मान लीजिए कि f,[a, b] पर सतत है और [a, b] में | vedclass

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Question

(D) व्याख्या: मान लीजिए कि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [a, b]$ के लिए $f(x) \in \mathbb{Z}$ है।मध्यवर्ती मान प्रमे

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$f(x)$ अचर है

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(D) व्याख्या: मान लीजिए कि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [a, b]$ के लिए $f(x) \in \mathbb{Z}$ है।मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,यदि $f$,$[a, b]$ पर सतत है,तो $f$ को $f(a)$ और $f(b)$ के बीच के सभी मानों को ग्रहण करना चाहिए।मान लीजिए कि $f$ अचर नहीं है। तो $[a, b]$ में ऐसे $x_1, x_2$ मौजूद हैं कि $f(x_1) = n$ और $f(x_2) = m$ जहाँ $n 
eq m$ है। बिना किसी हानि के,मान लीजिए कि $n चूंकि $f$ सतत है,इसलिए $n हालाँकि,हमें दिया गया है कि $[a, b]$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f(x)$ एक पूर्णांक है।यदि हम $y = n + 0.5$ लेते हैं,जो कि पूर्णांक नहीं है,तो यह इस शर्त का खंडन करता है कि $f(x)$ एक पूर्णांक होना चाहिए।इसलिए,यह धारणा कि $f$ अचर नहीं है,गलत है।अतः,$f(x)$ एक अचर फलन होना चाहिए।

मान लीजिए कि $f$,$[a, b]$ पर सतत है और $[a, b]$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f(x)$ एक पूर्णांक है। तो $[a, b]$ में

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 5x \tan kx}{x^2} & , x \neq 0 \\ 1 & , x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है,तो $k$ का मान . . . . . . है। $(\because k \neq 0)$

फलन $f(x) = \frac{1 - \cos(1 - \cos x)}{x^4}$ के हर जगह सतत होने के लिए $f(0)$ का मान क्या होगा?

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