Probability distribution Questions in Hindi

(C) माना मैच जीतने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है।
मैच हारने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
भारत की दूसरी जीत तीसरे टेस्ट में होने के लिए,पहले दो टेस्ट में से एक में जीत और तीसरे टेस्ट में जीत आवश्यक है।
पहले तीन मैचों के लिए संभावित क्रम $(L, W, W)$ और $(W, L, W)$ हैं।
$(L, W, W)$ क्रम की प्रायिकता $q \times p \times p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।
$(W, L, W)$ क्रम की प्रायिकता $p \times q \times p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।
कुल प्रायिकता $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ है।

(B) एक उछाल में $4$ से बड़ी संख्या (अर्थात $5$ या $6$) प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि सफलता सम संख्या के उछाल में मिले,जो परिणामों के अनुक्रम को दर्शाता है: (असफलता,सफलता),(असफलता,असफलता,असफलता,सफलता),आदि।
आवश्यक प्रायिकता $P = pq + q^3p + q^5p + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = pq$ और सार्व अनुपात $r = q^2$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
मान रखने पर: $P = \frac{pq}{1 - q^2} = \frac{(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})}{1 - (\frac{2}{3})^2} = \frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2}{5}$.

(A) कुल पत्तों की संख्या $52$ है। हुकुम के पत्तों की संख्या $13$ है।
एक बार में हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता,$P(S) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
एक बार में हुकुम का पत्ता न निकालने की प्रायिकता,$P(S') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि पत्ता हर बार वापस रखा जाता है,इसलिए घटनाएं स्वतंत्र हैं।
उसके पहली दो बार असफल होने का अर्थ है कि उसे पहले प्रयास में हुकुम का पत्ता नहीं मिलता है और दूसरे प्रयास में भी हुकुम का पत्ता नहीं मिलता है।
आवश्यक प्रायिकता $= P(S') \times P(S') = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$।

(B) घटना $E$ को $X$ के अभाज्य संख्या होने के रूप में परिभाषित किया गया है। दिए गए सेट में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7\}$ हैं।
$P(E) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
घटना $F$ को $X < 4$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इस शर्त को पूरा करने वाले मान $\{1, 2, 3\}$ हैं।
$P(F) = P(1) + P(2) + P(3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
प्रतिच्छेदन घटना $E \cap F$ में वे मान शामिल हैं जो अभाज्य भी हैं और $4$ से कम भी हैं,जो $\{2, 3\}$ हैं।
$P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$.
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(B) माना $X$ वह यादृच्छिक चर है जो पहली बार चित प्राप्त करने के लिए आवश्यक उछालों की संख्या को दर्शाता है। यह $p$ प्राचल के साथ ज्यामितीय वितरण का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = r) = (1 - p)^{r - 1} p$ है,जहाँ $r = 1, 2, 3, \dots$ है।
हम घटना $E$ में रुचि रखते हैं जहाँ उछालों की संख्या सम है,अर्थात $X \in \{2, 4, 6, \dots\}$।
प्रायिकता $P(E)$ इन परस्पर अनन्य घटनाओं की प्रायिकताओं का योग है:
$P(E) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) + \dots$
$P(E) = (1 - p)p + (1 - p)^3 p + (1 - p)^5 p + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = p(1 - p)$ और सार्व अनुपात $r = (1 - p)^2$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$P(E) = \frac{p(1 - p)}{1 - (1 - p)^2} = \frac{p(1 - p)}{1 - (1 - 2p + p^2)} = \frac{p(1 - p)}{2p - p^2} = \frac{p(1 - p)}{p(2 - p)} = \frac{1 - p}{2 - p}$।
दिया गया है कि $P(E) = \frac{2}{5}$,इसलिए हम समीकरण बनाते हैं:
$\frac{1 - p}{2 - p} = \frac{2}{5}$
$5(1 - p) = 2(2 - p)$
$5 - 5p = 4 - 2p$
$5 - 4 = 5p - 2p$
$1 = 3p$
$p = \frac{1}{3}$।

(A) एक यादृच्छिक चर $X$ के लिए एक वैध प्रायिकता वितरण होने हेतु,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $P(X = k) = Ck^2$,जहाँ $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ है।
अतः,$\sum_{k=0}^{4} P(X = k) = 1$ होगा।
$k$ के मान रखने पर:
$C(0^2) + C(1^2) + C(2^2) + C(3^2) + C(4^2) = 1$
$C(0 + 1 + 4 + 9 + 16) = 1$
$C(30) = 1$
$C = \frac{1}{30}$.

(B) भारत कुल $4$ मैच खेलता है। किसी भी मैच में अधिकतम अंक $2$ हैं।
इसलिए,$4$ मैचों में अधिकतम कुल अंक $8$ हो सकते हैं।
कम से कम $7$ अंक प्राप्त करने के लिए,भारत को या तो $7$ अंक या $8$ अंक प्राप्त करने होंगे।
मान लीजिए $X_i$ $i$-वें मैच में प्राप्त अंक हैं,जहाँ $P(X_i=0)=0.45, P(X_i=1)=0.05, P(X_i=2)=0.50$ है।
$8$ अंक प्राप्त करने के लिए,भारत को सभी $4$ मैचों में $2$ अंक प्राप्त करने होंगे:
$P(8) = (0.50)^4 = 0.0625$।
$7$ अंक प्राप्त करने के लिए,भारत को $3$ मैचों में $2$ अंक और $1$ मैच में $1$ अंक प्राप्त करना होगा:
$P(7) = \binom{4}{1} \times (0.50)^3 \times (0.05)^1 = 4 \times 0.125 \times 0.05 = 0.0250$।
कम से कम $7$ अंक प्राप्त करने की प्रायिकता $P(7) + P(8) = 0.0250 + 0.0625 = 0.0875$ है।

(D) सामान्य वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन $f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
ऑर्डिनेट तब सबसे बड़ा होता है जब घातांक पद $e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$ अधिकतम होता है।
यह तब होता है जब $x = \mu$,जो घातांक को $e^0 = 1$ बनाता है।
अतः,सबसे बड़ा ऑर्डिनेट $\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$ है।

(A) मान लीजिए $E$ लाल पत्ता निकालने की घटना है। एक बार में लाल पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(E) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
लाल पत्ता न निकालने की प्रायिकता $P(\overline{E}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि तीसरी बार में पहली बार लाल पत्ता आए। इसका अर्थ है कि पहले दो प्रयासों में लाल पत्ता नहीं आना चाहिए और तीसरे प्रयास में लाल पत्ता आना चाहिए।
अभीष्ट प्रायिकता $P(\overline{E} \cap \overline{E} \cap E) = P(\overline{E}) \times P(\overline{E}) \times P(E)$ है।
मान रखने पर: $P = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$.

(B) भारत कुल $4$ मैच खेलता है। प्रत्येक मैच में अधिकतम $2$ अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।
कम से कम $7$ अंक प्राप्त करने के लिए संभावित स्थितियाँ $7$ अंक या $8$ अंक हैं।
$P(7)$ प्राप्त करने के लिए,$3$ मैचों में $2$ अंक और $1$ मैच में $1$ अंक मिलना चाहिए:
$P(7) = \binom{4}{1} \times (0.5)^3 \times (0.05)^1 = 4 \times 0.125 \times 0.05 = 0.025$
$P(8)$ प्राप्त करने के लिए,सभी $4$ मैचों में $2$ अंक मिलने चाहिए:
$P(8) = (0.5)^4 = 0.0625$
कुल प्रायिकता $= P(7) + P(8) = 0.025 + 0.0625 = 0.0875$

(B) दी गई घटनाएँ:
$E = \{X \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} = \{2, 3, 5, 7\}$
$F = \{X < 4\} = \{1, 2, 3\}$
प्रायिकताओं की गणना:
$P(E) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$
$P(F) = P(1) + P(2) + P(3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$
घटनाओं का सर्वनिष्ठ (Intersection):
$E \cap F = \{X \text{ एक अभाज्य संख्या है और } X < 4\} = \{2, 3\}$
$P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$

(D) माना $X$ चुने गए $7$ कूपनों पर अधिकतम संख्या है।
चूंकि कूपन प्रतिस्थापन के साथ चुने जाते हैं,प्रत्येक चयन स्वतंत्र है।
एक चुने गए कूपन पर संख्या $9$ या उससे कम होने की प्रायिकता $P(X \le 9) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ है।
एक चुने गए कूपन पर संख्या $8$ या उससे कम होने की प्रायिकता $P(X \le 8) = \frac{8}{15}$ है।
अधिकतम संख्या ठीक $9$ होने की प्रायिकता $P(X = 9) = P(X \le 9) - P(X \le 8)$ द्वारा दी जाती है।
$P(X = 9) = (\frac{3}{5})^7 - (\frac{8}{15})^7$.

(B) कुल आवृत्ति $N = \sum_{r=0}^n {^nC_r} = 2^n$ है।
मानों और आवृत्तियों के गुणनफल का योग $\sum_{r=0}^n r \cdot {^nC_r} = 0 \cdot {^nC_0} + 1 \cdot {^nC_1} + 2 \cdot {^nC_2} + ... + n \cdot {^nC_n}$ है।
सर्वसमिका $r \cdot {^nC_r} = n \cdot {^{n-1}C_{r-1}}$ का उपयोग करने पर,योग $\sum_{r=1}^n n \cdot {^{n-1}C_{r-1}} = n \sum_{k=0}^{n-1} {^{n-1}C_k} = n \cdot 2^{n-1}$ हो जाता है।
अतः,माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n} = \frac{n}{2}$ है।

(A) पॉइसन वितरण का सूत्र $P(X=r) = \frac{e^{-m} m^r}{r!}$ है,जहाँ $m$ घटनाओं की औसत संख्या है।
यहाँ $m = 5$ दिया गया है,हमें अधिकतम एक फोन कॉल की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$ है।
$r=0$ के लिए: $P(X=0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = e^{-5}$।
$r=1$ के लिए: $P(X=1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = 5e^{-5}$।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \leq 1) = e^{-5} + 5e^{-5} = 6e^{-5}$।

(A) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda = 2$ है।
हमें $P(X > 1.5)$ ज्ञात करना है। चूँकि $X$ केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लेता है,इसलिए $P(X > 1.5) = P(X \ge 2)$ होगा।
इसे $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ के रूप में गणना की जा सकती है।
$k = 0$ के लिए: $P(X = 0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = \frac{e^{-2} \cdot 1}{1} = \frac{1}{e^2}$।
$k = 1$ के लिए: $P(X = 1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = \frac{e^{-2} \cdot 2}{1} = \frac{2}{e^2}$।
अतः,$P(X > 1.5) = 1 - (\frac{1}{e^2} + \frac{2}{e^2}) = 1 - \frac{3}{e^2}$।

(D) मान लीजिए कि एक बार पासा फेंकने पर $2$ आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है।
अतः $2$ न आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{5}{6}$ है।
$2$ सम संख्या के प्रयासों में आता है,इसका अर्थ है कि यह $2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, \dots$ प्रयास में आता है।
यह अनुक्रम इस प्रकार है: ($2$ नहीं,$2$) या ($2$ नहीं,$2$ नहीं,$2$ नहीं,$2$) या $\dots$
प्रायिकता एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी द्वारा दी जाती है:
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$P = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{11}{36}} = \frac{5}{11}$.

(C) चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए प्रत्येक ड्रा एक स्वतंत्र घटना है।
मान लीजिए $E$ "पान का राजा" निकालने की घटना है। किसी भी एक ड्रा में "पान का राजा" निकालने की प्रायिकता $P(E) = \frac{1}{52}$ है।
किसी भी एक ड्रा में "पान का राजा" न निकालने की प्रायिकता $P(E') = 1 - \frac{1}{52} = \frac{51}{52}$ है।
हम चाहते हैं कि $5^{th}$ पत्ता "पान का राजा" हो। पहले $4$ पत्ते "पान का राजा" के अलावा कोई भी पत्ता हो सकते हैं,और $5^{th}$ पत्ता "पान का राजा" होना चाहिए।
प्रायिकता = $P(E') \times P(E') \times P(E') \times P(E') \times P(E) = \left(\frac{51}{52}\right)^4 \times \frac{1}{52} = \frac{51^4}{52^5}$.

(C) पान का पत्ता निकालने की प्रायिकता $p_1 = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता $p_2 = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
काला पत्ता निकालने की प्रायिकता $p_3 = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि पत्तों को वापस रखा जा रहा है,हम $n=6$ प्रयासों के लिए मल्टीनोमियल वितरण सूत्र का उपयोग करेंगे:
$P = \frac{6!}{2! 2! 2!} \times (\frac{1}{4})^2 \times (\frac{1}{4})^2 \times (\frac{1}{2})^2 = 90 \times (\frac{1}{2})^{10}$

(A) माना प्रत्येक सम संख्या $(2, 4, 6)$ की प्रायिकता $p$ है।
तब प्रत्येक विषम संख्या $(1, 3, 5)$ की प्रायिकता $2p$ है।
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$3(2p) + 3(p) = 1$
$6p + 3p = 1$
$9p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{9}$.
घटना $E$ यह है कि $4$ या उससे बड़ी संख्या प्राप्त हो,अतः $E = \{4, 5, 6\}$.
$P(E) = P(4) + P(5) + P(6)$.
चूंकि $4$ और $6$ सम हैं,$P(4) = p = \frac{1}{9}$ और $P(6) = p = \frac{1}{9}$.
चूंकि $5$ विषम है,$P(5) = 2p = \frac{2}{9}$.
$P(E) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.

(B) माना $X$ चुने गए नीले कंचों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। कुल कंचों की संख्या $10$ है। $4$ कंचे चुनने के कुल तरीके $\binom{10}{4} = 210$ हैं।
$X$ का प्रायिकता वितरण $P(X=k) = \frac{\binom{3}{k} \binom{7}{4-k}}{\binom{10}{4}}$ द्वारा दिया गया है:

$X$	$P(X=k)$
$0$	$\frac{\binom{3}{0} \binom{7}{4}}{210} = \frac{35}{210} = \frac{1}{6}$
$1$	$\frac{\binom{3}{1} \binom{7}{3}}{210} = \frac{3 \times 35}{210} = \frac{1}{2}$
$2$	$\frac{\binom{3}{2} \binom{7}{2}}{210} = \frac{3 \times 21}{210} = \frac{3}{10}$
$3$	$\frac{\binom{3}{3} \binom{7}{1}}{210} = \frac{1 \times 7}{210} = \frac{1}{30}$

$E[X] = 0(\frac{1}{6}) + 1(\frac{1}{2}) + 2(\frac{3}{10}) + 3(\frac{1}{30}) = 0 + 0.5 + 0.6 + 0.1 = 1.2 = \frac{6}{5}$.
$E[X^2] = 0^2(\frac{1}{6}) + 1^2(\frac{1}{2}) + 2^2(\frac{3}{10}) + 3^2(\frac{1}{30}) = 0 + 0.5 + 1.2 + 0.3 = 2.0$.
$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 2.0 - (1.2)^2 = 2.0 - 1.44 = 0.56 = \frac{56}{100} = \frac{14}{25}$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{14}{25}} = \frac{\sqrt{14}}{5}$.
यहाँ $a = 14$ और $b = 5$ है। चूँकि $14$ और $5$ सह-अभाज्य हैं और $14$ वर्ग-मुक्त है,इसलिए $a + b = 14 + 5 = 19$.

(B) माना $F$ आगे के कदम की घटना है,$B$ पीछे के कदम की घटना है,और $S$ उसी स्थिति में बने रहने की घटना है। प्रायिकताएं $P(F) = \frac{1}{4}$,$P(B) = \frac{1}{2}$,और $P(S) = 1 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ हैं।
हम चाहते हैं कि $5$ कदमों के बाद शुद्ध विस्थापन $1$ या $-1$ हो।
माना $n_F, n_B, n_S$ क्रमशः आगे,पीछे और स्थिर रहने वाले कदमों की संख्या है,जहाँ $n_F + n_B + n_S = 5$ है।
शुद्ध विस्थापन $n_F - n_B = 1$ या $n_F - n_B = -1$ है।
स्थिति $1$: $n_F - n_B = 1$. संभावित $(n_F, n_B, n_S)$ मान $(1,0,4), (2,1,2), (3,2,0)$ हैं।
प्रायिकताएं: $\frac{5!}{1!0!4!} (\frac{1}{4})^1 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{4})^4 + \frac{5!}{2!1!2!} (\frac{1}{4})^2 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{4})^2 + \frac{5!}{3!2!0!} (\frac{1}{4})^3 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{4})^0 = \frac{5}{1024} + \frac{60}{1024} + \frac{40}{1024} = \frac{105}{1024}$.
स्थिति $2$: $n_F - n_B = -1$. संभावित $(n_F, n_B, n_S)$ मान $(0,1,4), (1,2,2), (2,3,0)$ हैं।
प्रायिकताएं: $\frac{5!}{0!1!4!} (\frac{1}{4})^0 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{4})^4 + \frac{5!}{1!2!2!} (\frac{1}{4})^1 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{4})^2 + \frac{5!}{2!3!0!} (\frac{1}{4})^2 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{4})^0 = \frac{10}{1024} + \frac{120}{1024} + \frac{80}{1024} = \frac{210}{1024}$.
कुल प्रायिकता = $\frac{105+210}{1024} = \frac{315}{1024} = \frac{315}{2^{10}}$.

(C) माध्य $m$ की गणना $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ के रूप में की जाती है।
$m = (0 \times \frac{1}{3}) + (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times 0) + (3 \times \frac{1}{6}) + (4 \times 0) = 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} + 0 = 1$.
प्रसरण ${\sigma ^2}$ की गणना $E(X^2) - [E(X)]^2$ के रूप में की जाती है।
सबसे पहले,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ ज्ञात करें।
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{1}{3}) + (1^2 \times \frac{1}{2}) + (2^2 \times 0) + (3^2 \times \frac{1}{6}) + (4^2 \times 0) = 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{9}{6} + 0 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$.
अब,${\sigma ^2} = E(X^2) - m^2 = 2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$.
अतः,$m = 1$ और ${\sigma ^2} = 1$.

(B) माना $w$ संख्या $5$ या $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता है,अतः $w = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
माना $L$ संख्या $1, 2, 3, \text{ या } 4$ प्राप्त करने की प्रायिकता है,अतः $L = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
खेल तब रुकता है यदि उसे $5$ या $6$ मिल जाए या $3$ बार फेंकने के बाद।
स्थिति $1$: पहले प्रयास में जीत: प्रायिकता $= w = \frac{1}{3}$,लाभ $= 100$.
स्थिति $2$: दूसरे प्रयास में जीत: प्रायिकता $= L \times w = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$,लाभ $= -50 + 100 = 50$.
स्थिति $3$: तीसरे प्रयास में जीत: प्रायिकता $= L^2 \times w = (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$,लाभ $= -50 - 50 + 100 = 0$.
स्थिति $4$: तीनों प्रयासों में हार: प्रायिकता $= L^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$,लाभ $= -50 - 50 - 50 = -150$.
अपेक्षित मान $= (\frac{1}{3} \times 100) + (\frac{2}{9} \times 50) + (\frac{4}{27} \times 0) + (\frac{8}{27} \times -150) = \frac{100}{3} + \frac{100}{9} + 0 - \frac{1200}{27} = 0$.

(D) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
$1$. डबलेट के लिए: परिणाम $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं। ऐसे $6$ परिणाम हैं।
प्रायिकता $P(\text{doublet}) = \frac{6}{36}$. लाभ $= +15$.
$2$. योग $9$ होने के लिए: परिणाम $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ हैं। ऐसे $4$ परिणाम हैं।
प्रायिकता $P(\text{sum } 9) = \frac{4}{36}$. लाभ $= +12$.
$3$. किसी अन्य परिणाम के लिए: परिणामों की संख्या $36 - (6 + 4) = 26$ है।
प्रायिकता $P(\text{other}) = \frac{26}{36}$. हानि $= -6$.
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i p_i = (15 \times \frac{6}{36}) + (12 \times \frac{4}{36}) + (-6 \times \frac{26}{36})$
$E(X) = \frac{90}{36} + \frac{48}{36} - \frac{156}{36} = \frac{90 + 48 - 156}{36} = \frac{-18}{36} = -\frac{1}{2}$.
चूंकि परिणाम ऋणात्मक है,यह $\frac{1}{2}$ $Rs.$ की हानि को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) कुल परिणाम $= 2^5 = 32$ हैं।
$k=5$ के लिए: ${HHHHH}$,इसलिए $P(X=5) = \frac{1}{32}$।
$k=4$ के लिए: ${HHHHT, THHHH}$,इसलिए $P(X=4) = \frac{2}{32}$।
$k=3$ के लिए: ${HHHTH, HHHTT, THHHT, TTHHH, HTHHH}$,इसलिए $P(X=3) = \frac{5}{32}$।
$X=-1$ के लिए: शेष परिणाम $32 - (1 + 2 + 5) = 24$,इसलिए $P(X=-1) = \frac{24}{32}$।
अपेक्षित मान $E[X] = \sum x P(x) = (5 \times \frac{1}{32}) + (4 \times \frac{2}{32}) + (3 \times \frac{5}{32}) + (-1 \times \frac{24}{32})$
$E[X] = \frac{5 + 8 + 15 - 24}{32} = \frac{28 - 24}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$।

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\sum P(X) = 1 \Rightarrow K^2 + 2K + K + 2K + 5K^2 = 1$
$6K^2 + 5K - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(6K - 1)(K + 1) = 0$
इससे $K = \frac{1}{6}$ या $K = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X)$ ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $K = -1$ को अस्वीकार करते हैं। अतः $K = \frac{1}{6}$ है।
हमें $P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ ज्ञात करना है।
$P(X > 2) = K + 2K + 5K^2 = 3K + 5K^2$.
$K = \frac{1}{6}$ रखने पर:
$P(X > 2) = 3(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{2} + \frac{5}{36} = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} = \frac{23}{36}$.

(A) माना $P(A) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
हम चाहते हैं कि दूसरा $A$,तीसरे $B$ से पहले आए।
इसका अर्थ है कि ड्रा के अनुक्रम में,दूसरे $A$ से पहले अधिकतम दो $B$ होने चाहिए।
संभावित अनुकूल अनुक्रम हैं:
$1$. $AA$: प्रायिकता $= (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$2$. $ABA, BAA$: प्रायिकता $= 2 \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$3$. $ABBA, BABA, BBAA$: प्रायिकता $= 3 \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{3}{16}$
इन प्रायिकताओं का योग: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} = \frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{3}{16} = \frac{11}{16}$.

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 10 + 8 = 18$.
लाल गेंदों की संख्या $= 8$.
एक बार में लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $= P(R) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
चूंकि गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,इसलिए घटनाएं स्वतंत्र हैं।
दोनों गेंदों के लाल होने की प्रायिकता $= P(R) \times P(R) = \frac{4}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{81}$.

(N/A) एक यादृच्छिक चर एक वास्तविक मान वाला फलन है जिसका डोमेन एक यादृच्छिक प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि होता है। चूँकि $X$ प्रयोग के प्रत्येक परिणाम के लिए एक अद्वितीय वास्तविक संख्या निर्धारित करता है,इसलिए $X$ एक यादृच्छिक चर है।
तीन बार सिक्का उछालने का प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
मान लीजिए $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है। जीती या हारी गई राशि $X = 2H - 1.50T$ द्वारा दी जाती है।
प्रत्येक परिणाम के लिए $X$ की गणना:
$X(HHH) = 2(3) - 1.50(0) = 6$
$X(HHT) = 2(2) - 1.50(1) = 4 - 1.50 = 2.50$
$X(HTH) = 2(2) - 1.50(1) = 2.50$
$X(THH) = 2(2) - 1.50(1) = 2.50$
$X(HTT) = 2(1) - 1.50(2) = 2 - 3 = -1$
$X(THT) = 2(1) - 1.50(2) = -1$
$X(TTH) = 2(1) - 1.50(2) = -1$
$X(TTT) = 2(0) - 1.50(3) = -4.50$
अतः,$X$ एक फलन है जो $S$ से $\mathbb{R}$ पर परिभाषित है और इसका परिसर $\{-4.50, -1, 2.50, 6\}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि थैले में गेंदें $w_{1}, w_{2}, r$ हैं। प्रतिस्थापन के साथ दो प्रयासों के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{w_{1}w_{1}, w_{1}w_{2}, w_{2}w_{1}, w_{2}w_{2}, w_{1}r, w_{2}r, rw_{1}, rw_{2}, rr\}$
यहाँ,$X$ एक यादृच्छिक चर है जो दो प्रयासों में लाल गेंदों की संख्या को दर्शाता है।
उन परिणामों के लिए जिनमें कोई लाल गेंद नहीं निकाली जाती है: $X(w_{1}w_{1}) = X(w_{1}w_{2}) = X(w_{2}w_{1}) = X(w_{2}w_{2}) = 0$.
उन परिणामों के लिए जिनमें ठीक एक लाल गेंद निकाली जाती है: $X(w_{1}r) = X(w_{2}r) = X(rw_{1}) = X(rw_{2}) = 1$.
उस परिणाम के लिए जिसमें दो लाल गेंदें निकाली जाती हैं: $X(rr) = 2$.
अतः,$X$ एक यादृच्छिक चर है जो $0, 1,$ या $2$ मान ले सकता है।

(A) $X$ का प्रायिकता वितरण नीचे दिया गया है,जहाँ प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X)$	$0.1$	$k$	$2k$	$2k$	$k$

हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,अर्थात $\sum P(X=x) = 1$.
तालिका से मान रखने पर:
$0.1 + k + 2k + 2k + k = 1$
समान पदों को जोड़ने पर:
$0.1 + 6k = 1$
दोनों पक्षों से $0.1$ घटाने पर:
$6k = 0.9$
$6$ से भाग देने पर:
$k = \frac{0.9}{6} = 0.15$.

इस प्रयोग में,पासे को तब तक फेंका जाता है जब तक कि $6$ न आ जाए। मान लीजिए $S$ प्रतिदर्श समष्टि है।
यदि पहली बार में $6$ आता है,तो परिणाम $6$ है।
यदि दूसरी बार में $6$ आता है,तो परिणाम $(x, 6)$ है जहाँ $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
यदि तीसरी बार में $6$ आता है,तो परिणाम $(x, y, 6)$ है जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{6, (x, 6), (x, y, 6), (x, y, z, 6), \dots \}$ जहाँ $x, y, z, \dots \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।

(A) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = 0.1 + k + 2k + 2k + k = 1$
$0.1 + 6k = 1 \implies 6k = 0.9 \implies k = 0.15$
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X)$	$0.1$	$0.15$	$0.3$	$0.3$	$0.15$

$1$. कम से कम दो घंटे अध्ययन करने की प्रायिकता $(X \geq 2)$:
$P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.75$
$2$. ठीक दो घंटे अध्ययन करने की प्रायिकता $(X=2)$:
$P(X=2) = 0.3$
$3$. अधिक से अधिक दो घंटे अध्ययन करने की प्रायिकता $(X \leq 2)$:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.1 + 0.15 + 0.3 = 0.55$

(A) प्रयोग के प्रतिदर्श समष्टि में $(x_i, y_i)$ के रूप में $36$ प्रारंभिक घटनाएं हैं,जहां $x_i, y_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
यादृच्छिक चर $X$,जो दोनों पासों पर संख्याओं का योग दर्शाता है,$x_i \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ मान लेता है।
$X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$P(X)$
$2$	$1/36$
$3$	$2/36$
$4$	$3/36$
$5$	$4/36$
$6$	$5/36$
$7$	$6/36$
$8$	$5/36$
$9$	$4/36$
$10$	$3/36$
$11$	$2/36$
$12$	$1/36$

माध्य या प्रत्याशा $E(X)$ की गणना $\mu = \sum x_i p_i$ के रूप में की जाती है:
$E(X) = 2(\frac{1}{36}) + 3(\frac{2}{36}) + 4(\frac{3}{36}) + 5(\frac{4}{36}) + 6(\frac{5}{36}) + 7(\frac{6}{36}) + 8(\frac{5}{36}) + 9(\frac{4}{36}) + 10(\frac{3}{36}) + 11(\frac{2}{36}) + 12(\frac{1}{36})$
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36}$
$E(X) = \frac{252}{36} = 7$
अतः,दो पासा फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग का माध्य $7$ है।

(A) प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
मान लीजिए $X$ पासे पर प्राप्त संख्या को दर्शाता है। तब $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $1, 2, 3, 4, 5,$ या $6$ मान ले सकता है।
चूंकि यह एक निष्पक्ष पासा है,$P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$।

$X$	$1, 2, 3, 4, 5, 6$
$P(X)$	$\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}$

अब,$E(X) = \sum x_i p(x_i) = (1+2+3+4+5+6) \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$।
साथ ही,$E(X^2) = \sum x_i^2 p(x_i) = (1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) \times \frac{1}{6} = (1+4+9+16+25+36) \times \frac{1}{6} = \frac{91}{6}$।
अतः,$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$।

(A) मान लीजिए $X$ दो पत्तों के ड्रा में राजाओं की संख्या को दर्शाता है। $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $0, 1, 2$ मान ले सकता है।
$P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{188}{221}$
$P(X=1) = \frac{^4C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{32}{221}$
$P(X=2) = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$
प्रायिकता वितरण तालिका:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{188}{221}$	$\frac{32}{221}$	$\frac{1}{221}$

माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{188}{221} + 1 \times \frac{32}{221} + 2 \times \frac{1}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13} \approx 0.1538$
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{188}{221} + 1^2 \times \frac{32}{221} + 2^2 \times \frac{1}{221} = \frac{36}{221}$
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{36}{221} - (\frac{34}{221})^2 = \frac{7956 - 1156}{48841} = \frac{6800}{48841} \approx 0.1392$
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.1392} \approx 0.373$

(A) किसी तालिका के यादृच्छिक चर $X$ के प्रायिकता वितरण को दर्शाने के लिए,उसे दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(X_i)$ गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए,अर्थात,सभी $i$ के लिए $P(X_i) \ge 0$।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात,$\sum P(X_i) = 1$।
दी गई तालिका की जाँच करने पर:
$1$. सभी प्रायिकताएँ $(0.4, 0.4, 0.2)$ $\ge 0$ हैं।
$2$. प्रायिकताओं का योग $0.4 + 0.4 + 0.2 = 1.0$ है।
चूँकि दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए दी गई तालिका यादृच्छिक चर $X$ का एक वैध प्रायिकता वितरण है।

(N/A) एक यादृच्छिक चर के प्रायिकता वितरण को दो शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$1$. सभी $X$ के लिए $P(X) \ge 0$ होना चाहिए।
$2$. $\sum P(X) = 1$ होना चाहिए।
दी गई तालिका में,$X = 3$ के लिए,$P(X)$ का मान $-0.1$ है।
चूंकि किसी भी घटना की प्रायिकता कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती है,इसलिए $P(X) \ge 0$ की शर्त का उल्लंघन होता है।
अतः,दी गई तालिका एक यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण नहीं है।

(A) किसी तालिका के लिए एक यादृच्छिक चर $Y$ के प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व करने हेतु,दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(Y_i)$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \leq P(Y_i) \leq 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(Y_i) = 1$।
दी गई तालिका में:
प्रायिकताओं का योग $= 0.6 + 0.1 + 0.2 = 0.9$ है।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $0.9$ है,जो $1$ के बराबर नहीं है,इसलिए दी गई तालिका एक यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण नहीं है।

(N/A) एक यादृच्छिक चर के प्रायिकता वितरण के लिए,दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(Z_i) \ge 0$ होनी चाहिए।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $\sum P(Z_i) = 1$ होना चाहिए।
दी गई तालिका में,प्रायिकताओं का योग है:
$\sum P(Z) = 0.3 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.05 = 1.05$।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $1.05$ है,जो $1$ के बराबर नहीं है,इसलिए दी गई तालिका एक यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण नहीं है।

(N/A) चुनी गई दो गेंदों को $BB$,$BR$,$RB$,और $RR$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $B$ एक काली गेंद को और $R$ एक लाल गेंद को दर्शाता है।
$X$ काली गेंदों की संख्या को दर्शाता है।
$X(BB) = 2$
$X(BR) = 1$
$X(RB) = 1$
$X(RR) = 0$
अतः,$X$ के संभावित मान $0, 1,$ और $2$ हैं।
हाँ,$X$ एक यादृच्छिक चर है क्योंकि यह एक वास्तविक मान वाला फलन है जिसका डोमेन एक यादृच्छिक प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि है।

(A) मान लीजिए कि $6$ बार सिक्का उछालने पर $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है। चूंकि कुल उछाल $6$ हैं,इसलिए $H + T = 6$,जिसका अर्थ है $T = 6 - H$.
यादृच्छिक चर $X$ को चितों और पटों की संख्या के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है: $X = |H - T|$.
$T = 6 - H$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $X = |H - (6 - H)| = |2H - 6|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $H$ का मान $0$ से $6$ तक हो सकता है,हम प्रत्येक स्थिति के लिए $X$ की गणना करते हैं:
यदि $H = 0, T = 6$,तो $X = |0 - 6| = 6$.
यदि $H = 1, T = 5$,तो $X = |1 - 5| = 4$.
यदि $H = 2, T = 4$,तो $X = |2 - 4| = 2$.
यदि $H = 3, T = 3$,तो $X = |3 - 3| = 0$.
यदि $H = 4, T = 2$,तो $X = |4 - 2| = 2$.
यदि $H = 5, T = 1$,तो $X = |5 - 1| = 4$.
यदि $H = 6, T = 0$,तो $X = |6 - 0| = 6$.
अतः,$X$ के संभावित मानों का समुच्चय $\{0, 2, 4, 6\}$ है।

(N/A) जब एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ है।
माना $X$ चितों की संख्या को दर्शाता है।
अतः,$X(HH) = 2, X(HT) = 1, X(TH) = 1, X(TT) = 0$ है।
इसलिए,$X$ का मान $0, 1,$ या $2$ हो सकता है।
हम जानते हैं कि $P(HH) = P(HT) = P(TH) = P(TT) = \frac{1}{4}$ है।
$P(X=0) = P(TT) = \frac{1}{4}$।
$P(X=1) = P(HT) + P(TH) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$।
$P(X=2) = P(HH) = \frac{1}{4}$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

(N/A) जब तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
मान लीजिए $X$ चित्त (tails) की संख्या को दर्शाता है।
यह देखा जा सकता है कि $X$ का मान $0, 1, 2,$ या $3$ हो सकता है।
$P(X=0) = P(HHH) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = P(TTT) = \frac{1}{8}$
अतः,प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

(N/A) जब एक सिक्के को चार बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT\}$
माना $X$ चितों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। $X$ का मान $0, 1, 2, 3, 4$ हो सकता है।
$P(X=0) = P(TTTT) = \frac{1}{16}$
$P(X=1) = P(HTTT) + P(THTT) + P(TTHT) + P(TTTH) = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
$P(X=2) = P(HHTT) + P(HTHT) + P(HTTH) + P(THHT) + P(THTH) + P(TTHH) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = P(HHHT) + P(HHTH) + P(HTHH) + P(THHH) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
$P(X=4) = P(HHHH) = \frac{1}{16}$
प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X)$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

(A) जब एक पासे को दो बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $X$ सफलताओं की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
सफलता का अर्थ है $4$ से बड़ी संख्या प्राप्त करना (अर्थात $5$ या $6$)।
एक उछाल में सफलता की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
एक उछाल में विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$X$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है।
$P(X=0) = q \times q = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.
$P(X=1) = (p \times q) + (q \times p) = (\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}) + (\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$.
$P(X=2) = p \times p = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

(N/A) माना $Y$ पासे के दो उछालों में सफलताओं की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। सफलता को 'कम से कम एक पासे पर छह आना' के रूप में परिभाषित किया गया है।
दो पासे उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
माना $S$ वह घटना है कि पासे पर छह आता है,और $F$ वह घटना है कि पासे पर छह नहीं आता है। $P(S) = \frac{1}{6}$ और $P(F) = \frac{5}{6}$।
$P(Y=0)$ वह प्रायिकता है कि किसी भी पासे पर छह नहीं आता है। यह उन परिणामों के अनुरूप है जहाँ दोनों पासों पर छह नहीं आता है: $P(Y=0) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$।
$P(Y=1)$ वह प्रायिकता है कि कम से कम एक पासे पर छह आता है। यह उन परिणामों के अनुरूप है जहाँ कम से कम एक पासे पर छह आता है: $P(Y=1) = 1 - P(Y=0) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$।
अतः,आवश्यक प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$Y$	$0$	$1$
$P(Y)$	$\frac{25}{36}$	$\frac{11}{36}$

(D) मान लीजिए कि पक्षपाती सिक्के में पट (tail) प्राप्त करने की प्रायिकता $x$ है।
$\therefore P(T) = x$
$\Rightarrow P(H) = 3x$
एक पक्षपाती सिक्के के लिए,$P(T) + P(H) = 1$
$\Rightarrow x + 3x = 1$
$\Rightarrow 4x = 1$
$\Rightarrow x = \frac{1}{4}$
$\therefore P(T) = \frac{1}{4}$ और $P(H) = \frac{3}{4}$
जब सिक्के को दो बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $\{HH, TT, HT, TH\}$ है।
मान लीजिए $X$ पटों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
$\therefore P(X=0) = P(\text{कोई पट नहीं}) = P(H) \times P(H) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$
$P(X=1) = P(\text{एक पट}) = P(HT) + P(TH) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = P(\text{दो पट}) = P(TT) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$
अतः,आवश्यक प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{16}$

(A) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होता है।
अतः,$\sum P(X) = 1$।
$0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
पदों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(k^2 + 2k^2 + 7k^2) + (k + 2k + 2k + 3k + k) = 1$
$10k^2 + 9k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
इससे $k = \frac{1}{10}$ या $k = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X)$ कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $k$ धनात्मक होना चाहिए। यदि $k = -1$ है,तो $P(X=1) = k = -1$ होगा,जो कि असंभव है।
अतः,$k$ का एकमात्र मान्य मान $k = \frac{1}{10}$ है।