Tangent and Normal Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $x = a(\theta + \sin \theta)$ અને $y = a(1 - \cos \theta)$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવતા $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
સ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $|y \frac{\sqrt{1 + (dy/dx)^2}}{dy/dx}|$ છે,જે $|\frac{y \sec(\theta/2)}{\tan(\theta/2)}| = |\frac{a(1 - \cos \theta)}{\sin(\theta/2)}| = |\frac{2a \sin^2(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}| = 2a \sin(\theta/2)$ થાય.
અવસ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $|y / (dy/dx)|$ છે,જે $|\frac{a(1 - \cos \theta)}{\tan(\theta/2)}| = |\frac{2a \sin^2(\theta/2)}{\sin(\theta/2) / \cos(\theta/2)}| = |2a \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)| = a \sin \theta$ થાય.

(A) ધારો કે વક્ર $9y^2 = x^3$ પરનું બિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{x_1^2}{6y_1}$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ છે.
અભિલંબ યામાક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $m_n = -1 \implies -\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$.
બિંદુ $P$ વક્ર પર હોવાથી,$9y_1^2 = x_1^3$. $x_1^2 = 6y_1$ મૂકતા,$9y_1^2 = x_1(6y_1) \implies 9y_1^2 = 6x_1y_1$. જો $y_1 \neq 0$ લઈએ,તો $9y_1 = 6x_1 \implies y_1 = \frac{2}{3}x_1$.
$x_1^2 = 6y_1$ માં કિંમત મૂકતા,$x_1^2 = 6(\frac{2}{3}x_1) = 4x_1 \implies x_1^2 - 4x_1 = 0 \implies x_1 = 0$ અથવા $x_1 = 4$.
જો $x_1 = 4$,તો $y_1 = \frac{2}{3}(4) = \frac{8}{3}$. બિંદુ $(4, 8/3)$ મળે.
કિસ્સો $2$: $m_n = 1 \implies -\frac{6y_1}{x_1^2} = 1 \implies x_1^2 = -6y_1$.
$9y_1^2 = x_1^3$ માં કિંમત મૂકતા,$9y_1^2 = x_1(-6y_1) \implies 9y_1 = -6x_1 \implies y_1 = -\frac{2}{3}x_1$.
$x_1^2 = -6y_1$ માં કિંમત મૂકતા,$x_1^2 = -6(-\frac{2}{3}x_1) = 4x_1 \implies x_1 = 4$ અથવા $x_1 = 0$.
જો $x_1 = 4$,તો $y_1 = -\frac{2}{3}(4) = -\frac{8}{3}$. બિંદુ $(4, -8/3)$ મળે.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(4, 8/3)$ અને $(4, -8/3)$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = x^2 - 5x + 6$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2x - 5$ મળે.
બિંદુ $(2, 0)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, 0)} = 2(2) - 5 = -1$ થાય.
બિંદુ $(3, 0)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(3, 0)} = 2(3) - 5 = 1$ થાય.
અહીં $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$ હોવાથી,બંને સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\pi /2$ છે.

(B) વક્રનું સમીકરણ $y = ax^3$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અવસ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $L = |y_1 \cdot \frac{dx}{dy}|$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2$.
તેથી,$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3ax^2}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અવસ્પર્શકની લંબાઈ:
$L = |y_1 \cdot \frac{1}{3ax_1^2}|$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ વક્ર પર હોવાથી,$y_1 = ax_1^3$ થાય.
$y_1$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = |ax_1^3 \cdot \frac{1}{3ax_1^2}| = |\frac{x_1}{3}|$.
આમ,અવસ્પર્શકની લંબાઈ $x/3$ થાય છે.

(D) વક્ર $y = f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલી રેખા $2x - 3y = 5$ છે,જેને $3y = 2x - 5$ અથવા $y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{2}{3}$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. ધારો કે સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2$ છે.
$m_1 \times m_2 = -1$
$\frac{2}{3} \times m_2 = -1$
$m_2 = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^3 + 3x^2 = 12y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે પદો ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} (3y^2 - 12) = -6x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{6x}{12 - 3y^2}$.
જ્યારે સ્પર્શક $y$-અક્ષને સમાંતર હોય,ત્યારે ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$12 - 3y^2 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $y = 2$,તો $y^3 + 3x^2 = 12y \implies (2)^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$.
કિસ્સો $2$: જો $y = -2$,તો $y^3 + 3x^2 = 12y \implies (-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$,જે $x$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ધરાવતું નથી.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ છે.

(B) રેખા $4x - 2y + 5 = 0$ નો ઢાળ $m = 2$ છે. સ્પર્શક આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $2$ થશે.
વક્ર $y = \sqrt{3x - 2}$ માટે,વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{3x - 2}} \times 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 2}}$.
ઢાળને $2$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{3}{2\sqrt{3x - 2}} = 2$
$3 = 4\sqrt{3x - 2}$
$9 = 16(3x - 2)$
$9 = 48x - 32$
$48x = 41 \Rightarrow x = \frac{41}{48}$.
હવે,$y$-યામ શોધીએ:
$y = \sqrt{3(\frac{41}{48}) - 2} = \sqrt{\frac{41}{16} - \frac{32}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.
સ્પર્શબિંદુ $(\frac{41}{48}, \frac{3}{4})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - \frac{3}{4} = 2(x - \frac{41}{48})$
$y - \frac{3}{4} = 2x - \frac{41}{24}$
$y = 2x - \frac{41}{24} + \frac{18}{24}$
$y = 2x - \frac{23}{24}$
$24y = 48x - 23$
$48x - 24y - 23 = 0$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = a\left( {{e^{\frac{x}{a}}} + {e^{ - \frac{x}{a}}}} \right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a \left( \frac{1}{a} e^{\frac{x}{a}} - \frac{1}{a} e^{-\frac{x}{a}} \right) = e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}}$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $0$ થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,$e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}} = 0$.
$e^{\frac{x}{a}} = e^{-\frac{x}{a}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\frac{x}{a} = -\frac{x}{a}$.
$2x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{4} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x}{2} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{25x}{4y}$
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ થાય,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 0$.
વિકલનને શૂન્ય લેતા:
$-\frac{25x}{4y} = 0 \implies x = 0$.
હવે $x = 0$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{0^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1$
$\frac{y^2}{25} = 1$
$y^2 = 25$
$y = \pm 5$.
આમ,વક્ર પરના બિંદુઓ જ્યાં સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય તે $(0, 5)$ અને $(0, -5)$ છે.

(B) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો: $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta)$ અને $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta)$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a\theta \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - \cos \theta + \theta \sin \theta) = a\theta \sin \theta$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\theta \sin \theta}{a\theta \cos \theta} = \tan \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $-\cot \theta = \tan(\theta + \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,તે $x$-અક્ષ સાથે $(\frac{\pi}{2} + \theta)$ ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = e^{2x} + x^2$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} + 2x$.
$(0, 1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 2e^0 + 2(0) = 2$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ થાય.
$(0, 1)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y - 2 = 0$ થાય.
અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે:
$x$-અક્ષ માટે,$y = 0$ લેતા: $x + 2(0) - 2 = 0 \implies x = 2$. બિંદુ $(2, 0)$ છે.
$y$-અક્ષ માટે,$x = 0$ લેતા: $0 + 2y - 2 = 0 \implies y = 1$. બિંદુ $(0, 1)$ છે.
અભિલંબ અને અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(2, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $P(h, k)$ એ વક્ર $y = 4x^3 - 2x^5$ પરનું બિંદુ છે.
કારણ કે $P$ વક્ર પર છે,તેથી $k = 4h^3 - 2h^5$ ..... $(1)$.
$P(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 10x^4$ દ્વારા મળે છે.
$x = h$ આગળ,ઢાળ $m = 12h^2 - 10h^4$ થાય.
$P(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - k = (12h^2 - 10h^4)(x - h)$ છે.
સ્પર્શક ઉદગમ બિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકીએ:
$0 - k = (12h^2 - 10h^4)(0 - h)$
$-k = -12h^3 + 10h^5$
$k = 12h^3 - 10h^5$ ..... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$4h^3 - 2h^5 = 12h^3 - 10h^5$
$8h^5 - 8h^3 = 0$
$8h^3(h^2 - 1) = 0$
આથી $h = 0, h = 1, h = -1$ મળે છે.
$h = 0$ માટે,$k = 4(0)^3 - 2(0)^5 = 0$. બિંદુ $(0, 0)$ છે.
$h = 1$ માટે,$k = 4(1)^3 - 2(1)^5 = 4 - 2 = 2$. બિંદુ $(1, 2)$ છે.
$h = -1$ માટે,$k = 4(-1)^3 - 2(-1)^5 = -4 + 2 = -2$. બિંદુ $(-1, -2)$ છે.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(0, 0), (1, 2), (-1, -2)$ છે.

(A) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો: $x = a(\cos t + \log \tan(t/2))$ અને $y = a \sin t$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{dt} = a(-\sin t + \frac{1}{\tan(t/2)} \cdot \sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}) = a(-\sin t + \frac{1}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}) = a(-\sin t + \frac{1}{\sin t}) = a(\frac{1 - \sin^2 t}{\sin t}) = a \frac{\cos^2 t}{\sin t}$.
$\frac{dy}{dt} = a \cos t$.
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ મેળવો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \cos t}{a \cos^2 t / \sin t} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t$.
સ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $L = |y \frac{\sqrt{1 + (dy/dx)^2}}{dy/dx}|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $L = |a \sin t \cdot \frac{\sqrt{1 + \tan^2 t}}{\tan t}| = |a \sin t \cdot \frac{\sec t}{\tan t}| = |a \sin t \cdot \frac{1}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t}| = |a| = a$ (જ્યાં $a > 0$ ધારેલ છે).

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^n = a^{n-1}x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = a^{n-1}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a^{n-1}}{n y^{n-1}}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ અવાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર:
$L = \left| y \frac{dy}{dx} \right|$.
$\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = \left| y \cdot \frac{a^{n-1}}{n y^{n-1}} \right| = \left| \frac{a^{n-1}}{n y^{n-2}} \right|$.
અવાભિલંબની લંબાઈ અચળ હોવા માટે,તે $y$ થી સ્વતંત્ર હોવી જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $y$ નો ઘાતાંક $0$ હોય.
તેથી,$n - 2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(C) આપેલ વક્ર $y = be^{-x/a}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ શોધવા માટે,આપણે વક્રનું વિકલન કરીએ: $\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x/a} \cdot (-\frac{1}{a}) = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$.
આપેલ રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $y = -\frac{b}{a}x + b$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{b}{a}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ આગળ,વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$-\frac{b}{a} e^{-x/a} = -\frac{b}{a}$.
આનો અર્થ એ છે કે $e^{-x/a} = 1$,તેથી $-x/a = 0$,જે $x = 0$ આપે છે.
$x = 0$ ને વક્રના સમીકરણ $y = be^{-x/a}$ માં મૂકતા,આપણને $y = be^0 = b$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(0, b)$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = e^{2x}$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$.
બિંદુ $(0, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, 1)} = 2e^{2(0)} = 2(1) = 2$ થાય.
બિંદુ $(0, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 1 = 2(x - 0) \implies y - 1 = 2x \implies 2x - y + 1 = 0$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને ક્યાં મળે છે તે શોધવા માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકો.
$2x - 0 + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -1/2$.
આમ,સ્પર્શક $x$-અક્ષને $(-1/2, 0)$ બિંદુએ મળે છે.

(A) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો: $x = a \cos^3 t$ અને $y = a \sin^3 t$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{dt} = 3a \cos^2 t (-\sin t) = -3a \cos^2 t \sin t$
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t (\cos t) = 3a \sin^2 t \cos t$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$
બિંદુ $(a \cos^3 t, a \sin^3 t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - a \sin^3 t = -\frac{\sin t}{\cos t} (x - a \cos^3 t)$
બંને બાજુ $\cos t$ વડે ગુણતા:
$y \cos t - a \sin^3 t \cos t = -x \sin t + a \cos^3 t \sin t$
પદોને ગોઠવતા:
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos^3 t + a \sin^3 t \cos t$
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t (\cos^2 t + \sin^2 t)$
કારણ કે $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$,તેથી:
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t$
બંને બાજુ $\sin t \cos t$ વડે ભાગતા:
$\frac{x \sin t}{\sin t \cos t} + \frac{y \cos t}{\sin t \cos t} = \frac{a \sin t \cos t}{\sin t \cos t}$
$x \sec t + y \csc t = a$

(C) આપેલ વક્ર $y = x^3$ છે.
પ્રથમ,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન કરો: $\frac{dy}{dx} = 3x^2$.
બિંદુ $P(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 3(1)^2 = 3$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n$ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે: $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{3}$.
રેખાના સમીકરણના બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 1)$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા:
$3(y - 1) = -(x - 1)$.
$3y - 3 = -x + 1$.
પદોને ગોઠવતા અભિલંબનું સમીકરણ મળે છે:
$x + 3y - 4 = 0$.

(D) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો:
$x = a(1 + \cos \theta)$ અને $y = a \sin \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$ થાય.
$\theta$ બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી થશે:
$m_n = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta$.
$(x_1, y_1) = (a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$
$y - a \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a - a \cos \theta)$
$y \cos \theta - a \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta - a \sin \theta \cos \theta$
$y \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta$
$y \cos \theta = (x - a) \sin \theta$
જો આપણે આ સમીકરણમાં બિંદુ $(a, 0)$ મૂકીએ તો:
$0 \cdot \cos \theta = (a - a) \sin \theta$
$0 = 0$.
આમ,અભિલંબ હંમેશા $(a, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $2y^3 = ax^2 + x^3$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$6y^2 \frac{dy}{dx} = 2ax + 3x^2$.
બિંદુ $(a, a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(a, a)} = \frac{2a(a) + 3(a)^2}{6(a)^2} = \frac{5a^2}{6a^2} = \frac{5}{6}$.
બિંદુ $(a, a)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - a = \frac{5}{6}(x - a)$
$6y - 6a = 5x - 5a$
$5x - 6y + a = 0$.
યામાક્ષો પરના અંતઃખંડો $p$ અને $q$ શોધવા માટે,સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા:
$5x - 6y = -a$
$\frac{x}{-a/5} + \frac{y}{a/6} = 1$.
તેથી,$p = -a/5$ અને $q = a/6$.
આપેલ છે કે $p^2 + q^2 = 61$,તેથી:
$\frac{a^2}{25} + \frac{a^2}{36} = 61$
$a^2 \left( \frac{36 + 25}{25 \times 36} \right) = 61$
$a^2 \left( \frac{61}{900} \right) = 61$
$a^2 = 900$
$a = \pm 30$.

(B) આપેલ વક્રો $y = 1 - ax^2$ અને $y = x^2$ છે.
પ્રથમ વક્ર માટે,$\frac{dy}{dx} = -2ax$.
બીજા વક્ર માટે,$\frac{dy}{dx} = 2x$.
વક્રો લંબ રીતે છેદે છે,તેથી છેદબિંદુ $(x, y)$ આગળ તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$(-2ax)(2x) = -1 \implies 4ax^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4a}$.
હવે,છેદબિંદુ આગળ બંને વક્રોના $y$ મૂલ્યોને સરખાવતા:
$1 - ax^2 = x^2 \implies 1 = (1 + a)x^2$.
$x^2 = \frac{1}{4a}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 = (1 + a) \left( \frac{1}{4a} \right)$.
$4a = 1 + a \implies 3a = 1 \implies a = 1/3$.

(B) આપેલ વક્ર $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(x - x_1)$ છે.
$\sqrt{x_1}$ વડે ગુણતા,$y\sqrt{x_1} - y_1\sqrt{x_1} = -x\sqrt{y_1} + x_1\sqrt{y_1}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = x_1\sqrt{y_1} + y_1\sqrt{x_1}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ વક્ર પર હોવાથી,$\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1} = \sqrt{a}$ થાય.
સમીકરણ $x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = \sqrt{x_1}\sqrt{y_1}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1})$ ને $\sqrt{x_1}\sqrt{y_1}$ વડે ભાગતા,$\frac{x}{\sqrt{x_1}} + \frac{y}{\sqrt{y_1}} = \sqrt{x_1} + \sqrt{y_1} = \sqrt{a}$ મળે.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^2 - 5x + 6$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2x - 5$.
બિંદુ $(2, 0)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,0)} = 2(2) - 5 = -1$.
બિંદુ $(3, 0)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(3,0)} = 2(3) - 5 = 1$.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-1 - 1}{1 + (-1)(1)} \right| = \left| \frac{-2}{0} \right| = \infty$.
તેથી,$\tan \theta = \infty$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(D) વક્ર $y = x^2$ માટે,ઢાળ $m_1$ એ $\frac{dy}{dx} = 2x$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,$m_1 = 2(1) = 2$.
વક્ર $x = y^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $1 = 2y \frac{dy}{dx}$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,$m_2 = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$.
બે વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{2} \right| = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) બિંદુ $(3, 4)$ આગળ વક્રના અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan(3\pi / 4) = -1$ છે.
બિંદુ $(3, 4)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -1 / m_n$ થાય.
$m_n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $m_t = -1 / (-1) = 1$ મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $x = 3$ આગળ $f'(3)$ હોવાથી,$f'(3) = 1$ થાય.

(C) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $y = \sqrt{4x - 3} - 1$,તેથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{4x - 3}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x - 3}}$.
અહીં સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2}{3}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{2}{\sqrt{4x - 3}} = \frac{2}{3}$
$\sqrt{4x - 3} = 3$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4x - 3 = 9$
$4x = 12$
$x = 3$.
હવે,$y$ શોધવા માટે $x = 3$ ની કિંમત વક્રના મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \sqrt{4(3) - 3} - 1$
$y = \sqrt{12 - 3} - 1$
$y = \sqrt{9} - 1$
$y = 3 - 1 = 2$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(3, 2)$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = e^x$ માટે,$(c, e^c)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = e^x$ છે.
$x = c$ આગળ,ઢાળ $m_1 = e^c$ થાય.
$(c, e^c)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - e^c = e^c(x - c)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = e^c(x - c + 1)$ થાય.
હવે,$(c - 1, e^{c-1})$ અને $(c + 1, e^{c+1})$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{e^{c+1} - e^{c-1}}{(c+1) - (c-1)} = \frac{e^{c-1}(e^2 - 1)}{2}$ છે.
આ છેદિકા રેખાનું સમીકરણ $y - e^{c-1} = m_2(x - (c - 1))$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $y$ ની કિંમતો સરખાવીએ: $e^c(x - c + 1) = e^{c-1}(x - c + 1) + e^{c-1}$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે કે છેદબિંદુનો $x$-યામ $c - 1 + \frac{2}{e^2 - 1} \cdot e$ છે.
કારણ કે $e \approx 2.718$,તેથી $e^2 - 1 \approx 6.389$.
આમ,$x = c - 1 + \frac{2e}{e^2 - 1} < c - 1 + 1 = c$.
તેથી,છેદબિંદુનો $x$-યામ $c$ કરતા ઓછો છે.

(B) ધારો કે બે વક્રોનું છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
બે વક્રોના સમીકરણો $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ અને $y^3 = 16x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{a^2y}$.
$y^3 = 16x$ માટે,$3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2}$.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
$m_1 = -\frac{4x_1}{a^2y_1}$ અને $m_2 = \frac{16}{3y_1^2}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$.
$(-\frac{4x_1}{a^2y_1}) \times (\frac{16}{3y_1^2}) = -1$.
$\frac{64x_1}{3a^2y_1^3} = 1$.
$(x_1, y_1)$ એ $y^3 = 16x$ પર હોવાથી,$y_1^3 = 16x_1$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{64x_1}{3a^2(16x_1)} = 1$.
$\frac{64x_1}{48a^2x_1} = 1 \Rightarrow \frac{4}{3a^2} = 1$.
તેથી,$a^2 = 4/3$.

(C) આપેલ વક્ર $y = 2 \cos x$ છે.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$y$ ની કિંમત $y = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2}$ થાય.
તેથી,સ્પર્શકનું બિંદુ $\left( \frac{\pi}{4}, \sqrt{2} \right)$ છે.
હવે,વિકલન મેળવતા $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2 \cos x) = -2 \sin x$.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x = \pi/4} = -2 \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = -2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\sqrt{2}$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y - \sqrt{2} = -\sqrt{2} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે વક્ર $y = f(x)$ છે. અવસ્પર્શકની લંબાઈ $|y_1 / (dy/dx)|$ દ્વારા અને અવાભીલંબની લંબાઈ $|y_1 (dy/dx)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે અવસ્પર્શકની લંબાઈ = અવાભીલંબની લંબાઈ:
$|y_1 / (dy/dx)| = |y_1 (dy/dx)|$
જો $y_1 \neq 0$ હોય,તો $1 / |dy/dx| = |dy/dx|$,જેનો અર્થ છે કે $(dy/dx)^2 = 1$,તેથી $dy/dx = \pm 1$.
સ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $L_t = |y_1| \sqrt{1 + (dx/dy)^2}$ છે.
અહીં $dy/dx = \pm 1$ હોવાથી,$dx/dy = \pm 1$ થશે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$L_t = |y_1| \sqrt{1 + (\pm 1)^2} = |y_1| \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} |y_1|$.
આમ,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{2} y_1$ થાય (ધારો કે $y_1 > 0$).

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = (x + 1)(x - 3)$.
વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ મેળવવા માટે $y = 0$ લેતા:
$0 = (x + 1)(x - 3)$
તેથી $x = -1$ અને $x = 3$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુઓ $(-1, 0)$ અને $(3, 0)$ છે.
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ મેળવવા માટે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$y = x^2 - 2x - 3$
$\frac{dy}{dx} = 2x - 2$
બિંદુ $(-1, 0)$ આગળ:
ઢાળ $m_1 = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$.
બિંદુ $(3, 0)$ આગળ:
ઢાળ $m_2 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$.
આમ,આ બિંદુઓ આગળ સ્પર્શકોનો ઢાળ $\pm 4$ છે.

(A) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ: $2x^2 - 3y^2 = 6$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3y^2) = \frac{d}{dx}(6)$
$4x - 6y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$6y \cdot \frac{dy}{dx} = 4x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{4x}{6y} = \frac{2x}{3y}$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ શોધવા માટે બિંદુ $(3, 2)$ ની કિંમત વિકલિતમાં મૂકતા:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(3, 2)} = \frac{2(3)}{3(2)} = \frac{6}{6} = 1$
આમ,બિંદુ $(3, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે.

(C) વક્રો $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમનું છેદબિંદુ શોધીએ,$\sin x = \cos x$ લઈને.
આનાથી $\tan x = 1$ મળે છે,તેથી $x = \pi /4$.
$x = \pi /4$ આગળ,$y = \sin(\pi /4) = 1/\sqrt{2}$. છેદબિંદુ $(\pi /4, 1/\sqrt{2})$ છે.
હવે,આ બિંદુએ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો:
$y = \sin x$ માટે,$dy/dx = \cos x$. $x = \pi /4$ આગળ,$m_1 = \cos(\pi /4) = 1/\sqrt{2}$.
$y = \cos x$ માટે,$dy/dx = -\sin x$. $x = \pi /4$ આગળ,$m_2 = -\sin(\pi /4) = -1/\sqrt{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |(m_1 - m_2) / (1 + m_1 m_2)|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = |(1/\sqrt{2} - (-1/\sqrt{2})) / (1 + (1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2}))|$
$\tan \theta = |(2/\sqrt{2}) / (1 - 1/2)| = |\sqrt{2} / (1/2)| = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(C) આપેલ વક્ર $y = 2x^2 + 3x - 2$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 4x + 3$.
બિંદુ $(1, 3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 4(1) + 3 = 7$ છે.
બિંદુ $(1, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 3 = 7(x - 1)$ છે,જેનું સાદુરૂપ આપતા $y - 3 = 7x - 7$ અથવા $7x - y = 4$ મળે છે.
$x$-અંત:ખંડ મેળવવા માટે,$y = 0$ લેતા: $7x = 4 \implies x = 4/7$.
$y$-અંત:ખંડ મેળવવા માટે,$x = 0$ લેતા: $-y = 4 \implies y = -4$.
આમ,યામાક્ષો પરના અંત:ખંડો $4/7$ અને $-4$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $y = 4x^2$ અને $y = x^2$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$4x^2 = x^2$ લેતા,જેનો અર્થ છે $3x^2 = 0$,તેથી $x = 0$. આમ,છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
હવે,$(0, 0)$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધીએ:
$y = 4x^2$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 8x$. $x = 0$ આગળ,$m_1 = 8(0) = 0$.
$y = x^2$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x = 0$ આગળ,$m_2 = 2(0) = 0$.
બંને ઢાળ $0$ હોવાથી,ઉગમબિંદુ પર સ્પર્શકો આડા (horizontal) છે.
છેદ ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{0 - 0}{1 + 0}| = 0$ છે.
તેથી,$\theta = 0^\circ$.

(D) આપેલ વક્ર $y = \frac{1}{x^2 - 2x + 3}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(x^2 - 2x + 3)^2} \cdot (2x - 2) = \frac{-(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 3)^2}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ હોવાથી,આપણે $\frac{dy}{dx} = 0$ લઈએ:
$\frac{-(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 3)^2} = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1$.
હવે,$y$-યામ શોધવા માટે $x = 1$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{1}{(1)^2 - 2(1) + 3} = \frac{1}{1 - 2 + 3} = \frac{1}{2}$.
સ્પર્શબિંદુ $(1, 1/2)$ છે.
$(1, 1/2)$ માંથી પસાર થતી અને $0$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ:
$y - \frac{1}{2} = 0(x - 1) \implies y = \frac{1}{2} \implies 2y - 1 = 0$.

(C) ધારો કે વક્ર પરના બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ છે.
અવસ્પર્શકની લંબાઈ $|\frac{y}{m}| = |y \frac{dx}{dy}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવઅભિલંબની લંબાઈ $|my| = |y \frac{dy}{dx}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવે,પદ $\sqrt{\frac{\text{અવઅભિલંબ}}{\text{અવસ્પર્શક}}}$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે $\sqrt{\frac{|y \frac{dy}{dx}|}{|y \frac{dx}{dy}|}} = \sqrt{|\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dy}{dx}|} = \sqrt{(\frac{dy}{dx})^2} = |\frac{dy}{dx}|$.
આમ,$\sqrt{\frac{\text{અવઅભિલંબ}}{\text{અવસ્પર્શક}}} = |\frac{dy}{dx}|$,જે તે બિંદુ આગળ સ્પર્શકના ઢાળનું મૂલ્ય છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = \frac{a}{2}(e^{x/a} + e^{-x/a}) = a \cosh(\frac{x}{a})$.
વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = a \cdot \frac{1}{a} \sinh(\frac{x}{a}) = \sinh(\frac{x}{a})$.
અભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $L_n = |y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$L_n = y \sqrt{1 + \sinh^2(\frac{x}{a})}$.
નિત્યસમ $1 + \sinh^2(\theta) = \cosh^2(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L_n = y \sqrt{\cosh^2(\frac{x}{a})} = y \cosh(\frac{x}{a})$.
કારણ કે $y = a \cosh(\frac{x}{a})$,તેથી $\cosh(\frac{x}{a}) = \frac{y}{a}$.
તેથી,$L_n = y \cdot (\frac{y}{a}) = \frac{y^2}{a}$.

(C) છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$4 - x^2 = x^2$ લેતા,જે $2x^2 = 4$ આપે છે,તેથી $x^2 = 2$,$x = \pm \sqrt{2}$.
$x = \pm \sqrt{2}$ માટે,$y = 2$. આમ,છેદબિંદુઓ $(\sqrt{2}, 2)$ અને $(-\sqrt{2}, 2)$ છે.
વક્ર $y = 4 - x^2$ માટે,ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = -2x$.
વક્ર $y = x^2$ માટે,ઢાળ $m_2 = \frac{dy}{dx} = 2x$.
બિંદુ $(\sqrt{2}, 2)$ આગળ,$m_1 = -2\sqrt{2}$ અને $m_2 = 2\sqrt{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{-2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{1 + (-2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} \right| = \left| \frac{-4\sqrt{2}}{1 - 8} \right| = \left| \frac{-4\sqrt{2}}{-7} \right| = \frac{4\sqrt{2}}{7}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left( \frac{4\sqrt{2}}{7} \right)$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $Y - y_1 = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}(X - x_1)$.
$Y\sqrt{x_1} - y_1\sqrt{x_1} = -X\sqrt{y_1} + x_1\sqrt{y_1}$.
$X\sqrt{y_1} + Y\sqrt{x_1} = x_1\sqrt{y_1} + y_1\sqrt{x_1} = \sqrt{x_1 y_1}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1})$.
અહીં $\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1} = \sqrt{a}$ હોવાથી,$X\sqrt{y_1} + Y\sqrt{x_1} = \sqrt{a}\sqrt{x_1 y_1}$.
$\sqrt{a}\sqrt{x_1 y_1}$ વડે ભાગતા: $\frac{X}{\sqrt{a}\sqrt{x_1}} + \frac{Y}{\sqrt{a}\sqrt{y_1}} = 1$.
અક્ષો પરના આંતર્છેદ $X_{int} = \sqrt{a}\sqrt{x_1}$ અને $Y_{int} = \sqrt{a}\sqrt{y_1}$ છે.
આંતર્છેદનો સરવાળો $\sqrt{a}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}) = \sqrt{a}(\sqrt{a}) = a$ થાય.

(A) આપેલ રેખા $2x - 2y + 3 = 0$ છે,જેને $y = x + \frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
અભિલંબ આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_n = 1$ થશે.
વક્ર $y = x \log x$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{\log x + 1}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $-\frac{1}{\log x + 1} = 1 \implies \log x + 1 = -1 \implies \log x = -2 \implies x = e^{-2}$.
$x = e^{-2}$ માટે,$y$ ની કિંમત $y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2} (-2) = -2e^{-2}$ મળે.
સ્પર્શબિંદુ $(e^{-2}, -2e^{-2})$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ મુજબ:
$y - (-2e^{-2}) = 1(x - e^{-2})$.
$y + 2e^{-2} = x - e^{-2}$.
$x - y = 3e^{-2}$.

(A) વક્ર $y = f(x)$ માટે કોઈપણ બિંદુ $x$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = x^3 - x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - x) = 3x^2 - 1$.
$x = 2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x = 2$ આગળ વિકલિતની કિંમત મેળવીએ:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 3(2)^2 - 1$.
$= 3(4) - 1$.
$= 12 - 1 = 11$.
આમ,$x = 2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $11$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = (x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 2x - 3$.
હવે,બિંદુ $(1, 0)$ આગળ ઢાળની કિંમત શોધીએ:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(1, 0)} = 2(1) - 3 = -1$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\tan(\psi)$ જેટલો હોય છે,જ્યાં $\psi$ એ $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
$\tan(\psi) = -1$.
તેથી,$\tan(\psi) = -1$ હોવાથી,ખૂણો $\psi = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ થાય.

(NONE) આપેલ વક્ર $y = x^2 - x + 4$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ મળે છે.
બિંદુ $P(1, 4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 4)} = 2(1) - 1 = 1$ થાય.
$(1, 4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 4 = 1(x - 1)$ એટલે કે $y = x + 3$ છે.
$X$-અક્ષ પરના બિંદુ $A$ માટે,$y = 0$ લેતા: $0 = x + 3 \implies x = -3$. તેથી,$A = (-3, 0)$.
$(1, 4)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -1$ થાય.
$(1, 4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 4 = -1(x - 1)$ એટલે કે $y = -x + 5$ છે.
$X$-અક્ષ પરના બિંદુ $B$ માટે,$y = 0$ લેતા: $0 = -x + 5 \implies x = 5$. તેથી,$B = (5, 0)$.
યામ બિંદુઓ $P(1, 4)$,$A(-3, 0)$ અને $B(5, 0)$ છે.
$\Delta PAB$ નો પાયો $AB$ એ $X$-અક્ષ પર છે. લંબાઈ $AB = |5 - (-3)| = 8$.
$\Delta PAB$ ની ઊંચાઈ એ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $4$ છે.
$\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે વક્ર $y = f(x)$ છે.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ,ધારો કે $m = \frac{dy}{dx}$ એ સ્પર્શકનો ઢાળ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L_T = |y| \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}} = |y| \frac{\sqrt{1 + m^2}}{|m|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અભિલંબની લંબાઈ $L_N = |y| \sqrt{1 + m^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવસ્પર્શકની લંબાઈ $S_T = |\frac{y}{m}|$ છે.
અવાભિલંબની લંબાઈ $S_N = |ym|$ છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{(L_N)^2}{(L_T)^2} = \frac{y^2(1 + m^2)}{y^2 \frac{1 + m^2}{m^2}} = m^2$ ને ધ્યાનમાં લો.
તે જ રીતે,અવાભિલંબ અને અવસ્પર્શકનો ગુણોત્તર $\frac{S_N}{S_T} = \frac{|ym|}{|y/m|} = |m^2| = m^2$ થાય છે.
તેથી,$\frac{(L_N)^2}{(L_T)^2} = \frac{S_N}{S_T}$.

(D) વક્ર $y = f(x)$ ના $x = 3$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(3)$ છે.
બિંદુ $(3, 4)$ આગળ વક્રના અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{f'(3)}$ છે.
આપેલ છે કે અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે $\theta = 3\pi /4$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan(3\pi /4)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(3\pi /4) = -1$.
તેથી,$-\frac{1}{f'(3)} = -1$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{1}{f'(3)} = 1$ મળે છે.
આમ,$f'(3) = 1$.

(C) વક્ર $y = x^2$ માટે,ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = 2x$ થાય.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,$m_1 = 2(1) = 2$ મળે.
વક્ર $6y = 7 - x^3$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $6 \frac{dy}{dx} = -3x^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{2}$ થાય.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,$m_2 = -\frac{1^2}{2} = -\frac{1}{2}$ મળે.
અહીં $m_1 \times m_2 = 2 \times (-1/2) = -1$ હોવાથી,બંને વક્રો એકબીજાને કાટખૂણે છેદે છે.
તેથી,વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\pi /2$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $x^3 - y^2 = 0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$3x^2 - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2y}$.
બિંદુ $(m^2, -m^3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(m^2, -m^3)} = \frac{3(m^2)^2}{2(-m^3)} = \frac{3m^4}{-2m^3} = -\frac{3}{2}m$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{-3m/2} = \frac{2}{3m}$ થાય.
બિંદુ $(m^2, -m^3)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - (-m^3) = \frac{2}{3m}(x - m^2)$ છે.
$y + m^3 = \frac{2}{3m}x - \frac{2m^2}{3m} \Rightarrow y = \frac{2}{3m}x - \frac{2m}{3} - m^3$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $y = 3mx - 4m^3$ સાથે સરખાવતા,$x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$3m = \frac{2}{3m} \Rightarrow 9m^2 = 2 \Rightarrow m^2 = \frac{2}{9}$.
તે જ રીતે,અચળ પદોને સરખાવતા: $-4m^3 = -m^3 - \frac{2m}{3} \Rightarrow 3m^3 = \frac{2m}{3} \Rightarrow 9m^2 = 2 \Rightarrow m^2 = \frac{2}{9}$ ($m \neq 0$ માટે).

(D) આપેલ વક્ર $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
તેથી,$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(x_1, y_1)} = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}$.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(x - x_1)$ છે.
$x$-અંત:ખંડ માટે,$y = 0$ લેતા: $-y_1 = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(x - x_1) \implies x - x_1 = y_1 \sqrt{\frac{x_1}{y_1}} = \sqrt{x_1 y_1}$.
તેથી,$x = x_1 + \sqrt{x_1 y_1} = \sqrt{x_1}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}) = \sqrt{x_1} \sqrt{a} = \sqrt{ax_1}$.
$y$-અંત:ખંડ માટે,$x = 0$ લેતા: $y - y_1 = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(-x_1) = \sqrt{x_1 y_1}$.
તેથી,$y = y_1 + \sqrt{x_1 y_1} = \sqrt{y_1}(\sqrt{y_1} + \sqrt{x_1}) = \sqrt{y_1} \sqrt{a} = \sqrt{ay_1}$.
અંત:ખંડોનો સરવાળો $\sqrt{ax_1} + \sqrt{ay_1} = \sqrt{a}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ થાય.

(A) ધારો કે માંગેલ બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
વક્રનું સમીકરણ $9y^2 = x^3$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ વક્ર પર હોવાથી,$9y_1^2 = x_1^3$ ... $(i)$.
વક્ર $9y^2 = x^3$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{x_1^2}{6y_1}$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ છે.
અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન અંત:ખંડો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = \pm 1$,જેનો અર્થ છે કે $x_1^2 = \mp 6y_1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x_1^4 = 36y_1^2$. સમીકરણ $(i)$ માંથી $y_1^2 = \frac{x_1^3}{9}$ મૂકતા,$x_1^4 = 36 \left( \frac{x_1^3}{9} \right) = 4x_1^3$ મળે.
આથી $x_1^3(x_1 - 4) = 0$,એટલે કે $x_1 = 0$ અથવા $x_1 = 4$.
જો $x_1 = 0$ હોય,તો $y_1 = 0$ મળે. પરંતુ $(0,0)$ આગળ અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન અંત:ખંડ બનાવતી રેખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત નથી.
જો $x_1 = 4$ હોય,તો $9y_1^2 = 4^3 = 64$,તેથી $y_1^2 = \frac{64}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $y_1 = \pm \frac{8}{3}$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(4, 8/3)$ અને $(4, -8/3)$ છે.