Tangent and Normal Questions in Gujarati

(A) આપેલ વક્ર $x^4 + y^4 = a^4$ છે.
ધારો કે સ્પર્શક બિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$4x^3 + 4y^3 \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ થાય છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^3}{y^3}$.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{x_1^3}{y_1^3}$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{x_1^3}{y_1^3}(x - x_1)$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y y_1^3 - y_1^4 = -x x_1^3 + x_1^4$,અથવા $x x_1^3 + y y_1^3 = x_1^4 + y_1^4$ મળે.
કારણ કે $(x_1, y_1)$ વક્ર પર છે,$x_1^4 + y_1^4 = a^4$,તેથી સમીકરણ $x x_1^3 + y y_1^3 = a^4$ થાય.
$x$-અંત:ખંડ $p$ મેળવવા માટે $y=0$ લેતા,$p = \frac{a^4}{x_1^3}$ મળે.
$y$-અંત:ખંડ $q$ મેળવવા માટે $x=0$ લેતા,$q = \frac{a^4}{y_1^3}$ મળે.
હવે,$p^{-4/3} + q^{-4/3} = (\frac{a^4}{x_1^3})^{-4/3} + (\frac{a^4}{y_1^3})^{-4/3}$ ની ગણતરી કરતા.
$= a^{-16/3} (x_1^4 + y_1^4) = a^{-16/3} (a^4) = a^{4 - 16/3} = a^{-4/3}$.

(D) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
આપેલ વક્ર $ay^2 = x^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2ay \frac{dy}{dx} = 3x^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2ay}$ મળે.
$(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{(dy/dx)_{(x_1, y_1)}} = -\frac{2ay_1}{3x_1^2}$ થાય.
અભિલંબ અક્ષો પર સમાન અંત:ખંડ બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ. વક્રની ભૂમિતિ મુજબ,સમાન અંત:ખંડ માટે ઢાળ $-1$ લેતા.
તેથી,$-\frac{2ay_1}{3x_1^2} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $2ay_1 = 3x_1^2$.
વક્રના સમીકરણ પરથી,$ay_1^2 = x_1^3$. પ્રથમ સંબંધનો વર્ગ કરતા: $4a^2y_1^2 = 9x_1^4$.
$ay_1^2 = x_1^3$ મુકતા,આપણને $4a(x_1^3) = 9x_1^4$ મળે.
$x_1 \neq 0$ હોવાથી,$4a = 9x_1$,એટલે કે $x_1 = \frac{4a}{9}$ મળે.

(A) આપેલ વક્ર $y = x(2 - x) = 2x - x^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2 - 2x$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, 0)} = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ થાય.
બિંદુ $(2, 0)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 0 = \frac{1}{2}(x - 2)$ મળે.
$2y = x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y = 2$ થાય છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = a^{1-n}x^n$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = n a^{1-n} x^{n-1}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ અવાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $L = |y \cdot \frac{dy}{dx}|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$L = |(a^{1-n}x^n) \cdot (n a^{1-n} x^{n-1})| = |n a^{2(1-n)} x^{2n-1}|$.
અવાભિલંબની લંબાઈ અચળ રહે તે માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$2n - 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $n = 1/2$.

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = a(\theta + \sin \theta)$ અને $y = a(1 - \cos \theta)$ છે.
પ્રથમ,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta) = a(2 \cos^2 \frac{\theta}{2})$
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta = 2a \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2a \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2a \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{\theta}{2}$ મળે છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\pi / 4$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $\tan(\pi / 4) = 1$ થાય.
તેથી,$\tan \frac{\theta}{2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
હવે,$\theta = \frac{\pi}{2}$ ની કિંમત $x$ અને $y$ ના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$
$y = a(1 - \cos \frac{\pi}{2}) = a(1 - 0) = a$
આમ,માંગેલ બિંદુ $\left( a\left( \frac{\pi}{2} + 1 \right), a \right)$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = 2 + \sqrt{4x + 1}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2 + \sqrt{4x + 1}) = 0 + \frac{1}{2\sqrt{4x + 1}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}$.
અહીં સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2}{5}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{2}{\sqrt{4x + 1}} = \frac{2}{5}$.
આના પરથી $\sqrt{4x + 1} = 5$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4x + 1 = 25$.
$4x = 24$,જેથી $x = 6$ મળે.
હવે,$y$ ની કિંમત શોધવા માટે $x = 6$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2 + \sqrt{4(6) + 1} = 2 + \sqrt{25} = 2 + 5 = 7$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(6, 7)$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 3x^2$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદુના $y$-યામ જેટલો છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y$.
કિંમતો મૂકતા,$3x^2 = x^3$ મળે.
આથી $x^3 - 3x^2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2(x - 3) = 0$ થાય.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 3$.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = 0^3 = 0$. બિંદુ $(0, 0)$ મળે.
જો $x = 3$ હોય,તો $y = 3^3 = 27$. બિંદુ $(3, 27)$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$(3, 27)$ એ સાચું બિંદુ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$.
જો સ્પર્શક $x$-અક્ષને લંબ હોય,તો તેનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ,જે ત્યારે થાય જ્યારે છેદ શૂન્ય હોય.
તેથી,$x = 0$.
મૂળ સમીકરણ $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ માં $x = 0$ મૂકતા:
$\sqrt{0} + \sqrt{y} = \sqrt{a} \implies \sqrt{y} = \sqrt{a} \implies y = a$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(0, a)$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$.
બિંદુ $(4, 4)$ આગળ,ઢાળ $m = -\sqrt{\frac{4}{4}} = -1$ મળે છે.
બિંદુ $(4, 4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 4 = -1(x - 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 4 = -x + 4$ અથવા $x + y = 8$ થાય છે.
અંત:ખંડ શોધવા માટે,સમીકરણને અંત:ખંડ સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x}{8} + \frac{y}{8} = 1$.
$x$-અંત:ખંડ $8$ છે અને $y$-અંત:ખંડ $8$ છે.
તેથી,અંત:ખંડનો સરવાળો $8 + 8 = 16$ થાય.

(C) વક્રનું સમીકરણ $y^n = a^{n-1}x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = a^{n-1}$
તેથી,કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(x_1, y_1)} = \frac{a^{n-1}}{n y_1^{n-1}}$
અવભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર:
$L = |y_1 \cdot \frac{dy}{dx}| = |y_1 \cdot \frac{a^{n-1}}{n y_1^{n-1}}| = |\frac{a^{n-1}}{n} y_1^{2-n}|$
અવભિલંબની લંબાઈ અચળ રહે તે માટે,આ પદ $y_1$ થી સ્વતંત્ર હોવું જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $y_1$ નો ઘાતાંક $0$ હોય.
તેથી,$2 - n = 0$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(B) આપેલ વક્ર $xy = 4$ ને $y = \frac{4}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^2}$ મળે.
રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે,જેને $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{a}{b}$ છે.
રેખા વક્રનો સ્પર્શક હોવાથી,વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો જ હોવો જોઈએ:
$-\frac{4}{x^2} = -\frac{a}{b}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{a}{b}$.
$x \neq 0$ માટે $x^2 > 0$ હોવાથી અને $4 > 0$ હોવાથી,$\frac{a}{b} > 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $b$ સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે (બંને ધન અથવા બંને ઋણ).

(A) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે. બિંદુ $P$ એ વક્ર $y = x^2 + 3x$ પર હોવાથી,$y_1 = x_1^2 + 3x_1$ મળે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x + 3$ છે.
તેથી,ઢાળ $m = 2x_1 + 3$ થાય.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = (2x_1 + 3)(x - x_1)$ છે.
સ્પર્શક $(0, -9)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x = 0$ અને $y = -9$ મૂકતા:
$-9 - y_1 = (2x_1 + 3)(0 - x_1)$
$-9 - y_1 = -2x_1^2 - 3x_1$
$y_1 = 2x_1^2 + 3x_1 - 9$.
$y_1$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા:
$x_1^2 + 3x_1 = 2x_1^2 + 3x_1 - 9$
$x_1^2 = 9$
$x_1 = \pm 3$.
જો $x_1 = 3$ હોય,તો $y_1 = (3)^2 + 3(3) = 18$. બિંદુ $(3, 18)$ મળે.
જો $x_1 = -3$ હોય,તો $y_1 = (-3)^2 + 3(-3) = 0$. બિંદુ $(-3, 0)$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું બિંદુ $(-3, 0)$ છે.

(C) અહીં $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta)$ અને $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta)$ આપેલ છે.
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a\theta \cos \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)) = a\theta \sin \theta$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\theta \sin \theta}{a\theta \cos \theta} = \tan \theta$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta$ થાય.
$\theta$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - a(\sin \theta - \theta \cos \theta) = -\cot \theta (x - a(\cos \theta + \theta \sin \theta))$.
$y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a\theta \cos \theta \sin \theta = -x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a\theta \sin \theta \cos \theta$.
$x \cos \theta + y \sin \theta = a(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a$.
આ રેખાનું ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી અંતર $d = \frac{|a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = |a|$ થાય,જે અચળ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^3 + 3x^2 = 12y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{dy}{dx} (3y^2 - 12) = -6x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{6x}{3y^2 - 12} = -\frac{2x}{y^2 - 4}$.
સ્પર્શક શિરોલંબ હોય ત્યારે ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત હોય,જે છેદ શૂન્ય થવાથી મળે:
$y^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $y = 2$,તો મૂળ સમીકરણમાં મુકતા:
$(2)^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{3} \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$.
કિસ્સો $2$: જો $y = -2$,તો મૂળ સમીકરણમાં મુકતા:
$(-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$.
વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $y = -2$ માટે કોઈ વાસ્તવિક બિંદુઓ નથી.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x + \frac{4}{x^{2}}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{8}{x^{3}}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $0$ થાય:
$1 - \frac{8}{x^{3}} = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{8}{x^{3}} = 1 \Rightarrow x^{3} = 8 \Rightarrow x = 2$.
હવે,મૂળ વક્રના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકીને અનુરૂપ $y$-યામ શોધો:
$y = 2 + \frac{4}{2^{2}} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.
સ્પર્શબિંદુ $(2, 3)$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y = k$ સ્વરૂપમાં હોય છે. સ્પર્શબિંદુનો $y$-યામ મૂકતા,આપણને $y = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \int_{0}^{x} |t| dt$ છે. કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = |x|$ થાય.
સ્પર્શક રેખા $y = 2x$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $2$ હોવો જોઈએ. તેથી,$|x| = 2$,જે $x = 2$ અથવા $x = -2$ આપે છે.
$x = 2$ માટે,$y = \int_{0}^{2} |t| dt = \int_{0}^{2} t dt = [\frac{t^2}{2}]_{0}^{2} = 2$. બિંદુ $(2, 2)$ છે.
$(2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 2$ છે. $y = 0$ લેતા,$2x = 2$,તેથી $x = 1$ મળે.
$x = -2$ માટે,$y = \int_{0}^{-2} |t| dt = \int_{0}^{-2} (-t) dt = [-\frac{t^2}{2}]_{0}^{-2} = -2$. બિંદુ $(-2, -2)$ છે.
$(-2, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-2) = 2(x - (-2)) \Rightarrow y + 2 = 2x + 4 \Rightarrow y = 2x + 2$ છે. $y = 0$ લેતા,$2x = -2$,તેથી $x = -1$ મળે.
આમ,$x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો $\pm 1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}}\right)$.
$1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ અને $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ પર,$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
વિકલન $f'(x) = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{1}{2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -2$ થાય.
$(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{\pi}{3} = -2(x - \frac{\pi}{6})$ છે.
$y - \frac{\pi}{3} = -2x + \frac{\pi}{3} \Rightarrow y = -2x + \frac{2\pi}{3}$.
બિંદુઓ તપાસતા,જો $x = 0$ હોય,તો $y = \frac{2\pi}{3}$. તેથી,તે $(0, \frac{2\pi}{3})$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) વક્રનું સમીકરણ $y(x - 2)(x - 3) = x + 6$ છે,જેને $y = \frac{x + 6}{x^2 - 5x + 6}$ તરીકે લખી શકાય.
$y$-અક્ષ પર,$x = 0$ હોય. સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,$y(0 - 2)(0 - 3) = 0 + 6$,જેનું સાદું રૂપ $y(6) = 6$ થાય,તેથી $y = 1$. આમ,છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
હવે,$y = \frac{x + 6}{x^2 - 5x + 6}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 - 5x + 6)(1) - (x + 6)(2x - 5)}{(x^2 - 5x + 6)^2}$.
બિંદુ $(0, 1)$ પર,$x = 0$ અને $x^2 - 5x + 6 = 6$ છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(6)(1) - (6)(-5)}{(6)^2} = \frac{6 + 30}{36} = \frac{36}{36} = 1$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે. તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{1} = -1$ થાય.
બિંદુ $(0, 1)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -1(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 1 = -x$ અથવા $x + y = 1$ થાય.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ એ $x + y = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે કારણ કે $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: ${y^n} = {a^{n - 1}}x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $n{y^{n - 1}}\frac{{dy}}{{dx}} = {a^{n - 1}}$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ: $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{a^{n - 1}}}}{{n{y^{n - 1}}}}$ થાય.
સબનોર્મલની લંબાઈનું સૂત્ર: $\text{Subnormal} = y \left| \frac{{dy}}{{dx}} \right|$ છે.
$\frac{{dy}}{{dx}}$ ની કિંમત મૂકતા: $\text{Subnormal} = y \cdot \frac{{{a^{n - 1}}}}{{n{y^{n - 1}}}} = \frac{{{a^{n - 1}}}}{n} \cdot y^{1 - (n - 1)} = \frac{{{a^{n - 1}}}}{n} \cdot y^{2 - n}$ મળે.
સબનોર્મલ અચળ રહે તે માટે,તે $y$ થી સ્વતંત્ર હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $y$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $2 - n = 0$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(C) વક્રનું સમીકરણ $x^2 y^2 = a^4$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x^2 \cdot 2y \frac{dy}{dx} + y^2 \cdot 2x = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$
બિંદુ $(-a, a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(-a, a)} = -\frac{a}{-a} = 1$
સબટેન્જન્ટની લંબાઈનું સૂત્ર $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Subtangent} = \left| \frac{a}{1} \right| = a$.

(C) આપેલ વક્ર $f(x) = x^2 + bx - b$ છે. બિંદુ $(1, 1)$ વક્ર પર હોવાથી,$1 = 1^2 + b(1) - b$ મળે,જે $1 = 1$ છે,એટલે કે કોઈપણ $b$ માટે બિંદુ વક્ર પર છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2x + b$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 2(1) + b = 2 + b$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = (2 + b)(x - 1)$ છે.
સાદું રૂપ આપતા,$y - 1 = (2 + b)x - (2 + b)$,જે $(2 + b)x - y = 1 + b$ આપે છે.
અંતઃખંડ મેળવવા માટે,$y = 0$ લેતા $x = \frac{1 + b}{2 + b}$ (બિંદુ $A$) અને $x = 0$ લેતા $y = -(1 + b)$ (બિંદુ $B$) મળે.
ત્રિકોણ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,અંતઃખંડ ધન હોવા જોઈએ: $\frac{1 + b}{2 + b} > 0$ અને $-(1 + b) > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 + b < 0$ અને $2 + b < 0$,તેથી $b < -2$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \left| \frac{1 + b}{2 + b} \right| \times |-(1 + b)| = 2$ છે.
$b < -2$ હોવાથી,$1 + b$ ઋણ છે અને $2 + b$ ઋણ છે,તેથી $\frac{1 + b}{2 + b} > 0$ અને $-(1 + b) > 0$.
આમ,$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + b}{2 + b} \cdot (-(1 + b)) = 2$.
$-(1 + b)^2 = 4(2 + b) \Rightarrow -(1 + 2b + b^2) = 8 + 4b \Rightarrow b^2 + 6b + 9 = 0$.
$(b + 3)^2 = 0$,તેથી $b = -3$. આ $b < -2$ નું પાલન કરે છે.

(A) વક્ર $y = \sqrt{x}$ છે,જેનો અર્થ છે $y^2 = x$ ($y \ge 0$ માટે).
વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2y}$ છે.
વક્ર પરના બિંદુ $(x_0, y_0)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{(dy/dx)} = -2y_0$ છે.
અભિલંબ બિંદુ $(3, 6)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,ઢાળ $m = \frac{y_0 - 6}{x_0 - 3}$ થાય.
ઢાળને સરખાવતા: $-2y_0 = \frac{y_0 - 6}{y_0^2 - 3}$ (કારણ કે $x_0 = y_0^2$).
$-2y_0(y_0^2 - 3) = y_0 - 6$ $\Rightarrow -2y_0^3 + 6y_0 = y_0 - 6$ $\Rightarrow 2y_0^3 - 5y_0 - 6 = 0$.
$y_0 = 2$ એ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $2(8) - 5(2) - 6 = 16 - 10 - 6 = 0$.
$y_0 = 2$ માટે,વક્ર પરનું બિંદુ $(4, 2)$ છે અને અભિલંબનો ઢાળ $m = -2(2) = -4$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 6 = -4(x - 3)$ $\Rightarrow y - 6 = -4x + 12$ $\Rightarrow 4x + y - 18 = 0$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ આપેલ છે: $x^2 + y^2 = R^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2yy' = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x + yy' = 0$ થાય,તેથી $y' = -\frac{x}{y}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $1 + (y')^2 + yy'' = 0$.
તેથી,$y'' = -\frac{1 + (y')^2}{y}$.
$k$ નું સૂત્ર $k = \frac{y''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$ છે.
$y''$ ની કિંમત મૂકતા: $k = \frac{-(1 + (y')^2)}{y(1 + (y')^2)^{3/2}} = -\frac{1}{y\sqrt{1 + (y')^2}}$.
$y' = -\frac{x}{y}$ હોવાથી,$1 + (y')^2 = 1 + \frac{x^2}{y^2} = \frac{y^2 + x^2}{y^2} = \frac{R^2}{y^2}$.
તેથી,$\sqrt{1 + (y')^2} = \frac{R}{|y|}$.
આ કિંમત $k$ માં મૂકતા: $k = -\frac{1}{y \cdot (R/|y|)} = -\frac{1}{R} \cdot \frac{|y|}{y}$.
જો $y > 0$ લઈએ,તો $k = -\frac{1}{R}$ મળે.

(B) વક્ર $y = K e^{Kx}$ આપેલ છે.
$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ પર સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ.
$x = 0$ આગળ,$y = K e^{K(0)} = K$.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = K \cdot K e^{Kx} = K^2 e^{Kx}$ મળે.
$x = 0$ આગળ,ઢાળ $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = K^2 e^0 = K^2$.
ધારો કે $\psi$ એ સ્પર્શક દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. તેથી $\tan \psi = m = K^2$.
વક્ર $y$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે સ્પર્શક દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણાનો કોટિકોણ છે,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2} - \psi$.
આમ,$\tan \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \psi) = \cot \psi = \frac{1}{\tan \psi} = \frac{1}{K^2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{K^2}) = \cot^{-1}(K^2)$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{2}^{x} (2t - 5) \, dt$.
સંકલન કરતા: $f(x) = [t^2 - 5t]_{2}^{x} = (x^2 - 5x) - (4 - 10) = x^2 - 5x + 6$.
આલેખ $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે ત્યાં $f(x) = 0$ થાય.
$x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0$,તેથી $x = 2$ અને $x = 3$.
છેદબિંદુઓ $(2, 0)$ અને $(3, 0)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5$ છે.
$x = 2$ આગળ,$m_1 = 2(2) - 5 = -1$.
$x = 3$ આગળ,$m_2 = 2(3) - 5 = 1$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\tan \theta = \left| \frac{-1 - 1}{1 + (-1)(1)} \right| = \left| \frac{-2}{0} \right| = \infty$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x^2y = c^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{2y}{x}$.
બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = -\frac{2y}{x}(X - x)$ છે.
$x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $a$ મેળવવા માટે,$Y = 0$ મૂકતા: $-y = -\frac{2y}{x}(a - x) \implies x = 2(a - x) \implies 3x = 2a \implies a = \frac{3x}{2}$.
$y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $b$ મેળવવા માટે,$X = 0$ મૂકતા: $b - y = -\frac{2y}{x}(0 - x) \implies b - y = 2y \implies b = 3y$.
હવે,$a^2b$ ની ગણતરી કરતા: $a^2b = (\frac{3x}{2})^2(3y) = \frac{9x^2}{4} \cdot 3y = \frac{27}{4}x^2y$.
કારણ કે $x^2y = c^3$ છે,તેથી $a^2b = \frac{27}{4}c^3$ મળે છે.

(C) વક્રનું સમીકરણ $xy^n = a^{n+1}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^n + x \cdot n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$
$x n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = -y^n$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^n}{n x y^{n-1}} = -\frac{y}{nx}$.
સબનોર્મલની લંબાઈ $|y \frac{dy}{dx}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$|y \cdot (-\frac{y}{nx})| = |-\frac{y^2}{nx}|$.
મૂળ સમીકરણ પરથી,$y^n = \frac{a^{n+1}}{x}$,તેથી $y^2 = (\frac{a^{n+1}}{x})^{2/n} = \frac{a^{2(n+1)/n}}{x^{2/n}}$.
આ કિંમત સબનોર્મલના પદમાં મૂકતા:
$|\frac{y^2}{nx}| = |\frac{a^{2(n+1)/n}}{n x \cdot x^{2/n}}| = |\frac{a^{2(n+1)/n}}{n x^{(n+2)/n}}|$.
સબનોર્મલ અચળ રહે તે માટે,$x$ નો ઘાત $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{n+2}{n} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $n = -2$.
આમ,$n = -2$ માટે સબનોર્મલ અચળ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળનો સ્પર્શક $X$-અક્ષને $A(a, 0)$ માં અને $Y$-અક્ષને $B(0, -2a)$ માં છેદે છે (કારણ કે $OX$ પરનો ખંડ $OY$ પરના ખંડ કરતા અડધો છે અને $B$ એ ઋણ $Y$-અક્ષ પર છે).
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{0 - (-2a)}{a - 0} = \frac{2a}{a} = 2$ થાય.
આપેલ વક્ર $y = x^3 - 3x^2 - 7x + 6$ માટે,કોઈપણ બિંદુએ ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 7$ છે.
ઢાળને $2$ સાથે સરખાવતા: $3x_1^2 - 6x_1 - 7 = 2 \implies 3x_1^2 - 6x_1 - 9 = 0 \implies x_1^2 - 2x_1 - 3 = 0$.
$x_1$ માટે ઉકેલતા: $(x_1 - 3)(x_1 + 1) = 0$,તેથી $x_1 = 3$ અથવા $x_1 = -1$.
જો $x_1 = 3$ હોય,તો $y_1 = (3)^3 - 3(3)^2 - 7(3) + 6 = 27 - 27 - 21 + 6 = -15$. બિંદુ $(3, -15)$ મળે.
જો $x_1 = -1$ હોય,તો $y_1 = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 7(-1) + 6 = -1 - 3 + 7 + 6 = 9$. બિંદુ $(-1, 9)$ મળે.
બિંદુ $P(-1, 9)$ માટે અંતઃખંડની શરત તપાસતા: સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 9 = 2(x + 1) \implies y = 2x + 11$ થાય. $X$-અંતઃખંડ $A$ એ $(-5.5, 0)$ અને $Y$-અંતઃખંડ $B$ એ $(0, 11)$ છે. $OX$ પરની લંબાઈ $5.5$ (ઋણ બાજુ) છે,જે શરતનું પાલન કરતી નથી.
બિંદુ $P(3, -15)$ માટે તપાસતા: સ્પર્શકનું સમીકરણ $y + 15 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 21$ થાય. $X$-અંતઃખંડ $A$ એ $(10.5, 0)$ અને $Y$-અંતઃખંડ $B$ એ $(0, -21)$ છે. $OX$ પરની લંબાઈ $10.5$ છે અને $OY$ પરની લંબાઈ $21$ છે. $10.5 = \frac{1}{2}(21)$ હોવાથી,આ બિંદુ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,સાચું બિંદુ $(3, -15)$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\frac{a}{x^2} + \frac{b}{y^2} = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{2a}{x^3} - \frac{2b}{y^3} \frac{dy}{dx} = 0$.
આથી સ્પર્શકનો ઢાળ: $\frac{dy}{dx} = -\frac{ay^3}{bx^3}$.
બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $Y - y = -\frac{ay^3}{bx^3}(X - x)$.
$x-$અંતઃખંડ માટે,$Y = 0$ લેતા:
$-y = -\frac{ay^3}{bx^3}(X - x) \implies X - x = \frac{bx^3}{ay^2} \implies X = x + \frac{bx^3}{ay^2}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા: $X = x \left( 1 + \frac{bx^2}{ay^2} \right) = x \left( \frac{ay^2 + bx^2}{ay^2} \right)$.
કારણ કે $\frac{a}{x^2} + \frac{b}{y^2} = 1$,તેથી $ay^2 + bx^2 = x^2y^2$.
આ કિંમત $X$ માં મૂકતા: $X = x \left( \frac{x^2y^2}{ay^2} \right) = \frac{x^3}{a}$.
આમ,$x-$અંતઃખંડ એ યામ $x$ ના ઘન $x^3$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે વક્રોના સૌથી ઓછા ઘાતવાળા પદોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
પ્રથમ વક્ર $y^3 - x^2y + 5y - 2x = 0$ માટે,સૌથી ઓછા ઘાતવાળા પદો $5y - 2x = 0$ છે.
તેથી,$5y = 2x$,જે $y = \frac{2}{5}x$ આપે છે. ઢાળ $m_1 = \frac{2}{5}$ છે.
બીજા વક્ર $x^4 - x^3y^2 + 5x + 2y = 0$ માટે,સૌથી ઓછા ઘાતવાળા પદો $5x + 2y = 0$ છે.
તેથી,$2y = -5x$,જે $y = -\frac{5}{2}x$ આપે છે. ઢાળ $m_2 = -\frac{5}{2}$ છે.
અહીં $m_1 \cdot m_2 = (\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{5}{2}) = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(A) આપેલ વક્ર $9y^2 = x^3$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = \frac{x_1^2}{6y_1}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ થાય.
અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$.
આ કિંમતને વક્રના સમીકરણ $9y_1^2 = x_1^3$ માં મૂકતા: $9(\frac{x_1^2}{6})^2 = x_1^3 \implies 9(\frac{x_1^4}{36}) = x_1^3 \implies \frac{x_1^4}{4} = x_1^3$.
$x_1 = 4$ મળે. તેથી $y_1^2 = \frac{64}{9} \implies y_1 = \pm \frac{8}{3}$.
આમ,બિંદુઓ $(4, \frac{8}{3})$ અને $(4, -\frac{8}{3})$ છે. વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = x^n$ છે.
બિંદુ $P(a, a^n)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = n x^{n-1} = n a^{n-1}$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{n a^{n-1}}$ છે.
$(a, a^n)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $y - a^n = -\frac{1}{n a^{n-1}}(x - a)$ છે.
$y-$ અંતઃખંડ $b$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકીએ:
$b - a^n = -\frac{1}{n a^{n-1}}(0 - a)$
$b - a^n = \frac{a}{n a^{n-1}} = \frac{1}{n a^{n-2}}$
$b = a^n + \frac{1}{n a^{n-2}}$.
હવે,આપણે લક્ષ $\mathop {Lim}\limits_{a \to 0} b = \mathop {Lim}\limits_{a \to 0} (a^n + \frac{1}{n a^{n-2}})$ ની ગણતરી કરીએ.
જો $n=2$ હોય,તો $b = a^2 + \frac{1}{2 a^0} = a^2 + \frac{1}{2}$.
જ્યારે $a \to 0$,ત્યારે $b \to 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$n = 2$ આપેલ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) ધારો કે સ્પર્શક રેખા $y = mx + c$ છે.
$x \ge 0$ માટે,$f(x) = x^2 + 8$. $mx + c = x^2 + 8$ લેતા,આપણને $x^2 - mx + (8 - c) = 0$ મળે છે. સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D = 0$,તેથી $m^2 - 4(8 - c) = 0$,જેનો અર્થ છે $m^2 = 32 - 4c$ (સમીકરણ $1$).
$x < 0$ માટે,$f(x) = -x^2$. $mx + c = -x^2$ લેતા,આપણને $x^2 + mx + c = 0$ મળે છે. સ્પર્શક હોવા માટે,$D = 0$,તેથી $m^2 - 4c = 0$,જેનો અર્થ છે $m^2 = 4c$ (સમીકરણ $2$).
$m^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4c = 32 - 4c$,જે $8c = 32$ આપે છે,તેથી $c = 4$.
સમીકરણ $2$ માં $c = 4$ મૂકતા,$m^2 = 16$,તેથી $m = \pm 4$. સ્પર્શક બંને શાખાઓને સ્પર્શતી હોવી જોઈએ,તેથી આપણે $y = 4x + 4$ રેખા ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$x$-અંત:ખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકો: $0 = 4x + 4$,જે $x = -1$ આપે છે.

(A) આપેલ વક્ર $(\frac{x}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ છે.
જ્યારે $x = a$ હોય,ત્યારે $(\frac{a}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ થાય,એટલે કે $1 + (\frac{y}{b})^n = 2$,તેથી $(\frac{y}{b})^n = 1$.
$n \in N$ હોવાથી,$y = b$ મળે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(a, b)$ છે.
વક્રનું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$n(\frac{x}{a})^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(\frac{y}{b})^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ,$n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
$(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ થાય.
$a(y - b) = -b(x - a) \implies ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab \implies \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\sqrt{xy} = a + x$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$xy = (a + x)^2 = a^2 + x^2 + 2ax$ મળે.
$y$ માટે ઉકેલતા,$y = \frac{a^2}{x} + x + 2a$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{a^2}{x^2} + 1$ મળે.
સ્પર્શક યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી તેનો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ.
વિકલનને $-1$ સાથે સરખાવતા: $-\frac{a^2}{x^2} + 1 = -1$.
આથી $\frac{a^2}{x^2} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = \frac{a^2}{2}$.
તેથી,$x = \pm \frac{a}{\sqrt{2}}$.
અહીં $a > 0$ હોવાથી,બંને કિંમતો શક્ય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x^2 - 5x + 7$ દ્વારા મળે છે.
અંતઃખંડો સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $-1$ અથવા $1$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: ઢાળ $m = -1$.
$x^2 - 5x + 7 = -1 \implies x^2 - 5x + 8 = 0$. વિવેચક $D = 25 - 32 = -7 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: ઢાળ $m = 1$.
$x^2 - 5x + 7 = 1 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0$.
આમ,$x = 2$ અથવા $x = 3$.
$x = 2$ માટે,$f(2) = \frac{8}{3} - 10 + 14 - 4 = \frac{8}{3}$. બિંદુ $(2, 8/3)$ છે.
$x = 3$ માટે,$f(3) = 9 - 22.5 + 21 - 4 = 3.5 = 7/2$. બિંદુ $(3, 7/2)$ છે.
બંને બિંદુઓ શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = f'(x)(X - x)$ છે.
બિંદુ $A$ માટે ($Y=0$ લેતા),$X = x - \frac{y}{f'(x)}$,તેથી $A = (x - \frac{y}{f'(x)}, 0)$.
બિંદુ $B$ માટે ($X=0$ લેતા),$Y = y - x f'(x)$,તેથી $B = (0, y - x f'(x))$.
$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{f'(x)}$ છે. તેનું સમીકરણ $Y - y = -\frac{1}{f'(x)}(X - x)$ છે.
બિંદુ $C$ માટે ($X=0$ લેતા),$Y = y + \frac{x}{f'(x)}$,તેથી $C = (0, y + \frac{x}{f'(x)})$.
આપેલ છે કે $AC = BC$,જેનો અર્થ છે $AC^2 = BC^2$. અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x - \frac{y}{f'(x)})^2 + (y + \frac{x}{f'(x)})^2 = (-x f'(x) - \frac{x}{f'(x)})^2$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $f'(x) = -\frac{y}{x}$ મળે છે.
$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ નું સંકલન કરતા $\ln y = -\ln x + \ln c$ મળે,એટલે કે $xy = c$.
$f(2) = 3$ મૂકતા,$2 \times 3 = c$,તેથી $c = 6$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $xy = 6$ અથવા $y = \frac{6}{x}$ છે.

(B) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(x_1, y_1)$ એ વક્ર $xy = 100$ પર છે.
કારણ કે $P$ વક્ર પર છે,તેથી $y_1 = \frac{100}{x_1}$.
$xy = 100$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,આપણને $y + x \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{y_1}{x_1} = -\frac{100/x_1}{x_1} = -\frac{100}{x_1^2}$ છે.
$P(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}(x - x_1)$ છે.
$y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}x + y_1 \implies \frac{y_1}{x_1}x + y = 2y_1$.
$2y_1$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$ મળે છે.
$x$-અંતઃખંડ $A(2x_1, 0)$ અને $y$-અંતઃખંડ $B(0, 2y_1)$ છે.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |2x_1| \times |2y_1| = 2|x_1 y_1|$.
કારણ કે $x_1 y_1 = 100$,તેથી ક્ષેત્રફળ $2 \times 100 = 200$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) વક્ર $y = x^2 + 6x + 10$ માટે,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2x + 6$ છે.
બિંદુ $(-2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 2(-2) + 6 = 2$ છે.
તેથી,$(-2, 2)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ થાય.
વક્ર $y = ax^2 + bx + \frac{7}{2}$ માટે,બિંદુ $(1, 2)$ વક્ર પર આવેલું છે,તેથી $2 = a(1)^2 + b(1) + \frac{7}{2}$,જેનું સાદું રૂપ $a + b = 2 - \frac{7}{2} = -\frac{3}{2}$ થાય (સમીકરણ $1$).
વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ છે. $x = 1$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $2a + b$ છે.
આ સ્પર્શક પ્રથમ વક્રના અભિલંબને સમાંતર હોવાથી,$2a + b = -\frac{1}{2}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(2a + b) - (a + b) = -\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2}) \Rightarrow a = 1$.
$a = 1$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $1 + b = -\frac{3}{2} \Rightarrow b = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$.

(A) ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ વક્ર $y = f(x)$ પરનું એક બિંદુ છે.
ધારો કે $m = \frac{dy}{dx}$ એ $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ છે.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $\left| \frac{y_1}{m} \right|$ દ્વારા અને સબનોર્મલની લંબાઈ $|y_1 m|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સબટેન્જન્ટ અને સબનોર્મલ સમાન છે,તેથી:
$\left| \frac{y_1}{m} \right| = |y_1 m|$
$\Rightarrow \frac{1}{|m|} = |m|$
$\Rightarrow m^2 = 1 \Rightarrow m = \pm 1$.
બિંદુ $P$ આગળ નોર્મલની લંબાઈ $|y_1| \sqrt{1 + m^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m^2 = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\text{નોર્મલની લંબાઈ} = |y_1| \sqrt{1 + 1} = |y_1| \sqrt{2} = \sqrt{2} \times \text{ઓર્ડિનેટ}$.

(C) આપેલ વક્ર $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શક બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y_1}{x_1}\right)^{1/3}$.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - y_1 = -\left(\frac{y_1}{x_1}\right)^{1/3}(x - x_1)$
$\frac{y}{y_1^{1/3}} + \frac{x}{x_1^{1/3}} = \frac{y_1}{y_1^{1/3}} + \frac{x_1}{x_1^{1/3}} = y_1^{2/3} + x_1^{2/3} = a^{2/3}$.
$a^{2/3}$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{a^{2/3}x_1^{1/3}} + \frac{y}{a^{2/3}y_1^{1/3}} = 1$.
$x$-અંતઃખંડ $OA = a^{2/3}x_1^{1/3}$ અને $y$-અંતઃખંડ $OB = a^{2/3}y_1^{1/3}$ છે.
અંતઃખંડોના વર્ગોનો સરવાળો:
$OA^2 + OB^2 = (a^{2/3}x_1^{1/3})^2 + (a^{2/3}y_1^{1/3})^2$
$= a^{4/3}x_1^{2/3} + a^{4/3}y_1^{2/3}$
$= a^{4/3}(x_1^{2/3} + y_1^{2/3})$
$= a^{4/3}(a^{2/3}) = a^2$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^n = a^{n-1}x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = a^{n-1}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a^{n-1}}{n y^{n-1}}$.
સબનોર્મલની લંબાઈનું સૂત્ર: $L = |y \frac{dy}{dx}|$.
$\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = |y \cdot \frac{a^{n-1}}{n y^{n-1}}| = |\frac{a^{n-1}}{n} \cdot y^{1-(n-1)}| = |\frac{a^{n-1}}{n} \cdot y^{2-n}|$.
સબનોર્મલની લંબાઈ અચળ રહેવા માટે,આ પદ $y$ થી સ્વતંત્ર હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $y$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોય: $2 - n = 0$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(D) ધારો કે $P = (t_1, t_1^3 - t_1)$ અને $Q = (t_2, t_2^3 - t_2)$.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$ છે,તેથી $P$ આગળ,$m = 3t_1^2 - 1$.
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $\frac{(t_2^3 - t_2) - (t_1^3 - t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{(t_2 - t_1)(t_2^2 + t_1t_2 + t_1^2) - (t_2 - t_1)}{t_2 - t_1} = t_2^2 + t_1t_2 + t_1^2 - 1$ થાય.
સ્પર્શક $Q$ આગળ છેદે છે,તેથી સ્પર્શકનો ઢાળ અને જીવાનો ઢાળ સમાન થાય:
$3t_1^2 - 1 = t_2^2 + t_1t_2 + t_1^2 - 1$
$2t_1^2 - t_1t_2 - t_2^2 = 0$
$(2t_1 + t_2)(t_1 - t_2) = 0$.
$P$ અને $Q$ ભિન્ન હોવાથી,$t_1 \neq t_2$,તેથી $t_2 = -2t_1$.
ઢાળ $m_{OP} = \frac{t_1^3 - t_1}{t_1} = t_1^2 - 1$ અને $m_{OQ} = \frac{t_2^3 - t_2}{t_2} = t_2^2 - 1$.
આપણે $\frac{m_{OQ} + 1}{m_{OP} + 1} = \frac{(t_2^2 - 1) + 1}{(t_1^2 - 1) + 1} = \frac{t_2^2}{t_1^2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$t_2 = -2t_1$ મૂકતા,આપણને $\frac{(-2t_1)^2}{t_1^2} = \frac{4t_1^2}{t_1^2} = 4$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રો $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ અને $C_2: y^3 = 16x$ છે.
$C_2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \implies \frac{dy}{dx} = m_1 = \frac{16}{3y^2}$.
$C_1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = m_2 = -\frac{4x}{a^2y}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(\frac{16}{3y^2}\right) \times \left(-\frac{4x}{a^2y}\right) = -1$.
$\frac{64x}{3a^2y^3} = 1 \implies 64x = 3a^2y^3$.
$y^3 = 16x$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $64x = 3a^2(16x)$.
જો $x \neq 0$ હોય,તો $64 = 48a^2$.
$a^2 = \frac{64}{48} = \frac{4}{3}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = e^{2x} + x^2$ છે.
$x = 0$ આગળ,$y = e^0 + 0^2 = 1 + 0 = 1$.
તેથી,સ્પર્શ બિંદુ $(0, 1)$ છે.
હવે,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} + 2x$ મેળવો.
$x = 0$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 2e^0 + 2(0) = 2$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ છે.
$(0, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -\frac{1}{2}x + 1$ અથવા $x + 2y = 2$ થાય છે.
અભિલંબ $x$-અક્ષને $y = 0$ આગળ છેદે છે,તેથી $x + 2(0) = 2 \implies x = 2$. બિંદુ $(2, 0)$ છે.
અભિલંબ $y$-અક્ષને $x = 0$ આગળ છેદે છે,તેથી $0 + 2y = 2 \implies y = 1$. બિંદુ $(0, 1)$ છે.
અક્ષો અને અભિલંબ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ થાય છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^{2/3} + y^{2/3} = 2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\frac{1^{-1/3}}{1^{-1/3}} = -1$ થાય.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = -1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 2$ થાય.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1$ છે.
તેથી $x$-અંતઃખંડ $2$ અને $y$-અંતઃખંડ $2$ મળે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $2 + 2 = 4$ થાય.

(B) આપેલ વક્ર $y = \frac{1}{x}$ છે.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^{2}}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{1}{x^{2}}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે,જે $x^{2}$ છે.
$x \neq 0$ માટે $x^{2} > 0$ હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ ધન હોવો જોઈએ.
આપેલ રેખા $(\log_{2}(1 + 5a - a^{2}))x - 5y - (a^{2} - 5) = 0$ છે,જેને $y = \frac{\log_{2}(1 + 5a - a^{2})}{5}x - \frac{a^{2} - 5}{5}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,રેખાનો ઢાળ $m = \frac{\log_{2}(1 + 5a - a^{2})}{5}$ છે.
$m > 0$ હોવાથી,$\log_{2}(1 + 5a - a^{2}) > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 + 5a - a^{2} > 2^{0} = 1$.
$5a - a^{2} > 0 \Rightarrow a^{2} - 5a < 0$.
$a(a - 5) < 0$,જે દર્શાવે છે કે $a \in (0, 5)$.

(B) આપેલ વક્ર $xy = 4$ છે,જેને આપણે $y = \frac{4}{x}$ તરીકે લખી શકીએ.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^2}$ મળે છે.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{4}{2^2} = -1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ થાય.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = 1(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય છે.
અભિલંબ વક્રને ફરીથી જ્યાં મળે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,$y = x$ ને વક્રના સમીકરણ $xy = 4$ માં મૂકતા:
$x(x) = 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
અહીં $x = 2$ એ મૂળ બિંદુ છે,તેથી બીજું બિંદુ $x = -2$ છે.
$x = -2$ ને $y = x$ માં મૂકતા,આપણને $y = -2$ મળે છે.
આમ,અભિલંબ વક્રને ફરીથી $(-2, -2)$ બિંદુએ મળે છે.

(C) અભિલંબનો ઢાળ $m_n$ એ $\tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$m_n = \tan\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અભિલંબનો ઢાળ વિકલિત $f'(x)$ સાથે $m_n = -\frac{1}{f'(x)}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
બિંદુ $(4, 6)$ આગળ કિંમતો મૂકતા:
$-\sqrt{3} = -\frac{1}{f'(4)}$.
$f'(4)$ માટે ઉકેલતા:
$f'(4) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.