Linear differential equations Questions in Gujarati

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખવા માટે $(1+x)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$.
અહીં,$P(x) = -\frac{x}{1+x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $e^{\int P(x) dx}$ છે:
$IF = e^{\int -\frac{x}{1+x} dx} = e^{-\int \frac{x+1-1}{1+x} dx} = e^{-\int (1 - \frac{1}{1+x}) dx}$.
$IF = e^{-(x - \ln|1+x|)} = e^{-x + \ln|1+x|} = e^{-x} \cdot e^{\ln|1+x|}$.
કારણ કે $e^{\ln|1+x|} = 1+x$,તેથી $IF = (1+x)e^{-x}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{y}{x}} = x$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\frac{y}{x} = \log x$ મળે છે.
આમ,$y = x \log x$.
જોકે,પ્રશ્નમાં $y(1) = 3$ આપેલ છે.
જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1$ હોય,તો તેનો ઉકેલ $y = x \log x + Cx$ થાય.
શરત $y(1) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 = 1 \cdot \log(1) + C(1) \implies 3 = 0 + C \implies C = 3$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = x \log x + 3x$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $IF = e^{\int P(x) dx}$ છે.
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
તેથી,સંકલ્યકારક અવયવ $x^2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x \log x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા મળે છે.
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ છે.
બંને બાજુ $(1-x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1-x^2} y = \frac{kx}{1-x^2}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{x}{1-x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા મળે છે.
$IF = e^{\int \frac{x}{1-x^2} dx}$.
ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$IF = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{-\frac{1}{2} \ln|u|} = e^{\ln|u|^{-1/2}} = |u|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y dx - x dy = 2y^2 dy$.
બંને બાજુ $y^2$ વડે ભાગતા (જ્યાં $y \neq 0$): $\frac{y dx - x dy}{y^2} = 2 dy$.
ભાગાકારના વિકલનનો ઉપયોગ કરતા: $d\left(\frac{x}{y}\right) = 2 dy$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int d\left(\frac{x}{y}\right) = \int 2 dy$.
આથી $\frac{x}{y} = 2y + C$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સમીકરણને $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = 2y$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 2y$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = e^{\ln|y|^{-1}} = \frac{1}{y}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{1+x^2}$ છે.
આપણે તેને $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1+x^2} + \frac{y}{1+x^2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \left(\frac{1}{1+x^2}\right)y = \frac{x}{1+x^2}$ મળે છે.
આ સુરેખ વિકલ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ અને $Q(x) = \frac{x}{1+x^2}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = x^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધવાનું સૂત્ર $IF = e^{\int P dx}$ છે.
$P$ ની કિંમત મૂકતા:
$IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{\log x} = x$,તેથી સંકલ્યકારક અવયવ $x$ મળે છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^3$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x^2$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = x^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x|^{-1}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = 3x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$.
વિકલ સમીકરણને સંકલ્યકારક અવયવ $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x \frac{dy}{dx} + y = 3x^2$.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{d}{dx}(xy) = 3x^2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int 3x^2 dx$.
$xy = x^3 + C$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને વ્યાપક ઉકેલ મળે છે:
$y = x^2 + \frac{C}{x}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$
પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મેળવવા માટે $x$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$
અહીં,$P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ મળે છે:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$
વિકલ સમીકરણને $I$.$F$. $(x^2)$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = x^3$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{d}{dx}(y \cdot x^2) = x^3$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y \cdot x^2 = \int x^3 dx$
$y \cdot x^2 = \frac{x^4}{4} + C$
$x^2$ વડે ભાગતા:
$y = \frac{x^4 + 4C}{4x^2}$
$4C$ એ સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,તેને $C$ તરીકે લખી શકાય:
$y = \frac{x^4 + C}{4x^2}$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ હોવાથી):
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x$
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ મળે છે:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx}$
$= e^{2 \log |x|} = e^{\log |x^2|} = x^2$
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $x^2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sec x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot \sec x = \int \sec x \cdot \sec x dx + c$
$y \sec x = \int \sec^2 x dx + c$
$y \sec x = \tan x + c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = x^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ દ્વારા મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot x = \int x^2 \cdot x dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$ મળે છે.
તેથી,$y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$.
હવે,$y(2) = \frac{2^3}{4} + \frac{C}{2} = 2 + \frac{C}{2}$.
અને $y(1) = \frac{1^3}{4} + \frac{C}{1} = \frac{1}{4} + C$.
$2y(2) - y(1) = 2(2 + \frac{C}{2}) - (\frac{1}{4} + C) = 4 + C - \frac{1}{4} - C = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$.
$x \log x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = 2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ છે.
$y \log x = \int 2 \log x dx + C$.
$y \log x = 2(x \log x - x) + C$.
$x = e$ મુકતા:
$y(e) \log e = 2(e \log e - e) + C$.
$y(e) = 2(e - e) + C = C$.
આમ,$y(e) = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(2x + 3y^2) dy = y dx$ છે.
બંને બાજુ $y dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{2x + 3y^2}{y}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = 3y$ મળે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{2}{y}$ અને $Q(y) = 3y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$IF = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \ln|y|} = e^{\ln|y^{-2}|} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ માં ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} + y - \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} + y(1 - \frac{1}{x}) = \frac{1}{x}$
અહીં,$P = 1 - \frac{1}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ મળે છે:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int (1 - \frac{1}{x}) dx}$
$I.F. = e^{x - \ln|x|} = e^{x} \cdot e^{-\ln|x|} = e^{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^3 - 3$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = x^3 - 3$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$.$F$. $= e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^{2} dy - 2xy dx = x^{4} \cos x dx$.
બંને બાજુ $x^{2} dx$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x^{2} \cos x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{2}{x}$ અને $Q = x^{2} \cos x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ છે:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln |x|} = e^{\ln |x^{-2}|} = \frac{1}{x^{2}}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot \frac{1}{x^{2}} = \int (x^{2} \cos x) \cdot \frac{1}{x^{2}} dx + c$.
$\frac{y}{x^{2}} = \int \cos x dx + c$.
$\frac{y}{x^{2}} = \sin x + c$.
$x^{2}$ વડે ગુણતા,આપણને વ્યાપક ઉકેલ મળે છે:
$y = x^{2} \sin x + cx^{2}$.

(A) આપેલ બિંદુ $P=(1,2)$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan(\theta) = \tan(\tan^{-1}(2x+3y)) = 2x+3y$ દ્વારા મળે છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{dx} - 3y = 2x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા: $y e^{-3x} = \int 2x e^{-3x} dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int 2x e^{-3x} dx = 2x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 2 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{2}{3}x e^{-3x} - \frac{2}{9} e^{-3x} + c$.
તેથી,$y e^{-3x} = -\frac{2}{3}x e^{-3x} - \frac{2}{9} e^{-3x} + c$.
$e^{3x}$ વડે ગુણતા: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + c e^{3x}$.
વક્ર $(1,2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી: $2 = -\frac{2}{3}(1) - \frac{2}{9} + c e^3 \implies 2 = -\frac{8}{9} + c e^3 \implies c e^3 = \frac{26}{9} \implies c = \frac{26}{9} e^{-3}$.
$c$ ની કિંમત મૂકતા: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + \frac{26}{9} e^{-3} e^{3x} \implies 9y = -6x - 2 + 26 e^{3x-3} \implies 6x + 9y + 2 = 26 e^{3x-3}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$.
$\cos ^2 x$ વડે ભાગતા: $\frac{d y}{d x} + y \sec ^2 x = \tan x \sec ^2 x$.
આ $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \sec ^2 x$ અને $Q(x) = \tan x \sec ^2 x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \sec ^2 x dx} = e^{\tan x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y e^{\tan x} = \int \tan x \sec ^2 x e^{\tan x} dx + C$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec ^2 x dx$.
સંકલન $\int u e^u du$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u e^u du = u e^u - \int e^u du = u e^u - e^u = e^u(u-1)$.
કિંમત મૂકતા: $y e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x - 1) + C$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y dx = (x + y^3 \cos y) dy$ છે.
$y dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y^2 \cos y$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = y^2 \cos y$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = y^2 \cos y$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (y^2 \cos y) \cdot \frac{1}{y} dy + C$.
$\frac{x}{y} = \int y \cos y dy + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int y \cos y dy = y \sin y - \int \sin y dy = y \sin y + \cos y$.
તેથી,$\frac{x}{y} = y \sin y + \cos y + C$.
$x = y^2 \sin y + y \cos y + Cy$.
વક્ર $(0, \pi)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = \pi^2 \sin \pi + \pi \cos \pi + C\pi$.
$0 = 0 - \pi + C\pi \implies C\pi = \pi \implies C = 1$.
આમ,$x = y^2 \sin y + y \cos y + y = y^2 \sin y + y(1 + \cos y) = y^2 \sin y + y(2 \cos^2 \frac{y}{2})$.
તેથી,$x = y^2 \sin y + 2y \cos^2 \frac{y}{2}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 2y^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$: $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
વ્યાપક ઉકેલ: $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$.
$\frac{x}{y} = y^2 + c$.
$x = y^3 + cy$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$.
$y^2$ વડે ભાગતા: $2 y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = \frac{1}{x^2}$.
ધારો કે $v = y^{-1}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-2 \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \frac{1}{x^2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dx} + \frac{v}{2x} = -\frac{1}{2x^2}$ થાય છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{2x} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln x} = \sqrt{x}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા: $\sqrt{x} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2x^{3/2}}$,એટલે કે $\frac{d}{dx}(v \sqrt{x}) = -\frac{1}{2} x^{-3/2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $v \sqrt{x} = -\frac{1}{2} \int x^{-3/2} dx = -\frac{1}{2} \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = \frac{1}{\sqrt{x}} + C$.
તેથી,$v = \frac{1}{x} + \frac{C}{\sqrt{x}} = \frac{1 + C\sqrt{x}}{x}$.
$v = 1/y$ હોવાથી,$y = \frac{x}{1 + C\sqrt{x}}$.
$x = 1$ ત્યારે $y = 2$ આપેલ છે: $2 = \frac{1}{1 + C}$,તેથી $2 + 2C = 1$,એટલે કે $2C = -1$ અથવા $C = -1/2$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા: $y = \frac{x}{1 - \frac{1}{2}\sqrt{x}} = \frac{2x}{2 - \sqrt{x}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = \frac{e^x}{x}$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot x = \int \frac{e^x}{x} \cdot x dx + c$
$xy = \int e^x dx + c$
$xy = e^x + c$
$y = \frac{e^x + c}{x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + xy = 4x - 2y + 8$.
પદોને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} + (x + 2)y = 4x + 8$.
$\frac{dy}{dx} + (x + 2)y = 4(x + 2)$.
અહીં,$P(x) = x + 2$ અને $Q(x) = 4(x + 2)$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (x + 2) dx} = e^{\frac{x^2}{2} + 2x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot e^{\frac{x^2}{2} + 2x} = \int 4(x + 2) e^{\frac{x^2}{2} + 2x} dx + c$.
ધારો કે $u = \frac{x^2}{2} + 2x$,તો $du = (x + 2) dx$.
$y \cdot e^{\frac{x^2}{2} + 2x} = 4 \int e^u du + c = 4e^u + c = 4e^{\frac{x^2}{2} + 2x} + c$.
બંને બાજુ $e^{\frac{x^2}{2} + 2x}$ વડે ભાગતા:
$y = 4 + ce^{-(\frac{x^2}{2} + 2x)}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y+\cos x(\frac{dy}{dx})-\cos^2 x=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\cos x(\frac{dy}{dx})+y=\cos^2 x$ મળે.
$\cos x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx}+y\sec x=\cos x$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=\sec x$ અને $Q=\cos x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln|\sec x+\tan x|} = \sec x+\tan x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ છે.
$y(\sec x+\tan x) = \int \cos x(\sec x+\tan x) dx + c$.
$y(\sec x+\tan x) = \int (1+\sin x) dx + c$.
$y(\sec x+\tan x) = x-\cos x+c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\sec x}{\cos x + \sin x}$ અને $Q(x) = \frac{\cos x}{1 + \tan x}$ છે.
પ્રથમ,$P(x)$ ને સરળ બનાવતા:
$P(x) = \frac{1}{\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x}$.
હવે,સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx}$ શોધો:
$IF = e^{\int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x} dx} = e^{\ln|1 + \tan x|} = 1 + \tan x$.
વિકલ સમીકરણને $IF$ વડે ગુણતા:
$(1 + \tan x) \frac{dy}{dx} + \sec^2 x \cdot y = \cos x$.
આથી,$\frac{d}{dx} [y(1 + \tan x)] = \cos x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$y(1 + \tan x) = \sin x + c$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ છે.
$x \log x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = \frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \log x = \int \frac{2}{x} \cdot \log x dx + C$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
$y \log x = \int 2u du + C = u^2 + C = (\log x)^2 + C$.
આપેલ છે કે $y(e) = 0$,તેથી $0 \cdot \log e = (\log e)^2 + C$,એટલે કે $0 = 1 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = -1$.
આમ,$y \log x = (\log x)^2 - 1$.
$x = e^2$ માટે,$y \log(e^2) = (\log e^2)^2 - 1$.
$y(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
$2y = 3$,તેથી $y = \frac{3}{2}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \log x \, dy = (x \log x - y) \, dx$.
બંને બાજુ $dx$ અને $x \log x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x - y}{x \log x} = 1 - \frac{y}{x \log x}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 1$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q(x) = 1$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} \, dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} \, dx$. તેથી,$\int \frac{1}{x \log x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \log |u| = \log |\log x|$.
તેથી,$IF = e^{\log |\log x|} = \log x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) \, dx + c$ છે.
$y \log x = \int 1 \cdot \log x \, dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int \log x \, dx = x \log x - x$.
તેથી,$y \log x = x \log x - x + c$.
ગોઠવતા $(y-x) \log x + x = c$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x(1+\sin^2 x)$ છે.
$(1+\sin^2 x)$ વડે ભાગતા,આપણને સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + y \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} = \cos x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x}$ અને $Q = \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx}$.
ધારો કે $u = 1+\sin^2 x$,તો $du = 2 \sin x \cos x dx = \sin 2x dx$.
તેથી,$IF = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln u} = u = 1+\sin^2 x$.
ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ છે.
$y(1+\sin^2 x) = \int \cos x (1+\sin^2 x) dx + c$.
ધારો કે $t = \sin x$,તો $dt = \cos x dx$.
$y(1+\sin^2 x) = \int (1+t^2) dt + c = t + \frac{t^3}{3} + c$.
$t = \sin x$ મૂકતા,આપણને $(1+\sin^2 x) y = \sin x + \frac{\sin^3 x}{3} + c$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(\sin y \cos^2 y - x \sec^2 y) dy = \tan y dx$
પદોને ગોઠવતા: $\tan y \frac{dx}{dy} + x \sec^2 y = \sin y \cos^2 y$
$\tan y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} + x \frac{\sec^2 y}{\tan y} = \cos^3 y$
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{\sec^2 y}{\tan y}$ અને $Q(y) = \cos^3 y$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy} = e^{\ln(\tan y)} = \tan y$.
ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x \tan y = \int \cos^3 y \cdot \tan y dy = \int \cos^2 y \sin y dy$.
ધારો કે $u = \cos y$,તો $du = -\sin y dy$.
$x \tan y = -\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3 y}{3} + C$.
$3$ વડે ગુણતા: $3x \tan y = -\cos^3 y + 3C$.
આમ,$3x \tan y + \cos^3 y = C$ (જ્યાં $C$ અચળાંક છે).

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ છે.
$x dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y^2 = 0$ મળે છે.
આ એક બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છે. $y^2$ વડે ભાગતા: $y^{-2} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-1} = -1$.
ધારો કે $v = y^{-1}$,તો $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,તેથી $- \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = -1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = 1$ થાય છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેમાં સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ છે.
ઉકેલ $v \cdot \frac{1}{x} = \int 1 \cdot \frac{1}{x} dx = \log x + C$ છે.
$v = \frac{1}{y}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{xy} = \log x + C$ મળે છે.
$x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{1 \cdot 1} = \log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$\frac{1}{xy} = \log x + 1$,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{1}{x(1 + \log x)}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$.
$x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{y^2+x+1}{y+1} = \frac{y^2+1}{y+1} + \frac{x}{y+1}$.
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y+1} x = \frac{y^2+1}{y+1}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y+1}$ અને $Q(y) = \frac{y^2+1}{y+1}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{-\int \frac{1}{y+1} dy} = e^{-\log(y+1)} = \frac{1}{y+1}$.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ છે.
$x \cdot \frac{1}{y+1} = \int \frac{y^2+1}{(y+1)^2} dy + c$.
$y^2+1 = (y+1)^2 - 2(y+1) + 2$ લેતા:
$\frac{x}{y+1} = \int \left( 1 - \frac{2}{y+1} + \frac{2}{(y+1)^2} \right) dy + c$.
$\frac{x}{y+1} = y - 2 \log |y+1| - \frac{2}{y+1} + c$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x+2}{y+1} + 2 \log |y+1| = y + c$,એટલે કે $\frac{x+2}{y+1} + \log (y+1)^2 = y + c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin x \frac{dy}{dx} - y \cos x = 1$.
સમીકરણને $\sin x$ વડે ભાગતા,તે પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ માં નીચે મુજબ લખાશે:
$\frac{dy}{dx} - y \cot x = \operatorname{cosec} x$.
અહીં,$P = -\cot x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધવાનું સૂત્ર $IF = e^{\int P dx}$ છે.
$IF = e^{\int -\cot x dx} = e^{-\ln|\sin x|} = e^{\ln|\sin x|^{-1}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y} = \frac{x}{y} + 2y^2$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 2y^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$.
$\frac{x}{y} = y^2 + c$.
તેથી,$x = y(y^2 + c)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+\tan y)(dx-dy)+2x dy=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(1+\tan y)dx = (1+\tan y - 2x)dy$ મળે.
$(1+\tan y)dy$ વડે ભાગતા,$\frac{dx}{dy} = 1 - \frac{2x}{1+\tan y}$ મળે,જે $\frac{dx}{dy} + \left(\frac{2}{1+\tan y}\right)x = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{2}{1+\tan y} = \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y)dy} = e^{\int \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y} dy}$ છે.
કારણ કે $\int \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y} dy = \int \frac{(\cos y - \sin y) + (\cos y + \sin y)}{\sin y + \cos y} dy = \int \left(\frac{\cos y - \sin y}{\sin y + \cos y} + 1\right) dy = \ln|\sin y + \cos y| + y$.
તેથી,$I.F. = e^{\ln(\sin y + \cos y) + y} = e^y(\sin y + \cos y)$.
ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે.
$x e^y(\sin y + \cos y) = \int e^y(\sin y + \cos y) dy + c$.
સૂત્ર $\int e^y(f(y) + f'(y)) dy = e^y f(y) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(y) = \sin y$ અને $f'(y) = \cos y$,આપણને મળે:
$x e^y(\sin y + \cos y) = e^y \sin y + c$.
ગોઠવતા $e^y(x \sin y + x \cos y - \sin y) = c$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y \cos x}{1+\sin x}$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)y = \frac{x}{1+\sin x}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}$ અને $Q(x) = \frac{x}{1+\sin x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx} = e^{\ln(1+\sin x)} = 1+\sin x$.
સામાન્ય ઉકેલ $y(I.F.) = \int Q(x)(I.F.) dx + C$ છે.
$y(1+\sin x) = \int \frac{x}{1+\sin x} (1+\sin x) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.
શરત $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{8}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\pi^2}{8}(1+\sin(\frac{\pi}{2})) = \frac{(\pi/2)^2}{2} + C \Rightarrow \frac{\pi^2}{8}(2) = \frac{\pi^2}{8} + C \Rightarrow \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{8} = C \Rightarrow C = \frac{\pi^2}{8}$.
આમ,$y(1+\sin x) = \frac{x^2}{2} + \frac{\pi^2}{8}$.
$x = \pi$ માટે,$y(1+\sin \pi) = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{8}$.
કારણ કે $\sin \pi = 0$,તેથી $y(1) = \frac{4\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{8}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x + 3y}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = 4x + 3y$ મળે છે.
આ સમીકરણને રેખીય વિકલ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ માં ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} - 4x = 3y$ મળે છે.
અહીં,$P(y) = -4$ છે.
તેથી,સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -4 dy} = e^{-4y}$ થાય છે.

(D) સુરેખ વિકલ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ અથવા $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ છે,જ્યાં $P$ અને $Q$ એ માત્ર સ્વતંત્ર ચલના વિધેયો છે.
વિકલ્પ $(D)$ તપાસીએ:
$x^2 d y + x y d x - 1 = 0$
$d x$ વડે ભાગતા:
$x^2 \frac{d y}{d x} + x y - 1 = 0$
$x^2 \frac{d y}{d x} + x y = 1$
$x^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^2}$
આ સમીકરણ $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x^2}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ એ સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.

(D) રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $IF = \log y$,તેથી:
$e^{\int P(y) dy} = \log y$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\int P(y) dy = \log(\log y)$
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dy} \left( \int P(y) dy \right) = \frac{d}{dy} (\log(\log y))$
$P(y) = \frac{1}{\log y} \cdot \frac{d}{dy}(\log y)$
$P(y) = \frac{1}{\log y} \cdot \frac{1}{y}$
$P(y) = \frac{1}{y \log y}$

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ: $\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$.
$\sqrt{1-x^2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^2} y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{1-x^2}$ અને $Q(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^2} dx} = e^{-\ln(1-x^2)} = \frac{1}{1-x^2}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot \frac{1}{1-x^2} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{1}{1-x^2} dx + C = \int x(1-x^2)^{-3/2} dx + C$.
ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$y \cdot \frac{1}{1-x^2} = -\frac{1}{2} \int u^{-3/2} du + C = -\frac{1}{2} \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C = u^{-1/2} + C = (1-x^2)^{-1/2} + C$.
આમ,$y = (1-x^2)^{1/2} + C(1-x^2)$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = (1-0)^{1/2} + C(1-0) \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$y = \sqrt{1-x^2}$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (2xy - 1) dy = 0$ છે.
$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dx}{dy} + \frac{2xy - 1}{y^2} = 0$
$\frac{dx}{dy} + \frac{2x}{y} - \frac{1}{y^2} = 0$
$\frac{dx}{dy} + \left(\frac{2}{y}\right)x = \frac{1}{y^2}$
આ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{2}{y}$ અને $Q = \frac{1}{y^2}$ એ માત્ર $y$ ના વિધેયો છે.
તેથી,આપેલ વિકલ સમીકરણ $x$ માં સુરેખ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos^2 x \frac{dy}{dx} + y = \tan x$.
$\cos^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \sec^2 x$ અને $Q = \tan x \sec^2 x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \sec^2 x dx} = e^{\tan x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + C$ છે.
$y e^{\tan x} = \int \tan x \sec^2 x e^{\tan x} dx + C$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$.
$y e^{\tan x} = \int u e^u du + C = e^u(u - 1) + C$.
$y e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x - 1) + C$.
$e^{\tan x}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{4}) = 1$,તેથી $x = \frac{\pi}{4}$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1 = \tan(\frac{\pi}{4}) - 1 + Ce^{-\tan(\frac{\pi}{4})}$.
$1 = 1 - 1 + Ce^{-1}$.
$1 = Ce^{-1} \Rightarrow C = e$.

(A) રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માટે,સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ધારો કે $u = e^{\int P(x) dx}$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = e^{\int P(x) dx} \cdot \frac{d}{dx}(\int P(x) dx) = u \cdot P(x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{du}{dx} - P(x)u = 0$.
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $u$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $\frac{dy}{dx} - P(x)y = 0$ છે.

(C) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ છે.
બંને બાજુએ સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y P(x) e^{\int P dx} = Q(x) e^{\int P dx}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $y$ અને સંકલ્યકારક અવયવના ગુણાકારનું વિકલન:
$\frac{d}{dx}(y e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y \frac{d}{dx}(e^{\int P dx})$.
કારણ કે $\frac{d}{dx}(e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} P(x)$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\frac{d}{dx}(y e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y e^{\int P dx} P(x)$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\frac{d}{dx}(y f(x))$ સાથે સરખાવતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $f(x) = e^{\int P dx}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ છે.
બંને બાજુ $(x^2+1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2+1} y = \frac{x^3}{x^2+1}$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{x}{x^2+1}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx}$ દ્વારા મળે છે.
$IF = e^{\int \frac{x}{x^2+1} dx}$.
ધારો કે $u = x^2+1$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{1}{2} du$.
$IF = e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{\frac{1}{2} \ln(x^2+1)} = e^{\ln((x^2+1)^{1/2})} = \sqrt{x^2+1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(NONE) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1} x} - y$.
$(1+x^2)$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1+x^2}$ અને $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^2} dx} = e^{\tan^{-1} x}$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y e^{\tan^{-1} x} = \int \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2} \cdot e^{\tan^{-1} x} dx + C$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} x$,તેથી $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$.
$y e^{\tan^{-1} x} = \int e^{2t} dt + C = \frac{e^{2t}}{2} + C = \frac{e^{2 \tan^{-1} x}}{2} + C$.
આપેલ છે કે $y=1$ જ્યારે $x=0$: $1 \cdot e^0 = \frac{e^0}{2} + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
આમ,$y e^{\tan^{-1} x} = \frac{e^{2 \tan^{-1} x} + 1}{2}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(x^2+1\right) \frac{dy}{dx} + 4xy = \frac{1}{x^2+1}$
પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મેળવવા માટે $(x^2+1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{4x}{x^2+1}y = \frac{1}{(x^2+1)^2}$
અહીં,$P(x) = \frac{4x}{x^2+1}$ અને $Q(x) = \frac{1}{(x^2+1)^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા મળે છે:
$IF = e^{\int \frac{4x}{x^2+1} dx} = e^{2 \ln(x^2+1)} = e^{\ln(x^2+1)^2} = (x^2+1)^2$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે:
$y(x^2+1)^2 = \int \left( \frac{1}{(x^2+1)^2} \cdot (x^2+1)^2 \right) dx + c$
$y(x^2+1)^2 = \int 1 dx + c$
$y(x^2+1)^2 = x + c$.