Tangent and Normal Questions in Gujarati

(B) આપેલ વક્ર $y=ax^3+bx^2+cx+5$ છે.
તે $x$-અક્ષને $(-2,0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $(-2,0)$ બિંદુ વક્ર પર આવેલું છે:
$0 = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + 5$
$0 = -8a + 4b - 2c + 5$
$8a - 4b + 2c = 5$ ... $(i)$
વળી,$x=-2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ છે:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$
$3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0$
$12a - 4b + c = 0$ ... $(ii)$
વક્ર $y$-અક્ષને $Q$ બિંદુએ છેદે છે. $x=0$ મૂકતા,$y=5$ મળે,તેથી $Q=(0,5)$.
$Q$ આગળ ઢાળ $3$ છે:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 3
\Rightarrow 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 3
\Rightarrow c = 3$.
$c=3$ ને $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા:
$(i) \Rightarrow 8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1$ ... $(iii)$
$(ii) \Rightarrow 12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3$ ... $(iv)$
$(iv)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા:
$(12a - 4b) - (8a - 4b) = -3 - (-1)
4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1
-4 - 4b = -1
-4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
આમ,$a+b+c = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4} + 3 = \frac{-2-3+12}{4} = \frac{7}{4}$.

(B) આપેલ વક્ર $xy = 1$ માટે,$y = \frac{1}{x}$ થાય.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ મળે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{1}{x^2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે,જે $x^2$ થાય.
રેખા $ax + by + c = 0$ નો ઢાળ $-\frac{a}{b}$ છે.
રેખા એ વક્રનો અભિલંબ હોવાથી,$x^2 = -\frac{a}{b}$ થાય.
વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$-\frac{a}{b} > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a}{b} < 0$.
આ શરત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a$ અને $b$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોય,એટલે કે $(a > 0, b < 0)$ અથવા $(a < 0, b > 0)$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = a\left(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}\right)$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a \left( e^{\frac{x}{a}} \cdot \frac{1}{a} + e^{-\frac{x}{a}} \cdot (-\frac{1}{a}) \right) = e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}}$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0 \implies e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}} = 0$.
$e^{\frac{x}{a}} = e^{-\frac{x}{a}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\frac{x}{a} = -\frac{x}{a} \implies \frac{2x}{a} = 0 \implies x = 0$.
આમ,બિંદુનો $x$-યામ $0$ છે.

(D) વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સબનોર્મલની લંબાઈ $|y \frac{dy}{dx}| = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આને $y \frac{dy}{dx} = \pm k$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\int y \, dy = \pm \int k \, dx$ મળે છે.
આનાથી $\frac{y^2}{2} = \pm kx + C$ મળે છે.
જો વક્ર ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય,તો $C = 0$,તેથી $y^2 = \pm 2kx$ મળે.
આ સમીકરણ પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan \phi = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)}$ છે.
આપેલ છે કે $y = x^{3} + 1$,તેથી $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ,ઢાળ $m = \tan \phi = 3(1)^{2} = 3$.
આકૃતિ મુજબ,સ્પર્શક $y$-અક્ષ સાથે $\theta = 90^{\circ} + \phi$ ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,$\tan \theta = \tan(90^{\circ} + \phi) = -\cot \phi$.
$\tan \phi = 3$ હોવાથી,$\cot \phi = \frac{1}{3}$ થાય.
આમ,$\tan \theta = -\frac{1}{3}$.

(A) આપેલ વક્ર $xy = 25$ છે. ધારો કે સ્પર્શક બિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે. $P$ વક્ર પર હોવાથી $x_1 y_1 = 25$ થાય.
$xy = 25$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{y_1}{x_1}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}(x - x_1)$ છે.
$x_1$ વડે ગુણતા,$x_1 y - x_1 y_1 = -y_1 x + x_1 y_1$,જેનું સાદું રૂપ $x_1 y + y_1 x = 2 x_1 y_1$ થાય.
$2 x_1 y_1$ વડે ભાગતા,$\frac{x}{2 x_1} + \frac{y}{2 y_1} = 1$ મળે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(2 x_1, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, 2 y_1)$ માં છેદે છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2 x_1) \times (2 y_1) = 2 x_1 y_1$.
$x_1 y_1 = 25$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2(25) = 50$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $\sqrt{x}+\sqrt{y}=6$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$.
આથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$.
સ્પર્શક અક્ષો સાથે સમાન નમેલો હોવાથી,તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \pm 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{y} = \pm \sqrt{x}$.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે $x$ અને $y$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી $\sqrt{y} = \sqrt{x}$,જેનો અર્થ છે કે $y = x$.
$y = x$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sqrt{x} + \sqrt{x} = 6
2\sqrt{x} = 6
\sqrt{x} = 3
x = 9$.
$y = x$ હોવાથી,$y = 9$ મળે છે.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(9, 9)$ છે.

(A) આપેલ વક્ર: $y(1+x^{2})=2-x$ $(1)$
$x$-અક્ષ પર,$y=0$ હોય છે. સમીકરણ $(1)$ માં $y=0$ મૂકતા:
$0 = 2-x \Rightarrow x=2$.
તેથી,છેદબિંદુ $(2, 0)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'(1+x^{2}) + y(2x) = -1$.
બિંદુ $(2, 0)$ આગળ:
$y'(1+2^{2}) + 0(2 \times 2) = -1$
$y'(5) = -1 \Rightarrow y' = -\frac{1}{5}$.
આ $(2, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{y'} = -\frac{1}{-1/5} = 5$ થાય.
બિંદુ $(2, 0)$ અને ઢાળ $m=5$ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 0 = 5(x - 2)$
$y = 5x - 10$
$5x - y - 10 = 0$.

(A) આપેલ વક્ર $x y^{n} = a$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$x \cdot n y^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx} + y^{n} = 0$
$\Rightarrow y^{n-1} [x n \frac{dy}{dx} + y] = 0$
કારણ કે $y \neq 0$,તેથી $x n \frac{dy}{dx} + y = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{nx}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $|\frac{y}{dy/dx}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $= |\frac{y}{-y/nx}| = |nx| = |n| |x|$.
આમ,સબટેન્જન્ટની લંબાઈ એબ્સિસા $x$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી,$|n|$ એક અચળાંક હોવો જોઈએ.
તેથી,$n$ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.

(B) આપેલ વક્ર $x^{n} y^{m}=a^{m+n}$,જ્યાં $m, n > 0$ છે. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$n \ln x + m \ln y = (m+n) \ln a$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n}{x} + \frac{m}{y} \frac{dy}{dx} = 0$.
વિકલિત માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{n}{m} \cdot \frac{y}{x}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $|\frac{y}{dy/dx}|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
વિકલિતની કિંમત મૂકતા:
$|\frac{y}{-(n/m)(y/x)}| = |-\frac{m}{n} x| = \frac{m}{n} |x|$.
આમ,$(x_{1}, y_{1})$ બિંદુએ સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $\frac{m}{n} |x_{1}|$ થાય.

(C) ધારો કે વક્ર $y = f(x)$ છે. સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $|y \frac{dx}{dy}|$ દ્વારા અને સબનોર્મલની લંબાઈ $|y \frac{dy}{dx}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ઓર્ડિનેટ $y$ છે.
તેથી,સબટેન્જન્ટ અને સબનોર્મલનો ગુણાકાર:
$\text{Subtangent} \times \text{Subnormal} = |y \frac{dx}{dy}| \times |y \frac{dy}{dx}| = |y^2| = y^2$.
અહીં પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો ગુણાકાર એ બીજા પદ (ઓર્ડિનેટ) ના વર્ગ જેટલો હોવાથી,આ ત્રણેય રાશિઓ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = \log_{e} x$ $(i)$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(\alpha, \beta)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y - \beta) = \frac{1}{\alpha}(x - \alpha)$ છે.
સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$(0 - \beta) = \frac{1}{\alpha}(0 - \alpha)$,જે આપણને $\beta = 1$ આપે છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$P$ આગળ,$\beta = \log_{e} \alpha$. $\beta = 1$ હોવાથી,$1 = \log_{e} \alpha$,તેથી $\alpha = e$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $P(e, 1)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{1}{e}$ છે,તેથી $P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-e$ છે.
$P(e, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $(y - 1) = -e(x - e)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $ex + y - (e^{2} + 1) = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $ex + y - (e^{2} + 1) = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|e(0) + 1(0) - (e^{2} + 1)|}{\sqrt{e^{2} + 1^{2}}} = \frac{e^{2} + 1}{\sqrt{e^{2} + 1}} = \sqrt{e^{2} + 1}$ થાય છે.

(C) આપેલ વક્ર: $4x^{5} = 5y^{4}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $20x^{4} = 20y^{3} \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x^{4}}{y^{3}}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $(ST) = \left| y \frac{dx}{dy} \right| = \left| y \frac{y^{3}}{x^{4}} \right| = \frac{y^{4}}{x^{4}}$.
સબનોર્મલની લંબાઈ $(SN) = \left| y \frac{dy}{dx} \right| = \left| y \frac{x^{4}}{y^{3}} \right| = \frac{x^{4}}{y^{2}}$.
આપણે સબટેન્જન્ટના ઘન અને સબનોર્મલના વર્ગનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
$\frac{(ST)^{3}}{(SN)^{2}} = \frac{(y^{4}/x^{4})^{3}}{(x^{4}/y^{2})^{2}} = \frac{y^{12}/x^{12}}{x^{8}/y^{4}} = \frac{y^{16}}{x^{20}} = \left(\frac{y^{4}}{x^{5}}\right)^{4}$.
કારણ કે $4x^{5} = 5y^{4}$,તેથી $\frac{y^{4}}{x^{5}} = \frac{4}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $\left(\frac{4}{5}\right)^{4} = \frac{4^{4}}{5^{4}}$ થાય.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો સ્પર્શક $x$-અક્ષને લંબ હોય,તો તે એક શિરોલંબ રેખા છે.
શિરોલંબ રેખા માટે,ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} \to \infty$.
આનો અર્થ એ થાય છે કે $y$ ની સાપેક્ષમાં સ્પર્શકનો ઢાળ,જે $\frac{dx}{dy}$ છે,તે $0$ હોવો જોઈએ.

(A) આપેલ છે,$x=a(t+\sin t)$ અને $y=a(1-\cos t)$.
પ્રથમ,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શોધીએ:
$\frac{dx}{dt} = a(1+\cos t) = 2a \cos^2 \frac{t}{2}$
$\frac{dy}{dt} = a \sin t = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2a \cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$ છે.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $= \frac{a(1-\cos t)}{\tan \frac{t}{2}} = \frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{\tan \frac{t}{2}} = \frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2} / \cos \frac{t}{2}} = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} = a \sin t$.

(A) આપેલ વક્ર $y^{2}=x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2y \frac{dy}{dx} = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$,તેથી $m = \tan(45^{\circ}) = 1$.
ઢાળને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2y} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
$y = \frac{1}{2}$ ને વક્રના સમીકરણ $y^{2} = x$ માં મૂકતા:
$x = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^{2} y^{2} = a^{4}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x y^{2} + 2x^{2} y \frac{dy}{dx} = 0$.
$(-a, a)$ બિંદુએ કિંમત મુકતા:
$2(-a)(a)^{2} + 2(-a)^{2}(a) \frac{dy}{dx} = 0$.
$-2a^{3} + 2a^{3} \frac{dy}{dx} = 0$.
$2a^{3} \frac{dy}{dx} = 2a^{3} \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
અસ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ છે.
$y = a$ અને $\frac{dy}{dx} = 1$ મુકતા:
અસ્પર્શકની લંબાઈ $= \left| \frac{a}{1} \right| = a$.

(D) આપેલ વક્રો $2x = y^2$ $(i)$ અને $2xy = K$ $(ii)$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,$2x = y^2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$y^2 \cdot y = K \Rightarrow y^3 = K \Rightarrow y = K^{1/3}$.
તેથી $2x = (K^{1/3})^2 = K^{2/3} \Rightarrow x = \frac{K^{2/3}}{2}$.
છેદબિંદુ $(\frac{K^{2/3}}{2}, K^{1/3})$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.
છેદબિંદુ પર ઢાળ $m_1 = \frac{1}{K^{1/3}}$.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2(y + x \frac{dy}{dx}) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
છેદબિંદુ પર ઢાળ $m_2 = -\frac{K^{1/3}}{K^{2/3}/2} = -2K^{-1/3}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$.
$(\frac{1}{K^{1/3}}) \cdot (-2K^{-1/3}) = -1$.
$-2K^{-2/3} = -1 \Rightarrow K^{-2/3} = \frac{1}{2}$.
$K^{2/3} = 2 \Rightarrow (K^{2/3})^3 = 2^3 \Rightarrow K^2 = 8$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^{2} = x$ $(1)$
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઢાળ $m = \tan(\theta)$,જ્યાં $\theta$ એ $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.
અહીં,$\theta = \frac{\pi}{4}$,તેથી $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 1$
$m = \frac{dy}{dx} = 1$ મૂકતા:
$2y(1) = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
હવે $y = \frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(\frac{1}{2})^{2} = x \Rightarrow x = \frac{1}{4}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$.
પ્રથમ,સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_{1})$ મેળવવા માટે $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$y = x^{2} - x^{-2}$
$\frac{dy}{dx} = 2x - (-2)x^{-3} = 2x + \frac{2}{x^{3}}$.
હવે,બિંદુ $(-1, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ મેળવીએ:
$m_{1} = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(-1, 0)} = 2(-1) + \frac{2}{(-1)^{3}} = -2 + \frac{2}{-1} = -2 - 2 = -4$.
અભિલંબનો ઢાળ $(m_{2})$ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વિરોધી વ્યસ્ત હોય છે:
$m_{1} \times m_{2} = -1$
$-4 \times m_{2} = -1$
$m_{2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
આમ,વક્રના બિંદુ $(-1, 0)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $1/4$ છે.

(B) $(0,3)$ અને $(5,-2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-2-3}{5-0} = \frac{-5}{5} = -1$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = -1(x - 0)$ છે,જે $x + y - 3 = 0$ અથવા $y = -x + 3$ થાય છે.
રેખા વક્ર $y = \frac{c}{x+1}$ ને સ્પર્શક હોય,તો વક્રનું વિકલન રેખાના ઢાળ જેટલું હોવું જોઈએ: $\frac{dy}{dx} = \frac{-c}{(x+1)^2} = -1$.
આથી $c = (x+1)^2$ મળે.
રેખાના સમીકરણમાં $y = \frac{c}{x+1}$ મૂકતા: $\frac{c}{x+1} = -x + 3$.
$c = (x+1)^2$ હોવાથી,$\frac{(x+1)^2}{x+1} = -x + 3$,એટલે કે $x + 1 = -x + 3$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x = 2$,તેથી $x = 1$.
$x = 1$ ને $c = (x+1)^2$ માં મૂકતા,$c = (1+1)^2 = 4$ મળે છે.

(B) વક્રનું સમીકરણ $y = \sqrt{x}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ મળે છે.
ધારો કે $x$-અક્ષને સમાંતર રેખા $y = k$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = 0$ છે.
વક્ર અને રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2\sqrt{x_1}} - 0}{1 + (\frac{1}{2\sqrt{x_1}})(0)} \right|$
$1 = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$
$2\sqrt{x_1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x_1} = \frac{1}{2}$.
$y_1 = \sqrt{x_1}$ હોવાથી,$y_1 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
રેખા $y = k$ હોવાથી અને તે $y = \frac{1}{2}$ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{1}{2}$ છે.

(C) વક્રનું સમીકરણ $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ $\dots(i)$ છે.
વક્ર પરનું કોઈપણ બિંદુ $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ તરીકે લઈ શકાય.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x \sin \theta + y \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2\theta$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી સ્પર્શકનું લંબ અંતર $p_1 = \left| \frac{-\frac{a}{2} \sin 2\theta}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} \right| = \frac{a}{2} \sin 2\theta$ છે,તેથી $2p_1 = a \sin 2\theta$ $\dots(ii)$.
અભિલંબનો ઢાળ $\cot \theta$ છે. અભિલંબનું સમીકરણ $y - a \sin^3 \theta = \cot \theta (x - a \cos^3 \theta)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2\theta$ થાય છે.
ઉગમબિંદુથી અભિલંબનું લંબ અંતર $p_2 = \left| \frac{-a \cos 2\theta}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} \right| = a \cos 2\theta$ $\dots(iii)$ છે.
$(ii)$ અને $(iii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$(2p_1)^2 + p_2^2 = a^2 \sin^2 2\theta + a^2 \cos^2 2\theta = a^2$.
આમ,$4p_1^2 + p_2^2 = a^2$. આને $k_1 p_1^2 + k_2 p_2^2 = a^2$ સાથે સરખાવતા,$k_1 = 4$ અને $k_2 = 1$ મળે છે.
તેથી,$k_1 + k_2 = 4 + 1 = 5$.

(A) આપેલ છે કે વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\beta=f(\alpha)$.
આ કિંમત રેખાના સમીકરણ $p\alpha+m\beta+n=0$ માં મૂકતા,બિંદુ $(\alpha, \beta)$ રેખા પર આવેલું છે.
વક્ર $y=f(x)$ નો $(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $f^{\prime}(\alpha)$ છે.
રેખા $px+my+n=0$ નો ઢાળ $-\frac{p}{m}$ છે ($m \neq 0$ ધારીને).
રેખા સ્પર્શક બને તે માટે,બંને ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ: $f^{\prime}(\alpha) = -\frac{p}{m}$,જેનો અર્થ છે $mf^{\prime}(\alpha) = -p$,અથવા $p+mf^{\prime}(\alpha) = 0$.
તેથી,જ્યારે $p+mf^{\prime}(\alpha) = 0$ હોય,ત્યારે રેખા $(\alpha, \beta)$ આગળ વક્રનો સ્પર્શક બને છે.

(A) આપેલ વક્ર $y=\frac{1+3x^2}{3+x^2}$ છે.
$y=1$ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે:
$\frac{1+3x^2}{3+x^2} = 1$ $\Rightarrow 1+3x^2 = 3+x^2$ $\Rightarrow 2x^2 = 2$ $\Rightarrow x = \pm 1$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(-1, 1)$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{16x}{(3+x^2)^2}$.
$x=1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = 1$. અભિલંબનો ઢાળ $m_1 = -1$ થશે.
$(1, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y+x = 2$ છે.
$x=-1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = -1$. અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = 1$ થશે.
$(-1, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y-x = 2$ છે.
$y+x=2$ અને $y-x=2$ ઉકેલતા,$x=0$ અને $y=2$ મળે.
આમ,$(\alpha, \beta) = (0, 2)$.
તેથી,$3\alpha+2\beta = 3(0) + 2(2) = 4$.

(A) આપેલ વક્ર $y=x^2+5$ છે.
બિંદુ $A(-2,9)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ:
$y' = 2x$.
$x = -2$ આગળ,ઢાળ $m = 2(-2) = -4$.
$A$ પરનો સ્પર્શક જીવા $BC$ ને સમાંતર હોવાથી,જીવા $BC$ નો ઢાળ પણ $-4$ થશે.
ધારો કે $C$ ના યામ $(x', y')$ છે,જ્યાં $y' = x'^2 + 5$.
જીવા $BC$ નો ઢાળ $\frac{y' - 6}{x' - 1} = -4$.
$y' - 6 = -4(x' - 1)$ $\Rightarrow y' - 6 = -4x' + 4$ $\Rightarrow y' = -4x' + 10$.
$y' = x'^2 + 5$ મુકતા:
$x'^2 + 5 = -4x' + 10 \Rightarrow x'^2 + 4x' - 5 = 0$.
$(x' + 5)(x' - 1) = 0$.
તેથી,$x' = -5$ અથવા $x' = 1$.
જો $x' = 1$ હોય,તો $C$ એ $(1, 6)$ છે,જે બિંદુ $B$ છે.
જો $x' = -5$ હોય,તો $y' = (-5)^2 + 5 = 30$.
આમ,$C$ ના યામ $(-5, 30)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(at, \frac{a}{t})$ છે.
વક્રનું સમીકરણ $xy = a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે.
બિંદુ $P(at, \frac{a}{t})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{a/t}{at} = -\frac{1}{t^2}$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \frac{a}{t} = -\frac{1}{t^2}(x - at)$ છે.
$t^2y - at = -x + at$,જેનું સાદું રૂપ $x + t^2y = 2at$ થાય છે.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા: $x = 2at$. તેથી,$A = (2at, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા: $t^2y = 2at$,તેથી $y = \frac{2a}{t}$. તેથી,$B = (0, \frac{2a}{t})$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABO$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2at) \times (\frac{2a}{t}) = 2a^2$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) ધારો કે બે વક્રો $y_1 = 4x^2+2x-8$ અને $y_2 = x^3-x+13$ છે.
વક્રો એકબીજાને સ્પર્શે તે માટે,તેઓએ સમાન બિંદુ $(x, y)$ ધરાવવું જોઈએ અને તે બિંદુએ સમાન ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો:
$\frac{dy_1}{dx} = 8x+2$
$\frac{dy_2}{dx} = 3x^2-1$
ઢાળને સરખાવતા:
$8x+2 = 3x^2-1$
$3x^2-8x-3 = 0$
$(3x+1)(x-3) = 0$
આથી $x = 3$ અથવા $x = -\frac{1}{3}$ મળે છે.
હવે,આ $x$-કિંમતો માટે $y$-યામ તપાસો:
$x = 3$ માટે:
$y_1 = 4(3)^2 + 2(3) - 8 = 34$
$y_2 = (3)^3 - 3 + 13 = 37$
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $(3,37)$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$,જ્યાં $a = f^{\prime}(1)$,$b = f^{\prime \prime}(2)$,અને $c = -f^{\prime \prime \prime}(3)$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2ax + b$,$f^{\prime \prime}(x) = 6x + 2a$,$f^{\prime \prime \prime}(x) = 6$.
હવે,અચળાંકો માટે ઉકેલો:
$f^{\prime \prime \prime}(3) = 6$,તેથી $c = -6$.
$f^{\prime \prime}(2) = 6(2) + 2a = 12 + 2a$. કારણ કે $b = f^{\prime \prime}(2)$,તેથી $b = 12 + 2a$.
$f^{\prime}(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b$. કારણ કે $a = f^{\prime}(1)$,તેથી $a = 3 + 2a + b$.
$b = 12 + 2a$ ને $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $a = 3 + 2a + (12 + 2a) \Rightarrow a = 15 + 4a \Rightarrow -3a = 15 \Rightarrow a = -5$.
તેથી $b = 12 + 2(-5) = 2$.
આમ,$f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 6$.
$x=0$ આગળ,$y = f(0) = -6$. બિંદુ $(0, -6)$ છે.
ઢાળ $m = f^{\prime}(0) = 3(0)^2 - 10(0) + 2 = 2$.
$(0, -6)$ આગળ સ્પર્શક $y - (-6) = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x - 6$. $X$-અંતઃખંડ $3$ છે.
$(0, -6)$ આગળ અભિલંબ $y - (-6) = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - 6$. $X$-અંતઃખંડ $-12$ છે.
ત્રિકોણ બિંદુઓ $(0, -6)$,$(3, 0)$,અને $(-12, 0)$ દ્વારા બને છે.
પાયાની લંબાઈ $= 3 - (-12) = 15$. ઊંચાઈ $= |-6| = 6$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 15 \times 6 = 45$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો $x = a(\theta + \sin \theta)$ અને $y = a(1 - \cos \theta)$ છે.
પ્રથમ,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = a(\sin \theta)$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \tan(\frac{\theta}{2})$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m} = -1$ થશે.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ બિંદુના યામ $x = a(\frac{\pi}{2} + 1)$ અને $y = a(1 - 0) = a$ છે.
અભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $|y \sqrt{1 + m^2}|$ છે,તેથી $|a \sqrt{1 + (1)^2}| = |a \sqrt{2}| = a \sqrt{2}$.

(B) આપેલ વક્ર $x^3 + y^3 = 2xy$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 2y + 2x \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,$3(1)^2 + 3(1)^2 \frac{dy}{dx} = 2(1) + 2(1) \frac{dy}{dx}$,જેનું સાદું રૂપ $3 + 3 \frac{dy}{dx} = 2 + 2 \frac{dy}{dx}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -1$. સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -1$ અને અભિલંબનો ઢાળ $m_n = 1$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = -1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 2$ થાય છે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = 1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય છે.
સ્પર્શક $X$-અક્ષ $(y = 0)$ ને $x = 2$ આગળ છેદે છે,તેથી બિંદુ $(2, 0)$ છે.
અભિલંબ $X$-અક્ષ $(y = 0)$ ને $x = 0$ આગળ છેદે છે,તેથી બિંદુ $(0, 0)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(2, 0)$ અને $(1, 1)$ છે.
$X$-અક્ષ પરના ત્રિકોણનો પાયો $(0, 0)$ અને $(2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $2$ એકમ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ બિંદુ $(1, 1)$ નો $y$-યામ છે,જે $1$ એકમ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વક્ર $y = x \log x$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
બિંદુ $P(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \log x + 1$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{\log x + 1}$ છે.
આપેલ રેખા $2x - 2y = 3$ છે,જેને $y = x - \frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_l = 1$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,$m_n = m_l$,તેથી $-\frac{1}{\log x + 1} = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\log x + 1 = -1$,તેથી $\log x = -2$.
આમ,$x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
$x$ ની કિંમત વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = \frac{1}{e^2} \log(\frac{1}{e^2}) = \frac{1}{e^2} (-2) = -\frac{2}{e^2}$.
તેથી,બિંદુ $P$ એ $(\frac{1}{e^2}, -\frac{2}{e^2})$ છે.

(C) વક્રનું સમીકરણ $x^{2/3} + y^{2/3} = 4$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -(\beta/\alpha)^{1/3}$ છે.
આપેલ રેખા $\sqrt{3}x + y = 1$ છે,જેને $y = -\sqrt{3}x + 1$ તરીકે લખી શકાય. તેનો ઢાળ $-\sqrt{3}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,$-(\beta/\alpha)^{1/3} = -\sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $(\beta/\alpha)^{1/3} = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$\beta/\alpha = 3\sqrt{3}$,તેથી $\beta = 3\sqrt{3}\alpha$.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ વક્ર પર હોવાથી,$\alpha^{2/3} + (3\sqrt{3}\alpha)^{2/3} = 4$.
$\alpha^{2/3} + (3^{3/2}\alpha)^{2/3} = 4 \implies \alpha^{2/3} + 3\alpha^{2/3} = 4$.
$4\alpha^{2/3} = 4 \implies \alpha^{2/3} = 1 \implies \alpha^2 = 1$.
તેથી $\beta^2 = (3\sqrt{3}\alpha)^2 = 27\alpha^2 = 27(1) = 27$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = 1 + 27 = 28$.

(D) આપેલ વક્ર $y = f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 + 5x$ છે.
વિકલન કરતા $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x + 5$ મળે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 4x_1^3 - 6x_1^2 + 2x_1 + 5$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$-y_1 = m(-x_1)$,એટલે કે $y_1 = m x_1$.
$y_1 = x_1^4 - 2x_1^3 + x_1^2 + 5x_1$ અને $m = 4x_1^3 - 6x_1^2 + 2x_1 + 5$ મુકતા:
$x_1^4 - 2x_1^3 + x_1^2 + 5x_1 = x_1(4x_1^3 - 6x_1^2 + 2x_1 + 5)$.
$x_1^4 - 2x_1^3 + x_1^2 + 5x_1 = 4x_1^4 - 6x_1^3 + 2x_1^2 + 5x_1$.
પદોને ગોઠવતા: $3x_1^4 - 4x_1^3 + x_1^2 = 0$.
$x_1 \in \mathbb{N}$ હોવાથી $x_1 \neq 0$,તેથી $x_1^2$ વડે ભાગતા:
$3x_1^2 - 4x_1 + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(3x_1 - 1)(x_1 - 1) = 0$.
આથી $x_1 = 1$ અથવા $x_1 = 1/3$.
$x_1 \in \mathbb{N}$ હોવાથી $x_1 = 1$ લેતા.
તેથી $y_1 = 1^4 - 2(1)^3 + 1^2 + 5(1) = 1 - 2 + 1 + 5 = 5$.
આમ,$x_1 + y_1 = 1 + 5 = 6$.

(C) આપેલ વક્ર $x^2 + 3y^2 = 9$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$.
બિંદુ $P(3 \cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T1} = -\frac{3 \cos \theta}{3 \sqrt{3} \sin \theta} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cot \theta$ છે. અભિલંબનો ઢાળ $m_{N1} = \sqrt{3} \tan \theta$ છે.
બિંદુ $Q(-3 \sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T2} = -\frac{-3 \sin \theta}{3 \sqrt{3} \cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan \theta$ છે. અભિલંબનો ઢાળ $m_{N2} = -\sqrt{3} \cot \theta$ છે.
અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ એ $\tan \beta = |\frac{m_{N1} - m_{N2}}{1 + m_{N1} m_{N2}}|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \beta = |\frac{\sqrt{3} \tan \theta - (-\sqrt{3} \cot \theta)}{1 + (\sqrt{3} \tan \theta)(-\sqrt{3} \cot \theta)}| = |\frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{1 - 3}| = |\frac{\sqrt{3}(\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta})}{-2}| = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2 \theta} = \sqrt{3} \operatorname{cosec} 2 \theta$.

(D) આપેલ વક્ર $y = x^2 + x - 1$ અને બિંદુ $(1, 1)$ છે.
પ્રથમ,વિકલન શોધો $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = 2(1) + 1 = 3$.
કોઈ બિંદુ $(x, y)$ આગળ ઢાળ $m$ ધરાવતા વક્ર માટે:
સ્પર્શકની લંબાઈ $a = |y| \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}} = |1| \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
અસ્પર્શકની લંબાઈ $b = |\frac{y}{m}| = |\frac{1}{3}| = 0.333$.
અભિલંબની લંબાઈ $c = |y| \sqrt{1 + m^2} = |1| \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.162$.
અભિલંબના અંશની લંબાઈ $d = |ym| = |1 \times 3| = 3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $b = 0.333$,$a = 1.054$,$d = 3$,$c = 3.162$.
આમ,ચડતો ક્રમ $b < a < d < c$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = \frac{1}{2x-5}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(2x-5)^2} \times 2 = -\frac{2}{(2x-5)^2}$ મળે છે.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $-2$ આપેલ છે.
તેથી,$-\frac{2}{(2\alpha-5)^2} = -2$.
$(2\alpha-5)^2 = 1$.
$2\alpha-5 = 1$ અથવા $2\alpha-5 = -1$.
જો $2\alpha-5 = 1$,તો $2\alpha = 6$,તેથી $\alpha = 3$. ત્યારે $\beta = \frac{1}{2(3)-5} = 1$. બિંદુ $P(3, 1)$ પ્રથમ ચરણમાં છે.
જો $2\alpha-5 = -1$,તો $2\alpha = 4$,તેથી $\alpha = 2$. ત્યારે $\beta = \frac{1}{2(2)-5} = -1$. બિંદુ $P(2, -1)$ ચોથા ચરણમાં છે.
કારણ કે $P$ ચોથા ચરણમાં છે,તેથી $\alpha = 2$ અને $\beta = -1$ મળે.
તેથી,$\alpha - \beta = 2 - (-1) = 3$.

(B) આપેલ વક્ર $4y^3 = 3ax^2 + x^3$ છે. $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$12y^2 \frac{dy}{dx} = 6ax + 3x^2$ મળે છે.
બિંદુ $(a, a)$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{6a(a) + 3a^2}{12a^2} = \frac{9a^2}{12a^2} = \frac{3}{4}$ થાય.
$(a, a)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - a = \frac{3}{4}(x - a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4y - 4a = 3x - 3a$ એટલે કે $3x - 4y + a = 0$ થાય.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x = -\frac{a}{3}$ અને $y = \frac{a}{4}$ છે.
અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_{int} \times y_{int}| = \frac{1}{2} |(-\frac{a}{3}) \times (\frac{a}{4})| = \frac{a^2}{24}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $\frac{25}{24}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{a^2}{24} = \frac{25}{24}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 25$,તેથી $a = \pm 5$.

(A) ધારો કે બે વક્રો $C_1: y^2 = x$ અને $C_2: x^2 = y$ છે.
પ્રથમ,આપણે બિંદુ $(1,1)$ પર આ વક્રોના સ્પર્શકોના ઢાળ શોધીએ.
$C_1: y^2 = x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 1$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
$(1,1)$ પર,ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$.
$C_2: x^2 = y$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2x$ મળે.
$(1,1)$ પર,ઢાળ $m_2 = 2(1) = 2$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2 - 1/2}{1 + (2)(1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1 + 1} \right| = \left| \frac{3/2}{2} \right| = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) આપેલ વક્ર $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}}$ છે.
ધારો કે $x=2 \cos^3 \theta$ અને $y=2 \sin^3 \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ પર,યામ $x = 2(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = -\tan \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ પર,$\frac{dy}{dx} = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \frac{1}{\sqrt{2}} = -1(x - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે,જે $x + y = \sqrt{2}$ થાય છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $y=0$ પર છેદે છે,તેથી $x = \sqrt{2}$ મળે,એટલે કે બિંદુ $(\sqrt{2}, 0)$ છે.
સ્પર્શક બિંદુ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ થી $x$-અક્ષના છેદબિંદુ $(\sqrt{2}, 0)$ સુધીની લંબાઈ $\sqrt{(\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (0 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$ થાય છે.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = ax^3 + b$ છે.
બિંદુ $(2,3)$ વક્ર પર હોવાથી,$3^2 = a(2)^3 + b$,જેનો અર્થ છે કે $9 = 8a + b$ અથવા $b = 9 - 8a$.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
બિંદુ $(2,3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ મળે છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 4x - 5$ આપેલ છે,જેનો ઢાળ $4$ છે.
ઢાળને સરખાવતા,$2a = 4$,તેથી $a = 2$.
$a = 2$ ને $b = 9 - 8a$ માં મૂકતા,$b = 9 - 8(2) = 9 - 16 = -7$ મળે છે.
અંતે,$a^2 + b^2 = (2)^2 + (-7)^2 = 4 + 49 = 53$.

(C) આપેલ વક્રો $y^2=2x$ અને $x^2+y^2=8$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $y^2=2x$ મૂકતા: $x^2+2x-8=0$.
અવયવ પાડતા $(x+4)(x-2)=0$ મળે છે. $y^2=2x$ માટે $x$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x=2$.
$x=2$ માટે,$y^2=4$,તેથી $y=2$ (ધન છેદબિંદુ લેતા).
$y^2=2x$ નું વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 2$ મળે,તેથી $(2, 2)$ બિંદુએ $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$.
$x^2+y^2=8$ નું વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,તેથી $(2, 2)$ બિંદુએ $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = -\frac{2}{2} = -1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{1/2 - (-1)}{1 + (1/2)(-1)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(C) આપેલ વક્ર $y = (\frac{x}{2024})^k$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = k(\frac{x}{2024})^{k-1} \cdot \frac{1}{2024} = \frac{k x^{k-1}}{(2024)^k}$ મળે છે.
સબનોર્મલની લંબાઈનું સૂત્ર $|y \frac{dy}{dx}|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$|(\frac{x}{2024})^k \cdot \frac{k x^{k-1}}{(2024)^k}| = |\frac{k x^{2k-1}}{(2024)^{2k}}|$ મળે છે.
સબનોર્મલની લંબાઈ અચળ રહેવા માટે,તે $x$ થી સ્વતંત્ર હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $2k - 1 = 0$.
$k$ માટે ઉકેલતા,$k = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $y=x^3-2x+7$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-2$.
બિંદુ $(1,6)$ આગળ,ઢાળ $m$ થશે:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = 3(1)^2-2 = 3-2 = 1$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1,6)$ માંથી પસાર થતા અને $m=1$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y-y_1 = m(x-x_1)$
$y-6 = 1(x-1)$
$y-6 = x-1$
$y = x+5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y=x^2+x$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2x+1$.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,2)} = 2(1)+1 = 3$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = \frac{-1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = \frac{-1}{3}$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 2 = \frac{-1}{3}(x - 1)$.
$3$ વડે ગુણતા: $3y - 6 = -x + 1$.
પદોને ગોઠવતા: $x + 3y - 7 = 0$.

(A) બિંદુ $A(0, \alpha)$ એ વક્ર $y=f(x)$ પર આવેલું છે,તેથી $f(0)=\alpha$.
આપેલ છે કે $f(0)=2$,તેથી $\alpha=2$.
બિંદુઓ $A(0, 2)$ અને $B(8, \beta)$ ને જોડતી જીવા $AB$ નો ઢાળ નીચે મુજબ છે:
$m_{chord} = \frac{\beta - 2}{8 - 0} = \frac{\beta - 2}{8}$.
વક્ર $y=f(x)$ નો $x=4$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $f^{\prime}(4) = \frac{-3}{4}$ છે.
જીવા $AB$ એ $x=4$ આગળના સ્પર્શકને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{\beta - 2}{8} = \frac{-3}{4}$
બંને બાજુ $8$ વડે ગુણતા:
$\beta - 2 = -3 \times 2$
$\beta - 2 = -6$
$\beta = -6 + 2 = -4$
આમ,$\beta$ ની કિંમત $-4$ છે.

(D) વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t+3}{3t^2-8t-3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અભિલંબ $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તે બિંદુએ સ્પર્શક $Y$-અક્ષને સમાંતર હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{dx}{dt} = 0$.
છેદને શૂન્ય લેતા: $3t^2-8t-3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(3t+1)(t-3) = 0$.
આથી $t = 3$ અને $t = -\frac{1}{3}$ મળે છે.
$t$ ની આ કિંમતો માટે સ્પર્શકનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે અભિલંબ $X$-અક્ષને સમાંતર છે.
તેથી,આવા કુલ $2$ બિંદુઓ છે.