Linear differential equations Questions in Gujarati

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0$
$x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$y dx = (10y^3 - 2x) dy$
$\frac{dx}{dy} = 10y^2 - \frac{2x}{y}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y} x = 10y^2$
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{y}$ અને $Q = 10y^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ મળે:
$IF = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{2}{y} dy} = e^{2 \ln y} = y^2$
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + C$ છે:
$x \cdot y^2 = \int (10y^2) \cdot y^2 dy + C$
$x y^2 = \int 10y^4 dy + C$
$x y^2 = 10 \cdot \frac{y^5}{5} + C$
$x y^2 = 2y^5 + C$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x y^2 - 2y^5 = C$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(\sec x + \tan x) \frac{dy}{dx} + (\sec^2 x + \sec x \tan x) y = 1$
$(\sec x + \tan x)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \sec x \cdot y = \frac{1}{\sec x + \tan x}$
કારણ કે $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{dy}{dx} + (\sec x) y = \sec x - \tan x$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \sec x$ અને $Q = \sec x - \tan x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $= e^{\int P dx} = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln|\sec x + \tan x|} = \sec x + \tan x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$ છે.
$y(\sec x + \tan x) = \int (\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) dx + c$
$y(\sec x + \tan x) = \int (\sec^2 x - \tan^2 x) dx + c$
કારણ કે $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$:
$y(\sec x + \tan x) = \int 1 dx + c$
$y(\sec x + \tan x) = x + c$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^2$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = x^2$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot x = \int (x^2 \cdot x) dx + C$.
$xy = \int x^3 dx + C$.
$x^3$ નું સંકલન કરતા,આપણને $xy = \frac{x^4}{4} + C$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$
$x$ વડે ભાગતા $(x > 0)$: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3}{x}$ અને $Q(x) = x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3 \ln x} = e^{\ln x^{-3}} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.
વ્યાપક ઉકેલ: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$
$y \cdot \frac{1}{x^3} = \int x \cdot \frac{1}{x^3} dx + C$
$\frac{y}{x^3} = \int x^{-2} dx + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$
$y(2) = 4$ આપેલ છે,તેથી $x = 2$ અને $y = 4$ મૂકતા:
$\frac{4}{2^3} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{4}{8} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ: $\frac{y}{x^3} = -\frac{1}{x} + 1 \Rightarrow y = x^3 - x^2$.
$f(4)$ શોધવા માટે,$x = 4$ મૂકતા:
$f(4) = 4^3 - 4^2 = 64 - 16 = 48$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈ $\frac{y}{dy/dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{y}{dy/dx} = x + 7y^2$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + 7y^2}$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dx}{dy} = \frac{x + 7y^2}{y} = \frac{x}{y} + 7y$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 7y$.
ઇન્ટિગ્રેટિંગ ફેક્ટર $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int 7y \cdot \frac{1}{y} dy + C$.
$\frac{x}{y} = \int 7 dy + C = 7y + C$.
$x = 7y^2 + Cy$.
આમ,$7y^2 + Cy - x = 0$,જે $f(x, y) = 7y^2 + cy - x$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ શરત $x f^{\prime}(x) = 2 f(x) - 2 x^3$ છે,જ્યાં $x \in (2, 5)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = -2 x^2$,જ્યાં $y = f(x)$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{2}{x} d x} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x^2} \right) = -2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\frac{y}{x^2} = -2 x + C$,જેથી $f(x) = -2 x^3 + C x^2$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{f(5)}{f(2)} = 1$,તેથી $f(5) = f(2)$.
$x = 5$ અને $x = 2$ મુકતા: $-2(125) + C(25) = -2(8) + C(4)$.
$-250 + 25 C = -16 + 4 C$.
$21 C = 234 \Rightarrow C = \frac{234}{21} = \frac{78}{7}$.
આમ,$f(x) = -2 x^3 + \frac{78}{7} x^2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ છે.
$(1+y^2) dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + C$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} y$,તો $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int t e^t dt = t e^t - e^t$.
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = e^t(t - 1) + C$.
$t = \tan^{-1} y$ મૂકતા,$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y}(\tan^{-1} y - 1) + C$.
$e^{\tan^{-1} y}$ વડે ભાગતા,$x = \tan^{-1} y - 1 + C e^{-\tan^{-1} y}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}$ છે.
$\sin x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \cot x$ અને $Q(x) = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$ છે.
સમીકરણને $I$.$F$. વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(y \sin x) = e^{2x}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા,$y \sin x = \int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$ મળે છે.
તેથી,$y = \frac{e^{2x}}{2 \sin x} + \frac{C}{\sin x}$.
શરત $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = \frac{e^\pi}{2(1)} + \frac{C}{1}$,જે આપણને $C = -\frac{e^\pi}{2}$ આપે છે.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,$y = \frac{e^{2x} - e^\pi}{2 \sin x}$ મળે છે.
હવે,$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{e^{\pi/3} - e^\pi}{2(1/2)} = e^{\pi/3} - e^\pi$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \cos x \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$.
$x \cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + (\tan x + \frac{1}{x}) y = \frac{\sec x}{x}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x + \frac{1}{x}$ અને $Q = \frac{\sec x}{x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ છે: $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (\tan x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sec x) + \ln(x)} = e^{\ln(x \sec x)} = x \sec x$.
ઉકેલ આ મુજબ છે: $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$.
કિંમતો મૂકતા: $y(x \sec x) = \int \frac{\sec x}{x} \cdot (x \sec x) dx + C$.
$x y \sec x = \int \sec^2 x dx + C$.
$x y \sec x = \tan x + C$.
આમ,$x y \sec x - \tan x = C$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ax + 4y + 7}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} = ax + 4y + 7$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} - ax = 4y + 7$.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -a$ અને $Q = 4y + 7$.
આમ,સમીકરણ $x$ માં સુરેખ છે.
કારણ કે સમીકરણ $x$ માં સુરેખ છે,તેથી તે $y$ માં સુરેખ નથી.
આથી,વિધાન $A$ સાચું છે અને વિધાન $B$ સાચું છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int -a dy} = e^{-ay}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે અને વિધાન $C$ ખોટું છે.
આમ,માત્ર $A$ અને $B$ સાચા છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{1-y^2} dx + (x - \sin^{-1} y) dy = 0$ છે.
$dy$ અને $\sqrt{1-y^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ અને $Q(y) = \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy} = e^{\sin^{-1} y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ છે.
$x e^{\sin^{-1} y} = \int \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}} e^{\sin^{-1} y} dy + c$.
ધારો કે $t = \sin^{-1} y$,તો $dt = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy$.
$x e^{\sin^{-1} y} = \int t e^t dt + c = (t e^t - e^t) + c = e^t(t - 1) + c$.
$t = \sin^{-1} y$ મૂકતા,આપણને $x e^{\sin^{-1} y} = e^{\sin^{-1} y}(\sin^{-1} y - 1) + c$ મળે છે.
$e^{\sin^{-1} y}$ વડે ભાગતા,$x = \sin^{-1} y - 1 + c e^{-\sin^{-1} y}$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2)+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^2)$.
$\frac{dy}{dx}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} = -\frac{x}{1+y^2} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે.
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + c = \int \frac{e^{2 \tan ^{-1} y}}{1+y^2} dy + c$.
ધારો કે $u = \tan ^{-1} y$,તો $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int e^{2u} du + c = \frac{1}{2} e^{2u} + c = \frac{1}{2} e^{2 \tan ^{-1} y} + c$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + 2c$.
$2c$ એ અચળાંક હોવાથી,ઉકેલ $2x e^{\tan ^{-1} y} - e^{2 \tan ^{-1} y} = C$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+2y^3) \frac{dy}{dx} = y$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $y \frac{dx}{dy} = x + 2y^3$
$y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{1}{y}$ અને $Q = 2y^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ મળે: $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$.
ઉકેલ આ મુજબ મળે: $x \cdot (IF) = \int (Q \cdot IF) dy + c$
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$
$\frac{x}{y} = y^2 + c$
તેથી,$x = y^3 + cy$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2) dx = ( an^{-1} y - x) dy$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$ છે.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + c$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} y$,તો $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t = e^t(t-1)$.
$t = \tan^{-1} y$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે: $x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y} (\tan^{-1} y - 1) + c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{1}{x^2}+x\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$
$\left(\frac{1+x^3}{x^2}\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x}+\frac{3 x^2}{1+x^3} y=\frac{x^2}{1+x^3}$
આ $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=\frac{3 x^2}{1+x^3}$ અને $Q=\frac{x^2}{1+x^3}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ છે: $IF = e^{\int P d x} = e^{\int \frac{3 x^2}{1+x^3} d x} = e^{\log(1+x^3)} = 1+x^3$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) d x + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y(1+x^3) = \int \left(\frac{x^2}{1+x^3}\right)(1+x^3) d x + c$.
$y(1+x^3) = \int x^2 d x + c$.
$y(1+x^3) = \frac{x^3}{3} + c$.
$3$ વડે ગુણતા: $3y(1+x^3) = x^3 + 3c$.
$3y + 3yx^3 - x^3 = 3c$.
$(3y-1)x^3 + 3y = C$ (જ્યાં $C = 3c$).

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$
પદોને $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1+y^2} x = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$
આ $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$:
$IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$
વ્યાપક ઉકેલ નીચે મુજબ છે:
$x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + k$
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + k$
ધારો કે $t = \tan^{-1} y$,તેથી $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$:
$x e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + k$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા ($\int u dv = uv - \int v du$ જ્યાં $u=t, dv=e^t dt$):
$x e^{\tan^{-1} y} = t e^t - e^t + k$
$x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y} (\tan^{-1} y - 1) + k$
$e^{\tan^{-1} y}$ વડે ભાગતા:
$x = (\tan^{-1} y - 1) + k e^{-\tan^{-1} y}$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{-y} - x}$ છે.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે:
$\frac{dx}{dy} = e^{-y} - x$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{dx}{dy} + x = e^{-y}$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = e^{-y}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ છે:
$IF = e^{\int P dy} = e^{\int 1 dy} = e^y$.
ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int (Q \cdot IF) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x \cdot e^y = \int (e^{-y} \cdot e^y) dy + C$.
$x \cdot e^y = \int 1 dy + C$.
$x \cdot e^y = y + C$.
$x = e^{-y}(y + C)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos y + (x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$(x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = -\cos y$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x \sin y - 1}{\cos y} = -x \tan y + \sec y$ મળે.
આને $\frac{dx}{dy} + x \tan y = \sec y$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan y$ અને $Q = \sec y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int \tan y dy} = e^{\ln |\sec y|} = \sec y$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x(IF) = \int Q(IF) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \sec y = \int \sec y \cdot \sec y dy + C$.
$x \sec y = \int \sec^2 y dy + C$.
$x \sec y = \tan y + C$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ છે.
બંને બાજુ $(1-x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{1-x^2} y = \frac{x^4 (1-x^2)^{3/2}}{(1+x^5)(1-x^2)} = \frac{x^4 \sqrt{1-x^2}}{1+x^5}$.
આ સમીકરણ $\frac{d y}{d x} + P(x) y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{x}{1-x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{1-x^2} dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$IF = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{-\frac{1}{2} \ln|u|} = e^{\ln|u|^{-1/2}} = |u|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

(B) આપેલ છે,$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = x+y+1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} - x = y+1$,જે $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
અહીં,$P = -1$ અને $Q = y+1$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ દ્વારા મળે છે.
$x e^{-y} = \int (y+1) e^{-y} dy + c$
$\int y e^{-y} dy$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$x e^{-y} = [y(-e^{-y}) - \int 1 \cdot (-e^{-y}) dy] + \int e^{-y} dy + c$
$x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} - e^{-y} + c$
$x e^{-y} = -(y+2) e^{-y} + c$
બંને બાજુ $e^y$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x = -(y+2) + ce^y$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$,તેથી $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$
આ $\frac{dt}{dy} + P(y)t = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = -1$
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) dy} = e^{-\int \frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$
વ્યાપક ઉકેલ $t \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે
$t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$
$\frac{1}{xy} = -\log y + c$
$y$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{x} = cy - y \log y$

(B) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$.
$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)y = \frac{4x^2}{1+x^2}$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{2x}{1+x^2}$ અને $Q = \frac{4x^2}{1+x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y(1+x^2) = \int \left(\frac{4x^2}{1+x^2}\right)(1+x^2) dx + c$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + c$.
$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + c$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $3y(1+x^2) = 4x^3 + c$.

(C) વિધાન $A$ માટે:
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ છે.
આને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P(x) = 1$ મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ દ્વારા મળે છે.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $R$ માટે:
સુરેખ વિકલ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int P(x) dx}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આમ,વિધાન $R$ સાચું છે.
વિધાન $A$ એ વિધાન $R$ માં આપેલા સૂત્ર પરથી સીધું તારવેલું હોવાથી,$R \Rightarrow A$ સાચું છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે અને $R$ એ $A$ માટેની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y^2$ છે.
સમીકરણને $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{x+2y^3}{y^2} = \frac{x}{y^2} + 2y$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2}x = 2y$
અહીં,$P(y) = -\frac{1}{y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $e^{\int P(y) dy}$ છે.
$IF = e^{\int -\frac{1}{y^2} dy} = e^{\int -y^{-2} dy} = e^{-(-y^{-1})} = e^{\frac{1}{y}}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = e^x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot e^x = \int e^x \cdot e^x dx + C$.
$y e^x = \int e^{2x} dx + C$.
$y e^x = \frac{e^{2x}}{2} + C$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2ye^x = e^{2x} + 2C$ મળે.
ધારો કે $2C = C_1$,તેથી $2ye^x = e^{2x} + C_1$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y-3 x^2) d x+x d y=0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y d x-3 x^2 d x+x d y=0$.
$y d x$ અને $x d y$ પદોને સાથે લેતા: $y d x+x d y=3 x^2 d x$.
વિકલનના ગુણાકારના નિયમ મુજબ,$d(x y) = y d x + x d y$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $d(x y) = 3 x^2 d x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int d(x y) = \int 3 x^2 d x$.
આથી આપણને મળે છે: $x y = x^3 + C$.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને ઉકેલ મળે છે: $y = x^2 + \frac{C}{x}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x} - y = x^2 \sin x$.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{x \frac{d y}{d x} - y}{x^2} = \sin x$.
આ $\frac{y}{x}$ નું વિકલન છે,તેથી $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x} \right) = \sin x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{y}{x} = -\cos x + c$.
આપેલ છે કે $y(\pi) = 0$,તેથી $\frac{0}{\pi} = -\cos(\pi) + c \Rightarrow 0 = 1 + c \Rightarrow c = -1$.
આમ,$y = -x \cos x - x$.
$x = \alpha$ આગળ અંતિમ મૂલ્ય માટે,આપણે $\frac{d y}{d x} = 0$ લઈએ.
$\frac{d y}{d x} = -(\cos x - x \sin x) - 1 = -\cos x + x \sin x - 1 = 0$.
$x = \alpha$ આગળ,$\alpha \sin \alpha - \cos \alpha - 1 = 0$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\alpha (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) - (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 0$.
$2 \cos \frac{\alpha}{2} (\alpha \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}) = 0$.
$\cos \frac{\alpha}{2} \neq 0$ હોવાથી,$\alpha \sin \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \cot \frac{\alpha}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x (f^{\prime}(t)-\sin 2t) dt = \int_x^0 f(t) \tan t dt$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) - \sin 2x = -f(x) \tan x$
$f^{\prime}(x) + f(x) \tan x = \sin 2x$
આ $\frac{df}{dx} + P(x)f = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \tan x$ અને $Q(x) = \sin 2x = 2 \sin x \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
$IF$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx} (f(x) \sec x) = \sin 2x \sec x = 2 \sin x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$f(x) \sec x = \int 2 \sin x dx = -2 \cos x + C$.
$f(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 \cdot \sec 0 = -2 \cos 0 + C \implies 1 = -2 + C \implies C = 3$.
આમ,$f(x) \sec x = -2 \cos x + 3$,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = -2 \cos^2 x + 3 \cos x$.
હવે,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-2 \cos^2 x + 3 \cos x) dx$.
$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (-1 - \cos 2x + 3 \cos x) dx = [-x - \frac{\sin 2x}{2} + 3 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$.
$= (-\frac{\pi}{2} - 0 + 3) - (0) = 3 - \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે,$f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$.
વિકલન માટે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = f(x)$.
આ એક પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ચલને અલગ કરતા,$\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln|f(x)| = x + C$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = k e^{x}$ જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
હવે,મૂળ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$f(0) = \int_{0}^{0} f(t) \, dt = 0$.
$f(0) = k e^{0} = k$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $k = 0$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = 0 \cdot e^{x} = 0$ દરેક $x \in R$ માટે.
આમ,$f(\log_{e} 5) = 0$.

(A, B, D) ધારો કે $f(x)=\cos x$ અને $g(x)=\sin x$. $f(x)$ અને $g(x)$ નો રોન્સકિયન (Wronskian) ધ્યાનમાં લો.
$W = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \neq 0$.
રોન્સકિયન શૂન્ય ન હોવાથી,વિધેયો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. સામાન્ય ઉકેલ $y = A \cos x + B \sin x$ છે.
$(a)$ $A \cos x + B \sin x$ એ સામાન્ય ઉકેલ છે,તેથી તે સાચું છે.
$(b)$ $A \cos(x + \frac{\pi}{4}) = A(\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{A}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{A}{\sqrt{2}} \sin x$. આ $C_1 \cos x + C_2 \sin x$ ના સ્વરૂપમાં છે,તેથી તે સાચું છે.
$(c)$ $A \cos x \sin x = \frac{A}{2} \sin(2x)$,જે $A \cos x + B \sin x$ ના સ્વરૂપમાં નથી,તેથી તે ખોટું છે.
$(d)$ $A \cos(x + \frac{\pi}{4}) + B \sin(x - \frac{\pi}{4}) = A(\frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{2}}) + B(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{2}}) = \cos x(\frac{A-B}{\sqrt{2}}) + \sin x(\frac{B-A}{\sqrt{2}})$. આ $C_1 \cos x + C_2 \sin x$ ના સ્વરૂપમાં છે,તેથી તે સાચું છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ એ દ્વિતીય ક્રમનું સુરેખ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,જો $u(x)$ અને $v(x)$ બે સ્વતંત્ર ઉકેલો હોય,તો તેમનું કોઈપણ સુરેખ સંયોજન $y = c_{1}u(x) + c_{2}v(x)$ પણ ઉકેલ બને છે,જ્યાં $c_{1}$ અને $c_{2}$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે.
વિકલ્પ $A$ એ સુરેખ સંયોજનનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે જ્યાં $c_{1}=5$ અને $c_{2}=8$ છે.
વિકલ્પ $B$ ને $y = c_{1}u(x) + (c_{2}-c_{1})v(x)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જે $u(x)$ અને $v(x)$ નું નવા સ્વૈચ્છિક અચળાંકો સાથેનું સુરેખ સંયોજન છે.
તેથી,$A$ અને $B$ બંને વિકલ સમીકરણના ઉકેલો દર્શાવે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$.
ધારો કે $y^2 = z$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dz}{dx}$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} \frac{dz}{dx} + bz = a \cos x$.
$2$ વડે ગુણતા: $\frac{dz}{dx} + 2bz = 2a \cos x$.
આ $\frac{dz}{dx} + Pz = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2b$ અને $Q = 2a \cos x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int 2b \, dx} = e^{2bx}$ છે.
ઉકેલ $z \cdot IF = \int Q \cdot IF \, dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$z e^{2bx} = \int 2a \cos x \cdot e^{2bx} \, dx + c$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z e^{2bx} = 2a \left[ \frac{e^{2bx}}{(2b)^2 + 1^2} (2b \cos x + \sin x) \right] + c$.
$y^2 e^{2bx} = \frac{2a}{4b^2 + 1} e^{2bx} (2b \cos x + \sin x) + c$.
$e^{-2bx}$ વડે ગુણતા: $y^2 = \frac{2a}{4b^2 + 1} (2b \cos x + \sin x) + c e^{-2bx}$.
તેથી,$(4b^2 + 1) y^2 = 2a(\sin x + 2b \cos x) + c e^{-2bx}$ મળે છે.

(B) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = y + 2x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ $\frac{dy}{dx} - y = 2x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
બંને બાજુ $e^{-x}$ વડે ગુણતા,આપણને $e^{-x} \frac{dy}{dx} - y e^{-x} = 2x e^{-x}$ મળે છે.
આને $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = 2x e^{-x}$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y e^{-x} = \int 2x e^{-x} dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int 2x e^{-x} dx = 2x(-e^{-x}) - \int 2(-e^{-x}) dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$.
તેથી,$y e^{-x} = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$.
$e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $y = -2x - 2 + C e^x$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા વક્ર માટે,$0 = 0 - 2 + C(1) \Rightarrow C = 2$.
આમ,$y = 2e^x - 2x - 2 = 2(e^x - x - 1)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$ છે.
તેનું સહાયક સમીકરણ $25 m^{2}-10 m+1=0$ છે.
આને $(5 m-1)^{2}=0$ તરીકે લખી શકાય,જે $m=\frac{1}{5}, \frac{1}{5}$ આપે છે.
અહીં બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોવાથી,સામાન્ય ઉકેલ $y=(c_{1}+c_{2} x) e^{x / 5} \quad \dots(i)$ થશે.
$y(0)=1$ આપેલ છે,તેથી $(i)$ માં $x=0$ મૂકતા $1=(c_{1}+0) e^{0} \Rightarrow c_{1}=1$ મળે.
$y(1)=2 e^{1 / 5}$ આપેલ છે,તેથી $(i)$ માં $x=1$ અને $c_{1}=1$ મૂકતા $2 e^{1 / 5}=(1+c_{2}) e^{1 / 5}$ મળે.
$e^{1 / 5}$ વડે ભાગતા,$2=1+c_{2} \Rightarrow c_{2}=1$ મળે.
હવે $c_{1}=1$ અને $c_{2}=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y=(1+x) e^{x / 5}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y f'(x) = f(x) f'(x)$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = f'(x)$ અને $Q(x) = f(x) f'(x)$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f'(x) dx} = e^{f(x)}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y e^{f(x)} = \int f(x) f'(x) e^{f(x)} dx + C$.
ધારો કે $t = f(x)$,તો $dt = f'(x) dx$.
$y e^{f(x)} = \int t e^t dt + C = e^t(t-1) + C$.
$t = f(x)$ પાછું મૂકતા,આપણને $y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ અને $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$,આ સીમાઓને સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 \cdot e^0 = e^0(0-1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + 1$.
$e^{f(x)}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$ મળે છે.
ગોઠવતા $y + 1 = f(x) + e^{-f(x)}$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^{2}$ છે.
$(1+x^{2})$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)y = \frac{4x^{2}}{1+x^{2}}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{1+x^{2}}$ અને $Q(x) = \frac{4x^{2}}{1+x^{2}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx} = e^{\ln(1+x^{2})} = 1+x^{2}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y(IF) = \int Q(x)(IF) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y(1+x^{2}) = \int \left(\frac{4x^{2}}{1+x^{2}}\right)(1+x^{2}) dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \int 4x^{2} dx + C = \frac{4x^{3}}{3} + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = -1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=0$ અને $y=-1$ મૂકતા:
$-1(1+0^{2}) = \frac{4(0)^{3}}{3} + C \Rightarrow C = -1$.
આમ,$y(1+x^{2}) = \frac{4x^{3}}{3} - 1$.
$x=1$ માટે,$y(1+1^{2}) = \frac{4(1)^{3}}{3} - 1$.
$2y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
તેથી,$y(1) = \frac{1}{6}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^{2}(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} + x(x^{2}+1)y = x^{2}-1$.
સમીકરણને $x^{2}(x^{2}-1)$ વડે ભાગતા,તે પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ માં મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}y = \frac{1}{x^{2}}$.
અહીં,$P = \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx}$ દ્વારા મળે છે.
$\int P dx = \int \frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$.
અચળાંકો શોધતા: $x^{2}+1 = A(x^{2}-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$.
$x=0$ માટે,$1 = -A \Rightarrow A = -1$.
$x=1$ માટે,$2 = 2B \Rightarrow B = 1$.
$x=-1$ માટે,$2 = 2C \Rightarrow C = 1$.
તેથી,$\int P dx = \int (\frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}) dx = -\ln|x| + \ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln|\frac{x^{2}-1}{x}|$.
$IF = e^{\ln|\frac{x^{2}-1}{x}|} = \frac{x^{2}-1}{x} = x - \frac{1}{x}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + y = x e^x$.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = e^x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = e^x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$xy = \int x e^x dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x = e^x(x-1)$.
તેથી,$xy = e^x(x-1) + C$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $xy = e^x \phi(x) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\phi(x) = x-1$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = -(3x^2 \tan^{-1} y - x^3)(1 + y^2)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = x^3(1 + y^2) - 3x^2(\tan^{-1} y)(1 + y^2)$.
બંને બાજુ $(1 + y^2)$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = x^3 - 3x^2 \tan^{-1} y$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $\frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx} + 3x^2 \tan^{-1} y = x^3$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} y$,તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{dt}{dx} + 3x^2 t = x^3$.
આ $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 3x^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3x^2 dx} = e^{x^3}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ છે.
બંને બાજુ $(1+x^{2})$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{1+x^{2}} y = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^{2}}$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1+x^{2}}$ અને $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^{2}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $IF = e^{\int P dx}$ છે.
તેથી,$IF = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1} x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log_{e} x}$ અને $Q = \frac{1}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = \log_{e} x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. તેથી,$\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log_{e} u = \log_{e}(\log_{e} x)$.
તેથી,$IF = e^{\log_{e}(\log_{e} x)} = \log_{e} x$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ છે.
$y \log_{e} x = \int \frac{1}{x} \log_{e} x dx$.
ધારો કે $v = \log_{e} x$,તો $dv = \frac{1}{x} dx$. સંકલન $\int v dv = \frac{v^2}{2} + C = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$ બને છે.
તેથી,$y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$.
જ્યારે $x = e$ ત્યારે $y = 1$ આપેલ છે,તેથી $1 \cdot \log_{e} e = \frac{(\log_{e} e)^2}{2} + C$.
$1 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{1}{2}$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,$y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $\log_{e} x$ વડે ભાગતા અથવા $2$ વડે ગુણતા,$2y \log_{e} x = (\log_{e} x)^2 + 1$,જેનું સાદું રૂપ $2y = \log_{e} x + \frac{1}{\log_{e} x}$ થાય છે.