Variable separable type differential equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{d y}{d x}\right)=x+y$
$\therefore \frac{d y}{d x}=\sin (x+y)$
ધારો કે $x+y=t$. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$,તેથી $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-1$.
આ કિંમત વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{d t}{d x}-1=\sin t$
$\frac{d t}{d x}=1+\sin t$
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{d t}{1+\sin t}=\int d x$
અંશ અને છેદને $(1-\sin t)$ વડે ગુણતા: $\int \frac{1-\sin t}{1-\sin^2 t} d t=\int d x$
$\int \frac{1-\sin t}{\cos^2 t} d t=\int d x$
$\int (\sec^2 t - \sec t \tan t) d t = \int d x$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\tan t - \sec t = x + c$
$t = x+y$ પાછું મૂકતા: $\tan (x+y) - \sec (x+y) = x + c$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y(1+\log x) = (\log x^x) \frac{dy}{dx}$.
$\log x^x = x \log x$ હોવાથી,સમીકરણ $y(1+\log x) = (x \log x) \frac{dy}{dx}$ બને છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{dy}{y}$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન $\int \frac{1+u}{u} du = \int (\frac{1}{u} + 1) du = \log |u| + u = \log |\log x| + \log x$ થાય છે.
તેથી,$\log |\log x| + \log x = \log |y| + C$.
શરત $y(e) = e^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log |\log e| + \log e = \log |e^2| + C$.
$\log e = 1$ હોવાથી,$\log |1| + 1 = 2 + C$,જે $0 + 1 = 2 + C$ આપે છે,તેથી $C = -1$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા: $\log |\log x| + \log x = \log |y| - 1$.
$1 = \log e$ હોવાથી,$\log |\log x| + \log x + \log e = \log |y|$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log |e \cdot x \log x| = \log |y|$.
તેથી,$y = ex \log x$,અથવા $ex \log x - y = 0$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x(x-1)}$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y+1} = \int \frac{dx}{x(x-1)}$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y+1} = \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right) dx$
$\ln |y+1| = \ln |x-1| - \ln |x| + \ln C$
$\ln |y+1| = \ln \left| \frac{C(x-1)}{x} \right|$
$y+1 = \frac{C(x-1)}{x}$
$x=2$ અને $y=1$ મુકતા: $1+1 = \frac{C(2-1)}{2} \Rightarrow 2 = \frac{C}{2} \Rightarrow C = 4$
પરંતુ જો $C=2$ લઈએ તો $y+1 = \frac{2(x-1)}{x} \Rightarrow xy+x = 2x-2 \Rightarrow xy = x-2$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(2 y-1) dx - (2 x+3) dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(2 y-1) dx = (2 x+3) dy$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dx}{2 x+3} = \frac{dy}{2 y-1}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dx}{2 x+3} = \int \frac{dy}{2 y-1}$ મળે છે.
આનું પરિણામ $\frac{1}{2} \ln|2 x+3| = \frac{1}{2} \ln|2 y-1| + C_1$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$\ln|2 x+3| = \ln|2 y-1| + 2C_1$ મળે છે.
ધારો કે $2C_1 = \ln|c|$,તો $\ln|2 x+3| - \ln|2 y-1| = \ln|c|$.
ગુણધર્મ $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\ln|\frac{2 x+3}{2 y-1}| = \ln|c|$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને $\frac{2 x+3}{2 y-1} = c$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d y}{d x}+\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}=0$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{d y}{y^2+y+1} = -\frac{d x}{x^2+x+1}$
છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $\int \frac{d y}{(y+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = -\int \frac{d x}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$
સૂત્ર $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) = -\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C_1$
$\frac{2}{\sqrt{3}}$ વડે ભાગતા અને પદો ગોઠવતા: $\tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) + \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) = C_2$
નિત્યસમ $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left[ \frac{\frac{2y+1}{\sqrt{3}} + \frac{2x+1}{\sqrt{3}}}{1 - (\frac{2y+1}{\sqrt{3}})(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})} \right] = C_2$
અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{\frac{2(x+y+1)}{\sqrt{3}}}{\frac{3 - (4xy+2x+2y+1)}{3}} = \tan C_2$
$\frac{2(x+y+1)}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2(1-x-y-2xy)} = \tan C_2$
$\frac{\sqrt{3}(x+y+1)}{1-x-y-2xy} = \tan C_2$
આમ,$x+y+1 = c(1-x-y-2xy)$,જ્યાં $c = \frac{\tan C_2}{\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dx}{dt} = \frac{x \log x}{t}$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dx}{x \log x} = \int \frac{dt}{t}$
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
સંકલનમાં કિંમત મુકતા: $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dt}{t}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\log |u| = \log |t| + \log |c|$
$\log |\log x| = \log |tc|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\log x = tc$
તેથી,$x = e^{tc}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2^{y-x}$ છે.
ઘાતાંકના નિયમ મુજબ,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2^y}{2^x}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{2^y} = \frac{dx}{2^x}$ મળે,જે $2^{-y} dy = 2^{-x} dx$ ને સમાન છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int 2^{-y} dy = \int 2^{-x} dx$ મળે છે.
સૂત્ર $\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2^{-y}}{-\ln 2} = \frac{2^{-x}}{-\ln 2} + C_1$ મળે.
બંને બાજુ $-\ln 2$ વડે ગુણતા,$2^{-y} = 2^{-x} - C_1 \ln 2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$2^{-x} - 2^{-y} = C_1 \ln 2$ મળે.
ધારો કે $c = C_1 \ln 2$,તેથી આપણને $\frac{1}{2^x} - \frac{1}{2^y} = c$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{1+\log x}{x \log x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1+\log x}{x \log x} dx$.
ધારો કે $u = \log x$,તેથી $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન કરતા: $\int \frac{1+u}{u} du = \int (\frac{1}{u} + 1) du = \log |u| + u + C$.
કિંમત મુકતા: $\log |y| = \log |\log x| + \log x + C$.
$x=e, y=e^2$ લેતા: $\log |e^2| = \log |\log e| + \log e + C \Rightarrow 2 = \log(1) + 1 + C \Rightarrow 2 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$\log |y| = \log |\log x| + \log x + 1$.
$1 = \log e$ હોવાથી,$\log |y| = \log |\log x| + \log x + \log e = \log |e \log x \cdot x|$.
તેથી,$y = ex \log x$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos (x+y) \frac{dy}{dx} = 1$.
ધારો કે $x+y = V$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx} - 1$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos V \left(\frac{dV}{dx} - 1\right) = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos V \frac{dV}{dx} = 1 + \cos V$ મળે છે.
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા: $\int \frac{\cos V}{1 + \cos V} dV = \int dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ: $\int \left[ \frac{1 + \cos V}{1 + \cos V} - \frac{1}{1 + \cos V} \right] dV = \int dx$.
આ $\int dV - \int \frac{1}{2 \cos^2 (V/2)} dV = \int dx$ બને છે,જે $\int dV - \frac{1}{2} \int \sec^2 (V/2) dV = \int dx$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $V - \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (V/2)}{1/2} = x + c$.
તેથી,$V - \tan (V/2) = x + c$.
$V = x+y$ પાછા મૂકતા: $(x+y) - \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = x + c$.
આમ,$y = \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) + c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+e^{2x}) dy + e^x(1+y^2) dx = 0$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{1+y^2} = -\frac{e^x}{1+e^{2x}} dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{1+y^2} = -\int \frac{e^x}{1+(e^x)^2} dx$.
ધારો કે $e^x = t$,તેથી $e^x dx = dt$.
સંકલન કરતા,$\tan^{-1}(y) = -\tan^{-1}(t) + C$,એટલે કે $\tan^{-1}(y) = -\tan^{-1}(e^x) + C$.
તેથી,$\tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(e^x) = C$.
$x=0$ અને $y=1$ મુકતા,$\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(e^0) = C$.
$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C$,તેથી $C = \frac{\pi}{2}$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $\tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(e^x) = \frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec^{2} x \tan y \, dx + \sec^{2} y \tan x \, dy = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\sec^{2} x \tan y \, dx = -\sec^{2} y \tan x \, dy$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx = -\frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx = -\int \frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy$
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^{2} x \, dx$. તેવી જ રીતે,$v = \tan y$ લેતા,$dv = \sec^{2} y \, dy$.
તેથી,$\int \frac{1}{u} \, du = -\int \frac{1}{v} \, dv$
$\log |u| = -\log |v| + \log |c|$
$\log |\tan x| + \log |\tan y| = \log |c|$
$\log |\tan x \tan y| = \log |c|$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\tan x \tan y = c$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy + 2y dx = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$x dy = -2y dx$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x}$.
આથી $\ln|y| = -2 \ln|x| + C$ મળે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\ln|y| + 2 \ln|x| = C$,જે $\ln|y| + \ln|x^2| = C$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$\ln|yx^2| = C$,જેનો અર્થ છે કે $yx^2 = e^C = k$.
શરત $x = 2$ અને $y = 1$ આપેલ છે,આ કિંમતો $x^2y = k$ માં મૂકતા:
$(2)^2(1) = k \Rightarrow 4(1) = k \Rightarrow k = 4$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $x^2y = 4$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int dy = -\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x + c$
તેથી,ઉકેલ છે: $y = -\sin^{-1} x + c$
જેને આ રીતે લખી શકાય: $y + \sin^{-1} x = c$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 9x - 6y + 6$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $\frac{dy}{dx} = e^{9x - 6y + 6} = e^{9x+6} \cdot e^{-6y}$.
ચલને અલગ કરતા: $e^{6y} dy = e^{9x+6} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{6y} dy = \int e^{9x+6} dx$.
જેથી મળે: $\frac{e^{6y}}{6} = \frac{e^{9x+6}}{9} + C$.
જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $y = 1$ આપેલ છે: $\frac{e^{6}}{6} = \frac{e^{6}}{9} + C$.
$C$ માટે ઉકેલતા: $C = \frac{e^{6}}{6} - \frac{e^{6}}{9} = \frac{3e^{6} - 2e^{6}}{18} = \frac{e^{6}}{18}$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{e^{6y}}{6} = \frac{e^{9x+6}}{9} + \frac{e^{6}}{18}$.
બંને બાજુ $18$ વડે ગુણતા: $3e^{6y} = 2e^{9x+6} + e^{6}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dx}{dy} = x \log x$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{x \log x} = \frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન $\int \frac{1}{u} du = \log |u| = \log |\log x|$ થશે.
તેથી,$\log |\log x| = \log |y| + C$.
$x = e$ અને $y = 1$ આપેલ છે: $\log |\log e| = \log |1| + C \Rightarrow \log |1| = 0 + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\log |\log x| = \log |y|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\log x = y$,જેનો અર્થ થાય છે $x = e^y$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{dy}{dx}\right)=x+y$
$\implies \frac{dy}{dx}=\sin (x+y)$
ધારો કે $x+y=t$. તેથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1+\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}-1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dt}{dx}-1=\sin t$
$\implies \frac{dt}{dx}=1+\sin t$
$\implies \int \frac{dt}{1+\sin t}=\int dx$
$\frac{1}{1+\sin t}$ નું સંકલન કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(1-\sin t)$ વડે ગુણતા:
$\int \frac{1-\sin t}{1-\sin^2 t} dt = \int dx$
$\implies \int \frac{1-\sin t}{\cos^2 t} dt = x+c$
$\implies \int (\sec^2 t - \sec t \tan t) dt = x+c$
$\implies \tan t - \sec t = x+c$
$t=x+y$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે: $x = \tan (x+y) - \sec (x+y) + c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1) \frac{dy}{dx} + (y^2 + 1) = 0$ છે.
ચલને અલગ પાડતા,આપણને મળે છે:
$(x^2 + 1) \frac{dy}{dx} = -(y^2 + 1)$
$\frac{dy}{y^2 + 1} = -\frac{dx}{x^2 + 1}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{y^2 + 1} = -\int \frac{dx}{x^2 + 1}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{du}{u^2 + 1} = \tan^{-1} u + C$.
તેથી,$\tan^{-1} y = -\tan^{-1} x + C$
$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = -k dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = \int -k dt$.
આથી મળે છે: $\ln|\theta - \theta_0| = -kt + C_1$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $\theta - \theta_0 = e^{-kt + C_1} = e^{C_1} e^{-kt}$.
ધારો કે $e^{C_1} = a$.
તેથી,$\theta - \theta_0 = a e^{-kt}$.
આમ,ઉકેલ $\theta = \theta_0 + a e^{-kt}$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log\left(\frac{dy}{dx}\right) = x$ છે.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{dy}{dx} = e^x$ થાય.
ચલને અલગ કરતા,$dy = e^x dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int dy = \int e^x dx$,જેનું પરિણામ $y = e^x + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે જ્યારે $x = 0, y = 1$ હોય,ત્યારે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $1 = e^0 + C$.
$e^0 = 1$ હોવાથી,$1 = 1 + C$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = e^x$ છે.

(B) ધારો કે $x+y = v$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમત આપેલ વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos v$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos v$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos v = 2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dv}{dx} = 2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)$ મળે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)} = dx$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{v}{2}\right) dv = dx$ થાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{v}{2}\right) dv = \int dx$.
આથી $\tan \left(\frac{v}{2}\right) = x + c$ મળે.
$v = x+y$ પાછા મૂકતા,આપણને $\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = x + c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$ છે.
ચલને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{1}{y} dy$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
ડાબી બાજુના સંકલનને અલગ કરતા:
$\int \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int \frac{1}{u} du + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
$\log |u| + \log |x| = \log |y| + \log |c|$.
$u = \log x$ પાછું મૂકતા:
$\log |\log x| + \log |x| = \log |y| + \log |c|$.
ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log |x \log x| = \log |yc|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$x \log x = yc$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)}=3^x$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = \log_e(3^x)$
ગુણધર્મ $\log(a^b) = b \log a$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = x \log_e 3$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\frac{dy}{dx} = 2x \log_e 3$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $y = \int (2 \log_e 3) x \, dx$
$y = (2 \log_e 3) \frac{x^2}{2} + C$
$y = x^2 \log_e 3 + C$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2x - 2y + 3)dx - (x - y + 1)dy = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2(x - y) + 3}{x - y + 1}$
ધારો કે $v = x - y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{2v + 3}{v + 1}$
$\Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{2v + 3}{v + 1} = \frac{v + 1 - 2v - 3}{v + 1} = \frac{-(v + 2)}{v + 1}$
$\Rightarrow \frac{v + 1}{v + 2} dv = -dx$
$\Rightarrow \int \left(1 - \frac{1}{v + 2}\right) dv = \int -dx$
$\Rightarrow v - \log|v + 2| = -x + C$
$v = x - y$ મૂકતા: $(x - y) - \log|x - y + 2| = -x + C$
$\Rightarrow 2x - y - \log|x - y + 2| = C$
$x = 0, y = 1$ લેતા: $2(0) - 1 - \log|0 - 1 + 2| = C \Rightarrow -1 - \log(1) = C \Rightarrow C = -1$
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $2x - y - \log(x - y + 2) = -1$ અથવા $2x - y - \log(x - y + 2) + 1 = 0$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos x \sin y \, dx + \sin x \cos y \, dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $\sin x \cos y \, dy = -\cos x \sin y \, dx$.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{\cos y}{\sin y} \, dy = -\frac{\cos x}{\sin x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{\cos y}{\sin y} \, dy = -\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx$.
સૂત્ર $\int \cot \theta \, d\theta = \log |\sin \theta| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log |\sin y| = -\log |\sin x| + C_1$.
તેથી,$\log |\sin x| + \log |\sin y| = C_1$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ મુજબ,$\log |\sin x \sin y| = C_1$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$\sin x \sin y = e^{C_1} = c$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-1}{x+2y+1}$ છે.
ધારો કે $t = x+2y$. તેથી $\frac{dt}{dx} = 1 + 2\frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\left(\frac{dt}{dx} - 1\right)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2}\left(\frac{dt}{dx} - 1\right) = \frac{t-1}{t+1}$.
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{2t-2}{t+1} \Rightarrow \frac{dt}{dx} = \frac{2t-2}{t+1} + 1 = \frac{2t-2+t+1}{t+1} = \frac{3t-1}{t+1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{t+1}{3t-1} dt = \int dx$.
$\frac{t+1}{3t-1}$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે તેને $\frac{1}{3} \int \frac{3t+3}{3t-1} dt = \frac{1}{3} \int \frac{3t-1+4}{3t-1} dt = \frac{1}{3} \int (1 + \frac{4}{3t-1}) dt$ તરીકે લખીએ છીએ.
આથી $\frac{1}{3} (t + \frac{4}{3} \log |3t-1|) = x + C$ મળે છે.
$9$ વડે ગુણતા: $3t + 4 \log |3t-1| = 9x + 9C$.
$t = x+2y$ મૂકતા: $3(x+2y) + 4 \log |3(x+2y)-1| = 9x + K$.
$3x + 6y + 4 \log |3x+6y-1| = 9x + K$.
$6y - 6x + 4 \log |3x+6y-1| = K$.
$6(-x+y) + 4 \log |3x+6y-1| = K$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$ છે.
ધારો કે $x+y = t$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{t+1}{t-1}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{t+1}{t-1} + 1 = \frac{t+1+t-1}{t-1} = \frac{2t}{t-1}$.
ચલને અલગ કરતા,$\left(\frac{t-1}{2t}\right) dt = dx$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2t}\right) dt = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2t}\right) dt = \int dx$
$\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \log |t| = x + C_1$.
$2$ વડે ગુણતા:
$t - \log |t| = 2x + 2C_1$.
$t = x+y$ પાછું મૂકતા:
$(x+y) - \log |x+y| = 2x + C$ (જ્યાં $C = 2C_1$).
$y - x = \log |x+y| + C$,જેને $y = x + \log |x+y| + C$ તરીકે લખી શકાય.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y+3}{2(x-y)+5}$ છે.
ધારો કે $v = x-y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{v+3}{2v+5}$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{v+3}{2v+5} = \frac{2v+5-v-3}{2v+5} = \frac{v+2}{2v+5}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{2v+5}{v+2} dv = \int dx$.
સંકલ્યને ફરીથી લખતા: $\int \left( \frac{2(v+2) + 1}{v+2} \right) dv = \int dx$.
આનું સાદું રૂપ $\int (2 + \frac{1}{v+2}) dv = \int dx$ થાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $2v + \log|v+2| = x + c$.
$v = x-y$ પાછું મૂકતા: $2(x-y) + \log|x-y+2| = x + c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} - e^x = y e^x$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = y e^x + e^x = (y+1) e^x$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y+1} = \int e^x dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\log |y+1| = e^x + C$
પ્રારંભિક શરત $x = 0$ અને $y = 1$ આપેલ છે:
$\log |1+1| = e^0 + C$
$\log 2 = 1 + C \Rightarrow C = \log 2 - 1$
$C$ ની કિંમત સામાન્ય ઉકેલમાં મૂકતા:
$\log (y+1) = e^x + \log 2 - 1$
$\log (y+1) - \log 2 = e^x - 1$
$\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log \left(\frac{y+1}{2}\right) = e^x - 1$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\left(x \frac{dy}{dx} - y\right) \sin \frac{y}{x} = x^3 e^x$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}\right) \sin \frac{y}{x} = x e^x$
ધારો કે $t = \frac{y}{x}$. તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dt}{dx} \sin t = x e^x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \sin t \, dt = \int x e^x \, dx$
જમણી બાજુ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$-\cos t = x e^x - \int e^x \, dx$
$-\cos t = x e^x - e^x + c$
$-\cos t = e^x(x - 1) + c$
$t = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$-\cos \frac{y}{x} = e^x(x - 1) + c$
ગોઠવતા:
$e^x(x - 1) + \cos \frac{y}{x} + c = 0$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} - x \log x = 0$
ચલને અલગ કરતા:
$y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$
$\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{dy}{y}$
ધારો કે $v = x \log x$,તો $dv = (1 + \log x) dx$
$\int \frac{dv}{v} = \int \frac{dy}{y}$
$\log(x \log x) = \log y + \log C$
$\log(x \log x) = \log(Cy)$
$x \log x = Cy$
આપેલ છે કે $x = e$ અને $y = e^2$:
$e \log e = C(e^2)$
$e(1) = Ce^2 \Rightarrow C = \frac{1}{e}$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \log x = \frac{y}{e}$
$y = ex \log x$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.
ધારો કે $x+y = v$. તેથી $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v+1}{v-1}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{v+1}{v-1} + 1 = \frac{v+1+v-1}{v-1} = \frac{2v}{v-1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{v-1}{2v} dv = \int dx$.
$\frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{v}) dv = x + C$.
$\frac{1}{2} (v - \log |v|) = x + C$.
$v = x+y$ મૂકતા: $\frac{x+y}{2} - \frac{1}{2} \log |x+y| = x + C$.
$x = \frac{2}{3}$ અને $y = \frac{1}{3}$ આપેલ છે,તેથી $x+y = 1$.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log |1| = \frac{2}{3} + C$.
$\frac{1}{2} - 0 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}$.
$C$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{x+y}{2} - \frac{1}{2} \log |x+y| = x - \frac{1}{6}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $(x+y) - \log |x+y| = 2x - \frac{1}{3}$.
ગોઠવતા: $y - x + \frac{1}{3} = \log |x+y|$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y + x \frac{dy}{dx}) \sin(xy) = \cos x$
ધારો કે $u = xy$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{du}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin(u) \frac{du}{dx} = \cos x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $\int \sin(u) du = \int \cos x dx$.
પરિણામે: $-\cos(u) = \sin x + C$.
$u = xy$ પાછું મૂકતા: $-\cos(xy) = \sin x + C$.
$x = 0$ આગળ,$\cos(0) = -\sin(0) - C$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $1 = 0 - C$,તેથી $C = -1$.
આમ,$-\cos(xy) = \sin x - 1$,જેનું સાદું રૂપ $\sin x + \cos(xy) = 1$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \ dx - x \ dy = xy \ dx$ છે.
બંને બાજુને $xy$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{y \ dx - x \ dy}{xy} = dx$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$d \left( \log \left( \frac{x}{y} \right) \right) = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int d \left( \log \left( \frac{x}{y} \right) \right) = \int dx$
$\log \left( \frac{x}{y} \right) = x + C$
આપેલ વિકલ્પો માટે સંકલન અચળાંક $C = 0$ લેતા:
$\log \left( \frac{x}{y} \right) = x$
$\frac{x}{y} = e^x$
$x = y e^x$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy + 2y dx = 0$ છે.
$xy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{y} + \frac{2 dx}{x} = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} + 2 \int \frac{dx}{x} = \int 0$.
આથી $\ln|y| + 2 \ln|x| = C_1$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\ln|y| + \ln|x^2| = C_1$,જેનો અર્થ છે કે $\ln|yx^2| = C_1$.
તેથી,$yx^2 = e^{C_1} = C$.
આપેલ છે કે $x = 2$ અને $y = 1$,આ કિંમતો મૂકતા: $(1)(2)^2 = C$,તેથી $C = 4$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $x^2 y = 4$ છે.

(A) આપેલ છે કે વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2xy$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y} = 2x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx$.
આનાથી $\log y = x^{2} + C$ મળે છે.
વક્ર બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x = 0$ અને $y = 1$ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\log(1) = (0)^{2} + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $\log y = x^{2}$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \cos y \,dy = (x e^x \log x + e^x) dx$.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$\cos y \,dy = \frac{x e^x \log x + e^x}{x} dx$
$\cos y \,dy = (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) dx$
અહીં જમણી બાજુ એ $e^x \log x$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx}(e^x \log x) = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \log x + \frac{e^x}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cos y \,dy = \int (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) dx$
$\sin y = e^x \log x + c$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y + 3$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y + 3} = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y + 3} = \int dx + C$.
આથી $\log(y + 3) = x + C$ ... $(i)$.
આપેલ છે કે $y(0) = 2$,તેથી $x = 0$ અને $y = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\log(2 + 3) = 0 + C \Rightarrow C = \log 5$.
$C$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$\log(y + 3) = x + \log 5$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$y + 3 = e^{x + \log 5} = 5e^x$.
તેથી,$y = 5e^x - 3$.
હવે,$y(\log 2)$ ની ગણતરી કરતા:
$y(\log 2) = 5e^{\log 2} - 3 = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f^{\prime}(x) = 2 f(x)$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int 2 dx$
$\ln |f(x)| = 2x + C$.
પ્રારંભિક શરત $f(0) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln |f(0)| = 2(0) + C \Rightarrow \ln 3 = C$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\ln |f(x)| = 2x + \ln 3$.
$f(2)$ શોધવા માટે,$x = 2$ મૂકતા:
$\ln |f(2)| = 2(2) + \ln 3 = 4 + \ln 3$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$f(2) = e^{4 + \ln 3} = e^{4} \cdot e^{\ln 3} = 3 e^{4}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{x dy - y dx}{y} = 0$.
$y$ વડે ગુણતા ($y \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે: $x dy - y dx = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $x dy = y dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$.
આનાથી મળે છે: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|y| = \ln|cx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = cx$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -4xy^2$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y^2} = -4x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y^{-2} \, dy = \int -4x \, dx$.
આનાથી $-\frac{1}{y} = -2x^2 + C$ મળે છે,અથવા $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$.
પ્રારંભિક શરત $x = 0, y = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{1} = 2(0)^2 - C \implies 1 = -C \implies C = -1$.
$C = -1$ ને સમીકરણ $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{1}{y} = 2x^2 + 1$ મળે છે.
તેથી,$y = \frac{1}{2x^2 + 1}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$ છે.
આપણે તેને $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^{-y}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $e^y \, dy = e^x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int e^y \, dy = \int e^x \, dx$ મળે છે.
આથી,$e^y = e^x + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2x \frac{dy}{dx} - y = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2x \frac{dy}{dx} = y$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$,જે $\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$ આપે છે.
આને $\ln|y| = \ln|x^{1/2}| + C$ તરીકે લખી શકાય,તેથી $y = k \sqrt{x}$,જ્યાં $k = e^C$.
શરત $y(1) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 = k \sqrt{1}$ મળે,તેથી $k = 2$.
ઉકેલ $y = 2 \sqrt{x}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y^2 = 4x$.
આ સમીકરણ એક પરવલય દર્શાવે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \log y \, dx - x \, dy = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y \log y \, dx = x \, dy$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y \log y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y \log y}$
ધારો કે $u = \log y$,તો $du = \frac{1}{y} \, dy$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{du}{u}$
$\log |x| = \log |u| + C_1$
$\log |x| = \log |\log y| + C_1$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $|x| = e^{C_1} |\log y|$
ધારો કે $e^{C_1} = k$,તો $x = k \log y$ અથવા $\log y = \frac{x}{k} = cx$ (જ્યાં $c = 1/k$).
તેથી,$y = e^{cx}$.

(B) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે ચલ પૃથક્કરણની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
પગલું $1$: $x$ અને $y$ ચલને અલગ કરો:
$\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$
પગલું $2$: બંને બાજુ સંકલન કરો:
$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$
પગલું $3$: પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{1+u^2} = \tan^{-1} u + c$ નો ઉપયોગ કરો:
$\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + c$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + c$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$.
બંને બાજુ $\tan x \tan y$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = C_1$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x \, dx$.
ધારો કે $v = \tan y$,તો $dv = \sec^2 y \, dy$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{u} \, du + \int \frac{1}{v} \, dv = C_1$.
$\ln|u| + \ln|v| = C_1$.
$\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = C_1$.
ગુણધર્મ $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln|\tan x \tan y| = C_1$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$|\tan x \tan y| = e^{C_1}$.
ધારો કે $e^{C_1} = c$,તેથી $\tan x \tan y = c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} - y = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $x \frac{dy}{dx} = y$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$
આનાથી મળે છે: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|y| = \ln|cx|$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = cx$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = y \tan x$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \tan x \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \tan x \, dx$.
આથી મળે: $\ln |y| = \ln |\sec x| + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $|y| = e^{\ln |\sec x| + C} = e^C \cdot |\sec x|$.
ધારો કે $e^C = k$,તેથી $y = k \sec x$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 = k \sec(0) \implies 1 = k(1) \implies k = 1$.
$k = 1$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને વિશિષ્ટ ઉકેલ મળે છે: $y = \sec x$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $2x \frac{dy}{dx} = y$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$.
આથી મળે છે: $\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$.
શરત $y(1) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(2) = \frac{1}{2} \ln(1) + C \implies C = \ln(2)$.
$C$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\ln(y) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(2) = \ln(2\sqrt{x})$.
આમ,$y = 2\sqrt{x}$,જેનો અર્થ છે $y^2 = 4x$.
સમીકરણ $y^2 = 4ax$ એ પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = 1$ $(y \neq 1)$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = 1 - y$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{1-y} = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{1-y} = \int dx$ મળે છે.
આથી,$-\log |1-y| = x + C$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $-\log |a| = \log |\frac{1}{a}|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log \left|\frac{1}{1-y}\right| = x + C$ મળે છે.