Differentiation of implicit function Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $2x \sqrt{y} + 2y \sqrt{x} = 4x \sqrt{x} + y \sqrt{y}$.
આખા સમીકરણને $x \sqrt{x}$ વડે ભાગતા:
$2 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + 2 \frac{y}{x} = 4 + \frac{y \sqrt{y}}{x \sqrt{x}}$.
ધારો કે $v = \sqrt{\frac{y}{x}}$,તેથી $v^2 = \frac{y}{x}$.
સમીકરણ $v^3 - 2v^2 - 2v + 4 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $v^2(v - 2) - 2(v - 2) = 0 \Rightarrow (v^2 - 2)(v - 2) = 0$.
$(1, 4)$ બિંદુએ,$v = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2$,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$f(\frac{y}{x}) = c$ સ્વરૂપના સમઘાત સમીકરણ માટે,વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ થાય છે.
$(1, 4)$ બિંદુએ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{1} = 4$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $xe^{xy} = y + e^{\sin 2x}$.
સૌ પ્રથમ,જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે $y$ ની કિંમત શોધો:
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $0 \cdot e^0 = y + e^{\sin 0} \implies 0 = y + e^0 \implies 0 = y + 1 \implies y = -1$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(xe^{xy}) = \frac{d}{dx}(y + e^{\sin 2x})$
$e^{xy} + x \cdot e^{xy} \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + e^{\sin 2x} \cdot \cos 2x \cdot 2$.
હવે,$x = 0$ અને $y = -1$ ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$e^{0(-1)} + 0 \cdot e^{0(-1)} \cdot (-1 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + e^{\sin 0} \cdot \cos 0 \cdot 2$
$1 + 0 = \frac{dy}{dx} + 1 \cdot 1 \cdot 2$
$1 = \frac{dy}{dx} + 2$
$\frac{dy}{dx} = 1 - 2 = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $f(x) \cdot f(f(x)) = x^2 + 1$ છે.
સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$f(1) \cdot f(f(1)) = 1^2 + 1$
$f(1) = 2$ હોવાથી,$2 \cdot f(2) = 2$,જેનો અર્થ છે કે $f(2) = 1$.
મૂળ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારનો નિયમ અને સાંકળનો નિયમ વાપરીને):
$f'(x) \cdot f(f(x)) + f(x) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(x) = 2x$.
વિકલિત સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$f'(1) \cdot f(f(1)) + f(1) \cdot f'(f(1)) \cdot f'(1) = 2(1)$.
$f(1) = 2$,$f'(1) = k$,અને $f(2) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k \cdot f(2) + 2 \cdot f'(2) \cdot k = 2$.
$f(2) = 1$ મૂકતા:
$k(1) + 2k \cdot f'(2) = 2$.
$f'(2)$ માટે ઉકેલતા:
$2k \cdot f'(2) = 2 - k$
$f'(2) = \frac{2 - k}{2k} = \frac{2}{2k} - \frac{k}{2k} = \frac{1}{k} - \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin(x + y) + \cos(2x + 2y) = \ln(3(x + y))$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને):
$\cos(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) - \sin(2x + 2y) \cdot (2 + 2\frac{dy}{dx}) = \frac{1}{3(x + y)} \cdot 3(1 + \frac{dy}{dx})$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$\cos(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) - 2\sin(2x + 2y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = \frac{1}{x + y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$.
પદોને ગોઠવતા:
$(1 + \frac{dy}{dx}) [\cos(x + y) - 2\sin(2x + 2y) - \frac{1}{x + y}] = 0$.
ચોરસ કૌંસમાં રહેલું પદ શૂન્ય નથી,તેથી:
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -1$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^3 - 3xy + 2 = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} - 3y - 3x \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 3x) = 3y$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$.
સ્પર્શક સમક્ષિતિજ હોય ત્યારે $\frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $y = 0$.
વક્રના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા: $0^3 - 3x(0) + 2 = 0 \Rightarrow 2 = 0$,જે અશક્ય છે.
તેથી,એવા કોઈ બિંદુઓ નથી જ્યાં સ્પર્શક સમક્ષિતિજ હોય,તેથી $H = \phi$.
સ્પર્શક શિરોલંબ હોય ત્યારે $\frac{dy}{dx} = \infty$,જેનો અર્થ છે કે છેદ $y^2 - x = 0$,એટલે કે $x = y^2$.
વક્રના સમીકરણમાં $x = y^2$ મૂકતા: $y^3 - 3(y^2)y + 2 = 0$
$y^3 - 3y^3 + 2 = 0$
$-2y^3 + 2 = 0 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$.
કારણ કે $x = y^2$,તેથી $x = 1^2 = 1$.
આમ,$V = \{(1, 1)\}$.

(C) આપેલ છે કે $(x - y) f(x + y) - (x + y) f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2)$.
$(x^2 - y^2) = (x+y)(x-y)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{f(x+y)}{x+y} - \frac{f(x-y)}{x-y} = 4xy$ મળે.
ધારો કે $u = x+y$ અને $v = x-y$. તો $x = \frac{u+v}{2}$ અને $y = \frac{u-v}{2}$ થાય.
તેથી $4xy = 4(\frac{u+v}{2})(\frac{u-v}{2}) = u^2 - v^2$.
આમ,$\frac{f(u)}{u} - \frac{f(v)}{v} = u^2 - v^2 \Rightarrow \frac{f(u)}{u} - u^2 = \frac{f(v)}{v} - v^2 = c$.
તેથી,$f(u) = cu + u^3$. આપેલ છે કે $f(1) = 2$,તેથી $c(1) + 1^3 = 2 \Rightarrow c = 1$.
તેથી $f(x) = x + x^3$.
અસમતા $\frac{|x^3|^{1/3}}{17} + \frac{|y^3|^{1/3}}{2} \le \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{|x|}{17} + \frac{|y|}{2} \le \frac{1}{4}$ બને છે.
આ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ (rhombus) દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(\pm \frac{17}{4}, 0)$ અને $(0, \pm \frac{1}{2})$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \text{પ્રથમ ચરણમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = 4 \times (\frac{1}{2} \times \frac{17}{4} \times \frac{1}{2}) = \frac{17}{4}$.
કારણ કે $f(4) = 4 + 4^3 = 68$,તેથી $\frac{f(4)}{16} = \frac{68}{16} = \frac{17}{4}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{f(4)}{16}$ છે.

(B) આપેલ સંબંધ: $4x{e^{xy}} = y + 5{\sin ^2}x$.
સૌ પ્રથમ,$x=0$ આગળ $y$ ની કિંમત શોધો.
સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા: $4(0){e^{0}} = y + 5{\sin ^2}(0) \implies 0 = y + 0 \implies y(0) = 0$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(4x{e^{xy}}) = \frac{d}{dx}(y + 5{\sin ^2}x)$
$4{e^{xy}} + 4x{e^{xy}}(y + x y') = y' + 10\sin x \cos x$.
વિકલિત સમીકરણમાં $x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$4{e^{0}} + 4(0){e^{0}}(0 + 0 \cdot y'(0)) = y'(0) + 10\sin(0)\cos(0)$.
$4(1) + 0 = y'(0) + 0$.
તેથી,$y'(0) = 4$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\ln \left( {(e - 1){e^{xy}} + {x^2}} \right) = {x^2} + {y^2}$.
પ્રથમ,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{(e - 1){e^{xy}} + {x^2}} \cdot \left( {(e - 1){e^{xy}} \cdot \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) + 2x} \right) = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$.
હવે,બિંદુ $(x, y) = (1, 0)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 1, y = 0$ માટે,લઘુગણકની અંદરનું પદ $(e - 1){e^0} + 1^2 = e - 1 + 1 = e$ થાય છે.
તેથી,$\ln(e) = 1^2 + 0^2 = 1$,જે સુસંગત છે.
વિકલિત સમીકરણમાં $(1, 0)$ મૂકતા:
$\frac{1}{e} \cdot \left( {(e - 1){e^0} \cdot \left( 0 + 1 \cdot \frac{dy}{dx} \right) + 2(1)} \right) = 2(1) + 2(0) \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{1}{e} \cdot \left( {(e - 1) \frac{dy}{dx} + 2} \right) = 2$.
$(e - 1) \frac{dy}{dx} + 2 = 2e$.
$(e - 1) \frac{dy}{dx} = 2e - 2$.
$(e - 1) \frac{dy}{dx} = 2(e - 1)$.
આમ,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,0)} = 2$.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ: $f(x + 2y) = 2yf(x) + xf(y) - 3xy + 1$.
$x = 0$ અને $y = 0$ લેતા,$f(0) = 0 + 0 - 0 + 1$,તેથી $f(0) = 1$.
$f'(x)$ શોધવા માટે,આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા ($y$ અચળ રાખીને):
$f'(x + 2y) = 2yf'(x) + f(y) - 3y$.
આ વિકલિત સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$f'(2y) = 2yf'(0) + f(y) - 3y$.
$f'(0) = 1$ હોવાથી,$f'(2y) = 2y(1) + f(y) - 3y = f(y) - y$.
હવે,મૂળ સમીકરણનું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા ($x$ અચળ રાખીને):
$2f'(x + 2y) = 2f(x) + xf'(y) - 3x$.
$y = 0$ મૂકતા:
$2f'(x) = 2f(x) + xf'(0) - 3x$.
$f'(0) = 1$ હોવાથી,$2f'(x) = 2f(x) + x - 3x$,જેનું સાદું રૂપ $2f'(x) = 2f(x) - 2x$ અથવા $f'(x) - f(x) = -x$ થાય છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
સમીકરણને $e^{-x}$ વડે ગુણતા: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = -x e^{-x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $f(x) e^{-x} = x e^{-x} + e^{-x} + C$.
$f(x) = x + 1 + Ce^x$.
$f(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 = 0 + 1 + C(1) \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$f(x) = x + 1$.
આમ,$f(2) = 2 + 1 = 3$.

(A) આપેલ છે કે $f'(x) = f^2(x)$ અને $f(0) = 0$.
જો $f(x)$ એ શૂન્ય વિધેય ન હોય,તો $\frac{f'(x)}{f^2(x)} = 1$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$-\frac{1}{f(x)} = x + c$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = -\frac{1}{x+c}$.
પરંતુ,$f(0) = 0$ હોવાથી $-\frac{1}{c} = 0$ થાય,જે શક્ય નથી.
આમ,$f(0) = 0$ અને $f'(x) = f^2(x)$ ને સંતોષતું એકમાત્ર વિકલનીય વિધેય $f(x) = 0$ છે.
જો $f(x) = 0$ હોય,તો $f'(x) = 0$ અને $f''(x) = 0$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \to 2} (f(x) + xf'(x) + x^2f''(x)) = 0 + 2(0) + 4(0) = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,$A$ અને $B$ બંને $0$ આપે છે,તેથી $A$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = x^{x^{x...\infty}}$ છે.
ઘાતાંક અનંત હોવાથી,આપણે $y = x^y$ લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\log y = \log(x^y) = y \log x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} \log x + y \cdot \frac{1}{x}$ મળે છે.
આખા સમીકરણને $xy$ વડે ગુણતા,$x \frac{dy}{dx} = xy \log x \frac{dy}{dx} + y^2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$x \frac{dy}{dx} - xy \log x \frac{dy}{dx} = y^2$ મળે છે.
$x \frac{dy}{dx}$ સામાન્ય કાઢતા,$x \frac{dy}{dx} (1 - y \log x) = y^2$ મળે છે.
આમ,$x (1 - y \log x) \frac{dy}{dx} = y^2$ થાય છે.

(A) આપેલું સમીકરણ $F(x, y) = {x^2}{e^y} + 2xy{e^x} + 13 = 0$ છે.
અસ્પષ્ટ વિધેયના વિકલન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x{e^y} + 2y{e^x} + 2xy{e^x}$.
ત્યારબાદ,$y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial F}{\partial y} = {x^2}{e^y} + 2x{e^x}$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x{e^y} + 2y{e^x} + 2xy{e^x}}{{x^2}{e^y} + 2x{e^x}}$.
અંશ અને છેદને ${e^x}$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x{e^{y-x}} + 2y + 2xy}{{x^2}{e^{y-x}} + 2x}$.
અંશમાંથી $2$ અને છેદમાંથી $x$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(x{e^{y-x}} + y(1+x))}{x(x{e^{y-x}} + 2)}$.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આપેલ અનંત શ્રેણી $y = x^2 + \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2 + \dots \infty}}$ છે.
શ્રેણી અનંત હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પદનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી આપણે લખી શકીએ: $y = x^2 + \frac{1}{y}$.
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $y^2 = x^2 y + 1$.
હવે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = (x^2 \frac{dy}{dx} + y \cdot 2x) + 0$.
$\frac{dy}{dx}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$2y \frac{dy}{dx} - x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$.
$\frac{dy}{dx} (2y - x^2) = 2xy$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{2y - x^2}$.

(A) આપેલ અસમતા $f'(x) \cos x \le f(x) \sin x$ છે,જ્યાં $x \ge 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે $f'(x) \cos x - f(x) \sin x \le 0$.
આ પદ એ $f(x) \cos x$ ના વિકલનનું સ્વરૂપ છે,એટલે કે $\frac{d}{dx}(f(x) \cos x) \le 0$.
ધારો કે $g(x) = f(x) \cos x$. કારણ કે $g'(x) \le 0$,તેથી વિધેય $g(x)$ એ $x \ge 0$ માટે ઘટતું વિધેય છે.
$x \in [0, \pi/2]$ માટે,$\cos x \ge 0$ છે. જેમ $x$ એ $\pi/2$ ની નજીક પહોંચે,તેમ $g(x) = f(x) \cos x$ અ-ઋણ રહેવું જોઈએ કારણ કે $f(x) \ge 0$ અને $\cos x \ge 0$ છે.
જોકે,$x = \pi/2$ પર,$g(\pi/2) = f(\pi/2) \cdot 0 = 0$ થાય છે.
કારણ કે $g(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે અને $x \in [0, \pi/2]$ માટે $g(x) \ge 0$ છે,અને $g(\pi/2) = 0$ છે,તેનો અર્થ એ કે $x \ge \pi/2$ માટે $g(x) = 0$ થાય.
તેથી,$f(2\pi) \cos(2\pi) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(2\pi) \cdot 1 = 0$,એટલે કે $f(2\pi) = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x \ln(\ln x) - x^2 + y^2 = 4$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[x \ln(\ln x)] - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4)$
પ્રથમ પદ માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા: $1 \cdot \ln(\ln x) + x \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$x = e$ મૂકતા,$\ln(\ln e) = \ln(1) = 0$ અને $\ln e = 1$:
$0 + \frac{1}{1} - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$1 - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2y}$
હવે,મૂળ સમીકરણમાં $x = e$ મૂકીને $y$ ની કિંમત શોધો:
$e \ln(\ln e) - e^2 + y^2 = 4$
$e(0) - e^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 4 + e^2 \implies y = \sqrt{4 + e^2}$ (કારણ કે $y > 0$)
$y$ ની કિંમત $\frac{dy}{dx}$ ના પદમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2\sqrt{4 + e^2}}$

(C) આપેલ સમીકરણ ${e^y} + xy = e$ છે.
$x = 0$ આગળ,${e^y} + 0 = e \implies {e^y} = e \implies y = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
${e^y} \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$.
$(0, 1)$ બિંદુએ,${e^1} \frac{dy}{dx} + 0 + 1 = 0 \implies e \frac{dy}{dx} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$.
હવે,${e^y} \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
${e^y} \frac{d^2y}{dx^2} + {e^y} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 0$.
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ મૂકતા:
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left( -\frac{1}{e} \right)^2 + 0 + 2 \left( -\frac{1}{e} \right) = 0$.
$e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$.
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $\left( -\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2} \right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $x = \sin \theta$ અને $y = \sin \alpha$.
આપેલ સમીકરણ $y \sqrt{1-x^{2}} = k - x \sqrt{1-y^{2}}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\sin \alpha \cos \theta = k - \sin \theta \cos \alpha$
$\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta = k$
$\sin(\alpha + \theta) = k$
$\alpha + \theta = \sin^{-1} k$
પાછી કિંમત મૂકતા,$\sin^{-1} y + \sin^{-1} x = \sin^{-1} k$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = 0$
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y = -\frac{1}{4}$.
$\sqrt{1-x^{2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sqrt{1-y^{2}} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}/2} + \frac{1}{\sqrt{15}/4} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{15}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{k}+y^{k}=a^{k}$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$k x^{k-1} + k y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
$k$ વડે ભાગતા ($k > 0$ હોવાથી):
$x^{k-1} + y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{k-1}}{y^{k-1}} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{k-1}$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{3}}$.
$\frac{dy}{dx}$ માટેના બંને પદોની સરખામણી કરતા:
$-\left(\frac{x}{y}\right)^{k-1} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{3}}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$k - 1 = -\frac{1}{3}$.
$k$ માટે ઉકેલતા:
$k = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y+\sin y=\cos x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(\sin y) = \frac{d}{dx}(\cos x)$
$\frac{d}{dx}(\sin y)$ માટે સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} + \cos y \cdot \frac{dy}{dx} = -\sin x$
$\frac{dy}{dx}$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{dy}{dx}(1 + \cos y) = -\sin x$
તેથી,વિકલિત:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin x}{1+\cos y}$
જ્યાં $y \neq (2n+1)\pi$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2x + 3y = \sin x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x + 3y) = \frac{d}{dx}(\sin x)$
સરવાળાના નિયમ અને વિકલનના નિયમો લાગુ પાડતા:
$\frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3y) = \cos x$
$2 + 3 \frac{dy}{dx} = \cos x$
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા:
$3 \frac{dy}{dx} = \cos x - 2$
$3$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x - 2}{3}$

(A) આપેલ સમીકરણ $2x + 3y = \sin y$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3y) = \frac{d}{dx}(\sin y)$
$2 + 3 \frac{dy}{dx} = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx} - 3 \frac{dy}{dx}$
$2 = (\cos y - 3) \frac{dy}{dx}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\cos y - 3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax + by^2 = \cos y$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(ax) + \frac{d}{dx}(by^2) = \frac{d}{dx}(\cos y)$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$a + b(2y \frac{dy}{dx}) = -\sin y \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$a = -\sin y \frac{dy}{dx} - 2by \frac{dy}{dx}$
$a = -\frac{dy}{dx}(2by + \sin y)$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{-a}{2by + \sin y}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $xy + y^2 = \tan x + y$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(xy + y^2) = \frac{d}{dx}(\tan x + y)$
$xy$ માટે ગુણાકારનો નિયમ અને $y^2$ માટે સાંકળનો નિયમ વાપરતા:
$y \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx}$
$y + x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sec^2 x - y$
$(x + 2y - 1) \frac{dy}{dx} = \sec^2 x - y$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 x - y}{x + 2y - 1}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+xy+y^{2}=100$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^{2}+xy+y^{2}) = \frac{d}{dx}(100)$
સરવાળાના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^{2}) = 0$
$xy$ માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$2x + (y \cdot 1 + x \cdot \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$2x + y + (x + 2y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ ને કર્તા બનાવતા:
$(x + 2y) \frac{dy}{dx} = -(2x + y)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+y}{x+2y}$

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=81$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}) = \frac{d}{dx}(81)$
સરવાળા અને ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(x^{2}y) + \frac{d}{dx}(xy^{2}) + \frac{d}{dx}(y^{3}) = 0$
$3x^{2} + (x^{2}\frac{dy}{dx} + y(2x)) + (x(2y\frac{dy}{dx}) + y^{2}(1)) + 3y^{2}\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$(x^{2} + 2xy + 3y^{2})\frac{dy}{dx} + (3x^{2} + 2xy + y^{2}) = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-(3x^{2} + 2xy + y^{2})}{x^{2} + 2xy + 3y^{2}}$

(A) આપેલ સંબંધ $\sin^{2} y + \cos(xy) = \pi$ છે.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dy}(\sin^{2} y) + \frac{d}{dy}(\cos(xy)) = \frac{d}{dy}(\pi)$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dy}(\sin^{2} y) = 2 \sin y \cos y \frac{dy}{dy} = \sin(2y)$.
બીજા પદ માટે:
$\frac{d}{dy}(\cos(xy)) = -\sin(xy) \cdot \frac{d}{dy}(xy) = -\sin(xy) \cdot (x + y \frac{dx}{dy})$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin(2y) - \sin(xy) \cdot (x + y \frac{dx}{dy}) = 0$.
$\frac{dx}{dy}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\sin(2y) - x \sin(xy) - y \sin(xy) \frac{dx}{dy} = 0$.
$y \sin(xy) \frac{dx}{dy} = \sin(2y) - x \sin(xy)$.
તેથી,$\frac{dx}{dy} = \frac{\sin(2y) - x \sin(xy)}{y \sin(xy)}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin^{2} x + \cos^{2} y = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin^{2} x) + \frac{d}{dx}(\cos^{2} y) = \frac{d}{dx}(1)$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin x \cos x + 2 \cos y (-\sin y) \frac{dy}{dx} = 0$
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2x - \sin 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\sin 2y \frac{dy}{dx} = \sin 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{\sin 2y}$

(A) આપેલ છે કે $y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b}$.
ધારો કે $u=y^{x}, v=x^{y}$ અને $w=x^{x}$,તેથી $u+v+w=a^{b}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}+\frac{dw}{dx}=0$ ... $(1)$.
$u=y^{x}$ માટે,બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log u = x \log y$.
વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1 \implies \frac{du}{dx} = y^{x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right)$ ... $(2)$.
$v=x^{y}$ માટે,બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log v = y \log x$.
વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dv}{dx} = x^{y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right)$ ... $(3)$.
$w=x^{x}$ માટે,બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log w = x \log x$.
વિકલન કરતા: $\frac{1}{w} \frac{dw}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 \implies \frac{dw}{dx} = x^{x}(1 + \log x)$ ... $(4)$.
$(2), (3), (4)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$y^{x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) + x^{y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) + x^{x}(1 + \log x) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને અલગ કરતા: $\frac{dy}{dx} (x \cdot y^{x-1} + x^{y} \log x) = -[y^{x} \log y + y \cdot x^{y-1} + x^{x}(1 + \log x)]$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{-[y^{x} \log y + y \cdot x^{y-1} + x^{x}(1 + \log x)]}{x \cdot y^{x-1} + x^{y} \log x}$.

(A) આપેલ વિધેય $x^{y} + y^{x} = 1$ છે.
ધારો કે $u = x^{y}$ અને $v = y^{x}$.
તેથી સમીકરણ $u + v = 1$ બને છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$ $(1)$.
$u = x^{y}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log u = y \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx}$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = x^{y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) = y x^{y-1} + x^{y} \log x \frac{dy}{dx}$ $(2)$.
$v = y^{x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log v = x \log y$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1$.
તેથી,$\frac{dv}{dx} = y^{x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) = x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^{x} \log y$ $(3)$.
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$y x^{y-1} + x^{y} \log x \frac{dy}{dx} + x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^{x} \log y = 0$.
$\frac{dy}{dx} (x^{y} \log x + x y^{x-1}) = -(y x^{y-1} + y^{x} \log y)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y x^{y-1} + y^{x} \log y}{x^{y} \log x + x y^{x-1}}$.

(A) આપેલ વિધેય $y^{x} = x^{y}$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને મળે:
$x \log y = y \log x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\log y \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\log y) = \log x \cdot \frac{d}{dx}(y) + y \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\log y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \log x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{x}{y} \frac{dy}{dx} - \log x \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \log y$
$\left( \frac{x}{y} - \log x \right) \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \log y$
$\left( \frac{x - y \log x}{y} \right) \frac{dy}{dx} = \frac{y - x \log y}{x}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left( \frac{y - x \log y}{x - y \log x} \right)$.

(A) આપેલ વિધેય $xy = e^{(x-y)}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(xy) = \ln(e^{(x-y)})$
$\ln x + \ln y = (x - y) \ln e$
કારણ કે $\ln e = 1$,તેથી:
$\ln x + \ln y = x - y$
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{1+y}{y}\right) = \frac{x-1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x-1)}{x(y+1)}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{dx}(y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{dx}(a^{\frac{2}{3}})$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}}$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} = -\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $x \sqrt{1+y} + y \sqrt{1+x} = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2(1+y) = y^2(1+x)$
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
ફરીથી ગોઠવતા: $x^2 - y^2 = xy^2 - x^2y$
અવયવ પાડતા: $(x-y)(x+y) = -xy(x-y)$
અહીં $x \neq y$ હોવાથી,આપણે $(x-y)$ વડે ભાગી શકીએ:
$x+y = -xy$
$y + xy = -x$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} \right]$
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{1+x-x}{(1+x)^2} \right] = -\frac{1}{(1+x)^2}$
આમ,સાબિત થાય છે.

આપેલ છે કે,$\cos y = x \cos (a+y)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\cos y) = \frac{d}{dx}(x \cos (a+y))$
ચેઈન રૂલ અને પ્રોડક્ટ રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$-\sin y \frac{dy}{dx} = \cos (a+y) \cdot (1) + x \cdot (-\sin (a+y)) \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$x \sin (a+y) \frac{dy}{dx} - \sin y \frac{dy}{dx} = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} [x \sin (a+y) - \sin y] = \cos (a+y) \quad \dots(1)$
મૂળ સમીકરણ પરથી,$x = \frac{\cos y}{\cos (a+y)}$. આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\cos y}{\cos (a+y)} \sin (a+y) - \sin y \right] = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\cos y \sin (a+y) - \sin y \cos (a+y)}{\cos (a+y)} \right] = \cos (a+y)$
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin(a+y-y)}{\cos (a+y)} \right] = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin a}{\cos (a+y)} \right] = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 (a+y)}{\sin a}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=(1+x)^{2y}+\cos^{2}(\sin^{-1} x)$ છે.
$x=0$ આગળ,$y=(1+0)^{2y}+\cos^{2}(\sin^{-1} 0) = 1+1 = 2$.
તેથી,આપણે બિંદુ $(0, 2)$ આગળ અભિલંબ શોધવાનો છે.
સમીકરણને $y=e^{2y \ln(1+x)} + (1-x^2)$ તરીકે ફરીથી લખતા.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = e^{2y \ln(1+x)} \left[ 2y \cdot \frac{1}{1+x} + \ln(1+x) \cdot 2y' \right] - 2x$.
$x=0$ અને $y=2$ મૂકતા:
$y' = e^{2(2) \ln(1)} \left[ 2(2) \cdot \frac{1}{1+0} + \ln(1) \cdot 2y' \right] - 2(0)$.
$y' = e^0 [4 + 0] - 0 = 4$.
આમ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 4$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{4}$ થાય.
બિંદુ $(0, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 0)$ છે.
$4y - 8 = -x$,જેનું સાદું રૂપ $x + 4y = 8$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y^{2}+\ln(\cos^{2}x) = y$ જ્યાં $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
$x=0$ માટે,$\cos^{2}(0) = 1$,તેથી $\ln(1) = 0$. સમીકરણ $y^{2} = y$ બને છે,જેનો અર્થ છે $y(y-1) = 0$,તેથી $y=0$ અથવા $y=1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2yy^{\prime} + \frac{1}{\cos^{2}x} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) = y^{\prime}$.
સાદું રૂપ આપતા: $2yy^{\prime} - 2\tan x = y^{\prime}$.
$x=0$ આગળ,$y=0$ અને $y=1$ બંને માટે,આપણને $2y(0) - 2(0) = y^{\prime}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $y^{\prime}(0) = 0$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $2y y^{\prime \prime} + 2(y^{\prime})^{2} - 2\sec^{2}x = y^{\prime \prime}$.
$x=0$ અને $y^{\prime}(0)=0$ આગળ: $2y y^{\prime \prime} + 0 - 2(1) = y^{\prime \prime}$.
જો $y=0$ હોય,તો $0 - 2 = y^{\prime \prime} \implies y^{\prime \prime}(0) = -2$.
જો $y=1$ હોય,તો $2y^{\prime \prime} - 2 = y^{\prime \prime} \implies y^{\prime \prime}(0) = 2$.
બંને કિસ્સામાં,$|y^{\prime \prime}(0)| = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ લક્ષ $L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2} f^{2}(x) - x^{2} f^{2}(t)}{t - x} = 0$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા:
$L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{2t f^{2}(x) - x^{2} \cdot 2f(t) f'(t)}{1} = 0$.
$t = x$ મૂકતા:
$2x f^{2}(x) - 2x^{2} f(x) f'(x) = 0$.
$2x f(x)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x > 0$ અને $f(x) > 0$):
$f(x) - x f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{x} dx \Rightarrow \ln|f(x)| = \ln|x| + C$.
$f(x) > 0$ અને $x > 0$ હોવાથી,$f(x) = Cx$.
$f(1) = e$ શરતનો ઉપયોગ કરતા:
$e = C(1) \Rightarrow C = e$.
આમ,$f(x) = ex$.
જો $f(x) = 1$ હોય,તો $ex = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{e}$.

(D) આપેલ છે કે $\log _{e}(x+y)=4 x y$. $x=0$ આગળ,$\log _{e}(y)=0$,જેનો અર્થ છે કે $y=1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x+y} \left(1+\frac{d y}{d x}\right) = 4y + 4x \frac{d y}{d x}$.
$x=0$ અને $y=1$ મુકતા:
$\frac{1}{1} \left(1+\frac{d y}{d x}\right) = 4(1) + 4(0) \frac{d y}{d x} \Rightarrow 1+\frac{d y}{d x} = 4 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 3$.
હવે,$1+\frac{d y}{d x} = (x+y)(4y + 4x \frac{d y}{d x})$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (1+\frac{d y}{d x})(4y + 4x \frac{d y}{d x}) + (x+y)(4 \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 4x \frac{d^{2} y}{d x^{2}})$.
$x=0, y=1, \frac{d y}{d x}=3$ મુકતા:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (1+3)(4(1) + 0) + (0+1)(4(3) + 4(3) + 0)$.
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (4)(4) + (1)(24) = 16 + 24 = 40$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\int_{0}^{x} \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^{2}} \,d t=\int_{0}^{x} f(t) \,d t$ છે,જ્યાં $0 \leq x \leq 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}=f(x)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1-\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=f^{2}(x)$
$\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} = 1 - f^{2}(x)$
$f^{\prime}(x) = \sqrt{1 - f^{2}(x)}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{1-f^{2}(x)}}=1$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\sin^{-1}(f(x)) = x + C$
$f(0)=0$ હોવાથી,$\sin^{-1}(0) = 0 + C$,એટલે કે $C=0$.
તેથી,$f(x) = \sin(x)$.
હવે,લક્ષની કિંમત મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} \sin(t) \,dt = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{[-\cos(t)]_{0}^{x}}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જવાબ $\frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્ર $C: (x^{2}+y^{2}-3)+(x^{2}-y^{2}-1)^{5}=0$ છે.
બિંદુ $(\alpha, \alpha)$ એ $C$ પર હોવાથી,$x=\alpha$ અને $y=\alpha$ મૂકતા:
$(\alpha^{2}+\alpha^{2}-3)+(\alpha^{2}-\alpha^{2}-1)^{5}=0$
$(2\alpha^{2}-3)+(-1)^{5}=0$
$2\alpha^{2}-3-1=0 \Rightarrow 2\alpha^{2}=4 \Rightarrow \alpha^{2}=2$. $\alpha > 0$ હોવાથી,$\alpha = \sqrt{2}$.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2yy^{\prime} + 5(x^{2}-y^{2}-1)^{4}(2x - 2yy^{\prime}) = 0$.
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ આગળ:
$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime} + 5(-1)^{4}(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime}) = 0$
$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{2}y^{\prime} = 0$
$12\sqrt{2} - 8\sqrt{2}y^{\prime} = 0 \Rightarrow y^{\prime} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
ફરીથી વિકલન કરતા:
$2 + 2(y^{\prime})^{2} + 2yy^{\prime\prime} + 5[4(x^{2}-y^{2}-1)^{3}(2x-2yy^{\prime})^{2} + (x^{2}-y^{2}-1)^{4}(2-2(y^{\prime})^{2}-2yy^{\prime\prime})] = 0$.
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ અને $y^{\prime} = \frac{3}{2}$ આગળ:
$2 + 2(\frac{9}{4}) + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[4(-1)^{3}(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}(\frac{3}{2}))^{2} + (-1)^{4}(2-2(\frac{9}{4})-2\sqrt{2}y^{\prime\prime})] = 0$
$2 + \frac{9}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[-4(-\sqrt{2})^{2} + (2 - \frac{9}{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime\prime})] = 0$
$\frac{13}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[-8 - \frac{5}{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime\prime}] = 0$
$\frac{13}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} - 40 - \frac{25}{2} - 10\sqrt{2}y^{\prime\prime} = 0$
$-8\sqrt{2}y^{\prime\prime} = 40 + \frac{25-13}{2} = 40 + 6 = 46 \Rightarrow y^{\prime\prime} = -\frac{46}{8\sqrt{2}} = -\frac{23}{4\sqrt{2}}$.
હવે,$3y^{\prime} - y^{3}y^{\prime\prime} = 3(\frac{3}{2}) - (\sqrt{2})^{3}(-\frac{23}{4\sqrt{2}}) = \frac{9}{2} - (2\sqrt{2})(-\frac{23}{4\sqrt{2}}) = \frac{9}{2} + \frac{23}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^y + 3y^x = 20$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^y) + \frac{d}{dx}(3y^x) = 0$.
$\frac{d}{dx}(a^b) = a^b \frac{d}{dx}(b \ln a)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2x^y \left(\frac{y}{x} + \ln x \cdot \frac{dy}{dx}\right) + 3y^x \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \ln y\right) = 0$.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ,$x=2$ અને $y=2$ મુકતા:
$2(2^2) \left(\frac{2}{2} + \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx}\right) + 3(2^2) \left(\frac{2}{2} \cdot \frac{dy}{dx} + \ln 2\right) = 0$.
$8(1 + \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx}) + 12(\frac{dy}{dx} + \ln 2) = 0$.
$8 + 8 \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} + 12 \frac{dy}{dx} + 12 \ln 2 = 0$.
$\frac{dy}{dx} (12 + 8 \ln 2) = -(8 + 12 \ln 2)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{8 + 12 \ln 2}{12 + 8 \ln 2} = -\frac{2 + 3 \ln 2}{3 + 2 \ln 2}$.
$3 \ln 2 = \ln 8$ અને $2 \ln 2 = \ln 4$ હોવાથી:
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{2 + \log_e 8}{3 + \log_e 4}\right)$.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=x^5+2x^3+3x+1$.
પ્રથમ,આપણે વિકલન મેળવીએ $f^{\prime}(x) = 5x^4+6x^2+3$.
આપણને આપેલ છે કે $g(f(x))=x$. સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$ મળે છે.
$g(7)$ અને $g^{\prime}(7)$ શોધવા માટે,આપણે $f(x)=7$ લઈએ:
$x^5+2x^3+3x+1=7 \Rightarrow x^5+2x^3+3x-6=0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $1+2+3-6=0$.
આમ,$f(1)=7$,જેનો અર્થ છે કે $g(7)=1$.
હવે,$x=1$ ને વિકલિત સમીકરણ $g^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) = 1$ માં મૂકતા:
$g^{\prime}(7) \cdot f^{\prime}(1) = 1$.
આપણે $f^{\prime}(1) = 5(1)^4+6(1)^2+3 = 5+6+3 = 14$ ગણીએ છીએ.
તેથી,$g^{\prime}(7) = \frac{1}{f^{\prime}(1)} = \frac{1}{14}$.
અંતે,$\frac{g(7)}{g^{\prime}(7)} = \frac{1}{1/14} = 14$.

(A, D, B) $1.$ આપેલ સમીકરણ $y^3-3y+x=0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $3y^2y^{\prime}-3y^{\prime}+1=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $y^{\prime} = \frac{-1}{3(y^2-1)}$.
$x = -10\sqrt{2}$ પર,$y = 2\sqrt{2}$,તેથી $y^{\prime} = \frac{-1}{3((2\sqrt{2})^2-1)} = \frac{-1}{3(8-1)} = -\frac{1}{21}$.
$3y^2y^{\prime}-3y^{\prime}+1=0$ નું ફરીથી વિકલન કરતા,આપણને $6yy^{\prime 2} + 3y^2y^{\prime\prime} - 3y^{\prime\prime} = 0$ મળે છે.
$y^{\prime\prime}(3y^2-3) = -6yy^{\prime 2} \Rightarrow y^{\prime\prime} = \frac{-2yy^{\prime 2}}{y^2-1}$.
$y=2\sqrt{2}$ અને $y^{\prime}=-\frac{1}{21}$ મૂકતા,આપણને $f^{\prime\prime}(-10\sqrt{2}) = \frac{-2(2\sqrt{2})(-1/21)^2}{8-1} = \frac{-4\sqrt{2}}{7 \times 441} = -\frac{4\sqrt{2}}{7^3 \times 3^2}$ મળે છે.
$2.$ ક્ષેત્રફળ $\int_a^b |f(x)| dx$ છે. કારણ કે $x < -2$ માટે $f(x) < -2$,ક્ષેત્રફળ $-\int_a^b f(x) dx$ છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int f(x) dx = xf(x) - \int xf^{\prime}(x) dx$.
કારણ કે $f^{\prime}(x) = \frac{-1}{3(f(x)^2-1)}$,સંકલન $bf(b)-af(a) - \int_a^b x \left(\frac{-1}{3(f(x)^2-1)}\right) dx = bf(b)-af(a) + \int_a^b \frac{x}{3(f(x)^2-1)} dx$ છે.
ક્ષેત્રફળ $-\int_a^b f(x) dx = -bf(b)+af(a) - \int_a^b \frac{x}{3(f(x)^2-1)} dx$ છે.
$3.$ $\int_{-1}^1 g^{\prime}(x) dx = g(1) - g(-1)$.
કારણ કે $g(x)^3 - 3g(x) + x = 0$,$g(-x)^3 - 3g(-x) - x = 0$. ધારો કે $h(x) = -g(-x)$,તો $(-h(x))^3 - 3(-h(x)) - x = 0 \Rightarrow -h(x)^3 + 3h(x) - x = 0 \Rightarrow h(x)^3 - 3h(x) + x = 0$.
આમ $g(x) = -g(-x)$,તેથી $g$ એક અયુગ્મ વિધેય છે. $g(-1) = -g(1)$.
તેથી,$g(1) - g(-1) = g(1) - (-g(1)) = 2g(1)$.

(D) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = e^{f(x)} e^{-g(x)} g^{\prime}(x)$.
$e^{f(x)}$ વડે ભાગતા,આપણને $e^{-f(x)} f^{\prime}(x) = e^{-g(x)} g^{\prime}(x)$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\int e^{-f(x)} f^{\prime}(x) dx = \int e^{-g(x)} g^{\prime}(x) dx$ મળે છે.
આનાથી $-e^{-f(x)} = -e^{-g(x)} + C$,અથવા $e^{-g(x)} - e^{-f(x)} = C$ મળે છે.
શરત $f(1) = 1$ અને $g(2) = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અચળાંક $C$ ની કિંમત શોધીએ છીએ.
કારણ કે $e^{-g(x)} - e^{-f(x)} = C$ તમામ $x$ માટે સાચું છે,તેથી $e^{-g(1)} - e^{-f(1)} = e^{-g(2)} - e^{-f(2)}$.
આપેલ કિંમતો $f(1) = 1$ અને $g(2) = 1$ મૂકતા,આપણને $e^{-g(1)} - e^{-1} = e^{-1} - e^{-f(2)}$ મળે છે.
ગોઠવતા $e^{-f(2)} + e^{-g(1)} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}$ મળે છે.
કારણ કે $e^{-f(2)} > 0$ અને $e^{-g(1)} > 0$,તેથી $e^{-f(2)} < \frac{2}{e}$ અને $e^{-g(1)} < \frac{2}{e}$ હોવું જોઈએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$-f(2) < \ln(2) - 1$,જેનો અર્થ છે કે $f(2) > 1 - \ln(2)$.
તે જ રીતે,$-g(1) < \ln(2) - 1$,જેનો અર્થ છે કે $g(1) > 1 - \ln(2)$.
આમ,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(A) આપેલ છે કે $\int_0^1 f(\lambda x) d\lambda = a f(x)$.
ધારો કે $\lambda x = t$,તેથી $d\lambda = \frac{1}{x} dt$.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt = a f(x)$,જે સૂચવે છે કે $\int_0^x f(t) dt = a x f(x)$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f(x) = a(f(x) + x f^{\prime}(x))$.
પદો ગોઠવતા $(1 - a) f(x) = a x f^{\prime}(x)$ મળે,તેથી $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|f(x)| = \frac{1 - a}{a} \ln x + C$.
$f(1) = 1$ હોવાથી,$C = 0$ મળે,તેથી $f(x) = x^{\frac{1-a}{a}}$.
$f(16) = \frac{1}{8}$ આપેલ છે,તેથી $16^{\frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$.
$16 = 2^4$ હોવાથી,$2^{4 \cdot \frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$,તેથી $\frac{4(1-a)}{a} = -3$.
$4 - 4a = -3a \Rightarrow a = 4$.
આમ,$f(x) = x^{\frac{1-4}{4}} = x^{-3/4}$.
તેથી $f^{\prime}(x) = -\frac{3}{4} x^{-7/4}$.
$f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{3}{4} \left(2^{-4}\right)^{-7/4} = -\frac{3}{4} \cdot 2^7 = -\frac{3}{4} \cdot 128 = -3 \cdot 32 = -96$.
તેથી,$16 - f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = 16 - (-96) = 112$.

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime\prime}(x) = f(x)$. બંને બાજુ $f^{\prime}(x)$ વડે ગુણતા,આપણને $f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\frac{1}{2}(f^{\prime}(x))^2 = \frac{1}{2}(f(x))^2 + C$ મળે છે.
શરૂઆતની શરતો $f(0) = 0$ અને $f^{\prime}(0) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2}(3)^2 = \frac{1}{2}(0)^2 + C$,તેથી $C = \frac{9}{2}$ મળે છે.
આમ,$(f^{\prime}(x))^2 = (f(x))^2 + 9$. કારણ કે $f^{\prime}(x) \geq 0$,તેથી $f^{\prime}(x) = \sqrt{(f(x))^2 + 9}$ મળે છે.
ચલ અલગ કરતા,$\int \frac{df}{\sqrt{f^2 + 9}} = \int dx$,જે $\ln|f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9}| = x + C_1$ આપે છે.
$f(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$\ln|0 + \sqrt{0 + 9}| = 0 + C_1$,તેથી $C_1 = \ln 3$ મળે છે.
તેથી,$f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9} = 3e^x$.
ધારો કે $y = f(x)$. તો $\sqrt{y^2 + 9} = 3e^x - y$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 + 9 = 9e^{2x} - 6ye^x + y^2$,જેનું સાદુરૂપ $6ye^x = 9e^{2x} - 9$ થાય છે.
તેથી,$f(x) = \frac{9(e^{2x} - 1)}{6e^x} = \frac{3}{2}(e^x - e^{-x}) = 3\sinh(x)$.
$x = \ln 3$ માટે,$f(\ln 3) = \frac{3}{2}(3 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{2}(\frac{8}{3}) = 4$.
આમ,$9f(\ln 3) = 9 \times 4 = 36$.

(A) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $x^4-2xy^2+y^2+3x-3y=0 \dots (i)$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષને જે ખૂણે છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે $(0,0)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવો પડશે.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$4x^3 - 2(y^2 + x \cdot 2y \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$4x^3 - 2y^2 - 4xy \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
હવે,$(x,y) = (0,0)$ કિંમત મૂકતા:
$4(0)^3 - 2(0)^2 - 4(0)(0) \frac{dy}{dx} + 2(0) \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$0 - 0 - 0 + 0 + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$3 = 3 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
ઢાળ $m = \tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $xy + ax + by = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ વક્ર પર હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1(1) + a(1) + b(1) = 0 \implies a + b = -1$ ... $(i)$
હવે,સમીકરણ $xy + ax + by = 0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y + a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$(x + b) \frac{dy}{dx} = -(y + a)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x + b}$
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ ઢાળ $2$ આપેલ છે:
$2 = -\frac{1 + a}{1 + b}$
$2(1 + b) = -(1 + a)$
$2 + 2b = -1 - a$
$a + 2b = -3$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1)$
$b = -2$
$b = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a - 2 = -1 \implies a = 1$
તેથી,$a - b = 1 - (-2) = 3$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^k + y^k = a^k$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$k x^{k-1} + k y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{k x^{k-1}}{k y^{k-1}} = -\frac{x^{k-1}}{y^{k-1}} = -(\frac{x}{y})^{k-1}$
$\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{-(k-1)} = -(\frac{y}{x})^{1-k}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} + (\frac{y}{x})^{1-k} = 0$
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$1 - k = \frac{1}{3}$
$k = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

(B) આપેલ છે કે $\frac{x}{x-y} = \log a - \log(x-y)$.
ગોઠવતા,આપણને મળે $\log(x-y) + \frac{x}{x-y} = \log a$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x-y} \left(1 - \frac{dy}{dx}\right) + \frac{(x-y)(1) - x(1 - \frac{dy}{dx})}{(x-y)^2} = 0$.
$(x-y)^2$ વડે ગુણતા:
$(x-y)(1 - \frac{dy}{dx}) + x - y - x + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$x - y - (x-y) \frac{dy}{dx} - y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$x - 2y + \frac{dy}{dx} (x - x + y) = 0$.
$x - 2y + y \frac{dy}{dx} = 0$.
$y \frac{dy}{dx} = 2y - x$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}{y}$.