Properties of ITF Questions in Gujarati

(B) આપણને આપેલ સમીકરણ છે: $\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\frac{3 \pi}{10}$.
નિત્યસમ $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$ અને $\cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} y$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$(\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} y) = \frac{3 \pi}{10}$.
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$\pi - (\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} y) = \frac{3 \pi}{10}$.
$\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} y$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \pi - \frac{3 \pi}{10}$.
$\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \frac{10\pi - 3\pi}{10} = \frac{7 \pi}{10}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \left(\cot ^{-1} x\right) = \sin \left(\sin ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
તે જ રીતે,$\cos \left(\tan ^{-1}(1+x)\right) = \cos \left(\cos ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}$.
આપેલ સમીકરણ $\sin \left(\cot ^{-1}(x)\right) = \cos \left(\tan ^{-1}(1+x)\right)$ માટે,બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(1+x)^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $1+x^2 = 1+(1+x)^2$.
$1+x^2 = 1 + 1 + 2x + x^2$.
$1+x^2 = 2 + 2x + x^2$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા,$1 = 2 + 2x$.
$-1 = 2x$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે: $(\tan ^{-1} x)^2+(\cot ^{-1} x)^2=\frac{5 \pi^2}{8}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $u = \tan ^{-1} x$. તો $\cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$.
$2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
$8$ વડે ગુણતા: $16u^2 - 8\pi u - 3\pi^2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(4u + \pi)(4u - 3\pi) = 0$.
તેથી,$u = -\frac{\pi}{4}$ અથવા $u = \frac{3\pi}{4}$.
$\tan ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$u = -\frac{\pi}{4}$ લેવું પડે.
તેથી,$\tan ^{-1} x = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{1^2 - (3/5)^2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3/5}{4/5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right]$
$= \tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{2}{3}}{1-\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}}\right)\right]$
$= \tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1-\frac{6}{12}}\right)\right]$
$= \tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{17/12}{6/12}\right)\right]$
$= \tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)\right]$
$= \frac{17}{6}$

(C) આપેલ સમીકરણ $\cos ^{-1} x - \cos ^{-1} \frac{y}{3} = \alpha$ છે.
નિત્યસમ $\cos ^{-1} u - \cos ^{-1} v = \cos ^{-1} (uv + \sqrt{1-u^2}\sqrt{1-v^2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos ^{-1} (\frac{xy}{3} + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-\frac{y^2}{9}}) = \alpha$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા: $\frac{xy}{3} + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-\frac{y^2}{9}} = \cos \alpha$.
પદ ગોઠવતા: $\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-\frac{y^2}{9}} = \cos \alpha - \frac{xy}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1-x^2)(1-\frac{y^2}{9}) = \cos^2 \alpha - \frac{2xy}{3} \cos \alpha + \frac{x^2 y^2}{9}$.
$1 - \frac{y^2}{9} - x^2 + \frac{x^2 y^2}{9} = \cos^2 \alpha - \frac{2xy}{3} \cos \alpha + \frac{x^2 y^2}{9}$.
$1 - x^2 - \frac{y^2}{9} = \cos^2 \alpha - \frac{2xy}{3} \cos \alpha$.
$1 - \cos^2 \alpha = x^2 - \frac{2xy}{3} \cos \alpha + \frac{y^2}{9}$.
$\sin^2 \alpha = x^2 - \frac{2xy}{3} \cos \alpha + \frac{y^2}{9}$.
$9$ વડે ગુણતા: $9 \sin^2 \alpha = 9x^2 - 6xy \cos \alpha + y^2$.

(D) ધારો કે $\theta = \cot^{-1} x$,તો $\cot \theta = x$. $\cot \theta = \frac{x}{1}$ હોવાથી,આપણને $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ મળે છે.
આમ,$\sin(\cot^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
હવે,ધારો કે $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)$,તો $\tan \phi = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
આપણે $\cos \phi$ શોધવાનું છે. નિત્યસમ $\sec^2 \phi = 1 + \tan^2 \phi$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sec^2 \phi = 1 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2+1}{1+x^2} = \frac{x^2+2}{x^2+1}$ મળે છે.
તેથી,$\cos^2 \phi = \frac{x^2+1}{x^2+2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \phi = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$C=90^{\circ}$,તેથી પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ થાય.
આપણે $\tan ^{-1}\left(\frac{a}{b+c}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{b}{c+a}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1} \left[ \frac{\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}}{1 - \left( \frac{a}{b+c} \right) \left( \frac{b}{c+a} \right)} \right]$
$= \tan ^{-1} \left[ \frac{a(c+a) + b(b+c)}{(b+c)(c+a) - ab} \right]$
$= \tan ^{-1} \left[ \frac{ac + a^{2} + b^{2} + bc}{bc + ab + c^{2} + ac - ab} \right]$
કારણ કે $a^{2}+b^{2}=c^{2}$,અંશ $ac + c^{2} + bc = c(a+b+c)$ બને છે.
છેદ $bc + ac + c^{2} = c(b+a+c)$ બને છે.
$= \tan ^{-1} \left( \frac{c(a+b+c)}{c(a+b+c)} \right)$
$= \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$
આપણે આને આ રીતે લખી શકીએ: $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x)\right)$
ગુણધર્મ $\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\cos \left(\cos ^{-1} x+\frac{\pi}{2}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$
કારણ કે $\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}$,તેથી:
$= -\sin \left(\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) = -\sqrt{1-x^2}$
$x=\frac{1}{5}$ મૂકતા:
$= -\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

(C) આપેલ છે: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y + \tan ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} z$
નિત્યસમ $\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} z = \cot ^{-1} z = \tan ^{-1} (\frac{1}{z})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} (\frac{x+y}{1-xy}) = \tan ^{-1} (\frac{1}{z})$
બંને બાજુ સરખાવતા:
$\frac{x+y}{1-xy} = \frac{1}{z}$
$z(x+y) = 1 - xy$
$zx + zy = 1 - xy$
$xy + yz + zx = 1$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1$
બંને બાજુ $\sin ^{-1}$ લેતા:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \sin ^{-1}(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$,તેથી:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
આપણે નિત્યસમ $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ જાણીએ છીએ,જ્યાં $\theta \in [-1, 1]$.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$
તેથી,$x = \frac{1}{5}$.

(D) આપેલ છે કે $\tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $A = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$,$B = \tan ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)$,અને $C = \tan ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)$.
તેથી $A+B+C = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $A+B = \frac{\pi}{2}-C$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા,આપણને મળે $\tan(A+B) = \tan\left(\frac{\pi}{2}-C\right) = \cot(C) = \frac{1}{\tan(C)}$.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{\frac{x}{2} + \frac{y}{2}}{1 - \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{2}} = \frac{1}{z/2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{(x+y)/2}{(4-xy)/4} = \frac{2}{z}$,એટલે કે $\frac{2(x+y)}{4-xy} = \frac{2}{z}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{x+y}{4-xy} = \frac{1}{z}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $z(x+y) = 4-xy$,જેનો અર્થ છે કે $zx + zy = 4 - xy$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $xy + yz + zx = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} \frac{1}{3}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x = \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2}$.
તેથી,$\sin ^{-1} \frac{1}{3} = \cos ^{-1} \frac{2\sqrt{2}}{3}$ અને $\sin ^{-1} \frac{3}{5} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - (\sin ^{-1} \frac{1}{3} + \sin ^{-1} \frac{3}{5})$.
ધારો કે $A = \sin ^{-1} \frac{1}{3}$ અને $B = \sin ^{-1} \frac{3}{5}$.
તો $\sin A = \frac{1}{3}, \cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ અને $\sin B = \frac{3}{5}, \cos B = \frac{4}{5}$.
$x = \sin(\frac{\pi}{2} - (A+B)) = \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
$x = (\frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{4}{5}) - (\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}) = \frac{8\sqrt{2}-3}{15}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$.
તેથી $2\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$,જેનો અર્થ થાય છે $\cos 2\theta = \frac{a}{b}$.
આપેલ પદાવલિ $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)$ છે.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ અને $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$:
$= \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta} + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$
$= \frac{(1+\tan \theta)^2 + (1-\tan \theta)^2}{(1-\tan \theta)(1+\tan \theta)}$
$= \frac{1 + 2\tan \theta + \tan^2 \theta + 1 - 2\tan \theta + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta}$
$= \frac{2(1+\tan^2 \theta)}{1-\tan^2 \theta}$
$= \frac{2}{\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}}$
$= \frac{2}{\cos 2\theta}$
$\cos 2\theta = \frac{a}{b}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= \frac{2}{a/b} = \frac{2b}{a}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
આપેલ છે કે $\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y + \cos ^{-1} z = 3\pi$.
દરેક પદ મહત્તમ $\pi$ હોઈ શકે છે,તેથી તેમનો સરવાળો $3\pi$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે દરેક પદ બરાબર $\pi$ હોય.
તેથી,$\cos ^{-1} x = \pi$,$\cos ^{-1} y = \pi$,અને $\cos ^{-1} z = \pi$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \cos(\pi) = -1$,$y = \cos(\pi) = -1$,અને $z = \cos(\pi) = -1$.
હવે,આ કિંમતોને $x^2 + y^2 + z^2 - 2xyz$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 - 2(-1)(-1)(-1)$
$= 1 + 1 + 1 - 2(-1)$
$= 3 + 2$
$= 5$.

(C) આપેલ છે: $\cot ^{-1}(7)+\cot ^{-1}(8)+\cot ^{-1}(18)=\cot ^{-1} x$
ગુણધર્મ $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ ($y > 0$ માટે) નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}(\frac{1}{7})+\tan ^{-1}(\frac{1}{8})+\tan ^{-1}(\frac{1}{18})=\tan ^{-1}(\frac{1}{x})$
પ્રથમ,$\tan ^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{8})$ માટે $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ સૂત્ર વાપરતા:
$\tan ^{-1}(\frac{\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}{1-(\frac{1}{7})(\frac{1}{8})}) = \tan ^{-1}(\frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}}) = \tan ^{-1}(\frac{15}{55}) = \tan ^{-1}(\frac{3}{11})$
હવે,ત્રીજું પદ ઉમેરતા:
$\tan ^{-1}(\frac{3}{11}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{18}) = \tan ^{-1}(\frac{\frac{3}{11}+\frac{1}{18}}{1-(\frac{3}{11})(\frac{1}{18})})$
$= \tan ^{-1}(\frac{\frac{54+11}{198}}{\frac{198-3}{198}}) = \tan ^{-1}(\frac{65}{195}) = \tan ^{-1}(\frac{1}{3})$
આમ,$\tan ^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan ^{-1}(\frac{1}{x})$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(B) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ: $\sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1}(x)$,$\operatorname{cosec}^{-1}(-x) = -\operatorname{cosec}^{-1}(x)$,અને $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$.
વધુમાં,$\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
$\sec^{-1}(-2) = \pi - \sec^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2}) = -\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
$\cos^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}}{-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{-3\pi + 8\pi}{12}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{5\pi}{12}} = -\frac{\pi}{3} \times \frac{12}{5\pi} = -\frac{4}{5}$.

(C) આપણી પાસે $\cos ^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{9 \pi}{10}-\sin \frac{9 \pi}{10}\right)\right\}$ છે.
$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ અને $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos ^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\cos \frac{\pi}{10} - \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{\pi}{10} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\left(\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\cos \left(\frac{5\pi - 2\pi}{20}\right)\right\} = \cos ^{-1}\left\{-\cos \frac{3\pi}{20}\right\}$
$\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$ હોવાથી:
$= \pi - \cos^{-1}\left(\cos \frac{3\pi}{20}\right)$
$= \pi - \frac{3\pi}{20} = \frac{17\pi}{20}$.

(D) આપેલ છે,$\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=\pi$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\pi-\cos ^{-1} z$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\cos ^{-1}(-z)$
$\Rightarrow \cos ^{-1}\left[x y-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\right]=\cos ^{-1}(-z)$
$\Rightarrow x y-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=-z$
$\Rightarrow x y+z=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x y+z)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$
$x^2 y^2+2 x y z+z^2=1-y^2-x^2+x^2 y^2$
$x^2+y^2+z^2+2 x y z=1$
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+k x y z=1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k=2$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}(x+2)+\tan ^{-1}(x-2) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(x+2)+(x-2)}{1-(x+2)(x-2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-(x^2-4)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{5-x^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
બંને બાજુ સરખાવતા:
$\frac{2x}{5-x^2} = \frac{1}{2}$
$4x = 5 - x^2$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
$(x+5)(x-1) = 0$
તેથી,$x = -5$ અથવા $x = 1$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$
આપણે આ પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ: $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x)\right)$
ગુણધર્મ $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\cos \left(\cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$-\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$
કારણ કે $\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}$,તેથી પદાવલિ આ મુજબ થશે:
$-\sin \left(\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) = -\sqrt{1-x^2}$
$x = \frac{1}{5}$ મૂકતા:
$-\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

(C) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ અને $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
તેથી $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$.
અને $\cos \beta = \frac{12}{13}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$.
નિત્યસમ $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{5}{13}\right)$
$= \frac{48}{65} - \frac{15}{65}$
$= \frac{33}{65}$.

(B) ધારો કે $x = \cos 2\theta$.
તેથી $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
પદમાં $x = \cos 2\theta$ મૂકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta}-\sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta}+\sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\cos^2\theta}-\sqrt{2\sin^2\theta}}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta}\right)$
$= \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} - \theta))$
$= \frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
હવે,બીજું પદ ઉમેરતા:
$(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x) + \frac{1}{2} \cos^{-1} x = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$ અને $\sin ^{-1}(x) + \cos ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે આપેલ પદ $E = \sin \left(\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)-\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)$ છે.
ગુણધર્મ $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E = \sin \left(\pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) - \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)$.
હવે,પ્રતિવિધેય પદોને જૂથમાં લેતા:
$E = \sin \left(\pi - \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)$.
કારણ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\cos ^{-1}(x) + \sin ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ છે,તેથી:
$E = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
આમ,$E = 1$.

(C) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ છે કે $\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x}\right)=\tan ^{-1}(-7)$.
સૂત્ર લાગુ પાડતા,આપણને મળે $\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x}}{1-\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\left(\frac{x-1}{x}\right)}\right]=\tan ^{-1}(-7)$.
કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x(x+1)+(x-1)^2}{x(x-1)-(x+1)(x-1)} = \frac{x^2+x+x^2-2x+1}{x^2-x-(x^2-1)} = \frac{2x^2-x+1}{1-x}$.
હવે,$\frac{2x^2-x+1}{1-x} = -7$ લેતા.
$2x^2-x+1 = -7(1-x) = -7+7x$.
$2x^2-8x+8 = 0$.
$x^2-4x+4 = 0$.
$(x-2)^2 = 0$,તેથી $x=2$ મળે છે.

(B) આપણને સમીકરણ $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\sin ^{-1} P$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ ને $\sin ^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો.
ધારો કે $\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \theta$,તો $\cos \theta = \frac{12}{13}$.
$\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$.
હવે,સમીકરણ $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) = \sin ^{-1} P$ બને છે.
સૂત્ર $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \sin ^{-1}\left(x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^{-1} P = \sin ^{-1}\left[\frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} + \frac{5}{13} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}\right]$
$= \sin ^{-1}\left[\frac{3}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{5}{13} \times \frac{4}{5}\right]$
$= \sin ^{-1}\left(\frac{36}{65} + \frac{20}{65}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{56}{65}\right)$.
તેથી,$P = \frac{56}{65}$.

(C) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{2}{9}\right)}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{\frac{36-2}{36}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{17}{34}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
હવે,આપણે નિત્યસમ $2 \tan ^{-1} \theta = \cos ^{-1} \left( \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ,જેનો અર્થ છે કે $\tan ^{-1} \theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} \right)$.
$\theta = \frac{1}{2}$ લેતા,આપણને મળે $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-(1/2)^2}{1+(1/2)^2} \right)$
$= \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-1/4}{1+1/4} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{3/4}{5/4} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{3}{5} \right)$
આને $\frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \frac{3}{5}$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$,તેથી $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}(-x) = -\sin ^{-1}(x)$,તેથી $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$.

(C) આપણે સૂત્ર $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $|x| < 1$.
$2 \tan^{-1} \frac{1}{2}$ માટે આ સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$2 \tan^{-1} \frac{1}{2} = \tan^{-1} \left( \frac{2(1/2)}{1-(1/2)^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{1-1/4} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{3/4} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$.
હવે,$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\tan^{-1} \frac{1}{7}$ ઉમેરો:
$\tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{7} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{4/3 + 1/7}{1 - (4/3)(1/7)} \right)$.
અંશની ગણતરી કરતા: $\frac{4}{3} + \frac{1}{7} = \frac{28+3}{21} = \frac{31}{21}$.
છેદની ગણતરી કરતા: $1 - \frac{4}{21} = \frac{21-4}{21} = \frac{17}{21}$.
આમ,પદાવલિ $\tan^{-1} \left( \frac{31/21}{17/21} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{31}{17} \right)$ બને છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos ^{-1} \sqrt{p}+\cos ^{-1} \sqrt{1-p}+\cos ^{-1} \sqrt{1-q}=\frac{3 \pi}{4}$
ધારો કે $t=\cos ^{-1} \sqrt{p}$. તેથી $\sqrt{p}=\cos t$,એટલે કે $p=\cos ^2 t$.
આથી,$1-p=1-\cos ^2 t=\sin ^2 t$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{1-p}=\sin t$.
તેથી,$t=\sin ^{-1} \sqrt{1-p}$.
કારણ કે $t=\cos ^{-1} \sqrt{p}$,આપણને મળે છે $\cos ^{-1} \sqrt{p}=\sin ^{-1} \sqrt{1-p}$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin ^{-1} \sqrt{1-p}+\cos ^{-1} \sqrt{1-p}+\cos ^{-1} \sqrt{1-q}=\frac{3 \pi}{4}$
નિત્યસમ $\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\pi}{2}+\cos ^{-1} \sqrt{1-q}=\frac{3 \pi}{4}$
$\cos ^{-1} \sqrt{1-q}=\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$
$\sqrt{1-q}=\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1-q=\frac{1}{2}$
$q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

(B) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$ ની ગણતરી કરો:
$\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{7}{9}\right)$.
હવે,પરિણામમાં $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$ ઉમેરો:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{8}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{7}{9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{8} + \frac{7}{9}}{1 - \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{9}}\right)$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{\frac{9+56}{72}}{\frac{72-7}{72}} = \frac{65}{65} = 1$.
આમ,પદાવલિ $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ થાય છે.

(A) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,પદોને જૂથમાં વહેંચો:
$\left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$
પ્રથમ જોડી માટે સૂત્ર લાગુ કરો:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$
બીજી જોડી માટે સૂત્ર લાગુ કરો:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$
હવે પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{3}{11}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{44+21}{77}}{\frac{77-12}{77}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65}{65} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$

(D) આપણે $|x| < 1$ માટે $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ ગણો.
હવે,$\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ ને $\tan ^{-1}$ માં ફેરવો. ધારો કે $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$,તો $\cos \theta = \frac{3}{5}$. $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = 4/5$. તેથી,$\tan \theta = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$,એટલે કે $\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.
પદાવલિ $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ બને છે.
$x > 0$ માટે $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(1/x) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3/4}\right) = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(B) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,પદોને જૂથમાં વહેંચો:
$\left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$
પ્રથમ જોડી માટે સૂત્ર લાગુ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$
બીજી જોડી માટે સૂત્ર લાગુ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$
હવે,પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{3}{11}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{44+21}{77}}{\frac{77-12}{77}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65}{65} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$

(D) જ્યારે $xy > 1$ હોય ત્યારે આપણે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$x = 2$ અને $y = 3$ છે. કારણ કે $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$,આપણે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ:
$\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2+3}{1-(2 \times 3)} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{1-6} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right)$
$= \pi + \tan ^{-1} (-1)$
કારણ કે $\tan ^{-1} (-1) = -\frac{\pi}{4}$,તેથી આપણને મળે છે:
$= \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$.
તેથી,$2 \tan ^{-1} \left( \frac{1}{5} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \times \frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$.
હવે,પદાવલિ $\tan \left[ \tan ^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) - \tan ^{-1} (1) \right]$ બને છે.
સૂત્ર $\tan ^{-1}(x) - \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{5}{12} - 1}{1 + \frac{5}{12} \times 1} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{-\frac{7}{12}}{\frac{17}{12}} \right) = \tan ^{-1} \left( -\frac{7}{17} \right)$.
અંતે,$\tan \left[ \tan ^{-1} \left( -\frac{7}{17} \right) \right] = -\frac{7}{17}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$,કારણ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં પાસેની બાજુ $4$ અને કર્ણ $5$ હોય,તો સામેની બાજુ $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)$
સૂત્ર $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{17}{12}}{\frac{6}{12}}\right)\right)$
$= \tan \left(\tan ^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)\right) = \frac{17}{6}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}(2 x)+\tan ^{-1}(3 x)=\frac{\pi}{4}$
નિત્યસમ $\tan ^{-1}(A)+\tan ^{-1}(B)=\tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2 x+3 x}{1-(2 x)(3 x)}\right)=\frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1}\left(\frac{5 x}{1-6 x^2}\right)=\frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{5 x}{1-6 x^2}=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$
$5 x = 1 - 6 x^2$
$6 x^2 + 5 x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(6 x - 1)(x + 1) = 0$
આથી $x = \frac{1}{6}$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં $x > 0$ આપેલ હોવાથી,આપણે $x = -1$ ને અવગણીશું.
તેથી,$x = \frac{1}{6}$.

(A) જ્યારે $xy > 1$ હોય ત્યારે આપણે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$x = 2$ અને $y = 3$ છે,તેથી $xy = 6 > 1$.
તેથી,$\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2+3}{1-(2)(3)} \right)$.
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{1-6} \right) = \pi + \tan ^{-1} (-1)$.
$= \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.
આમ,મૂલ્ય $\left( \frac{3 \pi}{4} \right)^c$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x=0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$ મળે છે.
ગુણધર્મ $\tan ^{-1} a - \tan ^{-1} b = \tan ^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(x) = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$ લખી શકીએ છીએ.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} x$ મળે છે.
$\frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} \tan ^{-1} x$.
$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$x = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) આપણે સૂત્ર $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$x = \frac{1}{3}$ માટે,આપણને મળે છે:
$2 \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) - \tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) - \tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) = 0$.

(C) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,પ્રથમ બે પદોને જોડો:
$\tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{1}{5} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$.
હવે,છેલ્લા બે પદોને જોડો:
$\tan ^{-1} \left( \frac{1}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{1}{8} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$.
અંતે,પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{3}{11}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{44+21}{77}}{\frac{77-12}{77}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65}{65} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આ ત્રણ કિંમતોનો સરવાળો $\frac{3 \pi}{2}$ હોવાથી,દરેક પદ તેની મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi}{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,અને $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,અને $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $x^{100} + y^{100} + z^{100} = 1^{100} + 1^{100} + 1^{100} = 1 + 1 + 1 = 3$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $2 \tan ^{-1} \frac{1}{2} = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \times (1/2)}{1 - (1/2)^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{1}{1 - 1/4} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3/4} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$.
હવે,પદાવલિ $\tan ^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{8} \right)$ બને છે.
સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4/3 + 3/8}{1 - (4/3)(3/8)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(32+9)/24}{1 - 12/24} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{41/24}{12/24} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{41}{12} \right)$.

(C) ધારો કે $x = \tan \theta$,જ્યાં $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
આથી આપેલ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$3 \sin ^{-1}(\sin 2\theta) - 4 \cos ^{-1}(\cos 2\theta) + 2 \tan ^{-1}(\tan 2\theta) = \frac{\pi}{3}$.
જો $x \in (-1, 1)$ હોય,તો $2\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
તેથી,$3(2\theta) - 4(2\theta) + 2(2\theta) = \frac{\pi}{3}$.
$6\theta - 8\theta + 4\theta = \frac{\pi}{3}$.
$2\theta = \frac{\pi}{3} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે $\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{5}$.
સૂત્ર $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$.
હવે,આપણે $\tan \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્ર $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \tan^{-1} \frac{5}{12}$ અને $B = \frac{\pi}{4}$:
$\tan \left( \tan^{-1} \frac{5}{12} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\frac{5}{12} - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \frac{5}{12} \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{5}{12} - 1}{1 + \frac{5}{12}(1)} = \frac{\frac{5-12}{12}}{\frac{12+5}{12}} = \frac{-7}{17}$.

(C) ધારો કે $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$. તેથી $\tan \theta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
આપણે $\tan(2\theta)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(2\theta) = \frac{2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{1 - \frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{\frac{4 - 6 + 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{4(\sqrt{5}-1)}{2\sqrt{5}-2}$
$= \frac{4(\sqrt{5}-1)}{2(\sqrt{5}-1)}$
$= 2$.

(C) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \cot^{-1}(2n^2)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$.
તેથી,$T_n = \tan^{-1}(\frac{1}{2n^2})$.
આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ: $\frac{1}{2n^2} = \frac{2}{4n^2} = \frac{2}{1 + (2n^2 - 1)} = \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$.
સૂત્ર $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$.
પ્રથમ $N$ પદોનો સરવાળો $S_N = \sum_{n=1}^{N} [\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)]$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_N = (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(3)) + \ldots + (\tan^{-1}(2N+1) - \tan^{-1}(2N-1))$.
$S_N = \tan^{-1}(2N+1) - \tan^{-1}(1)$.
જ્યારે $N \to \infty$,ત્યારે $S_N = \tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=1}^n 2k = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}(1+n(n+1))\right)$ મળે છે.
$x > 0$ માટે નિત્યસમ $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)\right)$ બને છે.
આપણે $\tan^{-1}$ ના આર્ગ્યુમેન્ટને $\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ,જે આપણને $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
આમ,$\sum_{n=1}^{23} \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \sum_{n=1}^{23} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n))$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + \dots + (\tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(23)) = \tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(1)$.
હવે,$\cot(\tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(1)) = \cot(\tan^{-1}(\frac{24-1}{1+24 \times 1})) = \cot(\tan^{-1}(\frac{23}{25}))$.
કારણ કે $\cot(\tan^{-1}(x)) = \cot(\cot^{-1}(\frac{1}{x})) = \frac{1}{x}$,તેથી $\cot(\tan^{-1}(\frac{23}{25})) = \frac{25}{23}$.