Continuity Questions in Hindi

(C) चिह्न फलन $\operatorname{sgn}(u)$,$u = 0$ पर असतत होता है।
$f(x) = \operatorname{sgn}\left(3 \cos x - \frac{a}{3}\right)$ को सभी $x$ के लिए सतत होने के लिए,तर्क $3 \cos x - \frac{a}{3}$ कभी भी $0$ के बराबर नहीं होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $3 \cos x - \frac{a}{3} \neq 0$,जिसका अर्थ है $\cos x \neq \frac{a}{9}$।
चूँकि $\cos x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए समीकरण $\cos x = \frac{a}{9}$ का कोई हल नहीं होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\frac{a}{9} > 1$ या $\frac{a}{9} < -1$ हो।
$\frac{a}{9} > 1$ के लिए,$a > 9$ प्राप्त होता है।
$\frac{a}{9} < -1$ के लिए,$a < -9$ प्राप्त होता है।
हमें $a$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात करना है।
चूँकि $a > 9$ है,इसलिए $a$ का सबसे छोटा पूर्णांक मान $10$ है।

(B) सबसे पहले,हम $x = 0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं। $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (3 - \sin(1/x))|x|$। चूँकि $|\sin(1/x)| \le 1$,हमारे पास $2|x| \le (3 - \sin(1/x))|x| \le 4|x|$ है। सैंडविच प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$। अतः,$f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
इसके बाद,हम $x = 0$ के निकट $f(x)$ के मानों की जाँच करते हैं। किसी भी $x \ne 0$ के लिए,$|x| > 0$ और $(3 - \sin(1/x)) \ge 3 - 1 = 2 > 0$ है। इसलिए,सभी $x \ne 0$ के लिए $f(x) = (3 - \sin(1/x))|x| > 0$ है।
चूँकि $f(0) = 0$ है और $0$ के प्रतिवेश में सभी $x \ne 0$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए $0$ के प्रतिवेश में सभी $x$ के लिए $f(x) \ge f(0)$ है। अतः,$f$ का $x = 0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ मान है।

(A) $f(x)$ के $x = 2$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ का पालन होना चाहिए।
सबसे पहले,हम सीमा $\lim_{x \to 2} ([x] + [-x])$ का मूल्यांकन करते हैं।
हम जानते हैं कि किसी भी $x \notin \mathbb{Z}$ के लिए,$[x] + [-x] = -1$ होता है।
चूंकि सीमा $x \to 2$ में $x$ के मान $2$ के अत्यंत निकट होते हैं लेकिन $2$ नहीं होते हैं,इसलिए:
$\lim_{x \to 2} ([x] + [-x]) = -1.$
सांतत्य के लिए,हमें $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ की आवश्यकता है।
दिया गया है कि $f(2) = \lambda,$ इसलिए $\lambda = -1$ प्राप्त होता है।

(C) $x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$f(1) = |1 - 3| = |-2| = 2$.
बायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (\frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + \frac{13}{4}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{13}{4} = \frac{1 - 6 + 13}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
दायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} |x - 3| = |1 - 3| = 2$.
चूँकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$,इसलिए फलन $x = 1$ पर सतत है।
$x = 3$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$x = 3$ के आसपास फलन $f(x) = |x - 3|$ के रूप में परिभाषित है।
चूँकि $|x - 3|$ एक मापांक फलन है,यह हर जगह सतत होता है।
अतः,$f(x)$ $x = 1$ और $x = 3$ पर सतत है।

(A) $g(f(x))$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 1^-} g(f(x)) = \lim_{x \to 1^+} g(f(x)) = g(f(1))$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 1$ पर $f(x)$ की सीमाएँ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x - 1}{2} = 0$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1/2$.
$f(1) = 1/2$.
अब,$x = 1$ पर $g(f(x))$ की सांतत्यता की शर्त लागू करें:
$g(\lim_{x \to 1^-} f(x)) = g(\lim_{x \to 1^+} f(x)) = g(f(1))$.
$g(0) = g(1/2) = g(1/2)$.
$g(x) = (2x + 1)(x - k) + 3$ का उपयोग करके $g(0)$ और $g(1/2)$ की गणना करें:
$g(0) = (2(0) + 1)(0 - k) + 3 = -k + 3$.
$g(1/2) = (2(1/2) + 1)(1/2 - k) + 3 = (1 + 1)(1/2 - k) + 3 = 2(1/2 - k) + 3 = 1 - 2k + 3 = 4 - 2k$.
$g(0) = g(1/2)$ को बराबर करने पर:
$-k + 3 = 4 - 2k$.
$2k - k = 4 - 3$.
$k = 1$.

(A) हमें $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} [(kx)^2]}{n^3}$ दिया गया है।
महत्तम पूर्णांक फलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$[y] = y - \{y\}$,जहाँ $0 \le \{y\} < 1$,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} ((kx)^2 - \{(kx)^2\})}{n^3}$.
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{x^2 \sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3} - \frac{\sum_{k=1}^{n} \{(kx)^2\}}{n^3} \right)$.
चूंकि $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,पहला पद $\lim_{n \to \infty} \frac{x^2 n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{x^2}{6} \times 2 = \frac{x^2}{3}$ हो जाता है।
दूसरे पद में $\sum_{k=1}^{n} \{(kx)^2\}$ शामिल है। चूंकि $0 \le \{(kx)^2\} < 1$,योग $n$ द्वारा सीमित है। इसलिए,$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \{(kx)^2\}}{n^3} = 0$.
अतः,$f(x) = \frac{x^2}{3}$.
चूंकि $f(x) = \frac{x^2}{3}$ एक बहुपद फलन है,यह सभी $x \in R$ के लिए सतत है।

(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x \to 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
दिया गया है $f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} \right)} \right)$.
चूँकि $|\sin \theta| \leq 1$,हमारे पास $|f(x)| = |x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} \right)} \right)| \leq |x \sin \left( \frac{1}{x} \right)| \leq |x|$ है।
जैसे $x \to 0$,$|x| \to 0$,इसलिए स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$ है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin \left( \frac{1}{h} \right) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} \right)} \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \sin \left( \frac{1}{h} \right) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} \right)} \right)$ का मान ज्ञात करते हैं।
मान लीजिए $g(h) = \sin \left( \frac{1}{h} \right) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} \right)} \right)$ है। जैसे $h \to 0$,$\sin \left( \frac{1}{h} \right)$ $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है। पद $\frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} \right)}$ भी दोलन करता है और मनमाने ढंग से बड़े मान लेता है,जिससे दूसरा साइन पद भी दोलन करता है। अतः,सीमा का अस्तित्व नहीं है।
इसलिए,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(B) फलन $f(x) = \left[ \frac{(x - 2)^3}{a} \right] \sin(x - 2) + a \cos(x - 2)$ के अंतराल $[4, 6]$ में सतत होने के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन के अंदर का पद अचर होना चाहिए या गुणा में मौजूद $\sin(x - 2)$ पद द्वारा असततता समाप्त होनी चाहिए।
अंतराल $x \in [4, 6]$ के लिए,$(x - 2)^3$ का मान $(4 - 2)^3 = 8$ से $(6 - 2)^3 = 64$ तक होता है।
यदि प्रत्येक $x \in [4, 6]$ के लिए $0 < \frac{(x - 2)^3}{a} < 1$ हो,तो $\left[ \frac{(x - 2)^3}{a} \right] = 0$ होगा।
यह तब होता है जब $\frac{64}{a} \le 1$,जिसका अर्थ है $a \ge 64$।
यदि $a > 64$ है,तो प्रत्येक $x \in [4, 6]$ के लिए $\left[ \frac{(x - 2)^3}{a} \right] = 0$ होगा,जिससे $f(x) = a \cos(x - 2)$ प्राप्त होगा,जो कि सतत है।
यदि $a = 64$ हो,तो $x = 6$ पर $\left[ \frac{(6 - 2)^3}{64} \right] = [1] = 1$ होगा,और $x < 6$ के लिए $\left[ \frac{(x - 2)^3}{64} \right] = 0$ होगा। अतः $x = 6$ पर असततता उत्पन्न होगी,जब तक कि $\sin(x - 2) = 0$ न हो। चूँकि $\sin(4) \neq 0$,इसलिए $a = 64$ संभव नहीं है।
अतः,सततता के लिए शर्त $a > 64$ है। दिए गए विकल्पों में से,$65$ ही एकमात्र मान है जो $a > 64$ को संतुष्ट करता है।

(B) फलन $f(x) = [2x^3 - 5]$ उन बिंदुओं पर असतत होता है जहाँ तर्क $2x^3 - 5$ एक पूर्णांक होता है।
हम अंतराल $(1, 2)$ में ऐसे बिंदु $x$ खोज रहे हैं ताकि $2x^3 - 5 = k$ हो,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
चूँकि $x \in (1, 2)$,इसलिए $1 < x < 2$ है।
घन करने पर,$1 < x^3 < 8$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2 < 2x^3 < 16$ प्राप्त होता है।
$5$ घटाने पर,$2 - 5 < 2x^3 - 5 < 16 - 5$,अर्थात $-3 < 2x^3 - 5 < 11$ प्राप्त होता है।
अतः,$k$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ हैं।
ऐसे कुल $13$ पूर्णांक मान हैं।
प्रत्येक पूर्णांक $k$ के लिए,अंतराल $(1, 2)$ में एक अद्वितीय $x = \sqrt[3]{\frac{k+5}{2}}$ मौजूद है।
इसलिए,अंतराल $(1, 2)$ में असतत बिंदुओं की संख्या $13$ है।

(A) $x = \frac{1}{2}$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x \to \frac{1}{2}$ के लिए सीमा का मान ज्ञात करते हैं।
$f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ होना चाहिए।
यहाँ,$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $\frac{1}{2}$ एक परिमेय संख्या है)।
परिमेय संख्याओं के किसी भी अनुक्रम $r_n \to \frac{1}{2}$ के लिए,$f(r_n) = r_n \to \frac{1}{2}$।
अपरिमेय संख्याओं के किसी भी अनुक्रम $i_n \to \frac{1}{2}$ के लिए,$f(i_n) = 1 - i_n \to 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
चूंकि सीमा का अस्तित्व है और यह $f(\frac{1}{2})$ के बराबर है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = \frac{1}{2}$ पर सतत है।
अब,अवकलनीयता की जाँच करें: $f'(1/2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1/2 + h) - f(1/2)}{h}$।
यदि $1/2 + h$ परिमेय है,तो $\frac{f(1/2+h) - f(1/2)}{h} = \frac{1/2+h - 1/2}{h} = 1$।
यदि $1/2 + h$ अपरिमेय है,तो $\frac{f(1/2+h) - f(1/2)}{h} = \frac{1 - (1/2+h) - 1/2}{h} = \frac{-h}{h} = -1$।
चूंकि सीमा का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = \frac{1}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) हम सीमा $f(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {4\sin^2 x} \right)}^{n}}}}{{{3^n} - {{\left( {4\cos^2 x} \right)}^{n}}}}$ का विश्लेषण करते हैं।
स्थिति $1$: यदि $|4\sin^2 x| < 3$ और $|4\cos^2 x| < 3$ है,तो $f(x) = 0$ है।
यह तब होता है जब $\sin^2 x < \frac{3}{4}$ और $\cos^2 x < \frac{3}{4}$,अर्थात $\frac{1}{4} < \sin^2 x < \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $x \in (m\pi + \frac{\pi}{6}, m\pi + \frac{\pi}{3})$।
स्थिति $2$: यदि $|4\sin^2 x| > 3$ और $|4\cos^2 x| < 3$ है,तो $f(x) = \infty$ (सीमा मौजूद नहीं है)।
यह तब होता है जब $\sin^2 x > \frac{3}{4}$,अर्थात $x \in (m\pi + \frac{\pi}{3}, m\pi + \frac{2\pi}{3})$।
स्थिति $3$: यदि $|4\cos^2 x| > 3$ और $|4\sin^2 x| < 3$ है,तो $f(x) = 0$ है।
$x = m\pi \pm \frac{\pi}{6}$ पर,हर $0$ के करीब पहुंचता है या पद अपरिभाषित हो जाते हैं,जिससे असंततता उत्पन्न होती है। अतः,$f(x)$ इन बिंदुओं पर असंतत है। $f(0) = 0$ और $f(\pi/3) = 1$ की जांच करने पर पुष्टि होती है कि सभी कथन सही हैं।

(A) $f(x)$ का $x = -2$ पर अधिकतम मान होने के लिए,$f(-2)$ का मान $x = -2$ के पड़ोस में $f(x)$ के मानों से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
सबसे पहले,$x \neq -2$ के लिए फलन $g(x) = 2 - |x^2 + 5x + 6|$ का विश्लेषण करते हैं।
हम जानते हैं कि $|x^2 + 5x + 6| \ge 0$,इसलिए $2 - |x^2 + 5x + 6| \le 2$ है।
$g(x)$ का अधिकतम मान $2$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $x^2 + 5x + 6 = 0$,अर्थात $(x+2)(x+3) = 0$,इसलिए $x = -2$ या $x = -3$ है।
चूंकि फलन $x \neq -2$ के लिए $f(x) = g(x)$ और $f(-2) = a^2 + 1$ के रूप में परिभाषित है,इसलिए $f(x)$ का $x = -2$ पर अधिकतम मान होने के लिए,यह आवश्यक है कि $f(-2) \ge \lim_{x \to -2} f(x)$ हो।
$x \to -2$ पर सीमा की गणना करने पर:
$\lim_{x \to -2} (2 - |x^2 + 5x + 6|) = 2 - |(-2)^2 + 5(-2) + 6| = 2 - |4 - 10 + 6| = 2 - 0 = 2$ है।
अतः,हमें $a^2 + 1 \ge 2$ की आवश्यकता है।
$a^2 \ge 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|a| \ge 1$ प्राप्त होता है।

(A) फलन $f(x)$ के $x = 2$ पर सतत होने के लिए,$x \to 2$ पर $f(x)$ की सीमा का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(2)$ के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ $x \neq 2$ के लिए $f(x) = [x] + [-x]$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x] + [-x] = \begin{cases} 0, & \text{यदि } x \in \mathbb{Z} \\ -1, & \text{यदि } x \notin \mathbb{Z} \end{cases}$ होता है।
चूंकि $x = 2$ एक पूर्णांक है,इसलिए हम $x$ के $2$ के बाईं ओर $(x \to 2^-)$ और दाईं ओर $(x \to 2^+)$ से सीमा ज्ञात करते हैं।
जब $x$ का मान $2$ के निकट हो लेकिन $x \neq 2$ हो,तो $x$ पूर्णांक नहीं है,इसलिए $[x] + [-x] = -1$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 2} f(x) = -1$ है।
सांतत्य के लिए,$f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\lambda = -1$ है।

(C) चूंकि $f(x)$,$x = 2$ पर संतत है,इसलिए $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ होगा।
$\lim_{x \to 2} (x - 1)^{\frac{1}{2 - x}} = k$। यह $1^{\infty}$ रूप है।
सूत्र $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} (g(x) - 1)h(x)}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k = e^{\lim_{x \to 2} (x - 1 - 1) \cdot \frac{1}{2 - x}}$
$k = e^{\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{2 - x}}$
$k = e^{\lim_{x \to 2} \frac{-(2 - x)}{2 - x}}$
$k = e^{-1}$।

(A) यदि फलन $x = 0$ पर सतत है,तो $\lim_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
अब,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{k - 1}{e^{2x} - 1} \right)$.
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{2x} - 1 - (k - 1)x}{x(e^{2x} - 1)} \right)$.
$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ के विस्तार का उपयोग करने पर:
$= \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x + 2x^2 + \dots) - 1 - kx + x}{x(2x + 2x^2 + \dots)}$.
$= \lim_{x \to 0} \frac{(3 - k)x + 2x^2 + \dots}{2x^2 + 2x^3 + \dots}$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश में $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $3 - k = 0$,जिससे $k = 3$ प्राप्त होता है।
$k = 3$ रखने पर,सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \dots}{2x^2 + 2x^3 + \dots} = \frac{2}{2} = 1$ हो जाती है।
अतः,$f(0) = 1$,और क्रमित युग्म $(3, 1)$ है।

(C) फलन $f(x)$ के अंतराल $[0, \infty)$ में सतत होने के लिए,इसे $x=1$ और $x=\sqrt{2}$ पर सतत होना चाहिए।
$1$. $x=1$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$
$\frac{2(1)^2}{a} = a \implies \frac{2}{a} = a \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$.
$2$. $x=\sqrt{2}$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \to \sqrt{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \sqrt{2}^+} f(x) = f(\sqrt{2})$
$a = \frac{2b^2 - 4b}{(\sqrt{2})^3} = \frac{2b^2 - 4b}{2\sqrt{2}} = \frac{b^2 - 2b}{\sqrt{2}}$.
स्थिति $1$: यदि $a = \sqrt{2}$ है,तो $\sqrt{2} = \frac{b^2 - 2b}{\sqrt{2}} \implies b^2 - 2b = 2 \implies b^2 - 2b - 2 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$b = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
अतः,$(a, b) = (\sqrt{2}, 1 \pm \sqrt{3})$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,युग्म $(\sqrt{2}, 1 - \sqrt{3})$ विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(B) दिया गया है कि $f(x)$ सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to 0} g(x))$.
सबसे पहले,आंतरिक फलन की सीमा का मूल्यांकन करें: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}$ प्राप्त होता है।
$\left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$ से गुणा और भाग करने पर: $\lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{\sin^2 \frac{3x}{2}}{\left( \frac{3x}{2} \right)^2} = \frac{9}{2} \cdot (1)^2 = \frac{9}{2}$.
चूंकि $f(x)$ सतत है,$\lim_{x \to 0} f \left( \frac{1 - \cos 3x}{x^2} \right) = f \left( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} \right) = f \left( \frac{9}{2} \right)$.
दिया गया है कि $f \left( \frac{9}{2} \right) = \frac{2}{9}$,इसलिए अंतिम उत्तर $\frac{2}{9}$ है।

(B) $x=0$ पर $f(x)$ के लिए:
$LHL = \lim_{h \to 0^-} (-h) \sin(-1/h) = \lim_{h \to 0^-} h \sin(1/h) = 0$.
$RHL = \lim_{h \to 0^+} h \sin(1/h) = 0$.
चूंकि $f(0) = 0$,$LHL = RHL = f(0)$,इसलिए $f$,$x=0$ पर सतत है। कथन $I$ सही है।
$g(x) = x f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x), & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ के लिए।
$x=0$ पर अवकलनीयता की जांच करने के लिए,हम $g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$ प्राप्त करते हैं।
चूंकि सीमा मौजूद है और परिमित है,इसलिए $g$,$x=0$ पर अवकलनीय है। कथन $II$ सही है।

(D) फलन $f(x)$ के $x = \pi$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to \pi} f(x) = f(\pi) = k$ होना चाहिए।
माना $x = \pi + h$,जहाँ $x \to \pi$ होने पर $h \to 0$ होता है। अतः $(\pi - x)^2 = (-h)^2 = h^2$.
$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 + \cos(\pi + h)} - 1}{h^2} = k$.
चूँकि $\cos(\pi + h) = -\cos h$,इसलिए:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 - \cos h} - 1}{h^2}$.
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2 - \cos h} - 1)(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{2 - \cos h - 1}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
$k = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
सर्वसमिका $1 - \cos h = 2 \sin^2(h/2)$ का उपयोग करने पर:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{2 \sin^2(h/2)}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{2 \sin^2(h/2)}{4(h/2)^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
चूँकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$:
$k = \frac{2}{4} \times \frac{1}{\sqrt{2 - 1} + 1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) माना $h(x) = f(x) - g(x) = x \log x - (2 - x) = x \log x + x - 2$.
हम अंतराल $[1, 2]$ के अंत बिंदुओं पर फलन $h(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$h(1) = 1 \cdot \log(1) + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$.
$h(2) = 2 \cdot \log(2) + 2 - 2 = 2 \log(2) = \log(4)$.
चूंकि $\log(4) > 0$ (क्योंकि $4 > 1$),इसलिए $h(1) < 0$ और $h(2) > 0$ है।
चूंकि $h(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर एक सतत फलन है,मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,कम से कम एक $c \in (1, 2)$ ऐसा विद्यमान है कि $h(c) = 0$,जिसका अर्थ है $f(c) = g(c)\text{।}$ अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के लिए,$f'(x) = \log x + x(1/x) = \log x + 1$ है। $x \in [1, 2]$ के लिए,$f'(x) \geq 1 > 0$,इसलिए $f(x)$ वर्धमान फलन है। $g'(x) = -1 < 0$,इसलिए $g(x)$ ह्रासमान फलन है। चूंकि $f(1) < g(1)$ और $f(2) > g(2)$ है,इसलिए ग्राफ $[1, 2]$ में प्रतिच्छेद करेंगे। अतः,कथन-$2$ सत्य है और यह कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण देता है।

(A) दिया गया है $f(x) = [x] + |1 - x|$,जहाँ $x \in [-1, 3]$।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$,अतः $f(x) = -1 + (1 - x) = -x$।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,अतः $f(x) = 0 + (1 - x) = 1 - x$।
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,अतः $f(x) = 1 + (x - 1) = x$।
$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,अतः $f(x) = 2 + (x - 1) = x + 1$।
$x = 3$ पर,$f(3) = [3] + |1 - 3| = 3 + 2 = 5$।
सांतत्य की जाँच:
$x=0$ पर: $LHL = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 0^+} (1 - x) = 1$। चूँकि $LHL \neq RHL$,$f$,$x=0$ पर असतत है।
$x=1$ पर: $LHL = \lim_{x \to 1^-} (1 - x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 1^+} (x) = 1$। चूँकि $LHL \neq RHL$,$f$,$x=1$ पर असतत है।
$x=2$ पर: $LHL = \lim_{x \to 2^-} (x) = 2$,$RHL = \lim_{x \to 2^+} (x + 1) = 3$। चूँकि $LHL \neq RHL$,$f$,$x=2$ पर असतत है।
$x=3$ पर: $LHL = \lim_{x \to 3^-} (x + 1) = 4$,$f(3) = 5$। चूँकि $LHL \neq f(3)$,$f$,$x=3$ पर असतत है।
अतः,कथन $1$ सत्य है। कथन $2$ में $f(x)$ की परिभाषा गलत है,इसलिए कथन $2$ असत्य है।

(D) कथन $1$ सत्य है। यह बिंदु $x_0$ पर सांतत्य की मानक परिभाषा है।
कथन $2$ असत्य है। एक फलन $f$,$x_0$ पर असतत होता है यदि वह $x_0$ पर सतत नहीं है। यह तब होता है यदि $\lim_{x \to x_0} f(x)$ का अस्तित्व न हो,या यदि $\lim_{x \to x_0} f(x)$ का अस्तित्व हो लेकिन $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$ हो। कथन $2$ केवल असंततता के एक विशिष्ट मामले (removable discontinuity) का वर्णन करता है और अन्य मामलों जैसे कि jump discontinuity या infinite discontinuity को अनदेखा करता है जहाँ सीमा का अस्तित्व ही नहीं हो सकता है।

(D) $f(x)$ के सतत होने के लिए,इसे संक्रमण बिंदुओं $x=1, x=3,$ और $x=5$ पर सतत होना चाहिए।
$x=1$ पर:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 5$
$RHL = \lim_{x \to 1^+} f(x) = a + b(1) = a + b$
सांतत्य के लिए,$a + b = 5$ $(i)$
$x=3$ पर:
$LHL = \lim_{x \to 3^-} f(x) = a + 3b$
$RHL = \lim_{x \to 3^+} f(x) = b + 5(3) = b + 15$
सांतत्य के लिए,$a + 3b = b + 15 \implies a + 2b = 15$ $(ii)$
$x=5$ पर:
$LHL = \lim_{x \to 5^-} f(x) = b + 5(5) = b + 25$
$RHL = \lim_{x \to 5^+} f(x) = 30$
सांतत्य के लिए,$b + 25 = 30 \implies b = 5$
$b=5$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 2(5) = 15 \implies a + 10 = 15 \implies a = 5$
अब इन मानों की $(i)$ में जाँच करें:
$a + b = 5 + 5 = 10 \neq 5$
चूंकि $a=5$ और $b=5$ मान $x=1$ पर शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं,इसलिए $a$ और $b$ का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए फलन हर जगह सतत हो।

(A) हम विभिन्न अंतरालों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$|x| = -x$ और $[x] = -1$,इसलिए $f(x) = -x - 1$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$|x| = x$ और $[x] = 0$,इसलिए $f(x) = x + 0 = x$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = x + x = 2x$.
$x \in [2, 3]$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = x + x = 2x$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} -x-1, & -1 \leq x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 2x, & 1 \leq x \leq 3 \end{cases}$.
$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ और $f(0) = 0$. चूँकि $-1 \neq 0$,$f$ बिंदु $x=0$ पर असंतत है।
$x=1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$ और $f(1) = 2(1) = 2$. चूँकि $1 \neq 2$,$f$ बिंदु $x=1$ पर असंतत है।
$x=2$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2) = 4$ और $f(2) = 2(2) = 4$. चूँकि सीमा फलन के मान के बराबर है,$f$ बिंदु $x=2$ पर संतत है।
इसलिए,$f$ केवल दो बिंदुओं $x=0$ और $x=1$ पर असंतत है।

(A) फलन $f(x)$ के $x = 5$ पर सतत होने के लिए,वाम पक्ष सीमा $(LHL)$,दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ और $x = 5$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$LHL = \lim_{x \to 5^-} f(x) = a|\pi - 5| + 1 = a(5 - \pi) + 1$ (चूंकि $5 > \pi$,इसलिए $|\pi - 5| = 5 - \pi$)।
$RHL = \lim_{x \to 5^+} f(x) = b|\pi - 5| + 3 = b(5 - \pi) + 3$।
$f(5) = a|\pi - 5| + 1 = a(5 - \pi) + 1$।
$LHL$ और $RHL$ को बराबर करने पर:
$a(5 - \pi) + 1 = b(5 - \pi) + 3$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a(5 - \pi) - b(5 - \pi) = 3 - 1$।
$(a - b)(5 - \pi) = 2$।
अतः,$a - b = \frac{2}{5 - \pi}$।

(D) दिया गया है $f(x) = [x] - [\frac{x}{4}]$.
$x = 4$ पर दाईं ओर की सीमा:
$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} [x] - \lim_{x \to 4^+} [\frac{x}{4}] = 4 - 1 = 3$.
$x = 4$ पर बाईं ओर की सीमा:
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} [x] - \lim_{x \to 4^-} [\frac{x}{4}] = 3 - 0 = 3$.
साथ ही,$f(4) = [4] - [\frac{4}{4}] = 4 - 1 = 3$.
चूँकि $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^-} f(x) = f(4) = 3$,इसलिए फलन $f$,$x = 4$ पर संतत है।

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना आवश्यक है।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} - 1)}{x \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$.
संयुग्मी $\frac{\sqrt{1+x} + 1}{\sqrt{1+x} + 1}$ से गुणा करने पर:
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
अब,बाईं सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$LHL = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin((p+1)x) + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin((p+1)x)}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (p+1) + 1 = p+2$.
चूंकि $f(0) = q$,निरंतरता के लिए $LHL = RHL = f(0)$ होना चाहिए:
$p + 2 = 1/2 \implies p = 1/2 - 2 = -3/2$.
$q = 1/2$.
अतः,क्रमित युग्म $(p, q) = (-3/2, 1/2)$ है।

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$k = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log_{e}\left(\frac{1+3x}{1-2x}\right)$
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\log_{e}\left(\frac{a}{b}\right) = \log_{e}(a) - \log_{e}(b)$:
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log_{e}(1+3x) - \log_{e}(1-2x)}{x}$
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\log_{e}(1+3x)}{x} - \frac{\log_{e}(1-2x)}{x} \right)$
मानक सीमा $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log_{e}(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 3 \cdot \frac{\log_{e}(1+3x)}{3x} - (-2) \cdot \frac{\log_{e}(1-2x)}{-2x} \right)$
$k = 3(1) - (-2)(1) = 3 + 2 = 5$.

(B) दिया गया है $A = \lim_{x \to 0} x[\frac{4}{x}]$.
गुणधर्म $[y] = y - \{y\}$ का उपयोग करने पर,$A = \lim_{x \to 0} x(\frac{4}{x} - \{\frac{4}{x}\}) = \lim_{x \to 0} (4 - x\{\frac{4}{x}\})$.
चूंकि $0 \leq \{\frac{4}{x}\} < 1$,स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x \to 0} x\{\frac{4}{x}\} = 0$.
अतः,$A = 4$.
फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ वहाँ असंतत है जहाँ $[x^2]$ असंतत है,जो तब होता है जब $x^2$ एक पूर्णांक हो,उन बिंदुओं को छोड़कर जहाँ $\sin(\pi x) = 0$ हो।
$x^2 = k$ $(k \in \mathbb{Z})$ के लिए,$f(x)$ असंतत है जब तक कि $\sin(\pi \sqrt{k}) = 0$ न हो।
$A=4$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर: $\sqrt{A+1} = \sqrt{5}$। चूंकि $x^2 = 5$ एक पूर्णांक है और $\sin(\pi \sqrt{5}) \neq 0$,इसलिए फलन $x = \sqrt{5}$ पर असंतत है।

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, बायां सीमा $(LHL)$, दायां सीमा $(RHL)$ और $x = 0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. बायां सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(a+2)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a+2) + 1 = a+3$.
$2$. दायां सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(x+3x^2)^{1/3} - x^{1/3}}{x^{4/3}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{1/3}((1+3x)^{1/3} - 1)}{x^{4/3}} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+3x)^{1/3} - 1}{x}$.
द्विपद विस्तार $(1+u)^n \approx 1 + nu$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{3}(3x)) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x-1}{x} = 1$.
$3$. $x=0$ पर मान:
$f(0) = b$.
सांतत्य के लिए, $a+3 = b = 1$.
अतः, $a = -2$ और $b = 1$.
इसलिए, $a+2b = -2 + 2(1) = 0$.

(A) सबसे पहले,ध्यान दें कि फलन दिए गए बिंदु $x = 1$ पर परिभाषित है और इसका मान $f(1) = 2(1) + 3 = 5$ है।
इसके बाद,$x$ के $1$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा ज्ञात कीजिए:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5$.
चूंकि $\lim_{x \to 1} f(x) = 5 = f(1)$,इसलिए $x = 1$ पर फलन की सीमा $x = 1$ पर फलन के मान के बराबर है।
अतः,फलन $f$,$x = 1$ पर संतत है।

(A) एक फलन $f(x)$,बिंदु $x = c$ पर संतत होता है यदि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ हो।
चरण $1$: $x = 0$ पर फलन का मान ज्ञात कीजिए।
$f(0) = 0^{2} = 0$.
चरण $2$: $x$ के $0$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा (limit) ज्ञात कीजिए।
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^{2} = 0^{2} = 0$.
चरण $3$: सीमा और फलन के मान की तुलना कीजिए।
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ और $f(0) = 0$,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ है।
अतः,फलन $f(x) = x^{2}$,$x = 0$ पर संतत है।

(A) परिभाषा के अनुसार,मापांक फलन इस प्रकार दिया गया है:
$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$
स्पष्ट रूप से,फलन $x = 0$ पर परिभाषित है और $f(0) = 0$ है।
$x = 0$ पर $f$ की बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ है:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$
इसी प्रकार,$x = 0$ पर $f$ की दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ है:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$,इसलिए फलन $f$,$x = 0$ पर संतत है।

(N/A) एक फलन $f(x)$,$x = a$ पर संतत होता है यदि $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ हो।
$1$. सबसे पहले,हम $x = 0$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 1$।
$2$. इसके बाद,हम $x$ के $0$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा (limit) ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^3 + 3) = 0^3 + 3 = 3$।
$3$. सीमा और फलन के मान की तुलना करने पर:
चूंकि $\lim_{x \to 0} f(x) = 3$ और $f(0) = 1$,हम देखते हैं कि $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$।
अतः,फलन $f$,$x = 0$ पर संतत नहीं है।

(A) फलन $f(x) = k$ सभी वास्तविक संख्याओं $x \in \mathbb{R}$ के लिए परिभाषित है।
परिभाषा के अनुसार,किसी भी वास्तविक संख्या $c$ के लिए,फलन का मान $f(c) = k$ है।
$x = c$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} k = k$.
चूँकि किसी भी स्वेच्छ वास्तविक संख्या $c$ के लिए $\lim_{x \to c} f(x) = f(c) = k$ है,इसलिए फलन $f(x) = k$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत है,जो कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{R}$ है।

(N/A) तत्समक फलन $f(x) = x$ सभी वास्तविक संख्याओं $x \in \mathbb{R}$ के लिए परिभाषित है।
किसी भी स्वेच्छ वास्तविक संख्या $c$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $x$ के $c$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} x = c$.
साथ ही,$x = c$ पर फलन का मान $f(c) = c$ है।
चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c) = c$ है,इसलिए प्रत्येक वास्तविक संख्या $c$ के लिए सांतत्य की शर्त पूरी होती है।
अतः,तत्समक फलन $f(x) = x$ प्रत्येक वास्तविक संख्या पर संतत है।

(A) हम $f$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$
$x = 0$ के लिए,बायाँ सीमा $\lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ है और दायाँ सीमा $\lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ है। चूँकि $f(0) = 0$,फलन $x = 0$ पर संतत है।
मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है ताकि $c < 0$ हो। तब $f(c) = -c$ है। साथ ही,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c$ है। चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,$f$ सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं पर संतत है।
अब,मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है ताकि $c > 0$ हो। तब $f(c) = c$ है। साथ ही,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x) = c$ है। चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,$f$ सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर संतत है।
अतः,$f(x) = |x|$ सभी वास्तविक बिंदुओं पर संतत है।

(N/A) फलन $f(x) = x^{3} + x^{2} - 1$ एक बहुपद फलन है।
बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं $c \in \mathbb{R}$ के लिए परिभाषित होते हैं।
$x = c$ पर फलन का मान $f(c) = c^{3} + c^{2} - 1$ है।
अब,हम $x \to c$ होने पर फलन की सीमा ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^{3} + x^{2} - 1) = c^{3} + c^{2} - 1$.
चूंकि किसी भी स्वेच्छ वास्तविक संख्या $c$ के लिए $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ है,इसलिए फलन $f$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
अतः,$f$ सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ पर एक संतत फलन है।

(N/A) मान लीजिए कि $c$ फलन $f$ के प्रांत में कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या है।
हम $x$ के $c$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा की गणना करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{1}{x} = \frac{1}{c}$.
अब,$x = c$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(c) = \frac{1}{c}$.
चूंकि सभी $c \neq 0$ के लिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = f(c)$ है,इसलिए फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ अपने प्रांत $(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\})$ के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
अतः,$f$ एक संतत फलन है।

(N/A) फलन $f$ वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।
स्थिति $1$: यदि $c < 1$ है,तो $f(c) = c + 2$ है। अतः,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 2) = c + 2 = f(c)$ है।
इस प्रकार,$f$ सभी $1$ से छोटी वास्तविक संख्याओं पर संतत है।
स्थिति $2$: यदि $c > 1$ है,तो $f(c) = c - 2$ है। अतः,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x - 2) = c - 2 = f(c)$ है।
इस प्रकार,$f$ सभी $x > 1$ बिंदुओं पर संतत है।
स्थिति $3$: यदि $c = 1$ है,तो $x = 1$ पर $f$ की बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ है:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2 = 3$ है।
$x = 1$ पर $f$ की दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ है:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 2) = 1 - 2 = -1$ है।
चूंकि $x = 1$ पर $f$ की बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमाएँ समान नहीं हैं,इसलिए $f$,$x = 1$ पर संतत नहीं है। अतः,$x = 1$ फलन $f$ का एकमात्र असांतत्य बिंदु है।

(C) फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{यदि } x < 1 \\ 0, & \text{यदि } x = 1 \\ x - 2, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$
किसी भी $x \neq 1$ के लिए,फलन एक बहुपद है,जो सतत है। हमें केवल $x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने की आवश्यकता है।
$x = 1$ पर बायाँ सीमा $(LHL)$ है:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2 = 3$
$x = 1$ पर दायाँ सीमा $(RHL)$ है:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 2) = 1 - 2 = -1$
$x = 1$ पर फलन का मान $f(1) = 0$ है।
चूँकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$,इसलिए $x = 1$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,फलन $x = 1$ पर असातत्य है।

(N/A) ध्यान दें कि यह फलन $x = 0$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है। इस फलन का प्रांत $D = D_1 \cup D_2$ है,जहाँ $D_1 = \{x \in \mathbb{R} : x < 0\}$ और $D_2 = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\}$ है।
स्थिति $1$: यदि $c \in D_1$ है,तो $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 2) = c + 2 = f(c)$ होता है। अतः,$f$,$D_1$ में संतत है।
स्थिति $2$: यदि $c \in D_2$ है,तो $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-x + 2) = -c + 2 = f(c)$ होता है। अतः,$f$,$D_2$ में संतत है।
चूँकि $f$ अपने प्रांत के सभी बिंदुओं पर संतत है,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $f$ अपने प्रांत पर संतत है। ध्यान दें कि फलन $x = 0$ पर परिभाषित नहीं है,इसलिए हम $x = 0$ पर सांतत्यता की चर्चा नहीं करते हैं।

(N/A) स्पष्ट रूप से,फलन प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। फलन का आलेख चित्र में दिखाया गया है। निरीक्षण द्वारा,$f$ के प्रांत (domain) को वास्तविक रेखा के तीन अलग-अलग उपसमुच्चयों में विभाजित करना उचित है।
मान लीजिए $D_1 = \{ x \in \mathbb{R} : x < 0 \}$,$D_2 = \{ 0 \}$,और $D_3 = \{ x \in \mathbb{R} : x > 0 \}$ है।
स्थिति $1$: $D_1$ के किसी भी बिंदु पर,हमारे पास $f(x) = x^2$ है,जो एक बहुपद फलन है और अपने प्रांत में हर जगह सतत (continuous) है।
स्थिति $2$: $D_3$ के किसी भी बिंदु पर,हमारे पास $f(x) = x$ है,जो एक बहुपद फलन है और अपने प्रांत में हर जगह सतत है।
स्थिति $3$: अब हम $x = 0$ पर फलन का विश्लेषण करते हैं। $0$ पर फलन का मान $f(0) = 0$ है।
$0$ पर $f$ की बायीं सीमा (left-hand limit) है:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0^2 = 0$.
$0$ पर $f$ की दायीं सीमा (right-hand limit) है:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$.
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$,और इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है। चूँकि $f$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत है,इसलिए $f$ एक सतत फलन है।

एक फलन $p$ को बहुपद फलन कहा जाता है यदि यह $p(x) = a_{0} + a_{1}x + \ldots + a_{n}x^{n}$ के रूप में हो,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,$a_{n} \neq 0$ और $a_{i} \in \mathbb{R}$ है।
यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं $x \in \mathbb{R}$ के लिए परिभाषित है।
किसी भी स्वेच्छ वास्तविक संख्या $c$ के लिए,जब $x, c$ की ओर अग्रसर होता है,तो फलन की सीमा इस प्रकार दी जाती है:
$\lim_{x \to c} p(x) = \lim_{x \to c} (a_{0} + a_{1}x + \ldots + a_{n}x^{n})$
सीमा के गुणों का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \to c} p(x) = a_{0} + a_{1}c + \ldots + a_{n}c^{n} = p(c)$
चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या $c$ के लिए $\lim_{x \to c} p(x) = p(c)$ है,इसलिए फलन $p(x)$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत है।
अतः,प्रत्येक बहुपद फलन सतत होता है।

(N/A) सबसे पहले,ध्यान दें कि $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। फलन का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। ग्राफ से ऐसा प्रतीत होता है कि $f$ प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर असांतत्य है। नीचे हम जांच करते हैं कि क्या यह सत्य है।
स्थिति $1$: मान लीजिए $c$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है जो पूर्णांक नहीं है। ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $c$ के निकट सभी वास्तविक संख्याओं के लिए,फलन का मान $[c]$ के बराबर है; अर्थात,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} [x] = [c]$। साथ ही,$f(c) = [c]$,और इसलिए फलन उन सभी वास्तविक संख्याओं पर संतत है जो पूर्णांक नहीं हैं।
स्थिति $2$: मान लीजिए $c$ एक पूर्णांक है। तब हम एक पर्याप्त छोटी वास्तविक संख्या $r > 0$ ज्ञात कर सकते हैं जिससे $[c - r] = c - 1$ और $[c + r] = c$ हो।
सीमाओं के संदर्भ में,इसका अर्थ है कि:
$\lim_{x \to c^-} f(x) = c - 1$ और $\lim_{x \to c^+} f(x) = c$।
चूँकि ये सीमाएँ किसी भी पूर्णांक $c$ के लिए एक-दूसरे के बराबर नहीं हैं,इसलिए फलन प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर असांतत्य है।

(N/A) एक परिमेय फलन $f$ को $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $p(x)$ और $q(x)$ बहुपद फलन हैं और $q(x) \neq 0$ है।
$f$ का प्रांत उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ का समुच्चय है जिनके लिए $q(x) \neq 0$ है।
हम जानते हैं कि प्रत्येक बहुपद फलन वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ पर सर्वत्र संतत होता है।
संतत फलनों के बीजगणित के अनुसार,यदि $p(x)$ और $q(x)$ संतत फलन हैं,तो उनका भागफल $\frac{p(x)}{q(x)}$ भी उन सभी बिंदुओं पर संतत होता है जहाँ हर $q(x) \neq 0$ है।
चूँकि $p(x)$ और $q(x)$ बहुपद हैं,वे सर्वत्र संतत हैं। इसलिए,परिमेय फलन $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।

(N/A) $f(x) = \sin x$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हमें यह सत्यापित करना होगा कि किसी भी वास्तविक संख्या $c$ के लिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = f(c)$ है या नहीं।
सबसे पहले,हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin x = 0$ है।
माना $c$ कोई भी वास्तविक संख्या है। हम $x = c + h$ प्रतिस्थापित करते हैं। जैसे ही $x \to c$ होता है,वैसे ही $h \to 0$ होता है।
अब,हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \sin x$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin(c + h)$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} [\sin c \cos h + \cos c \sin h]$
$= \sin c \cdot (\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \cos h) + \cos c \cdot (\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin h)$
$= \sin c \cdot (1) + \cos c \cdot (0)$
$= \sin c + 0 = \sin c$
चूँकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \sin c = f(c)$ है,इसलिए फलन $f(x) = \sin x$ सभी वास्तविक संख्याओं $c$ के लिए संतत है।

(N/A) फलन $f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए परिभाषित है जहाँ $\cos x \neq 0$ हो,जिसका अर्थ है $x \neq (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।
हम जानते हैं कि ज्या फलन $g(x) = \sin x$ और कोज्या फलन $h(x) = \cos x$ दोनों सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत हैं।
संतत फलनों के बीजगणित के अनुसार,यदि $g(x)$ और $h(x)$ संतत फलन हैं,तो उनका भागफल $\frac{g(x)}{h(x)}$ भी उन सभी बिंदुओं पर संतत होता है जहाँ हर $h(x) \neq 0$ हो।
चूंकि $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$ दो संतत फलनों का भागफल है और अपने प्रांत $x \in \mathbb{R} \setminus \{(2n + 1) \frac{\pi}{2} : n \in \mathbb{Z}\}$ पर परिभाषित है,इसलिए $f(x) = \tan x$ अपने पूरे प्रांत पर एक संतत फलन है।

(N/A) फलन $f(x) = \sin(x^{2})$ सभी वास्तविक संख्याओं $x \in \mathbb{R}$ के लिए परिभाषित है।
हम $f(x)$ को दो फलनों $g(x)$ और $h(x)$ के संयोजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं,जहाँ $g(x) = \sin(x)$ और $h(x) = x^{2}$ है।
तब,$(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(x^{2}) = \sin(x^{2}) = f(x)$ होता है।
चूँकि $g(x) = \sin(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए एक संतत फलन है और $h(x) = x^{2}$ एक बहुपद फलन है जो सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए संतत है,इसलिए दो संतत फलनों का संयोजन भी संतत होता है।
अतः,$f(x) = \sin(x^{2})$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए एक संतत फलन है।