Properties of ITF Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore 2y = x + z$ ... $(i)$
વળી,$\tan ^{-1} x, \tan ^{-1} y, \tan ^{-1} z$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore 2 \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} z$
સૂત્ર $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2y}{1-y^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$
$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$
$(i)$ પરથી $x+z = 2y$ મૂકતા:
$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$
આનો અર્થ એ થાય કે $2y = 0$ અથવા $1-y^2 = 1-xz$,જે $y^2 = xz$ આપે છે.
$x, y, z$ એ $A.P.$ અને $G.P.$ બંનેમાં હોવાથી,$x=y=z$ થાય.

(A) આપેલ છે $\cos ^{-1} x - \cos ^{-1} \frac{y}{3} = \alpha$.
નિત્યસમ $\cos ^{-1} a - \cos ^{-1} b = \cos ^{-1} (ab + \sqrt{1-a^2} \sqrt{1-b^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos ^{-1} \left( \frac{xy}{3} + \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-\frac{y^2}{9}} \right) = \alpha$
$\frac{xy}{3} + \frac{\sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2}}{3} = \cos \alpha$
$xy + \sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2} = 3 \cos \alpha$
$xy - 3 \cos \alpha = -\sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(xy - 3 \cos \alpha)^2 = (1-x^2)(9-y^2)$
$x^2y^2 - 6xy \cos \alpha + 9 \cos ^2 \alpha = 9 - y^2 - 9x^2 + x^2y^2$
$9x^2 - 6xy \cos \alpha + y^2 = 9 - 9 \cos ^2 \alpha$
$9x^2 - 6xy \cos \alpha + y^2 = 9(1 - \cos ^2 \alpha) = 9 \sin ^2 \alpha$.

(A) ધારો કે $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$.
તેથી $2\theta = \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos 2\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
આપણે $\tan \theta$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{5}}{3}}{1+\frac{\sqrt{5}}{3}}} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^2}{9-5}} = \sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})^2}{4}} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left(\cot ^{-1}(x+1)\right)=\cos \left(\tan ^{-1} x\right)$
ધારો કે $\cot ^{-1}(x+1) = \theta$,તેથી $\cot \theta = x+1$. નિત્યસમ $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$.
ધારો કે $\tan ^{-1} x = \phi$,તેથી $\tan \phi = x$. નિત્યસમ $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \phi}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+1 = x^2+2x+2$.
$2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $\tan \alpha = \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}$.
ધારો કે $x^2 = \cos \theta$. તેથી $\theta = \cos^{-1}(x^2)$.
$x^2 = \cos \theta$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan \alpha = \frac{\sqrt{1+\cos \theta}-\sqrt{1-\cos \theta}}{\sqrt{1+\cos \theta}+\sqrt{1-\cos \theta}}$
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1+\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ અને $1-\cos \theta = 2\sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}\cos(\theta/2) - \sqrt{2}\sin(\theta/2)}{\sqrt{2}\cos(\theta/2) + \sqrt{2}\sin(\theta/2)}$
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}\cos(\theta/2)$ વડે ભાગતા:
$\tan \alpha = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2})$
આમ,$\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$.
તેથી,$\sin 2\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$.
કારણ કે $x^2 = \cos \theta$,તેથી $\sin 2\alpha = x^2$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$ છે.
આપણે દલીલને $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x)\right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\cos \left(\cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2}\right)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$ મળે છે.
કારણ કે $\sin \left(\cos ^{-1} x\right) = \sqrt{1-x^2}$,પદાવલિ $-\sqrt{1-x^2}$ માં સરળ બને છે.
$x = \frac{1}{5}$ મૂકતા:
$-\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{2^{n-1}}{1+2^{2n-1}}\right)$ છે.
આપણે પદને $\frac{2^n - 2^{n-1}}{1 + 2^n \cdot 2^{n-1}}$ તરીકે લખી શકીએ.
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(2^{n-1})$ મળે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(2^k) - \tan^{-1}(2^{k-1}))$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_n = (\tan^{-1}(2^1) - \tan^{-1}(2^0)) + (\tan^{-1}(2^2) - \tan^{-1}(2^1)) + \dots + (\tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(2^{n-1}))$.
$S_n = \tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(2^n) - \frac{\pi}{4}$.
જેમ $n \to \infty$,$S_n = \tan^{-1}(\infty) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે $E = \sin \left[3 \sin ^{-1}(0.4)\right]$.
$\sin ^{-1}(0.4) = \theta$ લેતા,$\sin \theta = 0.4$ મળે.
નિત્યસમ $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 3(0.4) - 4(0.4)^3$
$E = 1.2 - 4(0.064)$
$E = 1.2 - 0.256$
$E = 0.944$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos \left(\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin ^{-1} x\right)=1$
બંને બાજુ $\cos ^{-1}$ લેતા:
$\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin ^{-1} x = \cos ^{-1}(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}(1) = 0$ અને $\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\pi}{6} + \sin ^{-1} x = 0$
$\sin ^{-1} x = -\frac{\pi}{6}$
$x = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$
કારણ કે $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$,તેથી:
$x = -\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$
આમ,$x$ ની કિંમત $-\frac{1}{2}$ છે.

(D) આપણે સરવાળો $S = \sum_{i=1}^3 \cot ^{-1} i = \cot ^{-1} 1 + \cot ^{-1} 2 + \cot ^{-1} 3$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$x > 0$ માટે નિત્યસમ $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $S = \tan ^{-1} 1 + \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{1}{3}$ મળે છે.
કારણ કે $\tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$,આપણે $\tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \left( \frac{1/2 + 1/3}{1 - (1/2)(1/3)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{5/6} \right) = \tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$ મેળવીએ છીએ.
આમ,$S = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
હવે,આપણે આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકીએ: $\cos ^{-1} \{ \cot (S) \} = \cos ^{-1} \{ \cot (\frac{\pi}{2}) \}$.
કારણ કે $\cot (\frac{\pi}{2}) = 0$,પદાવલિ $\cos ^{-1} (0)$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} (0) = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = 0$ નો અર્થ $\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય છે (મુખ્ય કિંમત શાખાને ધ્યાનમાં લેતા).
તેથી,$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{1}{5}$ મળે છે.
નિત્યસમ $\sin ^{-1} y + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} y$ છે.
આમ,$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $x = \frac{1}{5}$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \sin^{-1} x = \sin^{-1}(2x \sqrt{1-x^2})$ ત્યારે જ સાચું છે જ્યારે $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોય.
ધારો કે $x = \sin \theta$,જ્યાં $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
તેથી $2 \sin^{-1}(\sin \theta) = \sin^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}) = \sin^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$.
$2\theta = 2 \sin^{-1} x$ માન્ય રહે તે માટે,$2\theta$ એ $\sin^{-1}$ ની મુખ્ય કિંમત શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં હોવું જોઈએ.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} \le 2\theta \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$.
બધી બાજુએ સાઈન લેતા,$\sin(-\frac{\pi}{4}) \le \sin \theta \le \sin(\frac{\pi}{4})$,જે $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ આપે છે.
આમ,$x \in [-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$.

(C) આપેલ છે કે $\sin ^{-1} a = \alpha + \beta$ અને $\sin ^{-1} b = \alpha - \beta$.
આનો અર્થ એ છે કે $a = \sin(\alpha + \beta)$ અને $b = \sin(\alpha - \beta)$.
સાઇન માટે ગુણાકાર-થી-સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$a b = \sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$.
આપણે $\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta$ શોધવાનું છે.
$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકીએ:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = \sin^2 \alpha + (1 - \sin^2 \beta) = 1 + (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta)$.
ગુણાકારના સૂત્રમાંથી $ab$ ની કિંમત મૂકતા:
$1 + (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta) = 1 + a b$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ અને $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)$.
તેથી $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ અને $\sin \beta = \frac{8}{17}$ થાય.
નિત્યસમ $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ અને $\cos \beta = \sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$ મળે.
આપણે સૂત્ર $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$\cos(\alpha - \beta) = \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{15}{17}\right) + \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{8}{17}\right) = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$.
તેથી,$\alpha - \beta = \cos^{-1}\left(\frac{84}{85}\right)$.

(D) ધારો કે પદાવલિ $E = \tan ^2(\sec ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2) + \cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3})$ છે.
પગલું $1$: $\tan ^2(\sec ^{-1} 3)$ નું સાદું રૂપ આપો.
ધારો કે $\sec ^{-1} 3 = \theta_1$,તેથી $\sec \theta_1 = 3$. તો $\tan ^2 \theta_1 = \sec ^2 \theta_1 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.
પગલું $2$: $\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2)$ નું સાદું રૂપ આપો.
ધારો કે $\cot ^{-1} 2 = \theta_2$,તેથી $\cot \theta_2 = 2$. તો $\operatorname{cosec}^2 \theta_2 = 1 + \cot ^2 \theta_2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
પગલું $3$: $\cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3})$ નું સાદું રૂપ આપો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય.
તેથી,$\cos ^2(\frac{\pi}{2}) = 0^2 = 0$.
પગલું $4$: કુલ સરવાળો ગણો.
$E = 8 + 5 + 0 = 13$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
ધારો કે $\sin^{-1} x = \theta$,તો $x = \sin \theta$. તેથી,$\cos(\sin^{-1} x) = \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$.
આથી,$\sin^{-1}(\cos(\sin^{-1} x)) = \sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
તે જ રીતે,ધારો કે $\cos^{-1} x = \phi$,તો $x = \cos \phi$. તેથી,$\sin(\cos^{-1} x) = \sin \phi = \sqrt{1 - \cos^2 \phi} = \sqrt{1 - x^2}$.
આથી,$\cos^{-1}(\sin(\cos^{-1} x)) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
હવે,પદાવલિ $\sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2}) + \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin^{-1} A + \cos^{-1} A = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \sqrt{1 - x^2}$,આપણને પરિણામ $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $x = \tan \theta$,જ્યાં $\theta = \tan^{-1} x$.
તેથી,$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta$.
પદાવલિ $\cot^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right)$ બને છે.
$= \cot^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\cos \theta} - 1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right) = \cot^{-1}\left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right)$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$.
$= \cot^{-1}\left(\frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right) = \cot^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right)$.
કારણ કે $\cot^{-1}(\tan \alpha) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(\tan \alpha) = \frac{\pi}{2} - \alpha$,તેથી:
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ $\cos \left(2 \left(\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} 5\right)\right)$ છે.
અહીં $5 > 0$ હોવાથી,$\tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} 5 = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos \left(2 \times \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\pi)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi) = -1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot x = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ અને $\tan x = \cot(\frac{\pi}{2} - x)$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) + \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - x))$
$= (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x)$
$= \pi - 2x$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} \frac{x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4}{5}=\frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $y \in [-1, 1]$ માટે $\sin ^{-1} y + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
તેથી,$\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{4}{5}$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$.
ધારો કે $\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \theta$,તો $\cos \theta = \frac{4}{5}$ થાય.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ મળે.
તેથી,$\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \sin ^{-1} \frac{3}{5}$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
વળી,આપણે ગુણધર્મ $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot^{-1}(\sqrt{3})$.
કારણ કે $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$,તેથી $\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}$.
છેદ સમાન કરતા:
$\frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $x = \sec \theta$. કારણ કે $x > 1$,આપણી પાસે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \cot ^{-1}(\cot \theta)$ મળે છે.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cot ^{-1}(\cot \theta) = \theta$.
$\theta = \sec ^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને પરિણામ $\sec ^{-1} x$ મળે છે.

(A) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માટેનું નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $|x| \geq 1$.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા:
$\cos \left[\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x\right] = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,તેથી આ પદની કિંમત $0$ થાય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ $\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) - \tan ^{-1}(\sqrt{3})$ છે.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot ^{-1}(\sqrt{3})$.
કારણ કે $\cot ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ અને $\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ છે,
આ કિંમતો મૂકતા:
$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) - \tan ^{-1}(\sqrt{3}) = (\pi - \frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{3}$.
$= \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi - 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે પ્રતિવિધેયો માટેનું પ્રમાણિત નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $|x| \geq 1$ માટે $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
તે જ રીતે,$|x| \geq 1$ માટે,$\cos^{-1}(x^{-1}) + \sin^{-1}(x^{-1}) = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ નિત્યસમોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x + \cos^{-1}(x^{-1}) + \sin^{-1}(x^{-1}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે સરવાળો $S = \sum_{i=0}^2 \cot^{-1}(-(i+1))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા:
$S = \cot^{-1}(-1) + \cot^{-1}(-2) + \cot^{-1}(-3)$.
ગુણધર્મ $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x)$ (જ્યાં $x > 0$) નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (\pi - \cot^{-1}(1)) + (\pi - \cot^{-1}(2)) + (\pi - \cot^{-1}(3))$
$S = 3\pi - (\cot^{-1}(1) + \cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3))$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$\cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3)$ માટે,આપણે $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3) = \tan^{-1}(\frac{1}{2}) + \tan^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan^{-1}(\frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/6}) = \tan^{-1}(\frac{5/6}{5/6}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$S = 3\pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = 3\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $x \in [-1, 1]$ માટે,નિત્યસમ $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ સાચું છે.
આપેલ પદાવલિ $\cos \left(\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$ છે.
ધારો કે $x = -\frac{1}{4}$. કારણ કે $x \in [-1, 1]$,આપણે આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તેથી,$\cos^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$ મળે છે.
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,તેથી અંતિમ જવાબ $0$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\cot ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ છે.
આને $\tan ^{-1}(2) + \tan ^{-1}(3)$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$ હોવાથી,આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\pi + \tan ^{-1}\left(\frac{2+3}{1-6}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{5}{-5}\right)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\pi + \tan ^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણને સમીકરણ $3 \cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \pi$ આપેલું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$.
આ કિંમતને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$3 \cos ^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x) = \pi$
$2 \cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$
$2 \cos ^{-1} x = \pi - \frac{\pi}{2}$
$2 \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{4}$
$x = \cos(\frac{\pi}{4})$
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
અહીં,ધારો કે $x = -\frac{1}{7}$ છે.
કારણ કે $-\frac{1}{7} \in [-1, 1]$ છે,તેથી આપણે આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તેથી,$\cos^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$ મળે છે.
કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ થાય છે,તેથી અંતિમ જવાબ $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan ^{-1}(1-x), \tan ^{-1} x$ અને $\tan ^{-1}(1+x)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1}(1-x) + \tan ^{-1}(1+x)$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{(1-x) + (1+x)}{1 - (1-x)(1+x)} \right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{1 - (1-x^2)} \right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{x^2} \right)$.
સૂત્ર $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2x}{1-x^2} = \frac{2}{x^2}$.
$x^3 = 1 - x^2$.
આમ,$x^3 = 1 - x^2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sec ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)+\sin ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sin ^{-1}(y) + \cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ જ્યાં $y \in [-1, 1]$.
તેથી,$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\sec ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
કારણ કે $\sec ^{-1}(z) = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{z}\right)$,તેથી $\cos ^{-1} \left(\frac{x}{5}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,$\frac{x}{5} = \frac{4}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ અને $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot ^2 \theta$.
ધારો કે $\alpha = \tan ^{-1} 2$,તો $\tan \alpha = 2$.
ધારો કે $\beta = \cot ^{-1} 3$,તો $\cot \beta = 3$.
પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = (1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 2)) + (1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3))$
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2)$
$= (1 + 4) + (1 + 9)$
$= 5 + 10 = 15$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણને સમીકરણ આપેલ છે: $4 \cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$.
આ કિંમતને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$4 \cos^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) = \frac{\pi}{2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$3 \cos^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
બંને બાજુથી $\frac{\pi}{2}$ બાદ કરતા:
$3 \cos^{-1} x = 0$.
$3$ વડે ભાગતા:
$\cos^{-1} x = 0$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા:
$x = \cos(0) = 1$.

(A) ધારો કે $x = \cos^{-1} \frac{1}{3} + \cos^{-1} \frac{1}{5}$ અને $y = \sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{1}{5}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} z = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} z$.
તેથી,$x = (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{3}) + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{5}) = \pi - (\sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{1}{5}) = \pi - y$.
આમ,$\cos(x) = \cos(\pi - y) = -\cos(y)$.
તેથી,$\cos(x) + \cos(y) = -\cos(y) + \cos(y) = 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ અને $\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)\right) + \cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)\right)$
અહીં $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13} = \frac{11\pi}{26}$,જે $\sin^{-1}$ માટે મુખ્ય કિંમત શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અને $\cos^{-1}$ માટે $[0, \pi]$ માં આવે છે,તેથી:
$= \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)$
$= \pi - \frac{2\pi}{13}$
$= \frac{13\pi - 2\pi}{13} = \frac{11\pi}{13}$.

(A) ધારો કે $y = \cos^{-1}(\sin x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $y = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x))$ મળે છે.
કારણ કે $\cos^{-1}(\cos \theta) = \theta$ જ્યાં $\theta \in [0, \pi]$,તેથી $y = \frac{\pi}{2} - x$.
હવે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2} - x) = 0 - 1 = -1$.
આમ,વિકલિત $-1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x)$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
બંને બાજુ $\tan^{-1} x$ ઉમેરતા: $\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + \tan^{-1} x$.
$\frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} \tan^{-1} x$.
$\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$x = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$. તેથી $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ હોવાથી,$\cos \alpha = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જવાબ $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = \tan ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{3}} \sin \frac{5 \pi}{2}\right] + \sin ^{-1}\left[\cos \left(\sin ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]$ છે.
પ્રથમ,$\sin \frac{5 \pi}{2} = \sin \left(2 \pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,$\sin ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ ની ગણતરી કરો.
હવે આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \tan ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{3}} \times 1\right] + \sin ^{-1}\left[\cos \frac{\pi}{3}\right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$E = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ અને $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$E = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2 \pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(C) ધારો કે $\cos ^{-1} x = y$,તેથી $x = \cos y$. $\cos ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી,$0 \leq y \leq \pi$ મળે.
આપેલ સમીકરણ $2y = \sin ^{-1} (2 \cos y \sin y) = \sin ^{-1} (\sin 2y)$ છે.
$\sin ^{-1} (\sin 2y) = 2y$ થવા માટે,$-\frac{\pi}{2} \leq 2y \leq \frac{\pi}{2}$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4}$.
$0 \leq y \leq \pi$ અને $-\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4}$ ને જોડતા,આપણને $0 \leq y \leq \frac{\pi}{4}$ મળે.
અહીં $y = \cos ^{-1} x$ હોવાથી,$0 \leq \cos ^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$ થાય.
બંને બાજુ કોસાઈન લેતા (કોસાઈન વિધેય $[0, \pi]$ માં ઘટતું વિધેય હોવાથી),$\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$ મળે.
આમ,$1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$,એટલે કે $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} x+2 \cot ^{-1} x=\frac{2 \pi}{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} (\frac{1}{x})$ થાય છે.
આ કિંમત મૂકતા: $\tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} (\frac{1}{x}) = \frac{2 \pi}{3}$
નિત્યસમ $2 \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} (\frac{2y}{1-y^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} (\frac{2/x}{1-1/x^2}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} (\frac{2x}{x^2-1}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} (\frac{A+B}{1-AB})$ સૂત્ર વાપરતા:
$\tan ^{-1} (\frac{x + \frac{2x}{x^2-1}}{1 - x(\frac{2x}{x^2-1})}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\frac{\frac{x^3-x+2x}{x^2-1}}{\frac{x^2-1-2x^2}{x^2-1}} = \tan (\frac{2 \pi}{3})$
$\frac{x^3+x}{-x^2-1} = -\sqrt{3}$
$\frac{x(x^2+1)}{-(x^2+1)} = -\sqrt{3}$
$-x = -\sqrt{3} \implies x = \sqrt{3}$

(D) ધારો કે $x = \cos \theta$,જ્યાં $\theta = \cos^{-1} x$. $x \in [-1, 1]$ હોવાથી,$\theta \in [0, \pi]$ છે.
જમણી બાજુમાં $x = \cos \theta$ મૂકતા:
$\sin^{-1} (2 \cos \theta \sqrt{1 - \cos^2 \theta}) = \sin^{-1} (2 \cos \theta \sin \theta) = \sin^{-1} (\sin 2 \theta)$.
આ પદ $2 \cos^{-1} x = 2 \theta$ બરાબર થાય તે માટે,$\sin^{-1} (\sin 2 \theta) = 2 \theta$ હોવું જરૂરી છે.
આ શરત ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $2 \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,એટલે કે $\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.
અહીં $\theta \in [0, \pi]$ હોવાથી,છેદગણ $\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$ મળે.
$\theta = \cos^{-1} x$ હોવાથી,$0 \leq \cos^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા (અહીં કોસાઇન ઘટતું વિધેય હોવાથી અસમતા બદલાશે):
$\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$,
જેથી $1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ અથવા $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$ મળે.

(C) ધારો કે $y = \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{1+\sin x}}\right]$.
કૌંસની અંદરની અભિવ્યક્તિનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x})^2}{(1-\sin x)-(1+\sin x)} = \frac{1-\sin x + 1+\sin x + 2\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\sqrt{1-\sin^2 x}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\cos x}{-2\sin x} = -\frac{1+\cos x}{\sin x}$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = -\cot\frac{x}{2}$.
આમ,$y = \cot^{-1}(-\cot\frac{x}{2})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1}(-z) = \pi - \cot^{-1}(z)$,તેથી $y = \pi - \cot^{-1}(\cot\frac{x}{2})$.
આપેલ છે કે $x \in (0, \frac{\pi}{4})$,તેથી $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{8})$,માટે $y = \pi - \frac{x}{2}$.

(C) ધારો કે $ x = \sin ^{-1} \frac{3}{4} $. તેથી $\sin x = \frac{3}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \cos ^{-1} \frac{3}{4} = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,પદાવલિ $ \cos \left[\sin ^{-1} \frac{3}{4} + (\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \cos ^{-1} \frac{3}{4})\right] $ બને છે.
$= \cos \left[\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \frac{\pi}{2}\right]$.
નિત્યસમ $ \cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta $ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= -\sin \left(\sin ^{-1} \frac{3}{4}\right)$.
$= -\frac{3}{4}$.

(B) ધારો કે $ \theta = \cos ^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) $. તેથી $ \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} $.
આપણે $ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) $ ની કિંમત શોધવાની છે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} $.
$ \cos \theta $ ની કિંમત મૂકતા:
$ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}} $.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$ \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-2)^2}{5-4}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = \sqrt{5}-2 $.
આમ,કિંમત $ \sqrt{5}-2 $ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} - \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{4} = \tan ^{-1}(1)$,તેથી:
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + 1 \times \frac{1}{3}} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{4} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)$
તેથી,$x = \frac{1}{2}$.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ અને $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot ^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અનુક્રમે $\theta = \tan ^{-1} 2$ અને $\theta = \cot ^{-1} 3$ મૂકતા:
$= (1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 2)) + (1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3))$
$= (1 + (\tan(\tan ^{-1} 2))^2) + (1 + (\cot(\cot ^{-1} 3))^2)$
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2)$
$= (1 + 4) + (1 + 9)$
$= 5 + 10 = 15$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \in (0, 1)$ માટે:
$\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right) = 2 \tan ^{-1} a$
$\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right) = 2 \tan ^{-1} a$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \tan ^{-1} a + 2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$
$4 \tan ^{-1} a = 2 \tan ^{-1} x$
$2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1} x$
સૂત્ર $2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1}\left(\frac{2 a}{1-a^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2 a}{1-a^2}\right) = \tan ^{-1} x$
તેથી,$x = \frac{2 a}{1-a^2}$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \cos \left(2 \cos ^{-1} \frac{1}{5}+\sin ^{-1} \frac{1}{5}\right)$ છે.
આપણે પદાવલિને $E = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \sin ^{-1} \frac{1}{5}\right)\right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \sin ^{-1} \frac{1}{5} = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $E = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \frac{\pi}{2}\right)$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = -\sin \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5}\right)$ મળે છે.
ધારો કે $\theta = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$,તો $\cos \theta = \frac{1}{5}$ થાય.
$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ મળે.
તેથી,$E = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$.