Properties of ITF Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે $y = \sin^{-1} \left( \frac{5}{13}x + \frac{12}{13}\sqrt{1-x^2} \right)$.
ધારો કે $x = \sin \theta$,તો $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$.
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{5}{13}$,તો $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \sin^{-1} (\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha)$
$y = \sin^{-1} (\sin(\theta + \alpha))$
$y = \theta + \alpha$
કારણ કે $\theta = \sin^{-1} x$ અને $\alpha = \cos^{-1} (\frac{5}{13})$ (અચળ છે),
$y = \sin^{-1} x + \cos^{-1} (\frac{5}{13})$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx} (\cos^{-1} (\frac{5}{13}))$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + 0 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $|z| \geq 1$ માટે $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$ થાય છે.
આપેલ છે કે $y = \operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રથમ પદને $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$y = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$.
પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) = 0$ મળે છે.

(A) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. $\sin ^{-1}(-x) = -\sin ^{-1}(x)$
$2$. $\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$
$3$. $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$
$4$. $\tan ^{-1}(x)$ પ્રમાણિત છે.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\cot ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{-\pi + 4\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $T = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right)$.
$x^2 = \cos 2\theta$ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \cos^{-1}(x^2)$ અથવા $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x^2 = \cos 2\theta$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$T = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta} + \sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta} - \sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$
નિત્યસમ $1+\cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ અને $1-\cos 2\theta = 2\sin^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta}\right)$
અંશ અને છેદને $\cos\theta$ વડે ભાગતા:
$T = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta}\right)$
સૂત્ર $\tan(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right)\right)$
$T = \frac{\pi}{4} + \theta$
હવે $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ પાછું મૂકતા:
$T = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.

(A) આપેલ છે કે $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=3 \pi$.
$\cos ^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી,દરેક પદની મહત્તમ કિંમત $\pi$ છે.
ત્રણ પદોનો સરવાળો $3 \pi$ થવા માટે,દરેક પદ તેની મહત્તમ કિંમત જેટલું હોવું જોઈએ:
$\cos ^{-1} x = \pi$,$\cos ^{-1} y = \pi$,અને $\cos ^{-1} z = \pi$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \cos \pi = -1$,$y = \cos \pi = -1$,અને $z = \cos \pi = -1$.
હવે,$x = -1$ ને $x^{2025}+x^{2026}+x^{2027}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(-1)^{2025} + (-1)^{2026} + (-1)^{2027} = -1 + 1 - 1 = -1$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$,તેથી:
$\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1} = \cos ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$
ધારો કે $\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x} = \theta$. તો $\tan \theta = \sqrt{x^2+x}$.
આથી $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + (x^2+x)}}$.
તેથી,$\cos ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} \right) = \cos ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$.
દલીલોની સરખામણી કરતા: $\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} = \sqrt{x^2+x+1}$
$1 = x^2+x+1$
$x^2+x = 0$
$x(x+1) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -1$.
$\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ ના પ્રદેશ માટે,$0 \le x^2+x+1 \le 1$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $x^2+x \le 0$.
$x=0$ માટે,$x^2+x=0$ (માન્ય). $x=-1$ માટે,$x^2+x=0$ (માન્ય).
જોકે,$\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x}$ માટે $x^2+x \ge 0$ જરૂરી છે.
આમ,$x^2+x=0$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે,જે $x=0$ અથવા $x=-1$ આપે છે.

(A) ધારો કે $x = \tan \theta$ અને $y = \tan \phi$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} \sin ^{-1} \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = \frac{1}{2} \sin ^{-1} (\sin 2 \theta) = \frac{1}{2} (2 \theta) = \theta$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \phi}{1 + \tan^2 \phi} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} (\cos 2 \phi) = \frac{1}{2} (2 \phi) = \phi$.
હવે,પદાવલિ $\tan (\theta + \phi)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan (\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x + y}{1 - xy}$.

(B) ધારો કે $\alpha = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ અને $\beta = \cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
તેથી $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ અને $\cos \beta = \frac{12}{13}$.
નિત્યસમ $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}$ અને $\sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$.
સૂત્ર $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right)$
$= \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65}$.
તેથી,$\alpha + \beta = \cos ^{-1}\left(\frac{33}{65}\right)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left[ \frac{\frac{x-1}{x-2} + \frac{x+1}{x+2}}{1 - \left( \frac{x-1}{x-2} \right) \left( \frac{x+1}{x+2} \right)} \right] = \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{(x-1)(x+2) + (x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2) - (x-1)(x+1)} = \tan \frac{\pi}{4} = 1$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(x^2+x-2) + (x^2-x-2)}{(x^2-4) - (x^2-1)} = 1$
$\frac{2x^2 - 4}{-4 + 1} = 1$
$\frac{2x^2 - 4}{-3} = 1$
$2x^2 - 4 = -3$
$2x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

(A) ધારો કે $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = x$ અને $\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = y$.
તેથી $\sin x = \frac{3}{5} \implies \cos x = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$.
અને $\cos y = \frac{12}{13} \implies \sin y = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13}$.
આપણને $x + y = \sin ^{-1} \alpha$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin(x + y) = \alpha$.
નિત્યસમ $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = (\frac{3}{5}) \times (\frac{12}{13}) + (\frac{4}{5}) \times (\frac{5}{13})$
$\alpha = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 \sin ^{-1} x + 6 \cos ^{-1} x = 3 \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$4 \sin ^{-1} x + 6(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = 3 \pi$
$4 \sin ^{-1} x + 3 \pi - 6 \sin ^{-1} x = 3 \pi$
$-2 \sin ^{-1} x + 3 \pi = 3 \pi$
$-2 \sin ^{-1} x = 0$
$\sin ^{-1} x = 0$
$x = \sin(0) = 0$.

(B) ધારો કે $L = \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8}$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ,પદોને જૂથબદ્ધ કરો: $L = \left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\tan ^{-1} \left( \frac{1/3 + 1/5}{1 - (1/3)(1/5)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8/15}{14/15} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$.
બીજા ભાગની ગણતરી: $\tan ^{-1} \left( \frac{1/7 + 1/8}{1 - (1/7)(1/8)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15/56}{55/56} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$.
હવે તેમને જોડો: $L = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4/7 + 3/11}{1 - (4/7)(3/11)} \right)$.
$L = \tan ^{-1} \left( \frac{44/77 + 21/77}{1 - 12/77} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65/77}{65/77} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} 2x + \tan ^{-1} 3x = \frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{5x}{1 - 6x^2} \right) = \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$6x^2 + 6x - x - 1 = 0$
$6x(x + 1) - 1(x + 1) = 0$
$(6x - 1)(x + 1) = 0$
આથી $x = \frac{1}{6}$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
કારણ કે $\tan ^{-1} 2x + \tan ^{-1} 3x = \frac{\pi}{4} > 0$,તેથી $x$ ધન હોવો જોઈએ. તેથી $x = -1$ શક્ય નથી.
આમ,$x = \frac{1}{6}$.

(A) ધારો કે $y = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,તેથી $\theta = \tan^{-1} x$.
તેથી $y = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}\right) = \tan^{-1}(\tan(\theta/2))$.
$y = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$ મળે છે.

(C) આપણને સમીકરણ $4 \sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \pi$ આપેલું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
આ કિંમતને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$4 \sin ^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = \pi$
$3 \sin ^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$
$3 \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા:
$x = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $x = \cos \theta$. તેથી $\theta = \cos^{-1} x$.
$x = \cos \theta$ ને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$ મળે છે.
તેથી,પદાવલિ $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} (\tan(\theta/2)) \right)$ બને છે.
કારણ કે $\tan(\theta/2) = \cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$,તેથી $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} \left( \cot \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) \right) \right)$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $y = \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) = \cos^2(\theta/2)$ થાય છે.
નિત્યસમ $\cos^2(\theta/2) = \frac{1+\cos \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{2} \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $x = \tan \theta$. તેથી $\theta = \tan^{-1} x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{2 \tan \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\tan 2\theta}\right) = \tan^{-1}(\cot 2\theta) = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)\right) = \frac{\pi}{2} - 2\theta$.
હવે,$\cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$.
આ બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $(\frac{\pi}{2} - 2\theta) + 2\theta = \frac{\pi}{2}$.
અંતે,$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(C) આપેલ છે કે $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)-\cot ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)=0$,જેનો અર્થ છે કે $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\cot ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$.
આથી $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$,એટલે કે $x=y$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x=y$ મૂકતા: $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{3}$.
$2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{3} \implies \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{6}$.
તેથી,$x=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
કારણ કે $x=y$,તેથી $y=\frac{1}{2}$.
હવે,$2 x^2+y^2-x y$ ની કિંમત શોધો:
$2 \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}-\frac{1}{4} = \frac{1}{2}+0 = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $\theta_1 = \sec ^{-1} 4$,તેથી $\sec \theta_1 = 4$.
નિત્યસમ $\tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan ^2(\sec ^{-1} 4) = \sec ^2(\sec ^{-1} 4) - 1 = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$.
ધારો કે $\theta_2 = \operatorname{cosec}^{-1} 3$,તેથી $\operatorname{cosec} \theta_2 = 3$.
નિત્યસમ $\cot ^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cot ^2(\operatorname{cosec}^{-1} 3) = \operatorname{cosec}^2(\operatorname{cosec}^{-1} 3) - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા,$15 + 8 = 23$ મળે છે.

(A) આપણને પદાવલિ $\cos(2 \cos^{-1} x + \sin^{-1} x)$ આપેલ છે.
આપણે તેને $\cos(\cos^{-1} x + (\cos^{-1} x + \sin^{-1} x))$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $\cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ ($x \in [-1, 1]$ માટે) નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\cos(\cos^{-1} x + \frac{\pi}{2})$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-\sin(\cos^{-1} x)$ મળે છે.
કારણ કે $\sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1 - x^2}$,તેથી પદાવલિ $-\sqrt{1 - x^2}$ માં સરળ બને છે.
$x = \frac{1}{5}$ આપેલ હોવાથી,આ કિંમતને સાદું રૂપ આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$-\sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ અસમતા $(\cos ^{-1} x)^2 - (\sin ^{-1} x)^2 > 0$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} x)(\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x) > 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આ કિંમત મૂકતા:
$(\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} x) \cdot \frac{\pi}{2} > 0$.
$\frac{\pi}{2} > 0$ હોવાથી,બંને બાજુ ભાગતા:
$\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} x > 0$
$\cos ^{-1} x > \sin ^{-1} x$.
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$ હોવાથી:
$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x > \sin ^{-1} x$
$\frac{\pi}{2} > 2 \sin ^{-1} x$
$\sin ^{-1} x < \frac{\pi}{4}$
$\sin \theta$ વધતું વિધેય હોવાથી,બંને બાજુ $\sin$ લેતા:
$x < \sin(\frac{\pi}{4})$
$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$.
વળી,$\sin ^{-1} x$ અને $\cos ^{-1} x$ નો પ્રદેશ $x \in [-1, 1]$ છે.
તેથી,ઉકેલ $-1 \leqslant x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(B) આપણે $\cos ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{9 \pi}{10}-\sin \frac{9 \pi}{10}\right)\right]$ નું મુખ્ય મૂલ્ય શોધવાનું છે.
સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરની પદાવલિને ફરીથી લખો:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{9 \pi}{10} - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{9 \pi}{10}$
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{9 \pi}{10} - \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{9 \pi}{10}$
નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{9 \pi}{10}\right) = \cos \left(\frac{5 \pi + 18 \pi}{20}\right) = \cos \left(\frac{23 \pi}{20}\right)$
કારણ કે $\cos \theta = \cos(2 \pi - \theta)$,તેથી $\cos \left(\frac{23 \pi}{20}\right) = \cos \left(2 \pi - \frac{23 \pi}{20}\right) = \cos \left(\frac{17 \pi}{20}\right)$.
આમ,$\cos ^{-1}\left[\cos \frac{17 \pi}{20}\right] = \frac{17 \pi}{20}$,જે $[0, \pi]$ ની રેન્જમાં છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $u = \tan ^{-1} x$. તો $\cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.
આપેલ સમીકરણ $u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$ બને છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$.
$2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
$8$ વડે ગુણતા: $16u^2 - 8\pi u - 3\pi^2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(4u - 3\pi)(4u + \pi) = 0$.
તેથી,$u = \frac{3\pi}{4}$ અથવા $u = -\frac{\pi}{4}$.
$\tan ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$u = -\frac{\pi}{4}$ મળે.
આમ,$\tan ^{-1} x = -\frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
તેથી,$x^2 + 1 = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sin ^{-1}(4 x)+\sin ^{-1}(4 \sqrt{3} x)=-\frac{\pi}{2}$ છે.
$\sin ^{-1}(y)$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,સરવાળો $-\frac{\pi}{2}$ થવા માટે બંને પદો ઋણ અથવા શૂન્ય હોવા જોઈએ.
ધારો કે $4x = \sin(\alpha)$ અને $4\sqrt{3}x = \sin(\beta)$,જ્યાં $\alpha, \beta \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$.
તેથી $\alpha + \beta = -\frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -\frac{\pi}{2} - \beta$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા: $\sin(\alpha) = \sin(-\frac{\pi}{2} - \beta) = -\cos(\beta)$.
$\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$ હોવાથી,$\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)}$.
કિંમતો મૂકતા: $4x = -\sqrt{1 - (4\sqrt{3}x)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16x^2 = 1 - 48x^2$.
$64x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{64}$.
સરવાળો ઋણ હોવાથી $x$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $x = -\frac{1}{8}$.
$x$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|x| = \frac{1}{8}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cot ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})-\tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(y)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) - \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$.
તેથી,$\frac{\pi}{2} - 2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$.
આથી,$2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = \frac{\pi}{2} - x$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા: $\tan(2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) = \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x$.
સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})$:
$\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{1 - \cos \alpha}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્ર $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{\cos \alpha}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}$.
પરંતુ,પ્રમાણિત નિત્યસમ $2 \tan ^{-1}(y) = \cos ^{-1}(\frac{1-y^2}{1+y^2})$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}) = \sin ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha})$.
તેથી,$\sin x = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan^2 \frac{\alpha}{2}$.

(D) ધારો કે $\cot^{-1} x = \theta$. તેથી $x = \cot \theta$.
$0 < x < 1$ હોવાથી,$\theta$ એ $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ અંતરાલમાં છે.
નિત્યસમ $\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\csc \theta = \sqrt{1 + x^2}$ મળે,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
વળી,$\cos \theta = \cot \theta \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \sqrt{1 + x^2} [\{x \cos \theta + \sin \theta\} ^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [\{x (\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}) + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\} ^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [(\frac{x^2 + 1}{\sqrt{1 + x^2}})^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [(\sqrt{1 + x^2})^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} (1 + x^2 - 1)^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} (x^2)^{\frac{1}{2}}$
$x > 0$ હોવાથી,$(x^2)^{\frac{1}{2}} = x$.
તેથી,$E = x \sqrt{1 + x^2}$.

(D) ધારો કે $S = \sin ^{-1} \frac{4}{5} + \sin ^{-1} \frac{5}{13} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$.
પ્રથમ,$\sin ^{-1} \frac{4}{5}$ અને $\sin ^{-1} \frac{5}{13}$ ને $\tan ^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\sin ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ અને $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
હવે,પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો કરો:
$\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right)$.
અહીં $\tan ^{-1} \frac{63}{16} = \cos ^{-1} \frac{16}{65}$ થાય છે.
તેથી,$S = \cos ^{-1} \frac{16}{65} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$.
નિત્યસમ $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{\pi}{2}$ મળે.
અંતે,પદાવલિની કિંમત $2 \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{-1}(y) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$.
તેથી,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
નિત્યસમ $\sin ^{-1}(z)+\cos ^{-1}(z)=\frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
હવે,$\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ ને $\sin ^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{16}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{9}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને મળે $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}(1+x)+\tan ^{-1}(1-x)=\frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1}(A) + \cot ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(1-x) = \cot ^{-1}(1-x)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\tan ^{-1}(1+x) = \cot ^{-1}(1-x)$.
નિત્યસમ $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ નો ઉપયોગ કરતા: $\tan ^{-1}(1+x) = \tan ^{-1}(\frac{1}{1-x})$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $1+x = \frac{1}{1-x}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $(1+x)(1-x) = 1$.
$1 - x^2 = 1$.
$-x^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.

(B) આપેલ છે કે $x = \operatorname{cosec}(\tan ^{-1}(\cos (\cot ^{-1}(\sec (\sin ^{-1} a)))))$.
ધારો કે $\sin^{-1} a = \theta$,તેથી $\sin \theta = a$. તો $\sec \theta = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$.
હવે,$x = \operatorname{cosec}(\tan ^{-1}(\cos (\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}))))$.
ધારો કે $\cot^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}) = \phi$,તેથી $\cot \phi = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$.
તો $\cos \phi = \frac{\cot \phi}{\sqrt{1+\cot^2 \phi}} = \frac{1/\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1 + 1/(1-a^2)}} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{2-a^2}}$.
તેથી,${x = \operatorname{cosec}(\tan ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2-a^2}}}))$.
ધારો કે $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2-a^2}}) = \psi$,તેથી $\tan \psi = \frac{1}{\sqrt{2-a^2}}$.
તો $\operatorname{cosec} \psi = \sqrt{1+\cot^2 \psi} = \sqrt{1+(2-a^2)} = \sqrt{3-a^2}$.
આમ,$x = \sqrt{3-a^2}$,જે સૂચવે છે કે $x^2 = 3-a^2$,અથવા $x^2+a^2=3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \frac{\pi}{2} = 1$,તેથી:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
નિત્યસમ $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{1}{5}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \theta = \cos ^{-1} \theta$,તેથી:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$
આમ,$x = \frac{1}{5}$.

(D) ધારો કે $x = \tan \theta$. કારણ કે $x \in (0, 1)$,તેથી $\theta \in (0, \frac{\pi}{4})$.
પ્રથમ,$A = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ લો.
સૂત્ર $\tan^{-1}\left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right) = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)) = \frac{\pi}{4} + \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A = 2(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$ મળે છે.
ત્યારબાદ,$B = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ લો.
સૂત્ર $\cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
અંતે,$A - B = (\frac{\pi}{2} + 2\theta) - 2\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના મુખ્ય મૂલ્યો જાણીએ છીએ:
$\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$
$\cos^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$
છેદ સમાન કરતા $(12)$:
$\frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$

(C) આપણને આપેલ સમીકરણ છે: $\tan ^{-1} a+\tan ^{-1} b+\tan ^{-1} c=\pi$.
ત્રણ ઇન્વર્સ ટેન્જન્ટ વિધેયોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y + \tan ^{-1} z = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx} \right)$.
આ સૂત્રને આપેલ સમીકરણમાં લાગુ પાડતા: $\tan ^{-1} \left( \frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} \right) = \pi$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = \tan \pi$.
કારણ કે $\tan \pi = 0$ છે,તેથી: $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે અંશ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $a+b+c-abc = 0$.
તેથી,$a+b+c = abc$.

(B) $\sin ^{-1} x$ નો મુખ્ય કિંમતનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ છે કે $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y + \sin ^{-1} z = \frac{3 \pi}{2}$.
દરેક $\sin ^{-1}$ પદની મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,સરવાળો $\frac{3 \pi}{2}$ ત્યારે જ શક્ય છે જો દરેક પદ તેની મહત્તમ કિંમત જેટલું હોય.
તેથી,$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,અને $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,અને $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
આ કિંમતોને $x^{100} + y^{100} + z^{100}$ માં મૂકતા:
$1^{100} + 1^{100} + 1^{100} = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} 2 x+\tan ^{-1} 3 x=\frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A+\tan ^{-1} B=\tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2 x+3 x}{1-(2 x)(3 x)}\right)=\frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1}\left(\frac{5 x}{1-6 x^2}\right)=\frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{5 x}{1-6 x^2}=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$
$5 x=1-6 x^2$
$6 x^2+5 x-1=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(6 x-1)(x+1)=0$
તેથી,$x=\frac{1}{6}$ અથવા $x=-1$.
કિંમતો તપાસતા: જો $x=-1$ લઈએ,તો $\tan ^{-1}(-2)+\tan ^{-1}(-3)$ ઋણ મળે,જે $\frac{\pi}{4}$ ન હોઈ શકે.
તેથી,$x=\frac{1}{6}$ એ જ સાચો ઉકેલ છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos ^{-1} x - \cos ^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$.
સૂત્ર $\cos ^{-1} A - \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} (AB + \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos ^{-1} \left( x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-\frac{y^2}{4}} \right) = \alpha$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા:
$\frac{xy}{2} + \frac{\sqrt{(1-x^2)(4-y^2)}}{2} = \cos \alpha$.
$\sqrt{(1-x^2)(4-y^2)} = 2 \cos \alpha - xy$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1-x^2)(4-y^2) = (2 \cos \alpha - xy)^2$.
$4 - y^2 - 4x^2 + x^2y^2 = 4 \cos ^2 \alpha - 4xy \cos \alpha + x^2y^2$.
બંને બાજુથી $x^2y^2$ બાદ કરતા:
$4 - y^2 - 4x^2 = 4 \cos ^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$.
પદોને ગોઠવતા:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos ^2 \alpha$.
કારણ કે $1 - \cos ^2 \alpha = \sin ^2 \alpha$,તેથી:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin ^2 \alpha$.

(D) આપણે $\sin ^{-1}[\sin (-600^{\circ})] + \cot ^{-1}(-\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$\sin (-600^{\circ})$ ને સરળ બનાવીએ:
$\sin (-600^{\circ}) = -\sin (600^{\circ}) = -\sin (360^{\circ} + 240^{\circ}) = -\sin (240^{\circ}) = -\sin (180^{\circ} + 60^{\circ}) = -(-\sin 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ}$.
તેથી,$\sin ^{-1}[\sin (-600^{\circ})] = \sin ^{-1}(\sin 60^{\circ}) = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.
હવે,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધીએ:
$\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ હોવાથી,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot ^{-1}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} = \frac{2\pi + 5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2 \operatorname{cosec} x)$.
સૂત્ર $2 \tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{1-\cos^2 x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sin x}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$.
જો $\sin x \neq 0$ હોય,તો બંને બાજુ $\frac{2}{\sin x}$ વડે ભાગતા:
$\frac{\cos x}{\sin x} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cot x = 1$.
તેથી,$x = \frac{\pi}{4}$.

(A) ધારો કે $\alpha = \cos^{-1} \frac{1}{5\sqrt{2}}$. તેથી $\cos \alpha = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$ હોવાથી,$\sin \alpha = \frac{7}{5\sqrt{2}}$ મળે.
આમ,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{7/5\sqrt{2}}{1/5\sqrt{2}} = 7$.
ધારો કે $\beta = \sin^{-1} \frac{4}{\sqrt{17}}$. તેથી $\sin \beta = \frac{4}{\sqrt{17}}$.
$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \frac{16}{17} = \frac{1}{17}$ હોવાથી,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{17}}$ મળે.
આમ,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{4/\sqrt{17}}{1/\sqrt{17}} = 4$.
આપણે $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan(\alpha - \beta) = \frac{7 - 4}{1 + (7)(4)} = \frac{3}{1 + 28} = \frac{3}{29}$.

(B) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$. તેથી $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \alpha = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$. તેથી $\cos \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \beta = \frac{1}{2}$.
આપણે $\tan(\alpha - 2\beta)$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$\tan(2\beta) = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ ગણો.
હવે,સૂત્ર $\tan(\alpha - 2\beta) = \frac{\tan \alpha - \tan 2\beta}{1 + \tan \alpha \tan 2\beta}$ નો ઉપયોગ કરો.
કિંમતો મૂકતા: $\tan(\alpha - 2\beta) = \frac{3/4 - 4/3}{1 + (3/4)(4/3)} = \frac{(9-16)/12}{1 + 1} = \frac{-7/12}{2} = -\frac{7}{24}$.

(B) આપેલ છે કે $f(\theta) = \sin ( \tan ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}} ) )$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1} x = \sin ^{-1} ( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} )$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}}}{\sqrt{1 + \frac{\sin ^2 \theta}{\cos 2 \theta}}} ) )$
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta + \sin ^2 \theta}} ) )$
કારણ કે $\cos 2 \theta = \cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta$,તેથી:
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta + \sin ^2 \theta}} ) )$
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos ^2 \theta}} ) )$
$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$ માટે,$\cos \theta > 0$,તેથી $\sqrt{\cos ^2 \theta} = \cos \theta$.
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} ) ) = \sin ( \sin ^{-1} ( \tan \theta ) ) = \tan \theta$.
હવે,આપણે $\frac{d}{d(\tan \theta)}(f(\theta))$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $u = \tan \theta$. તો $f(\theta) = u$.
તેથી,$\frac{d}{du}(u) = 1$.

(B) આપણે $\cot \left(\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3}+\tan ^{-1} \frac{2}{3}\right)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3}$ ને $\tan^{-1}$ માં ફેરવો. $\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x}$ હોવાથી,$\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} = \sin^{-1} \frac{3}{5}$ થાય.
ધારો કે $\sin^{-1} \frac{3}{5} = \theta$,તો $\sin \theta = \frac{3}{5}$. તેથી,$\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{5^2-3^2}} = \frac{3}{4}$. આમ,$\sin^{-1} \frac{3}{5} = \tan^{-1} \frac{3}{4}$ થાય.
હવે પદાવલિ $\cot \left(\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3}\right)$ બને છે.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3} = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{17/12}{6/12}\right) = \tan^{-1} \frac{17}{6}$.
અંતે,$\cot \left(\tan^{-1} \frac{17}{6}\right) = \cot \left(\cot^{-1} \frac{6}{17}\right) = \frac{6}{17}$.

(C) ધારો કે $\cot ^{-1} x = \theta$,તેથી $x = \cot \theta$.
કારણ કે $0 < x < 1$,તેથી $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$.
આપેલ પદાવલિ $\sqrt{1+x^2} [\{x \cos \theta + \sin \theta\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$ છે.
$x = \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ મૂકતા:
$\sqrt{1+\cot^2 \theta} [\{\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} + \sin \theta\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta} [\{\frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta}\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \operatorname{cosec} \theta [\{\frac{1}{\sin \theta}\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta - 1}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\cot^2 \theta}$
$= \operatorname{cosec} \theta \cdot \cot \theta$ (કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે $\cot \theta > 0$ છે)
અહીં $\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{1+x^2}$ અને $\cot \theta = x$ હોવાથી,જવાબ $x \sqrt{1+x^2}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin^{-1} (2 x \sqrt{1 - x^2}) + \sec^{-1} (\frac{1}{2 x^2 - 1}) = \frac{2 \pi}{3}$ છે.
$\cos^{-1} x = \alpha$ હોવાથી,$x = \cos \alpha$ મળે. આપેલ છે કે $0 < x < 1$,તેથી $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ થાય.
સમીકરણમાં $x = \cos \alpha$ મૂકતા:
$\sin^{-1} (2 \cos \alpha \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}) + \sec^{-1} (\frac{1}{2 \cos^2 \alpha - 1}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\sin^{-1} (2 \cos \alpha \sin \alpha) + \sec^{-1} (\frac{1}{\cos 2 \alpha}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\sin^{-1} (\sin 2 \alpha) + \cos^{-1} (\cos 2 \alpha) = \frac{2 \pi}{3}$
અહીં $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$0 < 2 \alpha < \pi$ થાય. તેથી $\sin^{-1} (\sin 2 \alpha) = 2 \alpha$ અને $\cos^{-1} (\cos 2 \alpha) = 2 \alpha$ મળે.
આમ,$2 \alpha + 2 \alpha = \frac{2 \pi}{3}$
$4 \alpha = \frac{2 \pi}{3}$
$\alpha = \frac{\pi}{6}$.