फलन f(x) = frac{1}{x + 2^{frac{1}{x - 2}}},x | vedclass

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Question

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $f$,$x = 2$ पर सतत हो सकता है,हम सीमा $\lim_{x 	o 2} f(x)$ की जाँच करते हैं।बाएँ हाथ की सीमा पर विचार करें: $\li

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$f$,$x = 2$ पर सतत नहीं हो सकता है

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(C) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $f$,$x = 2$ पर सतत हो सकता है,हम सीमा $\lim_{x 	o 2} f(x)$ की जाँच करते हैं।बाएँ हाथ की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x 	o 2^-} f(x) = \lim_{x 	o 2^-} \frac{1}{x + 2^{\frac{1}{x - 2}}}$.जैसे $x 	o 2^-$,$(x - 2) 	o 0^-$,इसलिए $\frac{1}{x - 2} 	o -\infty$.अतः,$2^{\frac{1}{x - 2}} 	o 2^{-\infty} = 0$.इसलिए,$\lim_{x 	o 2^-} f(x) = \frac{1}{2 + 0} = 1/2$.अब दाएँ हाथ की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x 	o 2^+} f(x) = \lim_{x 	o 2^+} \frac{1}{x + 2^{\frac{1}{x - 2}}}$.जैसे $x 	o 2^+$,$(x - 2) 	o 0^+$,इसलिए $\frac{1}{x - 2} 	o +\infty$.अतः,$2^{\frac{1}{x - 2}} 	o 2^{+\infty} = \infty$.इसलिए,$\lim_{x 	o 2^+} f(x) = \frac{1}{2 + \infty} = 0$.चूंकि $\lim_{x 	o 2^-} f(x) 
eq \lim_{x 	o 2^+} f(x)$,इसलिए $x = 2$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।परिणामस्वरूप,$f(2)$ को कोई भी मान देने पर भी $f$,$x = 2$ पर सतत नहीं हो सकता है।

फलन $f(x) = \frac{1}{x + 2^{\frac{1}{x - 2}}}$,$x \neq 2$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{(e^{ax}-1) \log(1+x)}{\sin^2 x} & \text{यदि } x > 0 \\ 2 & \text{यदि } x = 0 \\ \frac{\cos 4x - \cos bx}{\tan^2 x} & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर सतत है,तो $\sqrt{b^2 - a^2} = $

यदि $f(x) = \frac{\sin(\pi \cos^2 x)}{3x^2}$ जहाँ $x \neq 0$,$x = 0$ पर सतत है,तो $f(0) = $

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\sin^3 x}{3 \cos^2 x}, & x < \frac{\pi}{2} \\ \alpha, & x = \frac{\pi}{2} \\ \frac{\beta(1-\sin x)}{(\pi-2 x)^2}, & x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $\alpha \beta =$

यदि $x \in (-1, 2)$ के लिए $f(x) = [x]$ है,तो $f$ कहाँ असतत (discontinuous) है? (जहाँ $[x]$ फ्लोर फलन को दर्शाता है)

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{\pi} - \sqrt{\cos^{-1} x}}{\sqrt{x+1}}, & x \neq -1 \\ \frac{1}{\sqrt{\lambda \pi}}, & x = -1 \end{cases}$ बिंदु $x = -1$ पर दाईं ओर से सतत (right continuous) है,तो $\lambda = $

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