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Probability distribution Questions in Hindi
Class 12 Mathematics · Probability · Probability distribution
430+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 48 of 430 questions in Hindi
101
MediumMCQ
बिस्मथ की अर्ध-आयु $5$ दिन है। यदि एक नमूने का प्रारंभिक द्रव्यमान $800 \text{ mg}$ है, तो $30$ दिनों के बाद शेष द्रव्यमान होगा: ($\text{ mg}$ में)
A
$10$
B
$10.5$
C
$12$
D
$12.5$
Solution
(D) प्रारंभिक द्रव्यमान $N_0 = 800 \text{ mg}$ है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5 \text{ दिन}$ है।
कुल समय $t = 30 \text{ दिन}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{5} = 6$ है।
शेष द्रव्यमान $N$ की गणना सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ का उपयोग करके की जाती है।
$N = 800 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = \frac{800}{64}$.
$N = 12.5 \text{ mg}$.
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5 \text{ दिन}$ है।
कुल समय $t = 30 \text{ दिन}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{5} = 6$ है।
शेष द्रव्यमान $N$ की गणना सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ का उपयोग करके की जाती है।
$N = 800 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = \frac{800}{64}$.
$N = 12.5 \text{ mg}$.
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MediumMCQ
एक खेल में,$3$ सिक्के उछाले जाते हैं। यदि किसी व्यक्ति को सभी चित (heads) या सभी पट (tails) मिलते हैं,तो उसे ₹ $7$ का भुगतान किया जाता है; और यदि उसे एक चित या दो चित मिलते हैं,तो उसे ₹ $3$ का भुगतान करना पड़ता है। प्रति खेल उसके द्वारा औसतन जीतने की अपेक्षित राशि ₹ है
A
$-0.5$
B
$0.5$
C
$1$
D
$-1$
Solution
(A) $3$ सिक्के उछालने पर,कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ है।
परिणाम: ${HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}$।
$P(\text{सभी चित या सभी पट}) = P({HHH, TTT}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$।
$P(\text{एक चित या दो चित}) = P({HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$।
मान लीजिए $X$ जीती गई राशि को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
$P(X = 7) = \frac{1}{4}$ और $P(X = -3) = \frac{3}{4}$।
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i p_i = 7 \times \frac{1}{4} + (-3) \times \frac{3}{4} = \frac{7}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$।
अतः,प्रति खेल अपेक्षित राशि ₹ $-0.5$ है।
परिणाम: ${HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}$।
$P(\text{सभी चित या सभी पट}) = P({HHH, TTT}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$।
$P(\text{एक चित या दो चित}) = P({HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$।
मान लीजिए $X$ जीती गई राशि को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
$P(X = 7) = \frac{1}{4}$ और $P(X = -3) = \frac{3}{4}$।
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i p_i = 7 \times \frac{1}{4} + (-3) \times \frac{3}{4} = \frac{7}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$।
अतः,प्रति खेल अपेक्षित राशि ₹ $-0.5$ है।
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EasyMCQ
एक निष्पक्ष पासे को लगातार दो बार उछाला जाता है। यदि $X$ दो उछालों में छक्कों की संख्या को दर्शाता है,तो $X$ का प्रायिकता वितरण क्या है?
A
| $X = x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P_i$ | $\frac{25}{36}$ | $\frac{5}{18}$ | $\frac{1}{36}$ |
B
| $X = x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P_i$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{25}{36}$ | $\frac{5}{18}$ |
C
| $X = x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| $P_i$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
D
| $X = x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P_i$ | $\frac{5}{18}$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{25}{36}$ |
Solution
(A) मान लीजिए $p$ एक उछाल में छक्का आने की प्रायिकता है,तो $p = \frac{1}{6}$।
मान लीजिए $q$ छक्का न आने की प्रायिकता है,तो $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
$X$ दो उछालों में छक्कों की संख्या को दर्शाता है। $X$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है।
$P(X = 0) = P(\text{कोई छक्का नहीं}) = q \times q = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$।
$P(X = 1) = P(\text{एक छक्का}) = pq + qp = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।
$P(X = 2) = P(\text{दो छक्के}) = p \times p = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$।
अतः,प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
मान लीजिए $q$ छक्का न आने की प्रायिकता है,तो $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
$X$ दो उछालों में छक्कों की संख्या को दर्शाता है। $X$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है।
$P(X = 0) = P(\text{कोई छक्का नहीं}) = q \times q = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$।
$P(X = 1) = P(\text{एक छक्का}) = pq + qp = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।
$P(X = 2) = P(\text{दो छक्के}) = p \times p = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$।
अतः,प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X = x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P(x_i)$ | $\frac{25}{36}$ | $\frac{5}{18}$ | $\frac{1}{36}$ |
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MediumMCQ
यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता द्रव्यमान फलन (p.m.f.) $P(X=x) = \frac{c}{x^3}$ है,जहाँ $x = 1, 2, 3$ और अन्यथा $0$ है,तो $E(X)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{297}{294}$
B
$\frac{249}{225}$
C
$\frac{343}{297}$
D
$\frac{294}{251}$
Solution
(D) प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\sum P(X=x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$\frac{c}{1^3} + \frac{c}{2^3} + \frac{c}{3^3} = 1$
$c \left( 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} \right) = 1$
$c \left( \frac{216 + 27 + 8}{216} \right) = 1$
$c \left( \frac{251}{216} \right) = 1 \implies c = \frac{216}{251}$
अब,अपेक्षित मान $E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$:
$E(X) = 1 \cdot \frac{c}{1^3} + 2 \cdot \frac{c}{2^3} + 3 \cdot \frac{c}{3^3}$
$E(X) = c \left( 1 + \frac{2}{8} + \frac{3}{27} \right) = c \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \right)$
$E(X) = c \left( \frac{36 + 9 + 4}{36} \right) = c \left( \frac{49}{36} \right)$
$c = \frac{216}{251}$ रखने पर:
$E(X) = \frac{216}{251} \times \frac{49}{36} = 6 \times \frac{49}{251} = \frac{294}{251}$
$\sum P(X=x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$\frac{c}{1^3} + \frac{c}{2^3} + \frac{c}{3^3} = 1$
$c \left( 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} \right) = 1$
$c \left( \frac{216 + 27 + 8}{216} \right) = 1$
$c \left( \frac{251}{216} \right) = 1 \implies c = \frac{216}{251}$
अब,अपेक्षित मान $E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$:
$E(X) = 1 \cdot \frac{c}{1^3} + 2 \cdot \frac{c}{2^3} + 3 \cdot \frac{c}{3^3}$
$E(X) = c \left( 1 + \frac{2}{8} + \frac{3}{27} \right) = c \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \right)$
$E(X) = c \left( \frac{36 + 9 + 4}{36} \right) = c \left( \frac{49}{36} \right)$
$c = \frac{216}{251}$ रखने पर:
$E(X) = \frac{216}{251} \times \frac{49}{36} = 6 \times \frac{49}{251} = \frac{294}{251}$
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EasyMCQ
एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। यदि $X$ चितों (heads) और पटों (tails) की संख्या के बीच का निरपेक्ष अंतर दर्शाता है,तो $P(X=1) = $
A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{1}{2}$
C
$\frac{2}{3}$
D
$\frac{3}{4}$
Solution
(D) जब एक सिक्के को $3$ बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $2^3 = 8$ परिणाम होते हैं: $\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
माना $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है। चूँकि $H+T=3$,इसलिए $T=3-H$ है।
निरपेक्ष अंतर $X = |H-T| = |H-(3-H)| = |2H-3|$ है।
$H \in \{0, 1, 2, 3\}$ के संभावित मानों के लिए:
यदि $H=0, T=3, X=|0-3|=3$ है।
यदि $H=1, T=2, X=|1-2|=1$ है।
यदि $H=2, T=1, X=|2-1|=1$ है।
यदि $H=3, T=0, X=|3-0|=3$ है।
हमें $P(X=1)$ ज्ञात करना है,जो तब होता है जब $H=1$ या $H=2$ हो।
$H=1$ के लिए परिणाम $\{HTT, THT, TTH\}$ ($3$ परिणाम) हैं।
$H=2$ के लिए परिणाम $\{HHT, HTH, THH\}$ ($3$ परिणाम) हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $= 3 + 3 = 6$ हैं।
अतः,$P(X=1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।
माना $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है। चूँकि $H+T=3$,इसलिए $T=3-H$ है।
निरपेक्ष अंतर $X = |H-T| = |H-(3-H)| = |2H-3|$ है।
$H \in \{0, 1, 2, 3\}$ के संभावित मानों के लिए:
यदि $H=0, T=3, X=|0-3|=3$ है।
यदि $H=1, T=2, X=|1-2|=1$ है।
यदि $H=2, T=1, X=|2-1|=1$ है।
यदि $H=3, T=0, X=|3-0|=3$ है।
हमें $P(X=1)$ ज्ञात करना है,जो तब होता है जब $H=1$ या $H=2$ हो।
$H=1$ के लिए परिणाम $\{HTT, THT, TTH\}$ ($3$ परिणाम) हैं।
$H=2$ के लिए परिणाम $\{HHT, HTH, THH\}$ ($3$ परिणाम) हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $= 3 + 3 = 6$ हैं।
अतः,$P(X=1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।
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MediumMCQ
$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से यादृच्छिक रूप से दो पत्ते निकाले जाते हैं। मान लीजिए $X$ प्राप्त इक्कों की संख्या है। तो $E(X)$ का मान क्या है?
A
$\frac{5}{13}$
B
$\frac{1}{13}$
C
$\frac{2}{13}$
D
$\frac{37}{221}$
Solution
(C) यादृच्छिक चर $X$ प्राप्त इक्कों की संख्या को दर्शाता है,जो $0, 1, 2$ मान ले सकता है।
$52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ हैं।
$0$ इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता: $P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$।
$1$ इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता: $P(X=1) = \frac{^{4}C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$।
$2$ इक्के प्राप्त करने की प्रायिकता: $P(X=2) = \frac{^{4}C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$।
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{188}{221}) + (1 \times \frac{32}{221}) + (2 \times \frac{1}{221}) = \frac{32+2}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13}$।
$52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ हैं।
$0$ इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता: $P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$।
$1$ इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता: $P(X=1) = \frac{^{4}C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$।
$2$ इक्के प्राप्त करने की प्रायिकता: $P(X=2) = \frac{^{4}C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$।
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{188}{221}) + (1 \times \frac{32}{221}) + (2 \times \frac{1}{221}) = \frac{32+2}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13}$।
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MediumMCQ
एक लड़का एक निष्पक्ष सिक्के को $3$ बार उछालता है। यदि उसे $x$ चित (heads) के लिए $₹ 2x$ मिलते हैं,तो उसका अपेक्षित लाभ $₹........$ होगा।
A
$1$
B
$\frac{3}{2}$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) माना $X$ एक निष्पक्ष सिक्के को $3$ बार उछालने पर चितों की संख्या है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3$ हैं।
द्विपद वितरण $B(n=3, p=0.5)$ के अनुसार:
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{3}{8}, P(X=2) = \frac{3}{8}, P(X=3) = \frac{1}{8}$
लाभ $Y = 2X$ है। अपेक्षित लाभ $E[Y] = 2E[X]$ है।
द्विपद वितरण के लिए $E[X] = np = 3 \times 0.5 = 1.5$ है।
अतः,$E[Y] = 2 \times 1.5 = 3$।
द्विपद वितरण $B(n=3, p=0.5)$ के अनुसार:
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{3}{8}, P(X=2) = \frac{3}{8}, P(X=3) = \frac{1}{8}$
लाभ $Y = 2X$ है। अपेक्षित लाभ $E[Y] = 2E[X]$ है।
द्विपद वितरण के लिए $E[X] = np = 3 \times 0.5 = 1.5$ है।
अतः,$E[Y] = 2 \times 1.5 = 3$।
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MediumMCQ
एक सिक्के को तब तक उछाला जाता है जब तक कि एक चित (Head) न आ जाए या लगातार $4$ बार पट (Tail) न आ जाए। उछालों की संख्या $X$ का प्रायिकता बंटन क्या है?
A
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ |
B
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
C
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{2}$ |
D
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
Solution
(D) मान लीजिए $H$ चित है और $T$ पट है। प्रयोग तब रुकता है जब $H$ आता है या $T$ लगातार $4$ बार आता है।
$X=1$ के लिए: परिणाम ${H}$ है। $P(X=1) = \frac{1}{2}$.
$X=2$ के लिए: परिणाम ${TH}$ है। $P(X=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
$X=3$ के लिए: परिणाम ${TTH}$ है। $P(X=3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
$X=4$ के लिए: परिणाम ${TTTH, TTTT}$ हैं। $P(X=4) = (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
अतः,बंटन इस प्रकार है:
$P(X=1) = \frac{1}{2}$,$P(X=2) = \frac{1}{4}$,$P(X=3) = \frac{1}{8}$,$P(X=4) = \frac{1}{8}$.
यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।
$X=1$ के लिए: परिणाम ${H}$ है। $P(X=1) = \frac{1}{2}$.
$X=2$ के लिए: परिणाम ${TH}$ है। $P(X=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
$X=3$ के लिए: परिणाम ${TTH}$ है। $P(X=3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
$X=4$ के लिए: परिणाम ${TTTH, TTTT}$ हैं। $P(X=4) = (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
अतः,बंटन इस प्रकार है:
$P(X=1) = \frac{1}{2}$,$P(X=2) = \frac{1}{4}$,$P(X=3) = \frac{1}{8}$,$P(X=4) = \frac{1}{8}$.
यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।
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MediumMCQ
चार खराब संतरे गलती से सोलह अच्छे संतरों के साथ मिल जाते हैं। मिश्रित लॉट से तीन संतरे निकाले जाते हैं। खराब संतरों का प्रायिकता वितरण क्या है?
A
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x) & \frac{28}{57} & \frac{8}{95} & \frac{8}{19} & \frac{1}{285} \\ \hline \end{array}$
B
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x) & \frac{28}{57} & \frac{8}{19} & \frac{8}{95} & \frac{1}{285} \\ \hline \end{array}$
C
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x) & \frac{28}{57} & \frac{8}{95} & \frac{1}{285} & \frac{8}{19} \\ \hline \end{array}$
D
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x) & \frac{1}{285} & \frac{8}{95} & \frac{8}{19} & \frac{28}{57} \\ \hline \end{array}$
Solution
(B) कुल संतरे = $4 + 16 = 20$ हैं। तीन संतरे निकाले जाते हैं। $20$ में से $3$ संतरे चुनने के तरीके $C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ हैं।
मान लीजिए $X$ खराब संतरों की संख्या है। $X$ का मान $0, 1, 2, 3$ हो सकता है।
$P(X=0) = \frac{C(4,0) \times C(16,3)}{1140} = \frac{1 \times 560}{1140} = \frac{560}{1140} = \frac{28}{57}$.
$P(X=1) = \frac{C(4,1) \times C(16,2)}{1140} = \frac{4 \times 120}{1140} = \frac{480}{1140} = \frac{24}{57} = \frac{8}{19}$.
$P(X=2) = \frac{C(4,2) \times C(16,1)}{1140} = \frac{6 \times 16}{1140} = \frac{96}{1140} = \frac{8}{95}$.
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \times C(16,0)}{1140} = \frac{4 \times 1}{1140} = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ इन मानों से मेल खाता है।
मान लीजिए $X$ खराब संतरों की संख्या है। $X$ का मान $0, 1, 2, 3$ हो सकता है।
$P(X=0) = \frac{C(4,0) \times C(16,3)}{1140} = \frac{1 \times 560}{1140} = \frac{560}{1140} = \frac{28}{57}$.
$P(X=1) = \frac{C(4,1) \times C(16,2)}{1140} = \frac{4 \times 120}{1140} = \frac{480}{1140} = \frac{24}{57} = \frac{8}{19}$.
$P(X=2) = \frac{C(4,2) \times C(16,1)}{1140} = \frac{6 \times 16}{1140} = \frac{96}{1140} = \frac{8}{95}$.
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \times C(16,0)}{1140} = \frac{4 \times 1}{1140} = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ इन मानों से मेल खाता है।
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View Solution110
MediumMCQ
एक डिस्क्रीट रैंडम वेरिएबल $X$ का संचयी वितरण फलन (cumulative distribution function) निम्नलिखित तालिका द्वारा दिया गया है:
तो,$\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)}$ की गणना करें।
| $X = x$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $F(X = x)$ | $0.1$ | $0.3$ | $0.5$ | $0.65$ | $0.75$ | $0.85$ | $0.90$ | $1$ |
तो,$\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)}$ की गणना करें।
A
$1$
B
$2$
C
$0.5$
D
$0.25$
Solution
(B) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $P(X \leqslant x)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दी गई तालिका से,हमारे पास है:
$P(X \leqslant 0) = F(0) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(X > 0) = 1 - P(X \leqslant 0)$.
इसलिए,$P(X > 0) = 1 - 0.5 = 0.5$.
अब,हमें अनुपात $\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)}$ की गणना करनी है।
$\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।
दी गई तालिका से,हमारे पास है:
$P(X \leqslant 0) = F(0) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(X > 0) = 1 - P(X \leqslant 0)$.
इसलिए,$P(X > 0) = 1 - 0.5 = 0.5$.
अब,हमें अनुपात $\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)}$ की गणना करनी है।
$\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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MediumMCQ
एक $n$-फलक वाले निष्पक्ष पासे को तब तक बार-बार उछाला जाता है जब तक कि $n$ से छोटी संख्या प्राप्त न हो जाए। यदि आवश्यक उछालों की संख्या का माध्य $\frac{n}{9}$ है,तो $n=$ (जहाँ $n \in N$ )।
A
$4$
B
$6$
C
$8$
D
$10$
Solution
(D) मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $n$ से छोटी संख्या प्राप्त करने के लिए आवश्यक उछालों की संख्या को दर्शाता है।
यह एक ज्यामितीय वितरण का पालन करता है जहाँ सफलता की प्रायिकता $p$,${1, 2, \dots, n-1}$ में से कोई संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है।
अतः,$p = \frac{n-1}{n}$।
ज्यामितीय वितरण का माध्य $E[X] = \frac{1}{p}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $E[X] = \frac{n}{9}$,इसलिए $\frac{1}{p} = \frac{n}{9}$।
$p = \frac{n-1}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{n}{n-1} = \frac{n}{9}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n \in N$ और $n > 1$,हम $n$ से विभाजित करके $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{9}$ प्राप्त कर सकते हैं।
इसलिए,$n-1 = 9$,जिसका अर्थ है कि $n = 10$।
यह एक ज्यामितीय वितरण का पालन करता है जहाँ सफलता की प्रायिकता $p$,${1, 2, \dots, n-1}$ में से कोई संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है।
अतः,$p = \frac{n-1}{n}$।
ज्यामितीय वितरण का माध्य $E[X] = \frac{1}{p}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $E[X] = \frac{n}{9}$,इसलिए $\frac{1}{p} = \frac{n}{9}$।
$p = \frac{n-1}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{n}{n-1} = \frac{n}{9}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n \in N$ और $n > 1$,हम $n$ से विभाजित करके $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{9}$ प्राप्त कर सकते हैं।
इसलिए,$n-1 = 9$,जिसका अर्थ है कि $n = 10$।
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MediumMCQ
एक निष्पक्ष सिक्के को $2$ बार उछाला जाता है। यदि किसी व्यक्ति को $X$ संख्या में चित (heads) मिलते हैं,तो उसे $₹ X^{3}$ प्राप्त होते हैं। उसका अपेक्षित लाभ $=$ है।
A
$₹ 2.00$
B
$₹ 1.00$
C
$₹ 2.50$
D
$₹ 5.20$
Solution
(C) एक निष्पक्ष सिक्के को $2$ बार उछाला जाता है। प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ है।
मान लीजिए $X$ चितों की संख्या है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
संबंधित प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(X=0) = \frac{1}{4}$
$P(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=2) = \frac{1}{4}$
लाभ $G(X) = X^{3}$ द्वारा दिया गया है।
अपेक्षित लाभ $E[G(X)]$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E[G(X)] = \sum P(X=x) \cdot G(x)$
$E[G(X)] = (P(X=0) \cdot 0^{3}) + (P(X=1) \cdot 1^{3}) + (P(X=2) \cdot 2^{3})$
$E[G(X)] = (\frac{1}{4} \cdot 0) + (\frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{1}{4} \cdot 8)$
$E[G(X)] = 0 + 0.5 + 2 = 2.5$
अतः,अपेक्षित लाभ $₹ 2.50$ है।
मान लीजिए $X$ चितों की संख्या है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
संबंधित प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(X=0) = \frac{1}{4}$
$P(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=2) = \frac{1}{4}$
लाभ $G(X) = X^{3}$ द्वारा दिया गया है।
अपेक्षित लाभ $E[G(X)]$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E[G(X)] = \sum P(X=x) \cdot G(x)$
$E[G(X)] = (P(X=0) \cdot 0^{3}) + (P(X=1) \cdot 1^{3}) + (P(X=2) \cdot 2^{3})$
$E[G(X)] = (\frac{1}{4} \cdot 0) + (\frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{1}{4} \cdot 8)$
$E[G(X)] = 0 + 0.5 + 2 = 2.5$
अतः,अपेक्षित लाभ $₹ 2.50$ है।
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यह ज्ञात है कि $8$ बैटरी के एक बॉक्स में $3$ खराब बैटरी हैं और एक व्यक्ति यादृच्छिक रूप से बॉक्स से दो बैटरी चुनता है। यदि $X$ चुनी गई खराब बैटरी की संख्या है,तो $P(X \leq 1) = $
A
$\frac{25}{28}$
B
$\frac{14}{28}$
C
$\frac{55}{56}$
D
$\frac{13}{28}$
Solution
(A) $8$ में से $2$ बैटरी चुनने के कुल तरीके $^{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ हैं।
माना $X$ खराब बैटरी की संख्या है। खराब बैटरी की संख्या $3$ है और सही बैटरी की संख्या $5$ है।
हमें $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0)$ शून्य खराब और $2$ सही बैटरी चुनने की प्रायिकता है: $P(X=0) = \frac{^{3}C_{0} \times ^{5}C_{2}}{^{8}C_{2}} = \frac{1 \times 10}{28} = \frac{10}{28}$.
$P(X=1)$ एक खराब और एक सही बैटरी चुनने की प्रायिकता है: $P(X=1) = \frac{^{3}C_{1} \times ^{5}C_{1}}{^{8}C_{2}} = \frac{3 \times 5}{28} = \frac{15}{28}$.
अतः,$P(X \leq 1) = \frac{10}{28} + \frac{15}{28} = \frac{25}{28}$.
माना $X$ खराब बैटरी की संख्या है। खराब बैटरी की संख्या $3$ है और सही बैटरी की संख्या $5$ है।
हमें $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0)$ शून्य खराब और $2$ सही बैटरी चुनने की प्रायिकता है: $P(X=0) = \frac{^{3}C_{0} \times ^{5}C_{2}}{^{8}C_{2}} = \frac{1 \times 10}{28} = \frac{10}{28}$.
$P(X=1)$ एक खराब और एक सही बैटरी चुनने की प्रायिकता है: $P(X=1) = \frac{^{3}C_{1} \times ^{5}C_{1}}{^{8}C_{2}} = \frac{3 \times 5}{28} = \frac{15}{28}$.
अतः,$P(X \leq 1) = \frac{10}{28} + \frac{15}{28} = \frac{25}{28}$.
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MediumMCQ
यदि एक यादृच्छिक चर $X$ का p.d.f. $f(x) = \begin{cases} \frac{k}{x^2+1} & , \text{यदि } 0 < x < \infty \\ 0 & , \text{अन्यथा} \end{cases}$ है,तो $X$ का c.d.f. क्या है?
A
$2 \tan^{-1} x$
B
$\frac{\pi}{2} \tan^{-1} x$
C
$\frac{2}{\pi} \tan^{-1} x$
D
$\tan^{-1} x$
Solution
(C) चरण $1$: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ गुणधर्म का उपयोग करके $k$ का मान ज्ञात करें।
चूंकि $f(x) = 0$ है $x \leq 0$ के लिए,हमारे पास $\int_{0}^{\infty} \frac{k}{x^2+1} dx = 1$ है।
चरण $2$: समाकलन का मूल्यांकन करें: $k [\tan^{-1} x]_{0}^{\infty} = 1$.
$k (\frac{\pi}{2} - 0) = 1 \implies k = \frac{2}{\pi}$.
चरण $3$: c.d.f. $F(x)$ को $x > 0$ के लिए $P(X \leq x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{2/\pi}{t^2+1} dt = \frac{2}{\pi} [\tan^{-1} t]_{0}^{x} = \frac{2}{\pi} \tan^{-1} x$.
चूंकि $f(x) = 0$ है $x \leq 0$ के लिए,हमारे पास $\int_{0}^{\infty} \frac{k}{x^2+1} dx = 1$ है।
चरण $2$: समाकलन का मूल्यांकन करें: $k [\tan^{-1} x]_{0}^{\infty} = 1$.
$k (\frac{\pi}{2} - 0) = 1 \implies k = \frac{2}{\pi}$.
चरण $3$: c.d.f. $F(x)$ को $x > 0$ के लिए $P(X \leq x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{2/\pi}{t^2+1} dt = \frac{2}{\pi} [\tan^{-1} t]_{0}^{x} = \frac{2}{\pi} \tan^{-1} x$.
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EasyMCQ
एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण नीचे दी गई तालिका द्वारा दिया गया है:
यदि $a = P(X < 3)$ और $b = P(2 < X < 4)$ है,तो:
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| $P(X=x)$ | $2k$ | $k$ | $2k$ | $4k$ | $k$ |
यदि $a = P(X < 3)$ और $b = P(2 < X < 4)$ है,तो:
A
$a = b$
B
$a > b$
C
$a < b$
D
$a = \frac{1}{2} b$
Solution
(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
अतः,$2k + k + 2k + 4k + k = 1$,जिसका अर्थ है $10k = 1$,इसलिए $k = 0.1$।
अब,$a = P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 2k + k + 2k = 5k = 5(0.1) = 0.5$ की गणना करें।
इसके बाद,$b = P(2 < X < 4) = P(X=3) = 4k = 4(0.1) = 0.4$ की गणना करें।
मानों की तुलना करने पर,$a = 0.5$ और $b = 0.4$,हम देखते हैं कि $a > b$।
अतः,$2k + k + 2k + 4k + k = 1$,जिसका अर्थ है $10k = 1$,इसलिए $k = 0.1$।
अब,$a = P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 2k + k + 2k = 5k = 5(0.1) = 0.5$ की गणना करें।
इसके बाद,$b = P(2 < X < 4) = P(X=3) = 4k = 4(0.1) = 0.4$ की गणना करें।
मानों की तुलना करने पर,$a = 0.5$ और $b = 0.4$,हम देखते हैं कि $a > b$।
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MediumMCQ
एक खेल में,$3$ सिक्के उछाले जाते हैं। यदि किसी व्यक्ति को सभी चित (heads) या सभी पट (tails) मिलते हैं,तो उसे $₹150$ का भुगतान किया जाता है और यदि उसे एक चित या दो चित मिलते हैं,तो उसे $₹50$ का भुगतान करना पड़ता है। प्रति खेल औसतन वह कितने रुपये जीत या हार सकता है?
A
$100$
B
$0$
C
$200$
D
$-100$
Solution
(B) जब $3$ सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
$1$. स्थिति $1$: सभी चित या सभी पट प्राप्त करना।
परिणाम $HHH$ और $TTT$ हैं। ऐसे $2$ परिणाम हैं।
प्रायिकता $P(\text{जीत } ₹150) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$2$. स्थिति $2$: एक चित या दो चित प्राप्त करना।
परिणाम $HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH$ हैं। ऐसे $6$ परिणाम हैं।
प्रायिकता $P(\text{हार } ₹50) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$3$. प्रत्याशित मान $E(X)$:
$E(X) = (150 \times \frac{1}{4}) + (-50 \times \frac{3}{4})$
$E(X) = \frac{150}{4} - \frac{150}{4} = 0$.
अतः,प्रति खेल औसतन वह $₹0$ जीत या हार सकता है।
$1$. स्थिति $1$: सभी चित या सभी पट प्राप्त करना।
परिणाम $HHH$ और $TTT$ हैं। ऐसे $2$ परिणाम हैं।
प्रायिकता $P(\text{जीत } ₹150) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$2$. स्थिति $2$: एक चित या दो चित प्राप्त करना।
परिणाम $HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH$ हैं। ऐसे $6$ परिणाम हैं।
प्रायिकता $P(\text{हार } ₹50) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$3$. प्रत्याशित मान $E(X)$:
$E(X) = (150 \times \frac{1}{4}) + (-50 \times \frac{3}{4})$
$E(X) = \frac{150}{4} - \frac{150}{4} = 0$.
अतः,प्रति खेल औसतन वह $₹0$ जीत या हार सकता है।
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MediumMCQ
मान लीजिए $X$ एक असतत यादृच्छिक चर है। $X$ का प्रायिकता वितरण नीचे दिया गया है:
यदि $E(X) = 4$ है,तो $AB$ का मान किसके बराबर है?
| $X$ | $30$ | $10$ | $-10$ |
| $P(X)$ | $\frac{1}{5}$ | $A$ | $B$ |
यदि $E(X) = 4$ है,तो $AB$ का मान किसके बराबर है?
A
$\frac{3}{10}$
B
$\frac{2}{15}$
C
$\frac{1}{15}$
D
$\frac{3}{20}$
Solution
(D) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\frac{1}{5} + A + B = 1 \implies A + B = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ (समीकरण $1$).
अपेक्षित मान $E(X)$,$\sum X \cdot P(X)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = 30 \cdot (\frac{1}{5}) + 10 \cdot A + (-10) \cdot B = 4$
$6 + 10A - 10B = 4$
$10A - 10B = -2 \implies 5A - 5B = -1$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ से,$B = \frac{4}{5} - A$. इसे समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5A - 5(\frac{4}{5} - A) = -1$
$5A - 4 + 5A = -1$
$10A = 3 \implies A = \frac{3}{10}$.
अब,$B$ ज्ञात करें: $B = \frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8-3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
$AB$ का मान $AB = (\frac{3}{10}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{3}{20}$ है।
$\frac{1}{5} + A + B = 1 \implies A + B = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ (समीकरण $1$).
अपेक्षित मान $E(X)$,$\sum X \cdot P(X)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = 30 \cdot (\frac{1}{5}) + 10 \cdot A + (-10) \cdot B = 4$
$6 + 10A - 10B = 4$
$10A - 10B = -2 \implies 5A - 5B = -1$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ से,$B = \frac{4}{5} - A$. इसे समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5A - 5(\frac{4}{5} - A) = -1$
$5A - 4 + 5A = -1$
$10A = 3 \implies A = \frac{3}{10}$.
अब,$B$ ज्ञात करें: $B = \frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8-3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
$AB$ का मान $AB = (\frac{3}{10}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{3}{20}$ है।
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MediumMCQ
$52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से एक साथ दो पत्ते निकाले जाते हैं। यदि $X$ रानियों (queens) को प्राप्त करने का यादृच्छिक चर है,तो रानियों की संख्या के लिए $2 E(X) + 3 E(X^2)$ का मान क्या है?
A
$\frac{132}{221}$
B
$\frac{108}{221}$
C
$\frac{176}{221}$
D
$\frac{68}{221}$
Solution
(C) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^52C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ हैं।
मान लीजिए $X$ रानियों की संख्या है। $X$ के मान $0, 1, 2$ हो सकते हैं।
$P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$.
$P(X=1) = \frac{^4C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
$P(X=2) = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 + \frac{32}{221} + \frac{2}{221} = \frac{34}{221}$.
$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) = 0 + \frac{32}{221} + \frac{4}{221} = \frac{36}{221}$.
अब,$2 E(X) + 3 E(X^2) = 2 \left(\frac{34}{221}\right) + 3 \left(\frac{36}{221}\right) = \frac{68 + 108}{221} = \frac{176}{221}$.
मान लीजिए $X$ रानियों की संख्या है। $X$ के मान $0, 1, 2$ हो सकते हैं।
$P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$.
$P(X=1) = \frac{^4C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
$P(X=2) = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 + \frac{32}{221} + \frac{2}{221} = \frac{34}{221}$.
$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) = 0 + \frac{32}{221} + \frac{4}{221} = \frac{36}{221}$.
अब,$2 E(X) + 3 E(X^2) = 2 \left(\frac{34}{221}\right) + 3 \left(\frac{36}{221}\right) = \frac{68 + 108}{221} = \frac{176}{221}$.
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MediumMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ मान $0, 1, 2, 3, \dots$ लेता है,जिसकी प्रायिकता $P(X=x) = k(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। तो $P(X=0)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{16}{25}$
B
$\frac{7}{25}$
C
$\frac{19}{25}$
D
$\frac{18}{25}$
Solution
(A) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$.
यह $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x$ के रूप की एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जहाँ $r = \frac{1}{5}$ है।
श्रेणी $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = \frac{1}{(1-r)^2}$ का योग होता है।
$r = \frac{1}{5}$ रखने पर: $\frac{1}{(1 - 1/5)^2} = \frac{1}{(4/5)^2} = \frac{1}{16/25} = \frac{25}{16}$.
इस प्रकार,$k \times \frac{25}{16} = 1$,जिससे $k = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X=0)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = k(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = k \times 1 \times 1 = k$.
अतः,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.
अतः,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$.
यह $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x$ के रूप की एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जहाँ $r = \frac{1}{5}$ है।
श्रेणी $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = \frac{1}{(1-r)^2}$ का योग होता है।
$r = \frac{1}{5}$ रखने पर: $\frac{1}{(1 - 1/5)^2} = \frac{1}{(4/5)^2} = \frac{1}{16/25} = \frac{25}{16}$.
इस प्रकार,$k \times \frac{25}{16} = 1$,जिससे $k = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X=0)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = k(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = k \times 1 \times 1 = k$.
अतः,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.
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MediumMCQ
प्रथम $6$ धनात्मक पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छिक रूप से,बिना प्रतिस्थापन के चुनी जाती हैं। मान लीजिए $X$ दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को दर्शाता है। तो $E(X) = $
A
$\frac{14}{3}$
B
$\frac{3}{14}$
C
$\frac{14}{5}$
D
$\frac{15}{41}$
Solution
(A) $6$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ हैं।
मान लीजिए $X$ दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या है। $X$ के लिए संभावित मान $2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
यदि $X = 2$ है,तो युग्म $(1, 2)$ है,इसलिए $P(X=2) = \frac{1}{15}$।
यदि $X = 3$ है,तो युग्म $(1, 3), (2, 3)$ हैं,इसलिए $P(X=3) = \frac{2}{15}$।
यदि $X = 4$ है,तो युग्म $(1, 4), (2, 4), (3, 4)$ हैं,इसलिए $P(X=4) = \frac{3}{15}$।
यदि $X = 5$ है,तो युग्म $(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5)$ हैं,इसलिए $P(X=5) = \frac{4}{15}$।
यदि $X = 6$ है,तो युग्म $(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)$ हैं,इसलिए $P(X=6) = \frac{5}{15}$।
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x P(X=x) = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15})$।
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$।
मान लीजिए $X$ दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या है। $X$ के लिए संभावित मान $2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
यदि $X = 2$ है,तो युग्म $(1, 2)$ है,इसलिए $P(X=2) = \frac{1}{15}$।
यदि $X = 3$ है,तो युग्म $(1, 3), (2, 3)$ हैं,इसलिए $P(X=3) = \frac{2}{15}$।
यदि $X = 4$ है,तो युग्म $(1, 4), (2, 4), (3, 4)$ हैं,इसलिए $P(X=4) = \frac{3}{15}$।
यदि $X = 5$ है,तो युग्म $(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5)$ हैं,इसलिए $P(X=5) = \frac{4}{15}$।
यदि $X = 6$ है,तो युग्म $(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)$ हैं,इसलिए $P(X=6) = \frac{5}{15}$।
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x P(X=x) = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15})$।
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$।
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MediumMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ प्रायिकताओं के साथ $0, 1, 2, 3, \dots$ मान लेता है $P(X=x) = k(x+1)\left(\frac{1}{2}\right)^x$. यदि $k$ एक स्थिरांक है,तो $P(X=1) = $
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{3}$
C
$\frac{1}{4}$
D
$\frac{1}{8}$
Solution
(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{2}\right)^x = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1$,जहाँ $r = \frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = (1-r)^{-2}$.
$r = \frac{1}{2}$ के लिए,योग $(1 - \frac{1}{2})^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$ है।
इसलिए,$k(4) = 1$,जिससे $k = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $P(X=1)$ ज्ञात करना है।
$P(X=1) = k(1+1)\left(\frac{1}{2}\right)^1 = k(2)(\frac{1}{2}) = k$.
चूंकि $k = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(X=1) = \frac{1}{4}$।
अतः,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{2}\right)^x = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1$,जहाँ $r = \frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = (1-r)^{-2}$.
$r = \frac{1}{2}$ के लिए,योग $(1 - \frac{1}{2})^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$ है।
इसलिए,$k(4) = 1$,जिससे $k = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $P(X=1)$ ज्ञात करना है।
$P(X=1) = k(1+1)\left(\frac{1}{2}\right)^1 = k(2)(\frac{1}{2}) = k$.
चूंकि $k = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(X=1) = \frac{1}{4}$।
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MediumMCQ
$X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:
$p$ के न्यूनतम मान के लिए,$5 E(X)$ का मान ज्ञात कीजिए:
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1+p}{5}$ | $\frac{2-2p}{5}$ | $\frac{2-p}{5}$ | $\frac{2p}{5}$ |
$p$ के न्यूनतम मान के लिए,$5 E(X)$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(B) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\frac{1+p}{5} + \frac{2-2p}{5} + \frac{2-p}{5} + \frac{2p}{5} = 1$
$\frac{1+p+2-2p+2-p+2p}{5} = 1$
$\frac{5}{5} = 1$. यह किसी भी $p$ के लिए हमेशा सत्य है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $P(X=x) \ge 0$,हमारे पास है:
$1+p \ge 0 \implies p \ge -1$
$2-2p \ge 0 \implies p \le 1$
$2-p \ge 0 \implies p \le 2$
$2p \ge 0 \implies p \ge 0$
इन सबको मिलाने पर,$0 \le p \le 1$ प्राप्त होता है। $p$ का न्यूनतम मान $0$ है।
अब,$E(X) = \sum x P(X=x)$ की गणना करें:
$E(X) = 0 \cdot \frac{1+p}{5} + 1 \cdot \frac{2-2p}{5} + 2 \cdot \frac{2-p}{5} + 3 \cdot \frac{2p}{5}$
$E(X) = \frac{2-2p + 4-2p + 6p}{5} = \frac{6+2p}{5}$
$p=0$ के लिए,$E(X) = \frac{6}{5}$।
अतः,$5 E(X) = 5 \cdot \frac{6}{5} = 6$।
$\frac{1+p}{5} + \frac{2-2p}{5} + \frac{2-p}{5} + \frac{2p}{5} = 1$
$\frac{1+p+2-2p+2-p+2p}{5} = 1$
$\frac{5}{5} = 1$. यह किसी भी $p$ के लिए हमेशा सत्य है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $P(X=x) \ge 0$,हमारे पास है:
$1+p \ge 0 \implies p \ge -1$
$2-2p \ge 0 \implies p \le 1$
$2-p \ge 0 \implies p \le 2$
$2p \ge 0 \implies p \ge 0$
इन सबको मिलाने पर,$0 \le p \le 1$ प्राप्त होता है। $p$ का न्यूनतम मान $0$ है।
अब,$E(X) = \sum x P(X=x)$ की गणना करें:
$E(X) = 0 \cdot \frac{1+p}{5} + 1 \cdot \frac{2-2p}{5} + 2 \cdot \frac{2-p}{5} + 3 \cdot \frac{2p}{5}$
$E(X) = \frac{2-2p + 4-2p + 6p}{5} = \frac{6+2p}{5}$
$p=0$ के लिए,$E(X) = \frac{6}{5}$।
अतः,$5 E(X) = 5 \cdot \frac{6}{5} = 6$।
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EasyMCQ
एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का संचयी वितरण फलन (c.d.f.) $F(x)$ निम्नलिखित तालिका द्वारा दिया गया है:
तो,$\frac{P[X=-3]}{P[X < 0]}$ का मान ज्ञात कीजिए।
| $X$ | $-3$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $F(X=x)$ | $0.1$ | $0.3$ | $0.5$ | $0.65$ | $0.75$ | $0.85$ | $0.90$ | $1$ |
तो,$\frac{P[X=-3]}{P[X < 0]}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{4}$
B
$\frac{1}{3}$
C
$\frac{1}{6}$
D
$\frac{1}{7}$
Solution
(B) संचयी वितरण फलन $F(x) = P(X \le x)$ है।
$P[X=-3]$ ज्ञात करने के लिए,हम c.d.f. की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$P[X=-3] = F(-3) = 0.1$.
$P[X < 0]$ ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि $X < 0$ में $X = -3$ और $X = -1$ मान शामिल हैं।
अतः,$P[X < 0] = P(X = -3) + P(X = -1) = F(-1) = 0.3$.
अब,हम आवश्यक अनुपात की गणना करते हैं:
$\frac{P[X=-3]}{P[X < 0]} = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3}$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।
$P[X=-3]$ ज्ञात करने के लिए,हम c.d.f. की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$P[X=-3] = F(-3) = 0.1$.
$P[X < 0]$ ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि $X < 0$ में $X = -3$ और $X = -1$ मान शामिल हैं।
अतः,$P[X < 0] = P(X = -3) + P(X = -1) = F(-1) = 0.3$.
अब,हम आवश्यक अनुपात की गणना करते हैं:
$\frac{P[X=-3]}{P[X < 0]} = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3}$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।
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MediumMCQ
यदि एक यादृच्छिक चर $X$ का p.d.f. $f(x) = \begin{cases} \frac{ax^2}{2} + bx & , \text{यदि } 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ 0 & , \text{अन्यथा} \end{cases}$ है और $f(2) = 2$ है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?
A
$11, -10$
B
$-9, 10$
C
$\frac{1}{6}, \frac{5}{6}$
D
$9, -8$
Solution
(B) प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.) के लिए,वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए।
अतः,$\int_{1}^{3} f(x) dx = 1$.
$f(x) = \frac{ax^2}{2} + bx$ रखने पर:
$\int_{1}^{3} (\frac{ax^2}{2} + bx) dx = [\frac{ax^3}{6} + \frac{bx^2}{2}]_{1}^{3} = 1$.
सीमाओं पर गणना करने पर: $(\frac{27a}{6} + \frac{9b}{2}) - (\frac{a}{6} + \frac{b}{2}) = 1$.
$\frac{26a}{6} + \frac{8b}{2} = 1 \implies \frac{13a}{3} + 4b = 1 \implies 13a + 12b = 3$ (समीकरण $1$).
दिया गया है कि $f(2) = 2$:
$\frac{a(2)^2}{2} + b(2) = 2 \implies 2a + 2b = 2 \implies a + b = 1 \implies b = 1 - a$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$13a + 12(1 - a) = 3$.
$13a + 12 - 12a = 3$.
$a = 3 - 12 = -9$.
$b = 1 - a$ का उपयोग करने पर:
$b = 1 - (-9) = 10$.
अतः,$a = -9$ और $b = 10$.
अतः,$\int_{1}^{3} f(x) dx = 1$.
$f(x) = \frac{ax^2}{2} + bx$ रखने पर:
$\int_{1}^{3} (\frac{ax^2}{2} + bx) dx = [\frac{ax^3}{6} + \frac{bx^2}{2}]_{1}^{3} = 1$.
सीमाओं पर गणना करने पर: $(\frac{27a}{6} + \frac{9b}{2}) - (\frac{a}{6} + \frac{b}{2}) = 1$.
$\frac{26a}{6} + \frac{8b}{2} = 1 \implies \frac{13a}{3} + 4b = 1 \implies 13a + 12b = 3$ (समीकरण $1$).
दिया गया है कि $f(2) = 2$:
$\frac{a(2)^2}{2} + b(2) = 2 \implies 2a + 2b = 2 \implies a + b = 1 \implies b = 1 - a$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$13a + 12(1 - a) = 3$.
$13a + 12 - 12a = 3$.
$a = 3 - 12 = -9$.
$b = 1 - a$ का उपयोग करने पर:
$b = 1 - (-9) = 10$.
अतः,$a = -9$ और $b = 10$.
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MediumMCQ
एक खेल में,एक व्यक्ति $₹ 40$ जीतता है यदि उसे पासे के एक उछाल पर $5$ या $6$ मिलता है और पासे पर कोई अन्य संख्या आने पर $₹ 20$ हार जाता है। यदि वह पासे को तब तक उछालने का निर्णय लेता है जब तक कि उसे $5$ या $6$ न मिल जाए या अधिकतम $3$ उछाल तक,तो उसका अपेक्षित लाभ/हानि (रुपये में) क्या है?
A
$-10$
B
$10$
C
$0$
D
$1$
Solution
(C) मान लीजिए $S$ $5$ या $6$ प्राप्त करने की घटना (सफलता) है और $F$ $1, 2, 3,$ या $4$ प्राप्त करने की घटना (विफलता) है।
सफलता की प्रायिकता $P(S) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
विफलता की प्रायिकता $P(F) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
खेल रुक जाता है यदि उसे $S$ मिलता है या $3$ उछाल के बाद।
संभावित परिणाम:
$1$. पहले उछाल पर सफलता: $S$. प्रायिकता $P_1 = \frac{1}{3}$. लाभ = $₹ 40$.
$2$. दूसरे उछाल पर सफलता: $FS$. प्रायिकता $P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$. लाभ = $40 - 20 = ₹ 20$.
$3$. तीसरे उछाल पर सफलता: $FFS$. प्रायिकता $P_3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$. लाभ = $40 - 20 - 20 = ₹ 0$.
$4$. तीनों उछालों में विफलता: $FFF$. प्रायिकता $P_4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$. लाभ = $-20 - 20 - 20 = -₹ 60$.
अपेक्षित लाभ $E = (40 \times \frac{1}{3}) + (20 \times \frac{2}{9}) + (0 \times \frac{4}{27}) + (-60 \times \frac{8}{27})$.
$E = \frac{40}{3} + \frac{40}{9} + 0 - \frac{480}{27} = \frac{360 + 120 - 480}{27} = \frac{0}{27} = 0$.
सफलता की प्रायिकता $P(S) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
विफलता की प्रायिकता $P(F) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
खेल रुक जाता है यदि उसे $S$ मिलता है या $3$ उछाल के बाद।
संभावित परिणाम:
$1$. पहले उछाल पर सफलता: $S$. प्रायिकता $P_1 = \frac{1}{3}$. लाभ = $₹ 40$.
$2$. दूसरे उछाल पर सफलता: $FS$. प्रायिकता $P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$. लाभ = $40 - 20 = ₹ 20$.
$3$. तीसरे उछाल पर सफलता: $FFS$. प्रायिकता $P_3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$. लाभ = $40 - 20 - 20 = ₹ 0$.
$4$. तीनों उछालों में विफलता: $FFF$. प्रायिकता $P_4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$. लाभ = $-20 - 20 - 20 = -₹ 60$.
अपेक्षित लाभ $E = (40 \times \frac{1}{3}) + (20 \times \frac{2}{9}) + (0 \times \frac{4}{27}) + (-60 \times \frac{8}{27})$.
$E = \frac{40}{3} + \frac{40}{9} + 0 - \frac{480}{27} = \frac{360 + 120 - 480}{27} = \frac{0}{27} = 0$.
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MediumMCQ
माना कि नीचे दी गई तालिका द्वारा दिए गए प्रायिकता वितरण का माध्य और मानक विचलन क्रमशः $\mu$ और $\sigma$ हैं। यदि $\sigma - \mu = 2$ है,तो $\sigma$ का मान ज्ञात कीजिए।
| $X=x$ | $-3$ | $0$ | $1$ | $\alpha$ |
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{4}$ | $K$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{3}$ |
A
$\frac{3}{2}$
B
$\frac{5}{2}$
C
$\frac{7}{2}$
D
$\frac{9}{2}$
Solution
(B) $1$. प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। अतः,$\frac{1}{4} + K + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + K = 1 \implies \frac{5}{6} + K = 1 \implies K = \frac{1}{6}$.
$2$. माध्य $\mu = \sum x_i P(x_i) = (-3)(\frac{1}{4}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{4}) + (\alpha)(\frac{1}{3}) = -\frac{3}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{\alpha}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{3}$.
$3$. प्रसरण $\sigma^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2$.
$\sum x_i^2 P(x_i) = (-3)^2(\frac{1}{4}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{4}) + (\alpha)^2(\frac{1}{3}) = \frac{9}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{\alpha^2}{3} = \frac{5}{2} + \frac{\alpha^2}{3}$.
$4$. दिया गया है कि $\sigma - \mu = 2$,अतः $\sigma = \mu + 2$. इस मान को $\sigma^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\mu + 2)^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2 \implies \mu^2 + 4\mu + 4 = \frac{5}{2} + \frac{\alpha^2}{3} - \mu^2$.
$5$. $\mu = -\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{3}$ को समीकरण में रखकर $\alpha$ के लिए हल करने पर $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।
$6$. अतः $\mu = -\frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{2}$.
$7$. अंत में,$\sigma = \mu + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + K = 1 \implies \frac{5}{6} + K = 1 \implies K = \frac{1}{6}$.
$2$. माध्य $\mu = \sum x_i P(x_i) = (-3)(\frac{1}{4}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{4}) + (\alpha)(\frac{1}{3}) = -\frac{3}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{\alpha}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{3}$.
$3$. प्रसरण $\sigma^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2$.
$\sum x_i^2 P(x_i) = (-3)^2(\frac{1}{4}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{4}) + (\alpha)^2(\frac{1}{3}) = \frac{9}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{\alpha^2}{3} = \frac{5}{2} + \frac{\alpha^2}{3}$.
$4$. दिया गया है कि $\sigma - \mu = 2$,अतः $\sigma = \mu + 2$. इस मान को $\sigma^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\mu + 2)^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2 \implies \mu^2 + 4\mu + 4 = \frac{5}{2} + \frac{\alpha^2}{3} - \mu^2$.
$5$. $\mu = -\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{3}$ को समीकरण में रखकर $\alpha$ के लिए हल करने पर $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।
$6$. अतः $\mu = -\frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{2}$.
$7$. अंत में,$\sigma = \mu + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.
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MediumMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण नीचे दिया गया है:
तो $X$ का प्रसरण (variance) ज्ञात कीजिए।
| $X=x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0.4$ | $0.3$ | $0.1$ | $0.1$ | $0.1$ |
तो $X$ का प्रसरण (variance) ज्ञात कीजिए।
A
$1.76$
B
$2.45$
C
$3.2$
D
$4.0$
Solution
(A) यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.1) + (3 \times 0.1) + (4 \times 0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$.
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ है।
$E(X^2) = (0^2 \times 0.4) + (1^2 \times 0.3) + (2^2 \times 0.1) + (3^2 \times 0.1) + (4^2 \times 0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$.
$X$ का प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
$Var(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$Var(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$.
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.1) + (3 \times 0.1) + (4 \times 0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$.
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ है।
$E(X^2) = (0^2 \times 0.4) + (1^2 \times 0.3) + (2^2 \times 0.1) + (3^2 \times 0.1) + (4^2 \times 0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$.
$X$ का प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
$Var(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$Var(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$.
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MediumMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.) निम्नलिखित है:
$f(x) = kx(1-x), 0 \leqslant x \leqslant 1$
यदि $P(X > a) = \frac{20}{27}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
$f(x) = kx(1-x), 0 \leqslant x \leqslant 1$
यदि $P(X > a) = \frac{20}{27}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{3}$
B
$\frac{2}{3}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$\frac{1}{4}$
Solution
(A) चरण $1$: $\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$ गुणधर्म का उपयोग करके $k$ का मान ज्ञात करें।
$\int_{0}^{1} k(x - x^2) dx = k [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = k(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = k(\frac{1}{6}) = 1 \implies k = 6$.
चरण $2$: शर्त $P(X > a) = \frac{20}{27}$ का उपयोग करें।
$P(X > a) = \int_{a}^{1} 6(x - x^2) dx = \frac{20}{27}$.
$6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{a}^{1} = \frac{20}{27}$.
$6 [(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{a^2}{2} - \frac{a^3}{3})] = \frac{20}{27}$.
$6 [\frac{1}{6} - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{3}] = \frac{20}{27}$.
$1 - 3a^2 + 2a^3 = \frac{20}{27}$.
$2a^3 - 3a^2 + 1 - \frac{20}{27} = 0 \implies 2a^3 - 3a^2 + \frac{7}{27} = 0$.
$54a^3 - 81a^2 + 7 = 0$.
$a = \frac{1}{3}$ रखने पर: $54(\frac{1}{27}) - 81(\frac{1}{9}) + 7 = 2 - 9 + 7 = 0$.
अतः,$a = \frac{1}{3}$ सही उत्तर है।
$\int_{0}^{1} k(x - x^2) dx = k [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = k(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = k(\frac{1}{6}) = 1 \implies k = 6$.
चरण $2$: शर्त $P(X > a) = \frac{20}{27}$ का उपयोग करें।
$P(X > a) = \int_{a}^{1} 6(x - x^2) dx = \frac{20}{27}$.
$6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{a}^{1} = \frac{20}{27}$.
$6 [(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{a^2}{2} - \frac{a^3}{3})] = \frac{20}{27}$.
$6 [\frac{1}{6} - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{3}] = \frac{20}{27}$.
$1 - 3a^2 + 2a^3 = \frac{20}{27}$.
$2a^3 - 3a^2 + 1 - \frac{20}{27} = 0 \implies 2a^3 - 3a^2 + \frac{7}{27} = 0$.
$54a^3 - 81a^2 + 7 = 0$.
$a = \frac{1}{3}$ रखने पर: $54(\frac{1}{27}) - 81(\frac{1}{9}) + 7 = 2 - 9 + 7 = 0$.
अतः,$a = \frac{1}{3}$ सही उत्तर है।
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MediumMCQ
यदि एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:
तो $P(X \geqslant 6) = $
| $X=x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $P(X=x)$ | $0$ | $k$ | $2k$ | $2k$ | $3k$ | $k^2$ | $2k^2$ | $7k^2+k$ |
तो $P(X \geqslant 6) = $
A
$\frac{19}{100}$
B
$\frac{81}{100}$
C
$\frac{9}{100}$
D
$\frac{91}{100}$
Solution
(A) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $k > 0$,इसलिए $k = \frac{1}{10}$ है।
हमें $P(X \geqslant 6) = P(X=6) + P(X=7)$ ज्ञात करना है।
$P(X=6) = 2k^2 = 2(\frac{1}{10})^2 = \frac{2}{100}$.
$P(X=7) = 7k^2 + k = 7(\frac{1}{10})^2 + \frac{1}{10} = \frac{7}{100} + \frac{10}{100} = \frac{17}{100}$.
अतः,$P(X \geqslant 6) = \frac{2}{100} + \frac{17}{100} = \frac{19}{100}$.
$\sum P(X=x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $k > 0$,इसलिए $k = \frac{1}{10}$ है।
हमें $P(X \geqslant 6) = P(X=6) + P(X=7)$ ज्ञात करना है।
$P(X=6) = 2k^2 = 2(\frac{1}{10})^2 = \frac{2}{100}$.
$P(X=7) = 7k^2 + k = 7(\frac{1}{10})^2 + \frac{1}{10} = \frac{7}{100} + \frac{10}{100} = \frac{17}{100}$.
अतः,$P(X \geqslant 6) = \frac{2}{100} + \frac{17}{100} = \frac{19}{100}$.
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MediumMCQ
मान लीजिए $X$ रविवार को आपके द्वारा अध्ययन किए गए घंटों की संख्या को दर्शाता है। यह ज्ञात है कि $P(X=x) = \begin{cases} 0.1 & \text{यदि } x=0 \\ kx & \text{यदि } x=1, 2 \\ k(5-x) & \text{यदि } x=3, 4 \\ 0 & \text{अन्यथा} \end{cases}$ जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। तो रविवार को आपके कम से कम दो घंटे अध्ययन करने की प्रायिकता है
A
$0.55$
B
$0.15$
C
$0.75$
D
$0.3$
Solution
(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए। अतः,$\sum P(X=x) = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$.
$0.1 + k(1) + k(2) + k(5-3) + k(5-4) = 1$.
$0.1 + k + 2k + 2k + k = 1$.
$0.1 + 6k = 1$.
$6k = 0.9$,इसलिए $k = 0.15$.
हमें रविवार को कम से कम दो घंटे अध्ययन करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$ है।
$P(X=2) = k(2) = 2(0.15) = 0.3$.
$P(X=3) = k(5-3) = 2(0.15) = 0.3$.
$P(X=4) = k(5-4) = 1(0.15) = 0.15$.
$P(X \ge 2) = 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.75$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$.
$0.1 + k(1) + k(2) + k(5-3) + k(5-4) = 1$.
$0.1 + k + 2k + 2k + k = 1$.
$0.1 + 6k = 1$.
$6k = 0.9$,इसलिए $k = 0.15$.
हमें रविवार को कम से कम दो घंटे अध्ययन करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$ है।
$P(X=2) = k(2) = 2(0.15) = 0.3$.
$P(X=3) = k(5-3) = 2(0.15) = 0.3$.
$P(X=4) = k(5-4) = 1(0.15) = 0.15$.
$P(X \ge 2) = 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.75$.
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EasyMCQ
प्रायिकता वितरण पर विचार करें
$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|} \hline X=x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X=x) & K & 2K & K^2 & 2K & 5K^2 \\ \hline \end{array}$
तो $P(X > 2)$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|} \hline X=x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X=x) & K & 2K & K^2 & 2K & 5K^2 \\ \hline \end{array}$
तो $P(X > 2)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{7}{12}$
B
$\frac{1}{36}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$\frac{23}{36}$
Solution
(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$\sum P(X=x) = K + 2K + K^2 + 2K + 5K^2 = 1$.
समान पदों को जोड़ने पर,हमें $6K^2 + 5K - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(6K - 1)(K + 1) = 0$.
इससे $K = \frac{1}{6}$ या $K = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $K = \frac{1}{6}$ लेना होगा।
हमें $P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ज्ञात करना है।
$P(X > 2) = K^2 + 2K + 5K^2 = 6K^2 + 2K$.
$K = \frac{1}{6}$ रखने पर: $P(X > 2) = 6(\frac{1}{6})^2 + 2(\frac{1}{6}) = 6(\frac{1}{36}) + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\sum P(X=x) = K + 2K + K^2 + 2K + 5K^2 = 1$.
समान पदों को जोड़ने पर,हमें $6K^2 + 5K - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(6K - 1)(K + 1) = 0$.
इससे $K = \frac{1}{6}$ या $K = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $K = \frac{1}{6}$ लेना होगा।
हमें $P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ज्ञात करना है।
$P(X > 2) = K^2 + 2K + 5K^2 = 6K^2 + 2K$.
$K = \frac{1}{6}$ रखने पर: $P(X > 2) = 6(\frac{1}{6})^2 + 2(\frac{1}{6}) = 6(\frac{1}{36}) + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
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MediumMCQ
एक खिलाड़ी दो सिक्के उछालता है। यदि $2$ चित आते हैं तो वह $Rs. 10$ जीतता है,यदि एक चित आता है तो $Rs. 5$ जीतता है और यदि कोई चित नहीं आता है तो $Rs. 2$ जीतता है। तो जीती गई राशि का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
A
$38.5$
B
$5.5$
C
$8.25$
D
$44$
Solution
(C) माना $X$ जीती गई राशि को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। दो सिक्कों को उछालने के संभावित परिणाम ${HH, HT, TH, TT}$ हैं।
$1$. यदि $2$ चित आते हैं $(HH)$,तो $X = 10$. प्रायिकता $P(X=10) = \frac{1}{4}$.
$2$. यदि $1$ चित आता है $(HT, TH)$,तो $X = 5$. प्रायिकता $P(X=5) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$3$. यदि $0$ चित आते हैं $(TT)$,तो $X = 2$. प्रायिकता $P(X=2) = \frac{1}{4}$.
माध्य $E(X) = \sum x_i p_i = (10 \times \frac{1}{4}) + (5 \times \frac{1}{2}) + (2 \times \frac{1}{4}) = 2.5 + 2.5 + 0.5 = 5.5$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (10^2 \times \frac{1}{4}) + (5^2 \times \frac{1}{2}) + (2^2 \times \frac{1}{4}) = (100 \times 0.25) + (25 \times 0.5) + (4 \times 0.25) = 25 + 12.5 + 1 = 38.5$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 38.5 - (5.5)^2 = 38.5 - 30.25 = 8.25$.
$1$. यदि $2$ चित आते हैं $(HH)$,तो $X = 10$. प्रायिकता $P(X=10) = \frac{1}{4}$.
$2$. यदि $1$ चित आता है $(HT, TH)$,तो $X = 5$. प्रायिकता $P(X=5) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$3$. यदि $0$ चित आते हैं $(TT)$,तो $X = 2$. प्रायिकता $P(X=2) = \frac{1}{4}$.
माध्य $E(X) = \sum x_i p_i = (10 \times \frac{1}{4}) + (5 \times \frac{1}{2}) + (2 \times \frac{1}{4}) = 2.5 + 2.5 + 0.5 = 5.5$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (10^2 \times \frac{1}{4}) + (5^2 \times \frac{1}{2}) + (2^2 \times \frac{1}{4}) = (100 \times 0.25) + (25 \times 0.5) + (4 \times 0.25) = 25 + 12.5 + 1 = 38.5$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 38.5 - (5.5)^2 = 38.5 - 30.25 = 8.25$.
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EasyMCQ
एक सतत यादृच्छिक चर $X$ का p.d.f. निम्नलिखित है: $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{8} & , \text{यदि } 0 < x < 4 \\ 0 & , \text{अन्यथा} \end{cases}$
तो $F(0.5)$,$F(1.7)$ और $F(5)$ क्रमशः क्या होंगे?
तो $F(0.5)$,$F(1.7)$ और $F(5)$ क्रमशः क्या होंगे?
A
$\frac{1}{64}, 1, 0.18$
B
$0.0156, 0.18, 1$
C
$0.18, 0.0156, 1$
D
$1, 0.0156, 0.18$
Solution
(B) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$0 < x < 4$ के लिए,$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{8} \, dt = \left[ \frac{t^2}{16} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{16}$.
$x \le 0$ के लिए,$F(x) = 0$.
$x \ge 4$ के लिए,$F(x) = 1$.
मानों की गणना:
$F(0.5) = \frac{(0.5)^2}{16} = \frac{0.25}{16} = 0.015625 \approx 0.0156$.
$F(1.7) = \frac{(1.7)^2}{16} = \frac{2.89}{16} = 0.180625 \approx 0.18$.
$F(5) = 1$ (चूंकि $5 \ge 4$).
अतः,मान $0.0156, 0.18, 1$ हैं।
$0 < x < 4$ के लिए,$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{8} \, dt = \left[ \frac{t^2}{16} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{16}$.
$x \le 0$ के लिए,$F(x) = 0$.
$x \ge 4$ के लिए,$F(x) = 1$.
मानों की गणना:
$F(0.5) = \frac{(0.5)^2}{16} = \frac{0.25}{16} = 0.015625 \approx 0.0156$.
$F(1.7) = \frac{(1.7)^2}{16} = \frac{2.89}{16} = 0.180625 \approx 0.18$.
$F(5) = 1$ (चूंकि $5 \ge 4$).
अतः,मान $0.0156, 0.18, 1$ हैं।
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MediumMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:
$X$ का माध्य और मानक विचलन क्रमशः हैं:
| $X=x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| $P(X=x)$ | $0.1$ | $0.2$ | $0.3$ | $0.4$ |
$X$ का माध्य और मानक विचलन क्रमशः हैं:
A
$2$ और $3$
B
$3$ और $1$
C
$3$ और $\sqrt{2}$
D
$2$ और $1$
Solution
(B) माध्य $E(X)$ की गणना $\sum x_i P(x_i) = (1 \times 0.1) + (2 \times 0.2) + (3 \times 0.3) + (4 \times 0.4) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0$ के रूप में की जाती है।
प्रसरण $Var(X)$ की गणना $E(X^2) - [E(X)]^2$ के रूप में की जाती है।
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times 0.1) + (2^2 \times 0.2) + (3^2 \times 0.3) + (4^2 \times 0.4) = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 6.4 = 10.0$।
$Var(X) = 10.0 - (3.0)^2 = 10.0 - 9.0 = 1.0$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1.0} = 1.0$।
अतः,माध्य $3$ है और मानक विचलन $1$ है।
प्रसरण $Var(X)$ की गणना $E(X^2) - [E(X)]^2$ के रूप में की जाती है।
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times 0.1) + (2^2 \times 0.2) + (3^2 \times 0.3) + (4^2 \times 0.4) = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 6.4 = 10.0$।
$Var(X) = 10.0 - (3.0)^2 = 10.0 - 9.0 = 1.0$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1.0} = 1.0$।
अतः,माध्य $3$ है और मानक विचलन $1$ है।
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EasyMCQ
एक बैठक में,$70 \%$ सदस्य एक प्रस्ताव के पक्ष में हैं और $30 \%$ विरोध में हैं। एक सदस्य को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यदि वह प्रस्ताव का विरोध करता है तो हम $X=0$ लेते हैं और यदि सदस्य पक्ष में है तो $X=1$ लेते हैं। तो $X$ का प्रसरण (variance) है:
A
$0.21$
B
$0.23$
C
$0.25$
D
$0.27$
Solution
(A) दिया गया है कि $70 \%$ सदस्य प्रस्ताव के पक्ष में हैं,इसलिए प्रायिकता $P(X=1) = 0.70$ है।
चूंकि $30 \%$ सदस्य विरोध में हैं,इसलिए प्रायिकता $P(X=0) = 0.30$ है।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times 0.30) + (1 \times 0.70) = 0.70$ है।
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times 0.30) + (1^2 \times 0.70) = 0.70$ है।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.70 - (0.70)^2 = 0.70 - 0.49 = 0.21$ है।
चूंकि $30 \%$ सदस्य विरोध में हैं,इसलिए प्रायिकता $P(X=0) = 0.30$ है।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times 0.30) + (1 \times 0.70) = 0.70$ है।
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times 0.30) + (1^2 \times 0.70) = 0.70$ है।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.70 - (0.70)^2 = 0.70 - 0.49 = 0.21$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित प्रायिकता वितरण के लिए,यादृच्छिक चर $X$ का मानक विचलन ज्ञात कीजिए:
| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $0.2$ | $0.5$ | $0.3$ |
A
$0.66$
B
$0.7$
C
$0.5$
D
$0.49$
Solution
(B) यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = (2 \times 0.2) + (3 \times 0.5) + (4 \times 0.3) = 0.4 + 1.5 + 1.2 = 3.1$.
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ है।
$E(X^2) = (2^2 \times 0.2) + (3^2 \times 0.5) + (4^2 \times 0.3) = (4 \times 0.2) + (9 \times 0.5) + (16 \times 0.3) = 0.8 + 4.5 + 4.8 = 10.1$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ है।
$Var(X) = 10.1 - (3.1)^2 = 10.1 - 9.61 = 0.49$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.49} = 0.7$ है।
$E(X) = (2 \times 0.2) + (3 \times 0.5) + (4 \times 0.3) = 0.4 + 1.5 + 1.2 = 3.1$.
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ है।
$E(X^2) = (2^2 \times 0.2) + (3^2 \times 0.5) + (4^2 \times 0.3) = (4 \times 0.2) + (9 \times 0.5) + (16 \times 0.3) = 0.8 + 4.5 + 4.8 = 10.1$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ है।
$Var(X) = 10.1 - (3.1)^2 = 10.1 - 9.61 = 0.49$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.49} = 0.7$ है।
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MediumMCQ
एक छात्र यादृच्छिक रूप से चुने गए स्कूल के दिन के दौरान $X$ घंटे पढ़ाई करता है। $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित रूप में दिया गया है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है:
$P(X=x) = \begin{cases} 0.2, & \text{यदि } x=0 \\ kx, & \text{यदि } x=1 \text{ या } 2 \\ k(6-x), & \text{यदि } x=3 \text{ या } 4 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
इस बात की प्रायिकता क्या है कि छात्र अधिकतम दो घंटे पढ़ाई करता है?
$P(X=x) = \begin{cases} 0.2, & \text{यदि } x=0 \\ kx, & \text{यदि } x=1 \text{ या } 2 \\ k(6-x), & \text{यदि } x=3 \text{ या } 4 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
इस बात की प्रायिकता क्या है कि छात्र अधिकतम दो घंटे पढ़ाई करता है?
A
$0.1$
B
$0.5$
C
$0.3$
D
$0.7$
Solution
(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = 1$
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$
$0.2 + k(1) + k(2) + k(6-3) + k(6-4) = 1$
$0.2 + k + 2k + 3k + 2k = 1$
$0.2 + 8k = 1$
$8k = 0.8$
$k = 0.1$
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि छात्र अधिकतम दो घंटे पढ़ाई करता है,जो $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
$P(X \le 2) = 0.2 + k(1) + k(2) = 0.2 + 3k$
$k = 0.1$ रखने पर:
$P(X \le 2) = 0.2 + 3(0.1) = 0.2 + 0.3 = 0.5$.
$\sum P(X=x) = 1$
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$
$0.2 + k(1) + k(2) + k(6-3) + k(6-4) = 1$
$0.2 + k + 2k + 3k + 2k = 1$
$0.2 + 8k = 1$
$8k = 0.8$
$k = 0.1$
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि छात्र अधिकतम दो घंटे पढ़ाई करता है,जो $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
$P(X \le 2) = 0.2 + k(1) + k(2) = 0.2 + 3k$
$k = 0.1$ रखने पर:
$P(X \le 2) = 0.2 + 3(0.1) = 0.2 + 0.3 = 0.5$.
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EasyMCQ
एक सतत यादृच्छिक चर $X$ का p.d.f. $f(x)=\begin{cases} \frac{x^2}{18} & \text{यदि } -3 < x < 3 \\ 0 & \text{अन्यथा} \end{cases}$ है। तो $P[|X| < 2]=$
A
$\frac{1}{27}$
B
$\frac{2}{13}$
C
$\frac{8}{27}$
D
$\frac{4}{27}$
Solution
(C) यहाँ हमें प्रायिकता घनत्व फलन $f(x) = \frac{x^2}{18}$ दिया गया है,जहाँ $-3 < x < 3$ है।
हमें $P[|X| < 2]$ ज्ञात करना है।
प्रतिबंध $|X| < 2$ का अर्थ $-2 < x < 2$ है।
अतः,$P[|X| < 2] = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx$.
$P[|X| < 2] = \int_{-2}^{2} \frac{x^2}{18} \, dx$.
चूँकि फलन सम है,$P[|X| < 2] = 2 \int_{0}^{2} \frac{x^2}{18} \, dx$.
$P[|X| < 2] = 2 \times \frac{1}{18} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$P[|X| < 2] = \frac{1}{9} \left( \frac{2^3}{3} - 0 \right)$.
$P[|X| < 2] = \frac{1}{9} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{27}$.
हमें $P[|X| < 2]$ ज्ञात करना है।
प्रतिबंध $|X| < 2$ का अर्थ $-2 < x < 2$ है।
अतः,$P[|X| < 2] = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx$.
$P[|X| < 2] = \int_{-2}^{2} \frac{x^2}{18} \, dx$.
चूँकि फलन सम है,$P[|X| < 2] = 2 \int_{0}^{2} \frac{x^2}{18} \, dx$.
$P[|X| < 2] = 2 \times \frac{1}{18} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$P[|X| < 2] = \frac{1}{9} \left( \frac{2^3}{3} - 0 \right)$.
$P[|X| < 2] = \frac{1}{9} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{27}$.
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DifficultMCQ
यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ मान $0, 1, 2, 3, \ldots$ लेता है,जिसकी प्रायिकता $P(X=x) = k(x+1) 5^{-x}$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है,तो $P(X=0)$ का मान क्या है?
A
$\frac{7}{25}$
B
$\frac{16}{25}$
C
$\frac{18}{25}$
D
$\frac{19}{25}$
Solution
(B) दिया गया है कि $P(X=x) = k(x+1) 5^{-x}$ जहाँ $x = 0, 1, 2, 3, \ldots$ है।
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$ होगा।
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) (\frac{1}{5})^x = 1$।
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसका रूप $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1) r^x$ है,जहाँ $r = \frac{1}{5}$ है।
इस श्रेणी का योग $\frac{1}{(1-r)^2}$ होता है।
अतः,$k \times \frac{1}{(1 - \frac{1}{5})^2} = 1$।
$k \times \frac{1}{(\frac{4}{5})^2} = 1$।
$k \times \frac{25}{16} = 1$,जिससे हमें $k = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
अब,$P(X=0) = k(0+1) 5^{-0} = k(1)(1) = k$।
अतः,$P(X=0) = \frac{16}{25}$।
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$ होगा।
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) (\frac{1}{5})^x = 1$।
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसका रूप $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1) r^x$ है,जहाँ $r = \frac{1}{5}$ है।
इस श्रेणी का योग $\frac{1}{(1-r)^2}$ होता है।
अतः,$k \times \frac{1}{(1 - \frac{1}{5})^2} = 1$।
$k \times \frac{1}{(\frac{4}{5})^2} = 1$।
$k \times \frac{25}{16} = 1$,जिससे हमें $k = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
अब,$P(X=0) = k(0+1) 5^{-0} = k(1)(1) = k$।
अतः,$P(X=0) = \frac{16}{25}$।
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EasyMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:
$X$: $1, 2, 3, 4$
$P(X)$: $0.2, 0.4, 0.3, 0.1$
$X$ का माध्य और प्रसरण क्रमशः क्या हैं?
$X$: $1, 2, 3, 4$
$P(X)$: $0.2, 0.4, 0.3, 0.1$
$X$ का माध्य और प्रसरण क्रमशः क्या हैं?
A
$2.3$ और $6.1$
B
$2.3$ और $0.81$
C
$2.3$ और $0.1$
D
$2.3$ और $0.9$
Solution
(B) माध्य $E(X)$ की गणना इस प्रकार है:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) = 1(0.2) + 2(0.4) + 3(0.3) + 4(0.1) = 0.2 + 0.8 + 0.9 + 0.4 = 2.3$
प्रसरण $\operatorname{Var}(X)$ की गणना इस प्रकार है:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i) = 1^2(0.2) + 2^2(0.4) + 3^2(0.3) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0.2 + 1.6 + 2.7 + 1.6 = 6.1$
$\operatorname{Var}(X) = 6.1 - (2.3)^2 = 6.1 - 5.29 = 0.81$
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) = 1(0.2) + 2(0.4) + 3(0.3) + 4(0.1) = 0.2 + 0.8 + 0.9 + 0.4 = 2.3$
प्रसरण $\operatorname{Var}(X)$ की गणना इस प्रकार है:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i) = 1^2(0.2) + 2^2(0.4) + 3^2(0.3) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0.2 + 1.6 + 2.7 + 1.6 = 6.1$
$\operatorname{Var}(X) = 6.1 - (2.3)^2 = 6.1 - 5.29 = 0.81$
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EasyMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण नीचे दिया गया है:
तो $X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
| $X = x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $0.4$ | $0.3$ | $0.1$ | $0.1$ | $0.1$ |
तो $X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
A
$1.76$
B
$2.45$
C
$3.2$
D
$4.8$
Solution
(A) अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0(0.4) + 1(0.3) + 2(0.1) + 3(0.1) + 4(0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$
यादृच्छिक चर के वर्ग का अपेक्षित मान $E(X^2)$ है:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2(0.4) + 1^2(0.3) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0(0.4) + 1(0.3) + 4(0.1) + 9(0.1) + 16(0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$
$X$ का प्रसरण इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0(0.4) + 1(0.3) + 2(0.1) + 3(0.1) + 4(0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$
यादृच्छिक चर के वर्ग का अपेक्षित मान $E(X^2)$ है:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2(0.4) + 1^2(0.3) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0(0.4) + 1(0.3) + 4(0.1) + 9(0.1) + 16(0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$
$X$ का प्रसरण इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$
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EasyMCQ
एक व्यक्ति एक निष्पक्ष पासा फेंकता है। यदि दिखाई गई संख्या सम है,तो वह दिखाई गई संख्या के बराबर राशि प्राप्त करता है। यदि संख्या विषम है,तो वह दिखाई गई संख्या के बराबर राशि खो देता है। तो उसकी प्रत्याशा (expectation) ₹ में है।
A
$1$
B
$1.5$
C
$2$
D
$0.5$
Solution
(D) माना यादृच्छिक चर $X$ लाभ या हानि को दर्शाता है।
जब एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं,जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ होती है।
यदि संख्या सम है,तो लाभ दिखाई गई संख्या के बराबर है $(X = x)$।
यदि संख्या विषम है,तो हानि दिखाई गई संख्या के बराबर है $(X = -x)$।
$X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
प्रत्याशा $E(X)$ को $\sum x \cdot P(X=x)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = (-1) \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + (-3) \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + (-5) \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$
$E(X) = \frac{-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6}{6}$
$E(X) = \frac{3}{6} = 0.5$
अतः,प्रत्याशा ₹ $0.5$ है।
जब एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं,जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ होती है।
यदि संख्या सम है,तो लाभ दिखाई गई संख्या के बराबर है $(X = x)$।
यदि संख्या विषम है,तो हानि दिखाई गई संख्या के बराबर है $(X = -x)$।
$X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X = x$ | $-1$ | $2$ | $-3$ | $4$ | $-5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X = x)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
प्रत्याशा $E(X)$ को $\sum x \cdot P(X=x)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = (-1) \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + (-3) \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + (-5) \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$
$E(X) = \frac{-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6}{6}$
$E(X) = \frac{3}{6} = 0.5$
अतः,प्रत्याशा ₹ $0.5$ है।
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EasyMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए और $P(3 < X \leq 6)$ का मान ज्ञात कीजिए।
| $X = x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(x)$ | $k$ | $2k$ | $3k$ | $4k$ | $4k$ | $3k$ | $2k$ | $k$ | $k$ |
A
$\frac{1}{20}, \frac{3}{7}$
B
$\frac{5}{21}, \frac{3}{7}$
C
$\frac{1}{21}, \frac{3}{7}$
D
$\frac{1}{20}, \frac{4}{7}$
Solution
(C) चूंकि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\sum_{x=0}^{8} P(X=x) = 1$
$\Rightarrow k + 2k + 3k + 4k + 4k + 3k + 2k + k + k = 1$
$\Rightarrow 21k = 1$
$\Rightarrow k = \frac{1}{21}$
अब,हमें $P(3 < X \leq 6)$ ज्ञात करना है। इसमें $X = 4, 5, 6$ मान शामिल हैं।
$\therefore P(3 < X \leq 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$
$= 4k + 3k + 2k = 9k$
$k = \frac{1}{21}$ रखने पर:
$= 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$
अतः,$k = \frac{1}{21}$ और $P(3 < X \leq 6) = \frac{3}{7}$.
$\sum_{x=0}^{8} P(X=x) = 1$
$\Rightarrow k + 2k + 3k + 4k + 4k + 3k + 2k + k + k = 1$
$\Rightarrow 21k = 1$
$\Rightarrow k = \frac{1}{21}$
अब,हमें $P(3 < X \leq 6)$ ज्ञात करना है। इसमें $X = 4, 5, 6$ मान शामिल हैं।
$\therefore P(3 < X \leq 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$
$= 4k + 3k + 2k = 9k$
$k = \frac{1}{21}$ रखने पर:
$= 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$
अतः,$k = \frac{1}{21}$ और $P(3 < X \leq 6) = \frac{3}{7}$.
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EasyMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:
तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए:
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $0$ | $2p$ | $2p$ | $3p$ | $p^2$ | $2p^2$ | $7p^2$ | $2p$ |
तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$\frac{1}{10}$
B
$\frac{1}{30}$
C
$\frac{1}{100}$
D
$\frac{3}{20}$
Solution
(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum P(X) = 1$
$0 + 2p + 2p + 3p + p^2 + 2p^2 + 7p^2 + 2p = 1$
पदों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10p^2 + 9p = 1$
$10p^2 + 9p - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$10p^2 + 10p - p - 1 = 0$
$10p(p + 1) - 1(p + 1) = 0$
$(10p - 1)(p + 1) = 0$
इससे $p = \frac{1}{10}$ या $p = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X)$ ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $p = -1$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$p = \frac{1}{10}$।
$\sum P(X) = 1$
$0 + 2p + 2p + 3p + p^2 + 2p^2 + 7p^2 + 2p = 1$
पदों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10p^2 + 9p = 1$
$10p^2 + 9p - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$10p^2 + 10p - p - 1 = 0$
$10p(p + 1) - 1(p + 1) = 0$
$(10p - 1)(p + 1) = 0$
इससे $p = \frac{1}{10}$ या $p = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X)$ ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $p = -1$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$p = \frac{1}{10}$।
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DifficultMCQ
जब दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं,तो ऊपर की सतहों पर प्राप्त दो संख्याओं के योग का अपेक्षित मान क्या है?
A
$7$
B
$12$
C
$6$
D
$5$
Solution
(A) मान लीजिए $X$ दो पासों पर संख्याओं के योग को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। $X$ के लिए संभावित मान $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ हैं। प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36}$
$E(X) = \frac{1}{36} (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12)$
$E(X) = \frac{252}{36} = 7$
| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{6}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{1}{36}$ |
अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36}$
$E(X) = \frac{1}{36} (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12)$
$E(X) = \frac{252}{36} = 7$
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EasyMCQ
यदि $P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.4, P(X=4)=0.3$ है,तो यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण (variance) ज्ञात कीजिए। ($.6$ में)
A
$1$
B
$6$
C
$3$
D
$0$
Solution
(D) दिया गया प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $0.3$ | $0.4$ | $0.3$ |
सबसे पहले,हम माध्य $E(X)$ की गणना करते हैं:
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 2(0.3) + 3(0.4) + 4(0.3) = 0.6 + 1.2 + 1.2 = 3.0$
इसके बाद,हम $E(X^2)$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 2^2(0.3) + 3^2(0.4) + 4^2(0.3) = 4(0.3) + 9(0.4) + 16(0.3) = 1.2 + 3.6 + 4.8 = 9.6$
अंत में,प्रसरण (variance) इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\text{Variance}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 9.6 - (3)^2 = 9.6 - 9 = 0.6$
| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $0.3$ | $0.4$ | $0.3$ |
सबसे पहले,हम माध्य $E(X)$ की गणना करते हैं:
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 2(0.3) + 3(0.4) + 4(0.3) = 0.6 + 1.2 + 1.2 = 3.0$
इसके बाद,हम $E(X^2)$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 2^2(0.3) + 3^2(0.4) + 4^2(0.3) = 4(0.3) + 9(0.4) + 16(0.3) = 1.2 + 3.6 + 4.8 = 9.6$
अंत में,प्रसरण (variance) इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\text{Variance}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 9.6 - (3)^2 = 9.6 - 9 = 0.6$
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DifficultMCQ
एक यादृच्छिक चर $X$ मान $-1, 0, 1, 2$ क्रमशः $\frac{1+3p}{4}, \frac{1-p}{4}, \frac{1+2p}{4}, \frac{1-4p}{4}$ प्रायिकताओं के साथ लेता है,जहाँ $p$,$\mathbb{R}$ पर बदलता है। तो $X$ के माध्य के न्यूनतम और अधिकतम मान क्रमशः हैं।
A
$-\frac{7}{4}$ और $\frac{1}{2}$
B
$-\frac{1}{16}$ और $\frac{5}{16}$
C
$-\frac{7}{4}$ और $\frac{5}{16}$
D
$-\frac{1}{16}$ और $\frac{5}{4}$
Solution
(D) सभी प्रायिकताएं $0 \leq P(X=x_i) \leq 1$ होनी चाहिए।
अतः,$0 \leq \frac{1+3p}{4} \leq 1$,$0 \leq \frac{1-p}{4} \leq 1$,$0 \leq \frac{1+2p}{4} \leq 1$,और $0 \leq \frac{1-4p}{4} \leq 1$.
इन असमिकाओं को हल करने पर:
$1$) $1+3p \geq 0 \Rightarrow p \geq -1/3$
$2$) $1-p \geq 0 \Rightarrow p \leq 1$
$3$) $1+2p \geq 0 \Rightarrow p \geq -1/2$
$4$) $1-4p \geq 0 \Rightarrow p \leq 1/4$
इन सबको मिलाने पर,$-\frac{1}{3} \leq p \leq \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = (-1)\left(\frac{1+3p}{4}\right) + 0\left(\frac{1-p}{4}\right) + 1\left(\frac{1+2p}{4}\right) + 2\left(\frac{1-4p}{4}\right)$.
$E(X) = \frac{-1-3p+1+2p+2-8p}{4} = \frac{2-9p}{4}$.
दिए गए $-\frac{1}{3} \leq p \leq \frac{1}{4}$ के लिए,$E(X)$ का परिसर ज्ञात करते हैं:
यदि $p = 1/4$,तो $E(X) = \frac{2-9(1/4)}{4} = \frac{2-2.25}{4} = -\frac{0.25}{4} = -\frac{1}{16}$.
यदि $p = -1/3$,तो $E(X) = \frac{2-9(-1/3)}{4} = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4}$.
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{1}{16}$ और अधिकतम मान $\frac{5}{4}$ है।
अतः,$0 \leq \frac{1+3p}{4} \leq 1$,$0 \leq \frac{1-p}{4} \leq 1$,$0 \leq \frac{1+2p}{4} \leq 1$,और $0 \leq \frac{1-4p}{4} \leq 1$.
इन असमिकाओं को हल करने पर:
$1$) $1+3p \geq 0 \Rightarrow p \geq -1/3$
$2$) $1-p \geq 0 \Rightarrow p \leq 1$
$3$) $1+2p \geq 0 \Rightarrow p \geq -1/2$
$4$) $1-4p \geq 0 \Rightarrow p \leq 1/4$
इन सबको मिलाने पर,$-\frac{1}{3} \leq p \leq \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = (-1)\left(\frac{1+3p}{4}\right) + 0\left(\frac{1-p}{4}\right) + 1\left(\frac{1+2p}{4}\right) + 2\left(\frac{1-4p}{4}\right)$.
$E(X) = \frac{-1-3p+1+2p+2-8p}{4} = \frac{2-9p}{4}$.
दिए गए $-\frac{1}{3} \leq p \leq \frac{1}{4}$ के लिए,$E(X)$ का परिसर ज्ञात करते हैं:
यदि $p = 1/4$,तो $E(X) = \frac{2-9(1/4)}{4} = \frac{2-2.25}{4} = -\frac{0.25}{4} = -\frac{1}{16}$.
यदि $p = -1/3$,तो $E(X) = \frac{2-9(-1/3)}{4} = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4}$.
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{1}{16}$ और अधिकतम मान $\frac{5}{4}$ है।
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EasyMCQ
यदि $X$ एक यादृच्छिक चर (random variable) है जिसका वितरण नीचे दिया गया है:
तो $k$ का मान और इसका प्रसरण (variance) क्रमशः क्या होगा?
| $X = x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $P(X = x_i)$ | $k$ | $3k$ | $3k$ | $k$ |
तो $k$ का मान और इसका प्रसरण (variance) क्रमशः क्या होगा?
A
$\frac{1}{8}, \frac{22}{27}$
B
$\frac{1}{8}, \frac{23}{27}$
C
$\frac{1}{8}, \frac{8}{9}$
D
$\frac{1}{8}, \frac{3}{4}$
Solution
(D) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग हमेशा एक होता है।
$\therefore k + 3k + 3k + k = 1$
$\Rightarrow 8k = 1$
$\Rightarrow k = \frac{1}{8}$
अब,माध्य $E(X)$ की गणना करें:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0\left(\frac{1}{8}\right) + 1\left(\frac{3}{8}\right) + 2\left(\frac{3}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{8}\right)$
$E(X) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
इसके बाद,$E(X^2)$ की गणना करें:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2\left(\frac{1}{8}\right) + 1^2\left(\frac{3}{8}\right) + 2^2\left(\frac{3}{8}\right) + 3^2\left(\frac{1}{8}\right)$
$E(X^2) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$
अंत में,प्रसरण $\operatorname{Var}(X)$ की गणना करें:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\operatorname{Var}(X) = 3 - \left(\frac{3}{2}\right)^2$
$\operatorname{Var}(X) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$
अतः,$k = \frac{1}{8}$ और $\operatorname{Var}(X) = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
$\therefore k + 3k + 3k + k = 1$
$\Rightarrow 8k = 1$
$\Rightarrow k = \frac{1}{8}$
अब,माध्य $E(X)$ की गणना करें:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0\left(\frac{1}{8}\right) + 1\left(\frac{3}{8}\right) + 2\left(\frac{3}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{8}\right)$
$E(X) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
इसके बाद,$E(X^2)$ की गणना करें:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2\left(\frac{1}{8}\right) + 1^2\left(\frac{3}{8}\right) + 2^2\left(\frac{3}{8}\right) + 3^2\left(\frac{1}{8}\right)$
$E(X^2) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$
अंत में,प्रसरण $\operatorname{Var}(X)$ की गणना करें:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\operatorname{Var}(X) = 3 - \left(\frac{3}{2}\right)^2$
$\operatorname{Var}(X) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$
अतः,$k = \frac{1}{8}$ और $\operatorname{Var}(X) = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
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View SolutionProbability — Probability distribution · Frequently Asked Questions
1Are these Probability questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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