x in (0, pi), x neq frac{pi}{2} के लिए f(x) = | vedclass

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Question

(A) माना $g(x) = \sin x - \sin^3 x = \sin x(1 - \sin^2 x) = \sin x \cos^2 x$ है।$x \in (0, \pi)$ के लिए,$\sin x > 0$ और $\cos^2 x \geq 0$ है। अतः,$g(x

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$f, x = \frac{\pi}{2}$ पर संतत और अवकलनीय है

Vedclass · Answer

(A) माना $g(x) = \sin x - \sin^3 x = \sin x(1 - \sin^2 x) = \sin x \cos^2 x$ है।$x \in (0, \pi)$ के लिए,$\sin x > 0$ और $\cos^2 x \geq 0$ है। अतः,$g(x) \geq 0$ है।विशेष रूप से,$x 
eq \frac{\pi}{2}$ के लिए,$g(x) > 0$ है।चूँकि $x \in (0, \pi) \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ के लिए $g(x) > 0$ है,इसलिए हमारे पास $|g(x)| = g(x)$ है।इसे $f(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \left[ \frac{2g(x) + g(x)}{2g(x) - g(x)} ight] = \left[ \frac{3g(x)}{g(x)} ight] = [3] = 3$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,सभी $x \in (0, \pi) \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ के लिए $f(x) = 3$ है।दिया गया है कि $f(\frac{\pi}{2}) = 3$,अतः सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए फलन $f(x) = 3$ है।एक अचर फलन अपने प्रांत में हर जगह संतत और अवकलनीय होता है।इसलिए,$f, x = \frac{\pi}{2}$ पर संतत और अवकलनीय है।

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 1 - x, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$. तो $x = \frac{1}{2}$ पर $f(x)$ क्या है?

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