Differentiation of implicit function Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $(2 x)^{2 y}=4 e^{2 x-2 y}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2 y \log(2 x) = \log(4) + \log(e^{2 x-2 y})$
$2 y \log(2 x) = 2 \log 2 + 2 x - 2 y$
$2$ વડે ભાગતા:
$y \log(2 x) = \log 2 + x - y$
$y(1 + \log(2 x)) = x + \log 2$
$y = \frac{x + \log 2}{1 + \log(2 x)}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + \log(2 x)) \cdot \frac{d}{d x}(x + \log 2) - (x + \log 2) \cdot \frac{d}{d x}(1 + \log(2 x))}{(1 + \log(2 x))^2}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + \log(2 x)) \cdot 1 - (x + \log 2) \cdot \frac{1}{2 x} \cdot 2}{(1 + \log(2 x))^2}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \log(2 x) - \frac{x + \log 2}{x}}{(1 + \log(2 x))^2}$
$(1 + \log(2 x))^2$ વડે ગુણતા:
$(1 + \log(2 x))^2 \frac{d y}{d x} = 1 + \log(2 x) - 1 - \frac{\log 2}{x}$
$= \log(2 x) - \frac{\log 2}{x} = \frac{x \log(2 x) - \log 2}{x}$.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x) \cdot f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) \cdot f(y)$ છે.
$x=0$ અને $y=0$ મુકતા,આપણને મળે $f(0)=f(0) \cdot f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0) \cdot f(0) = 2 f(0) \cdot f^{\prime}(0)$.
$f(0)=1$ હોવાથી,$1 = 2(1) \cdot f^{\prime}(0)$,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$.
હવે,$x$ ને ચલ તરીકે રાખીને $y=0$ મુકતા,આપણને મળે $f(x+0)=f(x) \cdot f^{\prime}(0)+f^{\prime}(x) \cdot f(0)$.
$f(0)=1$ અને $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ મુકતા,આપણને મળે $f(x) = f(x) \cdot \frac{1}{2} + f^{\prime}(x) \cdot 1$.
આનું સાદું રૂપ $f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} f(x)$ અથવા $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2} dx$,જેનું પરિણામ $\log(f(x)) = \frac{1}{2}x + C$ મળે છે.
$f(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log(1) = 0 + C$,તેથી $C=0$.
આમ,$\log(f(x)) = \frac{1}{2}x$.
$x=4$ માટે,$\log(f(4)) = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $\theta \in [-1, 1]$ માટે,$\sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2} y^{2} = \sin^{-1} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \cos^{-1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ માં જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x^{2} y^{2} = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
હવે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^{2} y^{2}) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$x^{2} \cdot (2y \frac{dy}{dx}) + y^{2} \cdot (2x) = 0$
$2x^{2}y \frac{dy}{dx} = -2xy^{2}$
બંને બાજુ $2xy$ વડે ભાગતા ($x, y \neq 0$ ધારીને):
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^{2}}{2x^{2}y} = -\frac{y}{x}$.

(B) ધારો કે $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\theta$,તો $\cos \theta=\frac{1}{3}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ મળે.
આમ,આપેલ સમીકરણ $\sin (x+y)+\cos (x+y)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ છે.
અહીં $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ એ અચળ હોવાથી,$(x+y)$ પણ અચળ થશે.
ધારો કે $x+y = C$,જ્યાં $C$ અચળ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x+y) = \frac{d}{dx}(C)$
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = \sqrt{\sin^{-1} x + y}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $y^2 = \sin^{-1} x + y$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x + y)$
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(2y - 1) \sqrt{1 - x^2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $xy = e^{x-y}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(xy) = \ln(e^{x-y})$
$\ln x + \ln y = x - y$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(y)$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} + 1) = \frac{x-1}{x}$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1+y}{y}) = \frac{x-1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x-1)}{x(y+1)}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ વક્રો $x^{3}-3xy^{2}+2=0$ $(1)$ અને $3x^{2}y-y^{3}=2$ $(2)$ છે.
$(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $3x^{2}-3(y^{2}+2xyy')=0 \Rightarrow x^{2}-y^{2}=2xyy' \Rightarrow y' = \frac{x^{2}-y^{2}}{2xy} = m_{1}$.
$(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $3(2xy+x^{2}y')-3y^{2}y'=0 \Rightarrow 2xy+x^{2}y'-y^{2}y'=0 \Rightarrow y'(x^{2}-y^{2}) = -2xy \Rightarrow y' = -\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}} = m_{2}$.
હવે,$m_{1} \cdot m_{2} = \left(\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}\right) \cdot \left(-\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}\right) = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,વક્રો કાટખૂણે છેદે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt[3]{y} \sqrt{x} = \sqrt[6]{(x+y)^{5}}$
બંને બાજુ $6$ ઘાત લેતા:
$(y^{1/3} x^{1/2})^6 = ((x+y)^{5/6})^6$
$y^2 x^3 = (x+y)^5$
ધારો કે $y = vx$,તેથી $dy = v dx + x dv$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(vx)^2 x^3 = (x + vx)^5$
$v^2 x^5 = x^5(1+v)^5$
$v^2 = (1+v)^5$
આ દર્શાવે છે કે $v$ અચળ છે. સમઘાત વિધેયો માટે,જો $f(y/x) = c$ હોય,તો $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$y^2 x^3 = (x+y)^5$ નું વિકલન કરતા:
$2y y' x^3 + 3x^2 y^2 = 5(x+y)^4 (1+y')$
$(x+y)^5 = y^2 x^3$ હોવાથી,$(x+y)^4 = \frac{y^2 x^3}{x+y}$ મૂકતા:
$2y y' x^3 + 3x^2 y^2 = 5 \frac{y^2 x^3}{x+y} (1+y')$
$x^2 y$ વડે ભાગતા:
$2x y' + 3y = \frac{5xy}{x+y} (1+y')$
$(2x y' + 3y)(x+y) = 5xy + 5xy y'$
$2x^2 y' + 2xy y' + 3xy + 3y^2 = 5xy + 5xy y'$
$y'(2x^2 + 2xy - 5xy) = 5xy - 3xy - 3y^2$
$y'(2x^2 - 3xy) = 2xy - 3y^2$
$y' x(2x - 3y) = y(2x - 3y)$
$2x - 3y \neq 0$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $ \cos y = x \cos (a+y) $
આપણે $ x $ ને આ રીતે લખી શકીએ: $ x = \frac{\cos y}{\cos (a+y)} $
$ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને: $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2} $
$ 1 = \frac{\cos (a+y) \cdot (-\sin y \frac{dy}{dx}) - \cos y \cdot (-\sin (a+y) \frac{dy}{dx})}{\cos^2 (a+y)} $
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin (a+y) \cos y - \cos (a+y) \sin y}{\cos^2 (a+y)} \right] $
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin (a+y-y)}{\cos^2 (a+y)} \right] $
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin a}{\cos^2 (a+y)} \right] $
તેથી,$ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 (a+y)}{\sin a} $

(A) આપેલ છે કે,$ x^{y}=e^{x-y} $.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$ y \log x = x - y $
$ y $ ને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$ y + y \log x = x $
$ y(1 + \log x) = x $
$ y = \frac{x}{1 + \log x} $
હવે,ભાગાકારના નિયમ $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2} $ નો ઉપયોગ કરીને $ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(1 + \log x)}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x)(1) - x \cdot (\frac{1}{x})}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{1 + \log x - 1}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} $

(A) આપેલ છે કે,$\tan^{-1}(x^2 + y^2) = \alpha$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા,આપણને મળે $x^2 + y^2 = \tan \alpha$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(\tan \alpha)$.
અહીં $\alpha$ અચળ હોવાથી,$\frac{d}{dx}(\tan \alpha) = 0$ થાય.
તેથી,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$2y \frac{dy}{dx} = -2x$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2^{x}+2^{y}=2^{x+y} \quad ...(i)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2^{x}) + \frac{d}{dx}(2^{y}) = \frac{d}{dx}(2^{x+y})$
$2^{x} \ln 2 + 2^{y} \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} \ln 2 \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\ln 2$ વડે ભાગતા:
$2^{x} + 2^{y} \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} + 2^{x+y} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2^{y} \frac{dy}{dx} - 2^{x+y} \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} - 2^{x}$
$\frac{dy}{dx} (2^{y} - 2^{x+y}) = 2^{x+y} - 2^{x}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $2^{x+y} = 2^{x} + 2^{y}$. આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} (2^{y} - (2^{x} + 2^{y})) = (2^{x} + 2^{y}) - 2^{x}$
$\frac{dy}{dx} (-2^{x}) = 2^{y}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2^{y}}{2^{x}} = -2^{y-x}$

(D) આપેલ છે કે,$x^{x}=y^{y}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા,આપણને મળે છે:
$x \log x = y \log y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(y \log y)$.
ગુણાકારના નિયમ $(uv)' = u'v + uv'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}) = (1 \cdot \log y + y \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx})$.
$(\log x + 1) = (\log y + 1) \frac{dy}{dx}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+\log x}{1+\log y}$.

(B) આપેલ છે,$x+y=\tan ^{-1} y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx}$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{1+y^2} - 1 \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - 1 - y^2}{1+y^2} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{-y^2}{1+y^2} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^2}{y^2} = -\left( \frac{1}{y^2} + 1 \right)$
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{d}{dx} (y^{-2} + 1)$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(-2y^{-3}) \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{y^3} \cdot \frac{dy}{dx}$
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = f(y) \frac{dy}{dx}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(y) = \frac{2}{y^3}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$\sec ^{-1}\left(\frac{1+x}{1-y}\right)=a$
બંને બાજુ $\sec$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1+x}{1-y}=\sec a$
પદોને ગોઠવતા:
$1+x = (1-y) \sec a$
$1+x = \sec a - y \sec a$
$y \sec a = \sec a - 1 - x$
$y = \frac{\sec a - 1 - x}{\sec a} = 1 - \frac{1+x}{\sec a}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = 0 - \frac{1}{\sec a} \cdot \frac{d}{d x}(1+x)$
$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{\sec a} \cdot (1)$
અહીં $\sec a = \frac{1+x}{1-y}$ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{\frac{1+x}{1-y}} = -\frac{1-y}{1+x} = \frac{y-1}{x+1}$

(D) આપેલ સમીકરણ $e^y + xy = e$ છે.
$x = 0$ આગળ,$e^y + 0 = e \Rightarrow e^y = e \Rightarrow y = 1$.
$e^y + xy = e$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$e^y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} (e^y + x) = -y$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{e^y + x}$.
$x = 0$ અને $y = 1$ મુકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e^1 + 0} = -\frac{1}{e}$.
હવે,$\frac{dy}{dx} (e^y + x) = -y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + \frac{dy}{dx} (e^y \frac{dy}{dx} + 1) = -\frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + e^y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{dx} = -\frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + e^y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$.
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ મુકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} (e + 0) + e \left(-\frac{1}{e}\right)^2 + 2 \left(-\frac{1}{e}\right) = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left(\frac{1}{e^2}\right) - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $\left(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2}\right)$ છે.

(B) આપેલ વક્રો છે:
$x^{3}-3xy^{2}+2=0 \quad (1)$
$3x^{2}y-y^{3}=2 \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3x^{2} - 3(y^{2} + x(2yy')) = 0$
$x^{2} - y^{2} - 2xyy' = 0$
$y' = \frac{x^{2}-y^{2}}{2xy} = m_{1}$
સમીકરણ $(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3(2xy + x^{2}y') - 3y^{2}y' = 0$
$2xy + x^{2}y' - y^{2}y' = 0$
$y' = \frac{-2xy}{x^{2}-y^{2}} = m_{2}$
હવે,ઢાળનો ગુણાકાર કરતા:
$m_{1} \times m_{2} = \left(\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}\right) \times \left(\frac{-2xy}{x^{2}-y^{2}}\right) = -1$
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,બંને વક્રો એકબીજાને કાટખૂણે છેદે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x e)^{y}=e^{x}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$y \log(x e) = x \log e$
કારણ કે $\log(x e) = \log x + \log e$ અને $\log e = 1$,તેથી:
$y(\log x + 1) = x$
$y = \frac{x}{\log x + 1}$
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log x + 1)(1) - x(\frac{1}{x} + 0)}{(\log x + 1)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x + 1 - 1}{(\log x + 1)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(\log x + 1)^2}$

(B) આપેલ છે,$\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n \log \left(\frac{x}{n}\right)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{\sqrt{1-(y/b)^2}} \cdot \frac{1}{b} \cdot y_1 = n \cdot \frac{1}{(x/n)} \cdot \frac{1}{n}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$-\frac{1}{\sqrt{(b^2-y^2)/b^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$
$-\frac{b}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2-y^2}} = \frac{n}{x}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$-x y_1 = n \sqrt{b^2-y^2}$
$x y_1 + n \sqrt{b^2-y^2} = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{\cosh x + y}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = \cosh x + y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\cosh x + y)$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2y \frac{dy}{dx} = \sinh x + \frac{dy}{dx}$ થાય.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sinh x$ મળે.
$\frac{dy}{dx}$ સામાન્ય લેતા,$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \sinh x$ થાય.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sinh x}{2y - 1}$.

(A) આપેલ છે કે $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x^2+y^2)^2 = x^4+y^4+2x^2y^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(t+\frac{1}{t})^2 = (t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$t^2 + 2(t)(\frac{1}{t}) + \frac{1}{t^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2x^2y^2$.
$t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2x^2y^2$.
બંને બાજુથી $t^2 + \frac{1}{t^2}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$2 = 2x^2y^2 \Rightarrow x^2y^2 = 1$.
તેથી,$y^2 = \frac{1}{x^2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x^3}$.
બંને બાજુ $\frac{x^3}{2}$ વડે ગુણતા:
$x^3 y \frac{dy}{dx} = -1$.

(B) આપેલ છે કે $x \sqrt{1+y} + y \sqrt{1+x} = 0$ ... $(i)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે
$x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે
$x^2(1+y) = y^2(1+x)$
$x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
$x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$
$(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$
$(x-y)(x+y+xy) = 0$
કારણ કે $x-y \neq 0$ (કારણ કે તે મૂળ સમીકરણને સંતોષતું નથી),તેથી આપણી પાસે હોવું જોઈએ
$x+y+xy = 0$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)\frac{d}{dx}(x) - x\frac{d}{dx}(1+x)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin x \sqrt{\cos y} - \cos y \sqrt{\sin x} = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sin x \sqrt{\cos y} = \cos y \sqrt{\sin x}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\sin^2 x \cos y = \cos^2 y \sin x$ મળે છે.
ધારો કે $\sin x \neq 0$ અને $\cos y \neq 0$,તો $\sin x \cos y$ વડે ભાગતા $\frac{\sin x}{\cos y} = \frac{\cos y}{\sin x}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 x = \cos^2 y$.
આમ,$\sin x = \cos y$ અથવા $\sin x = -\cos y$.
$\sin x = \cos y$ લેતા,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{d}{dx}(\cos y)$.
આનાથી $\cos x = -\sin y \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\sin y}$.
ચૂકી $\cos y = \sin x$,તેથી $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \cos x$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\cos x} = -1$.

$(D)$ $\text{આપેલ સમીકરણ: } x^3 - 2x^2y^2 + 5x + y - 5 = 0$.
$\text{$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન લેતા:}$
$3x^2 - (4xy^2 + 4x^2yy') + 5 + y' = 0$.
$\text{બિંદુ } (1, 1) \text{ આગળ, } x=1 \text{ અને } y=1 \text{ મૂકતા:}$
$3 - (4 + 4y') + 5 + y' = 0$
$\Rightarrow 3 - 4 - 4y' + 5 + y' = 0$
$\Rightarrow 4 - 3y' = 0$
$\Rightarrow y' = 4/3$.
$\text{હવે, પ્રથમ વિકલનના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:}$
$6x - [4y^2 + 8xyy' + 8xyy' + 4x^2(y')^2 + 4x^2yy''] + y'' = 0$.
$\text{$x=1, y=1, y'=4/3$ મૂકતા:}$
$6 - [4 + 8(4/3) + 8(4/3) + 4(16/9) + 4y''] + y'' = 0$
$6 - 4 - 64/3 - 64/9 - 4y'' + y'' = 0$
$2 - 192/9 - 64/9 - 3y'' = 0$
$2 - 256/9 = 3y''$
$(18 - 256)/9 = 3y''$
$-238/9 = 3y''$
$y'' = -238/27$.

(A) આપેલ છે કે,$x \sin (\alpha+y)=\sin y$ અને $y=\frac{m}{x^2+2 n x+1}$.
$x \sin (\alpha+y)=\sin y$ પરથી,આપણને મળે $\frac{\sin (\alpha+y)}{\sin y} = \frac{1}{x}$.
વિસ્તરણ $\sin (\alpha+y) = \sin \alpha \cos y + \cos \alpha \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin \alpha \cot y + \cos \alpha = \frac{1}{x}$.
આમ,$\cot y = \frac{1 - x \cos \alpha}{x \sin \alpha}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan y = \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha}$.
$y = \tan^{-1} \left( \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha} \right)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = \frac{1}{1 + \left( \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha} \right)^2} \cdot \frac{(1 - x \cos \alpha)(\sin \alpha) - (x \sin \alpha)(-\cos \alpha)}{(1 - x \cos \alpha)^2}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $(1 - x \cos \alpha)(\sin \alpha) + x \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha - x \sin \alpha \cos \alpha + x \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $(1 - x \cos \alpha)^2 + (x \sin \alpha)^2 = 1 - 2x \cos \alpha + x^2 \cos^2 \alpha + x^2 \sin^2 \alpha = 1 - 2x \cos \alpha + x^2$.
આમ,$y' = \frac{\sin \alpha}{x^2 - 2x \cos \alpha + 1}$.
આને $y = \frac{m}{x^2 + 2nx + 1}$ ના વિકલન સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \sin \alpha$ અને $n = -\cos \alpha$ મળે છે.
તેથી,$m^2 = \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-n)^2 = 1 - n^2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $3 \sin xy + 4 \cos xy = 5$ છે.
ધારો કે $xy = t$.
$xy = t$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,ગુણાકારના નિયમ મુજબ $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{dt}{dx} \dots (I)$ મળે.
હવે,આપેલ સમીકરણ $3 \sin t + 4 \cos t = 5$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt}(3 \sin t + 4 \cos t) = \frac{d}{dt}(5)$
$3 \cos t - 4 \sin t = 0$.
આમ,$\frac{dt}{dx} = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(I)$ માં મૂકતા,$x \frac{dy}{dx} + y = 0$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y}{x}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^{2019} \cdot y^{2020} = (x+y)^{4039}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2019 \ln(x) + 2020 \ln(y) = 4039 \ln(x+y)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2019}{x} + \frac{2020}{y} \frac{dy}{dx} = 4039 \cdot \frac{1}{x+y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$.
સરળ બનાવવા માટે $x(x+y)y$ વડે ગુણતા:
$2019(x+y)y + 2020x(x+y) \frac{dy}{dx} = 4039xy(1 + \frac{dy}{dx})$.
$2019xy + 2019y^2 + 2020x^2 \frac{dy}{dx} + 2020xy \frac{dy}{dx} = 4039xy + 4039xy \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} (2020x^2 + 2020xy - 4039xy) = 4039xy - 2019xy - 2019y^2$.
$\frac{dy}{dx} (2020x^2 - 2019xy) = 2020xy - 2019y^2$.
$\frac{dy}{dx} [x(2020x - 2019y)] = y(2020x - 2019y)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) દરેક વિધેય માટે $\frac{dy}{dx}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A. x^2 + y^2 + 3xy = 7$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y\frac{dy}{dx} + 3(y + x\frac{dy}{dx}) = 0 \implies \frac{dy}{dx}(2y + 3x) = -(2x + 3y) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-(2x + 3y)}{3x + 2y}$. આ $II$ સાથે મેળ ખાય છે.
$B. x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$. વિકલન કરતા: $\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3}\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -(\frac{y}{x})^{1/3}$. આ $III$ સાથે મેળ ખાય છે.
$C. x^3 + y^3 = 3axy$. વિકલન કરતા: $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 3a(y + x\frac{dy}{dx}) \implies x^2 + y^2\frac{dy}{dx} = ay + ax\frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx}(y^2 - ax) = ay - x^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - ay}{ax - y^2}$. આ $IV$ સાથે મેળ ખાય છે.
$D. xy(x - y) = 2 \implies x^2y - xy^2 = 2$. વિકલન કરતા: $(2xy + x^2\frac{dy}{dx}) - (y^2 + 2xy\frac{dy}{dx}) = 0 \implies \frac{dy}{dx}(x^2 - 2xy) = y^2 - 2xy \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 2xy}{x^2 - 2xy}$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$D$ એ $V$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^3+y^3=3xy$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(3xy)$.
$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 3(y + x \frac{dy}{dx})$.
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$y^2 \frac{dy}{dx} - x \frac{dy}{dx} = y - x^2$.
$\frac{dy}{dx}(y^2 - x) = y - x^2$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y-x^2}{y^2-x}$.

(A) આપેલ છે,$x^m y^n = (x+y)^{m+n}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$m \ln x + n \ln y = (m+n) \ln(x+y)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{m+n}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{m}{x} - \frac{m+n}{x+y} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{m+n}{x+y} - \frac{n}{y} \right)$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{m(x+y) - x(m+n)}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{y(m+n) - n(x+y)}{y(x+y)} \right)$.
$\frac{mx + my - mx - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my + ny - nx - ny}{y(x+y)} \right)$.
$\frac{my - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my - nx}{y(x+y)} \right)$.
અહીં $my - nx \neq 0$ હોવાથી,તે પદ ઉડી જશે:
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{y}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 x^2-3 x y+y^2+x+2 y-8=0$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}(2 x^2) - \frac{d}{d x}(3 x y) + \frac{d}{d x}(y^2) + \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2 y) - \frac{d}{d x}(8) = 0$
$4 x - (3 y + 3 x \frac{d y}{d x}) + 2 y \frac{d y}{d x} + 1 + 2 \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x}$ વાળા પદોને એકસાથે લેતા:
$(2 y - 3 x + 2) \frac{d y}{d x} = 3 y - 4 x - 1$
તેથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x - 1}{2 y - 3 x + 2}$

(D) આપેલ સમીકરણો:
$x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2} \quad \dots (i)$
$x^2+y^2=t-\frac{1}{t} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2+y^2)^2 = (t-\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમત મુકતા:
$(t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
$2x^2y^2 = -2$
$x^2y^2 = -1$
$y^2 = -\frac{1}{x^2}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(-x^{-2})$
$2y \frac{dy}{dx} = -(-2)x^{-3}$
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^3}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^3y}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ ... $(i)$
$x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$
સમીકરણ (ii) ની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^4+y^4)+2x^2y^2 = (x^4+y^4)+2$
$2x^2y^2 = 2$
$x^2y^2 = 1$
હવે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(1)$
$x^2(2y \frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$
$2x^2y \frac{dy}{dx} = -2xy^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $f(x+ay)+g(x-ay)=0$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x+ay)(1+a \frac{dy}{dx}) + g^{\prime}(x-ay)(1-a \frac{dy}{dx}) = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$f^{\prime}(x+ay) + a \frac{dy}{dx} f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay) - a \frac{dy}{dx} g^{\prime}(x-ay) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને અલગ કરતા:
$a \frac{dy}{dx} [f^{\prime}(x+ay) - g^{\prime}(x-ay)] = -[f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay)]$.
તેથી:
$a \frac{dy}{dx} = \frac{-(f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay))}{f^{\prime}(x+ay) - g^{\prime}(x-ay)} = \frac{f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay)}{g^{\prime}(x-ay) - f^{\prime}(x+ay)}$.

(D) આપેલ છે,$\log(\sqrt{1+x^2}-x) = y(\sqrt{1+x^2})$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} [\log(\sqrt{1+x^2}-x)] = \frac{d}{dx} [y(\sqrt{1+x^2})]$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} - 1 \right) = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + y \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \right) = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{xy}{\sqrt{1+x^2}}$
$\Rightarrow \frac{-(\sqrt{1+x^2}-x)}{(\sqrt{1+x^2}-x) \sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{xy}{\sqrt{1+x^2}}$
$\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{xy}{\sqrt{1+x^2}}$
બંને બાજુ $\sqrt{1+x^2}$ વડે ગુણતા:
$-1 = (1+x^2) \frac{dy}{dx} + xy$
તેથી,$(1+x^2) \frac{dy}{dx} + xy = -1$.

(C) આપેલ છે કે $y = \prod_{k=1}^{n} (1 + \frac{k}{x}) = \frac{(x+1)(x+2)...(x+n)}{x^n}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\ln y = \sum_{k=1}^{n} \ln(1 + \frac{k}{x})$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{n} \frac{-k}{x(x+k)}$.
ગુણાકારના નિયમ મુજબ,$x = -1$ આગળ માત્ર તે પદનું વિકલન બાકી રહેશે જેમાં $(x+1)$ અવયવ છે.
$\frac{dy}{dx} |_{x=-1} = (\frac{d}{dx} (1 + \frac{1}{x}))_{x=-1} \cdot (1 + \frac{2}{x}) (1 + \frac{3}{x}) ... (1 + \frac{n}{x}) |_{x=-1}$.
$= (-1) \cdot (1-2)(1-3)...(1-n) = (-1) \cdot (-1)^{n-1} (n-1)! = (-1)^n (n-1)!$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = \log_y x$ છે.
બેઝ બદલવાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને $y = \frac{\log_e x}{\log_e y}$ તરીકે લખી શકીએ.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y \cdot \log_e y = \log_e x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y \cdot \log_e y) = \frac{d}{dx}(\log_e x)$
$y \cdot \frac{d}{dx}(\log_e y) + \log_e y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$y \cdot (\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}) + \log_e y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$1 \cdot \frac{dy}{dx} + \log_e y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$(1 + \log_e y) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x(1 + \log_e y)}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log(x+y) - 2xy = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y') - 2(x y' + y) = 0$.
$y'$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{1}{x+y} + \frac{y'}{x+y} - 2xy' - 2y = 0$.
$y' \left( \frac{1}{x+y} - 2x \right) = 2y - \frac{1}{x+y}$.
$y' = \frac{2y - \frac{1}{x+y}}{\frac{1}{x+y} - 2x}$.
હવે,$x = 0$ આગળ કિંમત શોધતા:
$x = 0$ મૂકતા,મૂળ સમીકરણ $\log(y) - 0 = 0$ બને છે,જેનો અર્થ છે $\log(y) = 0$,તેથી $y = e^0 = 1$.
$y'$ ના સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$y'(0) = \frac{2(1) - \frac{1}{0+1}}{\frac{1}{0+1} - 2(0)} = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો $y$ ના સ્વરૂપમાં છે. પદાવલિ $\frac{2y - \frac{1}{y}}{\frac{1}{y}} = 2y^2 - 1$ થાય છે.
આમ,$y'(0) = 2y^2 - 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-y^2 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)=k$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x^2 \cdot \frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \frac{x(dy/dx)-y}{x^2} + 2x \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - y^2 \cdot \frac{1}{1+(x/y)^2} \cdot \frac{y-x(dy/dx)}{y^2} - 2y \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) \frac{dy}{dx} = 0$.
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{x(dy/dx)-y}{1} + 2x \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{y-x(dy/dx)}{1} - 2y \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ,$x=1, y=1$ અને $dy/dx = y_1$ લેતા:
$\frac{1}{2}(y_1-1) + 2(1) \tan ^{-1}(1) - \frac{1}{2}(1-y_1) - 2(1) \tan ^{-1}(1) y_1 = 0$.
અહીં $\tan ^{-1}(1) = \pi/4$ છે.
$\frac{1}{2}y_1 - \frac{1}{2} + 2(\pi/4) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}y_1 - 2(\pi/4)y_1 = 0$.
$y_1 - 1 + \pi/2 - \pi/2 y_1 = 0$.
$y_1(1 - \pi/2) = 1 - \pi/2$.
આમ,$y_1 = 1$.

(A) આપેલ છે,$\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=\sin ^{-1}(a)$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા,$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \cos(\sin^{-1} a)$ મળે.
ધારો કે $\cos(\sin^{-1} a) = k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
તેથી,$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$.
$x^2 - y^2 = k(x^2 + y^2) \Rightarrow x^2(1-k) = y^2(1+k)$.
$y^2 = x^2 \left(\frac{1-k}{1+k}\right)$.
ધારો કે $C = \sqrt{\frac{1-k}{1+k}}$,જે એક અચળાંક છે.
તેથી $y^2 = C^2 x^2 \Rightarrow y = Cx$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = C$ મળે.
કારણ કે $y = Cx$,તેથી $C = \frac{y}{x}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log \sqrt{x^2+y^2}=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+y^2}) = \frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x}{y})$
$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (2x + 2y \frac{dy}{dx}) = \frac{y^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2}$
$\frac{2(x + y \frac{dy}{dx})}{2(x^2+y^2)} = \frac{y - x \frac{dy}{dx}}{x^2+y^2}$
$x + y \frac{dy}{dx} = y - x \frac{dy}{dx}$
$y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} = y - x$
$\frac{dy}{dx}(x + y) = y - x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{x+y}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}\right)$.
ધારો કે $f(x) = \frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}$.
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે,આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - [f(x)]^2}} \cdot f'(x)$.
પ્રથમ,ભાગાકારના નિયમ $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $f'(x)$ શોધો:
$u = 4+5 \sin x \implies u' = 5 \cos x$
$v = 5+4 \sin x \implies v' = 4 \cos x$
$f'(x) = \frac{(5 \cos x)(5+4 \sin x) - (4+5 \sin x)(4 \cos x)}{(5+4 \sin x)^2} = \frac{9 \cos x}{(5+4 \sin x)^2}$.
હવે,$1 - [f(x)]^2 = \frac{9 \cos^2 x}{(5+4 \sin x)^2}$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{1 - [f(x)]^2} = \frac{3 |\cos x|}{5+4 \sin x}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{5+4 \sin x}{3 |\cos x|} \cdot \frac{9 \cos x}{(5+4 \sin x)^2} = \frac{3 \cos x}{|\cos x| (5+4 \sin x)}$.
આમ,$\cos x > 0$ માટે $\frac{3}{5+4 \sin x}$ અને $\cos x < 0$ માટે $\frac{-3}{5+4 \sin x}$ મળે છે. વિકલ્પો જોતા,સાચો જવાબ $\frac{\pm 3}{5+4 \sin x}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = x \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા: $\frac{y}{x} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$. તો $\frac{x}{y} = \frac{1}{v}$.
સમીકરણ $v = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{v}\right)$ બને છે,જેનો અર્થ છે $\tan(v) = \frac{1}{v}$,અથવા $v \tan(v) = 1$.
જોકે,$y = x \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + x \cdot \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + x \cdot \frac{y^2}{x^2+y^2} \cdot \left(\frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x}{x^2+y^2} \cdot (y - x \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^2+y^2} - \frac{x^2}{x^2+y^2} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} \left(1 + \frac{x^2}{x^2+y^2}\right) = \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^2+y^2}$
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{2x^2+y^2}{x^2+y^2}\right) = \frac{2x^2y+y^3}{x(x^2+y^2)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3 f(x)-2 f\left(\frac{1}{x}\right)=x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3 f^{\prime}(x)-2 f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=1$
$3 f^{\prime}(x)+\frac{2}{x^2} f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right)=1$
$x=2$ માટે:
$3 f^{\prime}(2)+\frac{2}{4} f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=1 \Rightarrow 3 f^{\prime}(2)+\frac{1}{2} f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ...$(i)$
$x=\frac{1}{2}$ માટે:
$3 f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{(1/4)} f^{\prime}(2)=1 \Rightarrow 3 f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)+8 f^{\prime}(2)=1$ ...(ii)
$(i)$ પરથી,$f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=2-6 f^{\prime}(2)$.
આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$3(2-6 f^{\prime}(2))+8 f^{\prime}(2)=1$
$6-18 f^{\prime}(2)+8 f^{\prime}(2)=1$
$-10 f^{\prime}(2)=-5$
$f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}$

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3+y^3=3axy$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3x^2+3y^2 \frac{dy}{dx} = 3ay + 3ax \frac{dy}{dx}$
$(y^2-ax) \frac{dy}{dx} = ay-x^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{ay-x^2}{y^2-ax}$
બિંદુ $\left(\frac{3a}{2}, \frac{3a}{2}\right)$ પર,$\frac{dy}{dx} = \frac{a(\frac{3a}{2}) - (\frac{3a}{2})^2}{(\frac{3a}{2})^2 - a(\frac{3a}{2})} = \frac{\frac{3a^2}{2} - \frac{9a^2}{4}}{\frac{9a^2}{4} - \frac{3a^2}{2}} = \frac{-\frac{3a^2}{4}}{\frac{3a^2}{4}} = -1$.
$\frac{dy}{dx}(y^2-ax) = ay-x^2$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(2y \frac{dy}{dx} - a) \frac{dy}{dx} + (y^2-ax) \frac{d^2y}{dx^2} = a \frac{dy}{dx} - 2x$
બિંદુ $\left(\frac{3a}{2}, \frac{3a}{2}\right)$ અને $\frac{dy}{dx} = -1$ મૂકતા:
$(2(\frac{3a}{2})(-1) - a)(-1) + ((\frac{3a}{2})^2 - a(\frac{3a}{2})) y^{\prime \prime} = a(-1) - 2(\frac{3a}{2})$
$(-3a-a)(-1) + (\frac{9a^2}{4} - \frac{6a^2}{4}) y^{\prime \prime} = -a - 3a$
$4a + \frac{3a^2}{4} y^{\prime \prime} = -4a$
$\frac{3a^2}{4} y^{\prime \prime} = -8a$
$3ay^{\prime \prime} = -32$
તેથી,$3ay^{\prime \prime} + 40 = -32 + 40 = 8$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f(x) f^{\prime}(-x) - f(-x) f^{\prime}(x) = 0$ છે.
આને $\frac{d}{dx} [f(x) f(-x)] = f^{\prime}(x) f(-x) - f(x) f^{\prime}(-x) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$f(x) f(-x) = c$,જ્યાં $c$ એક અચળાંક છે.
$x = 0$ માટે,$f(0) f(0) = c \Rightarrow 3 \times 3 = 9$,તેથી $c = 9$.
આમ,દરેક $x \in R$ માટે $f(x) f(-x) = 9$ થાય.
$x = 3$ માટે,$f(3) f(-3) = 9 \Rightarrow 9 \times f(-3) = 9 \Rightarrow f(-3) = 1$.
અંતે,$(1 + f(-3))^3 + 1 = (1 + 1)^3 + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$.