Linear differential equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+y \tan x=2x+x^2 \tan x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=\tan x$ અને $Q=2x+x^2 \tan x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y \sec x = \int (2x+x^2 \tan x) \sec x dx + C$.
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x \tan x dx + C$.
બીજા સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^2 \sec x \tan x dx = x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા: $y \sec x = \int 2x \sec x dx + x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx + C$.
$y \sec x = x^2 \sec x + C$,જેનું સાદું રૂપ $y = x^2 + C \cos x$ થાય છે.
$Y(0)=1$ આપેલ હોવાથી,$1 = 0^2 + C \cos(0) \implies C=1$.
તેથી,$Y(x) = x^2 + \cos x$.
હવે $Y'(x) = 2x - \sin x$.
$Y'(\frac{\pi}{4}) - Y'(-\frac{\pi}{4}) = (2(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) - (2(-\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4}))$.
$= (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(e^{y-x}) dy = (e^x - e^y) dx$
બંને બાજુ $e^x$ વડે ગુણતા: $e^y dy = (e^{2x} - e^x e^y) dx$
પદોને ગોઠવતા: $e^y \frac{dy}{dx} + e^x e^y = e^{2x}$
ધારો કે $z = e^y$,તેથી $\frac{dz}{dx} = e^y \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{dz}{dx} + e^x z = e^{2x}$.
આ $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = e^x$ અને $Q(x) = e^{2x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int e^x dx} = e^{e^x}$.
ઉકેલ $z \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$z \cdot e^{e^x} = \int e^{2x} \cdot e^{e^x} dx + c$.
ધારો કે $u = e^x$,તેથી $du = e^x dx$.
$z \cdot e^{e^x} = \int u \cdot e^u du + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u e^u du = u e^u - e^u + c$.
$z = e^y$ અને $u = e^x$ પાછા મૂકતા: $e^y e^{e^x} = e^x e^{e^x} - e^{e^x} + c$.

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x} y = x$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સાથે સરખાવતા,$P = \frac{3}{x}$ મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $IF = e^{\int P dx}$ છે.
$IF = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = e^{\ln x^3} = x^3$.
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $x^3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + g'(x)y = g(x)g'(x)$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = g'(x)$ અને $Q(x) = g(x)g'(x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int g'(x) dx} = e^{g(x)}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y e^{g(x)} = \int g(x)g'(x) e^{g(x)} dx + C$ મળે.
ધારો કે $g(x) = t$,તો $g'(x) dx = dt$ થાય.
તેથી,$y e^{g(x)} = \int t e^t dt + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int t e^t dt = t e^t - e^t + C = e^t(t - 1) + C$ મળે.
આમ,$y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + C$.
પદોને ગોઠવતા,$y e^{g(x)} - e^{g(x)}(g(x) - 1) = C$.
$e^{g(x)}(y - g(x) + 1) = C$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log(e^{g(x)}) + \log|y - g(x) + 1| = \log(C)$.
$g(x) + \log|y - g(x) + 1| = C'$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} + \csc^2 (x) \cdot y = \csc^2 (x) \cdot \cot x . . . . . . . . . . (1)$
આ સમીકરણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સાથે સરખાવતા:
$P = \csc^2 x$
$Q = \csc^2 x \cdot \cot x$
હવે,સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P \ dx} = e^{\int \csc^2 x \ dx} = e^{- \cot x}$
વ્યાપક ઉકેલ નીચે મુજબ છે:
$y \cdot IF = \int Q \cdot IF \ dx + C$
$y \cdot e^{- \cot x} = \int \csc^2 x \cdot \cot x \cdot e^{- \cot x} \ dx + C$
ધારો કે $t = \cot x$,તેથી $dt = - \csc^2 x \ dx$,એટલે કે $\csc^2 x \ dx = - dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$y \cdot e^{- \cot x} = \int t \cdot e^{- t} (- dt) = - \int t e^{- t} \ dt$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int u \ dv = uv - \int v \ du$,જ્યાં $u = t$ અને $dv = e^{- t} \ dt$:
$- \int t e^{- t} \ dt = - [t (- e^{- t}) - \int (- e^{- t}) \ dt] = - [- t e^{- t} - e^{- t}] + C = t e^{- t} + e^{- t} + C$
$t = \cot x$ પાછું મૂકતા:
$y \cdot e^{- \cot x} = e^{- \cot x} (\cot x + 1) + C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2 \tan x$ અને $Q = \sin x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = e^{\ln \sec^2 x} = \sec^2 x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx + c$.
$y \sec^2 x = \int \sec x \tan x dx + c$.
$y \sec^2 x = \sec x + c$.
આપેલ છે કે $x = \frac{\pi}{3}$ ત્યારે $y = 0$,તેથી:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + c$.
$0 = 2 + c \implies c = -2$.
આમ,$y \sec^2 x = \sec x - 2$.
$\sec^2 x$ વડે ભાગતા,$y = \frac{\sec x}{\sec^2 x} - \frac{2}{\sec^2 x} = \cos x - 2 \cos^2 x$ મળે.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \cos x - 2(1 - \sin^2 x) = \cos x - 2 + 2 \sin^2 x$.
તેથી,$y = 2 \sin^2 x + \cos x - 2$.

(D) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
આપેલ છે કે $y = A(x) e^{\int P(x) dx}$,તેથી $A(x) = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$A'(x) = \frac{d}{dx} [\int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx]$.
વિકલન અને સંકલન એકબીજાના વ્યસ્ત હોવાથી:
$A'(x) = Q(x) e^{\int P(x) dx}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin y \frac{dy}{dx} = \cos y(1 - x \cos y)$ છે.
બંને બાજુ $\cos^2 y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} - x$
$\sec y \tan y \frac{dy}{dx} = \sec y - x$
ધારો કે $\sec y = t$. તેથી $\sec y \tan y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{dt}{dx} = t - x \implies \frac{dt}{dx} - t = -x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
ઉકેલ $t(IF) = \int (-x)(IF) dx + c$ છે.
$t e^{-x} = \int -x e^{-x} dx + c$.
$\int -x e^{-x} dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int -x e^{-x} dx = x e^{-x} - \int e^{-x} dx = x e^{-x} + e^{-x} + c$.
આમ,$t e^{-x} = x e^{-x} + e^{-x} + c$.
$e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $t = x + 1 + c e^x$ મળે છે.
$t = \sec y$ પાછું મૂકતા,આપણને $\sec y = x + 1 + c e^x$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = 2x + x^2 \tan x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
વ્યાપક ઉકેલ આ મુજબ છે:
$y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$
$y \sec x = \int (2x + x^2 \tan x) \sec x dx + c$
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \tan x \sec x dx + c$
બીજા સંકલન $\int x^2 (\tan x \sec x) dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = x^2$ અને $dv = \sec x \tan x dx$. તો $du = 2x dx$ અને $v = \sec x$.
$\int x^2 \sec x \tan x dx = x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + (x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx) + c$
$y \sec x = x^2 \sec x + c$
બંને બાજુ $\cos x$ વડે ગુણતા:
$y = x^2 + c \cos x$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ છે.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$ મળે છે.
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$,તો $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$ થાય છે.
આ $\frac{dt}{dy} + P(y)t = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = -1$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ છે.
ઉકેલ $t \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે.
$t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{t}{y} = -\log |y| + c$.
$t = \frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{xy} = -\log |y| + c$ મળે,એટલે કે $\frac{1}{x} = cy - y \log |y|$.

(C) આપેલ છે,$\cos^{2} x \cdot \frac{dy}{dx} - (\tan 2x) y = \cos^{4} x$
$\cos^{2} x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} - \left(\frac{\tan 2x}{\cos^{2} x}\right) y = \cos^{2} x$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{\tan 2x}{\cos^{2} x}$ અને $Q = \cos^{2} x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ છે.
$\int P dx = -\int \frac{\tan 2x}{\cos^{2} x} dx = -\int \frac{2 \tan x}{(1 - \tan^{2} x) \cos^{2} x} dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તો $\sec^{2} x dx = dt$.
$\int P dx = -\int \frac{2t}{1 - t^{2}} dt = \ln |1 - t^{2}| = \ln |1 - \tan^{2} x|$.
તેથી,$I.F. = e^{\ln |1 - \tan^{2} x|} = 1 - \tan^{2} x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ છે.
$y(1 - \tan^{2} x) = \int (\cos^{2} x (1 - \tan^{2} x)) dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \int (\cos^{2} x - \sin^{2} x) dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \int \cos 2x dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \frac{\sin 2x}{2} + C$.
$y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + 2C}{1 - \tan^{2} x} \right]$.
$2C$ ને $c$ તરીકે લેતા,આપણને મળે $y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + c}{1 - \tan^{2} x} \right]$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ છે.
$(x+1)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{x+1}y = \frac{1}{x+1}$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{x}{x+1} = -1 + \frac{1}{x+1}$ અને $Q = \frac{1}{x+1}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{x+1}) dx} = e^{-x + \log(x+1)} = (x+1)e^{-x}$ થાય.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ છે.
$y(x+1)e^{-x} = \int (\frac{1}{x+1} \cdot (x+1)e^{-x}) dx + C = \int e^{-x} dx + C = -e^{-x} + C$.
$e^{-x}$ વડે ભાગતા,$y(x+1) = -1 + Ce^x$ મળે.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x=0$ અને $y=1$ મૂકતા: $1(0+1) = -1 + Ce^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$.
તેથી,$y(x+1) = 2e^x - 1$,એટલે કે $y = \frac{2e^x - 1}{x+1}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}-y=0$ જ્યાં $y>0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}=y$.
$y>0$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $\frac{dx}{dy} = \frac{x-4y^3}{y} = \frac{x}{y} - 4y^2$.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{1}{y}$ અને $Q = -4y^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) આ મુજબ છે: $I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = e^{\ln y^{-1}} = \frac{1}{y}$.
વ્યાપક ઉકેલ: $x \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dy + C$.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (-4y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + C$.
$\frac{x}{y} = \int -4y dy + C$.
$\frac{x}{y} = -4 \cdot \frac{y^2}{2} + C = -2y^2 + C$.
$y$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $x = -2y^3 + Cy$,જેનું સાદું રૂપ $x+2y^3=Cy$ થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^3 + x) \frac{dy}{dx} = y$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{y^3 + x}{y} = y^2 + \frac{x}{y}$.
આ $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = y^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = y$.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int \frac{d}{dy} (\frac{x}{y}) dy = \int y dy$.
$\frac{x}{y} = \frac{y^2}{2} + C$.
$x = \frac{y^3}{2} + Cy \implies 2x = y^3 + 2Cy$.
$y^3 = ax + b$ હોવાથી,આપણે તેને $y^3 = 2x - 2Cy$ તરીકે લખીએ છીએ.
$y^3 = ax + b$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ અને $b = -2Cy$ મળે છે.
$y(4) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $2^3 = 2(4) + b \implies 8 = 8 + b \implies b = 0$.
તેથી $y^3 = 2x + 0$,એટલે કે $a = 2$ અને $b = 0$.
$4a + 12b^2 = 4(2) + 12(0)^2 = 8 + 0 = 8$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2) + (x - e^{\tan^{-1} y}) \frac{dx}{dy} = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF) = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan^{-1} y} dy + C$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{e^{2 \tan^{-1} y}}{1+y^2} dy + C$.
ધારો કે $u = \tan^{-1} y$,તો $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int e^{2u} du + C = \frac{1}{2} e^{2u} + C = \frac{1}{2} e^{2 \tan^{-1} y} + C$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 x e^{\tan^{-1} y} = e^{2 \tan^{-1} y} + C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ છે.
બંને બાજુ $e^y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $e^{-y} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} e^{-y} = \frac{1}{x^2} \quad \dots (i)$.
ધારો કે $e^{-y} = v$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$-e^{-y} \frac{d y}{d x} = \frac{d v}{d x}$,અથવા $e^{-y} \frac{d y}{d x} = -\frac{d v}{d x}$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$-\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = \frac{1}{x^2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = -\frac{1}{x^2}$ થાય છે.
આ $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{1}{x} d x} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$.
ઉકેલ $v \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) d x + C$ દ્વારા મળે છે.
$v \cdot \frac{1}{x} = \int \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} d x + C$.
$\frac{v}{x} = -\int x^{-3} d x + C = -\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + C = \frac{1}{2 x^2} + C$.
$2x^2$ વડે ગુણતા,$2 x v = 1 + 2 C x^2$. ધારો કે $2C = C'$,તો $2 x v = 1 + C' x^2$.
$v = e^{-y}$ મૂકતા,$2 x e^{-y} = 1 + C' x^2$.
$e^y$ વડે ગુણતા,$2 x = (1 + C' x^2) e^y$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ax + by + c}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} = ax + by + c$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} - ax = by + c$.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -a$ અને $Q = by + c$ છે.
આથી,આ સમીકરણ $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y+x^2 y) dx + (x+x^3) dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $(x+x^3) dy = -(1+y+x^2 y) dx$.
$dx(x+x^3)$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$.
આને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^2)} - \frac{y(1+x^2)}{x(1+x^2)}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -\frac{1}{x(1+x^2)}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = -\frac{1}{x(1+x^2)}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -2 \tan 2x$ અને $Q = e^x \sec 2x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \tan 2x dx} = e^{-\ln(\sec 2x)} = e^{\ln(\cos 2x)} = \cos 2x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cos 2x = \int (e^x \sec 2x \cdot \cos 2x) dx + C$.
કારણ કે $\sec 2x \cdot \cos 2x = 1$,તેથી:
$y \cos 2x = \int e^x dx + C$.
$y \cos 2x = e^x + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(B) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = -\tan x$ અને $Q = e^x \sec x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cos x = \int (e^x \sec x) \cdot \cos x dx + c$.
કારણ કે $\sec x \cdot \cos x = 1$,તેથી:
$y \cos x = \int e^x dx + c$.
$y \cos x = e^x + c$.

(B) આપેલ છે,$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = x+y+1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} - x = y+1$,જે $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
અહીં,$P = -1$ અને $Q = y+1$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ દ્વારા મળે છે.
$x e^{-y} = \int (y+1) e^{-y} dy + c$.
$\int y e^{-y} dy$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$x e^{-y} = [y(-e^{-y}) - \int 1 \cdot (-e^{-y}) dy] + \int e^{-y} dy + c$
$x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} - e^{-y} + c$
$x e^{-y} = -(y+2) e^{-y} + c$
$e^y$ વડે ગુણતા,આપણને $x = -(y+2) + ce^y$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
બંને બાજુ $x^3 y^4$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{y^3 x} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x y^3} = -\frac{\cos x}{x^3}$
ધારો કે $t = y^{-3} = \frac{1}{y^3}$. તેથી,$\frac{dt}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} \frac{dt}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{1}{3} \frac{dt}{dx} - \frac{t}{x} = -\frac{\cos x}{x^3}$
$-3$ વડે ગુણતા:
$\frac{dt}{dx} + \frac{3}{x} t = \frac{3 \cos x}{x^3}$
આ $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{3}{x}$ અને $Q(x) = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ છે.
ઉકેલ $t \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$t \cdot x^3 = \int \frac{3 \cos x}{x^3} \cdot x^3 dx + c$
$t x^3 = 3 \int \cos x dx + c$
$t x^3 = 3 \sin x + c$
કારણ કે $t = y^{-3}$,તેથી $x^3 y^{-3} = 3 \sin x + c$.

(A) $I$. આપેલ છે $dy+2xy dx=2e^{-x^2} dx$.
$dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}+2xy=2e^{-x^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=2x$ અને $Q=2e^{-x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ છે.
$ye^{x^2} = \int 2e^{-x^2} \cdot e^{x^2} dx + c = \int 2 dx + c = 2x+c$.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
$II$. આપેલ છે $ye^{x^2}-2x=c$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(ye^{x^2}) - \frac{d}{dx}(2x) = 0$.
$y(2x e^{x^2}) + e^{x^2} \frac{dy}{dx} - 2 = 0$.
$e^{x^2} \frac{dy}{dx} = 2 - 2xye^{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 2e^{-x^2} - 2xy$.
તેથી,$dx = \frac{dy}{2e^{-x^2}-2xy}$.
આમ,વિધાન $II$ પણ સાચું છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x+2 y^3) \frac{d y}{d x}=y^2$ છે.
સમીકરણને $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$y^2 \frac{d x}{d y} = x + 2y^3$
$\frac{d x}{d y} - \frac{1}{y^2} x = 2y$.
અહીં,$P(y) = -\frac{1}{y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy}$ દ્વારા મળે છે.
$IF = e^{\int -\frac{1}{y^2} dy} = e^{\int -y^{-2} dy} = e^{-(-y^{-1})} = e^{1/y}$.
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $e^{(1/y)}$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{3}$ અને $Q = 1$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{3} dx} = e^{x/3}$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણની બંને બાજુઓને $IF$ વડે ગુણતા:
$e^{x/3} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{3} e^{x/3} y = e^{x/3}$
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\frac{d}{dx} (y \cdot e^{x/3}) = e^{x/3}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$y \cdot e^{x/3} = \int e^{x/3} dx + c$
$y \cdot e^{x/3} = 3e^{x/3} + c$
$e^{x/3}$ વડે ભાગતા:
$y = 3 + ce^{-x/3}$

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y = x^2$ છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જે $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = -1$ અને $Q = x^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y e^{-x} = \int x^2 e^{-x} dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} + c$.
તેથી,$y e^{-x} = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + c$.
બંને બાજુ $e^x$ વડે ગુણતા,$y = -(x^2 + 2x + 2) + ce^x$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$y + x^2 + 2x + 2 = ce^x$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$.
આને ગુણાકારના વિકલન તરીકે લખી શકાય: $\frac{d}{dx}(y \cos x) = 6x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $y \cos x = \int 6x \, dx = 3x^2 + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\pi}{3})^2 + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi^2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{-\pi^2}{3}$.
આમ,સામાન્ય ઉકેલ $y \cos x = 3x^2 - \frac{\pi^2}{3}$ છે.
હવે,$y(\frac{\pi}{6})$ શોધવા માટે,$x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$y(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{\pi}{6}) = 3(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{3}$.
$y(\frac{\pi}{6}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{4\pi^2}{12} = \frac{-3\pi^2}{12} = \frac{-\pi^2}{4}$.
તેથી,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{-\pi^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{-\pi^2}{2 \sqrt{3}}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{\tan^{-1} y - x}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ મળે,જે $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
અહીં,$P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + c$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} y$,તો $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
સંકલન $\int t e^t dt + c$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + c = e^t(t - 1) + c$.
$t = \tan^{-1} y$ પાછું મૂકતા,$x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y}(\tan^{-1} y - 1) + c$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x + y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - y = x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -1$ અને $Q = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
બંને બાજુ સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુણતા,આપણને $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = x e^{-x}$ મળે છે.
આને $\frac{d}{dx} (y e^{-x}) = x e^{-x}$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $y e^{-x} = \int x e^{-x} dx$ મળે છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1(-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} + c$.
આમ,$y e^{-x} = -x e^{-x} - e^{-x} + c$.
$e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $y = -x - 1 + ce^x$ મળે છે,જે $y = ce^x - x - 1$ છે.

(A) પ્રશ્ન મુજબ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x + xy$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dy}{dx} - xy = x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = -x$ અને $Q(x) = x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} dx + c$.
ધારો કે $t = -\frac{x^2}{2}$,તો $dt = -x dx$,તેથી $x dx = -dt$.
$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -\int e^t dt + c = -e^t + c = -e^{-\frac{x^2}{2}} + c$.
વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$1 \cdot e^0 = -e^0 + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$.
આમ,$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + 2$.
$e^{-\frac{x^2}{2}}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ અથવા $y = 2e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+2) dy + 2xy dx = e^x(x^2+2) dx$
$(x^2+2) dx$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2+2} y = e^x$
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{x^2+2}$ અને $Q(x) = e^x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2+2} dx} = e^{\ln(x^2+2)} = x^2+2$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ છે.
$y(x^2+2) = \int e^x(x^2+2) dx + C$.
$\int e^x(x^2+2) dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$y(x^2+2) = (x^2+2)e^x - \int 2x e^x dx + C$.
$y(x^2+2) = (x^2+2)e^x - 2[x e^x - \int e^x dx] + C$.
$y(x^2+2) = (x^2+2)e^x - 2x e^x + 2e^x + C$.
$y(x^2+2) = e^x(x^2+2 - 2x + 2) + C$.
$y(x^2+2) = e^x(x^2-2x+4) + C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^2+1}{2 y^3-4 x y+y}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{d x}{d y}=\frac{2 y^3-4 x y+y}{2 y^2+1} = \frac{y(2 y^2+1) - 4 x y}{2 y^2+1} = y - \frac{4 x y}{2 y^2+1}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{d x}{d y} + \left(\frac{4 y}{2 y^2+1}\right) x = y$ મળે.
આ $\frac{d x}{d y} + P(y) x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{4 y}{2 y^2+1}$ અને $Q(y) = y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) d y} = e^{\int \frac{4 y}{2 y^2+1} d y} = e^{\ln(2 y^2+1)} = 2 y^2+1$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x(IF) = \int Q(y)(IF) d y + C$ છે.
$x(2 y^2+1) = \int y(2 y^2+1) d y + C = \int (2 y^3+y) d y + C$ મળે.
$x(2 y^2+1) = \frac{2 y^4}{4} + \frac{y^2}{2} + C = \frac{y^4}{2} + \frac{y^2}{2} + C$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$2 x(2 y^2+1) = y^4+y^2+2C$,જેનું સાદું રૂપ $4 x y^2+2 x = y^4+y^2+C$ થાય છે.

(A) $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપના સુરેખ વિકલ સમીકરણ માટે,સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{x^2}{x^3+1}y = \frac{3x^2}{x^3+1}$.
$IF = e^{\int \frac{x^2}{x^3+1} dx} = e^{\frac{1}{3}\ln(x^3+1)} = (x^3+1)^{1/3}$. તેથી,$P-5$.
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}y = x^4$.
$IF = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3\ln x} = x^3$. તેથી,$Q-1$.
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{6x^2}{x^3+1}y = \frac{x^2}{(x^3+1)^2}$.
$IF = e^{\int \frac{6x^2}{x^3+1} dx} = e^{2\ln(x^3+1)} = (x^3+1)^2$. તેથી,$R-2$.
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{4x}{x^2+1}y = \frac{\ln x}{x^2+1}$.
$IF = e^{\int \frac{4x}{x^2+1} dx} = e^{2\ln(x^2+1)} = (x^2+1)^2$. તેથી,$S-3$.
આમ,સાચી જોડણી $P-5, Q-1, R-2, S-3$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$.
$x$ વડે ભાગતા: $y \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^2}{x} - x$.
ગોઠવતા: $y \frac{d y}{d x} - \frac{2 y^2}{x} = -x$ $\ldots$ $(i)$.
ધારો કે $v = y^2$. તેથી $\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d y}{d x}$,જે સૂચવે છે કે $y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \frac{d v}{d x}$.
$(i)$ માં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = -x$.
$2$ વડે ગુણતા: $\frac{d v}{d x} - \frac{4 v}{x} = -2 x$.
આ $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{4}{x}$ અને $Q(x) = -2 x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{4}{x} d x} = e^{-4 \ln |x|} = x^{-4}$.
ઉકેલ $v \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF d x + c$ છે.
$v \cdot x^{-4} = \int (-2 x) \cdot x^{-4} d x + c = \int -2 x^{-3} d x + c$.
$\frac{v}{x^4} = -2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + c = \frac{1}{x^2} + c$.
$v = x^2 + c x^4$.
કારણ કે $v = y^2$,વક્રોનો પરિવાર $y^2 = x^2 + c x^4$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \frac{dy}{dx} = y \sin x - 1$.
$\cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = y \tan x - \sec x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\tan x$ અને $Q(x) = -\sec x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \cos x = \int (-\sec x) \cdot \cos x dx + C$.
$y \cos x = \int (-1) dx + C$.
$y \cos x = -x + C$.
$f(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા: $1 \cdot \cos(0) = -0 + C \implies 1 = C$.
આમ,$y \cos x = -x + 1$.
$y = \frac{1-x}{\cos x} = (1-x) \sec x$.
તેથી,$f(x) = (1-x) \sec x$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \sec x \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\cos x \sin x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$ અને $Q(x) = \cos^2 x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} dx} = e^{\ln|\tan x|} = \tan x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$y \tan x = \int \cos^2 x \cdot \tan x dx + c$.
$y \tan x = \int \cos^2 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} dx + c = \int \sin x \cos x dx + c$.
$y \tan x = \frac{\sin^2 x}{2} + c$.
તેથી,$2y \tan x = \sin^2 x + c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+\cos^2 x) f'(x) - f(x) \sin 2x = 4 \sin 2x$ છે.
$(1+\cos^2 x)$ વડે ભાગતા,$f'(x) - f(x) \frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x} = \frac{4 \sin 2x}{1+\cos^2 x}$ મળે.
આ $f'(x) + P(x)f(x) = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x}$ અને $Q(x) = \frac{4 \sin 2x}{1+\cos^2 x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x} dx}$.
ધારો કે $u = 1+\cos^2 x$,તો $du = -\sin 2x dx$.
તેથી,$IF = e^{\int \frac{du}{u}} = 1+\cos^2 x$.
વ્યાપક ઉકેલ $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$f(x)(1+\cos^2 x) = \int 4 \sin 2x dx = -2 \cos 2x + C$.
$f(0)=0$ હોવાથી,$0 = -2 + C \implies C = 2$.
તેથી,$f(x) = \frac{2 - 2 \cos 2x}{1+\cos^2 x} = \frac{4 \sin^2 x}{1+\cos^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{4(3/4)}{1+1/4} = \frac{3}{5/4} = \frac{12}{5}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2) dx = (\operatorname{Tan}^{-1} y - x) dy$.
બંને બાજુ $(1+y^2) dy$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y - x}{1+y^2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\operatorname{Tan}^{-1} y}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} = \int \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2} \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} dy + c$.
ધારો કે $u = \operatorname{Tan}^{-1} y$,તો $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
સંકલન $\int u e^u du = u e^u - e^u + c$ બને છે.
તેથી,$x \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} = \operatorname{Tan}^{-1} y \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} - e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} + c$.
$e^{\operatorname{Tan}^{-1} y}$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \operatorname{Tan}^{-1} y - 1 + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ મળે છે.
આને $x = f(y) + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ સાથે સરખાવતા,$f(y) = \operatorname{Tan}^{-1} y - 1$ મળે છે.

(A) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $y = \sin x + A \cos x$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \cos x - A \sin x$ (ii)
$(i)$ પરથી,$A \cos x = y - \sin x$,તેથી $A = \frac{y - \sin x}{\cos x}$.
$A$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા: $\frac{dy}{dx} = \cos x - (\frac{y - \sin x}{\cos x}) \sin x$
$\frac{dy}{dx} = \cos x - y \tan x + \sin x \tan x$
$\frac{dy}{dx} + y \tan x = \cos x + \sin x \tan x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$
આને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + f(x)y = Q(x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \tan x$ મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int f(x) dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y f^{\prime}(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = f^{\prime}(x)$ અને $Q(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int f^{\prime}(x) dx} = e^{f(x)}$ મળે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot e^{f(x)} = \int f(x) f^{\prime}(x) e^{f(x)} dx + C$ મળે.
ધારો કે $u = f(x)$,તો $du = f^{\prime}(x) dx$. સંકલન $\int u e^u du$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u e^u du = u e^u - e^u$ થાય.
તેથી,$y \cdot e^{f(x)} = f(x) e^{f(x)} - e^{f(x)} + C$.
$e^{f(x)}$ વડે ભાગતા,$y = f(x) - 1 + C e^{-f(x)}$ મળે છે.