Mix Examples-Probability Questions in Hindi

(D) दो सिक्कों को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$ है।
घटना $A$ (पहला सिक्का चित है) के लिए $A = \{(H, H), (H, T)\}$ है।
घटना $B$ (दूसरा सिक्का पट है) के लिए $B = \{(H, T), (T, T)\}$ है।
उनका सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{(H, T)\}$ है।
$A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
$B$ की प्रायिकता $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
$A \cap B$ की प्रायिकता $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ है,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(B) $000$ से $999$ तक कुल $1000$ संभावित कोड हैं।
यदि अजनबी हर बार यादृच्छिक रूप से कोड चुनता है,तो प्रत्येक प्रयास में सफलता की प्रायिकता $\frac{1}{1000}$ है।
अतः,$k^{th}$ प्रयास में सफल होने की प्रायिकता $\frac{1}{1000}$ है।

(B) तीन पासों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कम से कम एक पासे पर $1$ आता है।
पूरक घटना $E'$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जो यह घटना है कि किसी भी पासे पर $1$ नहीं आता है।
प्रत्येक पासे के लिए,$1$ न आने की प्रायिकता $\frac{5}{6}$ है।
चूंकि तीनों पासे स्वतंत्र हैं,इसलिए किसी भी पासे पर $1$ न आने की प्रायिकता $P(E') = \left( \frac{5}{6} \right)^3 = \frac{125}{216}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$ है।

(C) प्रतिस्थापन के साथ एक ही सूट के दो पत्ते निकालने की प्रायिकता की गणना इस प्रकार है:
पहले पत्ते के लिए,कोई भी पत्ता निकाला जा सकता है (प्रायिकता $1$)।
दूसरे पत्ते के पहले पत्ते के समान सूट का होने के लिए,$52$ में से $13$ अनुकूल पत्ते हैं।
अतः,$P(A) = 1 \times \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$।
$B$ के लिए,दो पासे फेंकने पर कुल परिणाम $6 \times 6 = 36$ हैं।
योग $6$ प्राप्त करने वाले परिणाम $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ हैं,जो कि $5$ परिणाम हैं।
अतः,$P(B) = \frac{5}{36}$।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,संयुक्त प्रायिकता है:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{144}$।

(B) $52$ पत्तों की गड्डी में $4$ इक्के और $48$ अन्य पत्ते होते हैं।
पहले $10$ पत्ते इक्के न हों और $11$ वां पत्ता इक्का हो,इसकी प्रायिकता:
$P = \left( \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} \times \frac{46}{50} \times \frac{45}{49} \times \frac{44}{48} \times \frac{43}{47} \times \frac{42}{46} \times \frac{41}{45} \times \frac{40}{44} \times \frac{39}{43} \right) \times \frac{4}{42}$
गणना करने पर:
$P = \frac{164}{4165}$.

(D) माना $P(O)$ विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है और $P(E)$ सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है।
चूंकि पासा पक्षपाती है,$P(E) = 2P(O)$ और $P(E) + P(O) = 1$,इसलिए $3P(O) = 1$,जिसका अर्थ है $P(O) = \frac{1}{3}$ और $P(E) = \frac{2}{3}$।
दो संख्याओं का योग सम तब होता है जब दोनों सम हों या दोनों विषम हों।
$P(\text{योग सम}) = P(E, E) + P(O, O) = P(E) \times P(E) + P(O) \times P(O)$।
$P(\text{योग सम}) = (\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$।

(C) तीन चतुष्फलक उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $4^3 = 64$ है।
हमें उन परिणामों को खोजना है जहाँ ऊपर आने वाले कोनों का योग $5$ हो।
माना परिणाम $(x, y, z)$ हैं जहाँ $x, y, z \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
योग $5$ होने वाले संभावित संयोजन हैं:
$(1, 1, 3)$ ($3$ क्रमपरिवर्तनों में हो सकते हैं: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$)
$(1, 2, 2)$ ($3$ क्रमपरिवर्तनों में हो सकते हैं: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$)
कुल अनुकूल परिणाम = $3 + 3 = 6$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{6}{64} = \frac{3}{32}$.

(D) $22^{nd}$ शताब्दी (वर्ष $2101$ से $2200$) में $25$ लीप वर्ष और $75$ सामान्य वर्ष होते हैं।
$1$. लीप वर्ष में $53$ रविवार होने की प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है। लीप वर्ष चुनने की प्रायिकता $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,लीप वर्ष में $53$ रविवार होने की प्रायिकता $\frac{1}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{2}{28}$ है।
$2$. सामान्य वर्ष में $53$ रविवार होने की प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है। सामान्य वर्ष चुनने की प्रायिकता $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,सामान्य वर्ष में $53$ रविवार होने की प्रायिकता $\frac{3}{4} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{28}$ है।
कुल प्रायिकता = $\frac{2}{28} + \frac{3}{28} = \frac{5}{28}$.

(B) माना $p$ एक बार पासा फेंकने पर $1$ प्राप्त करने की प्रायिकता है,अतः $p = \frac{1}{6}$.
माना $q$ $1$ न प्राप्त करने की प्रायिकता है,अतः $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
हमें सम प्रयास (अर्थात $2, 4, 6, \dots$ प्रयास) में पहली बार $1$ प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दी जाती है:
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$P = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{36 - 25}{36}} = \frac{5}{36} \times \frac{36}{11} = \frac{5}{11}$.

(C) $5$ बार फेंकने में कुल परिणामों की संख्या $6^5 = 7776$ है।
मान लीजिए फलक $0, 0, 0, 0, 2, 3$ हैं। हमें $5$ बार फेंकने में $12$ का योग प्राप्त करना है।
स्थिति $1$: एक $0$ और चार $3$। योग $0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12$ है। तरीकों की संख्या $\frac{5!}{1!4!} = 5$ है।
स्थिति $2$: तीन $2$ और दो $3$। योग $2 + 2 + 2 + 3 + 3 = 12$ है। तरीकों की संख्या $\frac{5!}{3!2!} = 10$ है।
कुल अनुकूल परिणाम = $5 + 10 = 15$ है।
आवश्यक प्रायिकता = $\frac{15}{6^5} = \frac{15}{7776} = \frac{5}{2592}$।

(A) कुल पत्तों की संख्या = $4 + 4 + 4 + 4 = 16$.
$16$ में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके = $^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120$.
इक्के न होने वाले पत्तों की संख्या = $16 - 4 = 12$.
$2$ पत्ते निकालने के तरीके जिनमें कोई इक्का न हो = $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
कोई इक्का न होने की प्रायिकता = $\frac{66}{120} = \frac{11}{20}$.
कम से कम एक इक्का होने की प्रायिकता = $1 - P(\text{No Ace}) = 1 - \frac{11}{20} = \frac{9}{20}$.

(D) माना $B_1$ पहली टोकरी है और $B_2$ दूसरी टोकरी है।
$B_1$ में $5$ सेब और $7$ संतरे हैं (कुल = $12$ फल)।
$B_2$ में $4$ सेब और $8$ संतरे हैं (कुल = $12$ फल)।
$B_1$ से सेब चुनने की प्रायिकता $P(A_1) = \frac{5}{12}$ है।
$B_1$ से संतरा चुनने की प्रायिकता $P(O_1) = \frac{7}{12}$ है।
$B_2$ से सेब चुनने की प्रायिकता $P(A_2) = \frac{4}{12}$ है।
$B_2$ से संतरा चुनने की प्रायिकता $P(O_2) = \frac{8}{12}$ है।
दोनों के सेब होने की प्रायिकता $P(A_1 \cap A_2) = \frac{5}{12} \times \frac{4}{12} = \frac{20}{144}$ है।
दोनों के संतरे होने की प्रायिकता $P(O_1 \cap O_2) = \frac{7}{12} \times \frac{8}{12} = \frac{56}{144}$ है।
कुल प्रायिकता $P = \frac{20}{144} + \frac{56}{144} = \frac{76}{144}$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6}$.
दोनों के न घटित होने की प्रायिकता $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{3}$.
इसका विस्तार करने पर,$1 - (P(A) + P(B)) + P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3}$.
$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6}$ रखने पर,$1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$.
माना $x = P(A)$ और $y = P(B)$। अतः $x + y = \frac{5}{6}$ और $xy = \frac{1}{6}$.
ये द्विघात समीकरण $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ के मूल हैं।
$6t^2 - 5t + 1 = 0$ अर्थात $(2t - 1)(3t - 1) = 0$.
अतः $t = \frac{1}{2}$ या $t = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$.
$(a)$ $P(E \cap F^c) = P(E) - P(E \cap F) = P(E) - P(E)P(F) = P(E)(1 - P(F)) = P(E)P(F^c)$. अतः,$E$ और $F^c$ स्वतंत्र हैं.
$(b)$ $P(E^c \cap F^c) = 1 - P(E \cup F) = 1 - [P(E) + P(F) - P(E \cap F)] = 1 - P(E) - P(F) + P(E)P(F) = (1 - P(E))(1 - P(F)) = P(E^c)P(F^c)$. अतः,$E^c$ और $F^c$ स्वतंत्र हैं.
$(c)$ चूँकि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं,$P(E/F) = P(E)$ और $P(E^c/F^c) = P(E^c)$. इसलिए,$P(E/F) + P(E^c/F^c) = P(E) + P(E^c) = 1$.
चूँकि सभी कथन सही हैं,उत्तर $(d)$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{1}{5}$।
$1$. विकल्प $A$ के लिए: चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A/B) = P(A) = \frac{1}{2}$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. विकल्प $B$ के लिए: $P(A/(A \cup B)) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$।
चूंकि $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$,
$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{5+2-1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$।
अतः,$P(A/(A \cup B)) = \frac{1/2}{3/5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$3$. विकल्प $C$ के लिए: $P((A \cap B)/(A' \cup B')) = \frac{P((A \cap B) \cap (A' \cup B'))}{P(A' \cup B')}$।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cup B' = (A \cap B)'$।
इसलिए,$(A \cap B) \cap (A \cap B)' = \emptyset$।
अतः,अंश $P(\emptyset) = 0$ है। इसलिए,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि सभी विकल्प सही हैं,उत्तर $D$ है।

(D) दिया गया है $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B).$
प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
इनकी तुलना करने पर,हमें $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
स्वतंत्र घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A/B) = P(A)$ होती है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
साथ ही,यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,तो $A^c$ और $B^c$ भी स्वतंत्र होते हैं।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c.$
इसलिए,$P((A \cup B)^c) = P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c).$ अतः,विकल्प $(C)$ भी सही है।
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(A) प्रतिस्थापन के साथ $4$ टिकट निकालने के कुल तरीके $3^4 = 81$ हैं।
माना $S$ निकाली गई $4$ संख्याओं का योग है। हम चाहते हैं कि $S$ सम हो।
माना $E$ वह घटना है कि योग सम है और $O$ वह घटना है कि योग विषम है।
माना $p_n$ $n$ टिकटों का योग सम होने की प्रायिकता है,और $q_n$ योग विषम होने की प्रायिकता है।
$n=1$ के लिए,टिकट ${1, 2, 3}$ हैं। यदि हम $2$ निकालते हैं (प्रायिकता $1/3$) तो योग सम होता है और यदि $1$ या $3$ निकालते हैं (प्रायिकता $2/3$) तो योग विषम होता है।
अतः,$p_1 = 1/3$ और $q_1 = 2/3$.
$n$ प्रयासों के लिए,योग सम तब होता है यदि $n-1$ प्रयासों का योग सम हो और $n$-वाँ टिकट सम हो $(2)$,या यदि $n-1$ प्रयासों का योग विषम हो और $n$-वाँ टिकट विषम हो ($1$ या $3$)।
$p_n = p_{n-1} \times (1/3) + q_{n-1} \times (2/3)$.
चूंकि $q_{n-1} = 1 - p_{n-1}$,हमारे पास $p_n = p_{n-1}/3 + (1 - p_{n-1}) \times 2/3 = 2/3 - p_{n-1}/3$ है।
$n=2$ के लिए: $p_2 = 2/3 - (1/3)/3 = 5/9$.
$n=3$ के लिए: $p_3 = 2/3 - (5/9)/3 = 13/27$.
$n=4$ के लिए: $p_4 = 2/3 - (13/27)/3 = 18/27 - 13/81 = 54/81 - 13/81 = 41/81$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{41}{81}$ है।

(D) दिया गया है कि $P(E) \le P(F)$ और $P(E \cap F) > 0.$
$P(E) \le P(F)$ का अर्थ यह नहीं है कि $E \subseteq F.$
$P(E \cap F) > 0$ यह दर्शाता है कि $E$ और $F$ का सर्वनिष्ठ रिक्त नहीं है,लेकिन इसका अर्थ यह नहीं है कि एक घटना दूसरी घटना का उपसमुच्चय है।
उदाहरण के लिए,मान लीजिए $S = \{1, 2, 3\}$ है। मान लीजिए $E = \{1, 2\}$ और $F = \{2, 3\}$ है।
तब $P(E) = 2/3$ और $P(F) = 2/3$,इसलिए $P(E) \le P(F)$ सत्य है।
साथ ही $P(E \cap F) = P(\{2\}) = 1/3 > 0$.
हालाँकि,$E \not\subseteq F$ और $F \not\subseteq E$.
अतः,दिए गए निहितार्थों में से कोई भी आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

(B) Let $P(H) = P(T) = \frac{1}{2}.$ The total number of outcomes is $2^{m+n}.$
Case $1$: The sequence of $m$ consecutive heads starts from the $1^{st}$ throw.
The sequence is $(H, H, \dots, H \text{ (m times)}, X, X, \dots, X \text{ (n times)}).$
The probability is $\frac{1}{2^m}.$
Case $2$: The sequence of $m$ consecutive heads starts from the $(r+1)^{th}$ throw,where $1 \le r \le n.$
For this to happen,the $r^{th}$ throw must be a Tail $(T)$,and the next $m$ throws must be Heads $(H)$.
The sequence is $(X, X, \dots, T, H, H, \dots, H, X, X, \dots, X).$
The probability of this specific event is $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2^m} = \frac{1}{2^{m+1}}.$
Since there are $n$ such possible starting positions for the sequence of $m$ consecutive heads (from $r=1$ to $r=n$),and these events are mutually exclusive:
Total Probability $= \frac{1}{2^m} + n \times \frac{1}{2^{m+1}}$
$= \frac{2}{2^{m+1}} + \frac{n}{2^{m+1}} = \frac{n + 2}{2^{m+1}}.$

(C) $n$ पूर्णांकों के गुणनफल का अंतिम अंक $2, 4, 6,$ या $8$ होता है यदि गुणनफल सम हो लेकिन $5$ का गुणज न हो।
कोई भी पूर्णांक $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,$ या $9$ पर समाप्त होता है।
किसी पूर्णांक के $0$ या $5$ पर समाप्त न होने की प्रायिकता $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ है।
$n$ पूर्णांकों के गुणनफल के $0$ या $5$ पर समाप्त न होने की प्रायिकता $(\frac{4}{5})^n$ है।
अंकों ${1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}$ में से,गुणनफल $2, 4, 6,$ या $8$ पर समाप्त होता है यदि वह सम हो।
यदि सभी $n$ पूर्णांक ${1, 3, 7, 9}$ पर समाप्त होते हैं तो गुणनफल विषम होता है। किसी पूर्णांक के ${1, 3, 7, 9}$ पर समाप्त होने की प्रायिकता $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।
गुणनफल के विषम होने की प्रायिकता $(\frac{2}{5})^n$ है।
अतः,गुणनफल के $2, 4, 6,$ या $8$ पर समाप्त होने की प्रायिकता वह है कि गुणनफल सम हो और $5$ का गुणज न हो,जो $(\frac{4}{5})^n - (\frac{2}{5})^n = \frac{4^n - 2^n}{5^n}$ है।

(B) माना $H$ चित आने की घटना है और $T$ पट आने की घटना है। $P(H) = P(T) = \frac{1}{2}$.
स्थिति $1$: यदि $H$ आता है,तो दो पासे फेंके जाते हैं। योग $7$ या $8$ हो सकता है।
$P(7|H) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ और $P(8|H) = \frac{5}{36}$.
स्थिति $2$: यदि $T$ आता है,तो $2$ से $12$ तक अंकित कार्डों में से एक कार्ड चुना जाता है।
$P(7|T) = \frac{1}{11}$ और $P(8|T) = \frac{1}{11}$.
$7$ प्राप्त करने की कुल प्रायिकता $P(7) = P(H)P(7|H) + P(T)P(7|T) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{11} = \frac{17}{132}$.
$8$ प्राप्त करने की कुल प्रायिकता $P(8) = P(H)P(8|H) + P(T)P(8|T) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{36} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{11} = \frac{91}{792}$.
अभीष्ट प्रायिकता $P = P(7) + P(8) = \frac{17}{132} + \frac{91}{792} = \frac{193}{792} \approx 0.244$.

(A) $7^k$ का अंतिम अंक $4$ की लंबाई के चक्र का पालन करता है: $7^1=7, 7^2=9, 7^3=3, 7^4=1, 7^5=7, \dots$
$7^m + 7^n$ के $5$ से विभाज्य होने के लिए,योग का अंतिम अंक $0$ या $5$ होना चाहिए।
चूंकि $7$ की घातों के अंतिम अंक ${1, 3, 7, 9}$ हैं,इसलिए अंतिम अंकों के संभावित योग हैं:
$1+1=2, 1+3=4, 1+7=8, 1+9=10$ ($5$ से विभाज्य)
$3+1=4, 3+3=6, 3+7=10$ ($5$ से विभाज्य),$3+9=12$
$7+1=8, 7+3=10$ ($5$ से विभाज्य),$7+7=14, 7+9=16$
$9+1=10$ ($5$ से विभाज्य),$9+3=12, 9+7=16, 9+9=18$
$m$ और $n$ के लिए $4$ के प्रत्येक चक्र में,$16$ जोड़े हैं। $(m, n) \pmod 4$ के वे जोड़े जिनका योग $5$ से विभाज्य है,$(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2)$ हैं।
प्रत्येक $4 \times 4$ ब्लॉक में कुल $16$ संभावनाओं में से ऐसे $4$ जोड़े हैं।
चूंकि $100$,$4$ का गुणज है,इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ है।

(D) अधिकतम एक घटना के घटित होने का अर्थ है कि या तो कोई भी घटना घटित न हो,या ठीक एक घटना घटित हो।
यह घटना $(A' \cap B') \cup (A \cap B') \cup (A' \cap B)$ द्वारा निरूपित होती है।
चूँकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए प्रायिकता $P(A' \cap B') + P(A \cap B') + P(A' \cap B)$ होगी,जो विकल्प $A$ है।
साथ ही,'अधिकतम एक घटना घटित हो' का अर्थ 'दोनों घटनाएँ घटित हों' का पूरक है,जो $1 - P(A \cap B)$ है,जो विकल्प $B$ है।
विकल्प $C$ भी $1 - P(A \cap B)$ के बराबर है।
अतः,सभी विकल्प सही हैं।

(A) हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही,किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,हम जानते हैं कि $P(A \cup B) \le 1$ होता है।
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1$ मिलता है।
दोनों पक्षों को $P(B)$ से विभाजित करने पर (जहाँ $P(B) \ne 0$),हमें $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \ge \frac{P(A) + P(B) - 1}{P(B)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(A/B) \ge \frac{P(A) + P(B) - 1}{P(B)}$ हमेशा सत्य है।

(D) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) \ge \max\{P(A), P(B)\} = \frac{2}{3}$।
साथ ही,$P(A \cap B) \le \min\{P(A), P(B)\} = \frac{1}{2}$।
सूत्र $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ का उपयोग करते हुए,और चूंकि $P(A \cup B) \le 1$,हमें $P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{6} \le P(A \cap B) \le \frac{1}{2}$।
$P(A' \cap B)$ के लिए,हम $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हैं।
$P(A \cap B)$ की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2}{3} - \frac{1}{2} \le P(A' \cap B) \le \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{1}{6} \le P(A' \cap B) \le \frac{1}{2}$ हो जाता है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $(d)$ है।

(C) माना समुच्चय $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ है।
तीन संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^8C_3 = 56$ हैं।
घटना $E$: न्यूनतम $3$ और अधिकतम $6$ हो।
इसके लिए चुनी गई संख्याओं में ${3, 6}$ का होना आवश्यक है और तीसरी संख्या $x$ ऐसी होनी चाहिए कि $3 < x < 6$ हो।
अतः, $x \in {4, 5}$।
संभव समुच्चय ${3, 4, 6}$ और ${3, 5, 6}$ हैं।
इस प्रकार, अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $1/5$ है।

(C) यहाँ $3$ घर और $3$ व्यक्ति हैं। प्रत्येक व्यक्ति स्वतंत्र रूप से $3$ घरों में से किसी एक को चुन सकता है।
प्रत्येक व्यक्ति द्वारा घर चुनने के कुल तरीकों की संख्या $3 \times 3 \times 3 = 27$ है।
तीनों व्यक्तियों के एक ही घर के लिए आवेदन करने के लिए,उन्हें या तो घर $1$ चुनना होगा,या घर $2$,या घर $3$ चुनना होगा।
ऐसे अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ होगी।

(A) $A, B,$ और $C$ में से ठीक $2$ घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(\text{ठीक } 2) = P(A \cap B \cap C^c) + P(A \cap B^c \cap C) + P(A^c \cap B \cap C)$
चूंकि $A, B,$ और $C$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A^c, B^c,$ और $C^c$ भी स्वतंत्र हैं।
$P(A^c) = 1 - 1/3 = 2/3$
$P(B^c) = 1 - 1/2 = 1/2$
$P(C^c) = 1 - 1/4 = 3/4$
$P(\text{ठीक } 2) = P(A)P(B)P(C^c) + P(A)P(B^c)P(C) + P(A^c)P(B)P(C)$
$= (1/3 \times 1/2 \times 3/4) + (1/3 \times 1/2 \times 1/4) + (2/3 \times 1/2 \times 1/4)$
$= 3/24 + 1/24 + 2/24 = 6/24 = 1/4$

(A) $W$ सफेद गेंद और $B$ काली गेंद को दर्शाता है।
$2$ सफेद और $1$ काली गेंद प्राप्त करने के तीन मामले हैं:
मामला $1$: बक्सा $I$ से $W$,बक्सा $II$ से $W$,बक्सा $III$ से $B$।
मामला $2$: बक्सा $I$ से $W$,बक्सा $II$ से $B$,बक्सा $III$ से $W$।
मामला $3$: बक्सा $I$ से $B$,बक्सा $II$ से $W$,बक्सा $III$ से $W$।
प्रायिकता $= P(W_1)P(W_2)P(B_3) + P(W_1)P(B_2)P(W_3) + P(B_1)P(W_2)P(W_3)$
$= (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$

(B) माना $E$ सम संख्या वाले प्रयास में $1$ प्राप्त करने की घटना है।
सम प्रयास में $1$ प्राप्त करने के लिए,उससे पहले के सभी विषम प्रयासों में $1$ नहीं आना चाहिए।
$1$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p = 1/6$ है और $1$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 5/6$ है।
प्रायिकता एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है:
$P = (q)(p) + (q^3)(p) + (q^5)(p) + ...$
$P = (5/6)(1/6) + (5/6)^3(1/6) + (5/6)^5(1/6) + ...$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = (5/6)(1/6) = 5/36$ और सार्व अनुपात $r = (5/6)^2 = 25/36$ है।
योग $S = a / (1 - r) = (5/36) / (1 - 25/36) = (5/36) / (11/36) = 5/11$।

(C) माना $C_1$ दो हेड वाले सिक्के को चुनने की घटना है और $C_2$ एक निष्पक्ष सिक्के को चुनने की घटना है।
$P(C_1) = \frac{1}{n+1}$ और $P(C_2) = \frac{n}{n+1}$.
माना $H$ हेड आने की घटना है।
$P(H|C_1) = 1$ और $P(H|C_2) = \frac{1}{2}$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(H) = P(C_1)P(H|C_1) + P(C_2)P(H|C_2) = \frac{7}{12}$.
$\frac{1}{n+1} \times 1 + \frac{n}{n+1} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{12}$.
$\frac{2 + n}{2(n+1)} = \frac{7}{12}$.
$12(n + 2) = 14(n + 1)$.
$12n + 24 = 14n + 14$.
$2n = 10 \Rightarrow n = 5$.

(A) कुल कार्डों की संख्या $20$ है।
$I$ अक्षर वाले कार्डों की संख्या $= 10$ है।
$T$ अक्षर वाले कार्डों की संख्या $= 10$ है।
चूंकि कार्ड प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए किसी भी एक प्रयास में $I$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(I) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ है।
किसी भी एक प्रयास में $T$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(T) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ है।
$IIT$ शब्द बनाने के लिए,हमें पहले $I$,दूसरा $I$ और तीसरा $T$ कार्ड निकालना होगा।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए प्रायिकता $P(I) \times P(I) \times P(T) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ होगी।

(D) किसी भी शताब्दी में $76$ सामान्य वर्ष और $24$ लीप वर्ष होते हैं।
एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन है। इस अतिरिक्त दिन के रविवार होने की प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।
अतः,एक सामान्य वर्ष में $53$ रविवार होने की प्रायिकता $\frac{76}{100} \times \frac{1}{7} = \frac{76}{700}$ है।
एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन है। इन दो दिनों में रविवार होने की प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।
अतः,एक लीप वर्ष में $53$ रविवार होने की प्रायिकता $\frac{24}{100} \times \frac{2}{7} = \frac{48}{700}$ है।
कुल प्रायिकता $\frac{76}{700} + \frac{48}{700} = \frac{124}{700} = \frac{31}{175}$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $D$ है।

(D) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ तीन घटनाएँ हैं जिनकी प्रायिकताएँ $P(E_1) = p_1, P(E_2) = p_2, P(E_3) = p_3$ हैं।
कोई भी घटना न घटने की प्रायिकता $P(\text{none}) = P(E_1^c) P(E_2^c) P(E_3^c)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_i^c$ घटना $E_i$ की पूरक घटना है।
चूँकि $P(E_i^c) = 1 - p_i$,इसलिए $P(\text{none}) = (1 - p_1)(1 - p_2)(1 - p_3)$।
कम से कम एक घटना के घटने की प्रायिकता $1 - P(\text{none})$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - [(1 - p_1)(1 - p_2)(1 - p_3)]$ है।

(A) व्यंजक $E = \frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$ द्वारा दिया गया है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$E = \frac{n(n+1)(2n+1)/6}{n(n+1)/2} = \frac{2n+1}{3}$ प्राप्त होता है।
$E$ के पूर्णांक होने के लिए,$2n+1$ को $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
$2n+1 \equiv 0 \pmod{3} \implies 2n \equiv 2 \pmod{3} \implies n \equiv 1 \pmod{3}$।
समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ में,$n \equiv 1 \pmod{3}$ को संतुष्ट करने वाले मान $1, 4, 7, \dots, 997, 1000$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$,अंतिम पद $l=1000$ और सार्व अंतर $d=3$ है।
पदों की संख्या $k$ के लिए,$1000 = 1 + (k-1)3 \implies 999 = 3(k-1) \implies k = 334$ है।
समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या $1000$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{334}{1000} = 0.334$ है।

(A) मान लीजिए $X_1, X_2, X_3$ और $X_4$ चार पासों $D_1, D_2, D_3$ और $D_4$ के परिणाम हैं।
प्रत्येक $X_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $6^4 = 1296$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $X_4 \in \{X_1, X_2, X_3\}$ हो।
पूरक घटना की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है: $X_4 \notin \{X_1, X_2, X_3\}$ होने की प्रायिकता।
$X_4 = k$ के एक निश्चित मान के लिए,$X_1, X_2, X_3 \neq k$ होने के तरीकों की संख्या $5 \times 5 \times 5 = 125$ है।
चूंकि $X_4$ के लिए $6$ संभावित मान हैं,इसलिए पूरक घटना के लिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $6 \times 125 = 750$ है।
पूरक घटना की प्रायिकता $P(X_4 \notin \{X_1, X_2, X_3\}) = \frac{750}{1296} = \frac{125}{216}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$ है।

(C) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जिसमें $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन होते हैं। इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए संभावित जोड़े हैं:
$(i)$ (रविवार,सोमवार),$(ii)$ (सोमवार,मंगलवार),$(iii)$ (मंगलवार,बुधवार),$(iv)$ (बुधवार,गुरुवार),$(v)$ (गुरुवार,शुक्रवार),$(vi)$ (शुक्रवार,शनिवार),$(vii)$ (शनिवार,रविवार)।
माना $A$ वह घटना है कि लीप वर्ष में $53$ रविवार हैं,और $B$ वह घटना है कि इसमें $53$ सोमवार हैं।
तब $P(A) = \frac{2}{7}$,$P(B) = \frac{2}{7}$,और $P(A \cap B) = \frac{1}{7}$ (केवल रविवार-सोमवार के जोड़े के लिए)।
लीप वर्ष में $53$ रविवार या $53$ सोमवार होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$ है।
एक सामान्य वर्ष ($365$ दिन) में $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है। इसमें $53$ रविवार और $53$ सोमवार होने की प्रायिकता $0$ है।
अतः,$53$ रविवार और $53$ सोमवार वाले सभी वर्ष लीप वर्ष ही होते हैं। इसलिए प्रायिकता $1$ है।

(D) दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{4}$,और $P(B|A) = \frac{1}{2}$.
चरण $1$: स्वतंत्रता की जाँच करें।
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4}$.
साथ ही,$P(A|B) = P(A)$ यह दर्शाता है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
अतः,विकल्प $A$ सत्य है।
चरण $2$: $P(A'|B)$ की जाँच करें।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$A'$ और $B$ भी स्वतंत्र हैं।
इसलिए,$P(A'|B) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अतः,विकल्प $B$ सत्य है।
चरण $3$: $P(B'|A')$ की जाँच करें।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$A'$ और $B'$ भी स्वतंत्र हैं।
इसलिए,$P(B'|A') = P(B') = 1 - P(B)$.
$P(B)$ ज्ञात करने के लिए,$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करें।
चूँकि $A, B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
अतः,$\frac{P(A)P(B)}{P(A)} = P(B) = \frac{1}{2}$.
तब $P(B') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$P(B'|A') = \frac{1}{2}$,इसलिए विकल्प $C$ सत्य है।
चूँकि $A, B,$ और $C$ सत्य हैं,सही उत्तर $D$ है।

(D) दिया गया है $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$.
हम जानते हैं कि $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$.
दी गई शर्त को प्रतिस्थापित करने पर: $P(X \cap Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$,जिसका अर्थ है $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$. अतः,कथन-$2$ सत्य है।
साथ ही,$P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$ का अर्थ है कि घटनाएँ $X$ और $Y$ समान होनी चाहिए $(X = Y)$.
यदि $X = Y$ है,तो $P(X) = 2P(X)$,जिसका अर्थ है $P(X) = 0$. परिणामस्वरूप $P(Y) = 0$ और $P(X \cap Y) = 0$.
अब,$P(X' \cap Y') = P((X \cup Y)') = 1 - P(X \cup Y) = 1 - 0 = 1$.
चूँकि $P(X' \cap Y') = 1 \neq 0$,इसलिए कथन-$1$ असत्य है।

(D) किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,प्रायिकता का योग प्रमेय $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ है,जिसका अर्थ है कि $P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$। अतः,विकल्प $C$ सत्य है।
विकल्प $D$ के लिए,यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,तो $P(AB) = P(A) \times P(B)$ होता है। कथन $P(AB) = 0$ केवल तभी सत्य है जब $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जित (mutually exclusive) घटनाएँ हों। इसलिए,विकल्प $D$ में दिया गया कथन असत्य है।

(C) मान लीजिए $P(A), P(B), P(C)$ घटनाओं $A, B, C$ की प्रायिकताएं हैं।
दिया गया है:
$P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ ... $(1)$
$P(B) + P(C) - 2P(B \cap C) = \frac{1}{4}$ ... $(2)$
$P(C) + P(A) - 2P(C \cap A) = \frac{1}{4}$ ... $(3)$
$(1), (2),$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2[P(A) + P(B) + P(C)] - 2[P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3}{4}$
$2$ से भाग देने पर:
$[P(A) + P(B) + P(C)] - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3}{8}$
हम जानते हैं कि $P(A \cup B \cup C) = [P(A) + P(B) + P(C)] - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$.
मान रखने पर:
$P(A \cup B \cup C) = \frac{3}{8} + \frac{1}{16} = \frac{6+1}{16} = \frac{7}{16}$.

(A) माना $R_1$ पहले ड्रा में लाल गेंद निकालने की घटना है और $B_1$ पहले ड्रा में काली गेंद निकालने की घटना है।
माना $R_2$ दूसरे ड्रा में लाल गेंद निकालने की घटना है।
प्रारंभ में,थैले में $4$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं,कुल $10$ गेंदें हैं।
$P(R_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ और $P(B_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$।
यदि पहली बार लाल गेंद निकाली जाती है,तो उसे $2$ अतिरिक्त लाल गेंदों के साथ वापस डाल दिया जाता है। अब थैले में $4 + 2 = 6$ लाल गेंदें और $6$ काली गेंदें हैं,कुल $12$ गेंदें हैं।
अतः,$P(R_2 | R_1) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$।
यदि पहली बार काली गेंद निकाली जाती है,तो उसे $2$ अतिरिक्त काली गेंदों के साथ वापस डाल दिया जाता है। अब थैले में $4$ लाल गेंदें और $6 + 2 = 8$ काली गेंदें हैं,कुल $12$ गेंदें हैं।
अतः,$P(R_2 | B_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता है:
$P(R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) + P(B_1) \times P(R_2 | B_1)$
$P(R_2) = (\frac{4}{10} \times \frac{6}{12}) + (\frac{6}{10} \times \frac{4}{12})$
$P(R_2) = \frac{24}{120} + \frac{24}{120} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$।

(D) माना $X$ निकाले गए टिकट पर संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। चूंकि टिकटों को प्रतिस्थापन के साथ निकाला जाता है,इसलिए प्रत्येक चयन स्वतंत्र है।
प्रत्येक चयन के लिए,टिकट पर संख्या $9$ या उससे कम होने की प्रायिकता $P(X \le 9) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ है।
$7$ निकाले गए टिकटों में सबसे बड़ी संख्या $9$ होने की प्रायिकता $P(\text{max} = 9) = P(\text{max} \le 9) - P(\text{max} \le 8)$ द्वारा दी जाती है।
$P(\text{max} \le 9) = (\frac{9}{15})^7 = (\frac{3}{5})^7$.
$P(\text{max} \le 8) = (\frac{8}{15})^7$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $(\frac{3}{5})^7 - (\frac{8}{15})^7$ है।
चूंकि यह परिणाम दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) एक मानक शतरंज-बोर्ड में $64$ वर्ग होते हैं। दो अलग-अलग वर्गों को चुनने के कुल तरीके $^64C_2 = \frac{64 \times 63}{2} = 2016$ हैं।
यदि हम क्रमित युग्मों पर विचार करें,तो कुल तरीके $64 \times 63 = 4032$ हैं।
एक भुजा सामान्य होने के लिए,दोनों वर्गों का आसन्न होना आवश्यक है।
आंतरिक वर्गों के $4$ पड़ोसी होते हैं,किनारे वाले वर्गों (कोनों को छोड़कर) के $3$ पड़ोसी होते हैं,और कोने वाले वर्गों के $2$ पड़ोसी होते हैं।
आसन्न युग्मों की कुल संख्या:
क्षैतिज किनारे: $8 \times 7 = 56$।
ऊर्ध्वाधर किनारे: $8 \times 7 = 56$।
कुल आसन्न युग्म = $56 + 56 = 112$।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $112$ है।
प्रायिकता = $\frac{112}{2016} = \frac{1}{18}$ है।

(A) प्रत्येक उछाल के लिए,$A$ और $B$ के लिए कुल $4$ संभावित परिणाम हैं: $(H, H), (T, H), (H, T), (T, T)$।
चूंकि सिक्के निष्पक्ष हैं,प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
यह घटना कि दोनों को एक ही उछाल में टेल (tail) न मिले,का अर्थ है कि हम $(T, T)$ परिणाम को बाहर कर देते हैं।
इस प्रकार,एक उछाल के लिए,$3$ अनुकूल परिणाम हैं: $(H, H), (T, H), (H, T)$।
एक उछाल में एक साथ टेल न मिलने की प्रायिकता $P = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि वे $50$ बार स्वतंत्र रूप से सिक्के उछालते हैं,इसलिए सभी $50$ उछालों में ऐसा होने की प्रायिकता $(\frac{3}{4})^{50}$ होगी।

(D) तीन पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
योग $k$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3$ के विस्तार में $x^k$ का गुणांक देखते हैं।
यह $x^3(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^3 = x^3 \left( \frac{1 - x^6}{1 - x} \right)^3$ में $x^k$ के गुणांक के बराबर है।
चूंकि $3 \le k \le 8$,पद $(1 - x^6)$ का $(1 - x)^{-3}$ में $x^{k-3}$ के गुणांक पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
$(1 - x)^{-3}$ में $x^{k-3}$ का गुणांक सूत्र $\binom{(k-3) + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{k-1}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसकी गणना करने पर,हमें $\binom{k-1}{2} = \frac{(k-1)(k-2)}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रायिकता $\frac{\frac{(k-1)(k-2)}{2}}{216} = \frac{(k-1)(k-2)}{432}$ है।

(A) दिया गया है कि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E \cap F) = P(E)P(F) = \frac{1}{12}$ $(i)$.
साथ ही,$P(\bar{E} \cap \bar{F}) = P(\bar{E})P(\bar{F}) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $P(\bar{E}) = 1 - P(E)$ और $P(\bar{F}) = 1 - P(F)$,इसलिए $(1 - P(E))(1 - P(F)) = \frac{1}{2}$.
$1 - (P(E) + P(F)) + P(E)P(F) = \frac{1}{2}$.
$P(E)P(F) = \frac{1}{12}$ रखने पर,$1 - (P(E) + P(F)) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$.
$P(E) + P(F) = 1 + \frac{1}{12} - \frac{1}{2} = \frac{7}{12}$ $(ii)$.
मान लीजिए $x = P(E)$ और $y = P(F)$। तब $x + y = \frac{7}{12}$ और $xy = \frac{1}{12}$।
द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ का रूप $t^2 - \frac{7}{12}t + \frac{1}{12} = 0$ होगा।
$12t^2 - 7t + 1 = 0 \Rightarrow (4t - 1)(3t - 1) = 0$.
अतः,$t = \frac{1}{4}$ या $t = \frac{1}{3}$।
इसलिए,प्रायिकताएँ $\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{4}$ हैं।

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि योग $5$ प्राप्त होता है,$B$ वह घटना है कि योग $7$ प्राप्त होता है,और $C$ वह घटना है कि न तो योग $5$ और न ही $7$ प्राप्त होता है।
पासों के एक जोड़े के लिए,कुल परिणामों की संख्या $36$ है।
योग $5$ के लिए परिणाम $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$।
योग $7$ के लिए परिणाम $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
न तो $5$ और न ही $7$ प्राप्त होने की प्रायिकता $P(C) = 1 - (P(A) + P(B)) = 1 - (\frac{1}{9} + \frac{1}{6}) = 1 - (\frac{2+3}{18}) = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}$ है।
$B$ से पहले $A$ के आने की प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दी जाती है:
$P = P(A) + P(C)P(A) + P(C)^2 P(A) + \dots = \frac{P(A)}{1 - P(C)}$।
मान रखने पर: $P = \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{13}{18}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{5}{18}} = \frac{1}{9} \times \frac{18}{5} = \frac{2}{5}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) हम जानते हैं कि $P$ ($A$ या $B$ में से ठीक एक घटना घटित होती है) = $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = p$ ..... $(i)$
इसी प्रकार,$P(B) + P(C) - 2P(B \cap C) = p$ ..... $(ii)$
और $P(C) + P(A) - 2P(C \cap A) = p$ ..... $(iii)$
$(i), (ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है $2[P(A) + P(B) + P(C)] - 2[P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = 3p$
अतः,$P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3p}{2}$ ..... $(iv)$
हमें दिया गया है कि $P(A \cap B \cap C) = p^2$ ..... $(v)$
तीन घटनाओं $A, B$ और $C$ में से कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत द्वारा दी गई है:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$
$(iv)$ और $(v)$ को इस व्यंजक में रखने पर:
$P(A \cup B \cup C) = \frac{3p}{2} + p^2 = \frac{3p + 2p^2}{2}$

(A) समुच्चय $B$ को चार असंयुक्त क्षेत्रों में विभाजित किया जा सकता है:
$B = (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap C) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C})$
ध्यान दें कि $(A \cap B \cap C) \cup (\bar{A} \cap B \cap C) = B \cap C$ है।
अतः,$P(B) = P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) + P(B \cap C)$।
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + P(B \cap C)$
$\frac{3}{4} = \frac{2}{3} + P(B \cap C)$
$P(B \cap C) = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$।