Continuity Questions in Hindi

(N/A) माना सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) = 1 - x + |x|$ और $h(x) = |x|$ है।
तब संयुक्त फलन $(h \circ g)(x) = h(g(x)) = h(1 - x + |x|) = |1 - x + |x|| = f(x)$ है।
चूँकि $h(x) = |x|$ सभी वास्तविक $x$ के लिए एक संतत फलन है,और $g(x) = 1 - x + |x|$ एक बहुपद फलन $(1 - x)$ और मापांक फलन $(|x|)$ का योग है,जो दोनों संतत हैं,इसलिए $g(x)$ भी संतत है।
चूँकि $f(x)$ दो संतत फलनों $h$ और $g$ का संयोजन है,इसलिए $f(x)$ सभी वास्तविक $x$ के लिए एक संतत फलन है।

दिया गया फलन $f(x)=5x-3$ है।
$x=0$ पर,$f(0)=5(0)-3=-3$ है।
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (5x-3) = 5(0)-3 = -3$ है।
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$,इसलिए फलन $f$,$x=0$ पर संतत है।
$x=-3$ पर,$f(-3)=5(-3)-3=-15-3=-18$ है।
$\lim_{x \to -3} f(x) = \lim_{x \to -3} (5x-3) = 5(-3)-3 = -18$ है।
चूँकि $\lim_{x \to -3} f(x) = f(-3)$,इसलिए फलन $f$,$x=-3$ पर संतत है।
$x=5$ पर,$f(5)=5(5)-3=25-3=22$ है।
$\lim_{x \to 5} f(x) = \lim_{x \to 5} (5x-3) = 5(5)-3 = 22$ है।
चूँकि $\lim_{x \to 5} f(x) = f(5)$,इसलिए फलन $f$,$x=5$ पर संतत है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x^{2} - 1$ है।
सबसे पहले,हम $x = 3$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(3) = 2(3)^{2} - 1 = 2(9) - 1 = 18 - 1 = 17$.
अब,हम $x$ के $3$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (2x^{2} - 1) = 2(3)^{2} - 1 = 18 - 1 = 17$.
चूँकि $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 17$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 3$ पर संतत है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = x - 5$ है।
यह स्पष्ट है कि $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या $k$ पर परिभाषित है और $k$ पर इसका मान $f(k) = k - 5$ है।
जब $x$,$k$ की ओर अग्रसर होता है,तब फलन की सीमा इस प्रकार है:
$\lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x - 5) = k - 5$.
चूँकि $\lim_{x \to k} f(x) = f(k)$ है,अतः फलन $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या $k$ पर संतत है।
इसलिए,$f(x) = x - 5$ एक संतत फलन है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{x-5}$ है,जहाँ $x \neq 5$ है।
किसी भी वास्तविक संख्या $k$ के लिए जहाँ $k \neq 5$,हम सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{k-5}$.
साथ ही,$x = k$ पर फलन का मान $f(k) = \frac{1}{k-5}$ है।
चूँकि $\lim_{x \to k} f(x) = f(k)$ सभी $k \in \mathbb{R} \setminus \{5\}$ के लिए सत्य है,अतः फलन $f$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
इसलिए,$f$ एक संतत फलन है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^{2} - 25}{x + 5}$ है,जहाँ $x \neq -5$ है।
किसी भी वास्तविक संख्या $c \neq -5$ के लिए,हमारे पास है:
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} \frac{x^{2} - 25}{x + 5} = \lim_{x \to c} \frac{(x + 5)(x - 5)}{x + 5} = \lim_{x \to c} (x - 5) = c - 5$.
साथ ही,$f(c) = \frac{c^{2} - 25}{c + 5} = \frac{(c + 5)(c - 5)}{c + 5} = c - 5$.
चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ सभी $c \neq -5$ के लिए सत्य है,अतः फलन $f$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।

दिया गया फलन $f(x) = |x - 5| = \begin{cases} 5 - x, & \text{यदि } x < 5 \\ x - 5, & \text{यदि } x \ge 5 \end{cases}$ है।
यह फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
माना $c$ कोई वास्तविक संख्या है। तब $c < 5$,$c = 5$,या $c > 5$ होगा।
स्थिति $I$: $c < 5$.
तब $f(c) = 5 - c$.
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (5 - x) = 5 - c$.
चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,अतः $f$ सभी $c < 5$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: $c = 5$.
तब $f(5) = 5 - 5 = 0$.
बायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5} (5 - x) = 5 - 5 = 0$.
दायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5} (x - 5) = 5 - 5 = 0$.
चूँकि $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5)$,अतः $f$ बिंदु $x = 5$ पर संतत है।
स्थिति $III$: $c > 5$.
तब $f(c) = c - 5$.
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x - 5) = c - 5$.
चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,अतः $f$ सभी $c > 5$ के लिए संतत है।
निष्कर्ष: चूँकि $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है,इसलिए यह एक संतत फलन है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = x^{n}$ है।
यह स्पष्ट है कि $f$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए परिभाषित है,और $x = n$ पर इसका मान $f(n) = n^{n}$ है।
अब,हम फलन की सीमा ज्ञात करते हैं जब $x$ का मान $n$ की ओर अग्रसर होता है:
$\lim_{x \to n} f(x) = \lim_{x \to n} (x^{n}) = n^{n}$.
चूंकि $\lim_{x \to n} f(x) = f(n) = n^{n}$ है,इसलिए सांतत्य की शर्त पूरी होती है।
अतः,फलन $f(x) = x^{n}$ बिंदु $x = n$ पर संतत है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \le 1 \\ 5, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ है।
$x=0$ पर:
फलन $x=0$ पर परिभाषित है और $f(0) = 0$ है।
सीमा $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$,इसलिए फलन $x=0$ पर संतत है।
$x=1$ पर:
फलन $x=1$ पर परिभाषित है और $f(1) = 1$ है।
बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$ है।
दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 5 = 5$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$,इसलिए $x=1$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः,फलन $x=1$ पर संतत नहीं है।
$x=2$ पर:
फलन $x=2$ पर परिभाषित है और $f(2) = 5$ है।
सीमा $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} 5 = 5$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$,इसलिए फलन $x=2$ पर संतत है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{यदि } x \le 2 \\ 2x - 3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$ है।
यह स्पष्ट है कि फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ कोई वास्तविक संख्या है। हम तीन स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $I$: $c < 2$. यहाँ $f(x) = 2x + 3$. $\lim_{x \to c} f(x) = 2c + 3 = f(c)$. अतः,$f$ सभी $x < 2$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: $c > 2$. यहाँ $f(x) = 2x - 3$. $\lim_{x \to c} f(x) = 2c - 3 = f(c)$. अतः,$f$ सभी $x > 2$ के लिए संतत है।
स्थिति $III$: $c = 2$. हम $x = 2$ पर सीमाओं की जाँच करते हैं।
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x + 3) = 2(2) + 3 = 7$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 3) = 2(2) - 3 = 1$.
चूँकि बाएँ हाथ की सीमा $(7)$ दाएँ हाथ की सीमा $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन $x = 2$ पर असंतत है।
अतः,$x = 2$ असंततता का एकमात्र बिंदु है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} |x| + 3, & \text{यदि } x \le -3 \\ -2x, & \text{यदि } -3 < x < 3 \\ 6x + 2, & \text{यदि } x \ge 3 \end{cases}$ है।
स्थिति $I$: यदि $c < -3$,तो $f(c) = -c + 3$। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-x + 3) = -c + 3 = f(c)$। अतः,$x < -3$ के लिए $f$ सतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = -3$,तो $f(-3) = |-3| + 3 = 6$। बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (-x + 3) = -(-3) + 3 = 6$। दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} (-2x) = -2(-3) = 6$। चूँकि $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3)$,इसलिए $x = -3$ पर $f$ सतत है।
स्थिति $III$: यदि $-3 < c < 3$,तो $f(c) = -2c$। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-2x) = -2c = f(c)$। अतः,$x \in (-3, 3)$ के लिए $f$ सतत है।
स्थिति $IV$: यदि $c = 3$,तो $f(3) = 6(3) + 2 = 20$। बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (-2x) = -2(3) = -6$। दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (6x + 2) = 6(3) + 2 = 20$। चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $\neq$ दाएँ पक्ष की सीमा,इसलिए $x = 3$ पर $f$ असतत है।
स्थिति $V$: यदि $c > 3$,तो $f(c) = 6c + 2$। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (6x + 2) = 6c + 2 = f(c)$। अतः,$x > 3$ के लिए $f$ सतत है।
अतः,असातत्य का एकमात्र बिंदु $x = 3$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ है।
हम जानते हैं कि $x < 0 \implies |x| = -x$ और $x > 0 \implies |x| = x$ होता है।
अतः,फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} -1, & \text{यदि } x < 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \\ 1, & \text{यदि } x > 0 \end{cases}$
फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ कोई वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 0$,तो $f(c) = -1$ है।
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-1) = -1 = f(c)$।
अतः,$f$ सभी $x < 0$ के लिए सतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 0$,तो बायाँ सीमा (left-hand limit) $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$ है।
दायाँ सीमा (right-hand limit) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1) = 1$ है।
चूँकि बायाँ सीमा $\neq$ दायाँ सीमा,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर असतत है।
स्थिति $III$: यदि $c > 0$,तो $f(c) = 1$ है।
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (1) = 1 = f(c)$।
अतः,$f$ सभी $x > 0$ के लिए सतत है।
निष्कर्ष: $x = 0$ असातत्य का एकमात्र बिंदु है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & \text{यदि } x < 0 \\ -1, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$ है।
$x < 0$ के लिए,हम जानते हैं कि $|x| = -x$ होता है। इसलिए,$x < 0$ के लिए,$f(x) = \frac{x}{-x} = -1$ है।
अतः,फलन को सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) = -1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $c$ कोई भी वास्तविक संख्या है। तब,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-1) = -1$ है।
साथ ही,किसी भी $c \in \mathbb{R}$ के लिए $f(c) = -1$ है।
चूँकि सभी $c \in \mathbb{R}$ के लिए $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ है,इसलिए फलन $f(x)$ हर जगह संतत है।
अतः,फलन का कोई भी असांतत्य बिंदु नहीं है।

(NONE) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{यदि } x \ge 1 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } x < 1 \end{cases}$ है।
फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
स्थिति $I$: यदि $c < 1$ है,तो $f(c) = c^2 + 1$ है। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2 + 1) = c^2 + 1$ है। चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,इसलिए $f$ सभी $x < 1$ के लिए सतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 1$ है,तो $f(1) = 1 + 1 = 2$ है।
बाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2$ है।
दाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ है।
चूँकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$,इसलिए $f$ बिंदु $x = 1$ पर सतत है।
स्थिति $III$: यदि $c > 1$ है,तो $f(c) = c + 1$ है। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 1) = c + 1$ है। चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,इसलिए $f$ सभी $x > 1$ के लिए सतत है।
निष्कर्ष: फलन $f$ का कोई असंततता बिंदु नहीं है और यह एक सतत फलन है।

(NONE) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x^3 - 3, & \text{यदि } x \le 2 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$ है।
फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
स्थिति $I$: यदि $c < 2$ है,तो $f(c) = c^3 - 3.$
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^3 - 3) = c^3 - 3 = f(c).$
अतः,$f$ सभी $x < 2$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 2$ है,तो $f(2) = 2^3 - 3 = 5.$
बायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^3 - 3) = 2^3 - 3 = 5.$
दायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5.$
चूँकि $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 5,$ इसलिए फलन $x = 2$ पर संतत है।
स्थिति $III$: यदि $c > 2$ है,तो $f(c) = c^2 + 1.$
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2 + 1) = c^2 + 1 = f(c).$
अतः,$f$ सभी $x > 2$ के लिए संतत है।
निष्कर्ष: फलन $f$ वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है। अतः,असांतत्य का कोई बिंदु नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x^{10} - 1, & \text{यदि } x \le 1 \\ x^2, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ है।
फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
स्थिति $I$: यदि $c < 1$ है,तो $f(c) = c^{10} - 1$ है। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^{10} - 1) = c^{10} - 1 = f(c)$ है। अतः,$f$ सभी $x < 1$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 1$ है,तो हम $x = 1$ पर सीमाओं की जाँच करते हैं।
बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^{10} - 1) = 1^{10} - 1 = 0$ है।
दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2) = 1^2 = 1$ है।
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $(0)$ दाएँ पक्ष की सीमा $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन $f$,$x = 1$ पर असंतत है।
स्थिति $III$: यदि $c > 1$ है,तो $f(c) = c^2$ है। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2) = c^2 = f(c)$ है। अतः,$f$ सभी $x > 1$ के लिए संतत है।
निष्कर्ष: असंततता का एकमात्र बिंदु $x = 1$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x + 5, & \text{यदि } x \le 1 \\ x - 5, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ है।
फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
मान लीजिए $c$ कोई वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 1$ है,तो $f(c) = c + 5$ और $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 5) = c + 5$ है। चूंकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,इसलिए $f$ सभी $x < 1$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 1$ है,तो $f(1) = 1 + 5 = 6$ है। बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 5) = 6$ है। दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 5) = -4$ है। चूंकि बाएँ पक्ष की सीमा $\neq$ दाएँ पक्ष की सीमा,इसलिए $f$ बिंदु $x = 1$ पर संतत नहीं है।
स्थिति $III$: यदि $c > 1$ है,तो $f(c) = c - 5$ और $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x - 5) = c - 5$ है। चूंकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,इसलिए $f$ सभी $x > 1$ के लिए संतत है।
निष्कर्ष: फलन $f$ बिंदु $x = 1$ पर संतत नहीं है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 3, & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \\ 4, & \text{यदि } 1 < x < 3 \\ 5, & \text{यदि } 3 \le x \le 10 \end{cases}$ है।
$x=3$ पर सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x=3$ पर फलन का मान ज्ञात करेंगे।
$1$. $x=3$ पर फलन का मान:
$f(3) = 5$ (परिभाषा के तीसरे भाग के अनुसार)।
$2$. $x=3$ पर बाएँ पक्ष की सीमा:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (4) = 4$।
$3$. $x=3$ पर दाएँ पक्ष की सीमा:
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (5) = 5$।
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $(\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4)$ दाएँ पक्ष की सीमा $(\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा $\lim_{x \to 3} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,फलन $f$ बिंदु $x=3$ पर संतत नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{यदि } x < 0 \\ 0, & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \\ 4x, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ है।
$x=3$ पर सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x \to 3$ पर फलन की सीमा का मूल्यांकन करते हैं और इसकी तुलना $x=3$ पर फलन के मान से करते हैं।
चूँकि $3 > 1$,$x=3$ के पड़ोस में फलन $f(x) = 4x$ द्वारा परिभाषित है।
$1$. $x=3$ पर फलन का मान:
$f(3) = 4(3) = 12$.
$2$. $x \to 3$ पर फलन की सीमा:
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (4x) = 4(3) = 12$.
चूँकि $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 12$,इसलिए फलन $f$,$x=3$ पर संतत है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} -2, & \text{यदि } x \le -1 \\ 2x, & \text{यदि } -1 < x \le 1 \\ 2, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ है।
$x=3$ पर सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x > 1$ के लिए फलन की परिभाषा देखते हैं।
किसी भी $x > 1$ के लिए,$f(x) = 2$ है।
$x=3$ पर,फलन का मान $f(3) = 2$ है।
जब $x$ का मान $3$ की ओर अग्रसर होता है,तो फलन की सीमा:
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (2) = 2$.
चूँकि $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 2$ है,इसलिए फलन $f$,$x=3$ पर संतत है।

(D) दिया गया फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} ax + 1, & \text{यदि } x \le 3 \\ bx + 3, & \text{यदि } x > 3 \end{cases}$।
यदि फलन $f$ बिंदु $x = 3$ पर सतत है,तो बायाँ पक्ष सीमा,दायाँ पक्ष सीमा और $x = 3$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$.
$1$. $x = 3$ पर बायाँ पक्ष सीमा:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (ax + 1) = 3a + 1$.
$2$. $x = 3$ पर दायाँ पक्ष सीमा:
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (bx + 3) = 3b + 3$.
$3$. $x = 3$ पर फलन का मान:
$f(3) = 3a + 1$.
सीमाओं की तुलना करने पर:
$3a + 1 = 3b + 3$
$3a = 3b + 2$
$a = b + \frac{2}{3}$.
अतः,आवश्यक संबंध $a = b + \frac{2}{3}$ है।

(NONE) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर संतत होने के लिए,बायां सीमा,दायां सीमा और $x=0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$x=0$ पर बायां सीमा:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \lambda(x^2 - 2x) = \lambda(0^2 - 2(0)) = 0$
$x=0$ पर दायां सीमा:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (4x + 1) = 4(0) + 1 = 1$
$x=0$ पर फलन का मान:
$f(0) = \lambda(0^2 - 2(0)) = 0$
चूंकि बायां सीमा $(0)$ दायां सीमा $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए $\lambda$ के किसी भी मान के लिए फलन $x=0$ पर असंतत है।
$x=1$ पर,फलन $f(x) = 4x + 1$ द्वारा परिभाषित है,जो एक बहुपद फलन है। बहुपद फलन अपने प्रांत में हर जगह संतत होते हैं। अतः,$\lambda$ के किसी भी मान के लिए $f(x)$ बिंदु $x=1$ पर संतत है।

दिया गया फलन $g(x)=x-[x]$ है।
यह स्पष्ट है कि $g$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर परिभाषित है।
माना $n$ एक पूर्णांक है।
तब $g(n)=n-[n]=n-n=0$.
$x=n$ पर $g$ की बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ है:
$\lim_{x \to n^-} g(x) = \lim_{x \to n^-} (x-[x]) = \lim_{x \to n^-} (x) - \lim_{x \to n^-} [x] = n - (n-1) = 1$.
$x=n$ पर $g$ की दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ है:
$\lim_{x \to n^+} g(x) = \lim_{x \to n^+} (x-[x]) = \lim_{x \to n^+} (x) - \lim_{x \to n^+} [x] = n - n = 0$.
यह देखा गया है कि $x=n$ पर $g$ की बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा समान नहीं हैं (क्योंकि $1 \neq 0$)।
इसलिए,$g$ बिंदु $x=n$ पर संतत नहीं है।
अतः,$g$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} - \sin x + 5$ है।
सबसे पहले,हम $x = \pi$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(\pi) = \pi^{2} - \sin \pi + 5 = \pi^{2} - 0 + 5 = \pi^{2} + 5$.
अब,$x \to \pi$ होने पर फलन की सीमा (limit) ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to \pi} f(x) = \lim_{x \to \pi} (x^{2} - \sin x + 5)$.
योग और अंतर के लिए सीमा के गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to \pi} f(x) = \lim_{x \to \pi} x^{2} - \lim_{x \to \pi} \sin x + \lim_{x \to \pi} 5$.
$x = \pi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{x \to \pi} f(x) = \pi^{2} - \sin \pi + 5 = \pi^{2} - 0 + 5 = \pi^{2} + 5$.
चूंकि $\lim_{x \to \pi} f(x) = f(\pi) = \pi^{2} + 5$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = \pi$ पर संतत है।

(A) हम जानते हैं कि यदि $g$ और $h$ दो संतत फलन हैं,तो $g+h$,$g-h$ और $g \cdot h$ भी संतत होते हैं।
सबसे पहले,हम सिद्ध करेंगे कि $g(x) = \sin x$ और $h(x) = \cos x$ संतत फलन हैं।
$g(x) = \sin x$ के लिए:
$g(x)$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x = c + h$ रखें। जब $x \to c$,तब $h \to 0$.
$g(c) = \sin c$.
$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{h \to 0} \sin(c + h) = \lim_{h \to 0} (\sin c \cos h + \cos c \sin h) = \sin c(1) + \cos c(0) = \sin c$.
चूंकि $\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$,इसलिए $g(x)$ संतत है।
$h(x) = \cos x$ के लिए:
$h(x)$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x = c + h$ रखें। जब $x \to c$,तब $h \to 0$.
$h(c) = \cos c$.
$\lim_{x \to c} h(x) = \lim_{h \to 0} \cos(c + h) = \lim_{h \to 0} (\cos c \cos h - \sin c \sin h) = \cos c(1) - \sin c(0) = \cos c$.
चूंकि $\lim_{x \to c} h(x) = h(c)$,इसलिए $h(x)$ संतत है।
निष्कर्ष:
a) $f(x) = g(x) + h(x) = \sin x + \cos x$ एक संतत फलन है।
b) $f(x) = g(x) - h(x) = \sin x - \cos x$ एक संतत फलन है।
c) $f(x) = g(x) \cdot h(x) = \sin x \cos x$ एक संतत फलन है।

(N/A) हम जानते हैं कि यदि $g$ और $h$ दो सतत फलन हैं,तो:
$i.$ $\frac{h(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0$ सतत है।
$ii.$ $\frac{1}{g(x)}, g(x) \neq 0$ सतत है।
$iii.$ $\frac{1}{h(x)}, h(x) \neq 0$ सतत है।
सबसे पहले,हम सिद्ध करते हैं कि $g(x) = \sin x$ और $h(x) = \cos x$ सतत फलन हैं।
$g(x) = \sin x$ के लिए,मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x = c + h$ रखें। जैसे $x \to c$,वैसे ही $h \to 0$.
$\lim_{x \to c} \sin x = \lim_{h \to 0} \sin(c + h) = \lim_{h \to 0} [\sin c \cos h + \cos c \sin h] = \sin c(1) + \cos c(0) = \sin c = g(c)$.
अतः,$g(x) = \sin x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
इसी प्रकार,$h(x) = \cos x$ के लिए,$\lim_{x \to c} \cos x = \lim_{h \to 0} \cos(c + h) = \lim_{h \to 0} [\cos c \cos h - \sin c \sin h] = \cos c(1) - \sin c(0) = \cos c = h(c)$.
अतः,$h(x) = \cos x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
अब,अन्य फलनों के लिए:
$1.$ $\cos x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
$2.$ $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ वहाँ सतत है जहाँ $\sin x \neq 0$,अर्थात $x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z}$.
$3.$ $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ वहाँ सतत है जहाँ $\cos x \neq 0$,अर्थात $x \neq (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
$4.$ $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ वहाँ सतत है जहाँ $\sin x \neq 0$,अर्थात $x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

(NONE) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{यदि } x < 0 \\ x + 1, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$ है।
यह स्पष्ट है कि $f$ वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।
माना $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 0$ है,तो $f(c) = \frac{\sin c}{c}$ और $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{\sin c}{c}$ है।
चूंकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ है,इसलिए $f$ सभी $x < 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c > 0$ है,तो $f(c) = c + 1$ और $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 1) = c + 1$ है।
चूंकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ है,इसलिए $f$ सभी $x > 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $III$: यदि $c = 0$ है,तो $f(0) = 0 + 1 = 1$ है।
$x = 0$ पर वाम पक्ष सीमा $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1$ है।
$x = 0$ पर दक्षिण पक्ष सीमा $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1$ है,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
उपरोक्त अवलोकनों से,$f$ वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं पर संतत है। अतः,$f$ का कोई असांतत्य बिंदु नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f$ है $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$
यह स्पष्ट है कि $f$ वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।
मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c \neq 0$,तो $f(c) = c^2 \sin \frac{1}{c}$।
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2 \sin \frac{1}{x}) = (\lim_{x \to c} x^2) (\lim_{x \to c} \sin \frac{1}{x}) = c^2 \sin \frac{1}{c}$।
चूंकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,इसलिए $f$ सभी बिंदुओं $x \neq 0$ पर सतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 0$,तो $f(0) = 0$।
हम जानते हैं कि $x \neq 0$ के लिए $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ होता है।
$x^2$ से गुणा करने पर,हमें $-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,चूंकि $\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0$ और $\lim_{x \to 0} (x^2) = 0$,इसलिए $\lim_{x \to 0} (x^2 \sin \frac{1}{x}) = 0$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$।
इसलिए,$f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
उपरोक्त अवलोकनों से,$f$ वास्तविक संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु पर सतत है। अतः,$f$ एक सतत फलन है।

(A) दिया गया फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} \sin x - \cos x, & \text{यदि } x \neq 0 \\ -1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$।
यह स्पष्ट है कि $f$ वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।
मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c \neq 0$ है,तो $f(c) = \sin c - \cos c$।
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (\sin x - \cos x) = \sin c - \cos c$।
चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,इसलिए $f$ उन सभी बिंदुओं $x \neq 0$ पर संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 0$ है,तो $f(0) = -1$।
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (\sin x - \cos x) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$।
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (\sin x - \cos x) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$।
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = -1$,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
उपरोक्त अवलोकनों से,यह निष्कर्ष निकलता है कि $f$ वास्तविक संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।

(A) दिया गया फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}, & \text{यदि } x \neq \frac{\pi}{2} \\ 3, & \text{यदि } x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$
चूंकि फलन $f$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $x \to \frac{\pi}{2}$ पर $f(x)$ की सीमा $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3$ दिया गया है।
अब,सीमा की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}$
मान लीजिए $x = \frac{\pi}{2} + h$. जैसे ही $x \to \frac{\pi}{2}$,$h \to 0$ होगा।
$\lim_{h \to 0} \frac{k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-k \sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$
हम जानते हैं कि $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,इसलिए:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = \frac{k}{2} \cdot 1 = \frac{k}{2}$
सीमा को फलन के मान के बराबर रखने पर:
$\frac{k}{2} = 3 \implies k = 6$.
अतः,$k$ का अभीष्ट मान $6$ है।

(A) फलन $f(x)$ के $x=2$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x=2$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. $x=2$ पर फलन का मान $f(2) = k(2)^2 = 4k$ है।
$2$. $x=2$ पर बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (kx^2) = k(2)^2 = 4k$ है।
$3$. $x=2$ पर दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3) = 3$ है।
सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$ होना चाहिए।
अतः,$4k = 3$।
$k$ के लिए हल करने पर,हमें $k = 3/4$ प्राप्त होता है।

(A) फलन $f(x)$ के $x = \pi$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और $x = \pi$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. $x = \pi$ पर फलन का मान:
$f(\pi) = k(\pi) + 1 = k\pi + 1$.
$2$. $x = \pi$ पर बायां सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} (kx + 1) = k\pi + 1$.
$3$. $x = \pi$ पर दायां सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} \cos x = \cos(\pi) = -1$.
सांतत्य के लिए,$LHL$ = $RHL$ = $f(\pi)$:
$k\pi + 1 = -1$.
$k$ के लिए हल करने पर:
$k\pi = -1 - 1$
$k\pi = -2$
$k = -\frac{2}{\pi}$.
अतः,$k$ का आवश्यक मान $-\frac{2}{\pi}$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} kx + 1, & \text{यदि } x \le 5 \\ 3x - 5, & \text{यदि } x > 5 \end{cases}$ है।
फलन $f$ के $x = 5$ पर सतत होने के लिए,वामपक्ष सीमा,दक्षिणपक्ष सीमा और $x = 5$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 5$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं: $f(5) = k(5) + 1 = 5k + 1$.
इसके बाद,वामपक्ष सीमा ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (kx + 1) = 5k + 1$.
फिर,दक्षिणपक्ष सीमा ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} (3x - 5) = 3(5) - 5 = 15 - 5 = 10$.
सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5)$ होना चाहिए।
अतः,$5k + 1 = 10$.
$5k = 9$.
$k = 9/5$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 5, & \text{यदि } x \le 2 \\ ax + b, & \text{यदि } 2 < x < 10 \\ 21, & \text{यदि } x \ge 10 \end{cases}$ है।
चूंकि $f$ एक सतत फलन है,इसलिए यह $x=2$ और $x=10$ पर भी सतत होगा।
$x=2$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$
$5 = 2a + b = 5 \implies 2a + b = 5$ $(1)$
$x=10$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 10^-} f(x) = \lim_{x \to 10^+} f(x) = f(10)$
$10a + b = 21 = 21 \implies 10a + b = 21$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(10a + b) - (2a + b) = 21 - 5$
$8a = 16 \implies a = 2$
$a=2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2(2) + b = 5$
$4 + b = 5 \implies b = 1$
अतः,$a=2$ और $b=1$ प्राप्त होते हैं।

(N/A) दिया गया फलन $f(x)=\cos \left(x^{2}\right)$ है।
यह फलन $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है और $f$ को दो फलनों के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है,$f=g \circ h$,जहाँ $g(x)=\cos x$ और $h(x)=x^{2}$ है।
$[\because (g \circ h)(x)=g(h(x))=g(x^{2})=\cos(x^{2})=f(x)]$.
सबसे पहले यह सिद्ध करना होगा कि $g(x)=\cos x$ और $h(x)=x^{2}$ संतत फलन हैं।
यह स्पष्ट है कि $g$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। तब $g(c)=\cos c$ है।
$x=c+h$ रखें। यदि $x \to c$,तो $h \to 0$ होगा।
$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} \cos x = \lim_{h \to 0} \cos(c+h) = \lim_{h \to 0} [\cos c \cos h - \sin c \sin h]$.
$= \cos c \lim_{h \to 0} \cos h - \sin c \lim_{h \to 0} \sin h = \cos c \times 1 - \sin c \times 0 = \cos c$.
$\therefore \lim_{x \to c} g(x) = g(c)$ है। अतः,$g(x)=\cos x$ एक संतत फलन है।
अब,$h(x)=x^{2}$ है। स्पष्ट रूप से,$h$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $k$ एक वास्तविक संख्या है,तो $h(k)=k^{2}$ है।
$\lim_{x \to k} h(x) = \lim_{x \to k} x^{2} = k^{2} = h(k)$ है। अतः,$h$ एक संतत फलन है।
यह ज्ञात है कि यदि $g$ और $h$ संतत फलन हैं,तो उनका संयोजन $(g \circ h)$ भी संतत होता है।
चूँकि $g(x)=\cos x$ और $h(x)=x^{2}$ संतत हैं,इसलिए उनका संयोजन $f(x)=(g \circ h)(x)=\cos(x^{2})$ एक संतत फलन है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x)=|\cos x|$ है।
यह फलन $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है और इसे दो फलनों के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है $f=g \circ h$,जहाँ $g(x)=|x|$ और $h(x)=\cos x$ है।
$[\because (g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\cos x) = |\cos x| = f(x)]$
सबसे पहले,हम सिद्ध करेंगे कि $g(x)=|x|$ और $h(x)=\cos x$ संतत फलन हैं।
$g(x)=|x|$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$g(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$
स्पष्ट है कि $g$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 0$,तो $g(c)=-c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c = g(c)$। अतः,$g$ फलन $x < 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c > 0$,तो $g(c)=c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} x = c = g(c)$। अतः,$g$ फलन $x > 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $III$: यदि $c=0$,तो $g(0)=0$ है। $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ है। चूँकि $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$,इसलिए $g$ फलन $x=0$ पर संतत है।
अतः,$g(x)=|x|$ सर्वत्र संतत है।
अब,$h(x)=\cos x$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x=c+h$ रखें। जैसे ही $x \to c$,$h \to 0$ होगा।
$\lim_{x \to c} h(x) = \lim_{h \to 0} \cos(c+h) = \lim_{h \to 0} (\cos c \cos h - \sin c \sin h) = \cos c(1) - \sin c(0) = \cos c = h(c)$।
अतः,$h(x)=\cos x$ सर्वत्र संतत है।
चूँकि दो संतत फलनों का संयोजन संतत होता है,इसलिए $f(x) = (g \circ h)(x) = |\cos x|$ एक संतत फलन है।

(N/A) माना $f(x) = \sin |x|$ है।
यह फलन $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है और $f$ को दो फलनों के संयोजन $f = h \circ g$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $g(x) = |x|$ और $h(x) = \sin x$ है।
$[\because (h \circ g)(x) = h(g(x)) = h(|x|) = \sin |x| = f(x)]$
सबसे पहले,हम सिद्ध करेंगे कि $g(x) = |x|$ और $h(x) = \sin x$ संतत फलन हैं।
$g(x) = |x|$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$g(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$
स्पष्ट है कि $g$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। माना $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 0$,तो $g(c) = -c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c$ है। अतः,$\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$ है। इसलिए,$g$ फलन $x < 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c > 0$,तो $g(c) = c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (x) = c$ है। अतः,$\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$ है। इसलिए,$g$ फलन $x > 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $III$: यदि $c = 0$,तो $g(0) = 0$ है। $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ है। चूँकि $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$ है,इसलिए $g$ फलन $x = 0$ पर संतत है।
इस प्रकार,$g(x) = |x|$ सर्वत्र संतत है।
अब,$h(x) = \sin x$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। माना $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x = c + k$ रखें। यदि $x \to c$,तो $k \to 0$ होगा।
$\lim_{x \to c} h(x) = \lim_{k \to 0} \sin(c + k) = \lim_{k \to 0} (\sin c \cos k + \cos c \sin k) = \sin c(1) + \cos c(0) = \sin c = h(c)$ है।
अतः,$h(x) = \sin x$ सर्वत्र संतत है।
चूँकि दो संतत फलनों का संयोजन संतत होता है,इसलिए $f(x) = (h \circ g)(x) = \sin |x|$ एक संतत फलन है।

(NONE) दिया गया फलन $f(x) = |x| - |x + 1|$ है।
दो फलनों $g$ और $h$ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:
$g(x) = |x|$ और $h(x) = |x + 1|$.
अतः,$f = g - h$ है।
सबसे पहले,$g$ और $h$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं।
फलन $g(x) = |x|$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$g(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$
यह स्पष्ट है कि $g$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 0$ है,तो $g(c) = -c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c$. अतः,$g$ फलन $x < 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c > 0$ है,तो $g(c) = c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (x) = c$. अतः,$g$ फलन $x > 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $III$: यदि $c = 0$ है,तो $g(0) = 0$ है। बायाँ पक्ष सीमा $\lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ और दायाँ पक्ष सीमा $\lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ है। अतः,$g$ फलन $x = 0$ पर संतत है।
इस प्रकार,$g$ प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
इसी प्रकार,$h(x) = |x + 1|$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$h(x) = \begin{cases} -(x + 1), & \text{यदि } x < -1 \\ x + 1, & \text{यदि } x \ge -1 \end{cases}$
इसी तरह यह सिद्ध किया जा सकता है कि $h$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए संतत है।
दो संतत फलनों का अंतर भी एक संतत फलन होता है। इसलिए,$f = g - h$ भी प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
अतः,$f$ का कोई भी असांतत्य बिंदु नहीं है।

(A) फलन $x = 1$ पर सतत है यदि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ हो।
सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (a + bx) = a + b$.
अगला,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (b - ax) = b - a$.
दिया गया है कि $f(1) = 4$,हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है:
$a + b = 4$
$b - a = 4$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(a + b) + (b - a) = 4 + 4$ $\Rightarrow 2b = 8$ $\Rightarrow b = 4$.
$b = 4$ को $a + b = 4$ में प्रतिस्थापित करने पर: $a + 4 = 4 \Rightarrow a = 0$.
अतः,$a = 0$ और $b = 4$ मान हैं।

(A) $\lim_{x \to 0} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,$x = 0$ पर बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (mx^2 + n) = m(0)^2 + n = n$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (nx + m) = n(0) + m = m$
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व है यदि $m = n$ हो।
$\lim_{x \to 1} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,$x = 1$ पर बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (nx + m) = n(1) + m = n + m$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (nx^3 + m) = n(1)^3 + m = n + m$
चूंकि $n + m = n + m$,इसलिए $\lim_{x \to 1} f(x)$ का अस्तित्व सभी पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए है।
अतः,दोनों सीमाओं के अस्तित्व के लिए शर्त $m = n$ है।

(A) $f(x)$ के दो बार अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = \pi$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए।
$1$. $x = \pi$ पर सांतत्य:
$f(\pi^{-}) = f(\pi) = f(\pi^{+})$
$k_{1}(\pi-\pi)^{2} - 1 = k_{2} \cos(\pi)$
$-1 = -k_{2} \implies k_{2} = 1$.
$2$. प्रथम अवकलज $f'(x)$:
$f'(x) = \begin{cases} 2k_{1}(x-\pi), & x \leq \pi \\ -k_{2} \sin x, & x > \pi \end{cases}$
$x = \pi$ पर,$f'(\pi^{-}) = 2k_{1}(\pi-\pi) = 0$ और $f'(\pi^{+}) = -k_{2} \sin(\pi) = 0$.
चूंकि $0 = 0$,फलन $x = \pi$ पर किसी भी $k_{1}, k_{2}$ के लिए अवकलनीय है।
$3$. द्वितीय अवकलज $f''(x)$:
$f''(x) = \begin{cases} 2k_{1}, & x \leq \pi \\ -k_{2} \cos x, & x > \pi \end{cases}$
$f''(x)$ के $x = \pi$ पर सतत होने के लिए:
$f''(\pi^{-}) = f''(\pi^{+})$
$2k_{1} = -k_{2} \cos(\pi)$
$2k_{1} = -k_{2}(-1) = k_{2}$
चूंकि $k_{2} = 1$,इसलिए $2k_{1} = 1 \implies k_{1} = \frac{1}{2}$.
अतः,$(k_{1}, k_{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.

(A) फलन $f(x) = x \cdot \left[ \frac{x}{2} \right]$ को $x \in (-10, 10)$ के लिए परिभाषित किया गया है।
महत्तम पूर्णांक फलन $[t]$,$t$ के सभी पूर्णांक मानों पर असंतत होता है।
यहाँ,$t = \frac{x}{2}$ है। अतः,$f(x)$ तब असंतत हो सकता है जब $\frac{x}{2} = k$,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
दिया गया है कि $-10 < x < 10$,इसलिए $-5 < \frac{x}{2} < 5$ है।
$k = \frac{x}{2}$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
आइए इन बिंदुओं पर सांतत्य की जाँच करें:
$1$. $k \neq 0$ (अर्थात $x \neq 0$) के लिए,फलन $f(x) = x \cdot \left[ \frac{x}{2} \right]$ असंतत है क्योंकि महत्तम पूर्णांक फलन $\left[ \frac{x}{2} \right]$ इन बिंदुओं पर कूदता है और $x$ शून्य नहीं है।
$2$. $k = 0$ के लिए,$x = 0$ है। हम $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
$f(0) = 0 \cdot [0] = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \cdot [0] = 0$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x \cdot [-1] = 0$.
चूंकि $f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$,इसलिए फलन $x = 0$ पर संतत है।
अतः,असंतत बिंदु $\frac{x}{2} \in \{-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4\}$ हैं,जो $x \in \{-8, -6, -4, -2, 2, 4, 6, 8\}$ के अनुरूप हैं।
ऐसे कुल $8$ बिंदु हैं।

(A) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
सूत्र $\cos A - \cos B = -2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin(\frac{\sin x + x}{2}) \sin(\frac{\sin x - x}{2})}{x^4} = \frac{1}{k}$
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(\frac{\sin x + x}{2}) \sin(\frac{x - \sin x}{2})}{x^4} = \frac{1}{k}$
जब $\theta \to 0$ हो तब $\sin \theta \approx \theta$ और टेलर श्रेणी $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin x + x}{2x} \right) \left( \frac{x - \sin x}{2x^3} \right) = \frac{1}{k}$
$\lim_{x \to 0} 2 \left( \frac{x + x}{2x} \right) \left( \frac{x - (x - \frac{x^3}{6})}{2x^3} \right) = \frac{1}{k}$
$2 \times (1) \times \frac{x^3/6}{2x^3} = \frac{1}{k}$
$2 \times 1 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{k}$
$\frac{1}{6} = \frac{1}{k} \Rightarrow k = 6$.

(C) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = f(0) = \alpha$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ $x \rightarrow 0^{+}$ के लिए:
$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2) \sin^{-1}(1-x)}{x(1-x)(1+x)} = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2)}{x} \cdot \frac{\sin^{-1}(1-x)}{1-x^2} = \frac{\pi}{2} \cdot \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2)}{x}$.
मान लीजिए $1-x^2 = \cos \theta$,तो जैसे $x \rightarrow 0^{+}$,$\theta \rightarrow 0^{+}$.
$\operatorname{Lim}_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\theta}{\sqrt{1-\cos \theta}} = \operatorname{Lim}_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\theta}{\sqrt{2} \sin(\theta/2)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 = \sqrt{2}$.
अतः,$RHL = \frac{\pi}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
अब,बाईं ओर की सीमा $(LHL)$ $x \rightarrow 0^{-}$ के लिए:
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$\{x\} = x+1$.
$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \sin^{-1}(1-(x+1))}{(x+1)-(x+1)^3} = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \sin^{-1}(-x)}{(x+1)(1-(x+1)^2)} = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \cdot (-x)}{(x+1)(-x)(2+x)} = \frac{\cos^{-1}(0)}{1 \cdot 2} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$.
चूँकि $RHL = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$ और $LHL = \frac{\pi}{4}$,सीमाएँ समान नहीं हैं।
इसलिए,$\alpha$ के किसी भी मान के लिए फलन $x=0$ पर सतत नहीं है।

(D) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$f(0) = b$ है।
बायां पक्ष सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin(a+1)x + \sin 2x}{2x} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left( \frac{\sin(a+1)x}{2x} + \frac{\sin 2x}{2x} \right) = \frac{a+1}{2} + 1$.
दायां पक्ष सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x+bx^3} - \sqrt{x}}{bx^{5/2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+bx^2} - 1)}{bx^{5/2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1+bx^2} - 1}{bx^2} = \frac{1}{2}$.
सीमाओं की तुलना करने पर:
$b = \frac{1}{2}$ और $\frac{a+1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{a+1}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow a+1 = -1 \Rightarrow a = -2$.
इस प्रकार,$a+b = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

(C) मान लीजिए $x = n$,जहाँ $n \in Z$ है।
सबसे पहले,$x = n$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(n) = [n-1] \cos \left(\frac{2n-1}{2}\right) \pi = (n-1) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-1) \cdot 0 = 0$.
अब,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$LHL = \lim_{x \rightarrow n^-} [x-1] \cos \left(\frac{2x-1}{2}\right) \pi$.
जैसे $x \rightarrow n^-$,$[x-1] = n-2$ होता है।
$LHL = (n-2) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-2) \cdot 0 = 0$.
अब,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$RHL = \lim_{x \rightarrow n^+} [x-1] \cos \left(\frac{2x-1}{2}\right) \pi$.
जैसे $x \rightarrow n^+$,$[x-1] = n-1$ होता है।
$RHL = (n-1) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-1) \cdot 0 = 0$.
चूँकि सभी $n \in Z$ के लिए $LHL = RHL = f(n) = 0$ है,इसलिए फलन $x$ के सभी पूर्णांक मानों पर संतत है।
$x$ के गैर-पूर्णांक मानों के लिए,फलन एक अचर (स्थानीय रूप से) और एक संतत त्रिकोणमितीय फलन का गुणनफल है,इसलिए यह संतत है।
अतः,$f(x)$ प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए संतत है।

(B) $f(x)$ पर $R$ सतत है,इसलिए इसे $x = 1$ और $x = -1$ पर भी सतत होना चाहिए।
$x = 1$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$
$|a(1)^2 + 1 + b| = \lim_{x \rightarrow 1^+} \sin(\pi x)$
$|a + 1 + b| = \sin(\pi) = 0$
$a + b + 1 = 0 \Rightarrow a + b = -1$ ... $(1)$
$x = -1$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = f(-1) = \lim_{x \rightarrow -1^+} f(x)$
$\lim_{x \rightarrow -1^-} 2 \sin \left(-\frac{\pi x}{2}\right) = |a(-1)^2 + (-1) + b|$
$2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = |a - 1 + b|$
$2(1) = |a + b - 1|$
$|a + b - 1| = 2$
इसका अर्थ है कि $a + b - 1 = 2$ या $a + b - 1 = -2$ है।
$a + b = 3$ या $a + b = -1$ है।
चूंकि हमने पहले ही $x = 1$ पर सांतत्य से $a + b = -1$ प्राप्त कर लिया है,इसलिए $a + b$ का मान $-1$ है।

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$f(0)$ और बाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करें:
$f(0) = a \sin \frac{\pi}{2}(0-1) = a \sin(-\frac{\pi}{2}) = -a$.
अब,दाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x - \sin 2x}{bx^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x(1 - \cos 2x)}{bx^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x \cdot 2 \sin^2 x}{bx^3}$.
मानक सीमाओं $\tan \theta \approx \theta$ और $\sin \theta \approx \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(2x) \cdot 2(x^2)}{bx^3} = \frac{4x^3}{bx^3} = \frac{4}{b}$.
सीमाओं की तुलना करने पर:
$-a = \frac{4}{b} \implies -ab = 4$.
अंत में,$10 - ab$ का मान ज्ञात करें:
$10 - ab = 10 + 4 = 14$.

(A) दिया गया है $f(x) = x - [x]$ और $g(x) = 1 - (x - [x])$। मान लीजिए ${x} = x - [x]$। तो $f(x) = {x}$ और $g(x) = 1 - {x}$।
$h(x) = \min \{ {x}, 1 - {x} \}$।
प्रत्येक अंतराल $[n, n+1)$ के लिए,${x} = x - n$। अतः $h(x) = \min \{ x-n, 1-x+n \}$।
$f(x)$ और $g(x)$ के ग्राफ तब प्रतिच्छेद करते हैं जब ${x} = 1 - {x}$,जिसका अर्थ है $2{x} = 1$,या ${x} = 0.5$।
प्रत्येक अंतराल $[n, n+1)$ में,फलन $h(x)$ $0$ से $0.5$ तक बढ़ता है और फिर $0.5$ से $0$ तक घटता है।
चूंकि $h(x)$ हर जगह सतत है और ग्राफ $x = n$ (जहाँ ${x}=0$) और $x = n + 0.5$ (जहाँ ${x}=0.5$) पर नुकीले कोने दिखाता है,इसलिए हम $(-2, 2)$ में उन बिंदुओं की गणना करते हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।
ये बिंदु $x = -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5$ हैं। ऐसे कुल $7$ बिंदु हैं।
चूंकि $7 > 4$,विकल्प $A$ सही है।

(A) यदि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0) = k$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$RHL$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos(2x) - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1}$.
$\cos(2x) - 1 = -2\sin^{2} x$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{-2\sin^{2} x}{\sqrt{x^{2}+1}-1} \times \frac{\sqrt{x^{2}+1}+1}{\sqrt{x^{2}+1}+1} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{-2\sin^{2} x (\sqrt{x^{2}+1}+1)}{x^{2}} = -2(1)^{2}(1+1) = -4$.
अतः,$k = -4$.
अब,$LHL$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+\frac{x}{a}}{1-\frac{x}{b}}\right) = \lim_{x \to 0^{-}} \left[ \frac{\ln(1+\frac{x}{a})}{x} - \frac{\ln(1-\frac{x}{b})}{x} \right]$.
$\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{a} - (-\frac{1}{b}) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
चूंकि $LHL = k$,इसलिए $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -4$.
अंत में,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{k} = -4 + \frac{4}{-4} = -4 - 1 = -5$.