Differentiation of implicit function Questions in Gujarati

(B) અતિવલયનું સમીકરણ આપેલ છે: $xy = a$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0$
વિકલિત માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$
બિંદુ $(a, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ મેળવવા માટે $x = a$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(a, 1)} = -\frac{1}{a}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \sqrt{(1 - x)(1 + x)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = (1 - x)(1 + x) = 1 - x^2$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(1 - x^2)$ મળે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = -2x$.
$2$ વડે ભાગતા,$y \frac{dy}{dx} = -x$ મળે છે.
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા,$y^2 \frac{dy}{dx} = -xy$ મળે છે.
કારણ કે $y^2 = 1 - x^2$,આ કિંમત મૂકતા $(1 - x^2) \frac{dy}{dx} = -xy$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$(1 - x^2) \frac{dy}{dx} + xy = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${x^{2/3}} + {y^{2/3}} = {a^{2/3}}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}({x^{2/3}}) + \frac{d}{dx}({y^{2/3}}) = \frac{d}{dx}({a^{2/3}})$
ઘાતના નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ અને $y$ માટે સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3}{x^{-1/3}} + \frac{2}{3}{y^{-1/3}}\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{3}$ વડે ભાગતા:
${x^{-1/3}} + {y^{-1/3}}\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ગોઠવતા:
${y^{-1/3}}\frac{dy}{dx} = -{x^{-1/3}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{{x^{-1/3}}}{{y^{-1/3}}}$
$\frac{dy}{dx} = -{\left( \frac{x}{y} \right)^{-1/3}}$
$\frac{dy}{dx} = -{\left( \frac{y}{x} \right)^{1/3}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y\sqrt{x^2 + 1} = \log \{\sqrt{x^2 + 1} - x\}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} \cdot \sqrt{x^2 + 1} + y \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x} \cdot \left( \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} - 1 \right)$
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{dy}{dx} \sqrt{x^2 + 1} + \frac{xy}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} \right)$
$\frac{dy}{dx} \sqrt{x^2 + 1} + \frac{xy}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{-( \sqrt{x^2 + 1} - x )}{(\sqrt{x^2 + 1} - x) \sqrt{x^2 + 1}}$
$\frac{dy}{dx} \sqrt{x^2 + 1} + \frac{xy}{\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
આખા સમીકરણને $\sqrt{x^2 + 1}$ વડે ગુણતા:
$(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + xy = -1$
પદોને ગોઠવતા:
$(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + xy + 1 = 0$

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(\sqrt{y}) = \frac{d}{dx}(1)$
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$
હવે,બિંદુ $\left( \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right)$ ને વિકલિતમાં મૂકતા:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right)} = -\frac{\sqrt{1/4}}{\sqrt{1/4}} = -\frac{1/2}{1/2} = -1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{\sin x + y}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = \sin x + y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin x + y)$
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2y \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \cos x$
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \cos x$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x = y\sqrt{1 - y^2}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારનો નિયમ અને સાંકળનો નિયમ વાપરતા):
$1 = \frac{dy}{dx} \cdot \sqrt{1 - y^2} + y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - y^2}} \cdot (-2y) \cdot \frac{dy}{dx}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$1 = \frac{dy}{dx} \left( \sqrt{1 - y^2} - \frac{y^2}{\sqrt{1 - y^2}} \right)$
કૌંસની અંદર લસાઅ લેતા:
$1 = \frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - y^2 - y^2}{\sqrt{1 - y^2}} \right)$
$1 = \frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - 2y^2}{\sqrt{1 - y^2}} \right)$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 - y^2}}{1 - 2y^2}$

(A) આપેલ છે કે $x = \exp \left\{ {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{y - {x^2}}}{{{x^2}}}} \right)} \right\}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\log x = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{y - {x^2}}}{{{x^2}}}} \right)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{{y - {x^2}}}{{{x^2}}} = \tan (\log x)$.
$y$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે $y = {x^2}\tan (\log x) + {x^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}({x^2}\tan (\log x)) + \frac{d}{{dx}}({x^2})$.
$\frac{{dy}}{{dx}} = [2x \cdot \tan (\log x) + {x^2} \cdot {\sec ^2}(\log x) \cdot \frac{1}{x}] + 2x$.
$\frac{{dy}}{{dx}} = 2x\tan (\log x) + x{\sec ^2}(\log x) + 2x$.
પ્રથમ અને છેલ્લા પદમાંથી $2x$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે $\frac{{dy}}{{dx}} = 2x[1 + \tan (\log x)] + x{\sec ^2}(\log x)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin y + e^{-x \cos y} = e$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\cos y \frac{dy}{dx} + e^{-x \cos y} \cdot \frac{d}{dx}(-x \cos y) = 0$
$\cos y \frac{dy}{dx} + e^{-x \cos y} \cdot [(-1) \cos y + (-x)(-\sin y) \frac{dy}{dx}] = 0$
$\cos y \frac{dy}{dx} + e^{-x \cos y} [-\cos y + x \sin y \frac{dy}{dx}] = 0$
$\frac{dy}{dx} (\cos y + x \sin y e^{-x \cos y}) = \cos y e^{-x \cos y}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos y e^{-x \cos y}}{\cos y + x \sin y e^{-x \cos y}}$
હવે,$(x, y) = (1, \pi)$ મૂકતા:
$\cos \pi = -1$ અને $\sin \pi = 0$.
$\frac{dy}{dx} \Big|_{(1, \pi)} = \frac{(-1) e^{-1(-1)}}{-1 + 1(0) e^{-1(-1)}} = \frac{-e}{-1} = e$.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${x^m}{y^n} = {(x + y)^{m + n}}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (logarithm) લેતા:
$m \ln x + n \ln y = (m + n) \ln(x + y)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = (m + n) \frac{1}{x + y} \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{n}{y} - \frac{m + n}{x + y} \right) = \frac{m + n}{x + y} - \frac{m}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{nx + ny - my - ny}{y(x + y)} \right) = \frac{mx + nx - mx - my}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{nx - my}{y(x + y)} \right) = \frac{nx - my}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$
$x = 1$ અને $y = 2$ માટે:
${\left. {\frac{dy}{dx}} \right|_{x = 1, y = 2}} = \frac{2}{1} = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos (x + y) = y\sin x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ચેઈન રૂલ અને પ્રોડક્ટ રૂલનો ઉપયોગ કરીને):
$-\sin (x + y) \cdot \frac{d}{dx}(x + y) = y \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) + \sin x \cdot \frac{dy}{dx}$
$-\sin (x + y) \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right) = y\cos x + \sin x \frac{dy}{dx}$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$-\sin (x + y) - \sin (x + y) \frac{dy}{dx} = y\cos x + \sin x \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$-\sin (x + y) - y\cos x = \sin x \frac{dy}{dx} + \sin (x + y) \frac{dy}{dx}$
$-(\sin (x + y) + y\cos x) = \frac{dy}{dx} (\sin x + \sin (x + y))$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = - \frac{\sin (x + y) + y\cos x}{\sin x + \sin (x + y)}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x\sqrt{1 + y} + y\sqrt{1 + x} = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $x\sqrt{1 + y} = -y\sqrt{1 + x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2(1 + y) = y^2(1 + x)$
$x^2 + x^2y = y^2 + y^2x$
$x^2 - y^2 + x^2y - y^2x = 0$
$(x - y)(x + y) + xy(x - y) = 0$
$(x - y)(x + y + xy) = 0$
કારણ કે $x \neq y$,તેથી $x + y + xy = 0$
$y(1 + x) = -x$
$y = -\frac{x}{1 + x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1 + x)(1) - x(1)}{(1 + x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1 + x - x}{(1 + x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1 + x)^2} = -(1 + x)^{-2}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin y = x \sin (a + y)$
આપણે $x$ ને આ રીતે લખી શકીએ: $x = \frac{\sin y}{\sin (a + y)}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \frac{\sin y}{\sin (a + y)} \right]$
$1 = \frac{\cos y \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \sin (a + y) - \sin y \cdot \cos (a + y) \cdot \frac{dy}{dx}}{\sin^2 (a + y)}$
અંશમાં $\frac{dy}{dx}$ સામાન્ય લેતા:
$1 = \frac{\frac{dy}{dx} [\sin (a + y) \cos y - \cos (a + y) \sin y]}{\sin^2 (a + y)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = \frac{\frac{dy}{dx} \cdot \sin (a + y - y)}{\sin^2 (a + y)}$
$1 = \frac{\frac{dy}{dx} \cdot \sin a}{\sin^2 (a + y)}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2 (a + y)}{\sin a}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan (x + y) + \tan (x - y) = 1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\sec^2(x + y) \cdot \frac{d}{dx}(x + y) + \sec^2(x - y) \cdot \frac{d}{dx}(x - y) = 0$
$\sec^2(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) + \sec^2(x - y) \left(1 - \frac{dy}{dx}\right) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sec^2(x + y) + \sec^2(x + y) \frac{dy}{dx} + \sec^2(x - y) - \sec^2(x - y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \sec^2(x + y) - \sec^2(x - y) \right) = - \left( \sec^2(x + y) + \sec^2(x - y) \right)$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = - \frac{\sec^2(x + y) + \sec^2(x - y)}{\sec^2(x + y) - \sec^2(x - y)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2(x + y) + \sec^2(x - y)}{\sec^2(x - y) - \sec^2(x + y)}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y \sec x + \tan x + x^2 y = 0$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા):
$\frac{d}{dx}(y \sec x) + \frac{d}{dx}(\tan x) + \frac{d}{dx}(x^2 y) = 0$
$\left( \frac{dy}{dx} \sec x + y \sec x \tan x \right) + \sec^2 x + \left( 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} \right) = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$\frac{dy}{dx} (\sec x + x^2) + y \sec x \tan x + \sec^2 x + 2xy = 0$
$\frac{dy}{dx} (\sec x + x^2) = -(2xy + \sec^2 x + y \sec x \tan x)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + \sec^2 x + y \sec x \tan x}{x^2 + \sec x}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin(xy) + \frac{x}{y} = x^2 - y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\cos(xy) \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) + \frac{y(1) - x \frac{dy}{dx}}{y^2} = 2x - \frac{dy}{dx}$.
સરળ બનાવવા માટે $y^2$ વડે ગુણતા:
$y^2 \cos(xy) (y + x \frac{dy}{dx}) + y - x \frac{dy}{dx} = 2xy^2 - y^2 \frac{dy}{dx}$.
વિસ્તરણ કરી $\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને એકસાથે લેતા:
$y^3 \cos(xy) + xy^2 \cos(xy) \frac{dy}{dx} + y - x \frac{dy}{dx} = 2xy^2 - y^2 \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} (xy^2 \cos(xy) - x + y^2) = 2xy^2 - y - y^3 \cos(xy)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy^2 - y - y^3 \cos(xy)}{xy^2 \cos(xy) - x + y^2}$.
અંશમાંથી $y$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(2xy - 1 - y^2 \cos(xy))}{xy^2 \cos(xy) - x + y^2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 x + 2\cos y + xy = 0$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin^2 x) + \frac{d}{dx}(2\cos y) + \frac{d}{dx}(xy) = 0$
ચેઈન રૂલ અને પ્રોડક્ટ રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$2\sin x \cos x - 2\sin y \frac{dy}{dx} + (y \cdot 1 + x \frac{dy}{dx}) = 0$
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2x - 2\sin y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx}(x - 2\sin y) = -(y + \sin 2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sin 2x}{2\sin y - x}$

(A) આપેલ સમીકરણ: ${x^3} + 8xy + {y^3} = 64$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(8xy) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(64)$
ચેઈન રૂલ અને પ્રોડક્ટ રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$3x^2 + 8(y + x\frac{dy}{dx}) + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$3x^2 + 8y + 8x\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને એકસાથે લેતા:
$(8x + 3y^2)\frac{dy}{dx} = -(3x^2 + 8y)$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 8y}{8x + 3y^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(ax^2) + \frac{d}{dx}(2hxy) + \frac{d}{dx}(by^2) + \frac{d}{dx}(2gx) + \frac{d}{dx}(2fy) + \frac{d}{dx}(c) = 0$
ચેઈન રૂલ અને પ્રોડક્ટ રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$2ax + 2h(y + x\frac{dy}{dx}) + 2by\frac{dy}{dx} + 2g + 2f\frac{dy}{dx} = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$ax + hy + hx\frac{dy}{dx} + by\frac{dy}{dx} + g + f\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$\frac{dy}{dx}(hx + by + f) = -(ax + hy + g)$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{ax + hy + g}{hx + by + f}$

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$x^2 + y^2 = t - \frac{1}{t}$ --- $(1)$
$x^4 + y^4 = t^2 + \frac{1}{t^2}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ નો વર્ગ કરતા:
$(x^2 + y^2)^2 = (t - \frac{1}{t})^2$
$x^4 + y^4 + 2x^2y^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત આમાં મૂકતા:
$(t^2 + \frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$
$2x^2y^2 = -2$
$x^2y^2 = -1$
તેથી $y^2 = -\frac{1}{x^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^{-2})$
$2y \frac{dy}{dx} = 2x^{-3}$
$y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^3}$
બંને બાજુ $x^3$ વડે ગુણતા:
$x^3y \frac{dy}{dx} = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sin y = x \cos (a + y)$ છે.
આપણે $x$ ને $x = \frac{\sin y}{\cos (a + y)}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dy} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dy} - u \frac{dv}{dy}}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $y$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\cos (a + y) \cdot \cos y - \sin y \cdot (-\sin (a + y))}{\cos^2 (a + y)}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\cos (a + y) \cos y + \sin y \sin (a + y)}{\cos^2 (a + y)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos (A - B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\cos (a + y - y)}{\cos^2 (a + y)} = \frac{\cos a}{\cos^2 (a + y)}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{\cos^2 (a + y)}{\cos a}.$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3\sin(xy) + 4\cos(xy) = 5$ છે.
ધારો કે $u = xy$. તો $3\sin(u) + 4\cos(u) = 5$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3\cos(u) \cdot \frac{du}{dx} - 4\sin(u) \cdot \frac{du}{dx} = 0$.
$(3\cos(u) - 4\sin(u)) \cdot \frac{du}{dx} = 0$.
કારણ કે $3\sin(u) + 4\cos(u) = 5$,તેથી $3\cos(u) - 4\sin(u)$ એ દરેક $x$ માટે શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
આમ,$\frac{du}{dx} = 0$.
કારણ કે $u = xy$,તેથી $\frac{d}{dx}(xy) = 0$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $y + x \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(C) આપેલું અસ્પષ્ટ વિધેય $f(x, y) = x^2 e^y + 2xy e^x + 13 = 0$ છે.
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન શોધો:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 e^y + 2xy e^x + 13) = 2x e^y + 2y e^x + 2xy e^x = 2x e^y + 2y e^x(1 + x)$.
ત્યારબાદ,$y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન શોધો:
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 e^y + 2xy e^x + 13) = x^2 e^y + 2x e^x$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$\frac{dy}{dx} = - \frac{2x e^y + 2y e^x(1 + x)}{x^2 e^y + 2x e^x}$.
અંશ અને છેદને $x e^x$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{2x e^y}{e^x} + 2y(1 + x)}{\frac{x^2 e^y}{e^x} + 2x} = - \frac{2x e^{y-x} + 2y(x + 1)}{x(x e^{y-x} + 2)}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલું અસ્પષ્ટ વિધેય $\sin(x+y) = \log(x+y)$ છે.
ધારો કે $u = x+y$. તો સમીકરણ $\sin(u) = \log(u)$ બને છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \frac{d}{dx}(\log(u))$
$\cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$
અહીં $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x+y) = 1 + \frac{dy}{dx}$ હોવાથી:
$\cos(u) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = \frac{1}{u} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$(\cos(u) - \frac{1}{u}) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = 0$
કારણ કે $\sin(u) = \log(u)$,સામાન્ય રીતે $\cos(u) \neq \frac{1}{u}$ હોવાથી:
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\ln (x + y) = 2xy$ છે.
સૌ પ્રથમ,જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે $y$ ની કિંમત શોધો:
$\ln (0 + y) = 2(0)y \implies \ln (y) = 0 \implies y = e^0 = 1$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d}{dx} [\ln (x + y)] = \frac{d}{dx} [2xy]$
$\frac{1}{x + y} \cdot (1 + y') = 2(y + xy')$
વિકલિત સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$\frac{1}{0 + 1} \cdot (1 + y'(0)) = 2(1 + 0 \cdot y'(0))$
$1 \cdot (1 + y'(0)) = 2(1)$
$1 + y'(0) = 2$
$y'(0) = 2 - 1 = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ ${x^y} = {e^{x - y}}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$y \log x = x - y$
$y$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$y(1 + \log x) = x$
$y = \frac{x}{1 + \log x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(1 + \log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \log x - 1}{(1 + \log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(1 + \log x)^2}$
કારણ કે $1 + \log x = \log e + \log x = \log (ex)$:
$\frac{dy}{dx} = \log x \cdot [\log (ex)]^{-2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(x - y)e^{x/(x - y)} = k$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(x - y) + \frac{x}{x - y} = \ln k$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x - y}(1 - \frac{dy}{dx}) + \frac{(x - y)(1) - x(1 - \frac{dy}{dx})}{(x - y)^2} = 0$.
આખા સમીકરણને $(x - y)^2$ વડે ગુણતા:
$(x - y)(1 - \frac{dy}{dx}) + (x - y) - x(1 - \frac{dy}{dx}) = 0$.
$(x - y) - (x - y)\frac{dy}{dx} + x - y - x + x\frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને ભેગા કરતા:
$(-x + y + x)\frac{dy}{dx} + (x - y + x - y - x) = 0$.
$y\frac{dy}{dx} + x - 2y = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${2^x} + {2^y} = {2^{x + y}}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}({2^x}) + \frac{d}{dx}({2^y}) = \frac{d}{dx}({2^{x + y}})$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
${2^x} \ln 2 + {2^y} \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} = {2^{x + y}} \ln 2 \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\ln 2$ વડે ભાગતા:
${2^x} + {2^y} \frac{dy}{dx} = {2^{x + y}} + {2^{x + y}} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
${2^y} \frac{dy}{dx} - {2^{x + y}} \frac{dy}{dx} = {2^{x + y}} - {2^x}$
$\frac{dy}{dx} ({2^y} - {2^{x + y}}) = {2^{x + y}} - {2^x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{{2^{x + y}} - {2^x}}{{2^y} - {2^{x + y}}}$
આ પદને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{{2^x}({2^y} - 1)}{{2^y}(1 - {2^x})} = {2^{x - y}} \frac{{2^y} - 1}{1 - {2^x}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: ${y^x} + {x^y} = {a^b}$.
ધારો કે $u = {x^y}$ અને $v = {y^x}$.
તેથી $u + v = {a^b}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$ મળે છે.
$u = {x^y}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log u = y \log x$.
વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{du}{dx} = {x^y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) = y{x^{y - 1}} + {x^y} \log x \frac{dy}{dx}$.
$v = {y^x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log v = x \log y$.
વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1 \implies \frac{dv}{dx} = {y^x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) = x{y^{x - 1}} \frac{dy}{dx} + {y^x} \log y$.
આ કિંમતોને $\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$ માં મૂકતા:
$y{x^{y - 1}} + {x^y} \log x \frac{dy}{dx} + x{y^{x - 1}} \frac{dy}{dx} + {y^x} \log y = 0$.
$\frac{dy}{dx} ({x^y} \log x + x{y^{x - 1}}) = -(y{x^{y - 1}} + {y^x} \log y)$.
$\frac{dy}{dx} = - \frac{y{x^{y - 1}} + {y^x} \log y}{x{y^{x - 1}} + {x^y} \log x}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{\log x + \sqrt{\log x + \sqrt{\log x + \dots \infty}}}$ છે.
શ્રેણી અનંત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $y = \sqrt{\log x + y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $y^2 = \log x + y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\log x + y)$
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x(2y - 1)}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ ${x^y} = {y^x}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $y \log_e x = x \log_e y$ મળે છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y \log_e x) = \frac{d}{dx}(x \log_e y)$
$\frac{dy}{dx} \log_e x + y \cdot \frac{1}{x} = 1 \cdot \log_e y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx} \log_e x - \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} = \log_e y - \frac{y}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \log_e x - \frac{x}{y} \right) = \log_e y - \frac{y}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{y \log_e x - x}{y} \right) = \frac{x \log_e y - y}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x \log_e y - y)}{x(y \log_e x - x)}$
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y(y - x \log_e y)}{x(x - y \log_e x)}$ મળે છે.

(A) આપેલ અનંત શ્રેણી $y = x^2 + \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2 + \dots \infty}}$ માટે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રથમ $x^2$ પછી પદનું પુનરાવર્તન થાય છે.
તેથી,આપણે સમીકરણને $y = x^2 + \frac{1}{y}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા,આપણને $y^2 = x^2y + 1$ મળે છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = x^2 \frac{dy}{dx} + y(2x)$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} - x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$.
$\frac{dy}{dx}(2y - x^2) = 2xy$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{2y - x^2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${x^y} \cdot {y^x} = 1$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log({x^y} \cdot {y^x}) = \log(1)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $y \log x + x \log y = 0$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y \log x) + \frac{d}{dx}(x \log y) = 0$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx}) + (x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} (\log x + \frac{x}{y}) = - (\frac{y}{x} + \log y)$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{y \log x + x}{y}) = - (\frac{y + x \log y}{x})$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = - \frac{y(y + x \log y)}{x(x + y \log x)}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${2^x} + {2^y} = {2^{x + y}}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
${2^x} \ln(2) + {2^y} \ln(2) \frac{dy}{dx} = {2^{x + y}} \ln(2) \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)$.
$\ln(2)$ વડે ભાગતા:
${2^x} + {2^y} \frac{dy}{dx} = {2^{x + y}} + {2^{x + y}} \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx} ({2^y} - {2^{x + y}}) = {2^{x + y}} - {2^x}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{{2^{x + y}} - {2^x}}{{2^y} - {2^{x + y}}}$.
$x = 1$ અને $y = 1$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{{2^{1 + 1}} - {2^1}}{{2^1} - {2^{1 + 1}}} = \frac{{2^2} - 2}{2 - {2^2}} = \frac{4 - 2}{2 - 4} = \frac{2}{-2} = -1$.

(D) આપેલ છે કે $f''(x) - g''(x) = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f'(x) - g'(x) = c$ મળે છે,જ્યાં $c$ એક અચળાંક છે.
$x = 1$ પર,$f'(1) - g'(1) = c \implies 2 - 4 = c \implies c = -2$.
આમ,$f'(x) - g'(x) = -2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f(x) - g(x) = -2x + c_1$ મળે છે,જ્યાં $c_1$ એક અચળાંક છે.
$x = 2$ પર,$f(2) - g(2) = -2(2) + c_1 \implies 3 - 9 = -4 + c_1 \implies -6 = -4 + c_1 \implies c_1 = -2$.
તેથી,$f(x) - g(x) = -2x - 2$.
$x = 3/2$ પર,$f(3/2) - g(3/2) = -2(3/2) - 2 = -3 - 2 = -5$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2t = v^2$ છે.
$\frac{dv}{dt}$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું.
$\frac{d}{dt}(2t) = \frac{d}{dt}(v^2)$
$2 = 2v \cdot \frac{dv}{dt}$
બંને બાજુ $2v$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dv}{dt} = \frac{2}{2v} = \frac{1}{v}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x{e^{xy}} = y + {\sin ^2}x$ છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા $0 \cdot {e^0} = y + {\sin ^2}(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 0$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x{e^{xy}}) = \frac{d}{dx}(y + {\sin ^2}x)$
${e^{xy}} + x{e^{xy}} \cdot \frac{d}{dx}(xy) = \frac{dy}{dx} + 2\sin x \cos x$
${e^{xy}} + x{e^{xy}} \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) = \frac{dy}{dx} + \sin(2x)$
હવે $x = 0$ અને $y = 0$ ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
${e^0} + 0 \cdot {e^0} (0 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + \sin(0)$
$1 + 0 = \frac{dy}{dx} + 0$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 1$.

(B) આપેલ અનંત ઘાત શ્રેણી $y = x^{x^{x^{\dots\infty}}}$ છે.
ઘાતાંક અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થતો હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $y = x^y$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા,આપણને મળે $\log y = y \log x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,જમણી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - \log x) = \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y \log x}{y}) = \frac{y}{x}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x(1 - y \log x)}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${x^2} + {y^2} = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}({x^2} + {y^2}) = \frac{d}{dx}(1)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$x + y y' = 0$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y y') = 0$
$1 + (y \cdot y'' + y' \cdot y') = 0$
$1 + y y'' + (y')^2 = 0$
આમ,સંબંધ $yy'' + (y')^2 + 1 = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y \cos x + x \cos y = \pi$.
$x = 0$ માટે,$y \cos(0) + 0 \cos y = \pi$,જેનો અર્થ છે કે $y = \pi$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$-y \sin x + y' \cos x + \cos y - x \sin y \cdot y' = 0$.
$x = 0$ અને $y = \pi$ મૂકતા:
$-(\pi) \sin(0) + y'(0) \cos(0) + \cos(\pi) - 0 \sin(\pi) \cdot y'(0) = 0$.
$0 + y'(0) \cdot 1 - 1 - 0 = 0 \implies y'(0) = 1$.
હવે,પ્રથમ વિકલિતનું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$-y' \sin x - y \cos x + y'' \cos x - y' \sin x - \sin y \cdot y' - x(\cos y \cdot (y')^2 + \sin y \cdot y'') - \sin y \cdot y' = 0$.
$x = 0, y = \pi, y' = 1$ મૂકતા:
$-1 \cdot 0 - \pi \cdot 1 + y''(0) \cdot 1 - 1 \cdot 0 - 0 - 0 - 0 = 0$.
$-\pi + y''(0) = 0 \implies y''(0) = \pi$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $xy + ax - by = 0$.
બિંદુ $(1, 1)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(1)(1) + a(1) - b(1) = 0
\Rightarrow 1 + a - b = 0
\Rightarrow a - b = -1$ (સમીકરણ $1$).
હવે,વક્રનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y + a - b \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ ને કર્તા બનાવતા:
$\frac{dy}{dx} (x - b) = -(y + a)
\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x - b}$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ ઢાળ $2$ આપેલ છે:
$2 = -\frac{1 + a}{1 - b}
\Rightarrow 2(1 - b) = -(1 + a)
\Rightarrow 2 - 2b = -1 - a
\Rightarrow a - 2b = -3$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$(a - b) - (a - 2b) = -1 - (-3)
\Rightarrow a - b - a + 2b = -1 + 3
\Rightarrow b = 2$.
$b = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a - 2 = -1
\Rightarrow a = 1$.
આમ,$a = 1$ અને $b = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \cos(x + y)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx} (1 + \sin(x + y)) = -\sin(x + y)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)}$
સ્પર્શક રેખા $x + 2y = 0$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ થાય.
વિકલનને $-\frac{1}{2}$ સાથે સરખાવતા:
$-\frac{\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)} = -\frac{1}{2}$
$2\sin(x + y) = 1 + \sin(x + y)$
$\sin(x + y) = 1$
આનો અર્થ એ છે કે $x + y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણ $y = \cos(x + y)$ માં મૂકતા:
$y = \cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) = 0$.
$y = 0$ હોવાથી,$x + 0 = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,બિંદુ $(\frac{\pi}{2}, 0)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${x^{2x}} - 2{x^x}\cot y - 1 = 0$ ........$(i)$
$x = 1$ આગળ:
$1^{2(1)} - 2(1^1)\cot y - 1 = 0$
$1 - 2\cot y - 1 = 0$
$\Rightarrow \cot y = 0 \quad \therefore \quad y = \frac{\pi}{2}$
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^{2x}) - 2 \frac{d}{dx}(x^x \cot y) = 0$
$x^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x \ln x) - 2 \left[ x^x(1 + \ln x) \cot y - x^x \csc^2 y \frac{dy}{dx} \right] = 0$
$P(1, \frac{\pi}{2})$ બિંદુએ,$x = 1, y = \frac{\pi}{2}, \cot y = 0, \csc^2 y = 1, \ln 1 = 0$ મૂકતા:
$2(1)^{2}(1 + 0) - 2 \left[ 1(1 + 0)(0) - 1(1) \left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} \right] = 0$
$2 - 2 \left[ -\left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} \right] = 0$
$2 + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} = 0$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} = -1$

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |\log 2 - \sin x|$. કારણ કે $\log 2 \approx 0.693 < 1$,$x=0$ ની આસપાસ,$\sin x$ નાનું છે,તેથી $\log 2 - \sin x > 0$ થાય. આમ,$x=0$ ના સામીપ્યમાં $f(x) = \log 2 - \sin x$ છે.
તેથી $g(x) = f(f(x)) = \log 2 - \sin(f(x)) = \log 2 - \sin(\log 2 - \sin x)$.
$f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોવાથી અને વિકલનીય વિધેયોનું સંયોજન પણ વિકલનીય હોવાથી,$g(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.
હવે,$g'(x) = -\cos(\log 2 - \sin x) \cdot (-\cos x) = \cos(\log 2 - \sin x) \cdot \cos x$.
$x=0$ આગળ કિંમત મુકતા,$g'(0) = \cos(\log 2 - \sin 0) \cdot \cos 0 = \cos(\log 2) \cdot 1 = \cos(\log 2)$.

(B) આપેલ છે: ${x^2} + {y^2} = t - \frac{1}{t}$ અને ${x^4} + {y^4} = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${({x^2} + {y^2})^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: ${\left( {t - \frac{1}{t}} \right)^2} = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}} + 2{x^2}{y^2}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: ${t^2} - 2 + \frac{1}{{{t^2}}} = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}} + 2{x^2}{y^2}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $-2 = 2{x^2}{y^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે ${x^2}{y^2} = -1$,અથવા ${y^2} = -\frac{1}{{{x^2}}}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{d}{{dx}}({x^{-2}}) = -(-2){x^{-3}} = \frac{2}{{{x^3}}}$.
તેથી,$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{2}{{{x^3} \cdot 2y}} = \frac{1}{{{x^3}y}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin(xy) + \cos(xy) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\sin(xy) = -\cos(xy)$,જેનો અર્થ છે કે $\tan(xy) = -1$.
કારણ કે $\tan(xy) = -1$,તેથી $xy = n\pi - \frac{\pi}{4}$ જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(n\pi - \frac{\pi}{4})$
$y + x \frac{dy}{dx} = 0$
$x \frac{dy}{dx} = -y$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^2e^{xy} = 9e^{-3}x^2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2)e^{xy} + y^2\frac{d}{dx}(e^{xy}) = 9e^{-3}\frac{d}{dx}(x^2)$
$2y\frac{dy}{dx}e^{xy} + y^2e^{xy}\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 18e^{-3}x$
$x = -1$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$2(3)\frac{dy}{dx}e^{-3} + (3)^2e^{-3}\left(3 + (-1)\frac{dy}{dx}\right) = 18e^{-3}(-1)$
આખા સમીકરણને $e^{-3}$ વડે ભાગતા:
$6\frac{dy}{dx} + 9(3 - \frac{dy}{dx}) = -18$
$6\frac{dy}{dx} + 27 - 9\frac{dy}{dx} = -18$
$-3\frac{dy}{dx} = -18 - 27$
$-3\frac{dy}{dx} = -45$
$\frac{dy}{dx} = 15$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2^x + 2^y = 2^{x + y}$.
બંને બાજુને $2^{x+y}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2^x}{2^{x+y}} + \frac{2^y}{2^{x+y}} = 1$
$2^{-y} + 2^{-x} = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2^{-y}) + \frac{d}{dx}(2^{-x}) = \frac{d}{dx}(1)$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx}(a^u) = a^u \ln(a) \frac{du}{dx}$:
$2^{-y} \ln(2) \cdot (-\frac{dy}{dx}) + 2^{-x} \ln(2) \cdot (-1) = 0$.
$-\ln(2)$ વડે ભાગતા:
$2^{-y} \frac{dy}{dx} + 2^{-x} = 0$
$2^{-y} \frac{dy}{dx} = -2^{-x}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2^{-x}}{2^{-y}} = -\frac{2^y}{2^x}$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y - e^{xy} + x = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} - e^{xy} \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) + 1 = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદો ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} (1 - x e^{xy}) = y e^{xy} - 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y e^{xy} - 1}{1 - x e^{xy}}$.
શિરોલંબ સ્પર્શક ત્યારે મળે જ્યારે છેદ શૂન્ય હોય અને અંશ શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $\frac{dy}{dx} \to \infty$.
છેદને શૂન્ય લેતા: $1 - x e^{xy} = 0$,જેનો અર્થ છે $x e^{xy} = 1$.
મૂળ સમીકરણ $y - e^{xy} + x = 0$ પરથી,$e^{xy} = x + y$.
$e^{xy} = x + y$ ને $x e^{xy} = 1$ માં મૂકતા,આપણને $x(x + y) = 1$ મળે છે,એટલે કે $x^2 + xy = 1$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$(1, 0)$ માટે: $0 - e^0 + 1 = 0 \implies 0 - 1 + 1 = 0$ (સંતોષાય છે).
$(1, 0)$ બિંદુએ,છેદ $1 - x e^{xy} = 1 - 1 \cdot e^0 = 1 - 1 = 0$.
અંશ $y e^{xy} - 1 = 0 \cdot e^0 - 1 = -1 \neq 0$.
છેદ શૂન્ય હોવાથી અને અંશ શૂન્ય ન હોવાથી,ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે (શિરોલંબ સ્પર્શક).
આમ,વક્રને $(1, 0)$ બિંદુએ શિરોલંબ સ્પર્શક છે.

(D) આપેલ છે કે $f'(x) = \int_{0}^{f(x)} f^{-1}(t) dt$ અને $f'(0) = 1$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f''(x) = f^{-1}(f(x)) \cdot f'(x)$.
$f(x)$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવું હોવાથી,$f^{-1}(f(x)) = x$ થાય.
તેથી,$f''(x) = x f'(x)$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{f''(x)}{f'(x)} = x$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\ln|f'(x)| = \frac{x^2}{2} + C$.
$x = 0$ માટે,$f'(0) = 1$,તેથી $\ln|1| = 0 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
તેથી,$\ln|f'(x)| = \frac{x^2}{2}$,જે આપણને $f'(x) = e^{x^2/2}$ આપે છે.
$x = 1$ માટે,$f'(1) = e^{1/2} = \sqrt{e}$.