यदि फलन $f(x) = x^2[\sin^{-1}x]$,$x = \alpha$ और $x = \beta$ पर असंतत (discontinuous) है,जहाँ $\alpha, \beta \in R - \{0\}$ और $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन (greatest integer function) को दर्शाता है,तो $\alpha + \beta$ का मान क्या है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} 2 \sin \left(-\frac{\pi x}{2}\right), & \text{यदि } x < -1 \\ |ax^2 + x + b|, & \text{यदि } -1 \leq x \leq 1 \\ \sin(\pi x), & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$। यदि $f(x)$ पर $R$ सतत है,तो $a + b$ का मान ..... है।

मान लीजिए $f(x)=\lim _{\theta \rightarrow 0}\left(\frac{\cos \pi x-x^{\left(\frac{2}{\theta}\right)} \sin (x-1)}{1+x^{\left(\frac{2}{\theta}\right)}(x-1)}\right), x \in R$. निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें: $(I)$ $f(x)$,$x=1$ पर असंतत है। $(II)$ $f(x)$,$x=-1$ पर संतत है। तो,

यदि $f(x) = \begin{cases} 2^{1/x}, & x \ne 0 \\ 3, & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} (1+|\sin x|)^{\frac{p}{|\sin x|}}, & \frac{-\pi}{6} < x < 0 \\ q, & x = 0 \\ e^{\frac{\sin 2x}{\sin 3x}}, & 0 < x < \frac{\pi}{6} \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $p$ और $q$ के मान ज्ञात कीजिए।

क्या $f(x) = |x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है?