Differentiation of implicit function Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે: $3 f(\cos x) + 2 f(\sin x) = 5 x$ ...$(i)$
$x$ ને $(\frac{\pi}{2} - x)$ વડે બદલતા:
$3 f(\sin x) + 2 f(\cos x) = 5(\frac{\pi}{2} - x)$ ...$(ii)$
$(i)$ ને $3$ વડે અને $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$9 f(\cos x) + 6 f(\sin x) = 15 x$
$4 f(\cos x) + 6 f(\sin x) = 10(\frac{\pi}{2} - x) = 5\pi - 10 x$
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$5 f(\cos x) = 25 x - 5\pi \Rightarrow f(\cos x) = 5 x - \pi$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(\cos x) \cdot (-\sin x) = 5 \Rightarrow f^{\prime}(\cos x) = \frac{-5}{\sin x}$
તે જ રીતે,$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને $f(\sin x) = \frac{5\pi}{2} - 5x$ મળે છે:
$f^{\prime}(\sin x) \cdot (\cos x) = -5 \Rightarrow f^{\prime}(\sin x) = \frac{-5}{\cos x}$
તેથી,$f^{\prime}(\cos x) + f^{\prime}(\sin x) = \frac{-5}{\sin x} - \frac{5}{\cos x}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{y}{x} \cos^4 \alpha + \frac{x}{y} \sin^4 \alpha = 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
બંને બાજુ $xy$ વડે ગુણતા:
$y^2 \cos^4 \alpha + x^2 \sin^4 \alpha = 2xy \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 \sin^4 \alpha - 2xy \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + y^2 \cos^4 \alpha = 0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે:
$(x \sin^2 \alpha - y \cos^2 \alpha)^2 = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x \sin^2 \alpha - y \cos^2 \alpha = 0$
$y \cos^2 \alpha = x \sin^2 \alpha$
$y = x \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$8 f(x)+6 f\left(\frac{1}{x}\right)=x+5$ --- $(i)$
$y=x^2 f(x)$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માં $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા:
$8 f\left(\frac{1}{x}\right)+6 f(x)=\frac{1}{x}+5$ --- $(iii)$
$f\left(\frac{1}{x}\right)$ નો લોપ કરવા માટે,$(i)$ ને $4$ વડે અને $(iii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$32 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=4x+20$
$18 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}+15$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$14 f(x)=4x-\frac{3}{x}+5$
$y$ મેળવવા માટે $x^2$ વડે ગુણતા:
$14 x^2 f(x)=4x^3-3x+5x^2$
$14 y=4x^3+5x^2-3x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$14 \frac{d y}{d x}=12x^2+10x-3$
$x=-1$ આગળ:
$14 \left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=-1}=12(-1)^2+10(-1)-3 = 12-10-3 = -1$
$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{14}$

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3xy + y^2 + x + 2y - 8 = 0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(2y) - \frac{d}{dx}(8) = 0$
$4x - 3(y + x \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} + 1 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$4x - 3y - 3x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} + 1 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$(2y - 3x + 2) \frac{dy}{dx} = 3y - 4x - 1$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{3y - 4x - 1}{2y - 3x + 2}$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $x^3 = \sin \theta$ અને $y^3 = \sin \phi$. તો સમીકરણ $\cos \theta + \cos \phi = a(\sin \theta - \sin \phi)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos \frac{\theta+\phi}{2} \cos \frac{\theta-\phi}{2} = a \cdot 2 \cos \frac{\theta+\phi}{2} \sin \frac{\theta-\phi}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cot \frac{\theta-\phi}{2} = a$,જે એક અચળાંક છે.
તેથી,$\frac{\theta-\phi}{2} = \text{અચળાંક} \Rightarrow \theta - \phi = C$.
કિંમત પાછી મૂકતા,$\arcsin(x^3) - \arcsin(y^3) = C$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}} - \frac{3y^2}{\sqrt{1-y^6}} \frac{dy}{dx} = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{3y^2}{\sqrt{1-y^6}} \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}$ મળે છે.
તેથી,$y^2 \frac{dy}{dx} = x^2 \sqrt{\frac{1-y^6}{1-x^6}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{x(1-y)} + \sqrt{y(1-x)} = 1$ છે.
ધારો કે $x = \sin^2 \theta$ અને $y = \sin^2 \phi$.
તેથી $\sqrt{\sin^2 \theta (1-\sin^2 \phi)} + \sqrt{\sin^2 \phi (1-\sin^2 \theta)} = 1$.
$\sin \theta \cos \phi + \sin \phi \cos \theta = 1$.
$\sin(\theta + \phi) = 1$.
$\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$.
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$.
કારણ કે $y = \sin^2 \phi$,તેથી $y = \sin^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos^2 \theta$.
આમ $x = \sin^2 \theta$ અને $y = \cos^2 \theta$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$x+y = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,એટલે કે $y = 1-x$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -1$.
વૈકલ્પિક રીતે,વિકલ્પો તપાસતા: $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y(1-y)}{x(1-x)}} = -\sqrt{\frac{(1-x)x}{x(1-x)}} = -\sqrt{1} = -1$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(a+\sqrt{2} b \cos x)(a-\sqrt{2} b \cos y)=a^2-b^2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(a+\sqrt{2} b \cos x) \cdot (\sqrt{2} b \sin y \frac{dy}{dx}) + (a-\sqrt{2} b \cos y) \cdot (-\sqrt{2} b \sin x) = 0$.
બિંદુ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ પર,$\cos x = \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin x = \sin y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(a+\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{dy}{dx}) + (a-\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (-\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$.
$(a+b) \cdot (b \frac{dy}{dx}) + (a-b) \cdot (-b) = 0$.
$(a+b) b \frac{dy}{dx} = b(a-b)$.
$b > 0$ હોવાથી,$b$ વડે ભાગતા:
$(a+b) \frac{dy}{dx} = a-b$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a-b}{a+b}$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $xy + ax + by = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ વક્ર પર હોવાથી,આપણે $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા:
$1(1) + a(1) + b(1) = 0 \implies 1 + a + b = 0 \implies a + b = -1$.
હવે,સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y + x \frac{dy}{dx} + a + b \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx}(x + b) = -(y + a) \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x + b}$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(\tan^{-1}(2)) = 2$ છે.
વિકલનમાં $(1, 1)$ મૂકતા:
$2 = -\frac{1 + a}{1 + b} \implies 2(1 + b) = -(1 + a) \implies 2 + 2b = -1 - a \implies a + 2b = -3$.
આપણી પાસે બે સમીકરણો છે:
$1) a + b = -1$
$2) a + 2b = -3$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1) \implies b = -2$.
$b = -2$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$a - 2 = -1 \implies a = 1$.
છેલ્લે,$\frac{ab}{a+b}$ ની કિંમત શોધતા:
$\frac{(1)(-2)}{1 + (-2)} = \frac{-2}{-1} = 2$.

(D) આપેલ વક્ર: $x^4 e^y + 2 \sqrt{y+1} = 3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x^4 e^y y' + 4x^3 e^y + \frac{2 y'}{2 \sqrt{y+1}} = 0$.
બિંદુ $(1,0)$ આગળ,$x=1$ અને $y=0$ મૂકતા:
$(1)^4 e^0 y' + 4(1)^3 e^0 + \frac{y'}{\sqrt{0+1}} = 0$.
$y' + 4 + y' = 0 \Rightarrow 2y' = -4 \Rightarrow y' = -2$.
બિંદુ $(1,0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ જેનો ઢાળ $m = -2$ છે:
$y - 0 = -2(x - 1) \Rightarrow y = -2x + 2 \Rightarrow 2x + y = 2$.
હવે,ચકાસો કે કયું બિંદુ સમીકરણ $2x + y = 2$ નું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $D$ $(-2, 6)$ માટે: $2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$.
આમ,બિંદુ $(-2, 6)$ સ્પર્શક પર આવેલું છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $3y^2 = 2ax^2 + 6b$ છે . . . $(i)$
વક્ર બિંદુ $P(3, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણ $(i)$ માં $x = 3$ અને $y = -1$ મૂકીએ:
$3(-1)^2 = 2a(3)^2 + 6b$
$3 = 18a + 6b$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $6a + 2b = 1$ મળે છે . . . $(ii)$
હવે,ઢાળ શોધવા માટે સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$6y \frac{dy}{dx} = 4ax$
$P(3, -1)$ આગળ ઢાળ $-1$ આપેલ છે,તેથી $\frac{dy}{dx} = -1$,$x = 3$,અને $y = -1$ મૂકતા:
$6(-1)(-1) = 4a(3)$
$6 = 12a$
$a = 1/2$
$a = 1/2$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$6(1/2) + 2b = 1$
$3 + 2b = 1$
$2b = -2$
$b = -1$
આમ,$a = 1/2$ અને $b = -1$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^y = y^x$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા,આપણને $y \log x = x \log y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \log y$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\log x \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \log y - \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{y \log x - x}{y} \right) = \frac{x \log y - y}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા અને ચિહ્નોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{-(x - y \log x)}{y} \right) = \frac{-(y - x \log y)}{x}$.
તેથી,$x(x - y \log x) \frac{dy}{dx} = y(y - x \log y)$.

(C) આપેલ છે કે $\tan y = \cot \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = -\operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right) \cdot (-1)$
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = \operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{\sec^2 y}$
કારણ કે $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ અને $\tan y = \cot \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$ હોવાથી:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}$

(C) આપેલ છે કે $\sec (\log _2 y^2) = \operatorname{cosec} (\log _2 x^2)$.
ગુણધર્મ $\log a^b = b \log a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sec (2 \log _2 y) = \operatorname{cosec} (2 \log _2 x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} \theta = \sec (\frac{\pi}{2} - \theta)$,તેથી $\sec (2 \log _2 y) = \sec (\frac{\pi}{2} - 2 \log _2 x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2 \log _2 y = \pm (\frac{\pi}{2} - 2 \log _2 x) + 2n\pi$. મુખ્ય કિંમત લેતા,$2 \log _2 y + 2 \log _2 x = \frac{\pi}{2}$.
$2 \log _2 (xy) = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \log _2 (xy) = \frac{\pi}{4}$.
$xy = 2^{\frac{\pi}{4}}$.
અહીં $2^{\frac{\pi}{4}}$ એ અચળ છે,તેથી બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(D) આપેલ છે $f(x) = x^2 + g'(1)x + g''(2)$. ધારો કે $g'(1) = a$ અને $g''(2) = b$. તેથી $f(x) = x^2 + ax + b$.
$f'(x) = 2x + a$ અને $f''(x) = 2$.
આપેલ છે $g(x) = f(1)x^2 + xf'(x) + f''(x)$.
$f(1) = 1 + a + b$,$f'(x) = 2x + a$,અને $f''(x) = 2$ મૂકતા:
$g(x) = (1 + a + b)x^2 + x(2x + a) + 2 = (1 + a + b + 2)x^2 + ax + 2 = (3 + a + b)x^2 + ax + 2$.
હવે,$g'(x) = 2(3 + a + b)x + a$ અને $g''(x) = 2(3 + a + b)$.
$g'(1) = a$ નો ઉપયોગ કરતા: $2(3 + a + b) + a = a \implies 6 + 2a + 2b = 0 \implies a + b = -3$.
$g''(2) = b$ નો ઉપયોગ કરતા: $2(3 + a + b) = b \implies 6 + 2a + 2b = b \implies 2a + b = -6$.
સમીકરણો ઉકેલતા: $(2a + b) - (a + b) = -6 - (-3) \implies a = -3$.
તેથી $-3 + b = -3 \implies b = 0$.
આમ,$f(x) = x^2 - 3x$ અને $g(x) = (3 - 3 + 0)x^2 - 3x + 2 = -3x + 2$.
$f(x) - g(x) = (x^2 - 3x) - (-3x + 2) = x^2 - 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x \sqrt{1+y} + y \sqrt{1+x} = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2(1+y) = y^2(1+x)$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$.
કારણ કે $x \neq y$,આપણે $(x-y)$ વડે ભાગતા $x+y+xy = 0$ મળે છે.
$y$ માટે ઉકેલતા,$y(1+x) = -x$,તેથી $y = \frac{-x}{1+x}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (-x)(1)}{(1+x)^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1-x+x}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)^2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2^x+2^y=2^{x+y}$ છે.
બંને બાજુ $2^{x+y}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2^x}{2^{x+y}}+\frac{2^y}{2^{x+y}}=1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2^{-y}+2^{-x}=1$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(2^{-y})+\frac{d}{dx}(2^{-x})=\frac{d}{dx}(1)$ મળે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$2^{-y} \cdot \log 2 \cdot (-\frac{dy}{dx}) + 2^{-x} \cdot \log 2 \cdot (-1) = 0$ મળે છે.
$-\log 2$ વડે ભાગતા,$2^{-y} \frac{dy}{dx} + 2^{-x} = 0$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2^{-x}}{2^{-y}} = -2^{y-x}$.
મૂળ સમીકરણ $2^x+2^y=2^{x+y}$ પરથી,$2^{-x} = 1-2^{-y}$ છે.
તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{1-2^{-y}}{2^{-y}} = -(\frac{1}{2^{-y}}-1) = -(2^y-1) = 1-2^y$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{y}{x}}+4 \sqrt{\frac{x}{y}}=4$ છે.
ધારો કે $u = \sqrt{\frac{y}{x}}$. તો સમીકરણ $u + \frac{4}{u} = 4$ બને છે.
$u$ વડે ગુણતા,આપણને $u^2 - 4u + 4 = 0$ મળે છે,જે $(u-2)^2 = 0$ છે.
આમ,$u = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{\frac{y}{x}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{y}{x} = 4$,અથવા $y = 4x$ મળે છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(4x) = 4$ મળે છે.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = 4$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=2$
બંને બાજુ $\sqrt{xy}$ વડે ગુણતા: $y+x=2\sqrt{xy}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x+y)^2 = (2\sqrt{xy})^2$
$x^2+y^2+2xy = 4xy$
$x^2+y^2-2xy = 0$
$(x-y)^2 = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x-y=0$,એટલે કે $y=x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$

(B) આપેલ સમીકરણ $x^y = e^{x-y}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(x^y) = \ln(e^{x-y})$
$y \ln x = x - y$
$y$ ને કર્તા બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$y \ln x + y = x$
$y(1 + \ln x) = x$
$y = \frac{x}{1 + \ln x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
ધારો કે $u = x$ અને $v = 1 + \ln x$,તેથી $u' = 1$ અને $v' = \frac{1}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \ln x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(1 + \ln x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \ln x - 1}{(1 + \ln x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln x}{(1 + \ln x)^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = \sqrt{1-\tan y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = 1 - \tan y$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\tan y = 1 - x^2$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\tan y) = \frac{d}{dx}(1 - x^2)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$.
$\tan y = 1 - x^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sec^2 y = 1 + (1 - x^2)^2 = 1 + (1 - 2x^2 + x^4) = x^4 - 2x^2 + 2$.
હવે,આ કિંમતને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^4 - 2x^2 + 2) \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{x^4 - 2x^2 + 2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 - 3xy + 4y^2 + 2x - 3y + 4 = 0$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(4y^2) + \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(3y) + \frac{d}{dx}(4) = 0$.
$4x - 3(y + x \frac{dy}{dx}) + 8y \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$4x - 3y - 3x \frac{dy}{dx} + 8y \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
હવે,બિંદુ $(3, 2)$ મૂકતા જ્યાં $x = 3$ અને $y = 2$:
$4(3) - 3(2) - 3(3) \frac{dy}{dx} + 8(2) \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$12 - 6 - 9 \frac{dy}{dx} + 16 \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$8 + 4 \frac{dy}{dx} = 0$.
$4 \frac{dy}{dx} = -8$.
$\frac{dy}{dx} = -2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 + 3xy - y^2 + 4x - 5y + 6 = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(3xy) - \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(5y) + \frac{d}{dx}(6) = 0$.
$4x + 3(x \frac{dy}{dx} + y) - 2y \frac{dy}{dx} + 4 - 5 \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$(3x - 2y - 5) \frac{dy}{dx} = -(4x + 3y + 4)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x + 3y + 4}{3x - 2y - 5}$.
$(x, y) = (1, -2)$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4(1) + 3(-2) + 4}{3(1) - 2(-2) - 5} = -\frac{4 - 6 + 4}{3 + 4 - 5} = -\frac{2}{2} = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x \cos (k+y)=\cos y$ છે.
આપણે લખી શકીએ $x = \frac{\cos y}{\cos (k+y)}$.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\cos(k+y) \cdot (-\sin y) - \cos y \cdot (-\sin(k+y))}{\cos^2(k+y)}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\sin(k+y)\cos y - \cos(k+y)\sin y}{\cos^2(k+y)}$
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\sin(k+y-y)}{\cos^2(k+y)} = \frac{\sin k}{\cos^2(k+y)}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{\cos^2(k+y)}{\sin k}$.
હવે,$y = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2(k+\frac{\pi}{2})}{\sin k} = \frac{(-\sin k)^2}{\sin k} = \frac{\sin^2 k}{\sin k} = \sin k$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x e^{xy} = y + \sin^2 x$ છે.
$x = 0$ આગળ,આપણને $0 \cdot e^{0 \cdot y} = y + \sin^2(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 0$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x e^{xy}) = \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\sin^2 x)$.
ગુણાકારનો નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$x e^{xy} \left( x \frac{dy}{dx} + y \right) + e^{xy} = \frac{dy}{dx} + 2 \sin x \cos x$.
$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 \cdot e^0 (0 \cdot \frac{dy}{dx} + 0) + e^0 = \frac{dy}{dx} + 2 \sin(0) \cos(0)$.
$0 + 1 = \frac{dy}{dx} + 0$.
તેથી,$x = 0$ આગળ $\frac{dy}{dx} = 1$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y=\sqrt{x+\sqrt{y+\sqrt{x+\sqrt{y+\ldots \infty}}}}$
આપણે અંદરના ભાગને આ રીતે લખી શકીએ: $y=\sqrt{x+\sqrt{y+y}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2=x+\sqrt{2y}$
ગોઠવતા: $y^2-x=\sqrt{2y}$
ફરીથી વર્ગ કરતા: $(y^2-x)^2=2y$
વિસ્તરણ કરતા: $y^4-2xy^2+x^2=2y$
અસ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $y^4-2xy^2-2y+x^2=0$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(y^4-2xy^2-2y+x^2) = 0$
$4y^3 \frac{dy}{dx} - (2y^2 + 4xy \frac{dy}{dx}) - 2 \frac{dy}{dx} + 2x = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને ભેગા કરતા: $\frac{dy}{dx}(4y^3 - 4xy - 2) = 2y^2 - 2x$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y^2-2x}{4y^3-4xy-2} = \frac{y^2-x}{2y^3-2xy-1}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $(x^2-3x+2) e^{\frac{y}{x-1}} = x+2$.
દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડતા: $(x-1)(x-2) e^{\frac{y}{x-1}} = x+2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln((x-1)(x-2)) + \frac{y}{x-1} = \ln(x+2)$.
$y$ ને કર્તા બનાવતા: $y = (x-1) [\ln(x+2) - \ln((x-1)(x-2))]$.
$x=0$ માટે: $y = (0-1) [\ln(2) - \ln((-1)(-2))] = -1 [\ln(2) - \ln(2)] = 0$.
હવે,મૂળ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(2x-3) e^{\frac{y}{x-1}} + (x^2-3x+2) e^{\frac{y}{x-1}} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{y}{x-1}) = 1$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા $\frac{d}{dx}(\frac{y}{x-1}) = \frac{(x-1)y' - y}{(x-1)^2}$.
$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$(0-3) e^{\frac{0}{-1}} + (0-0+2) e^{\frac{0}{-1}} \cdot \frac{(-1)y' - 0}{(-1)^2} = 1$.
$-3(1) + 2(1) (-y') = 1$.
$-3 - 2y' = 1$.
$-2y' = 4$.
$y' = -2$.
આમ,$(\frac{dy}{dx})_{x=0} = -2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3^x y^x = x^{3y}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(3^x y^x) = \ln(x^{3y})$
$x \ln 3 + x \ln y = 3y \ln x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x \ln 3) + \frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(3y \ln x)$
$\ln 3 + (\ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}) = 3 \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \ln x + 3y \cdot \frac{1}{x}$.
$x = 1$ આગળ,મૂળ સમીકરણ પરથી $y$ ની કિંમત મેળવતા:
$3^1 y^1 = 1^{3y} \implies 3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$.
હવે $x = 1$ અને $y = \frac{1}{3}$ ને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\ln 3 + \ln(\frac{1}{3}) + 1 \cdot \frac{1}{1/3} \cdot \frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \ln 1 + 3(\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{1}$.
કારણ કે $\ln(\frac{1}{3}) = -\ln 3$ અને $\ln 1 = 0$:
$\ln 3 - \ln 3 + 3 \frac{dy}{dx} = 0 + 1$.
$3 \frac{dy}{dx} = 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ છે: $x^2+y^2=t-\frac{1}{t}$ (સમીકરણ $1$)
સમીકરણ $1$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2+y^2)^2 = (t-\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
આપેલ છે: $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$(t^2+\frac{1}{t^2})+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
$2x^2y^2 = -2$
$x^2y^2 = -1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(-1)$
$x^2(2y \frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$
$2x^2y \frac{dy}{dx} = -2xy^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$

(A) આપેલ છે કે $\log y = y^{\log x}$.
બંને બાજુ $\log$ લેતા:
$\log(\log y) = \log(y^{\log x}) = \log x \cdot \log y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{\log y} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) \cdot \log y + \log x \cdot \frac{d}{dx}(\log y)$.
$\frac{1}{y \log y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\log y}{x} + \frac{\log x}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{y \log y} - \frac{\log x}{y} \right) = \frac{\log y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - \log x \log y}{y \log y} \right) = \frac{\log y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log y}{x} \cdot \frac{y \log y}{1 - \log x \log y}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(\log y)^2}{x(1 - \log x \log y)}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y^{\cos x}=x^{\sin y}$
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\cos x \log y = \sin y \log x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\cos x \log y) = \frac{d}{dx}(\sin y \log x)$
$(\cos x) \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + (\log y) \cdot (-\sin x) = (\sin y) \cdot \frac{1}{x} + (\log x) \cdot (\cos y) \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{\cos x}{y} - \cos y \log x \right) = \frac{\sin y}{x} + \sin x \log y$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{\cos x - y \cos y \log x}{y} \right) = \frac{\sin y + x \sin x \log y}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin y + x \sin x \log y)}{x(\cos x - y \cos y \log x)}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 - 3xy + y^2 + x + 2y - 8 = 0$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(2y) - \frac{d}{dx}(8) = 0$.
$4x - 3(x \frac{dy}{dx} + y) + 2y \frac{dy}{dx} + 1 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$\frac{dy}{dx}(2y - 3x + 2) + (4x - 3y + 1) = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $(2y - 3x + 2) dy + (4x - 3y + 1) dx = 0$.
આને $f(x, y) dy - g(x, y) dx = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$f(x, y) = 2y - 3x + 2$ અને $g(x, y) = -(4x - 3y + 1) = 3y - 4x - 1$.
હવે,$g(2, 2) = 3(2) - 4(2) - 1 = 6 - 8 - 1 = -3$.
$f(1, 1) = 2(1) - 3(1) + 2 = 2 - 3 + 2 = 1$.
તેથી,$\frac{g(2, 2)}{f(1, 1)} = \frac{-3}{1} = -3$.

(B) આપેલ છે કે $y = \frac{ax + b}{cx + d}$.
$\frac{dx}{dy}$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ:
$y(cx + d) = ax + b$
$cyx + yd = ax + b$
$cyx - ax = b - yd$
$x(cy - a) = b - yd$
$x = \frac{b - yd}{cy - a} = \frac{yd - b}{a - cy}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dy} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{dy} = \frac{d(a - cy) - (yd - b)(-c)}{(a - cy)^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{ad - cdy + cdy - bc}{(a - cy)^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{ad - bc}{(a - cy)^2}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $x^2+y^2=t+\frac{2}{t}$ અને $x^4+y^4=t^2+\frac{4}{t^2}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{2}{t})^2$.
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{4}{t^2}+4$.
બીજા સમીકરણમાંથી $x^4+y^4$ ની કિંમત મૂકતા: $(t^2+\frac{4}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2+\frac{4}{t^2}+4$.
આ સાદું રૂપ આપતા $2x^2y^2 = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2y^2 = 2$.
તેથી,$y^2 = \frac{2}{x^2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = -2 \cdot 2x^{-3} = -\frac{4}{x^3}$.
બંને બાજુ $x^3$ વડે ગુણતા: $2x^3y \frac{dy}{dx} = -4$.
તેથી,$x^3y \frac{dy}{dx} = -2$.

(A) આપેલ છે,$\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=k$
$\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\cos k$
ધારો કે $\cos k = C$ (એક અચળ).
તેથી,$x^2 - y^2 = C(x^2 + y^2)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 - y^2) = \frac{d}{dx}(C(x^2 + y^2))$
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = C(2x + 2y \frac{dy}{dx})$
$x - y \frac{dy}{dx} = C(x + y \frac{dy}{dx})$
$x - Cx = Cy \frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dx}$
$x(1 - C) = y \frac{dy}{dx}(C + 1)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - C)}{y(1 + C)}$
$C = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})}{y(1 + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})} = \frac{x(\frac{x^2+y^2-x^2+y^2}{x^2+y^2})}{y(\frac{x^2+y^2+x^2-y^2}{x^2+y^2})} = \frac{x(2y^2)}{y(2x^2)} = \frac{xy^2}{yx^2} = \frac{y}{x}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $ax^2+2hxy+by^2=3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2ax + 2h(y + x\frac{dy}{dx}) + 2by\frac{dy}{dx} = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $ax + hy + hx\frac{dy}{dx} + by\frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{ax+hy}{hx+by}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(hx+by)(a+h\frac{dy}{dx}) - (ax+hy)(h+b\frac{dy}{dx})}{(hx+by)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{ax+hy}{hx+by}$ ની કિંમત મૂકતા અને મૂળ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=3$ નો ઉપયોગ કરીને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3(h^2-ab)}{(hx+by)^3}$.

(B) આપેલ છે કે $a f(x)+b f\left(\frac{1}{x}\right)=x+1$ $(i)$
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,આપણને મળે $a f\left(\frac{1}{x}\right)+b f(x)=\frac{1}{x}+1$ $(ii)$
$(i)$ ને $a$ વડે અને $(ii)$ ને $b$ વડે ગુણતા:
$a^2 f(x)+a b f\left(\frac{1}{x}\right)=a x+a$
$b^2 f(x)+a b f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{b}{x}+b$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(a^2-b^2) f(x)=a x-\frac{b}{x}+a-b$
$f(x)=\frac{a x}{a^2-b^2}-\frac{b}{x(a^2-b^2)}+\frac{1}{a+b}$
હવે,$x^2 f(x)=\frac{a x^3}{a^2-b^2}-\frac{b x}{a^2-b^2}+\frac{x^2}{a+b}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}\left(x^2 f(x)\right)=\frac{3 a x^2}{a^2-b^2}-\frac{b}{a^2-b^2}+\frac{2 x}{a+b}$
$2 x^2+2 x+\frac{1}{3}$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{3 a}{a^2-b^2}=2$ $(iii)$
$\frac{2}{a+b}=2 \Rightarrow a+b=1$ $(iv)$
$-\frac{b}{a^2-b^2}=\frac{1}{3}$ $(v)$
$(iv)$ પરથી,$a^2-b^2=(a-b)(a+b)=a-b$.
$(iii)$ અને $(v)$ માં કિંમત મૂકતા:
$\frac{3 a}{a-b}=2 \Rightarrow 3 a=2 a-2 b \Rightarrow a=-2 b$
$-\frac{b}{a-b}=\frac{1}{3} \Rightarrow -3 b=a-b \Rightarrow a=-2 b$
$a+b=1$ અને $a=-2 b$ હોવાથી,$-2 b+b=1 \Rightarrow b=-1$ અને $a=2$.
તેથી,$a-b=2-(-1)=3$.

(D) આપેલ છે,$f(x) = \frac{1}{x^3} \int_5^x (2u^2 - u f'(u)) du$
$x^3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $x^3 f(x) = \int_5^x (2u^2 - u f'(u)) du$
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$x^3 f'(x) + 3x^2 f(x) = 2x^2 - x f'(x)$
$f'(x)$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$x^3 f'(x) + x f'(x) = 2x^2 - 3x^2 f(x)$
$f'(x)(x^3 + x) = 2x^2 - 3x^2 f(x)$
$f'(x) = \frac{2x^2 - 3x^2 f(x)}{x^3 + x}$
$x = 5$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $f(5) = \frac{1}{5^3} \int_5^5 (2u^2 - u f'(u)) du = 0$.
$x = 5$ અને $f(5) = 0$ ને $f'(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f'(5) = \frac{2(5)^2 - 3(5)^2(0)}{5^3 + 5} = \frac{50}{125 + 5} = \frac{50}{130} = \frac{5}{13}$

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \prod_{r=1}^n \cos(rx)$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln|f(x)| = \sum_{r=1}^n \ln|\cos(rx)|$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \sum_{r=1}^n \frac{1}{\cos(rx)} \cdot (-\sin(rx) \cdot r) = -\sum_{r=1}^n r \tan(rx)$ મળે છે.
બંને બાજુ $f(x)$ વડે ગુણતા,$f^{\prime}(x) = -f(x) \sum_{r=1}^n r \tan(rx)$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $f^{\prime}(x) + \sum_{r=1}^n (r \tan rx) f(x) = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \tanh^{-1}(\sin x)$ છે.
ધારો કે $y = \tanh^{-1}(\sin x)$,જેનો અર્થ છે કે $\tanh y = \sin x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\operatorname{sech}^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = \cos x$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\operatorname{sech}^2 y}$.
નિત્યસમ $\operatorname{sech}^2 y = 1 - \tanh^2 y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{1 - \tanh^2 y}$.
ચૂકી $\tanh y = \sin x$ છે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} = \frac{\cos x}{\cos^2 x} = \sec x$.
$x = \pi$ આગળ,ઢાળ $\sec(\pi) = -1$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{2}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ $(i)$
બંને બાજુ વિકલન લેતા:
$-\frac{2}{f^2} df = -\frac{1}{v^2} dv + \frac{1}{u^2} du$
આપેલ છે કે $u$ અને $v$ માં નિરપેક્ષ ભૂલો $p$ છે,તેથી $du = p$ અને $dv = p$.
આ કિંમતોને વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{2}{f^2} df = -\frac{1}{v^2} p + \frac{1}{u^2} p$
$-\frac{2}{f^2} df = -p \left( \frac{1}{v^2} - \frac{1}{u^2} \right)$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{2}{f^2} df = -p \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \right) \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right)$
સમીકરણ $(i)$ મુજબ $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{2}{f}$ હોવાથી:
$-\frac{2}{f^2} df = -p \left( \frac{2}{f} \right) \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right)$
બંને બાજુ $-\frac{2}{f}$ વડે ભાગતા:
$\frac{df}{f} = p \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right)$
આમ,$f$ માં સાપેક્ષ ભૂલ $p \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right)$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{1}{x^2} \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $x^2 f(x) = \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ અને જમણી બાજુ કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા):
$x^2 f'(x) + 2x f(x) = 2x - 3f'(x)$.
પદોને ગોઠવતા: $f'(x)(x^2 + 3) = 2x - 2x f(x)$.
$x = 3$ આગળ,નોંધો કે $f(3) = \frac{1}{3^2} \int_3^3 (2t - 3f'(t)) dt = 0$.
વિકલિત સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકતા:
$f'(3)(3^2 + 3) = 2(3) - 2(3) f(3)$.
$f'(3)(9 + 3) = 6 - 6(0)$.
$12 f'(3) = 6$.
$f'(3) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.