मान लीजिए कि f,mathbb{R} पर परिभाषित एक सतत,आ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f(x)$ एक सतत,आवर्ती सम फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 4$ है। चूँकि $f(0) = 1$ और $f(2) = -1$ है,'Intermediate Value Theorem' के अनुसार

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$10$

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(A) दिया गया है कि $f(x)$ एक सतत,आवर्ती सम फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 4$ है। चूँकि $f(0) = 1$ और $f(2) = -1$ है,'Intermediate Value Theorem' के अनुसार,अंतराल $(0, 2)$ में कम से कम एक मूल होना चाहिए। चूँकि $f$ एक सम फलन है,$f(-x) = f(x)$,इसलिए अंतराल $(-2, 0)$ में भी कम से कम एक मूल होना चाहिए। इस प्रकार,एक आवर्तकाल अंतराल $(-2, 2)$ में कम से कम $2$ मूल प्राप्त होते हैं। अंतराल $[-10, 10]$ की लंबाई $20$ है,जो $20/4 = 5$ आवर्तकालों को कवर करती है। अतः,$[-10, 10]$ में मूलों की न्यूनतम संख्या $2 	imes 5 = 10$ होगी।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x} & ; -1 \leq x < 0 \\ \frac{2x+1}{x-1} & ; 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \frac{1 - \sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x}$,$x = \pi$ पर परिभाषित नहीं है। $f(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि $f(x)$,$x = \pi$ पर सतत हो।

यदि फलन $f(x) = \frac{1 - \cos 4x}{8x^2}$ जहाँ $x \ne 0$ और $f(x) = k$ जहाँ $x = 0$ पर एक सतत फलन है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। यदि $f(x) = [x \sin \pi x]$ है,तो $f(x)$ है

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