Tangent and Normal Questions in Gujarati

(D) વક્રો $y_1 = 3^x$ અને $y_2 = 7^x$ છે.
તેઓ $3^x = 7^x$ હોય ત્યાં છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=0$.
$x=0$ પર,$y=3^0=1$. તેથી છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1 = \frac{dy_1}{dx} = 3^x \ln 3$ અને $m_2 = \frac{dy_2}{dx} = 7^x \ln 7$ છે.
$(0, 1)$ પર,$m_1 = \ln 3$ અને $m_2 = \ln 7$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = |\frac{\ln 7 - \ln 3}{1 + (\ln 3)(\ln 7)}| = \frac{\ln(7/3)}{1 + (\ln 3)(\ln 7)}$.
જો આધાર સમાન હોય,તો આ અભિવ્યક્તિ $\frac{\log(7/3)}{1 + (\log 3)(\log 7)}$ ને સમાન છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^2+2xy-3y^2=0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} - 6y\frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ: $2(2) + 2(2) + 2(2)\frac{dy}{dx} - 6(2)\frac{dy}{dx} = 0$.
$4 + 4 + 4\frac{dy}{dx} - 12\frac{dy}{dx} = 0 \implies 8 - 8\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -1$ થશે.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -1(x - 2) \implies y - 2 = -x + 2 \implies x + y - 4 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $x + y - 4 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|1(0) + 1(0) - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ એકમ.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $(1+x^2)y = 2-x$.
વક્ર $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,$y=0$ લો:
$(1+x^2)(0) = 2-x \implies 2-x = 0 \implies x=2$.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(2, 0)$ છે.
હવે,સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y(2x) = -1$.
ઢાળ $m$ શોધવા માટે $x=2$ અને $y=0$ મૂકતા:
$(1+2^2) \frac{dy}{dx} + 0(2 \times 2) = -1
(5) \frac{dy}{dx} = -1
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5}$.
બિંદુ $(2, 0)$ આગળ અને ઢાળ $m = -\frac{1}{5}$ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - 0 = -\frac{1}{5}(x - 2)
5y = -x + 2
x + 5y = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = b e^{-x / a}$ છે.
વક્ર $Y$ અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ છીએ.
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $y = b e^0 = b$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શ બિંદુ $(0, b)$ છે.
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x / a} \cdot (-1 / a) = -\frac{b}{a} e^{-x / a}$.
બિંદુ $(0, b)$ પર,ઢાળ $m$ છે:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^0 = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (0, b)$ માંથી પસાર થતા અને $m = -\frac{b}{a}$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$.
$y - b = -\frac{b}{a}x$.
બંને બાજુને $b$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{y}{b} - 1 = -\frac{x}{a}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = \frac{x^3}{9}$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{9} = \frac{x^2}{3}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{6y_1}{x_1^2}(x - x_1)$ છે.
અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ. ભૂમિતિ મુજબ,ઢાળ $-1$ છે.
તેથી,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$.
$y_1^2 = \frac{x_1^3}{9}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $y_1 = \frac{x_1^2}{6} \implies y_1^2 = \frac{x_1^4}{36}$.
$y_1^2$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{x_1^3}{9} = \frac{x_1^4}{36} \implies 4x_1^3 = x_1^4 \implies x_1 = 4$ (કારણ કે $x_1 \neq 0$).
જો $x_1 = 4$,તો $y_1^2 = \frac{64}{9} \implies y_1 = \pm \frac{8}{3}$.
આમ,બિંદુઓ $(4, \pm \frac{8}{3})$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $xy = a^2$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{y_1}{x_1}$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}(x - x_1)$ છે.
$x_1$ વડે ગુણતા,$x_1 y - x_1 y_1 = -y_1 x + x_1 y_1$,જેનું સાદું રૂપ $x_1 y + y_1 x = 2x_1 y_1$ થાય.
કારણ કે $x_1 y_1 = a^2$,સમીકરણ $x_1 y + y_1 x = 2a^2$ બને છે.
$2a^2$ વડે ભાગતા,$\frac{x}{2a^2/y_1} + \frac{y}{2a^2/x_1} = 1$ મળે.
આ રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} = 1$ છે,જ્યાં x-અંતઃખંડ $A = \frac{2a^2}{y_1}$ અને y-અંતઃખંડ $B = \frac{2a^2}{x_1}$ છે.
અક્ષો અને સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |A| \times |B| = \frac{1}{2} \times \frac{2a^2}{y_1} \times \frac{2a^2}{x_1} = \frac{2a^4}{x_1 y_1}$ છે.
$x_1 y_1 = a^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{2a^4}{a^2} = 2a^2$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $y(x-2)(x-3)=x+6$ છે.
$Y$-અક્ષ પર,$x=0$ હોય. સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા: $y(0-2)(0-3)=0+6 \Rightarrow y(-2)(-3)=6 \Rightarrow 6y=6 \Rightarrow y=1$.
તેથી,છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
હવે,સમીકરણને $y = \frac{x+6}{x^2-5x+6}$ તરીકે લખો.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-5x+6)(1) - (x+6)(2x-5)}{(x^2-5x+6)^2}$.
$x=0$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{(0-0+6)(1) - (0+6)(0-5)}{(0-0+6)^2} = \frac{6 - (-30)}{36} = \frac{36}{36} = 1$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$.
$(0, 1)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -1(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -x + 1$ અથવા $x + y = 1$ થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ માટે,$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ થાય છે,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,અભિલંબ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = x \log x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + \log x$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 1 + \log x$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1 + \log x}$ થાય.
આપેલ રેખા $2x - 2y = 3$ છે,જેને $2y = 2x - 3$ અથવા $y = x - \frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $1$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-\frac{1}{1 + \log x} = 1$.
$-1 = 1 + \log x \implies \log x = -2$.
$x = e^{-2}$.
હવે,$y$-યામ શોધીએ:
$y = x \log x = e^{-2} \cdot (-2) = -2e^{-2}$.
તેથી,બિંદુના યામ $(e^{-2}, -2e^{-2})$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=0$ મળે.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}=-\sqrt{\frac{y}{x}}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકનું બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-y_1)=-\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(x-x_1)$ થાય.
$\sqrt{x_1}$ વડે ગુણતા,$\sqrt{x_1}y - \sqrt{x_1}y_1 = -\sqrt{y_1}x + \sqrt{y_1}x_1$ મળે.
ગોઠવતા,$\sqrt{y_1}x + \sqrt{x_1}y = \sqrt{x_1}y_1 + \sqrt{y_1}x_1 = \sqrt{x_1y_1}(\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1})$.
કારણ કે $\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}=\sqrt{a}$,સમીકરણ $\sqrt{y_1}x + \sqrt{x_1}y = \sqrt{x_1y_1a}$ બને.
$\sqrt{x_1y_1a}$ વડે ભાગતા,$\frac{x}{\sqrt{x_1a}} + \frac{y}{\sqrt{y_1a}} = 1$ મળે.
$x$-અંતઃખંડ $\sqrt{x_1a}$ અને $y$-અંતઃખંડ $\sqrt{y_1a}$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $\sqrt{a}(\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}) = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ થાય.

(B) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $y=1-e^{\frac{x}{3}} \dots (i)$ છે.
વક્ર $Y$-અક્ષને છેદે છે,તેથી $x=0$ લેતા.
$(i)$ માં $x=0$ મૂકતા,$y=1-e^{0}=1-1=0$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} e^{\frac{x}{3}}$ મળે છે.
બિંદુ $(0, 0)$ આગળ,ઢાળ $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = -\frac{1}{3} e^{0} = -\frac{1}{3}$ થાય.
બિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતા અને $m = -\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0)$ છે.
$3$ વડે ગુણતા,$3y = -x$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x + 3y = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્ર $y(x) = 1 + \sqrt{4x-3}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{4x-3}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x-3}}$.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2}{\sqrt{4x-3}} = \frac{2}{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sqrt{4x-3} = 3$,તેથી $4x-3 = 9$,જે $4x = 12$ એટલે કે $x = 3$ આપે છે.
$x = 3$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા,$y = 1 + \sqrt{4(3)-3} = 1 + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $P$ એ $(3, 4)$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે: $m_{normal} = -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2}$.
$(3, 4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 4 = -\frac{3}{2}(x - 3)$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,$2y - 8 = -3x + 9$,જે $3x + 2y - 17 = 0$ માં પરિણમે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(1, 7)$ માટે: $3(1) + 2(7) - 17 = 3 + 14 - 17 = 0$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,અભિલંબ $(1, 7)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ પ્રાચલ સમીકરણો $x = a \cos^3 \theta$ અને $y = a \sin^3 \theta$ છે.
$\theta$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$ મળે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$ થાય.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ,ઢાળ $m = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$ છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ બિંદુના યામ $x = a \cos^3(\frac{\pi}{4}) = a(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ અને $y = a \sin^3(\frac{\pi}{4}) = a(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - \frac{a}{2 \sqrt{2}} = -1(x - \frac{a}{2 \sqrt{2}})$.
$y - \frac{a}{2 \sqrt{2}} = -x + \frac{a}{2 \sqrt{2}}$.
$x + y = \frac{a}{2 \sqrt{2}} + \frac{a}{2 \sqrt{2}} = \frac{2a}{2 \sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^2 = px^3 + q \dots (i)$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી,આપણે $x=2$ અને $y=3$ ને $(i)$ માં મૂકીએ:
$3^2 = p(2)^3 + q \Rightarrow 9 = 8p + q \dots (ii)$.
$(i)$ ના બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 3px^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$.
$(2, 3)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = \frac{12p}{6} = 2p$ થાય.
આપેલ સ્પર્શક રેખા $y = 4x - 5$ છે,જેનો ઢાળ $4$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $2p = 4 \Rightarrow p = 2$.
$p = 2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$9 = 8(2) + q \Rightarrow 9 = 16 + q \Rightarrow q = -7$.
આમ,$p = 2$ અને $q = -7$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્ર $y=ax^3+bx^2+cx+5$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષને $(-2,0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી તે $(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x=-2$ આગળ તેનું વિકલન $0$ થાય છે.
$(-2,0)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = a(-8) + b(4) + c(-2) + 5 \Rightarrow -8a + 4b - 2c = -5 \Rightarrow 8a - 4b + 2c = 5 \dots (i)$.
વળી,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ છે.
$x=-2$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow 3a(4) + 2b(-2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \dots (ii)$.
વક્ર $Y$-અક્ષને $Q$ બિંદુએ છેદે છે. $x=0$ મૂકતા,$y=5$,તેથી $Q$ એ $(0,5)$ છે.
$Q$ આગળ ઢાળ $3$ છે,તેથી $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 3 \Rightarrow c = 3$.
$c=3$ ને $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા:
$8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1 \dots (iii)$.
$12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3 \dots (iv)$.
$(iv)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 \Rightarrow -4 - 4b = -1 \Rightarrow -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
આમ,$a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{4}, c = 3$.

(A) આપેલ વક્રો $y=10-x^2$ અને $y=2+x^2$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $10-x^2 = 2+x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
$x=2$ માટે,$y=6$. $x=-2$ માટે,$y=6$. ચાલો બિંદુ $(2, 6)$ લઈએ.
પ્રથમ વક્ર $y=10-x^2$ માટે,ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = -2x$. $x=2$ આગળ,$m_1 = -4$.
બીજા વક્ર $y=2+x^2$ માટે,ઢાળ $m_2 = \frac{dy}{dx} = 2x$. $x=2$ આગળ,$m_2 = 4$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-4 - 4}{1 + (-4)(4)} \right| = \left| \frac{-8}{1 - 16} \right| = \left| \frac{-8}{-15} \right| = \frac{8}{15}$.
આમ,$|\tan \theta| = \frac{8}{15}$.

(B) આપેલ વક્ર $y=x \log x$ છે ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 1 + \log x$ મળે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{1+\log x}$ થાય.
આપેલ રેખા $2x-2y+3=0$ છે,જેને $y = x + \frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
અભિલંબ આપેલ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોય:
$-\frac{1}{1+\log x} = 1$
$\Rightarrow 1+\log x = -1$
$\Rightarrow \log x = -2$
$\Rightarrow x = e^{-2}$.
$x = e^{-2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2}(-2) = -2e^{-2}$ મળે.
સ્પર્શબિંદુ $(e^{-2}, -2e^{-2})$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - (-2e^{-2}) = 1(x - e^{-2})$
$y + 2e^{-2} = x - e^{-2}$
$x - y = 3e^{-2}$.

(D) આપેલ વક્ર $y=\sqrt{9-2x^2}$ છે.
જો કોટિ અને ભુજ સમાન હોય,તો $y=x$ થાય.
વક્રના સમીકરણમાં $y=x$ મૂકતા: $x^2 = 9 - 2x^2 \Rightarrow 3x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$.
અહીં $y = \sqrt{9-2x^2}$ હોવાથી $y$ ધન હોવો જોઈએ. તેથી $x = \sqrt{3}$ લેતા $y = \sqrt{3}$ મળે,જે શરત સંતોષે છે.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ છે.
$y^2 = 9 - 2x^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = -4x \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$.
બિંદુ $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ આગળ ઢાળ $m = -\frac{2(\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = -2$ મળે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - \sqrt{3} = -2(x - \sqrt{3})$.
$y - \sqrt{3} = -2x + 2\sqrt{3} \Rightarrow 2x + y - 3\sqrt{3} = 0$.

(A) આપેલ વક્રો $y=2x^2$ અને $x=2y^2$ છે.
વક્ર $y=2x^2$ માટે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 4x$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ,ઢાળ $m_1 = 4(1) = 4$ છે.
વક્ર $x=2y^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1 = 4y \frac{dy}{dx}$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y}$ થાય.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ,ઢાળ $m_2 = \frac{1}{4(1)} = \frac{1}{4}$ છે.
ધારો કે બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{4 - 1/4}{1 + 4(1/4)} \right| = \left| \frac{15/4}{1 + 1} \right| = \frac{15/4}{2} = \frac{15}{8}$ મળે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right)$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $xy + ax + by = 0$.
બિંદુ $(1, 1)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1(1) + a(1) + b(1) = 0 \implies 1 + a + b = 0 \implies a + b = -1$ ... $(i)$
હવે,સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y + x \frac{dy}{dx} + a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(x + b) = -(y + a)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x + b}$
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ ઢાળ $2$ આપેલ છે:
$2 = -\frac{1 + a}{1 + b}$
$2(1 + b) = -(1 + a)$
$2 + 2b = -1 - a$
$a + 2b = -3$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1)$
$b = -2$
$b = -2$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$a - 2 = -1 \implies a = 1$
છેલ્લે,$3a + b$ ની કિંમત:
$3(1) + (-2) = 3 - 2 = 1$.

(B) જીવા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-3)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ છે.
સ્પર્શક જીવા $AB$ ને સમાંતર હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ પણ $2$ થવો જોઈએ.
આપેલ વક્ર $y = x - \frac{4}{x}$ માટે,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{4}{x^2}$ મળે છે.
વિકલનને જીવાના ઢાળ સાથે સરખાવતા: $1 + \frac{4}{x^2} = 2$.
આથી $\frac{4}{x^2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 4$,તેથી $x = \pm 2$.
જ્યારે $x = 2$ હોય,ત્યારે $y = 2 - \frac{4}{2} = 0$.
જ્યારે $x = -2$ હોય,ત્યારે $y = -2 - \frac{4}{-2} = -2 + 2 = 0$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(2, 0)$ અને $(-2, 0)$ છે.

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x=2(\cos t+t \sin t)$ અને $y=2(\sin t-t \cos t)$ છે.
પ્રથમ,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શોધીએ:
$\frac{dx}{dt} = 2(-\sin t + \sin t + t \cos t) = 2t \cos t$
$\frac{dy}{dt} = 2(\cos t - \cos t + t \sin t) = 2t \sin t$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t \sin t}{2t \cos t} = \tan t$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{\tan t} = -\frac{\cos t}{\sin t}$ છે.
બિંદુ '$t$' પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે:
$y - 2(\sin t - t \cos t) = -\frac{\cos t}{\sin t} [x - 2(\cos t + t \sin t)]$
$\sin t$ વડે ગુણતા:
$y \sin t - 2 \sin^2 t + 2t \sin t \cos t = -x \cos t + 2 \cos^2 t + 2t \sin t \cos t$
$x \cos t + y \sin t = 2(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$x \cos t + y \sin t = 2$
રેખા $Ax + By + C = 0$ નું ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી અંતર $\frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = \cos t$,$B = \sin t$,અને $C = -2$ છે.
અંતર $= \frac{|-2|}{\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}} = \frac{2}{1} = 2$ એકમ.

(C) $y^2=px^3+q$ ... $(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 3px^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$
બિંદુ $(2,3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = \frac{12p}{6} = 2p$
રેખા $y=4x-5$ નો ઢાળ $4$ છે.
કારણ કે રેખા વક્રને સ્પર્શે છે,તેથી તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$2p = 4 \Rightarrow p = 2$
બિંદુ $(2,3)$ એ વક્ર $y^2=px^3+q$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$3^2 = p(2)^3 + q$
$9 = 8p + q$
$p=2$ મૂકતા:
$9 = 8(2) + q$
$9 = 16 + q \Rightarrow q = -7$
તેથી,$p-q = 2 - (-7) = 2 + 7 = 9$.

(C) આપેલ વક્ર $y = \frac{x}{x^2-3}$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-3)(1) - x(2x)}{(x^2-3)^2} = \frac{x^2-3-2x^2}{(x^2-3)^2} = \frac{-(x^2+3)}{(x^2-3)^2}$.
રેખા $2x + 6y - 11 = 0$ નો ઢાળ $m = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,$(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,$\frac{-(\alpha^2+3)}{(\alpha^2-3)^2} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 3(\alpha^2+3) = (\alpha^2-3)^2$.
ધારો કે $t = \alpha^2$. તો $3t + 9 = t^2 - 6t + 9 \Rightarrow t^2 - 9t = 0$.
કારણ કે $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$,$\alpha^2 \neq 0$,તેથી $\alpha^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \pm 3$.
જો $\alpha = 3$,તો $\beta = \frac{3}{3^2-3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
જો $\alpha = -3$,તો $\beta = \frac{-3}{(-3)^2-3} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
હવે,$|6\alpha + 2\beta|$ ની ગણતરી કરીએ:
બિંદુ $(3, 1/2)$ માટે,$|6(3) + 2(1/2)| = |18 + 1| = 19$.
બિંદુ $(-3, -1/2)$ માટે,$|6(-3) + 2(-1/2)| = |-18 - 1| = |-19| = 19$.
આમ,$|6\alpha + 2\beta| = 19$.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના કોઈ બિંદુ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ આપેલ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે અભિલંબનો ઢાળ એ વિધેયના વિકલિત સાથે $m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(x)}$ સૂત્ર દ્વારા જોડાયેલ છે.
બિંદુ $(3,4)$ આગળ,$m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ થાય.
અભિલંબના ઢાળ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$
$f^{\prime}(3) = 1$.

(A) બિંદુ $(2,3)$ એ વક્ર $y^2=px^3+q$ પર આવેલું હોવાથી,આપણને મળે:
$3^2 = p(2)^3 + q$
$9 = 8p + q$ ...$(i)$
હવે,વક્રના સમીકરણ $y^2=px^3+q$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 3px^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$
સ્પર્શક $y=4x-5$ નો ઢાળ $4$ છે. તેથી,$(2,3)$ બિંદુએ વિકલિતનું મૂલ્ય $4$ થવું જોઈએ:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = 4$
$\frac{12p}{6} = 4$
$2p = 4 \Rightarrow p = 2$ ...$(ii)$
$p=2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$8(2) + q = 9$
$16 + q = 9$
$q = 9 - 16 = -7$
આમ,$p=2$ અને $q=-7$ મળે છે.

(A) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો $x=t^2$ અને $y=2t$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dx}{dt} = 2t$ અને $\frac{dy}{dt} = 2$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}$ થાય.
$t=2$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = \frac{1}{2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = -2$ થાય.
$t=2$ આગળ,બિંદુના યામ $x = (2)^2 = 4$ અને $y = 2(2) = 4$ છે.
$(4, 4)$ બિંદુ આગળ અને $m_N = -2$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $(y - y_1) = m_N(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(y - 4) = -2(x - 4)$.
$y - 4 = -2x + 8$.
$2x + y - 12 = 0$.

(A) આપેલ વક્ર $y=x^3+ax-b$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^2+a$ છે.
રેખા $y-x+4=0$ નો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
સ્પર્શક રેખાને લંબ હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m_2 = -1$.
બિંદુ $(1,-5)$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2+a = 3+a$.
$3+a = -1$ લેતા,આપણને $a = -4$ મળે છે.
બિંદુ $(1,-5)$ વક્ર પર હોવાથી,આપણે $x=1, y=-5, a=-4$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$-5 = (1)^3 + (-4)(1) - b
-5 = 1 - 4 - b
-5 = -3 - b
b = 2$.
વક્રનું સમીકરણ $y = x^3 - 4x - 2$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(2,-2)$ માટે: $y = (2)^3 - 4(2) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$.
બિંદુ $(2,-2)$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી તે વક્ર પર આવેલું છે.

(D) આપેલ વક્ર $\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n=2$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$n\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ,આપણને મળે છે:
$n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{b}{a}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
$ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab$.
$ab$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = 4xe^{x}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 4(e^{x} + xe^{x}) = 4e^{x}(1 + x)$.
હવે,બિંદુ $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ આગળ ઢાળની કિંમત શોધીએ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=-1} = 4e^{-1}(1 + (-1)) = 4e^{-1}(0) = 0$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ હોવાથી,સ્પર્શક એ $X$-અક્ષને સમાંતર સમક્ષિતિજ રેખા છે.
બિંદુ $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ માંથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ રેખાનું સમીકરણ $y = y_{1}$ થાય,એટલે કે $y = -\frac{4}{e}$.

(A) આપેલ વક્ર: $y = \sqrt{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.
પ્રથમ,વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવો:
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot 2 = 2\sqrt{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,ઢાળ $m$:
$m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2} \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -2$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ $y$-યામ મેળવો:
$y = \sqrt{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1$.
સ્પર્શક બિંદુ $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$:
$(y - 1) = -2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
$y - 1 = -2x + \frac{\pi}{2}$
$2x + y - \frac{\pi}{2} - 1 = 0$.

(D) આપેલ વક્ર $y=ax^3+bx^2+cx+5$ છે. તે $X$-અક્ષને $P(-2,0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $(-2,0)$ બિંદુ વક્ર પર છે અને આ બિંદુએ ઢાળ $0$ છે.
$P(-2,0)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = a(-8) + b(4) + c(-2) + 5 \Rightarrow -8a + 4b - 2c = -5 \Rightarrow 8a - 4b + 2c = 5 \quad (1)$.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ છે. $P(-2,0)$ પર,$\frac{dy}{dx} = 0$: $3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \quad (2)$.
વક્ર $Y$-અક્ષને $Q(0,k)$ પર છેદે છે. $Q$ પર,$x=0$ અને ઢાળ $3$ છે: $\frac{dy}{dx}|_{x=0} = 3(a)(0)^2 + 2(b)(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3$.
$c=3$ ને $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$(1): 8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1 \quad (3)$.
$(2): 12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3 \quad (4)$.
$(4)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $(12a - 8a) = -3 - (-1) \Rightarrow 4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ ને $(3)$ માં મૂકતા: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 \Rightarrow -4 - 4b = -1 \Rightarrow -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
આમ,$a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{4}, c = 3$.

(D) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો: $x=4 \sec \theta$ અને $y=4 \tan^2 \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 4 \sec \theta \tan \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = 8 \tan \theta \sec^2 \theta$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{8 \tan \theta \sec^2 \theta}{4 \sec \theta \tan \theta} = 2 \sec \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $2 \sec(\frac{\pi}{4}) = 2 \sqrt{2}$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $= -\frac{1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ,બિંદુ $(x, y) = (4 \sec \frac{\pi}{4}, 4 \tan^2 \frac{\pi}{4}) = (4 \sqrt{2}, 4)$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 4 = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}(x - 4 \sqrt{2})$.
$2 \sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$2 \sqrt{2} y - 8 \sqrt{2} = -x + 4 \sqrt{2}$.
તેથી,$x + 2 \sqrt{2} y = 12 \sqrt{2}$ મળે.

(C) રેખા $6x - y - 4 = 0$ નો ઢાળ $6$ છે. આ રેખા વક્ર $y^{2} = ax^{3} + b$ ને બિંદુ $(1, 2)$ આગળ સ્પર્શક હોવાથી,આ બિંદુએ વિકલિતનું મૂલ્ય રેખાના ઢાળ જેટલું થાય.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^{2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3ax^{2}}{2y}$.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)} = \frac{3a(1)^{2}}{2(2)} = \frac{3a}{4}$ થાય.
ઢાળને $6$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{3a}{4} = 6 \Rightarrow 3a = 24 \Rightarrow a = 8$.
બિંદુ $(1, 2)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(2)^{2} = a(1)^{3} + b \Rightarrow 4 = 8(1) + b \Rightarrow b = 4 - 8 = -4$.
તેથી,$a + b = 8 + (-4) = 4$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $2x^{2} + 3y^{2} - 5 = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$4x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{6y} = -\frac{2x}{3y}$.
બિંદુ $P(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_{t})$:
$m_{t} = -\frac{2(1)}{3(1)} = -\frac{2}{3}$.
અભિલંબનો ઢાળ $(m_{n})$ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે:
$m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)$
$2(y - 1) = 3(x - 1)$
$2y - 2 = 3x - 3$
$3x - 2y - 1 = 0$.

(C) આપેલ વક્ર $y = \sin \left(\frac{\pi x}{4}\right)$ છે.
પ્રથમ,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{\pi x}{4}\right)$.
બિંદુ $(2, 1)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t$ નીચે મુજબ છે:
$m_t = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1)} = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{2\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \times 0 = 0$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ હોવાથી,સ્પર્શક એ $X$-અક્ષને સમાંતર આડી રેખા છે.
તેથી,અભિલંબ,જે સ્પર્શકને લંબ છે,તે શિરોલંબ રેખા હોવી જોઈએ.
બિંદુ $(2, 1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાનું સમીકરણ $x = 2$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $2x^{2} + y^{2} = 12$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{t} = -\frac{2(2)}{2} = -2$ છે.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ છે.
બિંદુ $(2, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_{1} = m_{n}(x - x_{1})$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 2)$.
$2$ વડે ગુણતા,$2y - 4 = x - 2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$x - 2y + 2 = 0$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) રેખા $y=4x-5$ નો ઢાળ $4$ છે.
રેખા વક્રને $(2,3)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી આ બિંદુએ વક્રનું વિકલન રેખાના ઢાળ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $y^{2}=ax^{3}+b$,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^{2}$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^{2}}{2y}$.
બિંદુ $(2,3)$ આગળ,ઢાળ $\frac{3a(2)^{2}}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ થાય.
આને રેખાના ઢાળ સાથે સરખાવતા,$2a = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
બિંદુ $(2,3)$ એ વક્ર $y^{2}=ax^{3}+b$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x=2, y=3$ અને $a=2$ મૂકીએ:
$3^{2} = 2(2)^{3} + b$
$9 = 2(8) + b$
$9 = 16 + b$
$b = 9 - 16 = -7$.
આમ,$a=2$ અને $b=-7$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \log_e x$ છે.
પ્રથમ,બિંદુ $P(1, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવો.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$.
બિંદુ $P(1, 0)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 0)} = \frac{1}{1} = 1$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m_n = -1$ ઢાળ ધરાવતી અભિલંબ રેખાનું સમીકરણ:
$y - y_1 = m_n(x - x_1)$
$y - 0 = -1(x - 1)$
$y = -x + 1$
$x + y = 1$.

(A) આપેલ વક્ર: $y^2 = ax^3 + b$.
બિંદુ $(2,3)$ વક્ર પર હોવાથી,$3^2 = a(2)^3 + b$,જે $9 = 8a + b$ (સમીકરણ $1$) આપે છે.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
બિંદુ $(2,3)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = \frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ થાય.
આપેલ રેખા $y = 4x - 5$ નો ઢાળ $4$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $2a = 4$,જેથી $a = 2$ મળે.
$a = 2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $9 = 8(2) + b \Rightarrow 9 = 16 + b \Rightarrow b = -7$.
હવે,$7a + 2b$ ની કિંમત શોધતા: $7(2) + 2(-7) = 14 - 14 = 0$.

(C) આપેલ વક્ર $y = \sqrt{x - 1}$ છે.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$ મળે છે. ધારો કે સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $2x + y - 5 = 0$ છે,જેને $y = -2x + 5$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -2$ છે.
સ્પર્શક રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા,$\left(\frac{1}{2\sqrt{x - 1}}\right) \times (-2) = -1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{-1}{\sqrt{x - 1}} = -1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x - 1} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x - 1 = 1$,તેથી $x = 2$.
$x = 2$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા,$y = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $(2, 1)$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right)$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = c \cdot \frac{1}{c} \cdot \sinh \left(\frac{x}{c}\right) = \sinh \left(\frac{x}{c}\right)$
અભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર:
$L = |y| \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = y \sqrt{1 + \sinh^{2} \left(\frac{x}{c}\right)}$
નિત્યસમ $\cosh^{2} \theta - \sinh^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + \sinh^{2} \theta = \cosh^{2} \theta$ મળે:
$L = y \sqrt{\cosh^{2} \left(\frac{x}{c}\right)}$
$L = y \cosh \left(\frac{x}{c}\right)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh \left(\frac{x}{c}\right) = \frac{y}{c}$:
$L = y \cdot \left(\frac{y}{c}\right) = \frac{y^{2}}{c}$
આમ,અભિલંબની લંબાઈ $\frac{y^{2}}{c}$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^{2} = ax^{2} + b$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 2ax$
$\frac{dy}{dx} = \frac{ax}{y}$.
બિંદુ $(2, 3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{a(2)}{3} = \frac{2a}{3}$ થાય.
આપેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 4x - 5$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = 4$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{2a}{3} = 4 \Rightarrow 2a = 12 \Rightarrow a = 6$.
બિંદુ $(2, 3)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી,તે વક્રના સમીકરણ $y^{2} = ax^{2} + b$ નું સમાધાન કરશે:
$(3)^{2} = 6(2)^{2} + b$
$9 = 6(4) + b$
$9 = 24 + b$
$b = 9 - 24 = -15$.
આમ,$a = 6$ અને $b = -15$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=4 x e^{x}$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = 4e^{x} + 4x e^{x} = 4e^{x}(1+x)$.
હવે,બિંદુ $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ આગળ ઢાળ શોધો:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, -4/e)} = 4e^{-1}(1 + (-1)) = 4e^{-1}(0) = 0$.
ઢાળ $0$ હોવાથી,સ્પર્શક એક આડી રેખા છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે:
$y - (-\frac{4}{e}) = 0(x - (-1))$.
$y + \frac{4}{e} = 0$.
તેથી,$y = -\frac{4}{e}$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-6x-9$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0$.
વિકલનનું મૂલ્ય મૂકતા:
$3x^{2}-6x-9 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા:
$x^{2}-2x-3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-3)(x+1) = 0$.
આમ,$x$ ના મૂલ્યો (abscissae) $x=3$ અને $x=-1$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્રો $r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ અને $r_2 = 2 \sin \theta$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$r_1 = r_2$ લો:
$\sin \theta + \cos \theta = 2 \sin \theta \Rightarrow \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.
$r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ માટે,$\frac{dr_1}{d\theta} = \cos \theta - \sin \theta$. ધારો કે $\phi_1$ એ સ્પર્શક અને ત્રિજ્યા સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તો $\tan \phi_1 = \frac{r_1}{dr_1/d\theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ પર,$\tan \phi_1 = \frac{1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} - 1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{0} = \infty \Rightarrow \phi_1 = \frac{\pi}{2}$.
$r_2 = 2 \sin \theta$ માટે,$\frac{dr_2}{d\theta} = 2 \cos \theta$. તેથી $\tan \phi_2 = \frac{r_2}{dr_2/d\theta} = \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} = \tan \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ પર,$\tan \phi_2 = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \Rightarrow \phi_2 = \frac{\pi}{4}$.
છેદનકોણ $\psi = |\phi_1 - \phi_2| = |\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}| = \frac{\pi}{4}$.

(C) વક્રો $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ જ્યાં $\sin x = \cos x$ હોય ત્યાં છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan x = 1$. $0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,છેદબિંદુ $x = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{4}$ પર વક્રોના સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
$y = \sin x$ માટે,$\frac{dy}{dx} = \cos x$. તેથી,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y = \cos x$ માટે,$\frac{dy}{dx} = -\sin x$. તેથી,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.