Continuity Questions in Hindi

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 0$ पर बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 - h) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos \frac{\pi}{2}[-h]}{[-h]}$.
चूँकि $h > 0$ एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है,इसलिए $[-h] = -1$.
अतः,$\lim_{h \to 0} \frac{\cos \frac{\pi}{2}(-1)}{-1} = \frac{\cos(-\frac{\pi}{2})}{-1} = \frac{0}{-1} = 0$.
इसके बाद,$x = 0$ पर दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 + h) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin [h]}{[h] + 1}$.
चूँकि $h > 0$ एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है,इसलिए $[h] = 0$.
अतः,$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(0)}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0$.
चूँकि $\text{LHL} = \text{RHL} = 0$ है,इसलिए फलन के संतत होने के लिए $f(0) = k$ का मान $0$ होना चाहिए।

(C) $x = 2$ पर फलन $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 2$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. $x = 2$ पर बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x + 2) = 2 + 2 = 4$.
$2$. $x = 2$ पर दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$.
$3$. $x = 2$ पर फलन का मान: $f(2) = 4$.
चूँकि $\text{LHL} = \text{RHL} = f(2) = 4$ है,इसलिए फलन $x = 2$ पर संतत है।
$x > 2$ के लिए,$f(x) = 3x - 2$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह $x > 2$ के लिए संतत है।
अतः,फलन अपने प्रांत में $x \ge 2$ के लिए संतत है।

(A) फलन $f(x)$ के अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत होने के लिए,इसे $x = 1$ पर भी सतत होना चाहिए,जहाँ फलन की परिभाषा बदलती है।
$x = 1$ पर सांतत्य के लिए,बायाँ सीमा $(LHL)$ और दायाँ सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$
बायाँ सीमा और $f(1)$ की गणना करने पर:
$\lim_{x \to 1^-} (5x - 4) = 5(1) - 4 = 1$
दायाँ सीमा की गणना करने पर:
$\lim_{x \to 1^+} (4x^2 + 3bx) = 4(1)^2 + 3b(1) = 4 + 3b$
दोनों को बराबर रखने पर:
$1 = 4 + 3b$
$3b = 1 - 4$
$3b = -3$
$b = -1$
अतः,$b$ का मान $-1$ है।

(C) फलन $f(x)$ के हर जगह सतत होने के लिए,इसे $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत होना चाहिए।
$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} (-2\sin x) = -2\sin(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) = 2$.
$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (A\sin x + B) = A\sin(-\frac{\pi}{2}) + B = -A + B$.
चूंकि फलन सतत है,$-A + B = 2$ ..... $(i)$.
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (A\sin x + B) = A\sin(\frac{\pi}{2}) + B = A + B$.
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\cos x) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
चूंकि फलन सतत है,$A + B = 0$ ..... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(-A + B) + (A + B) = 2 + 0 \implies 2B = 2 \implies B = 1$.
$B = 1$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$A + 1 = 0 \implies A = -1$.
अतः,$A = -1$ और $B = 1$ प्राप्त होते हैं।

(A) चूँकि $f$,$x = 5$ पर सतत है,इसलिए $f(5) = \lim_{x \to 5} f(x)$ होगा।
$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 7x + 10} = \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)^2}{(x - 2)(x - 5)}$
$= \lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x - 2}$
$= \frac{5 - 5}{5 - 2} = \frac{0}{3} = 0$.
अतः,$f(5) = 0$.

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,यह आवश्यक है कि $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ हो।
हम सीमा (limit) का मूल्यांकन करते हैं: $\lim_{x \to 0} (x + 1)^{\cot x}$.
यह $1^\infty$ प्रकार का अनिर्धारित रूप है। हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\cot x} = \lim_{x \to 0} \left[ (1 + x)^{1/x} \right]^{x \cot x}$.
हम जानते हैं कि $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$.
साथ ही,$\lim_{x \to 0} x \cot x = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$.
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = e^1 = e$.
इस प्रकार,फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए $f(0)$ को $e$ के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।

(A) फलन $f(x) = \sin |x|$ दो संतत फलनों का संयोजन है: $g(x) = |x|$ और $h(x) = \sin x$।
चूंकि $|x|$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए संतत है और $\sin x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए संतत है,इसलिए उनका संयोजन $f(x) = \sin(|x|)$ भी सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए संतत है।
अतः,फलन सभी $x$ के लिए संतत है।

(A) फलन $f(x) = |x|$ को $f(x) = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1$. सांतत्य: यह फलन सतत फलनों का संयोजन है और सभी वास्तविक संख्याओं $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
$2$. $x = 0$ पर अवकलनीयता:
दायां अवकलज: $Rf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$.
बायां अवकलज: $Lf'(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$.
चूंकि $Rf'(0) \neq Lf'(0)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,सही कथन यह है कि $f(x)$ सभी $x$ के लिए सतत है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए सांतत्य की शर्त के अनुसार $\lim_{x \to \pi/2} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$ होगा।
अतः,$\lambda = \lim_{x \to \pi/2} \frac{1 - \sin x}{\pi - 2x}$।
$x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप प्राप्त होता है।
$L$-Hospital नियम का उपयोग करते हुए अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\lambda = \lim_{x \to \pi/2} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \sin x)}{\frac{d}{dx}(\pi - 2x)}$
$\lambda = \lim_{x \to \pi/2} \frac{-\cos x}{-2}$
$\lambda = \frac{1}{2} \lim_{x \to \pi/2} \cos x$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए $\lambda = \frac{1}{2} \times 0 = 0$ होगा।

(A) चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $x$ के $0$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
दिए गए फलन को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{5x} = k$ प्राप्त होता है।
हम व्यंजक को $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \pi x}{\pi x} \right) \cdot \frac{\pi}{5} = k$ के रूप में लिख सकते हैं।
मानक सीमा परिणाम $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $1 \cdot \frac{\pi}{5} = k$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$k = \frac{\pi}{5}$।

(D) चूंकि $f(x)$ $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
$\lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{x + 4}}{\sin 2x}$ का रूप $\frac{0}{0}$ है।
$L'Hospital$ नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(2 - \sqrt{x + 4})}{\frac{d}{dx}(\sin 2x)}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x + 4}}}{2 \cos 2x}$
$x = 0$ रखने पर:
$f(0) = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{0 + 4}}}{2 \cos(0)} = \frac{-\frac{1}{2(2)}}{2(1)} = \frac{-1/4}{2} = -\frac{1}{8}$.

(B) फलन $f(x)$ के बिंदु $x = a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x \to a} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(a)$ के बराबर होनी चाहिए।
बिंदु $x = a$ पर विचार करें। $a$ के किसी भी पड़ोस में परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की संख्याएँ होती हैं।
यदि $x$ परिमेय है,तो $f(x) = x$,और यदि $x$ अपरिमेय है,तो $f(x) = 1 - x$।
$x = a$ पर सीमा के अस्तित्व के लिए,हमारे पास $a = 1 - a$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2a = 1$,या $a = 1/2$।
अब,$a = 1/2$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$f(1/2) = 1/2$ (क्योंकि $1/2$ परिमेय है)।
हालाँकि,$1/2$ के किसी भी पड़ोस में ऐसी अपरिमेय संख्याएँ $x$ हैं जिनके लिए $f(x) = 1 - x$,जो $1 - 1/2 = 1/2$ की ओर अग्रसर है।
यहाँ,$\lim_{x \to 1/2} f(x)$ का अस्तित्व है क्योंकि परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के लिए $f(x)$ के मान समान मान की ओर अग्रसर होते हैं।
परिमेय $x$ के लिए,$f(x) = x \to 1/2$।
अपरिमेय $x$ के लिए,$f(x) = 1 - x \to 1 - 1/2 = 1/2$।
चूँकि दोनों सीमाएँ समान हैं,फलन $x = 1/2$ पर सतत है।
अतः,सांतत्य के बिंदुओं की संख्या $1$ है।

(B) किसी फलन $f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए शर्त $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ का पालन होना चाहिए।
सबसे पहले,$x \to 3$ पर सीमा (limit) की गणना करें:
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$.
अब,$x = 3$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(3) = 2(3) + k = 6 + k$.
चूँकि फलन $x = 3$ पर सतत है,इसलिए सीमा और फलन का मान बराबर होंगे:
$6 + k = 6$.
इसे हल करने पर,$k = 0$ प्राप्त होता है।

(B) फलन $f(x)$ के बिंदु $x = 2$ पर दाईं ओर से सतत होने के लिए,दाईं सीमा का मान $x = 2$ पर फलन के मान के बराबर होना चाहिए।
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = k$
दिए गए फलन को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{x \to 2^+} (x^2 + e^{\frac{1}{2-x}})^{-1} = k$
माना $x = 2 + h$,जहाँ $h \to 0^+$. जैसे $h \to 0^+$,तब $2 - x = 2 - (2 + h) = -h$.
अतः,$\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{h} \to -\infty$ जब $h \to 0^+$.
इसलिए,$e^{\frac{1}{2-x}} = e^{-\infty} = 0$.
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$k = (2^2 + 0)^{-1} = (4)^{-1} = \frac{1}{4}$.
अतः,$k = \frac{1}{4}$.

(D) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,यह आवश्यक है कि $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ हो।
दिया गया है $f(x) = \frac{\log_e(1 + x) - \log_e(1 - x)}{x}$।
जब $x \to 0$,तो यह व्यंजक $\frac{0}{0}$ का अनिर्धार्य रूप लेता है।
$L'Hospital$ नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log_e(1 + x) - \log_e(1 - x))}{\frac{d}{dx}(x)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - (\frac{-1}{1 - x})}{1}$
$= \lim_{x \to 0} (\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x})$
$= \frac{1}{1 + 0} + \frac{1}{1 - 0} = 1 + 1 = 2$।
अतः,फलन के $x = 0$ पर संतत होने के लिए $f(0)$ का मान $2$ होना चाहिए।

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(L.H.L.)$ दाएँ पक्ष की सीमा $(R.H.L.)$ के बराबर होनी चाहिए और यह $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए।
सबसे पहले,$x = 0$ पर $L.H.L.$ की गणना करें:
$L.H.L. = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1 + kx} - \sqrt{1 - kx}}{x}$
अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{1 + kx} + \sqrt{1 - kx}$ से गुणा करने पर:
$L.H.L. = \lim_{x \to 0^-} \frac{(1 + kx) - (1 - kx)}{x(\sqrt{1 + kx} + \sqrt{1 - kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2kx}{x(\sqrt{1 + kx} + \sqrt{1 - kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2k}{\sqrt{1 + kx} + \sqrt{1 - kx}}$
$L.H.L. = \frac{2k}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2k}{2} = k$
अब,$x = 0$ पर $R.H.L.$ की गणना करें:
$R.H.L. = \lim_{x \to 0^+} (2x^2 + 3x - 2) = 2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2$
चूंकि फलन $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $L.H.L. = R.H.L.$
अतः,$k = -2$.

(C) $f(x)$ को $x = \pi$ पर सतत बनाने के लिए,हमें सीमा $\lim_{x \to \pi} f(x)$ ज्ञात करनी होगी।
दिया गया है $f(x) = \frac{1 - \sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ और $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{2\cos^2(\frac{x}{2}) - 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{x}{2}) + 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}$
अंश और हर को $2\cos(\frac{x}{2})$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = \frac{\cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2}) + \sin(\frac{x}{2})}$
अब $\cos(\frac{x}{2})$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = \frac{1 - \tan(\frac{x}{2})}{1 + \tan(\frac{x}{2})} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$
अब,$\lim_{x \to \pi} f(x) = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}) = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
अतः,$f(\pi) = -1$.

(A) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$x \to 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ $f(0) = k$ दिया गया है।
हमें $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} \right)^2 \cdot \frac{x}{2} = (1)^2 \cdot 0 = 0$.
चूंकि सीमा का मान $0$ है,इसलिए फलन के संतत होने के लिए $k = 0$ होना चाहिए।

(D) सांतत्य की औपचारिक परिभाषा के अनुसार,एक फलन $f$ बिंदु $a$ पर सतत है यदि प्रत्येक $\epsilon > 0$ के लिए,एक ऐसा $\delta > 0$ विद्यमान है कि जब भी $|x - a| < \delta$ हो,तब $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ प्राप्त होता है।
यह सांतत्य की मानक $(\epsilon, \delta)$ परिभाषा है।
अतः,सही शर्त $|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है।
सबसे पहले,$x = 0$ पर दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{1/h} - 1}{e^{1/h} + 1} = 1$.
अब,$x = 0$ पर बाईं सीमा $(LHL)$ की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h} - 1}{e^{-1/h} + 1} = -1$.
यहाँ बाईं सीमा $(-1)$ और दाईं सीमा $(1)$ समान नहीं हैं,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) किसी फलन $f(x)$ के $x = 2$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और $x = 2$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
$1$. दायां सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 1) = 2(2) - 1 = 3$.
$2$. बायां सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
$3$. $x = 2$ पर फलन का मान: $f(2) = k$.
चूंकि फलन सतत है,इसलिए $\text{LHL} = \text{RHL} = f(2)$.
अतः,$3 = 3 = k$,जिसका अर्थ है कि $k = 3$.

(B) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{2x - \sin^{-1}x}{2x + \tan^{-1}x}$।
जैसे ही $x \to 0$,व्यंजक $\frac{0}{0}$ का रूप लेता है।
हम अंश और हर को $x$ से विभाजित करके सीमा का मूल्यांकन कर सकते हैं:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x - \sin^{-1}x}{2x + \tan^{-1}x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 - \frac{\sin^{-1}x}{x}}{2 + \frac{\tan^{-1}x}{x}}$।
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$।

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 2^{-x}}{x}$
यह $0/0$ रूप है,इसलिए हम $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करेंगे:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(2^x - 2^{-x})}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2(-1)}{1}$
$= \lim_{x \to 0} (2^x \ln 2 + 2^{-x} \ln 2)$
$= (2^0 \ln 2 + 2^0 \ln 2) = \ln 2 + \ln 2 = 2 \ln 2$
$n \ln a = \ln(a^n)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $2 \ln 2 = \ln(2^2) = \ln 4$ प्राप्त होता है।

(C) एक फलन $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ वहाँ असंतत होता है जहाँ हर (denominator) $q(x) = 0$ हो।
दिया गया है $q(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$।
हम पदों को समूहित करके $q(x)$ का गुणनखंड करते हैं:
$q(x) = x^2(x + 3) - 1(x + 3)$
$q(x) = (x^2 - 1)(x + 3)$
$q(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3)$
$q(x) = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$
अतः असंततता के बिंदु $x = 1, x = -1, x = -3$ हैं।

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए।
चूँकि $\lim_{x \to 0} x^p \sin \frac{1}{x} = 0$ केवल तभी होता है जब $p > 0$ हो,इसलिए फलन $p > 0$ के लिए संतत है।
$f(x)$ के $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,सीमा $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ का अस्तित्व होना चाहिए।
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^p \sin \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} x^{p-1} \sin \frac{1}{x}$।
यह सीमा अस्तित्व में है और $0$ के बराबर है यदि $p - 1 > 0$,अर्थात $p > 1$ हो।
यदि $p \le 1$ है,तो सीमा $\lim_{x \to 0} x^{p-1} \sin \frac{1}{x}$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,$0 < p \le 1$ के लिए $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{1 - [x]}{1 + x}, & x \ne -1 \\ 1, & x = -1 \end{cases}$.
हमें $f(|2k|)$ का मान ज्ञात करना है। मान लीजिए $y = |2k|$। चूंकि $|2k| \ge 0$,हम $f(x) = \frac{1 - [x]}{1 + x}$ के लिए $x \ge 0$ पर विचार करते हैं।
$0 \le x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = \frac{1 - 0}{1 + x} = \frac{1}{1 + x}$।
$x = 0$ पर,$f(0) = 1$ है। सीमा $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ है,इसलिए यह $x = 0$ पर सतत है।
$x = -1$ पर,फलन $1$ के रूप में परिभाषित है। सीमा $\lim_{x \to -1} \frac{1 - [x]}{1 + x}$ की जाँच करने पर,जैसे ही $x \to -1^+$,$[x] = -1$,इसलिए $\frac{1 - (-1)}{1 + x} = \frac{2}{1 + x} \to \infty$। अतः,यह $x = -1$ पर असतत है।
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$f(x) = \frac{1 - [1/2]}{1 + 1/2} = \frac{1 - 0}{1.5} = \frac{2}{3}$। जैसे ही $x \to \frac{1}{2}^-$,$f(x) \to \frac{2}{3}$। जैसे ही $x \to \frac{1}{2}^+$,$[x] = 0$,$f(x) \to \frac{2}{3}$। हालाँकि,यदि हम फलन $f(|2k|)$ पर विचार करें,तो जंप उन मानों पर होता है जहाँ $[2k]$ बदलता है,अर्थात $2k = n$। इसलिए,$k = n/2$। $k = 1/2$ पर,$2k = 1$,$[2k]$ का मान $0$ से $1$ हो जाता है,जो असततता पैदा करता है।
अतः,विकल्पों में दिए गए सभी कथन फलन के गुणों या विशिष्ट बिंदुओं पर इसके व्यवहार का वर्णन करते हैं।

(B) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर $f(x)$ की सीमा $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए,अर्थात $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = k$।
चूंकि $x \ne 0$ के लिए $f(x) = \frac{1 - \cos 4x}{8x^2}$ दिया गया है,हम सीमा की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{8x^2}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $1 - \cos 4x = 2 \sin^2(2x)$ है।
इस मान को सीमा में रखने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(2x)}{8x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{4x^2}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2$
चूंकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए:
$(1)^2 = 1$
अतः,$k = 1$ होगा।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} e^x; & x \le 0 \\ |1 - x|; & x > 0 \end{cases}$.
$x > 0$ के लिए,$|1 - x| = \begin{cases} 1 - x; & 0 < x \le 1 \\ x - 1; & x > 1 \end{cases}$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} e^x; & x \le 0 \\ 1 - x; & 0 < x \le 1 \\ x - 1; & x > 1 \end{cases}$.
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 - x) = 1 - 0 = 1$.
$f(0) = e^0 = 1$.
चूँकि $LHL = RHL = f(0)$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1 - x) = 1 - 1 = 0$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 1 - 1 = 0$.
$f(1) = 1 - 1 = 0$.
चूँकि $LHL = RHL = f(1)$,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर संतत है।
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$f(0 + 0) = \lim_{h \to 0} f(h) = \lim_{h \to 0} h \frac{e^{1/h} - e^{-1/h}}{e^{1/h} + e^{-1/h}} = \lim_{h \to 0} h \frac{1 - e^{-2/h}}{1 + e^{-2/h}} = 0 \times 1 = 0$.
$f(0 - 0) = \lim_{h \to 0} f(-h) = \lim_{h \to 0} (-h) \frac{e^{-1/h} - e^{1/h}}{e^{-1/h} + e^{1/h}} = \lim_{h \to 0} (-h) \frac{e^{-2/h} - 1}{e^{-2/h} + 1} = 0 \times (-1) = 0$.
चूँकि $f(0 + 0) = f(0 - 0) = f(0) = 0$,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है। $x \ne 0$ के लिए,$f$ सतत फलनों का संयोजन है,अतः यह सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$L f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 - h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h \frac{e^{-1/h} - e^{1/h}}{e^{-1/h} + e^{1/h}} - 0}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h} - e^{1/h}}{e^{-1/h} + e^{1/h}} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
$R f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \frac{e^{1/h} - e^{-1/h}}{e^{1/h} + e^{-1/h}} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{1/h} - e^{-1/h}}{e^{1/h} + e^{-1/h}} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - e^{-2/h}}{1 + e^{-2/h}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
चूँकि $L f'(0) \ne R f'(0)$,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$f$ हर जगह सतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1 \\ 1, & 1 < x \le 2 \end{cases}$
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(1 - h) = \lim_{h \to 0} (1 - h) = 1$
दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(1 + h) = 1$
चूंकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$,इसलिए फलन $x = 1$ पर सतत है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बायाँ अवकलज: $LHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 - h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 - h) - 1}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{-h} = 1$
दायाँ अवकलज: $RHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 1}{h} = 0$
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन सभी $x \in [0, 2]$ के लिए सतत है और $x = 1$ को छोड़कर सभी $x \in [0, 2]$ के लिए अवकलनीय है।

(B) हमारे पास $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{|x|}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} = \begin{cases} x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ है।
हम जानते हैं कि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (-x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x) = 0$ है।
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$ है।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
चूंकि $x \ne 0$ के लिए भी $f(x)$ संतत है,इसलिए $f(x)$ हर जगह संतत है।
अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$Lf'(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1$.
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1$.
चूंकि $Lf'(0) \ne Rf'(0)$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) अंतराल $-1 \le x \le 1$ के लिए,फलन $g(x) = x \sin \pi x$ पर विचार करें।
चूंकि $x \in (-1, 1)$ के लिए $\sin \pi x$ का चिह्न $x$ के समान होता है,इसलिए गुणनफल $x \sin \pi x$ हमेशा गैर-ऋणात्मक रहता है।
विशेष रूप से,$x \in (-1, 1)$ के लिए,$0 \le x \sin \pi x < 1$ होता है।
इसलिए,सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए महत्तम पूर्णांक फलन $[x \sin \pi x] = 0$ होता है।
चूंकि $f(x) = 0$ अंतराल $[-1, 1]$ पर एक अचर फलन है,इसलिए यह इस अंतराल में हर जगह सतत है,जिसमें $x = 0$ और उप-अंतराल $(-1, 0)$ भी शामिल हैं।
इसके अलावा,एक अचर फलन हर जगह अवकलनीय होता है,इसलिए $f(x)$,$(-1, 1)$ में अवकलनीय है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$.
सबसे पहले,हम $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 - h) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 + h) = \lim_{h \to 0} (0 + h)^2 = 0$.
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है।
अब,हम $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$Lf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 - h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{-h} = 0$.
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0$.
चूंकि $Lf'(0) = Rf'(0) = 0$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 0$ है।
अवकलज $f'(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 2x, & x \ge 0 \end{cases}$ है।
अब,$x = 0$ पर $f'(x)$ के सांतत्य की जाँच करते हैं:
$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x = 0$.
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = f'(0) = 0$,इसलिए $f'(x)$,$x = 0$ पर सतत है।
अंत में,$x = 0$ पर $f'(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$Lf''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(0 - h) - f'(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{-h} = 0$.
$Rf''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(0 + h) - f'(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2(0 + h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} = 2$.
चूंकि $Lf''(0) \neq Rf''(0)$,इसलिए $f'(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$.
सबसे पहले,हम $x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(1 - h) = \lim_{h \to 0} (1 - h) = 1$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(1 + h) = \lim_{h \to 0} (2(1 + h) - 1) = \lim_{h \to 0} (2 + 2h - 1) = 1$.
चूँकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$,इसलिए फलन $x = 1$ पर संतत है।
अब,हम $x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
बाएँ हाथ का अवकलज: $Lf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 - h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 - h) - 1}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{-h} = 1$.
दाएँ हाथ का अवकलज: $Rf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2(1 + h) - 1) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 + 2h - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} = 2$.
चूँकि $Lf'(1) \neq Rf'(1)$,इसलिए फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f$,$x = 1$ पर संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = [x] \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right)$ है।
मान लीजिए $g(x) = [x]$ और $h(x) = \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right)$ है।
फलन $g(x) = [x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,जो सभी पूर्णांक मानों पर असंतत होता है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$h(n) = \cos \left( \frac{2n - 1}{2} \pi \right) = \cos \left( n\pi - \frac{\pi}{2} \right) = 0$ होता है।
चूँकि सभी पूर्णांक $n$ के लिए $h(n) = 0$ है,इसलिए गुणनफल $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ सभी पूर्णांकों पर संतत रहता है क्योंकि $[x]$ की असंततता को इन बिंदुओं पर $0$ से गुणा किया जाता है।
अतः,यह फलन सभी $x$ के लिए संतत है। इसलिए,ऐसा कोई $x$ नहीं है जहाँ फलन असंतत हो।

(D) $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 12(\log 4)^3$ होना चाहिए।
सबसे पहले,सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(4^x - 1)^3}{\sin(\frac{x}{p}) \log(1 + \frac{x^2}{3})}$
मानक सीमाओं $\lim_{u \to 0} \frac{a^u - 1}{u} = \log a$,$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$,और $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left[ \left( \frac{4^x - 1}{x} \right)^3 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{\sin(\frac{x}{p})} \cdot \frac{1}{\log(1 + \frac{x^2}{3})} \right]$
$(\frac{x}{p})$ और $(\frac{x^2}{3})$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \lim_{x \to 0} \left[ \left( \frac{4^x - 1}{x} \right)^3 \cdot \frac{x/p}{\sin(x/p)} \cdot p \cdot \frac{x^2/3}{\log(1 + x^2/3)} \cdot \frac{3}{x^2} \cdot x^3 \right]$
$= (\log 4)^3 \cdot 1 \cdot p \cdot 1 \cdot 3 = 3p(\log 4)^3$
इसे $f(0)$ के बराबर रखने पर:
$3p(\log 4)^3 = 12(\log 4)^3$
$3p = 12 \implies p = 4$.

(D) दिया गया है $f(x) = [x]^2 - [x^2]$.
$-1 < x < 0$ के लिए,$[x] = -1$ और $[x^2] = 0$,इसलिए $f(x) = (-1)^2 - 0 = 1$.
$x = 0$ के लिए,$f(0) = 0^2 - 0 = 0$.
$0 < x < 1$ के लिए,$[x] = 0$ और $[x^2] = 0$,इसलिए $f(x) = 0^2 - 0 = 0$.
$x = 1$ के लिए,$f(1) = 1^2 - 1 = 0$.
$1 < x < \sqrt{2}$ के लिए,$[x] = 1$ और $[x^2] = 1$,इसलिए $f(x) = 1^2 - 1 = 0$.
$x = \sqrt{2}$ के लिए,$f(\sqrt{2}) = 1^2 - 2 = -1$.
$\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$ के लिए,$[x] = 1$ और $[x^2] = 2$,इसलिए $f(x) = 1^2 - 2 = -1$.
$x = \sqrt{3}$ के लिए,$f(\sqrt{3}) = 1^2 - 3 = -2$.
$\sqrt{3} < x < 2$ के लिए,$[x] = 1$ और $[x^2] = 3$,इसलिए $f(x) = 1^2 - 3 = -2$.
$x = 2$ के लिए,$f(2) = 2^2 - 4 = 0$.
$2 < x < \sqrt{5}$ के लिए,$[x] = 2$ और $[x^2] = 4$,इसलिए $f(x) = 2^2 - 4 = 0$.
$x = \sqrt{5}$ के लिए,$f(\sqrt{5}) = 2^2 - 5 = -1$.
पूर्णांकों $n$ पर फलन के व्यवहार का विश्लेषण करने पर,हम पाते हैं कि फलन $x = 1$ को छोड़कर सभी पूर्णांकों पर असंतत है।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x e^{-\left( \frac{1}{|x|} + \frac{1}{x} \right)}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:
$R.H.L. = \lim_{h \to 0^+} f(0+h) = \lim_{h \to 0^+} h e^{-\left( \frac{1}{h} + \frac{1}{h} \right)} = \lim_{h \to 0^+} h e^{-2/h} = 0$.
$L.H.L. = \lim_{h \to 0^+} f(0-h) = \lim_{h \to 0^+} (-h) e^{-\left( \frac{1}{h} - \frac{1}{h} \right)} = \lim_{h \to 0^+} (-h) e^0 = 0$.
चूंकि $R.H.L. = L.H.L. = f(0) = 0$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए:
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h e^{-2/h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} e^{-2/h} = 0$.
$Lf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h e^0 - 0}{-h} = 1$.
चूंकि $Rf'(0) \ne Lf'(0)$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) $f(x)$ को $x = \frac{\pi }{4}$ पर सतत होने के लिए,$f(\frac{\pi }{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi }{4}} f(x)$ होना चाहिए।
सीमा का मूल्यांकन करने पर: $\lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{1 - \tan x}{4x - \pi }$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करेंगे:
$\lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \tan x)}{\frac{d}{dx}(4x - \pi )} = \lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{-\sec^2 x}{4}$.
$x = \frac{\pi }{4}$ रखने पर:
$\frac{-\sec^2(\frac{\pi }{4})}{4} = \frac{-(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$f(\frac{\pi }{4}) = -\frac{1}{2}$।

(A) अंतराल को दो उप-अंतरालों में विभाजित करें: $I_1: -1 \le x < 0$ और $I_2: x \ge 0$।
$I_1$ के लिए,$f(x) = \int_{-1}^x (-t) \, dt = -\frac{1}{2}[t^2]_{-1}^x = -\frac{1}{2}(x^2 - 1) = \frac{1}{2}(1 - x^2)$।
$I_2$ के लिए,$f(x) = \int_{-1}^0 (-t) \, dt + \int_0^x (t) \, dt = -\frac{1}{2}[t^2]_{-1}^0 + \frac{1}{2}[t^2]_0^x = -\frac{1}{2}(0 - 1) + \frac{1}{2}(x^2 - 0) = \frac{1}{2}(1 + x^2)$।
अतः,$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(1 - x^2), & -1 \le x < 0 \\ \frac{1}{2}(1 + x^2), & x \ge 0 \end{cases}$।
अवकलन करने पर,$f'(x) = \begin{cases} -x, & -1 < x < 0 \\ x, & x > 0 \end{cases}$।
$x = 0$ पर,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{1}{2}$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{2}(1 + 0) = \frac{1}{2}$। चूंकि $f(0) = \frac{1}{2}$,$f$ $x = 0$ पर सतत है।
$f'(x)$ के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 0$। चूंकि $f'(0) = 0$,$f'$ $x = 0$ पर सतत है।
इसलिए,$f$ और $f'$ दोनों $x > -1$ के लिए सतत हैं,अर्थात $x + 1 > 0$।

(B) $x \neq 0$ के लिए,$f(x) = \frac{\tan x}{x}$ है। $x = 0$ के निकट $\tan x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$
अतः,$f(x) = \frac{x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots}{x} = 1 + \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} + \dots$
चूंकि $f(0) = 1$,फलन $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ के निकट,$f(x) \approx 1 + \frac{x^2}{3}$ है।
चूंकि $x^2$ का गुणांक धनात्मक $(1/3 > 0)$ है,इसलिए $f(x)$ का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। अतः,कथन-$1$ सही है।
अब,$f'(x) = \frac{d}{dx} (1 + \frac{x^2}{3} + \dots) = \frac{2x}{3} + \dots$
$x = 0$ पर,$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h^2/3 + \dots) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{3} = 0$ है।
अतः,कथन-$2$ सही है।
चूंकि $f'(0) = 0$ और $f''(0) = 2/3 > 0$ है,द्वितीय अवकलज परीक्षण यह पुष्टि करता है कि $x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।

(D) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,हमें $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ परिभाषित करना होगा।
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1}{x} - \frac{2}{e^{2x} - 1} \right]$
$= \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x(e^{2x} - 1)}$
टेलर श्रेणी विस्तार $e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ का उपयोग करने पर:
$= \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \dots) - 1 - 2x}{x(1 + 2x + \dots - 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{4x^2}{2} + \dots}{x(2x + \dots)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \dots}{2x^2 + \dots} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः,$f(0) = 1$.

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = q$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा ($R$.$H$.$L$.) की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} - 1)}{x \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$.
संयुग्मी $\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}$ से गुणा करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
अतः,$q = 1/2$.
अब,बाईं सीमा ($L$.$H$.$L$.) की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(p+1)x + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(p+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right)$.
$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$(p+1) + 1 = p+2$.
चूंकि $L.H.L. = q$,इसलिए $p+2 = 1/2$,जिसका अर्थ है $p = 1/2 - 2 = -3/2$.
इसलिए,मान $(p, q) = (-3/2, 1/2)$ हैं।

(D) फलन $f(x) = [x] \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right) = [x] \cos \left( x\pi - \frac{\pi}{2} \right) = [x] \sin(x\pi)$ है।
हम किसी भी पूर्णांक $x = n$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$x = n$ पर फलन का मान $f(n) = [n] \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ है।
$x \to n^-$ के लिए बायाँ सीमा $(LHL)$ $\lim_{x \to n^-} [x] \sin(x\pi) = (n - 1) \sin(n\pi) = (n - 1) \cdot 0 = 0$ है।
$x \to n^+$ के लिए दायाँ सीमा $(RHL)$ $\lim_{x \to n^+} [x] \sin(x\pi) = n \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ है।
चूँकि सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $LHL = RHL = f(n) = 0$ है,इसलिए फलन सभी पूर्णांकों पर संतत है।
$[x]$ पूर्णांकों को छोड़कर हर जगह संतत है और $\sin(x\pi)$ हर जगह संतत है,इसलिए उनका गुणनफल हर जगह संतत है।
अतः,$f(x)$ प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए संतत है।

(C) फलन $f(x) = [x]\sin \left( \frac{\pi}{[x + 1]} \right)$ परिभाषित है यदि $[x + 1] \neq 0$ हो।
चूंकि $[x + 1] = 0$ तब होता है जब $0 \le x + 1 < 1$,जिसका अर्थ है $-1 \le x < 0$,इसलिए $f$ का प्रांत $R - [-1, 0)$ है।
अतः,प्रांत $\left\{ x \in R \mid x \notin [-1, 0) \right\}$ है।
फलन $[x]$ सभी पूर्णांकों $I$ पर असंतत है।
$x \in I$ के लिए,$f(x)$ असंतत है जब तक कि गुणनफल $[x]\sin \left( \frac{\pi}{[x + 1]} \right)$ संतत न हो।
$x = 0$ पर,$f(0) = [0]\sin \left( \frac{\pi}{[1]} \right) = 0$ है।
$x \to 0^+$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = 0 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{1} \right) = 0$ है।
अतः,$f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
अन्य पूर्णांकों $n \in I \setminus \{0\}$ के लिए,फलन असंतत रहता है।
इसलिए,असंततता के बिंदुओं का समुच्चय $I - \{0\}$ है।

(B) फलन $f(x)$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$f(1)$ का मान $x$ के $1$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा (limit) के बराबर होना चाहिए।
हमारे पास $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}$ है।
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$.
$x \neq 1$ के लिए,हम उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x - 1)$ को काट सकते हैं:
$f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + x + 1}$.
अब,$x \to 1$ पर सीमा लेने पर:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{1 + 1}{1^2 + 1 + 1} = \frac{2}{3}$.
अतः,फलन के $x = 1$ पर सतत होने के लिए $f(1) = \frac{2}{3}$ होना चाहिए।

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} (1 + |\sin x|)^{a/|\sin x|} = e^{\lim_{x \to 0^-} |\sin x| \cdot \frac{a}{|\sin x|}} = e^a$.
इसके बाद,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} e^{\tan 2x/\tan 3x} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x}{\tan 3x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{(\tan 2x / 2x) \cdot 2x}{(\tan 3x / 3x) \cdot 3x}} = e^{2/3}$.
चूँकि $f(0) = b$,हम सीमाओं की तुलना करते हैं:
$e^a = b = e^{2/3}$.
अतः,$a = 2/3$ और $b = e^{2/3}$ है।

(D) $f(x)$ के $x = \pi/4$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to \pi/4^-} f(x) = \lim_{x \to \pi/4^+} f(x) = f(\pi/4)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to \pi/4^-} (x + a^2\sqrt{2} \sin x) = \pi/4 + a^2\sqrt{2} \sin(\pi/4) = \pi/4 + a^2\sqrt{2}(1/\sqrt{2}) = \pi/4 + a^2$.
$\lim_{x \to \pi/4^+} (x \cot x + b) = \pi/4 \cot(\pi/4) + b = \pi/4(1) + b = \pi/4 + b$.
इन्हें बराबर करने पर,$\pi/4 + a^2 = \pi/4 + b \implies b = a^2$.
$f(x)$ के $x = \pi/2$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to \pi/2^-} f(x) = \lim_{x \to \pi/2^+} f(x) = f(\pi/2)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to \pi/2^-} (x \cot x + b) = \lim_{x \to \pi/2^-} (x \frac{\cos x}{\sin x} + b) = 0 + b = b$.
$\lim_{x \to \pi/2^+} (b \sin 2x - a \cos 2x) = b \sin(\pi) - a \cos(\pi) = b(0) - a(-1) = a$.
इन्हें बराबर करने पर,$b = a$.
चूंकि $b = a^2$ और $b = a$,इसलिए $a^2 = a \implies a^2 - a = 0 \implies a(a - 1) = 0$.
अतः,$a = 0$ या $a = 1$.
यदि $a = 0$ है,तो $b = 0$. यदि $a = 1$ है,तो $b = 1$.
इसलिए,$(a, b)$ के संभावित मान $(0, 0)$ और $(1, 1)$ हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = p[x + 1] + q[x - 1]$.
$x = 1$ पर,$f(1) = p[1 + 1] + q[1 - 1] = p[2] + q[0] = 2p + 0 = 2p$.
$f(x)$ को $x = 1$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$ दायां सीमा $(RHL)$ और फलन के मान $f(1)$ के बराबर होनी चाहिए।
$LHL$: $\lim_{h \to 0} f(1 - h) = \lim_{h \to 0} (p[1 - h + 1] + q[1 - h - 1]) = \lim_{h \to 0} (p[2 - h] + q[-h]) = p(1) + q(-1) = p - q$.
$RHL$: $\lim_{h \to 0} f(1 + h) = \lim_{h \to 0} (p[1 + h + 1] + q[1 + h - 1]) = \lim_{h \to 0} (p[2 + h] + q[h]) = p(2) + q(0) = 2p$.
$LHL$ और $RHL$ को बराबर करने पर: $p - q = 2p$.
यह $-q = p$ में सरल होता है,अर्थात $p + q = 0$।