Continuity Questions in Hindi

(D) अंतराल $(0, \pi )$ पर प्रत्येक फलन की सांतत्यता की जाँच करते हैं:
$1$. $f(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. $(0, \pi )$ में $\sin x$ कभी भी $0$ नहीं होता है,इसलिए $f(x)$ सतत है।
$2$. $g(x) = \int_{0}^{x} t \sin \frac{1}{t} \, dt$. चूँकि समाकल्य $t \sin(1/t)$ अंतराल $(0, \pi )$ पर परिबद्ध और सतत है,इसलिए समाकलन फलन $g(x)$ सतत है।
$3$. $h(x)$ के लिए,$x = 3\pi /4$ पर बाएँ पक्ष की सीमा $1$ है। दाएँ पक्ष की सीमा $2 \sin(\frac{2}{9} \cdot \frac{3\pi}{4}) = 2 \sin(\frac{\pi}{6}) = 1$ है। चूँकि दोनों सीमाएँ समान हैं,$h(x)$ सतत है।
$4$. $l(x)$ के लिए,$x = \pi /2$ पर बाएँ पक्ष की सीमा $\frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ है। दाएँ पक्ष की सीमा $\frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi) = -\frac{\pi}{2}$ है। चूँकि $\frac{\pi}{2} \neq -\frac{\pi}{2}$,इसलिए $l(x)$ बिंदु $x = \pi /2$ पर असतत है।

(C) फलन $f(x) = \frac{3 \log_{\sin |x|} \cos x}{3 \log_{\sin |3x|} \cos (x/2)} = \frac{\ln \cos x}{\ln \sin |x|} \times \frac{\ln \sin |3x|}{\ln \cos (x/2)}$ के रूप में परिभाषित है।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का आधार धनात्मक और $1$ के बराबर नहीं होना चाहिए,और तर्क धनात्मक होना चाहिए।
$1$. $\sin |x| > 0$ और $\sin |x| \neq 1 \implies |x| \in (0, \pi) \setminus \{\pi/2\}$. दिए गए $|x| < \pi/3$ के लिए,यह $x \in (-\pi/3, \pi/3) \setminus \{0\}$ के लिए संतुष्ट है।
$2$. $\sin |3x| > 0$ और $\sin |3x| \neq 1 \implies |3x| \in (0, \pi) \setminus \{\pi/2\} \implies |x| \in (0, \pi/3) \setminus \{\pi/6\}$.
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = \pm \pi/6$ और $x = 0$ (प्रारंभ में) पर अपरिभाषित है। चूंकि $f(0)=4$,हम $\lim_{x \to 0} f(x)$ की जाँच करते हैं।
$\ln \cos x \approx -x^2/2$,$\ln \sin |x| \approx \ln |x|$,$\ln \sin |3x| \approx \ln |3x|$,$\ln \cos (x/2) \approx -x^2/8$ का उपयोग करने पर,हमें $\lim_{x \to 0} f(x) = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 4$,$f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
असांतत्य के बिंदु $x = \pi/6$ और $x = -\pi/6$ हैं। कुल $2$ बिंदु।

(C) सबसे पहले,अवकलज की परिभाषा का उपयोग करके $f'(0)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^m \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h^{m-1} \sin(1/h)$.
इस सीमा का अस्तित्व होने और $0$ के बराबर होने के लिए,$m-1 > 0$ होना चाहिए,अर्थात $m > 1$.
अब,$x \neq 0$ के लिए,$f'(x) = m x^{m-1} \sin(1/x) - x^{m-2} \cos(1/x)$.
$f'(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0) = 0$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} [m x^{m-1} \sin(1/x) - x^{m-2} \cos(1/x)] = 0$.
पहला पद $m x^{m-1} \sin(1/x)$,$0$ की ओर प्रवृत्त होता है यदि $m-1 > 0$,अर्थात $m > 1$.
दूसरा पद $x^{m-2} \cos(1/x)$,$0$ की ओर प्रवृत्त होता है यदि $m-2 > 0$,अर्थात $m > 2$.
चूंकि $m \in N$,इसलिए $m > 2$ को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा पूर्णांक $m = 3$ है।

(A) फलन $h(x)$ को थोमे फलन (Thomae's function) के रूप में जाना जाता है।
$1$. किसी भी परिमेय संख्या $x = \frac{p}{q}$ (जहाँ $p, q$ सह-अभाज्य हैं) के लिए,$h(x) = \frac{1}{q}$ होता है। जैसे-जैसे $x$ किसी परिमेय संख्या के करीब पहुँचता है,आस-पास की अपरिमेय संख्याओं के लिए $h(x)$ का मान $0$ के करीब पहुँचता है। चूँकि $\frac{1}{q} \neq 0$,इसलिए फलन प्रत्येक परिमेय बिंदु पर असंतत है। अतः,कथन $C$ सत्य है।
$2$. किसी भी अपरिमेय संख्या $x$ के लिए,$h(x) = 0$ होता है। किसी भी $\epsilon > 0$ के लिए,किसी भी अंतराल में केवल सीमित संख्या में ही परिमेय संख्याएँ $\frac{p}{q}$ होती हैं जिनके लिए $\frac{1}{q} \geq \epsilon$ हो। अतः,जैसे-जैसे $x$ किसी अपरिमेय संख्या के करीब पहुँचता है,$h(x)$ की सीमा $0$ होती है। चूँकि अपरिमेय बिंदुओं पर $h(x) = 0$ है,इसलिए फलन प्रत्येक अपरिमेय बिंदु पर संतत है। अतः,कथन $B$ सत्य है।
$3$. चूँकि फलन अपरिमेय बिंदुओं पर संतत है और परिमेय बिंदुओं पर असंतत है,इसलिए यह $(0, \infty)$ में सभी $x$ के लिए असंतत नहीं है। अतः,कथन $A$ गलत है।
$4$. चूँकि फलन प्रत्येक परिमेय बिंदु पर असंतत है,इसलिए यह किसी भी परिमेय बिंदु पर अवकलनीय नहीं है। अतः,कथन $D$ सत्य है।
निष्कर्ष: कथन $A$ सत्य नहीं है।

(D) फलन $f(x)$ की सांतत्यता निर्धारित करने के लिए,हम संक्रमण बिंदुओं $x = 0$ और $x = 4$ पर सीमा (limits) की जाँच करते हैं।
$x = 0$ पर:
बाईं सीमा: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sqrt{-x} = 0$.
दाईं सीमा: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 0 = 0$.
फलन का मान: $f(0) = 0$.
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
$x = 4$ पर:
बाईं सीमा: $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} 0 = 0$.
दाईं सीमा: $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (x - 4) = 4 - 4 = 0$.
फलन का मान: $f(4) = 0$.
चूंकि $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4) = 0$,इसलिए फलन $x = 4$ पर सतत है।
चूंकि फलन अपने पूरे डोमेन में सतत है,इसलिए यह पूरी वास्तविक रेखा पर सतत है।

(D) सतत फलनों के बीजगणित के अनुसार,यदि दो फलन $g(x)$ और $h(x)$ बिंदु $x = c$ पर सतत हैं,तो उनका भागफल $\frac{g(x)}{h(x)}$ भी $x = c$ पर सतत होता है,बशर्ते कि हर $h(c) \neq 0$ हो।
चूंकि $g$ और $h$ विवृत अंतराल $(a, b)$ पर सतत हैं,इसलिए फलन $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ उन सभी बिंदुओं $x \in (a, b)$ पर सतत है जहाँ $h(x) \neq 0$ है।

(D) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} \frac{x - e^x + \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x - (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots) + (1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \dots)}{x^2}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{x - 1 - x - \frac{x^2}{2} + 1 - 2x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{5}{2}x^2}{x^2} = -\frac{5}{2} = -2.5$.
अतः,$f(0) = -2.5$.
अब,$[f(0)] = [-2.5] = -3$.
और $\{f(0)\} = f(0) - [f(0)] = -2.5 - (-3) = 0.5$.
इसलिए,$[f(0)] \cdot \{f(0)\} = (-3) \cdot (0.5) = -1.5$.

(C) $x = 2$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम दोनों तरफ से सीमा का मूल्यांकन करते हैं।
$x > 2$ के लिए,$f(x) = \frac{2^x + 8 \cdot 2^{-x} - 6}{2^{-x/2} - 2 \cdot 2^{-x}}$. मान लें $u = 2^{-x/2}$,तो $2^x = u^{-2}$ और $2^{-x} = u^2$. जैसे $x \to 2^+$,$u \to 2^{-1} = 1/2$. व्यंजक $\frac{u^{-2} + 8u^2 - 6}{u - 2u^2} = \frac{1 + 8u^4 - 6u^2}{u^2(u - 2u^2)} = \frac{-(2u^2 - 1)(2u^2 - 1)(2u + 1)}{u^3(2u - 1)} = 8$ हो जाता है। अतः,$f(2^+) = 8$.
$x < 2$ के लिए,$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - \sqrt{3x - 2}}$. हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{(x^2 - 4)(x + \sqrt{3x - 2})}{x^2 - (3x - 2)} = \frac{(x - 2)(x + 2)(x + \sqrt{3x - 2})}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{(x + 2)(x + \sqrt{3x - 2})}{x - 1}$. $x = 2$ रखने पर,$\frac{(4)(2 + 2)}{1} = 16$ प्राप्त होता है। अतः,$f(2^-) = 16$.
चूँकि $f(2^+) \neq f(2^-)$,फलन $x = 2$ पर जंप असततता रखता है।

(A) सबसे पहले,$x \neq 0$ के लिए $f(x)$ के व्यंजक को सरल करते हैं:
यदि $x > 0$ है,तो $|x| = x$,इसलिए $\frac{1}{|x|} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$. अतः,$f(x) = (x + 1) e^{-2/x}$.
यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,इसलिए $\frac{1}{|x|} + \frac{1}{x} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x} = 0$. अतः,$f(x) = (x + 1) e^0 = x + 1$.
$f(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए फलन इस प्रकार है:
$f(x) = \begin{cases} (x + 1) e^{-2/x} & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ x + 1 & x < 0 \end{cases}$
अब,$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + 1) = 1$.
दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) e^{-2/x} = (1) \cdot e^{-\infty} = 0$.
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर असतत है।
अतः,विकल्प $(A)$ गलत है क्योंकि फलन सभी $x \in I$ के लिए सतत नहीं है।

(B) $x = 2$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = 2$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x}{[x]}$. चूँकि $1 \leqslant x < 2$,इसलिए $[x] = 1$. अतः,$\lim_{x \to 2^-} \frac{x}{1} = 2$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \sqrt{6-x} = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$.
$3$. फलन का मान: $f(2) = 1$.
यहाँ $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2$ है,लेकिन $f(2) = 1$ है। चूँकि सीमा का अस्तित्व है लेकिन वह फलन के मान के बराबर नहीं है,इसलिए इस प्रकार की असांतत्यता को removable discontinuity (विशेष रूप से,isolated point removable discontinuity) कहा जाता है।

(D) व्याख्या: मान लीजिए कि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [a, b]$ के लिए $f(x) \in \mathbb{Z}$ है।
मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,यदि $f$,$[a, b]$ पर सतत है,तो $f$ को $f(a)$ और $f(b)$ के बीच के सभी मानों को ग्रहण करना चाहिए।
मान लीजिए कि $f$ अचर नहीं है। तो $[a, b]$ में ऐसे $x_1, x_2$ मौजूद हैं कि $f(x_1) = n$ और $f(x_2) = m$ जहाँ $n \neq m$ है। बिना किसी हानि के,मान लीजिए कि $n < m$ है।
चूंकि $f$ सतत है,इसलिए $n < y < m$ जैसी किसी भी मान $y$ के लिए,$(x_1, x_2)$ में एक ऐसा $c$ मौजूद होना चाहिए कि $f(c) = y$ हो।
हालाँकि,हमें दिया गया है कि $[a, b]$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f(x)$ एक पूर्णांक है।
यदि हम $y = n + 0.5$ लेते हैं,जो कि पूर्णांक नहीं है,तो यह इस शर्त का खंडन करता है कि $f(x)$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
इसलिए,यह धारणा कि $f$ अचर नहीं है,गलत है।
अतः,$f(x)$ एक अचर फलन होना चाहिए।

(A) माना $g(x) = \sin x - \sin^3 x = \sin x(1 - \sin^2 x) = \sin x \cos^2 x$ है।
$x \in (0, \pi)$ के लिए,$\sin x > 0$ और $\cos^2 x \geq 0$ है। अतः,$g(x) \geq 0$ है।
विशेष रूप से,$x \neq \frac{\pi}{2}$ के लिए,$g(x) > 0$ है।
चूँकि $x \in (0, \pi) \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ के लिए $g(x) > 0$ है,इसलिए हमारे पास $|g(x)| = g(x)$ है।
इसे $f(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \left[ \frac{2g(x) + g(x)}{2g(x) - g(x)} \right] = \left[ \frac{3g(x)}{g(x)} \right] = [3] = 3$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,सभी $x \in (0, \pi) \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ के लिए $f(x) = 3$ है।
दिया गया है कि $f(\frac{\pi}{2}) = 3$,अतः सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए फलन $f(x) = 3$ है।
एक अचर फलन अपने प्रांत में हर जगह संतत और अवकलनीय होता है।
इसलिए,$f, x = \frac{\pi}{2}$ पर संतत और अवकलनीय है।

(B) $f(x)$ की सांतत्यता और अवकलनीयता की जांच करने के लिए,हम पहले फलन के प्रांत (domain) की जांच करते हैं।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,सभी वर्गमूल पदों के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$1$) $x^3 - 1 \geq 0 \implies x \geq 1$
$2$) $1 - x^4 \geq 0 \implies x^4 \leq 1 \implies -1 \leq x \leq 1$
$3$) $x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1$
फलन को परिभाषित होने के लिए,सभी शर्तों को एक साथ संतुष्ट होना चाहिए। $x \geq 1$ और $-1 \leq x \leq 1$ का प्रतिच्छेदन केवल बिंदु $x = 1$ है।
चूंकि फलन का प्रांत केवल एक बिंदु $\{1\}$ है,इसलिए फलन केवल $x = 1$ पर ही परिभाषित है।
सांतत्य और अवकलनीयता अंतराल पर परिभाषित होते हैं। $f(x)$,$x = 1$ के किसी भी पड़ोस में परिभाषित नहीं है,इसलिए यह मानक अर्थ में $x = 1$ पर सतत या अवकलनीय नहीं हो सकता है।
अतः,फलन $x = 1$ पर असतत है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) $f(x)$ के $x = 5$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x \to 5} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(5)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{x^2 - bx + 25}{(x - 2)(x - 5)}$।
चूंकि हर $x = 5$ पर शून्य है,इसलिए सीमा के अस्तित्व के लिए अंश को भी $x = 5$ पर शून्य होना चाहिए।
अंश में $x = 5$ रखने पर: $5^2 - 5b + 25 = 0 \Rightarrow 25 - 5b + 25 = 0 \Rightarrow 50 = 5b \Rightarrow b = 10$।
अब,फलन में $b = 10$ रखने पर: $f(x) = \frac{x^2 - 10x + 25}{(x - 2)(x - 5)} = \frac{(x - 5)^2}{(x - 2)(x - 5)}$।
$x \neq 5$ के लिए,हम इसे $f(x) = \frac{x - 5}{x - 2}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
अब,सीमा की गणना करने पर: $\lim_{x \to 5} f(x) = \lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x - 2} = \frac{5 - 5}{5 - 2} = \frac{0}{3} = 0$।
चूंकि $f$,$x = 5$ पर सतत है,इसलिए $f(5) = \lim_{x \to 5} f(x) = 0$।

(D) कथन $I$ गलत है क्योंकि विवृत अंतराल पर अवकलनीयता अंत बिंदुओं पर सांतत्य की गारंटी नहीं देती है।
कथन $II$ गलत है। अंतराल $(0, 1)$ पर फलन $f(x) = 1/x$ पर विचार करें। यह फलन $(0, 1)$ पर अवकलनीय है लेकिन जैसे-जैसे $x \to 0^+$ होता है,यह परिबद्ध नहीं रहता है।
कथन $III$ सत्य है। चूंकि $f$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है,इसलिए यह $(a, b)$ पर सतत है। अतः,$f$ संवृत उप-अंतराल $[a_1, b_1]$ पर भी सतत है। मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,चूंकि $f(a_1) < 0 < f(b_1)$ है,इसलिए $(a_1, b_1)$ में कम से कम एक ऐसी संख्या $c$ अवश्य होनी चाहिए जिसके लिए $f(c) = 0$ हो।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $f$,$x = 2$ पर सतत हो सकता है,हम सीमा $\lim_{x \to 2} f(x)$ की जाँच करते हैं।
बाएँ हाथ की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x + 2^{\frac{1}{x - 2}}}$.
जैसे $x \to 2^-$,$(x - 2) \to 0^-$,इसलिए $\frac{1}{x - 2} \to -\infty$.
अतः,$2^{\frac{1}{x - 2}} \to 2^{-\infty} = 0$.
इसलिए,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{1}{2 + 0} = 1/2$.
अब दाएँ हाथ की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x + 2^{\frac{1}{x - 2}}}$.
जैसे $x \to 2^+$,$(x - 2) \to 0^+$,इसलिए $\frac{1}{x - 2} \to +\infty$.
अतः,$2^{\frac{1}{x - 2}} \to 2^{+\infty} = \infty$.
इसलिए,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{2 + \infty} = 0$.
चूंकि $\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x)$,इसलिए $x = 2$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
परिणामस्वरूप,$f(2)$ को कोई भी मान देने पर भी $f$,$x = 2$ पर सतत नहीं हो सकता है।

(A) $f(x)$ के $x = \frac{1}{2}$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \to \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x) = f(\frac{1}{2}) = p$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाईं सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to \frac{1}{2}^-} \frac{1 + \cos 2\pi x}{1 - \sin \pi x} = \lim_{x \to \frac{1}{2}^-} \frac{2 \cos^2 \pi x}{1 - \sin \pi x} = \lim_{x \to \frac{1}{2}^-} \frac{2(1 - \sin^2 \pi x)}{1 - \sin \pi x} = \lim_{x \to \frac{1}{2}^-} 2(1 + \sin \pi x) = 2(1 + 1) = 4$.
इसके बाद,दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
मान लीजिए $t = \sqrt{2x - 1}$ है। जैसे $x \to \frac{1}{2}^+$,वैसे $t \to 0^+$.
$\lim_{t \to 0^+} \frac{t}{\sqrt{4 + t} - 2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t(\sqrt{4 + t} + 2)}{(4 + t) - 4} = \lim_{t \to 0^+} (\sqrt{4 + t} + 2) = \sqrt{4} + 2 = 4$.
चूंकि $\lim_{x \to \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x) = 4$ है,इसलिए फलन $x = \frac{1}{2}$ पर संतत होगा यदि $p = 4$ हो।
अतः,$f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ पर असंतत होगा यदि $p \neq 4$ हो,जिसका अर्थ है $p \in R - \{4\}$।

(A) फलन के $x = -1$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$,और $x = -1$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = -1$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(-1) = b([-1]^2 + [-1]) + 1 = b(1 - 1) + 1 = 1$.
इसके बाद,$x \to -1^+$ के लिए दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{h \to 0} b([-1+h]^2 + [-1+h]) + 1 = b((-1)^2 + (-1)) + 1 = b(1-1) + 1 = 1$.
अब,$x \to -1^-$ के लिए बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{h \to 0} \sin(\pi(-1-h+a)) = \sin(\pi(a-1))$.
सांतत्य के लिए,$LHL$ = $RHL$ = $f(-1)$,इसलिए $\sin(\pi(a-1)) = 1$.
इसका अर्थ है कि $\pi(a-1) = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in I$ कोई पूर्णांक है।
$\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $a - 1 = 2n + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a = 2n + \frac{3}{2}$ हो जाता है।
चूंकि $b$ का $x = -1$ पर सीमा पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है (क्योंकि $RHL$ $b$ से स्वतंत्र है),इसलिए $b$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(b \in R)$.

(D) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$ होना चाहिए।
$f(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(e^{x^2} + 2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + (e^{x^2} + 2\sqrt{x} - 1))}{e^{x^2} + 2\sqrt{x} - 1} \times \frac{e^{x^2} + 2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$
जैसे $x \to 0^+$,$e^{x^2} + 2\sqrt{x} - 1 \to 0$,इसलिए सीमा का पहला भाग $1$ हो जाता है।
$f(0) = 1 \times \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{e^{x^2} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right)$
$f(0) = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} \cdot x^{3/2} + 2 \right)$
चूंकि $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} = 1$ और $\lim_{x \to 0^+} x^{3/2} = 0$,इसलिए पहला पद शून्य हो जाएगा।
$f(0) = 0 + 2 = 2$.

(D) $x \to 0^+$ के लिए,$[x] = 0$ और $\{x\} = x$ है। अतः,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan^2 x}{x^2 - 0^2} = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\tan x}{x} \right)^2 = 1^2 = 1$.
$x \to 0^-$ के लिए,मान लीजिए $x = -h$ जहाँ $h > 0$ है। तो $[x] = -1$ और $\{x\} = x - [x] = -h - (-1) = 1 - h$ है।
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0^+} \sqrt{(1-h) \cot(1-h)} = \sqrt{1 \cdot \cot(1)} = \sqrt{\cot 1}$.
अब,$\left( \lim_{x \to 0^-} f(x) \right)^2 = (\sqrt{\cot 1})^2 = \cot 1$.
इसलिए,$\cot^{-1} \left( \lim_{x \to 0^-} f(x) \right)^2 = \cot^{-1}(\cot 1) = 1$.
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) एक फलन $f(x)$ में $x = a$ पर हटाने योग्य असांतत्य होता है यदि $\lim_{x \to a} f(x)$ का अस्तित्व हो लेकिन वह $f(a)$ के बराबर न हो (या $f(a)$ अपरिभाषित हो)।
विकल्प $A$ के लिए: $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln |x|} = \frac{1}{-\infty} = 0$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए इसमें हटाने योग्य असांतत्य है।
विकल्प $B$ के लिए: $\lim_{x \to 0^+} \cos \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \cos(1)$ और $\lim_{x \to 0^-} \cos \left( \frac{-\sin x}{x} \right) = \cos(-1) = \cos(1)$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए इसमें हटाने योग्य असांतत्य है।
विकल्प $C$ के लिए: $\lim_{x \to 0} x \sin \left( \frac{\pi}{x} \right)$। चूंकि $|\sin(\pi/x)| \le 1$,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \to 0} x \sin \left( \frac{\pi}{x} \right) = 0$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए इसमें हटाने योग्य असांतत्य है।
अतः,सभी फलनों में $x = 0$ पर हटाने योग्य असांतत्य है।

(D) फलन $f(x) = \cos \left[ \frac{\pi}{x} \right] \cos \left( \frac{\pi}{2} (x - 1) \right)$ है।
$x = 0$ पर फलन अपरिभाषित है क्योंकि $\frac{\pi}{x}$ में हर शून्य है।
$x = 1$ पर,$f(1) = \cos \left[ \frac{\pi}{1} \right] \cos \left( \frac{\pi}{2} (1 - 1) \right) = \cos(3) \cos(0) = \cos(3)$। $x \to 1$ के लिए सीमा का अस्तित्व है और यह $f(1)$ के बराबर है,इसलिए यह $x = 1$ पर सतत है।
$x = 2$ पर,$f(2) = \cos \left[ \frac{\pi}{2} \right] \cos \left( \frac{\pi}{2} (2 - 1) \right) = \cos(1) \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos(1) \times 0 = 0$। $x \to 2$ के लिए सीमा का अस्तित्व है और यह $f(2)$ के बराबर है,इसलिए यह $x = 2$ पर सतत है।
अतः,फलन $x = 1$ और $x = 2$ दोनों पर सतत है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 7x - 1$ है।
अंतराल $[0, 1]$ के अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर:
$f(0) = (0)^3 + 7(0) - 1 = -1$.
$f(1) = (1)^3 + 7(1) - 1 = 1 + 7 - 1 = 7$.
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है।
यहाँ $f(0) = -1$ और $f(1) = 7$ है,अतः फलन का चिह्न अंतराल पर ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है।
मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,यदि कोई सतत फलन $f$ अंतराल के अंत बिंदुओं पर विपरीत चिह्न धारण करता है,तो उस अंतराल में कम से कम एक मान $c$ ऐसा अवश्य होगा जिसके लिए $f(c) = 0$ हो।
अतः,इस स्थिति का वर्णन करने वाला प्रमेय मध्यवर्ती मान प्रमेय है।

(D) सबसे पहले,$x \to \frac{1}{2}$ के रूप में $f(x)$ की सीमा का विश्लेषण करें।
$\lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x - 1)(6x - 1)}{2x - 1}$.
जैसे $x \to \frac{1}{2}$,अंश $(x - 1)(6x - 1) \to (\frac{1}{2} - 1)(6(\frac{1}{2}) - 1) = (-\frac{1}{2})(2) = -1$.
हर $2x - 1 \to 0$.
चूंकि अंश एक गैर-शून्य स्थिरांक $(-1)$ के करीब पहुंचता है और हर $0$ के करीब पहुंचता है,इसलिए सीमा $\lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x)$ मौजूद नहीं है (यह $\pm \infty$ की ओर जाता है)।
इसलिए,फलन में $x = \frac{1}{2}$ पर एक गैर-हटाने योग्य अनंत असांतत्यता है।

(C) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ और दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$x > 0$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $\text{sgn}[x] = 0$. अतः,$f(x) = \frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}$.
$RHL = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{\ln(1+h^2)}{1-\cos h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{\ln(1+h^2)}{h^2} \cdot \frac{h^2}{1-\cos h} = 1 \cdot 2 = 2$.
$x < 0$ के लिए,$[x] = -1$,इसलिए $\text{sgn}[x] = -1$. अतः,$f(x) = \frac{\ln(1-1+x^2)}{1-\cos x} = \frac{\ln(x^2)}{1-\cos x}$.
$LHL = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{\ln(h^2)}{1-\cos(h)} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{\ln(h^2)}{h^2/2} = -\infty$.
चूँकि $LHL$ का अस्तित्व नहीं है ($-\infty$ है),इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,$k$ के किसी भी मान के लिए $f(x)$ में $x = 0$ पर गैर-हटाने योग्य असंततता है।

(D) माना $f(x) = [x] + \sqrt{\{x\}}$.
किसी भी गैर-पूर्णांक $x$ के लिए,$[x]$ और $\{x\}$ सतत हैं,इसलिए $f(x)$ सतत है।
अब,पूर्णांक $n \in I$ पर सांतत्य की जाँच करें।
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} ([x] + \sqrt{\{x\}}) = (n-1) + \sqrt{1} = n-1+1 = n$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} ([x] + \sqrt{\{x\}}) = n + \sqrt{0} = n$.
फलन का मान: $f(n) = [n] + \sqrt{\{n\}} = n + 0 = n$.
चूँकि $\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^+} f(x) = f(n) = n$,इसलिए फलन सभी पूर्णांकों पर सतत है।
अतः,$f(x)$ $\forall x \in R$ के लिए सतत है।

(B) $x \to 0$ के रूप में $f(x)$ की सीमा ज्ञात करने के लिए,हम टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करते हैं:
$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + \dots$
$(1 + 4x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(4x) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(4x)^2 + \dots = 1 + 2x - 2x^2 + \dots$
$\ln(1 - x^2) = -x^2 - \frac{(-x^2)^2}{2} - \dots = -x^2 - \frac{x^4}{2} - \dots$
इन मानों को $f(x)$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{(1 + 2x + 2x^2 + \dots) - (1 + 2x - 2x^2 + \dots)}{-x^2 - \frac{x^4}{2} - \dots}$
$f(x) = \frac{4x^2 + \dots}{-x^2 - \dots}$
$x \to 0$ के रूप में सीमा लेने पर:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{4x^2}{-x^2} = -4$
चूंकि सीमा मौजूद है और परिमित है,इसलिए $x = 0$ पर $f$ में एक हटाने योग्य असंततता है और $f(0) = -4$ है।

(B) आइए विभिन्न अंतरालों के लिए फलन $f(x)$ का विश्लेषण करें।
$x \notin I$ के लिए,$f(x) = sgn([x])$ है।
यदि $x \in (0, 1)$ है,तो $[x] = 0$,इसलिए $f(x) = sgn(0) = 0$ है।
यदि $x \in (1, 2)$ है,तो $[x] = 1$,इसलिए $f(x) = sgn(1) = 1$ है।
यदि $x \in (-1, 0)$ है,तो $[x] = -1$,इसलिए $f(x) = sgn(-1) = -1$ है।
$x \in I$ के लिए,$f(x) = [sgn(x)]$ है।
यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = [sgn(0)] = [0] = 0$ है।
यदि $x > 0$ और $x \in I$ है,तो $f(x) = [sgn(x)] = [1] = 1$ है।
यदि $x < 0$ और $x \in I$ है,तो $f(x) = [sgn(x)] = [-1] = -1$ है।
इन सबको मिलाने पर,फलन प्रत्येक पूर्णांक $n \in I$ पर असतत है क्योंकि बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा पूर्णांकों पर फलन के मान से मेल नहीं खाती हैं। विशेष रूप से,किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim_{x \to n^-} f(x) = sgn(n-1)$ और $\lim_{x \to n^+} f(x) = sgn(n)$ है। ये $f(n) = [sgn(n)]$ के बराबर नहीं हैं। अतः,फलन प्रत्येक पूर्णांक पर असतत है।

(B) फलन $f(x) = x^2[\sin^{-1}x]$ वहाँ असंतत होता है जहाँ महत्तम पूर्णांक फलन $[\sin^{-1}x]$ असंतत होता है।
फलन $g(x) = [\sin^{-1}x]$ के लिए,असंततता के बिंदु तब होते हैं जब $\sin^{-1}x$ एक पूर्णांक हो।
$\sin^{-1}x$ का प्रांत (domain) $[-1, 1]$ है। $\sin^{-1}x$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $\{-1, 0, 1\}$ हैं।
$1$. $\sin^{-1}x = -1 \implies x = \sin(-1) = -\sin 1$.
$2$. $\sin^{-1}x = 0 \implies x = \sin(0) = 0$.
$3$. $\sin^{-1}x = 1 \implies x = \sin(1) = \sin 1$.
हालाँकि,हमें दिया गया है कि $\alpha, \beta \in R - \{0\}$। इसलिए,हम $x = 0$ को छोड़ देंगे।
दिए गए प्रांत में असंततता के बिंदु $\alpha = \sin 1$ और $\beta = -\sin 1$ हैं।
अतः,$\alpha + \beta = \sin 1 + (-\sin 1) = 0$।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x\{x\}^2, & x \notin I \\ x, & x \in I \end{cases}$ जहाँ $x \in [0,3]$.
$x \in (0,1)$ के लिए,${x} = x$,इसलिए $f(x) = x(x)^2 = x^3$. $x=0$ पर,$f(0)=0$. $x=1$ पर,$f(1)=1$.
$x \in (1,2)$ के लिए,${x} = x-1$,इसलिए $f(x) = x(x-1)^2$. $x=2$ पर,$f(2)=2$.
$x \in (2,3)$ के लिए,${x} = x-2$,इसलिए $f(x) = x(x-2)^2$. $x=3$ पर,$f(3)=3$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} 0, & x=0 \\ x^3, & 0 < x < 1 \\ 1, & x=1 \\ x(x-1)^2, & 1 < x < 2 \\ 2, & x=2 \\ x(x-2)^2, & 2 < x < 3 \\ 3, & x=3 \end{cases}$.
सांतत्य की जाँच: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 = 1$,$f(1)=1$,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1(1-1)^2 = 0$. चूँकि $1 \neq 0$,$f(x)$,$x=1$ पर असंतत है।
इसी प्रकार,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2-1)^2 = 2$,$f(2)=2$,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2-2)^2 = 0$. चूँकि $2 \neq 0$,$f(x)$,$x=2$ पर असंतत है।
अतः,$f(x)$,$x=1$ और $x=2$ पर असंतत है। असंततता के दो बिंदु हैं।
विकल्प $C$ सही है क्योंकि फलन $x=1, 2$ पर (असंततता) और $x=0, 3$ (अंत बिंदुओं) पर अवकलनीय नहीं है।

(A) $1$. $x \in (0, 1)$ के लिए,$[x] = 0 \Rightarrow f(x) = x\sqrt{1 - 0} = x$. चूँकि $f'(x) = 1 > 0$,इसलिए $f(x)$,$(0, 1)$ में वर्धमान है।
$2$. $x = 1$ पर,$f(1) = 1\sqrt{1 - 1^2} = 0$. $x \in (0, 1)$ के लिए,$f(x) = x$. जैसे-जैसे $x \to 1^-$,$f(x) \to 1$. चूँकि $f(1) = 0$ और $1$ के बाईं ओर $f(x) > 0$ है,इसलिए $x = 1$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु नहीं है।
$3$. प्रांत $1 - [x]^2 \ge 0 \Rightarrow [x]^2 \le 1 \Rightarrow -1 \le [x] \le 1$ द्वारा निर्धारित होता है। इसका अर्थ है $x \in [-1, 2)$।
$4$. फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} 0, & -1 \le x < 0 \\ x, & 0 \le x < 1 \\ 0, & 1 \le x < 2 \end{cases}$
चूँकि प्रांत में सभी $x$ के लिए $f(x) \ge 0$ है,इसलिए यह ऋणात्मक फलन नहीं है।
$5$. चूँकि $f(x)$,$x = 1$ पर असंतत है,इसलिए $[0, 1]$ पर रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है।

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\text{LHL} = \text{RHL} = f(0)$ होना चाहिए।
$\text{LHL} = \lim_{x \to 0^-} \frac{a + 3\cos x}{x^2}$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश को $x \to 0$ पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए,इसलिए $a + 3(1) = 0 \Rightarrow a = -3$.
टेलर विस्तार $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\text{LHL} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-3 + 3(1 - \frac{x^2}{2})}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-3/2 x^2}{x^2} = -\frac{3}{2}$.
$\text{RHL} = \lim_{x \to 0^+} b \tan \left( \frac{\pi}{[x + 3]} \right) = b \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) = b\sqrt{3}$.
चूंकि $\text{LHL} = \text{RHL}$,इसलिए $b\sqrt{3} = -\frac{3}{2} \Rightarrow b = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$a = -3$ और $b = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।

(D) एक फलन $f(x)$ वहाँ असंतत होता है जहाँ वह अपरिभाषित होता है।
$1$. हर $x(x-3)(x-5)$,$x = 0, 3, 5$ पर शून्य होता है। अतः,फलन इन बिंदुओं पर अपरिभाषित है।
$2$. पद $\tan x$,$x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n \in Z$) पर अपरिभाषित है।
$3$. पद $\tan^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right)$,$x \neq 1$ के लिए परिभाषित है। $x = 1$ पर,सीमा $\lim_{x \to 1^+} \tan^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right) = \frac{\pi}{2}$ और $\lim_{x \to 1^-} \tan^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right) = -\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होती है। चूँकि बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा समान नहीं हैं,इसलिए फलन $x = 1$ पर असंतत है।
इन सबको मिलाने पर,असंतत बिंदुओं का समुच्चय $\{0, 1, 3, 5\} \cup \{(2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in Z\}$ है।

(B) फलन को $f(x) = \frac{1}{1 - e^{-\frac{x+1}{x-2}}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
सबसे पहले,फलन तब अपरिभाषित होता है जब हर शून्य होता है,अर्थात $x - 2 = 0$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
दूसरा,फलन तब असांतत्य होता है जब पूरे व्यंजक का हर शून्य होता है,अर्थात $1 - e^{-\frac{x+1}{x-2}} = 0$।
इसका तात्पर्य है $e^{-\frac{x+1}{x-2}} = 1$,जिसका अर्थ है $-\frac{x+1}{x-2} = 0$।
यह तब होता है जब अंश शून्य होता है,अर्थात $x + 1 = 0$,जिससे $x = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,असांतत्य के बिंदु $x = -1$ और $x = 2$ हैं।
इसलिए,असांतत्य के बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ एक सतत,आवर्ती सम फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 4$ है।
चूँकि $f(0) = 1$ और $f(2) = -1$ है,'Intermediate Value Theorem' के अनुसार,अंतराल $(0, 2)$ में कम से कम एक मूल होना चाहिए।
चूँकि $f$ एक सम फलन है,$f(-x) = f(x)$,इसलिए अंतराल $(-2, 0)$ में भी कम से कम एक मूल होना चाहिए।
इस प्रकार,एक आवर्तकाल अंतराल $(-2, 2)$ में कम से कम $2$ मूल प्राप्त होते हैं।
अंतराल $[-10, 10]$ की लंबाई $20$ है,जो $20/4 = 5$ आवर्तकालों को कवर करती है।
अतः,$[-10, 10]$ में मूलों की न्यूनतम संख्या $2 \times 5 = 10$ होगी।

(C) दिया गया है $f(x) = \sin(\{2^x + [2^x] + [3^{-x}]\})$.
चूँकि $[2^x]$ और $[3^{-x}]$ पूर्णांक हैं,हम गुणधर्म $\{x + n\} = \{x\}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
अतः,$f(x) = \sin(\{2^x + [2^x] + [3^{-x}]\}) = \sin(\{2^x + [3^{-x}]\}) = \sin(\{2^x\})$.
फलन $f(x) = \sin(\{2^x\})$ वहाँ असांतत्य है जहाँ $2^x$ एक पूर्णांक है,क्योंकि भिन्नात्मक भाग फलन $\{u\}$ सभी पूर्णांकों $u$ पर असांतत्य होता है।
$x \in [0, 4]$ के लिए,$2^x$ का मान $[2^0, 2^4] = [1, 16]$ अंतराल में होता है।
अंतराल $[1, 16]$ में पूर्णांक $1, 2, 3, \dots, 16$ हैं।
हालाँकि,$x=0$ पर,$2^x=1$ है,और $\{2^x\}$ का मान $0$ से $0$ की ओर जाता है (जैसे $x \to 0^+$,$2^x \to 1^+$,$\{2^x\} \to 0$),इसलिए यह $x=0$ पर संतत है।
$x > 0$ के लिए,$2^x = k$ (जहाँ $k \in \{2, 3, \dots, 16\}$),फलन $\{2^x\}$ में असांतत्य होता है।
$k$ के ऐसे कुल $15$ मान हैं $(k=2, 3, \dots, 16)$।
अतः,असांतत्य के बिंदुओं की संख्या $15$ है।

(C) फलन $f(x) = \operatorname{sgn}(g(x))$ वहाँ असंतत होता है जहाँ $g(x) = 0$ होता है।
माना $g(x) = (x^2 - kx + 6)(\sin x - 1/2)$ है।
असंतत बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $x^2 - kx + 6 = 0$ या $\sin x = 1/2$ हो।
$(0, 6)$ में $\sin x = 1/2$ के लिए,हल $x = \pi/6 \approx 0.52$ और $x = 5\pi/6 \approx 2.62$ हैं।
ये $2$ असंतत बिंदु प्रदान करते हैं।
$f(x)$ के ठीक $4$ असंतत बिंदु होने के लिए,द्विघात समीकरण $x^2 - kx + 6 = 0$ के $(0, 6)$ में $2$ भिन्न मूल होने चाहिए जो $\pi/6$ या $5\pi/6$ के बराबर न हों।
द्विघात समीकरण $x^2 - kx + 6 = 0$ के $(0, 6)$ में $2$ भिन्न मूल होने के लिए:
$1) D = k^2 - 24 > 0 \Rightarrow k > \sqrt{24} \approx 4.89$.
$2) 0 < \text{vertex} < 6 \Rightarrow 0 < k/2 < 6 \Rightarrow 0 < k < 12$.
$3) f(0) = 6 > 0$ (हमेशा सत्य)।
$4) f(6) = 36 - 6k + 6 > 0 \Rightarrow 42 > 6k \Rightarrow k < 7$.
इन सबको मिलाने पर,$k \in (4.89, 7)$ प्राप्त होता है।
$k$ के पूर्णांक मान $5$ और $6$ हैं।
चूंकि हमें अधिकतम पूर्णांक मान चाहिए,इसलिए $k = 6$।

(B) माना $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2[|x|] + 1}$.
स्थिति $1$: यदि $|x| < 1$,तो $[|x|] = 0$. अतः,$g(x) = \frac{x^2 + 1}{0 + 1} = x^2 + 1$. चूँकि $|x| < 1$,इसलिए $0 \le x^2 < 1$,अतः $1 \le g(x) < 2$. इसलिए,$[g(x)] = 1$.
स्थिति $2$: यदि $|x| \ge 1$,तो $[|x|] \ge 1$. माना $n = [|x|]$,जहाँ $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$. तो $g(x) = \frac{x^2 + 1}{nx^2 + 1}$.
जैसे $x^2 \to \infty$,$g(x) \to \frac{1}{n}$. चूँकि $n \ge 1$,इसलिए $0 < \frac{1}{n} \le 1$. विशेष रूप से,$x^2 \ge 1$ के लिए,$g(x) = \frac{x^2 + 1}{nx^2 + 1} \le 1$. साथ ही,$g(x) > 0$. अतः,$|x| \ge 1$ के लिए $[g(x)] = 0$,सिवाय जब $g(x) = 1$,जो $x^2 = 1$ (अर्थात $x = \pm 1$) पर होता है.
$x = \pm 1$ पर,$g(1) = \frac{1+1}{1(1)+1} = 1$,इसलिए $[g(1)] = 1$.
इस प्रकार,$|x| < 1$ के लिए $f(x) = 1$ और $|x| > 1$ के लिए $f(x) = 0$,जहाँ $f(1) = f(-1) = 1$.
फलन $x = 1$ और $x = -1$ पर $1$ से $0$ तक कूदता है। अतः,यह दो बिंदुओं पर असतत है।

(B) दिया गया है $f(x) = | | |x + [x]| - 3[x] | - 5[x] |$ अंतराल $[-2, 2]$ पर।
$[x]$ के आधार पर अंतरालों में फलन का विश्लेषण करते हैं:
$x \in [-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$. अतः $f(x) = | | |x - 2| + 6 | + 10 | = |8 - x + 10| = 18 - x$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$. अतः $f(x) = | | |x - 1| + 3 | + 5 | = |4 - x + 5| = 9 - x$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$. अतः $f(x) = | |x| | = x$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$. अतः $f(x) = | |x + 1 - 3| - 5 | = | |x - 2| - 5 | = |(2 - x) - 5| = x + 3$.
$x = 2$ के लिए,$[x] = 2$. अतः $f(2) = | | |2 + 2| - 6 | - 10 | = | |-2| - 10 | = 12$.
सीमाओं पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$x = -1$ पर: $LHL = 19$,$RHL = 10$. असातत्य है।
$x = 0$ पर: $LHL = 9$,$RHL = 0$. असातत्य है।
$x = 1$ पर: $LHL = 1$,$RHL = 4$. असातत्य है।
$x = 2$ पर: $LHL = 5$,$f(2) = 12$. असातत्य है।
अतः,असातत्य के कुल $4$ बिंदु हैं: $x = -1, 0, 1, 2$।

(D) यदि $\lim_{x \to a} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है,तो फलन $x = a$ पर एक अपरिहार्य असांतत्यता रखता है।
$(1)$ $f(x) = \frac{1}{\ln |x|}$ के लिए,$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln |x|} = 0$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए यह एक परिहार्य (removable) असांतत्यता है।
$(2)$ $f(x) = \cos \left( \frac{|\sin x|}{x} \right)$ के लिए:
$\lim_{x \to 0^+} \cos \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \cos(1)$
$\lim_{x \to 0^-} \cos \left( \frac{-\sin x}{x} \right) = \cos(-1) = \cos(1)$।
चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए यह एक परिहार्य असांतत्यता है।
$(3)$ $f(x) = x \sin \frac{\pi}{x}$ के लिए,स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा,$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{\pi}{x} = 0$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए यह एक परिहार्य असांतत्यता है।
$(4)$ $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{\cot x}}$ के लिए:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1 + 2^{\cot x}} = \frac{1}{1 + 2^{\infty}} = 0$
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{1 + 2^{\cot x}} = \frac{1}{1 + 2^{-\infty}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$।
चूंकि बायां पक्ष सीमा $(1)$ और दायां पक्ष सीमा $(0)$ समान नहीं हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$x = 0$ पर यह एक अपरिहार्य असांतत्यता रखता है।

(D) यदि $f(x)$ का अधिकतम मान $x = 1$ पर है,तो डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x) \le f(1)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,फलन के पहले भाग का उपयोग करके $f(1)$ ज्ञात करें: $f(1) = 1^3 - 1^2 + 10(1) - 5 = 1 - 1 + 10 - 5 = 5$.
$x \le 1$ के लिए,$f(x) = x^3 - x^2 + 10x - 5$ है। मान लीजिए $g(x) = x^3 - x^2 + 10x - 5$ है। तब $g'(x) = 3x^2 - 2x + 10$ है। $g'(x)$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(3)(10) = 4 - 120 = -116 < 0$ है। चूँकि मुख्य गुणांक धनात्मक है,इसलिए सभी $x$ के लिए $g'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $x \le 1$ के लिए $f(x)$ निरंतर वर्धमान है। अतः,$x \le 1$ के लिए $f(x) \le f(1)$ की शर्त संतुष्ट होती है।
$x > 1$ के लिए,हमें $f(x) \le f(1)$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $-2x + \log_2(b^2 - 2) \le 5$। जैसे $x \to 1^+$,सीमा $-2(1) + \log_2(b^2 - 2) = -2 + \log_2(b^2 - 2)$ है। $x=1$ पर अधिकतम मान के लिए,$-2 + \log_2(b^2 - 2) \le 5$ होना चाहिए।
इसके अतिरिक्त,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $b^2 - 2 > 0 \implies b^2 > 2 \implies b \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$।
$-2 + \log_2(b^2 - 2) \le 5$ को हल करने पर:
$\log_2(b^2 - 2) \le 7$
$b^2 - 2 \le 2^7$
$b^2 - 2 \le 128$
$b^2 \le 130$.
$b^2 > 2$ और $b^2 \le 130$ को संयोजित करने पर,हमें $2 < b^2 \le 130$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b \in [-\sqrt{130}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{130}]$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $g(x) = x|x^3|$ है। चूँकि $x \ge 0$ के लिए $g(x) = x^4$ और $x < 0$ के लिए $g(x) = -x^4$ है,इसलिए $g(x)$,$x=0$ पर $3$ बार अवकलनीय है और $g''(0) = 0$ है। अतः,$g''(x)$,$x=0$ पर सतत है।
अब $h(x) = x^p \sin \left( \frac{1}{x} \right)$ ($x \neq 0$ के लिए) और $h(0) = 0$ पर विचार करें।
$h'(0)$ के अस्तित्व के लिए,$\lim_{h \to 0} \frac{h^p \sin(1/h)}{h} = 0$ होना चाहिए,जिसके लिए $p > 1$ आवश्यक है। तब $h'(0) = 0$ होगा।
$x \neq 0$ के लिए,$h'(x) = p x^{p-1} \sin \left( \frac{1}{x} \right) - x^{p-2} \cos \left( \frac{1}{x} \right)$ है।
$h''(0)$ के अस्तित्व के लिए,$\lim_{h \to 0} \frac{h'(h) - h'(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \left( p h^{p-2} \sin \left( \frac{1}{h} \right) - h^{p-3} \cos \left( \frac{1}{h} \right) \right) = 0$ होना चाहिए,जिसके लिए $p > 3$ आवश्यक है। तब $h''(0) = 0$ होगा।
$x \neq 0$ के लिए,$h''(x) = p(p-1) x^{p-2} \sin \left( \frac{1}{x} \right) - 2(p-1) x^{p-3} \cos \left( \frac{1}{x} \right) - x^{p-4} \sin \left( \frac{1}{x} \right)$ है।
$h''(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} h''(x) = h''(0) = 0$ होना चाहिए। इसके लिए सभी पदों में $x$ का घातांक धनात्मक होना चाहिए,विशेष रूप से $p-4 > 0$,अतः $p > 4$।

(C) एक नया फलन $g(x) = f(x) - x$ को $[0, 1]$ में परिभाषित करें।
चूंकि $f : [0, 1] \to [0, 1]$,इसलिए सभी $x \in [0, 1]$ के लिए $0 \leq f(x) \leq 1$ है।
$x = 0$ पर,$g(0) = f(0) - 0 = f(0) \geq 0$ है।
$x = 1$ पर,$g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ है (क्योंकि $f(1) \leq 1$)।
यदि $g(0) = 0$ या $g(1) = 0$ है,तो $x = 0$ या $x = 1$ समीकरण $f(x) = x$ का हल है।
यदि $g(0) > 0$ और $g(1) < 0$ है,तो 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,चूंकि $g(x)$ सतत है,इसलिए कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा होना चाहिए जिसके लिए $g(c) = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि $f(c) = c$ है।
अतः,समीकरण $f(x) = x$ का $[0, 1]$ में कम से कम एक हल अवश्य होना चाहिए।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} -x^3 + 1, & x \leq 1 \\ |x - 1| + \lambda, & x > 1 \end{cases}$ है।
$x = 1$ पर,फलन का मान $f(1) = -(1)^3 + 1 = 0$ है।
$x > 1$ के लिए,$f(x) = |x - 1| + \lambda = (x - 1) + \lambda$ होता है।
जैसे $x \to 1^+$,वैसे ही $f(x) \to \lambda$ होता है।
$x = 1$ को निम्निष्ठ बिंदु होने के लिए,$1$ के पड़ोस में सभी $x$ के लिए $f(1) \leq f(x)$ होना चाहिए।
चूंकि $f(1) = 0$,इसलिए फलन के निरंतर रहने या दाईं ओर की सीमा के सापेक्ष $x=1$ पर न्यूनतम बनाए रखने के लिए $0 \leq \lambda$ आवश्यक है।
विशेष रूप से,यदि $\lambda > 0$ है,तो $1$ से थोड़े बड़े $x$ के लिए,$f(x) = (x-1) + \lambda > 0 = f(1)$ होता है।
अतः,सभी $\lambda > 0$ के लिए $f(x)$ का $x = 1$ पर निम्निष्ठ बिंदु है।

(D) $\lim_{x \to 0} f(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ पर वामपक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिणपक्ष सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करेंगे।
$LHL$ $(x \to 0^-)$ के लिए:
जैसे $x \to 0^-$,$f(x) = 2 - 3x$ है। चूँकि $x$,$0$ से थोड़ा छोटा है,इसलिए $f(x)$,$2$ से थोड़ा बड़ा होगा।
माना $u = f(x)$ है। जैसे $x \to 0^-$,$u \to 2^+$ होगा।
चूँकि $u > 0$ है,हम परिभाषा $f(u) = 3 + u$ का उपयोग करेंगे।
अतः,$\lim_{x \to 0^-} f(f(x)) = \lim_{u \to 2^+} (3 + u) = 3 + 2 = 5$।
$RHL$ $(x \to 0^+)$ के लिए:
जैसे $x \to 0^+$,$f(x) = 3 + x$ है। चूँकि $x$,$0$ से थोड़ा बड़ा है,इसलिए $f(x)$,$3$ से थोड़ा बड़ा होगा।
माना $u = f(x)$ है। जैसे $x \to 0^+$,$u \to 3^+$ होगा।
चूँकि $u > 0$ है,हम परिभाषा $f(u) = 3 + u$ का उपयोग करेंगे।
अतः,$\lim_{x \to 0^+} f(f(x)) = \lim_{u \to 3^+} (3 + u) = 3 + 3 = 6$।
चूँकि $LHL$ $(5)$ और $RHL$ $(6)$ समान नहीं हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(B) $f(x)$ के $x = 3$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा बराबर होनी चाहिए: $\lim_{x \to 3^-} (x^2 - a) = \lim_{x \to 3^+} (b\sqrt{x - 2} + a) \implies 9 - a = b(1) + a \implies 2a + b = 9$.
$f(x)$ के $x = 6$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा बराबर होनी चाहिए: $\lim_{x \to 6^-} (b\sqrt{x - 2} + a) = \lim_{x \to 6^+} (2x + b) \implies b\sqrt{4} + a = 12 + b \implies 2b + a = 12 + b \implies a + b = 12$.
समीकरणों को हल करने पर: $2a + b = 9$ और $a + b = 12$। दूसरे समीकरण को पहले से घटाने पर $a = -3$ प्राप्त होता है। $a = -3$ को $a + b = 12$ में रखने पर $b = 15$ प्राप्त होता है।
अब,$f(1) = 1^2 - (-3) = 4$ और $f(3) = b\sqrt{3 - 2} + a = 15(1) - 3 = 12$.
अंत में,$\frac{f(1) - f(3)}{4} = \frac{4 - 12}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

(A) दिया गया है,$f(x) = \max(\sin x, \sin^{-1}(\cos x))$.
हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(\cos x) = \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - x))$.
$x \in [-\pi, \pi]$ के लिए,यह इस प्रकार सरल हो जाता है:
$\sin^{-1}(\cos x) = \begin{cases} \frac{\pi}{2} - x, & 0 \le x \le \pi \\ \frac{\pi}{2} + x, & -\pi \le x < 0 \end{cases}$.
$\sin x$ और $\sin^{-1}(\cos x)$ दोनों अपने संबंधित डोमेन पर सतत फलन हैं। दो सतत फलनों का अधिकतम भी एक सतत फलन ही होता है।
$y = \sin x$ और $y = \sin^{-1}(\cos x)$ के ग्राफ को प्लॉट करने पर,हम देखते हैं कि दोनों वक्र कुछ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,लेकिन परिणामी फलन $f(x) = \max(\sin x, \sin^{-1}(\cos x))$ में कहीं भी कोई ब्रेक या जंप नहीं है।
इसलिए,$f(x)$ हर जगह सतत है।

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$k = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$k = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \tan x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{1}{x} \ln(1 + \tan x)} - e}{x}$।
$e$ को बाहर निकालने पर,$k = e \lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{1}{x} \ln(1 + \tan x) - 1} - 1}{x}$।
सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हम $(\frac{1}{x} \ln(1 + \tan x) - 1)$ से गुणा और भाग करेंगे:
$k = e \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{\frac{1}{x} \ln(1 + \tan x) - 1} - 1}{\frac{1}{x} \ln(1 + \tan x) - 1} \right) \cdot \left( \frac{\ln(1 + \tan x) - x}{x^2} \right)$।
विस्तार $\ln(1 + t) = t - \frac{t^2}{2} + \dots$ और $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \dots$ का उपयोग करने पर,$\ln(1 + \tan x) = (x + \frac{x^3}{3}) - \frac{(x + \dots)^2}{2} = x - \frac{x^2}{2} + \dots$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \tan x) - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^2}{2} - x}{x^2} = -\frac{1}{2}$।
इसलिए,$k = e \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{e}{2}$।

(D) सबसे पहले,निरपेक्ष मान के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करें: $x^3 - 2x^2 - x + 2 = x^2(x - 2) - 1(x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$.
अतः,$f(x) = [x]|(x - 1)(x + 1)(x - 2)|$.
फलन $g(x) = |(x - 1)(x + 1)(x - 2)|$ एक सतत बहुपद फलन है।
फलन $h(x) = [x]$ सभी पूर्णांकों $x \in \mathbb{Z}$ पर असतत है।
अंतराल $[-\frac{3}{2}, \frac{9}{2}]$ में पूर्णांक $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
मान लीजिए $f(x) = [x] \cdot g(x)$ है। यदि $g(k) \neq 0$ है और $[x]$,$x = k$ पर असतत है,तो गुणनफल $x = k$ पर असतत होता है।
$k \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ के लिए $g(k)$ के मानों की जाँच करें:
$g(-1) = |(-1-1)(-1+1)(-1-2)| = 0$.
$g(0) = |(0-1)(0+1)(0-2)| = |(-1)(1)(-2)| = 2 \neq 0$.
$g(1) = |(1-1)(1+1)(1-2)| = 0$.
$g(2) = |(2-1)(2+1)(2-2)| = 0$.
$g(3) = |(3-1)(3+1)(3-2)| = |(2)(4)(1)| = 8 \neq 0$.
$g(4) = |(4-1)(4+1)(4-2)| = |(3)(5)(2)| = 30 \neq 0$.
चूँकि $x = -1, 1, 2$ पर $g(k) = 0$ है,इसलिए $f(x)$ इन बिंदुओं पर सतत है क्योंकि $\lim_{x \to k} [x]g(x) = g(k) = 0$.
अतः,$f(x)$ केवल $x = 0, 3, 4$ पर असतत है।
असतत बिंदुओं की संख्या $3$ है।

(A) फलन $f(x) = \operatorname{sgn}(x^2 - 3x + 2)$ जब $x \in \mathbb{Q}$ और $f(x) = 0$ जब $x \notin \mathbb{Q}$ के रूप में परिभाषित है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{sgn}(x^2 - 3x + 2) = \operatorname{sgn}((x-1)(x-2))$।
सिग्नम फलन $\{-1, 0, 1\}$ मान लेता है।
$f(x)$ के किसी बिंदु $x = a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x \to a} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(a)$ के बराबर होनी चाहिए।
चूँकि $\mathbb{Q}$ और $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ वास्तविक संख्याओं में सघन हैं,सीमा के अस्तित्व के लिए फलन को $a$ की ओर जाने वाले परिमेय और अपरिमेय दोनों अनुक्रमों के लिए समान मान लेना चाहिए।
अतः,हमें $\operatorname{sgn}(a^2 - 3a + 2) = 0$ की आवश्यकता है।
यह तब होता है जब $a^2 - 3a + 2 = 0$,जिससे $a = 1$ या $a = 2$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$f(1) = \operatorname{sgn}(0) = 0$। किसी भी अनुक्रम $x_n \to 1$ के लिए,$f(x_n)$ का मान $0$ की ओर प्रवृत्त होगा क्योंकि $\operatorname{sgn}(x^2 - 3x + 2)$ का मान $x=1$ और $x=2$ पर $0$ है,और अपरिमेय संख्याओं के लिए फलन का मान $0$ है।
इस प्रकार,$f(x)$,$x=1$ और $x=2$ पर सतत है।
ऐसे कुल $2$ बिंदु हैं।