मान लीजिए f(x) = begin{cases} 0, & text{यदि } | vedclass

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Question

(A, D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x < 0 \ 1, & x = 0 \ 2, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$.$-1 \leq x \leq 0$ के लिए,$F(x) = \int_{-1

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$x = 0$ पर $F'(x)$ का अस्तित्व नहीं है

Vedclass · Answer

(A, D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x $-1 \leq x \leq 0$ के लिए,$F(x) = \int_{-1}^{x} 0 \, dt = 0$.$0 अतः,$F(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x \leq 0 \ 2x, & 0 $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच:$\lim_{x 	o 0^-} F(x) = 0$ और $\lim_{x 	o 0^+} F(x) = 2(0) = 0$.चूँकि $\lim_{x 	o 0^-} F(x) = \lim_{x 	o 0^+} F(x) = F(0) = 0$,इसलिए $F(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ में सतत है।$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच:बायाँ अवकलज $LHD = \lim_{h 	o 0^-} \frac{F(0+h) - F(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{0 - 0}{h} = 0$.दायाँ अवकलज $RHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{F(0+h) - F(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{2(0+h) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.चूँकि $LHD 
eq RHD$,इसलिए $x = 0$ पर $F'(x)$ का अस्तित्व नहीं है। अतः,विकल्प $A$ और $D$ सही हैं।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} 0, & \text{यदि } -1 \leq x < 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \\ 2, & \text{यदि } 0 < x \leq 1 \end{cases}$ और मान लीजिए $F(x) = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt, -1 \leq x \leq 1$. तो:

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$f(x) = \begin{cases} \frac{x-4}{|x-4|} + a, & x < 4 \\ a+b, & x=4 \\ \frac{x-4}{|x-4|} + b, & x > 4 \end{cases}$
यदि ऊपर दिया गया $f(x)$,$x=4$ पर सतत है,तो '$a$' और '$b$' के मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x) = \frac{e^{x}(e^{\tan x-x}-1)+\log_{e}(\sec x+\tan x)-x}{\tan x-x}$,$x=0$ पर सतत है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : [0,1] \to [0,1]$ एक सतत फलन है,तो समीकरण $f(x) = x$

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