Linear differential equations Questions in Gujarati

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} - 2xy = (x^2+1)^2 \cos x$ છે.
$(x^2+1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2+1} y = (x^2+1) \cos x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2x}{x^2+1}$ અને $Q(x) = (x^2+1) \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{-\ln(x^2+1)} = \frac{1}{x^2+1}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y \cdot \frac{1}{x^2+1} = \int (x^2+1) \cos x \cdot \frac{1}{x^2+1} dx = \int \cos x dx = \sin x + C$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{0^2+1} = \sin(0) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
તેથી,$y = (x^2+1)(\sin x + 1)$.
હવે,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 (x^2+1)(\sin x + 1) dx = \int_{-3}^3 (x^2 \sin x + x^2 + \sin x + 1) dx$.
$x^2 \sin x$ અને $\sin x$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$[-3, 3]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 x^2 dx + \int_{-3}^3 1 dx = 2 \int_{0}^3 x^2 dx + 2 \int_{0}^3 1 dx = 2 [\frac{x^3}{3}]_0^3 + 2[x]_0^3 = 2(9) + 2(3) = 18 + 6 = 24$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=x-1$ અને $g(x)=e^x$.
પ્રથમ,$g(f(f(x)))$ શોધો:
$f(f(x)) = f(x-1) = (x-1)-1 = x-2$.
$g(f(f(x))) = g(x-2) = e^{x-2}$.
વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x} + \frac{y}{\sqrt{x}} = e^{-2 \sqrt{x}} \cdot e^{x-2} = e^{x-2 \sqrt{x}-2}$ છે.
આ $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ અને $Q(x) = e^{x-2 \sqrt{x}-2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx} = e^{2 \sqrt{x}}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = \int e^{x-2 \sqrt{x}-2} \cdot e^{2 \sqrt{x}} dx + C = \int e^{x-2} dx + C = e^{x-2} + C$.
$y(0)=0$ નો ઉપયોગ કરતા: $0 \cdot e^0 = e^{0-2} + C \implies 0 = e^{-2} + C \implies C = -e^{-2}$.
તેથી,$y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = e^{x-2} - e^{-2}$.
$x=1$ માટે: $y \cdot e^2 = e^{1-2} - e^{-2} = e^{-1} - e^{-2} = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} = \frac{e-1}{e^2}$.
તેથી,$y(1) = \frac{e-1}{e^4}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણો માટે:
$1) \frac{dy_1}{y_1} = \sin^2 x dx \implies \ln y_1 = \int \sin^2 x dx + C_1$
$2) \frac{dy_2}{y_2} = \cos^2 x dx \implies \ln y_2 = \int \cos^2 x dx + C_2$
$3) \frac{dy_3}{y_3} = \left(\frac{2}{x^3} - 1\right) dx \implies \ln y_3 = \int (2x^{-3} - 1) dx + C_3 = -x^{-2} - x + C_3$
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $\ln(y_1 y_2 y_3) = \int (\sin^2 x + \cos^2 x + \frac{2}{x^3} - 1) dx + C = \int (1 + \frac{2}{x^3} - 1) dx + C = \int \frac{2}{x^3} dx + C = -x^{-2} + C$.
$x=1$ પર પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln(5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5e}) = \ln(e^{-1}) = -1$.
તેથી,$-1 = -(1)^{-2} + C \implies C = 0$.
આમ,$y_1 y_2 y_3 = e^{-1/x^2}$.
હવે,$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{-1/x^2} + 2x}{e^{3x} \sin x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{-1/x^2}}{e^{3x} \sin x} + \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x}{e^{3x} \sin x}$ ની ગણતરી કરતા.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{-1/x^2}}{\sin x} = 0$ અને $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x}{\sin x} = 2$,તેથી લક્ષ $0 + 2 = 2$ થાય છે.

(C) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -y + e^{-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = e^{-x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y e^x = \int e^{-x} \cdot e^x dx + C$.
$y e^x = \int 1 dx + C$.
$y e^x = x + C$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે $x=0$ અને $y=0$ મૂકીએ:
$0 \cdot e^0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y e^x = x$ છે,જેને $y e^x - x = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,યામ $(y)$ અને અક્ષાંશ $(x)$ નો સરવાળો ઢાળ કરતા $5$ વધારે છે,તેથી:
$y + x = \frac{dy}{dx} + 5$
પદોને ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - y = x - 5$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -1$ અને $Q = x - 5$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે:
$y e^{-x} = \int (x - 5) e^{-x} dx + C$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$= (x - 5)(-e^{-x}) - \int (1)(-e^{-x}) dx$
$= -(x - 5)e^{-x} - e^{-x} + C$
$= (-x + 5 - 1)e^{-x} + C = (4 - x)e^{-x} + C$
તેથી,$y e^{-x} = (4 - x)e^{-x} + C$,જેનો અર્થ છે $y = 4 - x + C e^x$.
વક્ર $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$2 = 4 - 0 + C e^0 \implies 2 = 4 + C \implies C = -2$.
$C = -2$ મૂકતા:
$y = 4 - x - 2 e^x$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2y - x) \frac{dy}{dx} = 1$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = 2y - x$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = 1$ અને $Q(y) = 2y$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int 1 dy} = e^y$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા: $e^y \frac{dx}{dy} + x e^y = 2y e^y$.
જેને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{d}{dy}(x e^y) = 2y e^y$.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $x e^y = \int 2y e^y dy$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int 2y e^y dy = 2(y e^y - e^y) + c = 2e^y(y - 1) + c$.
આમ,$x e^y = 2e^y(y - 1) + c$.
$e^y$ વડે ભાગતા,આપણને $x = 2(y - 1) + ce^{-y}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
બંને બાજુ $x^3 y^4$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x^2 y^3} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$.
ધારો કે $v = y^{-3}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} = y^{-4} \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} + \frac{3}{x} v = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int \frac{3}{x} dx} = x^3$.
ઉકેલ: $v \cdot x^3 = \int x^3 \cdot \frac{3 \cos x}{x^3} dx = 3 \sin x + C$.
તેથી,$x^3 y^{-3} = 3 \sin x + C$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ છે.
$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ અને $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ છે.
$y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C = \frac{4x^3}{3} + C$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=0, y=0$ મૂકતા: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$.
તેથી,$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$,જેનું સાદું રૂપ $3y(1+x^2) = 4x^3$ થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{y-x} \frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin x + \cos x)}{1 + y \log y}$
ચલને અલગ કરતા: $e^y \frac{1 + y \log y}{y} dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $e^y (\log y + \frac{1}{y}) dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^y (\log y + \frac{1}{y}) dy = \int e^x (\sin x + \cos x) dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(y) = \log y$ અને $f(x) = \sin x$:
$e^y \log y = e^x \sin x + c$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^{2})+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$
પદોને ગોઠવતા: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^{2})$
વ્યસ્ત લેતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{-(x-e^{\tan ^{-1} y})}{1+y^{2}} = \frac{-x}{1+y^{2}} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}$
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^{2}}$ અને $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) = $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ દ્વારા મળે છે.
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + c$.
ધારો કે $t = e^{\tan ^{-1} y}$,તો $dt = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} dy$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int t dt + c = \frac{t^{2}}{2} + c$.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \frac{(e^{\tan ^{-1} y})^{2}}{2} + c$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$.
તેને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખવા માટે $x(x-1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x-2}{x(x-1)}y = \frac{x^3(2x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2(2x-1)}{x-1}$.
અહીં,$P(x) = -\frac{x-2}{x(x-1)} = -(\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1}) = \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x}) dx} = e^{\ln|x-1| - 2\ln|x|} = \frac{x-1}{x^2}$.
સુરેખ સમીકરણને $IF$ વડે ગુણતા:
$\frac{d}{dx} [y \cdot \frac{x-1}{x^2}] = \frac{x^2(2x-1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2} = 2x-1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y \cdot \frac{x-1}{x^2} = \int (2x-1) dx = x^2 - x + c$.
$y \cdot \frac{x-1}{x^2} = x(x-1) + c$.
$x^2$ વડે ગુણતા:
$y(x-1) = x^3(x-1) + cx^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2)+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^2)$.
વ્યસ્ત લેતા: $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} = -\frac{x}{1+y^2} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + k$ છે.
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + k$.
ધારો કે $u = \tan ^{-1} y$,તો $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int e^{2u} du + k = \frac{1}{2} e^{2u} + k = \frac{1}{2} e^{2 \tan ^{-1} y} + k$.
$2$ વડે ગુણતા: $2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + 2k$.
$2k$ પણ એક અચળાંક હોવાથી,આપણે તેને $k$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,$2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + k$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ છે.
$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ અને $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ છે.
$y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C$.
$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + C$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$.
તેથી,સમીકરણ $y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3(1+x^2)y = 4x^3$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ છે.
વિકલનનું વિસ્તરણ કરતા: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.
$2y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.
$x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \sin x + \log x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = \sin x + \log x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = x^2$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$y \cdot x^2 = \int x^2(\sin x + \log x) dx + c$.
$y x^2 = \int x^2 \sin x dx + \int x^2 \log x dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}$.
તેથી,$y x^2 = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + c$.
$x^2$ વડે ભાગતા: $y = -\cos x + \frac{2 \sin x}{x} + \frac{2 \cos x}{x^2} + \frac{x}{3} \log x - \frac{x}{9} + \frac{c}{x^2}$.
આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$.
વિકલન પદનું વિસ્તરણ કરતા: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$.
આથી સાદું રૂપ મળે છે: $2y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને): $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = \sin x + \log x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = \sin x + \log x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $e^{\int P dx}$ છે.
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખવા માટે $(1+x)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$.
અહીં,$P(x) = -\frac{x}{1+x} = -1 + \frac{1}{1+x}$ અને $Q(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1+x}) dx} = e^{-x + \ln(1+x)} = (1+x)e^{-x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$y(1+x)e^{-x} = \int (\frac{1-x}{1+x}) (1+x)e^{-x} dx + c = \int (1-x)e^{-x} dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int (1-x)e^{-x} dx = (1-x)(-e^{-x}) - \int (-1)(-e^{-x}) dx = -(1-x)e^{-x} - \int e^{-x} dx = (x-1)e^{-x} + e^{-x} + c = xe^{-x} + c$.
તેથી,$y(1+x)e^{-x} = xe^{-x} + c$.
બંને બાજુ $e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $y(1+x) = x + ce^x$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + y \frac{\log x}{x} = e^x \cdot x^{-1/2} \log x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{\log x}{x}$ અને $Q = e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
તેથી,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$.
આમ,$IF = e^{\frac{(\log x)^2}{2}} = (e^{\log x})^{\frac{1}{2} \log x} = x^{\frac{1}{2} \log x}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ છે.
$\sin x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{4x}{\sin x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \cot x$ અને $Q = \frac{4x}{\sin x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \sin x = \int \frac{4x}{\sin x} \cdot \sin x dx + C = \int 4x dx + C = 2x^2 + C$.
તેથી,$y = \frac{2x^2 + C}{\sin x}$.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી $0 = \frac{2(\frac{\pi}{2})^2 + C}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi^2}{2} + C$,એટલે કે $C = -\frac{\pi^2}{2}$.
વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{2x^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin x}$ છે.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{2(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{2\pi^2}{36} - \frac{\pi^2}{2}}{1/2} = 2 \left( \frac{\pi^2}{18} - \frac{\pi^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^2 - 9\pi^2}{18} \right) = 2 \left( \frac{-8\pi^2}{18} \right) = -\frac{8}{9} \pi^2$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \, dx - (x + 3y^2) \, dy = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y \, dx = (x + 3y^2) \, dy$
$y \, dy$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 3y^2}{y} = \frac{x}{y} + 3y$
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 3y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ આ મુજબ છે: $IF = e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 3y \cdot \frac{1}{y} \, dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 3 \, dy + c = 3y + c$
તેથી,$x = 3y^2 + cy$.
વક્ર $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા: $1 = 3(1)^2 + c(1) \Rightarrow 1 = 3 + c \Rightarrow c = -2$.
વક્રનું સમીકરણ $x = 3y^2 - 2y$ છે.
વિકલ્પ $(D)$ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ તપાસતા: $x = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
બિંદુ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2}{x}\right)y = x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$.
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા: $1(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \implies 1 = \frac{1}{4} + C \implies C = \frac{3}{4}$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$ અથવા $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$ છે.
હવે,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{(\frac{1}{2})^2}{4} + \frac{3}{4(\frac{1}{2})^2} = \frac{1/4}{4} + \frac{3}{4(1/4)} = \frac{1}{16} + 3 = \frac{1 + 48}{16} = \frac{49}{16}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$.
$y$ વાળા પદોને સાથે લેતા,$\frac{dy}{dx} + y - \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} + \left(1 - \frac{1}{x}\right)y = \frac{1}{x}$ થાય છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જે $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = 1 - \frac{1}{x}$ અને $Q = \frac{1}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx}$ દ્વારા મળે છે.
$I$.$F$. $= e^{\int (1 - \frac{1}{x}) dx} = e^{x - \log x} = e^x \cdot e^{-\log x} = e^x \cdot e^{\log(x^{-1})} = e^x \cdot \frac{1}{x} = \frac{e^x}{x}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6 x$.
આખા સમીકરણને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 6 x \sec x$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\tan x$ અને $Q = 6 x \sec x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધો:
$IF = e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$.
વ્યાપક ઉકેલ નીચે મુજબ છે:
$y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot \cos x = \int (6 x \sec x) \cdot \cos x dx + c$.
કારણ કે $\sec x \cdot \cos x = 1$,તેથી:
$y \cos x = \int 6 x dx + c$.
$x$ ની સાપેક્ષે $6x$ નું સંકલન કરતા:
$y \cos x = 3 x^2 + c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x} y=\log x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=\frac{1}{x}$ અને $Q(x)=\log x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$xy = \int x \log x dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \log x dx = \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$.
તેથી,$xy = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$.
આપેલ છે કે $2(y(2)) = \log 4 - 1$,જેનો અર્થ છે કે $y(2) = \frac{1}{2} \log 4 - \frac{1}{2} = \log 2 - \frac{1}{2}$.
વ્યાપક ઉકેલમાં $x=2$ મૂકતા: $2(\log 2 - \frac{1}{2}) = \frac{4}{2} \log 2 - \frac{4}{4} + c$.
$2 \log 2 - 1 = 2 \log 2 - 1 + c$,જે આપણને $c=0$ આપે છે.
આમ,$y = \frac{x}{2} \log x - \frac{x}{4}$.
$x=e$ માટે,$y(e) = \frac{e}{2} \log e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$
$y^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{y} \tan x = -\sec x$
ધારો કે $v = -\frac{1}{y}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} + v \tan x = -\sec x$.
આ $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \tan x$ અને $Q(x) = -\sec x$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
ઉકેલ $v \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
$v \sec x = \int -\sec x \cdot \sec x dx + c = -\int \sec^2 x dx + c$.
$v \sec x = -\tan x + c$.
$v = -\frac{1}{y}$ મૂકતા: $-\frac{1}{y} \sec x = -\tan x + c$.
$-y$ વડે ગુણતા: $\sec x = y(\tan x - c)$.
$-c$ ને નવા અચળાંક $c$ તરીકે લેતા: $\sec x = y(\tan x + c)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{3x^2}{1+x^3}$ અને $Q = \frac{1}{1+x^3}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીએ:
$\text{I.F.} = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^2}{1+x^3} dx} = e^{\ln(1+x^3)} = 1+x^3$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q \cdot (\text{I.F.}) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y(1+x^3) = \int \left(\frac{1}{1+x^3}\right) \cdot (1+x^3) dx + c$
$y(1+x^3) = \int 1 dx + c$
$y(1+x^3) = x + c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \sin x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$yx = \int (\sin x \cdot x) dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $(\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx)$:
ધારો કે $u = x$ અને $v = \sin x$.
$yx = x(-\cos x) - \int (1 \cdot -\cos x) dx + c$.
$yx = -x \cos x + \int \cos x dx + c$.
$yx = -x \cos x + \sin x + c$.
પદોને ગોઠવતા:
$yx + x \cos x = \sin x + c$.
$x(y + \cos x) = \sin x + c$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1 \dots (i)$
ધારો કે $\frac{1}{x} = t$. તેથી $-\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} = \frac{dt}{dy}$,એટલે કે $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} = -\frac{dt}{dy}$.
$(i)$ માં કિંમત મૂકતા: $-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$ થાય છે.
આ $t$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ છે.
ઉકેલ $t(I.F.) = \int (-1)(I.F.) dy + c$ છે.
$t(\frac{1}{y}) = \int -\frac{1}{y} dy + c = -\log y + c$.
$t = \frac{1}{x}$ મૂકતા: $\frac{1}{xy} = -\log y + c$.
તેથી,$\frac{1}{x} = cy - y \log y$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x \, dy = y(dx + y \, dy)$
પદોને ગોઠવતા: $x \, dy = y \, dx + y^2 \, dy$
$y \, dx = (x - y^2) \, dy$
$y \, dy$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} - y$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = -y$
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = -y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
ઉકેલ: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) \, dy + C$.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (-y) \cdot \frac{1}{y} \, dy + C$
$\frac{x}{y} = \int -1 \, dy + C$
$\frac{x}{y} = -y + C$
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$\frac{1}{1} = -1 + C \Rightarrow C = 2$.
તેથી,$\frac{x}{y} = -y + 2$.
$y(-3)$ શોધવા માટે,$x = -3$ મૂકતા:
$\frac{-3}{y} = -y + 2$
$-3 = -y^2 + 2y$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
$(y - 3)(y + 1) = 0$
$y(x) > 0$ હોવાથી,$y = 3$ મળે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$.
$\sin^{2} y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} + (\operatorname{cosec}^{2} y)x = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \operatorname{cosec}^{2} y$ અને $Q(y) = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$.
વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \operatorname{cosec}^{2} y dy} = e^{-\cot y}$ છે.
ઉકેલ: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$.
$x e^{-\cot y} = \int \cot y \operatorname{cosec}^{2} y e^{-\cot y} dy + C$.
ધારો કે $t = -\cot y$,તો $dt = \operatorname{cosec}^{2} y dy$.
$x e^{-\cot y} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$.
$t = -\cot y$ મૂકતા: $x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y) + C$.
$x = 0$ અને $y = \frac{3\pi}{4}$ લેતા: $0 = e^{-\cot(3\pi/4)}(1 + \cot(3\pi/4)) + C$.
$\cot(3\pi/4) = -1$ હોવાથી,$0 = e^{1}(1 - 1) + C \implies C = 0$.
તેથી,$x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y)$,જેનું સાદું રૂપ $x = 1 + \cot y$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^3 - 3$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = x^3 - 3$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધવાનું સૂત્ર $I.F. = e^{\int P dx}$ છે.
$P = \frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ મળે છે.
તેથી,સંકલ્યકારક અવયવ $x$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $r dx + (x - r^2) dr = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$r dx = -(x - r^2) dr$ મળે.
$dr$ વડે ભાગતા,$r \frac{dx}{dr} = r^2 - x$ મળે.
તેને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dx}{dr} + P(r)x = Q(r)$ માં ગોઠવતા,$\frac{dx}{dr} + \frac{1}{r}x = r$ મળે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int \frac{1}{r} dr} = e^{\log r} = r$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(r) \cdot (I.F.) dr + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \cdot r = \int r \cdot r dr + c$.
જમણી બાજુનું સંકલન કરતા,$xr = \int r^2 dr + c$.
આમ,$xr = \frac{r^3}{3} + c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = e^{-x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ થાય.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y e^{2x} = \int (e^{-x} \cdot e^{2x}) dx + c$.
$y e^{2x} = \int e^{x} dx + c$.
$y e^{2x} = e^{x} + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ મેળવવા માટે $(1-x^{2})$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^{2}}y = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
અહીં,$P = \frac{2x}{1-x^{2}}$ અને $Q = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^{2}} dx} = e^{-\ln(1-x^{2})} = e^{\ln(\frac{1}{1-x^{2}})} = \frac{1}{1-x^{2}}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \times (I.F.) = \int Q \times (I.F.) dx + c$ છે.
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \times \frac{1}{1-x^{2}} dx + c$
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = \int x(1-x^{2})^{-\frac{3}{2}} dx + c$
ધારો કે $u = 1-x^{2}$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{3}{2}} du + c = -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} \right) + c = u^{-\frac{1}{2}} + c = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + c$.
બંને બાજુ $(1-x^{2})$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} + c(1-x^{2}) = \sqrt{1-x^{2}} + c(1-x^{2})$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^{2}) dt = (\tan^{-1} x - t) dx$.
બંને બાજુને $(1+x^{2}) dx$ વડે ભાગતા:
$\frac{dt}{dx} = \frac{\tan^{-1} x - t}{1+x^{2}}$
સમીકરણને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ માં ગોઠવતા:
$\frac{dt}{dx} + \frac{1}{1+x^{2}}t = \frac{\tan^{-1} x}{1+x^{2}}$
અહીં,$P(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા મળે છે:
$I.F. = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1} x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y (1 - x \cos y)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y - x \cos^2 y$.
બંને બાજુ $\cos^2 y$ વડે ભાગતા: $\frac{\sin y}{\cos^2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos y} - x$.
જેનું સાદું રૂપ: $\sec y \tan y \frac{d y}{d x} = \sec y - x$.
પદોને ગોઠવતા: $\sec y \tan y \frac{d y}{d x} - \sec y = -x$.
ધારો કે $v = \sec y$. તેથી $\frac{d v}{d x} = \sec y \tan y \frac{d y}{d x}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{d v}{d x} - v = -x$.
આ $\frac{d v}{d x} + P(x)v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -1$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x+x^{3})dy = -(1+y(1+x^{2}))dx$ મળે.
$dx(x+x^{3})$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^{2})} - \frac{y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ થાય.
તેથી,$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{1}{x}\right)y = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ દ્વારા મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\log x}{x}\right) y = x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{\log x}{x}$ અને $Q = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P dx}$ દ્વારા મળે છે.
$I$.$F$. $= e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
તેથી,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$.
આમ,$I$.$F$. $= e^{\frac{(\log x)^2}{2}} = (e^{\log x})^{\frac{\log x}{2}} = x^{\frac{\log x}{2}} = x^{\log (\sqrt{x})}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \log y \left(\frac{dx}{dy}\right) + x = \log y$ છે.
બંને બાજુને $y \log y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y \log y} = \frac{\log y}{y \log y} = \frac{1}{y}$.
આ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{y \log y}$ અને $Q = \frac{1}{y}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P dy}$ દ્વારા મળે છે.
$I$.$F$. $= e^{\int \frac{1}{y \log y} dy}$.
ધારો કે $u = \log y$,તો $du = \frac{1}{y} dy$ થાય.
તેથી,$\int \frac{1}{y \log y} dy = \int \frac{1}{u} du = \log u = \log(\log y)$.
આમ,$I$.$F$. $= e^{\log(\log y)} = \log y$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 4 \log x$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ માં લાવવા માટે $(x \log x)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{4 \log x}{x \log x} = \frac{4}{x}$.
અહીં,$P = \frac{1}{x \log x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નું સૂત્ર $e^{\int P dx}$ છે:
$I.F. = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
તેથી,$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log u = \log(\log x)$.
આમ,$I.F. = e^{\log(\log x)} = \log x$.

(D) સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સંકલ્યકારક અવયવ $\sin x$ છે,તેથી:
$e^{\int P dx} = \sin x$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\int P dx = \ln(\sin x)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P = \frac{d}{dx}[\ln(\sin x)]$
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$P = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$
$P = \cot x$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ છે.
બંને બાજુ $(x \log x)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log x} = \frac{2 \log x}{x \log x} = \frac{2}{x}$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = \frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$IF = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$ થાય.
$IF = e^{\int \frac{1}{u} du} = e^{\log u} = u = \log x$.
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $\log x$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$.
બંને બાજુ $(x \log x)$ વડે ભાગતા,આપણને સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$.
અહીં,$P(x) = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q(x) = 2$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ છે:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે:
$y \log x = \int 2 \log x dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log x dx = x \log x - x$:
$y \log x = 2(x \log x - x) + C$.
સમીકરણ $x \geq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$x=1$ લેતા,$\log(1)=0$.
$y(1) \cdot 0 = 2(1 \cdot 0 - 1) + C \implies 0 = -2 + C \implies C = 2$.
આમ,ઉકેલ $y \log x = 2x \log x - 2x + 2$ છે.
$y(e)$ શોધવા માટે,$x=e$ મૂકતા:
$y(e) \log(e) = 2(e) \log(e) - 2(e) + 2$.
$\log(e) = 1$ હોવાથી:
$y(e) \cdot 1 = 2e - 2e + 2 = 2$.
તેથી,$y(e) = 2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$
પદોને $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y - x}{1 + y^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y}{1 + y^2} - \frac{x}{1 + y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1 + y^2} x = \frac{\tan ^{-1} y}{1 + y^2}$
અહીં,$P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $IF = e^{\int P(y) dy}$ છે.
$IF = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sec x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધવાનું સૂત્ર $IF = e^{\int P dx}$ છે.
$P = \tan x$ મૂકતા,આપણને $IF = e^{\int \tan x dx}$ મળે છે.
કારણ કે $\int \tan x dx = \ln|\sec x|$,તેથી $IF = e^{\ln|\sec x|}$ થાય.
$e^{\ln f(x)} = f(x)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$IF = \sec x$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સંકલ્યકારક અવયવ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વિકલ સમીકરણને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખીએ છીએ.
આપેલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^2$ ને $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x$.
અહીં,$P(x) = -\frac{1}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $IF = e^{\int P(x) dx}$ છે.
$IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x^{-1}|} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1+y^2) dx$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y - x}{1+y^2}$ મળે છે.
આને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$IF = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.