Linear differential equations Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $\int f(x) \, dx = x e^{-\log |x|} + f(x)$ है।
हम जानते हैं कि $e^{-\log |x|} = e^{\log |x|^{-1}} = |x|^{-1} = \frac{1}{|x|}$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\int f(x) \, dx = x \cdot \frac{1}{|x|} + f(x)$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $x > 0$,तो $|x| = x$,इसलिए $\int f(x) \, dx = 1 + f(x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f(x) = 0 + f'(x)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f'(x) = f(x)$।
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण $\frac{df}{dx} = f(x)$ है,जिसे $\frac{df}{f} = dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\log |f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f(x) = e^{x+C} = c e^x$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \sec x(\sec x + \tan x)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \sec x \tan x$
$y$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$y = \int (\sec^2 x + \sec x \tan x) dx$
मानक समाकलन $\int \sec^2 x dx = \tan x$ और $\int \sec x \tan x dx = \sec x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \tan x + \sec x + c$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -1$ और $Q(x) = 1$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x}$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y e^{-x} = \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = -1 + C e^x$ है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = -1$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = -1$ रखने पर:
$-1 = -1 + C e^0 \Rightarrow -1 = -1 + C \Rightarrow C = 0$ प्राप्त होता है।
$C = 0$ को सामान्य हल में रखने पर,हमें $y(x) = -1$ प्राप्त होता है।

(C) एक अवकल समीकरण रैखिक होता है यदि आश्रित चर $y$ और उसके अवकलज केवल प्रथम घात में हों और उनका आपस में गुणा न हो।
विकल्प $A$ में,$(\frac{d^2y}{dx^2})^2$ पद की घात $2$ है,इसलिए यह रैखिक नहीं है।
विकल्प $B$ में,$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ पद समीकरण को अरैखिक बनाता है क्योंकि अवकलज वर्गमूल के अंदर है।
विकल्प $C$ में,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \log x$ समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \log x$ है। यह एक रैखिक अवकल समीकरण है।
विकल्प $D$ में,$y\frac{dy}{dx}$ पद में आश्रित चर और उसके अवकलज का गुणनफल है,इसलिए यह रैखिक नहीं है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = x^m \cos x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ की गणना करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cdot \sec x = \int (x^m \cos x) \cdot \sec x dx + c$.
चूंकि $\cos x \cdot \sec x = 1$,समीकरण सरल हो जाता है:
$y \sec x = \int x^m dx + c$.
$x^m$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y \sec x = \frac{x^{m + 1}}{m + 1} + c$.
दोनों पक्षों को $(m + 1) \cos x$ से गुणा करने पर:
$(m + 1) y = x^{m + 1} \cos x + c(m + 1) \cos x$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + y^2)dx - (\tan^{-1} y - x)dy = 0$
पदों को $x$ में रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$(1 + y^2)dx = (\tan^{-1} y - x)dy$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1 + y^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2} - \frac{x}{1 + y^2}$
दोनों पक्षों में $\frac{x}{1 + y^2}$ जोड़ने पर:
$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1 + y^2}x = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2}$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1 + y^2}$ और $Q = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है:
$I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + {x^2})\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 4{x^2}$ है।
$(1 + {x^2})$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{{dy}}{{dx}} + \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}y = \frac{{4{x^2}}}{{1 + {x^2}}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{{dy}}{{dx}} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}$ और $Q = \frac{{4{x^2}}}{{1 + {x^2}}}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर,$y(1 + {x^2}) = \int \frac{{4{x^2}}}{{1 + {x^2}}} (1 + {x^2}) dx + c$।
$y(1 + {x^2}) = \int 4{x^2} dx + c = \frac{{4{x^3}}}{3} + c$।
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर: $0(1+0) = 0 + c$,जिससे $c = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र का समीकरण $y(1 + {x^2}) = \frac{{4{x^3}}}{3}$,या $3y(1 + {x^2}) = 4{x^3}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^2$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
व्यापक हल $y \times (I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \times x = \int (x^2 \times x) dx + c$.
$xy = \int x^3 dx + c$.
$xy = \frac{x^4}{4} + c$.
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर,हमें $4xy = x^4 + 4c$ प्राप्त होता है।
चूँकि $4c$ एक स्वेच्छ अचर है,हम इसे $c$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,हल $4xy = x^4 + c$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x^2 + 3x + 2$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x + 3 + \frac{2}{x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x + 3 + \frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।
हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y(x) = \int (x + 3 + \frac{2}{x})x dx + c$ प्राप्त होता है।
$xy = \int (x^2 + 3x + 2) dx + c$।
$xy = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + c$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^2}{1 + x^3}y = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{3x^2}{1 + x^3}$ और $Q = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^2}{1 + x^3} dx} = e^{\ln(1 + x^3)} = 1 + x^3$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y(1 + x^3) = \int \frac{\sin^2 x}{1 + x^3} \cdot (1 + x^3) dx + c$
$y(1 + x^3) = \int \sin^2 x dx + c$
सर्वसमिका $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y(1 + x^3) = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx + c$
$y(1 + x^3) = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx + c$
$y(1 + x^3) = \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 2x}{2}) + c$
$y(1 + x^3) = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + c$.

(B) एक अवकल समीकरण रैखिक होता है यदि आश्रित चर $y$ और उसका अवकलज $\frac{dy}{dx}$ केवल प्रथम घात में हों और उनका आपस में गुणा न हो रहा हो।
विकल्प $(b)$ है $x^2\frac{dy}{dx} + y = e^x$।
$x^2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x^2}y = \frac{e^x}{x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के मानक रूप में है,जहाँ $P = \frac{1}{x^2}$ और $Q = \frac{e^x}{x^2}$ है।
अतः,यह एक रैखिक अवकल समीकरण है।

(B) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण: $x\frac{dy}{dx} + 3y = x$ है।
पूरे समीकरण को $x$ से विभाजित करने पर यह मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में आ जाता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}y = 1$।
यहाँ,$P = \frac{3}{x}$ और $Q = 1$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ की गणना करने पर:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln|x|} = e^{\ln|x^3|} = x^3$।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$y \cdot x^3 = \int 1 \cdot x^3 dx + c$।
$y x^3 = \frac{x^4}{4} + c$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = \cos x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y e^x = \int \cos x \cdot e^x dx + c$.
$\int e^x \cos x dx$ को हल करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं:
माना $I = \int e^x \cos x dx$.
$I = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = e^x \cos x + (e^x \sin x - \int e^x \cos x dx) = e^x \cos x + e^x \sin x - I$.
$2I = e^x(\cos x + \sin x) \implies I = \frac{1}{2} e^x(\cos x + \sin x)$.
अतः,$y e^x = \frac{1}{2} e^x(\cos x + \sin x) + c$.
$e^x$ से भाग देने पर,$y = \frac{1}{2}(\cos x + \sin x) + ce^{-x}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = 2 \cos x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \sin x = \int (2 \cos x \sin x) dx + c$.
सर्वसमिका $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ का उपयोग करने पर,$y \sin x = \int \sin 2x dx + c$.
$\sin 2x$ का समाकलन करने पर,$y \sin x = -\frac{\cos 2x}{2} + c$.
$2$ से गुणा करने पर,$2y \sin x = -\cos 2x + 2c$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2y \sin x + \cos 2x = C$ (जहाँ $C = 2c$) प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(x + 2y^3)\frac{dy}{dx} - y = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x + 2y^3)\frac{dy}{dx} = y$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सरल करने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + 2y^2$,या $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{y}$ और $Q = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ का मान $e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है।
सामान्य हल $x \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dy + A$ है।
मान रखने पर,$x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + A$ प्राप्त होता है।
$x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y dy + A$।
$x \cdot \frac{1}{y} = y^2 + A$।
$y$ से गुणा करने पर,$x = y^3 + Ay$ प्राप्त होता है,जिसे $y^3 - x = -Ay$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि $A$ एक स्वेच्छ अचर है,इसलिए हल को $y^3 - x = Ay$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$ है।
यह बर्नौली का समीकरण है जो $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ के रूप में है,जहाँ $n = 2$ है।
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{-2} \frac{dy}{dx} - y^{-1} \tan x = - \sec x$ ..... $(i)$
माना $v = y^{-1} = \frac{1}{y}$ है। तब $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{dv}{dx} - v \tan x = - \sec x$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{dv}{dx} + v \tan x = \sec x$
इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ से तुलना करने पर,$P(x) = \tan x$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x \frac{dy}{dx} + y \sin x = 1$ है।
दोनों पक्षों को $\cos x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sec x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ का सूत्र $e^{\int P \, dx}$ होता है।
$I.F. = e^{\int \tan x \, dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = a$ और $Q = e^{mx}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int a dx} = e^{ax}$ द्वारा प्राप्त होता है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
मान रखने पर,$y \cdot e^{ax} = \int e^{mx} \cdot e^{ax} dx + C$ प्राप्त होता है।
$y \cdot e^{ax} = \int e^{(a+m)x} dx + C$।
$y \cdot e^{ax} = \frac{e^{(a+m)x}}{a+m} + C$।
दोनों पक्षों को $e^{ax}$ से भाग देने पर,$y = \frac{e^{mx}}{a+m} + C e^{-ax}$ प्राप्त होता है।
$(a+m)$ से गुणा करने पर,$(a+m)y = e^{mx} + C(a+m)e^{-ax}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sec x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ का सूत्र $I.F. = e^{\int P \, dx}$ होता है।
$P = \tan x$ प्रतिस्थापित करने पर,$I.F. = e^{\int \tan x \, dx}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\int \tan x \, dx = \ln|\sec x|$,इसलिए $I.F. = e^{\ln(\sec x)}$ होगा।
गुणधर्म $e^{\ln(f(x))} = f(x)$ का उपयोग करने पर,$I.F. = \sec x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ होने के कारण,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ है।
दोनों पक्षों को $x \log x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
माना $\log x = t$,तो $\frac{1}{x} dx = dt$.
अतः,$I.F. = e^{\int \frac{1}{t} dt} = e^{\log t} = t = \log x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
$y \log x = \int \frac{2}{x} \cdot \log x dx$.
माना $\log x = u$,तो $\frac{1}{x} dx = du$.
$y \log x = \int 2u du = u^2 + c$.
$u = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y \log x = (\log x)^2 + c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (2 \cot x)y = 3x^2 \csc^2 x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \cot x$ और $Q = 3x^2 \csc^2 x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \cot x dx} = e^{2 \ln|\sin x|} = e^{\ln(\sin^2 x)} = \sin^2 x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cdot \sin^2 x = \int (3x^2 \csc^2 x) \cdot \sin^2 x dx$.
चूँकि $\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$,इसलिए व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$y \sin^2 x = \int 3x^2 dx$.
$3x^2$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर $x^3$ प्राप्त होता है।
अतः,$y \sin^2 x = x^3 + c$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y + x^2$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x$।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log_e x} = e^{\log_e (x^{-1})} = \frac{1}{x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + a$ होता है।
मान रखने पर: $y \cdot \frac{1}{x} = \int x \cdot \frac{1}{x} dx + a$।
$\frac{y}{x} = \int 1 dx + a$।
$\frac{y}{x} = x + a$।
अतः,$y = x^2 + ax$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^3 - 3$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ का सूत्र $I.F. = e^{\int P dx}$ होता है।
$P$ का मान रखने पर,हमें $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\int \frac{1}{x} dx = \log_e x$,इसलिए $I.F. = e^{\log_e x}$ होगा।
गुणधर्म $e^{\log_e x} = x$ का उपयोग करने पर,समाकलन गुणक $x$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} + y \sin x = 1$
दोनों पक्षों को $\cos x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sec x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
व्यापक हल इस प्रकार है: $y \times (I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + c$
मान रखने पर: $y \sec x = \int (\sec x \times \sec x) dx + c$
$y \sec x = \int \sec^2 x dx + c$
$y \sec x = \tan x + c$.

(B) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ है,जो $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \tan x$ और $Q = \sin x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = e^{\ln |\sec^2 x|} = \sec^2 x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx + c$.
चूँकि $\sin x \cdot \sec^2 x = \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \tan x \sec x$,इसलिए:
$y \sec^2 x = \int \tan x \sec x dx + c$.
$\int \tan x \sec x dx$ का समाकलन करने पर,हमें $\sec x$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $y \sec^2 x = \sec x + c$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \sec^2 x$ और $Q = \tan x \sec^2 x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P \, dx} = e^{\int \sec^2 x \, dx} = e^{\tan x}$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y e^{\tan x} = \int (\tan x \sec^2 x) e^{\tan x} \, dx + c$.
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x \, dx$ होगा।
समाकलन $\int u e^u \, du$ बन जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u = e^u(u - 1)$.
$u = \tan x$ वापस रखने पर:
$y e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x - 1) + c$.
दोनों पक्षों को $e^{\tan x}$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan x - 1 + c e^{-\tan x}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1 - x^2)\frac{dy}{dx} - xy = 1$ है।
दोनों पक्षों को $(1 - x^2)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1 - x^2}y = \frac{1}{1 - x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{x}{1 - x^2}$ और $Q = \frac{1}{1 - x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ का सूत्र $e^{\int P dx}$ होता है।
$I.F. = e^{\int -\frac{x}{1 - x^2} dx}$.
माना $u = 1 - x^2$,तो $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$ होगा।
$I.F. = e^{\int \frac{1}{2u} du} = e^{\frac{1}{2}\log|u|} = e^{\log|u|^{1/2}} = \sqrt{1 - x^2}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x^2 - 1$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2 + 1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1}y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2x}{x^2 + 1}$ और $Q = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$I.F. = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx}$.
माना $u = x^2 + 1$,तो $du = 2x dx$ होगा।
$I.F. = e^{\int \frac{1}{u} du} = e^{\ln(u)} = u = x^2 + 1$.
अतः,समाकलन गुणक $x^2 + 1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{3}$ और $Q = 1$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{3} dx} = e^{x/3}$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cdot e^{x/3} = \int 1 \cdot e^{x/3} dx + c$.
दाहिनी ओर का समाकलन करने पर:
$y \cdot e^{x/3} = 3e^{x/3} + c$.
दोनों पक्षों को $e^{x/3}$ से विभाजित करने पर:
$y = 3 + c e^{-x/3}$.

(C) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ है।
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है।
हम चरों को पृथक करके इसे हल कर सकते हैं:
$\frac{dy}{y} = -p(x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y} = -\int p(x) dx$.
$\ln|y| = -\int p(x) dx + C_1$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$|y| = e^{-\int p(x) dx + C_1} = e^{C_1} e^{-\int p(x) dx}$.
माना $e^{C_1} = c$,तो हल $y = c e^{-\int p(x) dx}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = e^{-x}$ है।
सबसे पहले,समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करें:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$.
व्यापक हल $y \times (I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \times e^x = \int (e^{-x} \times e^x) dx + c$
$y e^x = \int 1 dx + c$
$y e^x = x + c$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर:
$0 \times e^0 = 0 + c \implies c = 0$.
अतः,विशिष्ट हल $y e^x = x$ है,जिसे $y = x e^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप वाले रैखिक अवकल समीकरण के लिए,जहाँ $P(x)$ और $Q(x)$ केवल $x$ के फलन हैं,समाकलन गुणक $(IF)$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$IF = e^{\int P(x) \, dx}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ के रूप में है,जिसे बर्नौली का समीकरण कहा जाता है।
इस समीकरण को रैखिक बनाने के लिए,दोनों पक्षों को $y^n$ से विभाजित करते हैं:
$y^{-n} \frac{dy}{dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x)$
अब,हम $v = y^{1-n} = \frac{1}{y^{n-1}}$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = (1-n)y^{-n} \frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{1-n} \frac{dv}{dx} = y^{-n} \frac{dy}{dx}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{1-n} \frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$
$(1-n)$ से गुणा करने पर:
$\frac{dv}{dx} + (1-n)P(x)v = (1-n)Q(x)$
यह $v$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है। अतः,आवश्यक प्रतिस्थापन $v = \frac{1}{y^{n-1}}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = 1$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$.
व्यापक हल का सूत्र $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर:
$y \cdot e^x = \int 1 \cdot e^x dx + c$.
दाहिनी ओर का समाकलन करने पर:
$y \cdot e^x = e^x + c$.
दोनों पक्षों को $e^x$ से विभाजित करने पर:
$y = \frac{e^x}{e^x} + \frac{c}{e^x} = 1 + c{e^{-x}}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $dy = \cos x(2 - y \csc x)dx$
$dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} = 2 \cos x - y \cot x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = 2 \cos x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर: $y \sin x = \int (2 \cos x \cdot \sin x) dx + c = \int \sin(2x) dx + c$.
$y \sin x = \sin^2 x + c$.
दिया है कि $x = \frac{\pi}{2}$ पर $y = 2$ है:
$2 \sin(\frac{\pi}{2}) = \sin^2(\frac{\pi}{2}) + c \implies 2(1) = (1)^2 + c \implies c = 1$.
अतः,$y \sin x = \sin^2 x + 1$.
$\sin x$ से भाग देने पर,हमें $y = \sin x + \csc x$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x x^{-\frac{1}{2} \log x}$ है।
$x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{\log x}{x} \right) y = e^x x^{-\frac{1}{2} \log x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{\log x}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$। अतः,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$।
इसलिए,$I.F. = e^{\frac{1}{2} (\log x)^2} = (e^{\frac{1}{2} \log x})^{\log x} = (e^{\log \sqrt{x}})^{\log x} = (\sqrt{x})^{\log x}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \sin x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $y \cdot x = \int x \sin x dx + c$ प्राप्त होता है।
$\int x \sin x dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
माना $u = x$ और $dv = \sin x dx$ है। तब $du = dx$ और $v = -\cos x$ होगा।
$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x$.
अतः,$xy = -x \cos x + \sin x + c$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $xy + x \cos x = \sin x + c$ प्राप्त होता है,जिसे $x(y + \cos x) = \sin x + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया समीकरण: $(x + \log y)dy + y\,dx = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y\,dx + x\,dy + \log y\,dy = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $d(xy) + \log y\,dy = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int d(xy) + \int \log y\,dy = \int 0\,dc$
$xy + (y\log y - y) = c$
अतः,हल $xy + y\log y - y = c$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y + 1}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = x + y + 1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} - x = y + 1$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -1$ और $Q(y) = y + 1$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{-y} = \int (y + 1) e^{-y} dy + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int (y + 1) e^{-y} dy = -(y + 2)e^{-y} + c$ प्राप्त होता है।
अतः,$x e^{-y} = -(y + 2)e^{-y} + c$.
दोनों पक्षों को $e^y$ से गुणा करने पर,$x = -(y + 2) + ce^y$,अर्थात $x = ce^y - y - 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2xy = y$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + (2x - 1)y = 0$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2x - 1$ और $Q = 0$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int (2x - 1) dx} = e^{x^2 - x}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यापक हल $y \times (I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर,$y \times e^{x^2 - x} = \int (0 \times e^{x^2 - x}) dx + c$ प्राप्त होता है।
$y \times e^{x^2 - x} = 0 + c$।
$y = c e^{-(x^2 - x)} = c e^{x - x^2}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x(1 - x^2)dy + (2x^2y - y - ax^3)dx = 0$.
पूरे समीकरण को $x(1 - x^2)dx$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x^2y - y - ax^3}{x(1 - x^2)} = 0$.
इस समीकरण को मानक रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{(2x^2 - 1)y - ax^3}{x(1 - x^2)} = 0$.
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x^2 - 1}{x(1 - x^2)}y = \frac{ax^3}{x(1 - x^2)}$.
इस समीकरण की तुलना $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ से करने पर,हमें $P = \frac{2x^2 - 1}{x(1 - x^2)}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$
दोनों पक्षों को $\cos x \, dx$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = -y^2 \sec x$
$y^2$ से विभाजित करने पर:
$y^{-2} \frac{dy}{dx} - y^{-1} \tan x = -\sec x \quad \dots(1)$
माना $v = y^{-1} = \frac{1}{y}$। तब $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,या $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$।
समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{dv}{dx} - v \tan x = -\sec x$
$\frac{dv}{dx} + v \tan x = \sec x$
यह $\frac{dv}{dx} + Pv = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sec x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P \, dx} = e^{\int \tan x \, dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ है।
व्यापक हल $v \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + c$ है।
$v \sec x = \int \sec x \cdot \sec x \, dx + c$
$v \sec x = \int \sec^2 x \, dx + c$
$v \sec x = \tan x + c$
चूंकि $v = \frac{1}{y}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{y} \sec x = \tan x + c$
$\sec x = y(\tan x + c)$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है।
$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y^2}$ और $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ है।
व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
$x e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$.
माना $t = -\frac{1}{y}$,तो $dt = \frac{1}{y^2} dy$ और $\frac{1}{y} = -t$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$x e^{-\frac{1}{y}} = \int (-t) e^t dt + C = - (t e^t - e^t) + C = (1 - t) e^t + C$ प्राप्त होता है।
$x e^{-\frac{1}{y}} = (1 + \frac{1}{y}) e^{-\frac{1}{y}} + C$.
$y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$1 \cdot e^{-1} = (1 + 1) e^{-1} + C \Rightarrow e^{-1} = 2e^{-1} + C \Rightarrow C = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x e^{-\frac{1}{y}} = (1 + \frac{1}{y}) e^{-\frac{1}{y}} - \frac{1}{e}$।
$e^{-\frac{1}{y}}$ से भाग देने पर,$x = 1 + \frac{1}{y} - \frac{e^{\frac{1}{y}}}{e}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ है।
$(x \log x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x \log x}$ और $Q(x) = 2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।
$y \cdot \log x = \int 2 \log x dx = 2(x \log x - x) + C$.
$y(1) = 0$ दिया गया है,$x = 1$ रखने पर $0 \cdot \log(1) = 2(1 \log 1 - 1) + C \Rightarrow 0 = 2(0 - 1) + C \Rightarrow C = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$y \log x = 2x \log x - 2x + 2$.
$x = e$ पर,$y \log e = 2e \log e - 2e + 2$.
चूँकि $\log e = 1$,इसलिए $y(1) = 2e - 2e + 2$,जिसका सरल रूप $y = 2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ है।
$(1 + t)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dt} - \frac{t}{1 + t}y = \frac{1}{1 + t}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(t) = -\frac{t}{1 + t}$ और $Q(t) = \frac{1}{1 + t}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int -\frac{t}{1 + t} dt} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1 + t}) dt} = e^{-t + \ln(1 + t)} = (1 + t)e^{-t}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ है।
$y(1 + t)e^{-t} = \int \frac{1}{1 + t} \cdot (1 + t)e^{-t} dt + C = \int e^{-t} dt + C = -e^{-t} + C$.
चूंकि $y(0) = -1$ दिया गया है,$t = 0$ रखने पर: $-1(1 + 0)e^{0} = -e^{0} + C \Rightarrow -1 = -1 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y(1 + t)e^{-t} = -e^{-t}$,जिसे सरल करने पर $y = -\frac{1}{1 + t}$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ के लिए,$y(1) = -\frac{1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण: $ydx - xdy + \log x dx = 0$।
$x dx$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $\frac{y}{x} - \frac{dy}{dx} + \frac{\log x}{x} = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{\log x}{x}$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{x}$ और $Q = \frac{\log x}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y \cdot \frac{1}{x} = \int \frac{\log x}{x} \cdot \frac{1}{x} dx + c = \int \frac{\log x}{x^2} dx + c$।
$\int \frac{\log x}{x^2} dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $u = \log x$ और $dv = x^{-2} dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} dx$ और $v = -\frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
$\int \frac{\log x}{x^2} dx = (\log x)(-\frac{1}{x}) - \int (-\frac{1}{x})(\frac{1}{x}) dx = -\frac{\log x}{x} + \int x^{-2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x}$।
अतः,$\frac{y}{x} = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + c$।
$x$ से गुणा करने पर,$y = -\log x - 1 + cx$ प्राप्त होता है,जो कि $y = cx - (1 + \log x)$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{2x}{1 - x^2}$ और $Q = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ का सूत्र $I.F. = e^{\int P dx}$ है।
$I.F. = e^{\int \frac{2x}{1 - x^2} dx}$.
मान लीजिए $u = 1 - x^2$,तब $du = -2x dx$,अर्थात $2x dx = -du$ है।
$I.F. = e^{\int \frac{-du}{u}} = e^{-\ln|u|} = e^{-\ln|1 - x^2|} = e^{\ln|(1 - x^2)^{-1}|}$.
$I.F. = (1 - x^2)^{-1}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y' - y \tan x = -2 \sin x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\tan x$ और $Q = -2 \sin x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P \, dx} = e^{-\int \tan x \, dx} = e^{-\ln |\sec x|} = e^{\ln |\cos x|} = \cos x$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \cos x = \int (-2 \sin x \cos x) \, dx + c$ प्राप्त होता है।
$y \cos x = -\int \sin 2x \, dx + c$।
$y \cos x = \frac{\cos 2x}{2} + c$।
$\sec x$ से गुणा करने पर,$y = \frac{\cos 2x}{2 \cos x} + c \sec x$ प्राप्त होता है।
चूँकि दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिणाम से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + y^2) + (x - e^{\tan^{-1}y}) \frac{dy}{dx} = 0$।
$\frac{dx}{dy}$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(1 + y^2) \frac{dx}{dy} + x = e^{\tan^{-1}y}$।
$(1 + y^2)$ से भाग देने पर:
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^2} = \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2}$।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ और $Q(y) = \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan^{-1}y}$ है।
हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + k$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{\tan^{-1}y} = \int \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2} \cdot e^{\tan^{-1}y} dy + k$।
माना $u = \tan^{-1}y$,तो $du = \frac{1}{1 + y^2} dy$।
$x e^{\tan^{-1}y} = \int e^{2u} du + k = \frac{e^{2u}}{2} + k = \frac{e^{2\tan^{-1}y}}{2} + k$।
$2$ से गुणा करने पर:
$2xe^{\tan^{-1}y} = e^{2\tan^{-1}y} + k$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y\phi'(x) = \phi(x)\phi'(x)$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \phi'(x)$ और $Q = \phi(x)\phi'(x)$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \phi'(x) dx} = e^{\phi(x)}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot e^{\phi(x)} = \int \phi(x)\phi'(x) e^{\phi(x)} dx + c$।
माना $t = \phi(x)$,तो $dt = \phi'(x) dx$ है।
समाकलन $\int t e^t dt = t e^t - e^t + c$ हो जाता है।
मान वापस रखने पर,$y \cdot e^{\phi(x)} = \phi(x)e^{\phi(x)} - e^{\phi(x)} + c$।
दोनों पक्षों को $e^{\phi(x)}$ से विभाजित करने पर,$y = \phi(x) - 1 + c e^{-\phi(x)}$ प्राप्त होता है।