Differentiation of implicit function Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log(x+y) = 2xy$ $(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2y + 2x \frac{dy}{dx}$ $(ii)$
$x=0$ આગળ,$(i)$ પરથી: $\log(0+y) = 2(0)y \implies \log(y) = 0 \implies y = e^0 = 1$.
$x=0$ અને $y=1$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{0+1} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2(1) + 2(0) \frac{dy}{dx}$
$1 + \frac{dy}{dx} = 2$
$\frac{dy}{dx} = 2 - 1 = 1$
આમ,$x=0$ આગળ $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત $1$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $z$ માટે,$\tan^{-1}(z) + \cot^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $xy = \tan^{-1}(xy) + \cot^{-1}(xy)$ માં $z = xy$ મૂકતા,આપણને $xy = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
હવે,બંને બાજુએ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$x \frac{dy}{dx} + y(1) = 0$
$x \frac{dy}{dx} = -y$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

(D) આપેલ છે કે $a(4+x^2)=x$,તેથી $a = \frac{x}{4+x^2}$.
$x=1$ આગળ,$a = \frac{1}{4+1^2} = \frac{1}{5}$.
$a(4+x^2)=x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{da}{dx}(4+x^2) + a(2x) = 1$.
$x=1$ અને $a=\frac{1}{5}$ મૂકતા:
$\frac{da}{dx}(4+1) + \frac{1}{5}(2(1)) = 1 \implies 5\frac{da}{dx} + \frac{2}{5} = 1 \implies 5\frac{da}{dx} = \frac{3}{5} \implies \frac{da}{dx} = \frac{3}{25}$.
આપેલ છે કે $y = x^3 + a^2$,તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2a\frac{da}{dx}$.
$x=1$,$a=\frac{1}{5}$ અને $\frac{da}{dx}=\frac{3}{25}$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2 + 2(\frac{1}{5})(\frac{3}{25}) = 3 + \frac{6}{125} = \frac{375+6}{125} = \frac{381}{125}$.

(C) ધારો કે $y = \log \left[f\left(e^x+2 x\right)\right]$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f\left(e^x+2 x\right)} \cdot f^{\prime}\left(e^x+2 x\right) \cdot \frac{d}{dx}(e^x+2 x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{f^{\prime}\left(e^x+2 x\right) \cdot (e^x+2)}{f\left(e^x+2 x\right)}$.
હવે,$x=0$ આગળ કિંમત મેળવીએ:
$x=0$ માટે,$f$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $e^0 + 2(0) = 1 + 0 = 1$ થાય છે.
તેથી,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{f^{\prime}(1) \cdot (e^0+2)}{f(1)}$.
આપેલ છે કે $f(1)=3$ અને $f^{\prime}(1)=2$:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{2 \cdot (1+2)}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x = e^{\tan^{-1}\left(\frac{y-x^2}{x^2}\right)}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(x) = \tan^{-1}\left(\frac{y-x^2}{x^2}\right)$ મળે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\tan(\ln x) = \frac{y-x^2}{x^2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$y = x^2 \tan(\ln x) + x^2$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[x^2 \tan(\ln x)] + \frac{d}{dx}[x^2]$
$\frac{dy}{dx} = [2x \tan(\ln x) + x^2 \cdot \sec^2(\ln x) \cdot \frac{1}{x}] + 2x$
$\frac{dy}{dx} = 2x \tan(\ln x) + x \sec^2(\ln x) + 2x$.
હવે,$x = 1$ આગળ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=1} = 2(1) \tan(\ln 1) + 1 \sec^2(\ln 1) + 2(1)$
કારણ કે $\ln 1 = 0$,$\tan 0 = 0$ અને $\sec 0 = 1$ હોવાથી:
$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=1} = 2(0) + 1(1)^2 + 2 = 0 + 1 + 2 = 3$.

(C) આપેલ છે કે $\tan y = \frac{x \sin \alpha}{1-x \cos \alpha}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\tan y) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x \sin \alpha}{1-x \cos \alpha}\right)$
$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{(1-x \cos \alpha)(\sin \alpha) - (x \sin \alpha)(-\cos \alpha)}{(1-x \cos \alpha)^2}$
$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\sin \alpha - x \sin \alpha \cos \alpha + x \sin \alpha \cos \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{\sin \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2}$
કારણ કે $\tan y = \frac{x \sin \alpha}{1-x \cos \alpha}$,તેથી $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + \frac{x^2 \sin^2 \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{(1-x \cos \alpha)^2 + x^2 \sin^2 \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{1 - 2x \cos \alpha + x^2 \cos^2 \alpha + x^2 \sin^2 \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{1 - 2x \cos \alpha + x^2}{(1-x \cos \alpha)^2}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{1 - 2x \cos \alpha + x^2}{(1-x \cos \alpha)^2} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\sin \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin \alpha}{x^2 - 2x \cos \alpha + 1}$.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{m}{x^2+2nx+1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \sin \alpha$ અને $n = -\cos \alpha$ મળે છે.
તેથી,$m^2 + n^2 = \sin^2 \alpha + (-\cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

(A) આપેલ પદાવલિ $y=\sqrt{(x-\sin x)+\sqrt{(x-\sin x)+\sqrt{(x-\sin x)+\ldots}}}$ છે.
આપણે તેને $y=\sqrt{(x-\sin x)+y}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = x - \sin x + y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2y \frac{dy}{dx} = 1 - \cos x + \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 - \cos x$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $\frac{dy}{dx}(2y-1) = 1 - \cos x$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1-\cos x}{2y-1}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = |\log 2 - \sin x|$. કારણ કે $\log 2 \approx 0.693$ અને $x=0$ ની નજીક $\sin x$ નાનું છે,તેથી $x=0$ ની આસપાસ $\log 2 - \sin x > 0$ થાય.
આથી,$x=0$ ની આસપાસ $f(x) = \log 2 - \sin x$ થાય.
તેથી $g(x) = f(f(x)) = \log 2 - \sin(\log 2 - \sin x)$.
$g(x)$ એ $x=0$ ની નજીક વિકલનીય વિધેયોનું સંયોજન હોવાથી,તે $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.
હવે,$g^{\prime}(x) = -\cos(\log 2 - \sin x) \cdot (-\cos x) = \cos(\log 2 - \sin x) \cdot \cos x$.
$x=0$ મુકતા: $g^{\prime}(0) = \cos(\log 2 - \sin 0) \cdot \cos 0 = \cos(\log 2) \cdot 1 = \cos(\log 2)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{3}+y^{3}-3 a x y=0$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}(x^{3}) + \frac{d}{d x}(y^{3}) - 3 a \frac{d}{d x}(x y) = 0$
$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d y}{d x} - 3 a \left( x \frac{d y}{d x} + y \right) = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + y^{2} \frac{d y}{d x} - a x \frac{d y}{d x} - a y = 0$
$\frac{d y}{d x}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$\frac{d y}{d x} (y^{2} - a x) = a y - x^{2}$
તેથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{a y - x^{2}}{y^{2} - a x}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{\frac{2}{5}} + y^{\frac{2}{5}} = a^{\frac{2}{5}}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{dx}(y^{\frac{2}{5}}) = \frac{d}{dx}(a^{\frac{2}{5}})$
ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} + \frac{2}{5}y^{\frac{2}{5}-1} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}} + \frac{2}{5}y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{5}$ વડે ભાગતા:
$x^{-\frac{3}{5}} + y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = -x^{-\frac{3}{5}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{3}{5}}}{y^{-\frac{3}{5}}}$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{3}{5}}$
$\frac{dy}{dx} = -\sqrt[5]{\left(\frac{y}{x}\right)^3}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{y} + y^{x} = a^{b}$ છે.
ધારો કે $u = x^{y}$ અને $v = y^{x}$. તેથી $u + v = a^{b}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$ મળે.
$u = x^{y}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log u = y \log x$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \implies \frac{du}{dx} = x^{y} (\frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx})$.
$x = 1, y = 2$ આગળ,$u = 1^{2} = 1$,તેથી $\frac{du}{dx} = 1(\frac{2}{1} + \log 1 \frac{dy}{dx}) = 2$.
$v = y^{x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log v = x \log y$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \log y + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} \implies \frac{dv}{dx} = y^{x} (\log y + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx})$.
$x = 1, y = 2$ આગળ,$v = 2^{1} = 2$,તેથી $\frac{dv}{dx} = 2(\log 2 + \frac{1}{2} \frac{dy}{dx}) = 2 \log 2 + \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમતોને સરવાળાના વિકલનમાં મૂકતા: $2 + 2 \log 2 + \frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -(2 + 2 \log 2) = -2(1 + \log 2)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = x + \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}$ મળે.
ધારો કે $u = \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}$. તેથી $y^2 = x + u$.
$u$ નો વર્ગ કરતા,$u^2 = y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}} = y + y = 2y$.
આમ,$u = \sqrt{2y}$.
$u$ ની કિંમત $y^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$y^2 = x + \sqrt{2y}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{2y}} \cdot 2 \frac{dy}{dx}$.
$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2y}} \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} (2y - \frac{1}{\sqrt{2y}}) = 1$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{2y\sqrt{2y} - 1}{\sqrt{2y}}) = 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{2y}}{2y\sqrt{2y} - 1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$y^2 - x = \sqrt{2y}$ પરથી,વર્ગ કરતા $(y^2 - x)^2 = 2y$.
વિકલન કરતા: $2(y^2 - x)(2y \frac{dy}{dx} - 1) = 2 \frac{dy}{dx}$.
$(y^2 - x)(2y \frac{dy}{dx} - 1) = \frac{dy}{dx}$.
$2y(y^2 - x) \frac{dy}{dx} - (y^2 - x) = \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} (2y^3 - 2xy - 1) = y^2 - x$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x}{2y^3 - 2xy - 1}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $e^{y} + xy = e$ છે.
$x = 0$ લેતા,$e^{y} + 0 = e$,જેનો અર્થ છે કે $e^{y} = e$,તેથી $y = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(e^{y} + xy) = \frac{d}{dx}(e)$
$e^{y} \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$(x, y) = (0, 1)$ બિંદુએ:
$e^{1} \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0 \implies e \frac{dy}{dx} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(e^{y} \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx}) = 0$
$e^{y} (\frac{dy}{dx})^2 + e^{y} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$e^{y} (\frac{dy}{dx})^2 + e^{y} \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$e(-\frac{1}{e})^2 + e \frac{d^2y}{dx^2} + 2(-\frac{1}{e}) + 0 = 0$
$\frac{1}{e} + e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2})$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x \cdot \log_{e}(\log_{e} x) - x^2 + y^2 = 4$.
પ્રથમ,$x=e$ આગળ $y$ ની કિંમત શોધો:
$e \cdot \log_{e}(\log_{e} e) - e^2 + y^2 = 4$.
$\log_{e} e = 1$ અને $\log_{e} 1 = 0$ હોવાથી,$e \cdot 0 - e^2 + y^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $y^2 = 4 + e^2$.
$y > 0$ હોવાથી,$y = \sqrt{4 + e^2}$.
હવે,આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[x \cdot \log_{e}(\log_{e} x)] - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$.
પ્રથમ પદ માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$1 \cdot \log_{e}(\log_{e} x) + x \cdot \frac{1}{\log_{e} x} \cdot \frac{1}{x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$\log_{e}(\log_{e} x) + \frac{1}{\log_{e} x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$x=e$ મૂકતા:
$\log_{e}(\log_{e} e) + \frac{1}{\log_{e} e} - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$0 + 1 - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$2y \frac{dy}{dx} = 2e - 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2y}$.
$y = \sqrt{4 + e^2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2\sqrt{4 + e^2}}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log(x+y)=2xy$ ... $(i)$
$x=0$ માટે,$\log(0+y)=2(0)y$,જેનો અર્થ છે $\log(y)=0$,તેથી $y=e^0=1$.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2y + 2x \frac{dy}{dx}$
હવે $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$\frac{1}{0+1} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2(1) + 2(0) \frac{dy}{dx}$
$1 + \frac{dy}{dx} = 2$
$\frac{dy}{dx} = 2 - 1 = 1$
આમ,$x=0$ આગળ $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\log_e)$ લેતા:
$2y \log_e(2x) = \log_e 4 + (2x - 2y) \log_e e$
$\log_e 4 = 2 \log_e 2$ અને $\log_e e = 1$ હોવાથી:
$2y \log_e(2x) = 2 \log_e 2 + 2x - 2y$
$2$ વડે ભાગતા:
$y \log_e(2x) = \log_e 2 + x - y$
$y$ ને કર્તા બનાવતા:
$y(1 + \log_e 2x) = x + \log_e 2$
$y = \frac{x + \log_e 2}{1 + \log_e 2x} \quad \dots(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} (1 + \log_e 2x) + y \left( \frac{1}{x} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log_e 2x) = 1 - \frac{y}{x} = \frac{x - y}{x}$
$(i)$ માંથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} (1 + \log_e 2x) = \frac{x - \frac{x + \log_e 2}{1 + \log_e 2x}}{x} = \frac{x(1 + \log_e 2x) - (x + \log_e 2)}{x(1 + \log_e 2x)}$
$= \frac{x + x \log_e 2x - x - \log_e 2}{x(1 + \log_e 2x)} = \frac{x \log_e 2x - \log_e 2}{x(1 + \log_e 2x)}$
બંને બાજુ $(1 + \log_e 2x)$ વડે ગુણતા:
$(1 + \log_e 2x)^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log_e 2x - \log_e 2}{x}$

(B) આપેલ છે કે $y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}}=2x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}})^2 = (2x)^2$,જે સૂચવે છે કે $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}+2 = 4x^2$,તેથી $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}} = 4x^2-2$ ... $(1)$
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{m} y^{\frac{1}{m}-1} - \frac{1}{m} y^{-\frac{1}{m}-1} = 2 \frac{dx}{dy}$ મળે.
$my$ વડે ગુણતા,$y^{\frac{1}{m}} - y^{-\frac{1}{m}} = 2my \frac{dx}{dy} = \frac{2my}{dy/dx}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y^{\frac{1}{m}}-y^{-\frac{1}{m}})^2 = \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}-2 = \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ ... $(2)$ થાય.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,$(y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}+2) - (y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}-2) = 4x^2 - \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$.
$4 = 4x^2 - \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$.
$4$ વડે ભાગતા,$1 = x^2 - \frac{m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{m^2y^2}{(dy/dx)^2} = x^2-1$ મળે.
તેથી,$(x^2-1)(\frac{dy}{dx})^2 = m^2y^2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $e^x + e^y = e^{x+y}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(e^y) = \frac{d}{dx}(e^{x+y})$
$e^x + e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$e^x + e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} + e^{x+y} \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$e^y \cdot \frac{dy}{dx} - e^{x+y} \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} - e^x$
$\frac{dy}{dx} (e^y - e^{x+y}) = e^{x+y} - e^x$
કારણ કે $e^{x+y} = e^x + e^y$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} (e^y - (e^x + e^y)) = (e^x + e^y) - e^x$
$\frac{dy}{dx} (e^y - e^x - e^y) = e^y$
$\frac{dy}{dx} (-e^x) = e^y$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^y}{e^x} = -e^{y-x}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ થાય,જ્યાં $u \in \mathbb{R}$.
આપેલ સમીકરણ $xy = \tan^{-1}(xy) + \cot^{-1}(xy)$ માં આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $xy = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે છે.
બિંદુ $(4, 2)$ પર તેની કિંમત શોધતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4,2)} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log (x+y) = \log (xy) + 3$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log a - \log b = \log (\frac{a}{b})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log (x+y) - \log (xy) = 3$
$\log \left(\frac{x+y}{xy}\right) = 3$
લઘુગણક સ્વરૂપને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$\frac{x+y}{xy} = e^3$
$\frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = e^3$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = e^3$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} (y^{-1}) + \frac{d}{dx} (x^{-1}) = \frac{d}{dx} (e^3)$
$-y^{-2} \frac{dy}{dx} - x^{-2} = 0$
$-\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2} = -\left(\frac{y}{x}\right)^2$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log (x+y) = \log (xy) + a$
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $\log (x+y) - \log (xy) = a$
$\log \left( \frac{x+y}{xy} \right) = a$
$\frac{x+y}{xy} = e^a$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = e^a$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2}$
$x=2$ અને $y=4$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4^2}{2^2} = -\frac{16}{4} = -4$

(D) આપેલ સમીકરણ $e^{-y} \cdot y = x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y e^{-y}) = \frac{d}{dx}(x)$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$y \cdot \frac{d}{dx}(e^{-y}) + e^{-y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
$y \cdot (-e^{-y}) \frac{dy}{dx} + e^{-y} \frac{dy}{dx} = 1$
$\frac{dy}{dx}$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{dy}{dx} (e^{-y} - y e^{-y}) = 1$
$\frac{dy}{dx} e^{-y} (1 - y) = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{-y}(1 - y)}$
કારણ કે $e^{-y} = \frac{x}{y}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\frac{x}{y})(1 - y)} = \frac{y}{x(1 - y)}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = x \tan y$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = x \sec^2 y \frac{d y}{d x} + \tan y$
$\frac{d y}{d x}$ ને કર્તા બનાવતા:
$\frac{d y}{d x} - x \sec^2 y \frac{d y}{d x} = \tan y$
$\frac{d y}{d x} (1 - x \sec^2 y) = \tan y$
$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan y}{1 - x \sec^2 y}$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{x \tan y}{x - x^2 \sec^2 y}$
$y = x \tan y$ હોવાથી,$\tan y = \frac{y}{x}$ મળે:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x - x^2 (1 + \tan^2 y)} = \frac{y}{x - x^2 - x^2 \tan^2 y}$
$x^2 \tan^2 y = y^2$ મૂકતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x - x^2 - y^2}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = 1 + xe^y$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{dy}{dx} = 0 + \left( x \cdot e^y \frac{dy}{dx} + e^y \cdot 1 \right)$
$\frac{dy}{dx} = xe^y \frac{dy}{dx} + e^y$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx} - xe^y \frac{dy}{dx} = e^y$
$\frac{dy}{dx} (1 - xe^y) = e^y$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - xe^y}$
મૂળ સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $xe^y = y - 1$. આ કિંમત પદમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - (y - 1)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - y + 1}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{2 - y}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^2 x + \cos ^2 y = 1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin ^2 x) + \frac{d}{dx}(\cos ^2 y) = \frac{d}{dx}(1)$
$2 \sin x \cos x + 2 \cos y (-\sin y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\sin 2x - \sin 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\sin 2y \frac{dy}{dx} = \sin 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{\sin 2y}$

(A) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ છે.
બંને બાજુ $\sqrt{xy}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = 1$
$\frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 1$
$y^{-1/2} + x^{-1/2} = 1$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{2} y^{-3/2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{2} x^{-3/2} = 0$
$-\frac{1}{2 y^{3/2}} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 x^{3/2}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2 y^{3/2}}{2 x^{3/2}}$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2}$

(B) આપેલ છે કે $\sin \left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\tan \frac{\pi}{5}$.
ધારો કે $K = \sin^{-1}(\tan \frac{\pi}{5})$,જે એક અચળાંક છે.
તેથી $\frac{x+y}{x-y} = K$.
$x+y = K(x-y)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 + \frac{dy}{dx} = K(1 - \frac{dy}{dx})$.
$1 + \frac{dy}{dx} = K - K\frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}(1+K) = K-1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{K-1}{K+1}$.
$K = \frac{x+y}{x-y}$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x+y}{x-y} - 1}{\frac{x+y}{x-y} + 1} = \frac{x+y - (x-y)}{x+y + (x-y)} = \frac{2y}{2x} = \frac{y}{x}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y \sqrt{1-x^{2}}+x \sqrt{1-y^{2}}=1$ છે.
$x = \sin \alpha$ અને $y = \sin \beta$ લેતા,જ્યાં $\alpha = \sin^{-1} x$ અને $\beta = \sin^{-1} y$ છે.
સમીકરણ $\sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha \cos \beta = 1$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin(\alpha + \beta) = 1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$.
કિંમતો પાછી મૂકતા,$\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\sin^{-1} y) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$.
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{\sqrt{1+x}} + \frac{y}{\sqrt{1+y}} = 0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x}{\sqrt{1+x}} = -\frac{y}{\sqrt{1+y}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{x^2}{1+x} = \frac{y^2}{1+y}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $x^2(1+y) = y^2(1+x)$
$x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
$x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$
$(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$
$x \neq y$ હોવાથી,$(x-y)$ વડે ભાગતા:
$x + y + xy = 0$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

(B) આપેલ છે: $\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=4$
$\therefore \frac{x+y}{\sqrt{x y}}=4 \Rightarrow x+y=4 \sqrt{x y}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(x+y)^{2}=16 x y \Rightarrow x^{2}+2 x y+y^{2}=16 x y \Rightarrow x^{2}+y^{2}=14 x y$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 x+2 y \frac{d y}{d x}=14 \left(x \frac{d y}{d x}+y\right)$
$2$ વડે ભાગતા:
$x+y \frac{d y}{d x}=7 x \frac{d y}{d x}+7 y$
$\frac{d y}{d x}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$y \frac{d y}{d x}-7 x \frac{d y}{d x}=7 y-x$
$(y-7 x) \frac{d y}{d x}=7 y-x$
$\frac{d y}{d x}=\frac{7 y-x}{y-7 x}$

(C) આપેલ સમીકરણ $x^y = e^{x - y}$ છે.
બંને બાજુ $\log$ લેતા,આપણને મળે $y \log x = (x - y) \log e = x - y$ . . . . . . $(i)$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $(i)$ માં કિંમત મૂકતા $y \log 1 = 1 - y$,જેનો અર્થ છે $0 = 1 - y$,તેથી $y = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $(i)$ નું વિકલન કરતા:
$y \cdot (\frac{1}{x}) + \log x \cdot \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} (\log x + 1) = 1 - \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x (\log x + 1)}$.
$x = 1$ અને $y = 1$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 1}{1 (\log 1 + 1)} = \frac{0}{1} = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{p} + y^{q} = (x + y)^{p + q}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા: $p \ln x + q \ln y = (p + q) \ln (x + y)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{p + q}{x + y} \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{p}{x} - \frac{p + q}{x + y} = \left( \frac{p + q}{x + y} - \frac{q}{y} \right) \frac{dy}{dx}$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{p(x + y) - x(p + q)}{x(x + y)} = \left( \frac{y(p + q) - q(x + y)}{y(x + y)} \right) \frac{dy}{dx}$.
$\frac{px + py - px - qx}{x(x + y)} = \left( \frac{py + qy - qx - qy}{y(x + y)} \right) \frac{dy}{dx}$.
$\frac{py - qx}{x(x + y)} = \frac{py - qx}{y(x + y)} \cdot \frac{dy}{dx}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $(py - qx)$ અને $(x + y)$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(B) આપેલ છે: $x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ અને $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
$x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(t^2+\frac{1}{t^2})+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
આથી $2x^2y^2 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x^2y^2 = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(1)$
$x^2(2y\frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$.
$2x^2y\frac{dy}{dx} = -2xy^2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = \frac{-y}{x}$.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$x^{2}+y^{2}=t+\frac{1}{t}$ ... $(1)$
$x^{4}+y^{4}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ નો બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^{2}+y^{2})^{2} = (t+\frac{1}{t})^{2}$
$x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2} = t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત આ પરિણામમાં મૂકતા:
$(t^{2}+\frac{1}{t^{2}}) + 2x^{2}y^{2} = t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2$
$2x^{2}y^{2} = 2$
$x^{2}y^{2} = 1$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$x^{2}(2y \frac{dy}{dx}) + y^{2}(2x) = 0$
$2x^{2}y \frac{dy}{dx} = -2xy^{2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^{2}}{2x^{2}y} = -\frac{y}{x}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log (x+y) = \sin (x+y)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = \cos (x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$
પદોને ગોઠવતા:
$\left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \left(\frac{1}{x+y} - \cos (x+y)\right) = 0$
કારણ કે $\log (x+y) = \sin (x+y)$,પદ $\frac{1}{x+y} - \cos (x+y)$ એ પ્રદેશના તમામ $x, y$ માટે શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આપણે મેળવી શકીએ:
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -1$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log (x+y)=2xy \quad ...(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y^{\prime}) = 2(x y^{\prime} + y)$
$y^{\prime}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$1 + y^{\prime} = 2(x+y)(x y^{\prime} + y)$
$1 + y^{\prime} = 2x^2 y^{\prime} + 2xy + 2xy y^{\prime} + 2y^2$
$y^{\prime}(1 - 2x^2 - 2xy) = 2xy + 2y^2 - 1$
$y^{\prime} = \frac{2xy + 2y^2 - 1}{1 - 2x^2 - 2xy}$
હવે,સમીકરણ $(i)$ માં $x=0$ મૂકતા $y$ ની કિંમત મેળવીએ:
$\log(0+y) = 2(0)y$
$\log(y) = 0$
$y = e^0 = 1$
હવે $x=0$ અને $y=1$ ને $y^{\prime}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$y^{\prime}(0) = \frac{2(0)(1) + 2(1)^2 - 1}{1 - 2(0)^2 - 2(0)(1)}$
$y^{\prime}(0) = \frac{0 + 2 - 1}{1 - 0 - 0} = \frac{1}{1} = 1$

(C) આપેલ છે કે $x = e^{(x/y)}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\log x = \frac{x}{y}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $y \log x = x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} \cdot \log x + y \cdot \frac{1}{x} = 1$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x \log x \cdot \frac{dy}{dx} + y = x$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલવા પદોને ગોઠવતા:
$x \log x \cdot \frac{dy}{dx} = x - y$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x \log x}$.

(B) આપેલ છે: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2y \log(2x) = \log 4 + 2x - 2y$
$2y \log(2x) = 2 \log 2 + 2x - 2y$
$2$ વડે ભાગતા:
$y \log(2x) = \log 2 + x - y$
$y(1 + \log 2x) = x + \log 2$
$y = \frac{x + \log 2}{1 + \log 2x}$ ... $(1)$
હવે,$y \log(2x) = \log 2 + x - y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} \log(2x) + y \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = 0 + 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} \log(2x) + \frac{y}{x} = 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = 1 - \frac{y}{x} = \frac{x - y}{x}$
$(1)$ માંથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = \frac{x - \frac{x + \log 2}{1 + \log 2x}}{x} = \frac{x(1 + \log 2x) - x - \log 2}{x(1 + \log 2x)}$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = \frac{x + x \log 2x - x - \log 2}{x(1 + \log 2x)} = \frac{x \log 2x - \log 2}{x(1 + \log 2x)}$
બંને બાજુ $(1 + \log 2x)$ વડે ગુણતા:
$(1 + \log 2x)^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log 2x - \log 2}{x}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2y \log_e(2x) = \log_e(4) + 2x - 2y$
$2y \log_e(2x) + 2y = 2x + 2 \log_e(2)$
$y(1 + \log_e(2x)) = x + \log_e(2)$
$y = \frac{x + \log_e(2)}{1 + \log_e(2x)}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log_e(2x)) \cdot 1 - (x + \log_e(2)) \cdot \frac{1}{x}}{(1 + \log_e(2x))^2}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - \frac{x + \log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - 1 - \frac{\log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log_e(2x) - \log_e(2)}{x}$

(A) આપેલ સમીકરણ $x^y \cdot y^x = 16$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$y \ln x + x \ln y = \ln 16$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y \ln x) + \frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(\ln 16)$.
$\left( \frac{dy}{dx} \ln x + y \cdot \frac{1}{x} \right) + \left( 1 \cdot \ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\frac{dy}{dx} (\ln x + \frac{x}{y}) = -(\frac{y}{x} + \ln y)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{y}{x} + \ln y}{\ln x + \frac{x}{y}}$.
હવે,$(2, 2)$ બિંદુ મૂકતા:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, 2)} = -\frac{\frac{2}{2} + \ln 2}{\ln 2 + \frac{2}{2}} = -\frac{1 + \ln 2}{1 + \ln 2} = -1$.

(C) આપેલ છે કે $\log _{10}\left(\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}\right)=2$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}=10^{2}=100$.
તેથી,$x^{3}-y^{3}=100(x^{3}+y^{3})$.
$x^{3}-y^{3}=100x^{3}+100y^{3}$.
$-99x^{3}=101y^{3}$.
$y$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$-99 \cdot 3x^{2} \frac{dx}{dy} = 101 \cdot 3y^{2}$.
$-297x^{2} \frac{dx}{dy} = 303y^{2}$.
$\frac{dx}{dy} = -\frac{303y^{2}}{297x^{2}} = -\frac{101y^{2}}{99x^{2}}$.
આમ,$\frac{dx}{dy} = \left(-\frac{101}{99}\right) \frac{y^{2}}{x^{2}}$.

(D) આપેલ છે,$\log _{10}\left(\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}\right)=2$
$\Rightarrow \frac{x^3-y^3}{x^3+y^3} = 10^2 = 100$
$\Rightarrow x^3 - y^3 = 100x^3 + 100y^3$
$\Rightarrow -99x^3 = 101y^3$
$\Rightarrow y^3 = -\frac{99}{101}x^3$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = -\frac{99}{101} \cdot 3x^2$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{99}{101} \cdot \frac{x^2}{y^2}$
કારણ કે $y^3 = -\frac{99}{101}x^3$,તેથી $-\frac{99}{101} = \frac{y^3}{x^3}$
આ કિંમત વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{x^3} \cdot \frac{x^2}{y^2} = \frac{y}{x}$

(A) આપેલ છે કે,$\log _{10}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=2$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = 10^2 = 100$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$x^2 - y^2 = 100(x^2 + y^2)$.
$x^2 - y^2 = 100x^2 + 100y^2$.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - 100x^2 = 100y^2 + y^2$,જેનું સાદું રૂપ $-99x^2 = 101y^2$ થાય છે.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(-99x^2) = \frac{d}{dx}(101y^2)$.
$-99(2x) = 101(2y) \frac{dy}{dx}$.
$-198x = 202y \frac{dy}{dx}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{198x}{202y} = -\frac{99x}{101y}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $e^{x} + e^{y} = e^{x+y}$.
બંને બાજુને $e^{x+y}$ વડે ભાગતા:
$\frac{e^{x}}{e^{x+y}} + \frac{e^{y}}{e^{x+y}} = 1$
$e^{-y} + e^{-x} = 1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(e^{-y}) + \frac{d}{dx}(e^{-x}) = \frac{d}{dx}(1)$
$-e^{-y} \frac{dy}{dx} - e^{-x} = 0$
$-e^{-y} \frac{dy}{dx} = e^{-x}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{-x}}{e^{-y}}$
$\frac{dy}{dx} = -e^{y-x}$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in [-1, 1]$ માટે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 y^2 = \frac{\pi}{2}$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$2x y^2 + x^2 (2y \frac{dy}{dx}) = 0$
$2x$ વડે ભાગતા:
$y^2 + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$(2)^2 + (1)(2) \frac{dy}{dx} = 0$
$4 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$2 \frac{dy}{dx} = -4$
$\frac{dy}{dx} = -2$

(D) આપેલ છે: $x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ અને $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
પ્રથમ સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$.
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
$x^4+y^4 = t^2+\frac{1}{t^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
$2x^2y^2 = 2 \implies x^2y^2 = 1$.
તેથી,$y^2 = \frac{1}{x^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^3y}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=1$ છે.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dy} + 2y = 0$
$2x \frac{dx}{dy} = -2y$
$\frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dx}{dy}$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = \frac{d}{dy} \left( -\frac{y}{x} \right) = -\left[ \frac{x(1) - y(\frac{dx}{dy})}{x^{2}} \right]$
$\frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\left[ \frac{x - y(-\frac{y}{x})}{x^{2}} \right]$
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\left[ \frac{x + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} \right] = -\left[ \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} \right]$
કારણ કે $x^{2}+y^{2}=1$,તેથી:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\frac{1}{x^{3}}$