
अपेक्षित मान $E(X^2)$ की गणना इस प्रकार है:
$E(X^2) = \sum x^2 P(X=x) = 0^2 \times \frac{1}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$
प्रसरण $V(X)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$V(X) = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$

(D) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\binom{5}{x}}{2^5}$ है,जहाँ $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
$P(X=0) = \frac{\binom{5}{0}}{32} = \frac{1}{32}$ और $P(X=5) = \frac{\binom{5}{5}}{32} = \frac{1}{32}$ है। अतः,$P(X=0) = P(X=5)$ सही है।
$P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) = \frac{1}{32} + \frac{5}{32} = \frac{6}{32}$ है।
$P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) = \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32}$ है। अतः,$P(X \leq 1) = P(X \geq 4)$ सही है।
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{32} + \frac{5}{32} + \frac{10}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ है।
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि $P(X \leq 2) = \frac{1}{2}$ और $P(X \geq 3) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए कथन $P(X \leq 2) > P(X \geq 3)$ गलत है।

(D) प्रायिकता वितरण इस प्रकार दिया गया है:
$P(X=1)=0.15, P(X=2)=0.23, P(X=3)=0.10, P(X=4)=0.12, P(X=5)=0.20, P(X=6)=0.08, P(X=7)=0.07, P(X=8)=0.05$.
घटना $E = \{ X \text{ एक अभाज्य संख्या है} \} = \{ 2, 3, 5, 7 \}$.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.10 + 0.20 + 0.07 = 0.60$.
घटना $F = \{ X < 4 \} = \{ 1, 2, 3 \}$.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.10 = 0.48$.
घटना $E \cap F = \{ X \text{ एक अभाज्य संख्या है और } X < 4 \} = \{ 2, 3 \}$.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.10 = 0.33$.
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.60 + 0.48 - 0.33 = 0.75$.

(A) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,अर्थात $\sum P(X=x) = 1$.
दिए गए वितरण से:
$k^2 + 2k + k + 2k + 5k^2 = 1$
$6k^2 + 5k - 1 = 0$
$(6k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $P(X) \geq 0$,इसलिए $k > 0$ होना चाहिए,अतः $k = \frac{1}{6}$.
अब,हमें $P(X \geq 2)$ ज्ञात करना है:
$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$P(X \geq 2) = 2k + k + 2k + 5k^2 = 5k + 5k^2$
$k = \frac{1}{6}$ रखने पर:
$P(X \geq 2) = 5(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2$
$P(X \geq 2) = \frac{5}{6} + \frac{5}{36} = \frac{30 + 5}{36} = \frac{35}{36}$.

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग हमेशा $1$ होता है।
$\therefore k + 0.3 + 0.15 + 0.15 + 0.1 + 2k = 1$
$3k + 0.7 = 1$
$3k = 0.3$
$k = 0.1$
प्रत्याशित मान $E(X)$,$\sum x_i \cdot P(x_i)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = 0(k) + 1(0.3) + 2(0.15) + 3(0.15) + 4(0.1) + 5(2k)$
$E(X) = 0(0.1) + 0.3 + 0.3 + 0.45 + 0.4 + 5(0.2)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.3 + 0.45 + 0.4 + 1.0$
$E(X) = 2.45$

(B) मान लीजिए कि $X$ चितों की संख्या को दर्शाता है। जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $8$ है।
$X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ और $3$ हैं।
$P(X=0) = P(\{TTT\}) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = P(\{HTT, THT, TTH\}) = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = P(\{HHT, HTH, THH\}) = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = P(\{HHH\}) = \frac{1}{8}$
अतः,प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:

$X=x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

इसलिए,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(D) मान लीजिए $P(X=0)=p_0, P(X=1)=p_1, P(X=2)=p_2, P(X=3)=p_3$ है।
दिया गया है कि $p_2 = 0.3$ और $p_3 = 2p_1$ है।
प्रायिकताओं का योग $p_0 + p_1 + p_2 + p_3 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$p_0 + p_1 + 0.3 + 2p_1 = 1 \Rightarrow p_0 + 3p_1 = 0.7 \dots (i)$।
माध्य $E(X) = \sum x_i p_i = 0(p_0) + 1(p_1) + 2(p_2) + 3(p_3) = 1.3$ है।
मान रखने पर,$0 + p_1 + 2(0.3) + 3(2p_1) = 1.3$।
$p_1 + 0.6 + 6p_1 = 1.3 \Rightarrow 7p_1 = 0.7 \Rightarrow p_1 = 0.1$।
समीकरण $(i)$ से,$p_0 + 3(0.1) = 0.7 \Rightarrow p_0 + 0.3 = 0.7 \Rightarrow p_0 = 0.4$।
अतः,$P(X=0) = 0.4$।

(A) चूंकि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\sum_{x=0}^7 P(X=x) = 1$
$0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $k \geq 0$,इसलिए $k = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $P(X \geq 6)$ ज्ञात करना है:
$P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7)$
$P(X \geq 6) = 2k^2 + (7k^2 + k) = 9k^2 + k$
$k = \frac{1}{10}$ रखने पर:
$P(X \geq 6) = 9\left(\frac{1}{10}\right)^2 + \frac{1}{10} = \frac{9}{100} + \frac{10}{100} = \frac{19}{100}$.

(B) $E(X^2)$ ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी वितरण फलन $F(x)$ से प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x)$ निर्धारित करते हैं,जो संबंध $P(X=x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$ का उपयोग करके प्राप्त होता है।
$P(X=-1) = F(-1) = 0.3$
$P(X=0) = F(0) - F(-1) = 0.7 - 0.3 = 0.4$
$P(X=1) = F(1) - F(0) = 0.8 - 0.7 = 0.1$
$P(X=2) = F(2) - F(1) = 1 - 0.8 = 0.2$
अब,हम सूत्र $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X=x_i)$ का उपयोग करके अपेक्षित मान $E(X^2)$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = (-1)^2(0.3) + (0)^2(0.4) + (1)^2(0.1) + (2)^2(0.2)$
$E(X^2) = (1)(0.3) + (0)(0.4) + (1)(0.1) + (4)(0.2)$
$E(X^2) = 0.3 + 0 + 0.1 + 0.8$
$E(X^2) = 1.2$

(C) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,अर्थात $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) (\frac{1}{5})^x = 1$.
श्रेणी का विस्तार करने पर: $k [ 1 + 2(\frac{1}{5}) + 3(\frac{1}{5})^2 + 4(\frac{1}{5})^3 + \ldots ] = 1$.
यह $\sum_{n=0}^{\infty} (a+nd)r^n = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ के रूप की एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है,जहाँ $a=1, d=1, r=\frac{1}{5}$.
योग की गणना करने पर: $k [ \frac{1}{1 - 1/5} + \frac{1 \times 1/5}{(1 - 1/5)^2} ] = 1$.
$k [ \frac{5}{4} + \frac{1/5}{16/25} ] = k [ \frac{5}{4} + \frac{5}{16} ] = 1$.
$k [ \frac{20+5}{16} ] = 1 \Rightarrow \frac{25k}{16} = 1$.
अतः,$k = \frac{16}{25}$.

(B) $1$ और $0$ अंकित तीन सिक्कों को उछाला जाता है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
$X$ ऊपर की सतहों पर संख्याओं का योग दर्शाता है।
$X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X)$	$1/8$	$3/8$	$3/8$	$1/8$

$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+6+3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{1}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+12+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12-9}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(B) हम जानते हैं कि प्रायिकता द्रव्यमान फलन में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum_{r = 0}^n P(X = r) = 1$.
$\frac{^n C_0 + ^n C_1 + ^n C_2 + \dots + ^n C_n}{32} = 1$.
सर्वसमिका $\sum_{r = 0}^n n C_r = 2^n$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{2^n}{32} = 1$ प्राप्त होता है।
$2^n = 32$,जिसका अर्थ है $2^n = 2^5$,इसलिए $n = 5$.
अब,हमें $P[X \leq 2] = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ की गणना करनी है।
$P[X \leq 2] = \frac{^5 C_0}{32} + \frac{^5 C_1}{32} + \frac{^5 C_2}{32}$.
मान रखने पर: $^5 C_0 = 1$,$^5 C_1 = 5$,और $^5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
$P[X \leq 2] = \frac{1 + 5 + 10}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है कि $X$ समान प्रायिकता $P(X) = \frac{1}{n}$ के साथ $1, 2, \ldots, n$ मान ग्रहण करता है।
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
$E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$.
दिया गया है कि $\operatorname{Var}(X) = E(X)$,इसलिए:
$\frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n+1}{2}$.
$(n+1)$ से भाग देने पर (चूंकि $n \neq -1$):
$\frac{2n+1}{6} - \frac{n+1}{4} = \frac{1}{2}$.
$12$ से गुणा करने पर:
$2(2n+1) - 3(n+1) = 6$.
$4n + 2 - 3n - 3 = 6$.
$n - 1 = 6 \implies n = 7$.

(C) जब खिलाड़ी $2$ निष्पक्ष सिक्के उछालता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ है।
माना $X$ एक यादृच्छिक चर है जो खिलाड़ी द्वारा प्राप्त राशि को दर्शाता है।
$X$ के संभावित मान $5, 2$ और $1$ हैं।
प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(X=5) = P(\{HH\}) = \frac{1}{4}$
$P(X=2) = P(\{HT, TH\}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = P(\{TT\}) = \frac{1}{4}$
प्रायिकता वितरण:
$E(X) = \sum X P(X) = 5 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4} + 1 + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$
$E(X^2) = \sum X^2 P(X) = 5^2 \times \frac{1}{4} + 2^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{4} = \frac{25}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{34}{4} = 8.5$
$\text{प्रसरण}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{34}{4} - \left(\frac{10}{4}\right)^2 = \frac{34}{4} - \frac{100}{16} = \frac{136 - 100}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$.

(A) एक असतत यादृच्छिक चर के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum_{x=0}^{6} f(x) = 1$
$k(0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = 1$
$k(0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 1$
$91k = 1 \implies k = \frac{1}{91}$
संचयी वितरण फलन $F(4)$ को $P(X \leq 4)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$F(4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
$F(4) = k(0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)$
$F(4) = k(0 + 1 + 4 + 9 + 16) = 30k$
$k = \frac{1}{91}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F(4) = 30 \times \frac{1}{91} = \frac{30}{91}$

(C) यादृच्छिक चर $X$ एक निष्पक्ष पासे के $2$ उछालों में छक्कों की संख्या को दर्शाता है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
एक उछाल में छक्का आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है,और छक्का न आने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
$X = 0$ (कोई छक्का नहीं) के लिए: $P(X = 0) = q \times q = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$।
$X = 1$ (एक छक्का) के लिए: $P(X = 1) = (p \times q) + (q \times p) = (\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}) + (\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}) = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।
$X = 2$ (दो छक्के) के लिए: $P(X = 2) = p \times p = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X = x$	$0$	$1$	$2$
$P(X = x)$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

(A) माना $X$ खराब टोकरियों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। चूँकि हम बिना प्रतिस्थापन के $2$ टोकरियाँ निकालते हैं,$X$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है।
कुल टोकरियाँ = $20$,खराब = $6$,सही = $14$.
$P(X=0) = \frac{14}{20} \times \frac{13}{19} = \frac{182}{380}$
$P(X=1) = \frac{6}{20} \times \frac{14}{19} + \frac{14}{20} \times \frac{6}{19} = \frac{84+84}{380} = \frac{168}{380}$
$P(X=2) = \frac{6}{20} \times \frac{5}{19} = \frac{30}{380}$
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$
$E(X) = 0 + \frac{168}{380} + 2 \times \frac{30}{380} = \frac{168 + 60}{380} = \frac{228}{380} = 0.6$.

(C) एक निष्पक्ष पासे को क्रमिक रूप से दो बार उछाला जाता है। कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
मान लीजिए $X$ दो उछालों में चार की संख्या है।
$X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
$1$. $X = 0$ के लिए: वे परिणाम जिनमें किसी भी पासे पर $4$ नहीं आता है। ऐसे $5 \times 5 = 25$ परिणाम हैं। अतः,$P(X = 0) = \frac{25}{36}$.
$2$. $X = 1$ के लिए: परिणाम $(4, \text{not } 4)$ या $(\text{not } 4, 4)$ हैं। ऐसे $1 \times 5 + 5 \times 1 = 10$ परिणाम हैं। अतः,$P(X = 1) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.
$3$. $X = 2$ के लिए: केवल एक परिणाम $(4, 4)$ है। अतः,$P(X = 2) = \frac{1}{36}$.
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X = x_i$	$0$	$1$	$2$
$P_i$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

(B) अपेक्षित मान $E(X)$ को $\sum_{x=1}^{n} x \cdot P(X=x)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है कि $P(X=x) = \frac{2x}{n(n+1)}$ जहाँ $x = 1, 2, \ldots, n$ है।
अतः,$E(X) = \sum_{x=1}^{n} x \cdot \frac{2x}{n(n+1)}$.
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{x=1}^{n} x^2$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{x=1}^{n} x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$E(X) = \frac{2(2n+1)}{6} = \frac{2n+1}{3}$.

(B) माना $X$ यादृच्छिक चर है जो ऊपर की सतहों पर संख्याओं का योग दर्शाता है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3$ हैं।
चूंकि $3$ सिक्के हैं,कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ है।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$P(X=0) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = \frac{1}{8}$
$E(X) = \sum x_i p_i = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+6+3}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \times \frac{1}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+12+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$Variance(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$.

(A) प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:
$E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i p_i = \frac{1}{k} + \frac{2}{k} + \dots + \frac{k}{k} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} i = \frac{1}{k} \cdot \frac{k(k+1)}{2} = \frac{k+1}{2}$
$E(X^2) = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 p_i = \frac{1^2 + 2^2 + \dots + k^2}{k} = \frac{1}{k} \cdot \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{(k+1)(2k+1)}{6}$
प्रसरण $= E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{(k+1)(2k+1)}{6} - \left( \frac{k+1}{2} \right)^2$
$= \frac{2k^2 + 3k + 1}{6} - \frac{k^2 + 2k + 1}{4}$
$= \frac{2(2k^2 + 3k + 1) - 3(k^2 + 2k + 1)}{12}$
$= \frac{4k^2 + 6k + 2 - 3k^2 - 6k - 3}{12}$
$= \frac{k^2 - 1}{12}$

(C) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
$(4k - 10k^2) + (5k - 1) + 3k^3 = 1$
$3k^3 - 10k^2 + 9k - 2 = 0$
मानों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $k = \frac{1}{3}$ एक मूल है:
$3(\frac{1}{27}) - 10(\frac{1}{9}) + 9(\frac{1}{3}) - 2 = \frac{1}{9} - \frac{10}{9} + 3 - 2 = -1 + 1 = 0$
बहुपद का गुणनखंड करने पर,हमें $(k - \frac{1}{3})(3k^2 - 9k + 6) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(k - \frac{1}{3})(k - 1)(k - 2) = 0$ हो जाता है।
यदि $k = 1$ है,तो $P(X=0) = 4(1) - 10(1)^2 = -6$,जो संभव नहीं है क्योंकि प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती।
यदि $k = 2$ है,तो $P(X=0) = 4(2) - 10(4) = 8 - 40 = -32$,जो संभव नहीं है।
अतः,$k = \frac{1}{3}$ ही एकमात्र मान्य मान है।
हमें $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$ ज्ञात करना है।
$P(X < 2) = (4k - 10k^2) + (5k - 1) = 9k - 10k^2 - 1$
$k = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$P(X < 2) = 9(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) - 1 = 3 - \frac{10}{9} - 1 = 2 - \frac{10}{9} = \frac{18 - 10}{9} = \frac{8}{9}$.

(C) हमें प्रायिकता घनत्व फलन $f(x) = 3(1 - 2x^2)$ दिया गया है,जहाँ $0 < x < 1$ है।
$P\left(\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}\right)$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए अंतराल पर फलन का समाकलन करेंगे:
$P\left(\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}\right) = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}} 3(1 - 2x^2) dx$
$= \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}} (3 - 6x^2) dx$
$= [3x - 2x^3]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}}$
$= \left(3\left(\frac{1}{3}\right) - 2\left(\frac{1}{3}\right)^3\right) - \left(3\left(\frac{1}{4}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right)^3\right)$
$= \left(1 - \frac{2}{27}\right) - \left(\frac{3}{4} - \frac{2}{64}\right)$
$= \left(\frac{25}{27}\right) - \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{32}\right)$
$= \frac{25}{27} - \frac{3}{4} + \frac{1}{32}$
उभयनिष्ठ हर $(864)$ लेने पर:
$= \frac{25 \times 32 - 3 \times 216 + 1 \times 27}{864}$
$= \frac{800 - 648 + 27}{864} = \frac{179}{864}$

(D) अपेक्षित मान $E(X)$ को $\sum x_i \cdot P(x_i)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है $P(x) = \frac{2x}{n(n+1)}$ जहाँ $x = 1, 2, \ldots, n$ है।
$E(X) = \sum_{x=1}^{n} x \cdot \frac{2x}{n(n+1)}$
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{x=1}^{n} x^2$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{x=1}^{n} x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$E(X) = \frac{2n+1}{3}$

(A) प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
हम प्रत्येक परिणाम के लिए गुणनखंडों की संख्या $(X)$ निर्धारित करते हैं:
$X(1) = 1$ (गुणनखंड: $1$)
$X(2) = 2$ (गुणनखंड: $1, 2$)
$X(3) = 2$ (गुणनखंड: $1, 3$)
$X(4) = 3$ (गुणनखंड: $1, 2, 4$)
$X(5) = 2$ (गुणनखंड: $1, 5$)
$X(6) = 4$ (गुणनखंड: $1, 2, 3, 6$)
अब,हम $X$ के प्रत्येक मान के लिए प्रायिकता की गणना करते हैं:
$P(X = 1) = P(\{1\}) = 1/6$
$P(X = 2) = P(\{2, 3, 5\}) = 3/6 = 1/2$
$P(X = 3) = P(\{4\}) = 1/6$
$P(X = 4) = P(\{6\}) = 1/6$
अतः,प्रायिकता वितरण विकल्प $A$ में दर्शाए अनुसार है।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum P(X) = 1$.
$K + \frac{1}{6} + \frac{3}{8} + 2K + \frac{1}{12} = 1$
$K$ वाले पदों और अचर भिन्नों को जोड़ने पर:
$3K + (\frac{1}{6} + \frac{3}{8} + \frac{1}{12}) = 1$
भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हर $24$ लेने पर:
$3K + (\frac{4}{24} + \frac{9}{24} + \frac{2}{24}) = 1$
$3K + \frac{15}{24} = 1$
$3K + \frac{5}{8} = 1$
$3K = 1 - \frac{5}{8}$
$3K = \frac{3}{8}$
$K = \frac{1}{8}$

(D) जब एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ होती है।
यहाँ,$X$ पट (tails) की संख्या को दर्शाता है।
$X=0$ (कोई पट नहीं) के लिए,परिणाम $\{HH\}$ है,इसलिए $P(X=0) = 1/4$ है।
$X=1$ (एक पट) के लिए,परिणाम $\{HT, TH\}$ हैं,इसलिए $P(X=1) = 2/4 = 1/2$ है।
$X=2$ (दो पट) के लिए,परिणाम $\{TT\}$ है,इसलिए $P(X=2) = 1/4$ है।
अतः,प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X=x_i$	$0$	$1$	$2$
$P_i$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X) = k + 3k + 5k + 7k + 9k + 11k + 13k = 49k = 1$
अतः,$k = \frac{1}{49}$।
हमें $P(X \ge 2)$ ज्ञात करना है।
$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2)$
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = k + 3k = 4k$
$P(X \ge 2) = 1 - 4k = 1 - 4(\frac{1}{49}) = 1 - \frac{4}{49} = \frac{45}{49}$।

(C) प्रथम $6$ धनात्मक पूर्णांकों में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ हैं।
माना $X$ एक यादृच्छिक चर है जो दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को दर्शाता है। $X$ के संभावित मान $2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$X=2$ के लिए: युग्म $(1,2)$ हैं,अतः $P(X=2) = \frac{1}{15}$।
$X=3$ के लिए: युग्म $(1,3), (2,3)$ हैं,अतः $P(X=3) = \frac{2}{15}$।
$X=4$ के लिए: युग्म $(1,4), (2,4), (3,4)$ हैं,अतः $P(X=4) = \frac{3}{15}$।
$X=5$ के लिए: युग्म $(1,5), (2,5), (3,5), (4,5)$ हैं,अतः $P(X=5) = \frac{4}{15}$।
$X=6$ के लिए: युग्म $(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)$ हैं,अतः $P(X=6) = \frac{5}{15}$।
$E(X) = \sum x_i P_i = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15}) = \frac{2+6+12+20+30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$।
$E(X^2) = \sum x_i^2 P_i = 4(\frac{1}{15}) + 9(\frac{2}{15}) + 16(\frac{3}{15}) + 25(\frac{4}{15}) + 36(\frac{5}{15}) = \frac{4+18+48+100+180}{15} = \frac{350}{15} = \frac{70}{3}$।
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{70}{3} - (\frac{14}{3})^2 = \frac{70}{3} - \frac{196}{9} = \frac{210-196}{9} = \frac{14}{9}$।

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(x) = k + 0.3 + 0.15 + 0.15 + 0.1 + 2k = 1$
$3k + 0.7 = 1$
$3k = 0.3$
$k = 0.1$
अब,प्रत्याशित मान $E(x)$ की गणना $\sum x_i P(x_i)$ के रूप में की जाती है:
$E(x) = (0 \times k) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.15) + (3 \times 0.15) + (4 \times 0.1) + (5 \times 2k)$
$k = 0.1$ रखने पर:
$E(x) = (0 \times 0.1) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.15) + (3 \times 0.15) + (4 \times 0.1) + (5 \times 0.2)$
$E(x) = 0 + 0.3 + 0.3 + 0.45 + 0.4 + 1.0$
$E(x) = 2.45$

(D) यादृच्छिक चर $X$ प्रत्येक $i$ के लिए $p_i = \frac{1}{n}$ प्रायिकता के साथ $1, 2, \ldots, n$ मान लेता है।
प्रत्याशित मान $E(X) = \sum p_i x_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
प्रसरण $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum p_i x_i^2 - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
$V(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{4n+2-3n-3}{6} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$.
दिया गया अनुपात $\frac{V(X)}{E(X)} = 4$ है,इसलिए $\frac{(n^2-1)/12}{(n+1)/2} = 4$.
$\frac{(n-1)(n+1)}{12} \cdot \frac{2}{n+1} = 4$.
$\frac{n-1}{6} = 4 \Rightarrow n-1 = 24 \Rightarrow n = 25$.

(A) $2$ सिक्के उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $\{HH, HT, TH, TT\}$ है।
प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(X=5) = P(HH) = \frac{1}{4}$
$P(X=2) = P(HT, TH) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = P(TT) = \frac{1}{4}$
हम माध्य $E(X) = \sum p_i x_i = (5 \times \frac{1}{4}) + (2 \times \frac{1}{2}) + (1 \times \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} + 1 + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ की गणना करते हैं।
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum p_i x_i^2 = (5^2 \times \frac{1}{4}) + (2^2 \times \frac{1}{2}) + (1^2 \times \frac{1}{4}) = \frac{25}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} + 2 = \frac{13}{2} + 2 = \frac{17}{2}$ की गणना करते हैं।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{17}{2} - (\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{2} - \frac{25}{4} = \frac{34-25}{4} = \frac{9}{4}$।

(C) किसी फलन के प्रायिकता द्रव्यमान फलन (p.m.f.) होने के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum_{x=0}^{3} P(X=x) = 1$
$P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 1$
$K \cdot \frac{2^0}{0!} + K \cdot \frac{2^1}{1!} + K \cdot \frac{2^2}{2!} + K \cdot \frac{2^3}{3!} = 1$
$K \cdot (\frac{1}{1} + \frac{2}{1} + \frac{4}{2} + \frac{8}{6}) = 1$
$K \cdot (1 + 2 + 2 + \frac{4}{3}) = 1$
$K \cdot (5 + \frac{4}{3}) = 1$
$K \cdot (\frac{15+4}{3}) = 1$
$K \cdot \frac{19}{3} = 1$
$K = \frac{3}{19}$

(B) यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$E(X) = \sum_{x=1}^{10} x P(X=x) = \frac{1}{10} (1 + 2 + 3 + \ldots + 10) = \frac{1}{10} \times \frac{10 \times 11}{2} = 5.5$ की गणना करते हैं।
इसके बाद,$E(X^2) = \sum_{x=1}^{10} x^2 P(X=x) = \frac{1}{10} (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2) = \frac{1}{10} \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{231}{6} = 38.5$ की गणना करते हैं।
अंत में,$\operatorname{Var}(X) = 38.5 - (5.5)^2 = 38.5 - 30.25 = 8.25$।
चूंकि $8.25 = \frac{33}{4}$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) यादृच्छिक चर $X$ का अपेक्षित मूल्य $E(X)$ सूत्र $E(X) = \sum p_i x_i$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई तालिका का उपयोग करते हुए:
$E(X) = (0 \times 0.35) + (500 \times 0.25) + (1000 \times 0.15) + (1500 \times 0.10) + (2000 \times 0.08) + (2500 \times 0.05) + (3000 \times 0.02)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$E(X) = 0 + 125 + 150 + 150 + 160 + 125 + 60$
मानों का योग करने पर:
$E(X) = 770$
अतः,रखरखाव लागत का अपेक्षित मूल्य रु. $770$ है।

(D) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $k \geq 0$,इसलिए $k = \frac{1}{10}$ है।
संचयी प्रायिकता वितरण फलन $F(4)$ को $P(X \leq 4)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$F(4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$
$F(4) = 0 + k + 2k + 2k + 3k = 8k$
$k = \frac{1}{10}$ रखने पर:
$F(4) = 8 \times \frac{1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

(D) दिया गया p.m.f $P(X=x) = \frac{1}{32} \binom{5}{x}$ है,जहाँ $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$
$= \frac{1}{32} \left[ \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} \right] = \frac{1}{32} (1 + 5 + 10) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$= \frac{1}{32} \left[ \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} \right] = \frac{1}{32} (10 + 5 + 1) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $P(X \leq 2) = \frac{1}{2}$ और $P(X \geq 3) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ प्राप्त होता है।

(D) प्रायिकता बंटन का प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{प्रसरण} = E(X^2) - [E(X)]^2$,जहाँ $E(X) = \sum p_i x_i$ और $E(X^2) = \sum p_i x_i^2$ है।
सबसे पहले,$E(X)$ की गणना करें:
$E(X) = (0 \times \frac{9}{16}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{1}{16}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{2}{16} = \frac{6}{16} + \frac{2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$।
इसके बाद,$E(X^2)$ की गणना करें:
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{9}{16}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{1}{16}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$।
अब,प्रसरण की गणना करें:
$\text{प्रसरण} = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{5}{8} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$।

(B) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,अर्थात $\sum P(X = x_i) = 1$.
दिया गया है $P(X=0) = \frac{5}{16}$,$P(X=1) = \frac{5}{16}$,$P(X=2) = \frac{2k}{48}$,और $P(X=3) = \frac{1}{4} = \frac{12}{48}$.
इनका योग करने पर: $\frac{5}{16} + \frac{5}{16} + \frac{2k}{48} + \frac{12}{48} = 1$.
सभी को हर $48$ में बदलने पर: $\frac{15}{48} + \frac{15}{48} + \frac{2k}{48} + \frac{12}{48} = 1$.
$\frac{42 + 2k}{48} = 1 \Rightarrow 42 + 2k = 48 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3$.
अब,प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$P(X=0) = \frac{15}{48}$,$P(X=1) = \frac{15}{48}$,$P(X=2) = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$,$P(X=3) = \frac{12}{48}$.
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{15}{48}) + (1 \times \frac{15}{48}) + (2 \times \frac{6}{48}) + (3 \times \frac{12}{48})$.
$E(X) = 0 + \frac{15}{48} + \frac{12}{48} + \frac{36}{48} = \frac{63}{48} = \frac{21}{16} = 1.3125$.

(A) प्रति केक अपेक्षित लाभ की गणना अपेक्षित मान के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $E(X) = \sum p_i x_i$.
यहाँ,$x_i$ प्रत्येक प्रकार के केक के लिए लाभ को दर्शाता है और $p_i$ प्रत्येक प्रकार की संभावना (मांग) को दर्शाता है।
दिए गए मान:
$x_1 = 2, p_1 = 0.20$
$x_2 = 2.5, p_2 = 0.05$
$x_3 = 3, p_3 = 0.10$
$x_4 = 1.5, p_4 = 0.50$
$x_5 = 1, p_5 = 0.15$
अपेक्षित लाभ $= (2 \times 0.20) + (2.5 \times 0.05) + (3 \times 0.10) + (1.5 \times 0.50) + (1 \times 0.15)$
$= 0.4 + 0.125 + 0.3 + 0.75 + 0.15$
$= 1.725$
अतः,प्रति केक अपेक्षित लाभ $Rs \ 1.725$ है।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x) = k + 3k + 5k + 7k + 8k + k = 1$
$25k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{25}$
हमें $P(2 \leq X < 5)$ ज्ञात करना है,जो $P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ है।
$P(2 \leq X < 5) = 3k + 5k + 7k = 15k$
$k = \frac{1}{25}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(2 \leq X < 5) = 15 \times \frac{1}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

(C) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = P(X \le x)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x)$ ज्ञात करने के लिए,हम संबंध $P(X=x) = F(x) - F(x-1)$ का उपयोग करते हैं।
$x=4$ के लिए,$P(X=4) = F(4) - F(3) = 0.62 - 0.48 = 0.14$ है।
$x=5$ के लिए,$P(X=5) = F(5) - F(4) = 0.85 - 0.62 = 0.23$ है।
अतः,$P(X=4) + P(X=5) = 0.14 + 0.23 = 0.37$ है।

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum P(X) = K + 2K + 3K + 4K + 5K + 6K = 1$
$21K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{21}$
हमें $P(2 < X < 6)$ ज्ञात करना है,जो $P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ के बराबर है।
$P(2 < X < 6) = 3K + 4K + 5K = 12K$
$K = \frac{1}{21}$ का मान रखने पर:
$P(2 < X < 6) = 12 \times \frac{1}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

(B) संचयी प्रायिकता वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = P(X \leq x)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,$F(0) = P(X \leq 0) = P(X = -2) + P(X = -1) + P(X = 0)$.
दी गई तालिका से:
$P(X = -2) = 0.2$
$P(X = -1) = 0.3$
$P(X = 0) = 0.15$
अतः,$F(0) = 0.2 + 0.3 + 0.15 = 0.65$.
वैकल्पिक रूप से,हम जानते हैं कि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$P(X \leq 0) + P(X > 0) = 1$
$F(0) = 1 - P(X > 0)$.
इस प्रकार,$F(0) = 1 - (P(X = 1) + P(X = 2)) = 1 - (0.25 + 0.1) = 1 - 0.35 = 0.65$.

(A) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$k + 2k + 3k + 4k + 4k + 3k + 2k + k + k = 1$
$21k = 1$
$k = \frac{1}{21}$
हमें $P(3 < X \leq 6)$ ज्ञात करना है,जो $P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ है।
सारणी से:
$P(X=4) = 4k$
$P(X=5) = 3k$
$P(X=6) = 2k$
अतः,$P(3 < X \leq 6) = 4k + 3k + 2k = 9k$.
$k = \frac{1}{21}$ का मान रखने पर:
$P(3 < X \leq 6) = 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.