Conditional probability Questions in Hindi

(B) चूँकि $A \cap \bar{B}$ और $A \cap B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $A = (A \cap \bar{B}) \cup (A \cap B)$।
$\therefore P(A) = P(A \cap \bar{B}) + P(A \cap B)$।
$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B)$ (चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं)।
$P(A \cap \bar{B}) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(\bar{B})$।
अतः,$A$ और $\bar{B}$ भी स्वतंत्र हैं।

(B) मान लीजिए $W_1$ वह घटना है कि पहली गेंद सफेद है और $R_1$ वह घटना है कि पहली गेंद लाल है। मान लीजिए $R_2$ वह घटना है कि दूसरी गेंद लाल है।
दूसरी गेंद दो परस्पर अपवर्जी स्थितियों में लाल हो सकती है:
स्थिति $(i)$: पहली गेंद सफेद और दूसरी गेंद लाल हो।
$P(W_1 \cap R_2) = P(W_1) \times P(R_2 | W_1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$.
स्थिति $(ii)$: पहली गेंद लाल और दूसरी गेंद भी लाल हो।
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$.
दूसरी गेंद के लाल होने की कुल प्रायिकता $P(R_2) = P(W_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ है।

(C) माना $W_1$ वह घटना है कि पहली गेंद सफेद है और $B_1$ वह घटना है कि पहली गेंद काली है। माना $W_2$ वह घटना है कि दूसरी गेंद सफेद है।
दूसरी गेंद के सफेद होने के दो परस्पर अपवर्जी मामले हैं:
$1$. पहली गेंद सफेद और दूसरी गेंद सफेद है $(W_1 \cap W_2)$:
$P(W_1 \cap W_2) = P(W_1) \times P(W_2|W_1) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$.
$2$. पहली गेंद काली और दूसरी गेंद सफेद है $(B_1 \cap W_2)$:
$P(B_1 \cap W_2) = P(B_1) \times P(W_2|B_1) = \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$.
दूसरी गेंद के सफेद होने की कुल प्रायिकता $P(W_2) = P(W_1 \cap W_2) + P(B_1 \cap W_2) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$ है।

(C) माना $S$ दो पासे फेंकने का प्रतिदर्श समष्टि है,जहाँ $n(S) = 36$ है।
माना $A$ वह घटना है कि कम से कम एक पासे पर $5$ आता है।
$A$ के परिणाम हैं: $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)$।
अतः,$n(A) = 11$ है।
माना $B$ वह घटना है कि योग $10$ या उससे अधिक है।
$A \cap B$ (योग $\ge 10$ और कम से कम एक $5$) के परिणाम हैं: $(5, 5), (5, 6), (6, 5)$।
अतः,$n(A \cap B) = 3$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{3}{11}$ है।

(B) गेंदों की कुल संख्या = $3 + 7 = 10$ है।
यह दिया गया है कि पहली निकाली गई गेंद लाल है,इसलिए थैले में $2$ लाल गेंदें और $7$ काली गेंदें शेष बचती हैं।
शेष गेंदों की कुल संख्या = $9$ है।
पहली गेंद के लाल होने की स्थिति में,दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता शेष लाल गेंदों की संख्या और शेष कुल गेंदों की संख्या का अनुपात है।
$P(\text{दूसरी लाल} | \text{पहली लाल}) = \frac{2}{9}$.

(C) कुल आम $= 10$। सड़े हुए आम $= 4$। अच्छे आम $= 6$।
हम $10$ में से $2$ आम चुनते हैं। $2$ आम चुनने के कुल तरीके $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि कम से कम एक आम अच्छा है,और $B$ वह घटना है कि दोनों आम अच्छे हैं।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$ ज्ञात करनी है। चूँकि $B \subset A$,इसलिए $P(B \cap A) = P(B)$।
$2$ अच्छे आम चुनने के तरीके (घटना $B$) $= ^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$।
कम से कम एक अच्छा आम चुनने के तरीके (घटना $A$) = कुल तरीके - $2$ सड़े हुए आम चुनने के तरीके $= 45 - ^4C_2 = 45 - 6 = 39$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(B|A) = \frac{15}{39} = \frac{5}{13}$ है।

(A) चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$P(A \cap B') = P(A)(1 - P(B)) = \frac{3}{25}$ .....$(i)$
$P(A' \cap B) = (1 - P(A))P(B) = \frac{8}{25}$ .....$(ii)$
माना $P(A) = x$ और $P(B) = y$ है। समीकरणों को हल करने पर:
$x - xy = \frac{3}{25}$
$y - xy = \frac{8}{25}$
दोनों को घटाने पर,$x - y = -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5}$,अर्थात $y = x + \frac{1}{5}$ है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर:
$x(\frac{4}{5} - x) = \frac{3}{25} \Rightarrow 25x^2 - 20x + 3 = 0$
$(5x - 1)(5x - 3) = 0$
अतः,$P(A) = \frac{1}{5}$ या $P(A) = \frac{3}{5}$ है। विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $\frac{1}{5}$ है।

(B) माना $A$ वह घटना है कि संख्याओं का योग $11$ है,और $B$ वह घटना है कि पहले पासे पर $5$ आता है।
पहले पासे पर $5$ आने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\}$ है।
घटना $B$ में कुल परिणामों की संख्या $n(B) = 6$ है।
घटना $A \cap B$ वह परिणाम है जहाँ योग $11$ है और पहला पासा $5$ है,जो $\{(5, 6)\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A \cap B) = 1$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{6}$ है।

(C) सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ और $P(A) = \frac{1}{2}$ को सूत्र में रखने पर:
$P(B/A) = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास है:
$P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$।
इसलिए,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{1 - P(A \cup B)}{P(\overline{B})}$

(A) हमें $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,और $P(A \cap B) = \frac{1}{5}$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{20 + 15 - 12}{60} = \frac{23}{60}$ ज्ञात करते हैं।
हमें $P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right)$ की गणना करनी है। सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right) = \frac{P(\overline{B} \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{B} \cap \overline{A} = \overline{A \cup B}$,इसलिए $P(\overline{B} \cap \overline{A}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{23}{60} = \frac{37}{60}$ है।
साथ ही,$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,$P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right) = \frac{37/60}{2/3} = \frac{37}{60} \times \frac{3}{2} = \frac{37}{40}$ है।

(A) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$.
$\frac{3}{4} = \frac{8}{8} - P(A \cap B) = 1 - P(A \cap B)$.
अतः,$P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ है।
मान रखने पर: $P(A|B) = \frac{1/4}{5/8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.

(A) सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) की परिभाषा के अनुसार $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$,जहाँ $P(B) \neq 0$ है।
चूँकि घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं,वे एक साथ नहीं घट सकती हैं।
इसलिए,$P(A \cap B) = 0$ है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{0}{P(B)} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $A \subseteq B$ है।
इसका अर्थ है कि $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ $A$ है,अर्थात $A \cap B = A$।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ होता है।
सूत्र में $A \cap B = A$ रखने पर,हमें $P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$ प्राप्त होता है (जहाँ $P(A) \neq 0$)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए उनके सर्वनिष्ठ की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ होती है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर से $P(B)$ को काटने पर,हमें $P\left( \frac{A}{B} \right) = P(A)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $A$ वह घटना है कि फलक $4$ ऊपर आता है और $B$ वह घटना है कि फलक $5$ ऊपर आता है।
दिया गया है $P(A) = 0.25$ और $P(B) = 0.05$।
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए फलक $4$ या फलक $5$ के ऊपर आने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.25 + 0.05 = 0.30$ है।
हमें वह सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करनी है कि फलक $4$ है,यह देखते हुए कि या तो फलक $4$ या फलक $5$ ऊपर आया है,जो $P(A | A \cup B)$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(A | A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A \cup B)} = \frac{0.25}{0.30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$।

(C) मान लीजिए कि दो बच्चों के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ है,जहाँ $B$ लड़के को और $G$ लड़की को दर्शाता है। प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है। तब $E = \{BB, BG, GB\}$। प्रायिकता $P(E) = \frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि दोनों बच्चे लड़के हैं। तब $F = \{BB\}$।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(F|E)$ ज्ञात करनी है,जो यह प्रायिकता है कि दोनों लड़के हैं,यह देखते हुए कि कम से कम एक लड़का है।
सूत्र $P(F|E) = \frac{P(F \cap E)}{P(E)}$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $F \cap E = \{BB\}$,इसलिए $P(F \cap E) = \frac{1}{4}$।
अतः,$P(F|E) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$।

(A) माना $S$ तीन सिक्कों को उछालने का प्रतिदर्श समष्टि है। कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ है।
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
माना $F$ वह घटना है कि कम से कम एक सिक्के पर टेल आता है। अतः $F = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$।
$F$ में अवयवों की संख्या $n(F) = 7$ है।
माना $E$ वह घटना है कि तीनों सिक्कों पर टेल आता है। अतः $E = \{TTT\}$।
यहाँ $E \subset F$ है,इसलिए $E \cap F = E = \{TTT\}$।
$E \cap F$ में अवयवों की संख्या $n(E \cap F) = 1$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{1}{7}$ है।

(D) दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि $P(A) = P\left( \frac{A}{B} \right)$,इसलिए घटनाएं $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
अतः,विकल्प $A$ सही है।
स्वतंत्र घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$A'$ और $B$ भी स्वतंत्र होते हैं।
इसलिए,$P\left( \frac{A'}{B} \right) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।
इसी प्रकार,स्वतंत्र घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$A'$ और $B'$ भी स्वतंत्र होते हैं।
इसलिए,$P\left( \frac{B'}{A'} \right) = P(B')$ होगा।
हम जानते हैं कि $P\left( \frac{B}{A} \right) = P(B) = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं)।
अतः,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि सभी विकल्प $A, B,$ और $C$ सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि एक सम फलक ऊपर आता है,इसलिए $A = \{2, 4, 6\}$।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 0.24 + 0.18 + 0.14 = 0.56$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि फलक $2$ या $4$ है,इसलिए $B = \{2, 4\}$।
सर्वनिष्ठ $B \cap A$ वह घटना है कि फलक $2$ या $4$ है और वह सम है,जो कि $B = \{2, 4\}$ है।
$B \cap A$ की प्रायिकता $P(B \cap A) = P(2) + P(4) = 0.24 + 0.18 = 0.42$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$।
मान रखने पर,$P(B|A) = \frac{0.42}{0.56} = \frac{42}{56} = \frac{3}{4} = 0.75$।

(C) दिया गया है $P(A^c) = 0.3$,इसलिए $P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
दिया गया है $P(B) = 0.4$,इसलिए $P(B^c) = 1 - 0.4 = 0.6$.
दिया गया है $P(A \cap B^c) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$,इसलिए $0.7 = P(A \cap B) + 0.5$,जिसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = 0.2$.
हमें $P(B | A \cup B^c) = \frac{P(B \cap (A \cup B^c))}{P(A \cup B^c)}$ ज्ञात करना है।
अंश: $P(B \cap (A \cup B^c)) = P((B \cap A) \cup (B \cap B^c)) = P(A \cap B) \cup \emptyset = P(A \cap B) = 0.2$.
हर: $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अतः,$P(B | A \cup B^c) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि फलक $1$ ऊपर आता है और $E_2$ वह घटना है कि फलक $2$ ऊपर आता है।
दी गई प्रायिकताएँ $P(E_1) = 0.1$ और $P(E_2) = 0.32$ हैं।
हमें दिया गया है कि या तो फलक $1$ या $2$ ऊपर आया है। मान लीजिए यह घटना $A = E_1 \cup E_2$ है।
चूँकि $E_1$ और $E_2$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,$P(A) = P(E_1) + P(E_2) = 0.1 + 0.32 = 0.42$।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_1 | A)$ ज्ञात करनी है,जो कि यह प्रायिकता है कि फलक $1$ ऊपर आया है,यह देखते हुए कि $1$ या $2$ में से कोई एक फलक ऊपर आया है।
$P(E_1 | A) = \frac{P(E_1 \cap A)}{P(A)} = \frac{P(E_1)}{P(A)} = \frac{0.1}{0.42}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{0.1}{0.42} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$।

(B) माना कि $A$ वह घटना है कि व्यक्ति के बाल भूरे हैं और $B$ वह घटना है कि व्यक्ति की आँखें भूरी हैं।
दिया गया है:
$P(A) = 40/100 = 0.4$
$P(B) = 25/100 = 0.25$
$P(A \cap B) = 15/100 = 0.15$
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A)$ ज्ञात करनी है,जो कि उस व्यक्ति की आँखें भूरी होने की प्रायिकता है जिसके बाल भूरे हैं।
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ है।
मान रखने पर:
$P(B|A) = \frac{0.15}{0.40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$.
अतः,प्रायिकता $3/8$ है।

(A) एक सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
घटना $E$ कम से कम दो चित आने की घटना है:
$E = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$,अतः $n(E) = 4$ है।
घटना $F$ पहली उछाल में चित आने की घटना है:
$F = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$,अतः $n(F) = 4$ है।
सर्वनिष्ठ घटना $E \cap F$ उन परिणामों का समुच्चय है जहाँ कम से कम दो चित हैं और पहली उछाल में चित है:
$E \cap F = \{HHH, HHT, HTH\}$,अतः $n(E \cap F) = 3$ है।
प्रतिबंधी प्रायिकता का सूत्र है:
$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{3}{4}$.

(A) घटना $B$ के घटित होने पर घटना $A$ की सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार है:
$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
दिए गए मान $P(A \cap B) = 0.5$ और $P(B) = 0.6$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P(A/B) = \frac{0.5}{0.6}$
$P(A/B) = \frac{5}{6}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $A$ और दी गई घटना $B$ के लिए जहाँ $P(B) > 0$ है,सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A/B) + P(\overline{A}/B) = 1$ का पालन करती है।
विकल्प $(a)$ के लिए:
$P(E/F) + P(\overline{E}/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} + \frac{P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P(E \cap F) + P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P((E \cup \overline{E}) \cap F)}{P(F)} = \frac{P(S \cap F)}{P(F)} = \frac{P(F)}{P(F)} = 1$.
अतः,$(a)$ सत्य है।
विकल्प $(c)$ के लिए:
इसी प्रकार,$F$ को $\overline{F}$ से प्रतिस्थापित करने पर (जहाँ $P(\overline{F}) = 1 - P(F) > 0$),हमें $P(E/\overline{F}) + P(\overline{E}/\overline{F}) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(c)$ भी सत्य है।
इसलिए,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया है $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{4}$,और $P(B|A) = \frac{1}{2}$।
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2}$ से,हमें $P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4}$ से,हमें $P(B) = \frac{P(A \cap B)}{1/4} = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$ और $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ है,जिसका अर्थ है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं।
$P(A'|B) = 1 - P(A|B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A'$ और $B'$ भी स्वतंत्र हैं। अतः,$P(B'|A') = P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,सभी विकल्प सही हैं।

(C) मान लीजिए $E_1$ पहला पत्ता इक्का होने की घटना है और $E_2$ दूसरा पत्ता रंगीन होने की घटना है।
कुल पत्ते = $52$.
इक्कों की संख्या = $4$.
$P(E_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
एक इक्का निकालने के बाद,$51$ पत्ते शेष बचते हैं।
दिए गए समाधान के अनुसार,$P(E_2|E_1) = \frac{15}{51} = \frac{5}{17}$.
अतः,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2|E_1) = \frac{1}{13} \times \frac{5}{17} = \frac{5}{221}$.

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि तीन पासों का योग $15$ है,और $B$ वह घटना है कि पहली बार फेंकने पर $4$ आता है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B)$ ज्ञात करनी है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$.
यहाँ $n(B)$ उन परिणामों की संख्या है जहाँ पहली बार फेंकने पर $4$ आता है। पहले पासे पर $4$ निश्चित है,इसलिए शेष दो पासों के लिए $6 \times 6 = 36$ संभावनाएं हैं।
$n(B) = 36$.
अब,$n(A \cap B)$ उन परिणामों की संख्या है जहाँ योग $15$ है और पहली संख्या $4$ है:
ये परिणाम $(4, 5, 6)$ और $(4, 6, 5)$ हैं।
इसलिए,$n(A \cap B) = 2$.
अतः,$P(A|B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

(B) कुल टिकटों की संख्या $100$ है ($00$ से $99$ तक)।
माना $Y$ अंकों का गुणनफल है। घटना $(Y = 0)$ तब होती है जब कम से कम एक अंक $0$ हो।
जिन टिकटों में कम से कम एक अंक $0$ है,वे हैं: ${00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}$।
इनकी गणना करने पर,$0$ से शुरू होने वाले $10$ टिकट ($00$ से $09$) और $0$ पर समाप्त होने वाले $9$ टिकट $(10, 20, \dots, 90)$ मिलते हैं।
अतः,$(Y = 0)$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $10 + 9 = 19$ है।
इसलिए,$P(Y = 0) = \frac{19}{100}$।
अब,माना $X$ अंकों का योग है। हमें $(X = 9) \cap (Y = 0)$ ज्ञात करना है।
इसका अर्थ है कि अंकों का योग $9$ है और कम से कम एक अंक $0$ है।
इस शर्त को पूरा करने वाले टिकट $09$ $(0+9=9)$ और $90$ $(9+0=9)$ हैं।
अतः,$(X = 9) \cap (Y = 0)$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
इस प्रकार,$P(X = 9 \cap Y = 0) = \frac{2}{100}$।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता $P(X = 9 | Y = 0) = \frac{P(X = 9 \cap Y = 0)}{P(Y = 0)} = \frac{2/100}{19/100} = \frac{2}{19}$।

(C) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिया गया है कि $P(A \cup B) = P(A \cap B)$,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$
चूँकि $P(A \cap B) = P(A)P\left(\frac{B}{A}\right)$,इसलिए:
$2P(A)P\left(\frac{B}{A}\right) = P(A) + P(B)$.

(A) दिया गया है $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(B/A) = \frac{1}{2}$,और $P(A/B) = \frac{1}{4}$।
सबसे पहले,$P(A \cap B)$ ज्ञात करें:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B/A) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।
चूंकि $P(A \cap B) \neq 0$,घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं। अतः,कथन $II$ गलत है।
अगला,$P(B)$ ज्ञात करें:
$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{1/8}{P(B)} \Rightarrow P(B) = \frac{1}{2}$।
चूंकि $P(A \cap B) = \frac{1}{8} = P(A) \times P(B)$,घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
कथन $I$ की जाँच करें:
$P(A^c/B^c) = \frac{P(A^c \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{P(A^c)P(B^c)}{P(B^c)} = P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
अतः,कथन $I$ सही है।
कथन $III$ की जाँच करें:
$P(A/B) + P(A/B^c) = \frac{1}{4} + \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{1}{4} + \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)} = \frac{1}{4} + \frac{1/4 - 1/8}{1 - 1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\frac{1}{2} \neq 1$,कथन $III$ गलत है।
इसलिए,केवल कथन $I$ सत्य है।

(A) दो स्वतंत्र घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,सशर्त प्रायिकता को $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
इसलिए,$P(A|B) = \frac{P(A) \times P(B)}{P(B)} = P(A)$.
यह सिद्ध करता है कि कथन $- II$ सत्य है।
दिया गया है कि $P(A) = 1/2$ और $P(B) = 1/5$,और चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A|B) = P(A) = 1/2$.
अतः,कथन $- I$ भी सत्य है।
चूँकि कथन $- I$ सीधे कथन $- II$ में दिए गए गुण से प्राप्त होता है,इसलिए कथन $- II$,कथन $- I$ का सही स्पष्टीकरण है।

(D) दिया गया है कि $C \subset D$,इसलिए $C$ और $D$ का सर्वनिष्ठ $C \cap D = C$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार $P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)}$ है।
$C \cap D = C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(C|D) = \frac{P(C)}{P(D)}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $C \subset D$,इसलिए $P(C) \leq P(D)$ होता है।
$P(D) > 0$ दिया गया है,अतः $\frac{1}{P(D)} \geq 1$ होगा।
दोनों पक्षों को $P(C) \geq 0$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{P(C)}{P(D)} \geq P(C)$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(C|D) \geq P(C)$ सत्य है।

(B) दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$ और $P(B|A) = \frac{2}{3}$ है।
हम सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा जानते हैं: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{3} = \frac{P(A \cap B)}{1/4}$.
अतः,$P(A \cap B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
अब,$P(A|B)$ के लिए सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करें: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{1/6}{P(B)}$.
$P(B)$ के लिए हल करने पर: $P(B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$P(B)$ का मान $\frac{1}{3}$ है।

(A) दिया गया है कि $4\,P(A) = 6\,P(B) = 10\,P(A \cap B) = 1$।
इससे,हम व्यक्तिगत प्रायिकताएं ज्ञात कर सकते हैं:
$P(A) = \frac{1}{4}$
$P(B) = \frac{1}{6}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{10}$
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P\left( \frac{B}{A} \right)$ ज्ञात करनी है।
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ है।
मान रखने पर:
$P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{1/10}{1/4} = \frac{1}{10} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$।

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि विमान $I$ लक्ष्य को भेदता है और $B$ वह घटना है कि विमान $II$ लक्ष्य को भेदता है।
दिया गया है: $P(A) = 0.3$,इसलिए $P(A^c) = 1 - 0.3 = 0.7$.
दिया गया है: $P(B) = 0.2$.
दूसरा विमान बम तभी गिराता है जब पहला विमान लक्ष्य को भेदने में विफल रहता है।
इसका अर्थ है कि हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि पहला विमान विफल हो जाए और दूसरा विमान लक्ष्य को भेद दे।
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए आवश्यक प्रायिकता $P(A^c \cap B) = P(A^c) \times P(B)$ है।
मान रखने पर: $0.7 \times 0.2 = 0.14$.
अतः,दूसरे विमान द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $0.14$ है।

(C) मान लीजिए कि दो बच्चों के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ है,जहाँ $B$ लड़के को और $G$ लड़की को दर्शाता है। प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $1/4$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है। अतः $A = \{BB, BG, GB\}$।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दोनों बच्चे लड़के हैं। अतः $B = \{BB\}$।
हमें दिया गया है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है (घटना $A$ घटित हो चुकी है),और हमें दोनों के लड़के होने की सप्रतिबंध प्रायिकता (घटना $B$) ज्ञात करनी है।
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ है।
यहाँ,$A \cap B = \{BB\}$,इसलिए $P(A \cap B) = 1/4$।
साथ ही,$P(A) = 3/4$।
अतः,$P(B|A) = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$।

(A) एक सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$,अतः $n(S) = 8$.
घटना $E$ कम से कम दो चित प्राप्त करना है:
$E = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$,अतः $n(E) = 4$.
घटना $F$ पहली उछाल पर चित प्राप्त करना है:
$F = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$,अतः $n(F) = 4$.
सर्वनिष्ठ घटना $E \cap F$ इस प्रकार है:
$E \cap F = \{HHH, HHT, HTH\}$,अतः $n(E \cap F) = 3$.
अतः,$P(E \cap F) = \frac{3}{8}$ और $P(F) = \frac{4}{8}$.
प्रतिबंधी प्रायिकता $P(E|F)$ इस प्रकार है:
$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{3/8}{4/8} = \frac{3}{4}$.

(B) माना $E$ वह घटना है कि अंकों का योग $6$ है: $E = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}$,अतः $n(E) = 5$.
माना $F$ वह घटना है कि कम से कम एक बार $4$ आता है।
घटना $E \cap F$ में वे परिणाम हैं जहाँ योग $6$ है और कम से कम एक बार $4$ है: $E \cap F = \{(2, 4), (4, 2)\}$,अतः $n(E \cap F) = 2$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(F|E) = \frac{n(E \cap F)}{n(E)} = \frac{2}{5}$.

(A) दिया गया है कि $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B | C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)}$.
चूँकि $P(A \cap B \cap C) = 0$,इसलिए $P(A \cap B | C) = 0$ है।
हमें $P(A' \cap B' | C)$ ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cap B' = (A \cup B)'$ है।
अतः,$P(A' \cap B' | C) = P((A \cup B)' | C) = 1 - P(A \cup B | C)$ है।
योग प्रमेय के अनुसार,$P(A \cup B | C) = P(A | C) + P(B | C) - P(A \cap B | C)$ है।
चूँकि $A$ और $C$ स्वतंत्र हैं,$P(A | C) = P(A)$ और $P(B | C) = P(B)$ है।
अतः,$P(A \cup B | C) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)$ है।
इसलिए,$P(A' \cap B' | C) = 1 - (P(A) + P(B)) = (1 - P(A)) - P(B) = P(A') - P(B)$ है।

(C) दिया गया है कि $P(AB) = P(A)P(B)$,जिसका अर्थ है कि घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए,$P(A/B) = P(A)$ होता है।
चूँकि $P(A/B) = 1/4$ दिया गया है,इसलिए $P(A) = 1/4$ होगा।
इसी प्रकार,$P(B/A) = P(B)$ होता है।
चूँकि $P(B/A) = 1/3$ दिया गया है,इसलिए $P(B) = 1/3$ होगा।
अब,$P(AB)$ की गणना करते हैं:
$P(AB) = P(A) \times P(B) = (1/4) \times (1/3) = 1/12$.
साथ ही,$P(A'B')$ की गणना करते हैं:
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A'$ और $B'$ भी स्वतंत्र होंगे।
$P(A'B') = P(A')P(B') = (1 - P(A))(1 - P(B)) = (1 - 1/4)(1 - 1/3) = (3/4)(2/3) = 6/12 = 1/2$.
विकल्पों की तुलना करने पर,$P(AB) = 1/12$ सही उत्तर है।

(B) माना $W_1$ पहली गेंद सफेद होने की घटना है और $R_1$ पहली गेंद लाल होने की घटना है। माना $R_2$ दूसरी गेंद लाल होने की घटना है।
दूसरी गेंद के लाल होने के दो परस्पर अपवर्जी मामले हैं:
मामला $1$: पहली गेंद सफेद और दूसरी लाल हो।
$P(W_1 \cap R_2) = P(W_1) \times P(R_2 | W_1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$
मामला $2$: पहली गेंद लाल और दूसरी लाल हो।
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$
दूसरी गेंद के लाल होने की कुल प्रायिकता है:
$P(R_2) = P(W_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि एक व्यक्ति के बाल भूरे हैं और $B$ वह घटना है कि एक व्यक्ति की आँखें भूरी हैं।
दिया गया है:
$P(A) = \frac{40}{100} = 0.4$
$P(B) = \frac{25}{100} = 0.25$
$P(A \cap B) = \frac{15}{100} = 0.15$
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A)$ ज्ञात करनी है,जो यह प्रायिकता है कि व्यक्ति की आँखें भूरी हैं,यह देखते हुए कि उनके बाल भूरे हैं।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$P(B|A) = \frac{0.15}{0.40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$
अतः,प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है।

(C) माना $S$ $50$ टिकटों का प्रतिदर्श समष्टि है: $S = \{00, 01, \dots, 49\}$.
घटना $A$ उन टिकटों का समुच्चय है जहाँ अंकों का योग $8$ है: $A = \{08, 17, 26, 35, 44\}$.
घटना $B$ उन टिकटों का समुच्चय है जहाँ अंकों का गुणनफल $0$ है। यह तब होता है जब कम से कम एक अंक $0$ हो: $B = \{00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40\}$.
$B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 14$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन टिकटों का समुच्चय है जहाँ अंकों का योग $8$ है और अंकों का गुणनफल $0$ है। समुच्चय $A$ को देखने पर,केवल $08$ इस शर्त को पूरा करता है: $A \cap B = \{08\}$.
अतः,$n(A \cap B) = 1$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B)$ इस प्रकार है:
$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{14}$.

(B) मान लीजिए $W_1$ वह घटना है कि पहली गेंद सफेद है और $R_1$ वह घटना है कि पहली गेंद लाल है।
मान लीजिए $R_2$ वह घटना है कि दूसरी गेंद लाल है।
दूसरी गेंद के लाल होने के लिए दो परस्पर अपवर्जी स्थितियाँ हैं: $(W_1 \cap R_2)$ और $(R_1 \cap R_2)$।
स्थिति $1$: पहली गेंद सफेद,दूसरी लाल।
$P(W_1 \cap R_2) = P(W_1) \times P(R_2|W_1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$।
स्थिति $2$: पहली गेंद लाल,दूसरी लाल।
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$।
दूसरी गेंद के लाल होने की कुल प्रायिकता $P(R_2) = P(W_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$।

(A) दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$,और $P(B|A) = \frac{2}{3}$.
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास है:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$
$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
साथ ही,हम जानते हैं कि:
$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{6} = P(B) \times \frac{1}{2}$
$P(B) = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3}$.

(D) माना $S = \{00, 01, 02, \ldots, 49\}$ प्रतिदर्श समष्टि है। कुल टिकटों की संख्या $50$ है।
माना $A$ वह घटना है कि चुने गए टिकट के अंकों का योग $8$ है।
$A = \{08, 17, 26, 35, 44\}$.
माना $B$ वह घटना है कि अंकों का गुणनफल शून्य है।
यह तब होता है जब कम से कम एक अंक $0$ हो। ये टिकट $\{00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40\}$ हैं।
ऐसे $14$ टिकट हैं,इसलिए $n(B) = 14$.
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ ज्ञात करनी है।
$A \cap B$ उन टिकटों का समुच्चय है जहाँ अंकों का योग $8$ है और अंकों का गुणनफल $0$ है।
समुच्चय $A = \{08, 17, 26, 35, 44\}$ को देखने पर,केवल $08$ में अंकों का गुणनफल $0$ है $(0 \times 8 = 0)$।
अतः,$A \cap B = \{08\}$,इसलिए $n(A \cap B) = 1$.
इसलिए,$P(A|B) = \frac{1}{14}$.

(A) घटना $D$ के घटित होने पर घटना $C$ की सप्रतिबंध प्रायिकता को $P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $C \subset D$ है,तो $C \cap D = C$ होगा,जिसका अर्थ है कि $P(C \cap D) = P(C)$।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $P(C|D) = \frac{P(C)}{P(D)}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $D$ एक घटना है,इसलिए $P(D) \le 1$ होगा। अतः,$\frac{1}{P(D)} \ge 1$।
दोनों पक्षों को $P(C)$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{P(C)}{P(D)} \ge P(C)$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(C|D) \ge P(C)$ सही है।

(A) हमें $P(A' \cap B' | C)$ ज्ञात करना है। सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$P(A' \cap B' | C) = \frac{P(A' \cap B' \cap C)}{P(C)}$
समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - P((A \cup B) \cap C)$
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - [P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)]$
दिया गया है कि $P(A \cap B \cap C) = 0$ और $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap C) = P(A)P(C)$ और $P(B \cap C) = P(B)P(C)$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + 0$
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C)(1 - P(A) - P(B))$
अतः,$P(A' \cap B' | C) = \frac{P(C)(1 - P(A) - P(B))}{P(C)} = 1 - P(A) - P(B)$
चूँकि $1 - P(A) = P(A')$,इसलिए $P(A' \cap B' | C) = P(A') - P(B)$।